Индуктивное реактивное сопротивление: формулы, схемы

В данной статье мы подробно поговорим про индуктивное сопротивление, реактивное сопротивление и треугольники напряжения, сопротивления и силы.

Введение

Итак, мы рассмотрели поведение индукторов, подключенных к источникам постоянного тока, и, надеюсь, теперь мы знаем, что когда на индуктор подается постоянное напряжение, рост тока через него происходит не мгновенно, а определяется индуктором, индуцированным самим индуктором или обратным значением ЭДС.

Также мы видели, что ток индукторов продолжает расти, пока не достигнет своего максимального установившегося состояния после пяти постоянных времени. Максимальный ток, текущий через индукционную катушку ограничиваются только резистивной частью катушек обмотки в омах, и как мы знаем из закона Ома, это определяется отношением напряжения к току V / R .

Когда переменное напряжение подается на катушку индуктивности, поток тока через него ведет себя совершенно иначе, чем при приложении постоянного напряжения. Эффект синусоидального питания приводит к разности фаз между напряжением и формами тока. Теперь в цепи переменного тока противодействие току, протекающему через обмотки катушек, зависит не только от индуктивности катушки, но и от частоты сигнала переменного тока.

Сопротивление току, протекающему через катушку в цепи переменного тока, определяется сопротивлением переменного тока, более известным как полное сопротивление (Z) цепи. Но сопротивление всегда связано с цепями постоянного тока, поэтому, чтобы отличить сопротивление постоянного тока от сопротивления переменного тока, обычно используется термин «реактивное сопротивление» .

Как и сопротивление, значение реактивного сопротивления также измеряется в омах, но ему присваивается символ X (заглавная буква «X»), чтобы отличить его от чисто резистивного значения.

Поскольку интересующий нас компонент является индуктором, реактивное сопротивление индуктора поэтому называется «Индуктивное реактивное сопротивление». Другими словами, электрическое сопротивление индуктивности при использовании в цепи переменного тока называется индуктивным сопротивлением .

Индуктивное сопротивление, которому дается символ X _L , является свойством в цепи переменного тока, которое противодействует изменению тока. В наших уроках о конденсаторах в цепях переменного тока мы видели, что в чисто емкостной цепи ток I _C «опережает» напряжение на 90 ^o . В чисто индуктивной цепи переменного тока верно обратное: ток I _L отстает от напряжения на 90 ^o или (π / 2 рад).

Схема индуктивности переменного тока

В приведенной выше чисто индуктивной цепи индуктор подключен непосредственно через напряжение питания переменного тока. Когда напряжение питания увеличивается и уменьшается с частотой, самоиндуцированная обратная ЭДС также увеличивается и уменьшается в катушке по отношению к этому изменению.

Мы знаем, что эта самоиндуцированная ЭДС прямо пропорциональна скорости изменения тока через катушку и имеет наибольшее значение при переходе напряжения питания от положительного полупериода к отрицательному полупериоду или наоборот в точках 0^о и 180^о вдоль синусоиды.

Следовательно, минимальная скорость изменения напряжения возникает, когда синусоида переменного тока пересекается при своем максимальном или минимальном пиковом уровне напряжения. В этих положениях в цикле максимальный или минимальный токи протекают через цепь индуктора, и это показано ниже.

Векторная диаграмма индуктора переменного тока

Эти формы напряжения и тока показывают, что для чисто индуктивной цепи ток отстает от напряжения на 90 ^o . Также можно сказать, что напряжение опережает ток на 90 ^o . В любом случае общее выражение заключается в том, что ток отстает, как показано на векторной диаграмме. Здесь вектор тока и вектор напряжения показаны смещенными на 90 ^o . Ток отстает от напряжения .

Мы можем также написать это заявление как, V _L  = 0 ^ö и I _L  = -90 ^о по отношению к напряжению, V _L . Если форма волны напряжения классифицируется как синусоида, то ток I _L можно классифицировать как отрицательный косинус, и мы можем определить значение тока в любой момент времени как:

Где: 
ω в радианах в секунду, а 
t в секундах.

Поскольку ток всегда отстает от напряжения на 90 ^o в чисто индуктивной цепи, мы можем найти фазу тока, зная фазу напряжения или наоборот. Так что если мы знаем значение V _L , то I _L должно отставать на 90 ^o . Аналогичным образом, если мы знаем значение I _L, то V _L, следовательно, должно опережать на 90 ^o . Затем это отношение напряжения к току в индуктивном контуре будет производить уравнение, определяющее индуктивное сопротивление Х _L катушки.

Мы можем переписать уравнение для индуктивного сопротивления в более привычную форму, которая использует обычную частоту питания вместо угловой частоты в радианах ω и это будет выглядеть так:

Где: 
ƒ — частота, 
L — индуктивность катушки и 
2πƒ = ω .

Из приведенного выше уравнения для индуктивного реактивного сопротивления можно видеть, что, если увеличить частоту, либо индуктивность, общее значение индуктивного реактивного сопротивления также увеличится. Когда частота приближается к бесконечности, реактивное сопротивление индукторов также увеличивается до бесконечности, действуя как разомкнутая цепь.

Однако, когда частота приближается к нулю или постоянному току, реактивное сопротивление индукторов будет уменьшаться до нуля, действуя как короткое замыкание. Это означает, что индуктивное сопротивление «пропорционально» частоте.

Другими словами, индуктивное реактивное сопротивление увеличивается с частотой, в результате чего X _L будет небольшим на низких частотах, а X _L будет высоким на высоких частотах, что продемонстрировано на графике ниже.

Индуктивное сопротивление от частоты

Затем мы видим, что при постоянном токе индуктор имеет нулевое реактивное сопротивление (короткое замыкание), на высоких частотах индуктор имеет бесконечное реактивное сопротивление (разомкнутая цепь).

Питание от сети переменного тока серии LR

До сих пор мы рассматривали чисто индуктивную катушку, но невозможно иметь чистую индуктивность, поскольку все катушки, реле или соленоиды будут иметь определенное сопротивление, независимо от того, насколько мало связано с витками используемого провода. Тогда мы можем рассматривать нашу простую катушку как последовательное сопротивление с индуктивностью (LR).

В цепи переменного тока, которая содержит как индуктивность L и сопротивление R, напряжение V будет векторная сумма двух компонентов напряжения, V _R и V _L . Это означает, что ток, протекающий через катушку еще будет отставать от напряжения, но на величину меньше чем 90 ^ö в зависимости от значений V _R и V _L .

Новый фазовый угол между напряжением и током известен как фазовый угол цепи и обозначается греческим символом фи, Φ .

Чтобы получить векторную диаграмму зависимости между напряжением и током, необходимо найти эталонный или общий компонент. В последовательно соединенной цепи RL ток является общим, так как один и тот же ток течет через каждый компонент. Вектор этой эталонной величины обычно рисуется горизонтально слева направо.

Из наших руководств о резисторах и конденсаторах, мы знаем, что ток и напряжение в цепи переменного резистивного тока, оба «в фазе» и, следовательно, вектор V _R рисуется с наложением на текущую или контрольную линию.

Из вышесказанного также известно, что ток «отстает» от напряжения в чисто индуктивной цепи и, следовательно, вектор V _L отображается на 90 ^o перед опорным током и в том же масштабе, что и V _R, это показано ниже.

Цепь переменного тока серии LR

На приведенной выше векторной диаграмме видно, что луч OB представляет текущую опорную линию, луч OA — это напряжение резистивного компонента, которое в фазе с током, луч OC показывает индуктивное напряжение, которое составляет 90 ^o перед током, поэтому видно, что ток отстает от напряжения на 90 ^o , луч OD дает нам результирующее или питающее напряжение в цепи. Треугольник напряжения выводится из теоремы Пифагора и имеет вид:

Треугольник сопротивления

В цепи постоянного тока отношение напряжения к току называется сопротивлением. Однако в цепи переменного тока это отношение известно как полное сопротивление Z с единицами измерения в омах. Полное сопротивление — это полное сопротивление току в «цепи переменного тока», содержащее как сопротивление, так и индуктивное сопротивление.

Если мы разделим стороны треугольника напряжения выше на ток, получим еще один треугольник, стороны которого представляют сопротивление, реактивное сопротивление и полное сопротивление катушки. Этот новый треугольник называется «Треугольник сопротивления».

Силовой треугольник индуктора переменного тока

Существует еще один тип конфигурации треугольника, который мы можем использовать для индуктивной цепи, и это «силовой треугольник». Мощность в индуктивной цепи называется реактивной мощностью или вольт-амперной реактивной, символ Var, который измеряется в вольт-амперах. В цепи переменного тока серии RL ток отстает от напряжения питания на угол Φ ^o .

В чисто индуктивной цепи переменного тока ток будет сдвинут по фазе на 90 ^o к напряжению питания. Таким образом, общая реактивная мощность, потребляемая катушкой, будет равна нулю, так как любая потребляемая мощность компенсируется генерируемой самоиндуцированной ЭДС-мощностью. Другими словами, полезная мощность в ваттах, потребляемая чистым индуктором в конце одного полного цикла, равна нулю, так как энергия берется из источника и возвращается к нему.

Реактивная мощность ( Q ) катушки может быть задана как: I ²  x X _L (аналогично I ² R в цепи постоянного тока). Затем три стороны силового треугольника в цепи переменного тока представлены кажущейся мощностью ( S ), реальной мощностью ( P ) и реактивной мощностью ( Q ), как показано.

Обратите внимание, что данный индуктор или катушка будет потреблять мощность в ваттах из — за сопротивления обмоток, создающих сопротивление Z.

Лабораторная работа №1 исследование зависимомти активного,индуктивного и емкостного сопротивления от частоты переменного тока.Проверка закона ома для пени переменного тока.

Цель работы: выяснить зависимость сопротивлений от частоты.

Приборы и принадлежности: генератор звуковой частоты, амперметр, вольтметр, активное сопротивление, катушка индуктивности, конденсатор, провода.

Краткая теория

Переменный электрический ток в электрических цепях является результатом возбуждения в них вынужденных электромагнитных колебаний. Эти вынужденные колебания создаются генераторами переменного тока, работающими на электростанциях.

Электрический генератор создает синусоидальное напряжение. Соответственно синусоидальным оказывается и ток.

Зависимость напряжения от времени можно записать в виде:

Если к сопротивлению R приложена разность потенциалов U, то по закону Ома:

где i, u — мгновенные значения напряжения и силы тока.

Потенциал периодически изменяется между

Величина называется амплитудным значением напряжения (или пиковым напряжением).

Амплитудное (пиковое) значение силы тока;

— циклическая частота.

, где

— частота тока.

Частота переменного тока в России равна 50 Гц.

Рассмотрим процессы, происходящие в проводнике, включенном вцепь переменного тока.

I. Цепь, в которой разность потенциалов на реактивных сопротивлениях много меньше разности потенциалов на резисторе, будет являться цепью с активным сопротивлением.

Активным сопротивлением R называется физическая величина, определяемая отношением мощности Р переменного тока на участке электрической цепи к квадрату действующего значения силы тока на этом участке

Действующим значением силы переменного тока называют силу такого постоянного тока, при прохождении которого по той же цепи и за то же время выделяется такое же количество теплоты, как и при прохождении переменного тока.

Выразим действующее значение силы тока I через амплитуду силы тока. Согласно определению, бесконечно малое количество теплоты, выделяемое постоянным током, равно такому же количеству теплоты, выделяемому переменным током.

На основании закона Джоуля — Ленца имеем:

Приравнивая значения и, получим:

Пусть теплота Q выделяется током в течение одного периода колебаний. Тогда, интегрируя данное выражение в пределах от 0 до Т получим:

Найдем значение интеграла:

Тогда ,откуда

Аналогично для действующих значений напряжений получим:

,

где действующее значение переменного напряжения U в

раз меньше его амплитудного значения.

Колебания силы тока в цепи с активным сопротивлением происходят по закону:

,

где амплитуда силы тока

Частота и фаза переменного тока будут совпадать с частотой и фазой колебания напряжения (рис. 2,3).

На активном сопротивлении происходит преобразование электрической энергии во внутреннюю.

II. Рассмотрим цепь переменного тока с индуктивным сопротивлением, т.е. цепь, содержащую катушку.

Рис. 4

Произведение циклической частоты на индуктивность L называется индуктивным сопротивлением.

Через катушку идёт ток, изменяющийся по закону: ,

При этом в катушке возникает ток самоиндукции, а ЭДС самоиндукции будет

Приложенное к катушке напряжение должно в любой момент времени уравновешивать Э.Д.С. самоиндукции в катушке, если , то

Связь между амплитудой колебаний напряжения на концах проводника индуктивностью L с амплитудойколебаний силы тока в нем совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи постоянного тока.

Хотя данное выражение совпадает по форме с выражением закона Ома для участка цепи

, между ними имеются принципиальные отличия по существу. Электрическое сопротивление проводника при данной температуре является постоянной величиной, характеризующей проводник.Индуктивное сопротивление не является постоянной величиной, его значение прямо пропорционально частоте переменного тока.

Поэтому амплитуда колебаний силы тока в проводнике индуктивностью L при постоянном значении амплитуды

колебаний напряжения убывает обратно пропорционально частоте

Индуктивное сопротивление энергию не потребляет. Из уравнений

видно, что сдвиг фаз между напряжением и током равен , колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на четверть периода.

Индуктивное сопротивление выражают в омах, оно играет роль сопротивления в цепи переменного тока с катушкой индуктивности.

III. Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи переменного тока с конденсатором.

При включении конденсатора в цепь переменного тока через диэлектрик, разделяющий обкладки конденсатора, электрические заряды проходить не будут. Но в результате периодически повторяющихся процессов зарядки и разрядки конденсатора в проводах, соединенных с его выводами появится переменный ток.

Лампа накаливания, включенная последовательно с конденсатором в цепь переменного тока, кажется горящей непрерывно, т.к. человеческий глаз не замечает периодического ослабления свечения нити лампы.

Ток в цепи с емкостным сопротивлением меняется по гармоническому закону

Напряжение на обкладках конденсатора ,

где

Ток в цепи

где

По закону Ома ,

где сопротивление конденсатора переменного тока, называемое емкостным сопротивлением.

;

При , напряжение будет максимальным

Отсюда следует, что

Как и индуктивное сопротивление катушки, емкостное сопротивление конденсатора не является постоянной величиной. Значение емкостного сопротивления обратно пропорционально частоте переменного тока.

Поэтому амплитуда колебаний силы тока в цепи конденсатора при постоянной амплитуде колебаний напряжения на конденсаторе возрастает прямо пропорционально частоте.

Емкостное сопротивление энергию не потребляет, поэтому как и индуктивное является реактивным.

Сдвиг фаз между током и напряжением на конденсаторе, как видно из

формул

равен четверти периода, колебания силы тока опережают колебания внешнего напряжения по фазе на

IV. Рассмотрим полную цепь переменного тока, содержащую активное, индуктивное, емкостное сопротивления.

Ток на всех трёх участках один и тот же:

Разности потенциалов на всех трёх сопротивлениях имеют вид:

Частота колебаний результирующей разности потенциалов на клеммах генератора (совпадающей с его Э.Д.С.), равна частоте складываемых колебаний разности потенциалов.

Фаза результирующей разности потенциалов должна быть сдвинута по отношению к колебаниям силы тока в общем случае на угол

Для нахождения результирующей амплитуды напряжений (Э.Д.С.) в цепи, построим векторную диаграмму цепи:

Так как сила тока в этом случае на всех участках цепи одинакова, то здесь в качестве базисного вектора выбирают вектор, изображающий амплитудное значение силы тока.

Векторы, изображающие амплитудные значения напряжений на отдельных участках строят под определенными углами к вектору силы тока. Эти углы равны сдвигам фаз на каждом из участков цепи. Результирующую амплитуду напряжений определяют как модуль результирующего вектора, который находят по правилу суммирования векторов, а фазу результирующего колебания просто измеряют соответствующим углом, отсчитанным в направлении против часовой стрелки от базисного вектора.

Из диаграммы видно:

Как видно, амплитуды колебаний силы тока и напряжения связаны соотношением

где величину Z , равную выражению называют полным сопротивлением цепи переменного тока.

Выражение называется законом Ома для цепи переменного

тока.

Разделив левую и правую часть на получим, что закон справедлив и для действующих значений силы тока и напряжения.

Из формулы видно, что ток в цепи можно увеличить не меняя напряжение, а изменяя частоту.

При изменении частоты может наступить такой момент, когда и при одинаковой силе тока одинаковыми оказываются и амплитуды колебаний напряжения на конденсаторе и катушке.

Колебания напряжения на катушке и конденсаторе противоположны по фазе, поэтому сумма напряжений на них при в любой момент

времени = 0.

В результате напряжение на активном сопротивлении при резонансе оказывается равным полному напряжению , а сила тока

в цепи достигает максимального значения, т.е. наступает резонанс.

Индуктивное сопротивление катушки — Основы электроники

Так как самоиндукция препятствует всякому резкому изменению силы тока в цепи, то, следовательно, она представляет собой для переменного тока особого рода сопротивление, называемое индуктивным сопротивлением.

Чисто индуктивное сопротивление отличается от обычного (омического) сопротивления тем, что при прохождении через него переменного тока в нем не происходит потери мощности.

Под чисто индуктивным сопротивлением мы понимаем сопротивление, оказываемое переменному току катушкой, проводник которой не обладает вовсе омическим сопротивлением. В действительности же всякая катушка обладает некоторым омическим сопротивлением. Но если это сопротивление невелико по сравнению с индуктивным сопро¬тивлением, то им можно пренебречь.

При этом наблюдается следующее явление: в течение одной четверти периода, когда ток возрастает, магнитное поле потребляет энергию из цепи, а в течение следующей четверти периода, когда ток убывает, возвращает ее в цепь. Следовательно, в среднем за период в индуктивном сопротивлении мощность не затрачивается. Поэтому индуктивное сопротивление называется реактивным (прежде его неправильно называли безваттным).

Индуктивное сопротивление одной и той же катушки будет различным для токов различных частот. Чем выше частота переменного тока, тем большую роль играет индуктивность и тем больше будет индуктивное сопротивление данной катушки. Наоборот, чем ниже частота тока, тем индуктивное сопротивление катушки меньше. При частоте, равной нулю (установившийся постоянный ток), индуктивное сопротивление тоже равно нулю.

 Рисунок 1. Зависимость индуктивного сопротивления катушки от частоты переменного тока. Реактивное сопротивление катушки возрастает с увеличением часторы тока.

Индуктивное сопротивление обозначается буквой X_L и измеряется в омах.

Подсчет индуктивного сопротивления катушки для переменного тока данной частоты производится по формуле

X_L=2π• f •L

где X_L — индуктивное сопротивление в ом; f—частота переменного тока в гц; L — индуктивность катушки в гн

Как известно, величину 2π• f называют круговой частотой и обозначают буквой ω (омега). Поэтому приведенная выше формула может быть представлена так:

X_L=ω•L

Отсюда следует, что для постоянного тока (ω = 0) индуктивное сопротивление равно нулю. Поэтому, когда, нужно пропустить по какой-либо цепи постоянный ток, задержав в то же время переменный, то в цепь включают последовательно катушку индуктивности.

Для преграждения пути токам низких звуковых частот ставят катушки с железным сердечником, так называемые дроссели низкой частоты, а для более высоких радиочастот — без железного сердечника, которые носят название дросселей высокой частоты.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

3.1.Сопротивление параллельного контура при резонансе

Сопротивление параллельного контура при резонансе чисто активное; напряжение на контуре и ток в неразветвленной части цепи совпадают по фазе. Реальный контур отбирает от питающего генератора некоторое количество энергии, которое превращается в тепло на активном сопротивлении R (сопротивлении потерь) контура. На основании закона сохранения энергии мощность, отдаваемая генератором, и мощность, расходуемая на тепло в активном сопротивлении контура, равны.

Мощность, отдаваемая генератором, определяется выражением

где–ток в неразветвленной части цепи при резонансе;

–сопротивление контура при резонансе.

Мощность, расходуемая в активном сопротивлении R, равна

,

где –ток внутри контура при резонансе ().

R –активное сопротивление, учитывающее потери энергии вкатушке.

Если напряжение на зажимах генератора , то

и

.

Имея в виду последние два выражения, приравняем мощности и:

.

Отсюда

,

или

.

Так как , то,

где – резонансное сопротивление контура в омах;

L –индуктивность контура в генри;

С –емкость контура в фарадах;

R – активное сопротивление в омах.

Резонансное сопротивление параллельного контура зависит от величины активного сопротивления потерь R и от соотношения величин L и С, т. е. от волнового сопротивления контура. Чем больше R, тем больше энергии расходуется в нем на тепло и тем больше энергии (большая мощность) поступает от генератора в контур. Следовательно, чем больше сопротивление потерь R, тем больше ток в общей части цепи. Но по величине тока можно судить о величине сопротивления контура: чем больше ток, тем меньше сопротивление. Поэтому чем больше сопротивление потерь, тем меньше сопротивление параллельного контура при резонансе. В отсутствиеR .

3.2. Зависимость сопротивления параллельного контура от частоты

Пусть частота генератора, питающего параллельный контур, изменяется в широких пределах. При повышении частоты генератора емкостное сопротивление конденсатора уменьшается:

,

а индуктивное сопротивление увеличивается:

.

При этом ток в емкостной ветви увеличивается, а в индуктивной уменьшается. При частоте ниже резонансной в общей цепи преобладает индуктивный ток и контур ведет себя как индуктивное сопротивление. При частоте генератора, равной собственной частоте контура , емкостной и индуктивный токи равны по величине и реактивный ток в общей части цепи равен нулю (состояние резонанса). Сопротивление контура имеет чисто активный характер и значительную величину, определяемую формулой

.

При частоте выше резонансной в общей цепи преобладает емкостной ток и контур ведет себя как емкостное сопротивление.

Чем больше частота генератора отличается от собственной (резонансной) частоты контура, тем больше различаются токии, тем больше реактивный ток в общей части цепи и меньше реактивное сопротивление контура. Исходя из этих рассуждений, можно показать зависимость сопротивления параллельного контура от частоты питающего генератора (рис.14).

Рис.14. Зависимость сопротивления параллельного контура от частоты генератора

При изменении частоты генератора изменяется фазовый сдвиг между напряжением генератора и током , идущим через контур. Если частота генератора значительно ниже собственной (резонансной) частоты контура, то сопротивление контура можно считать чисто индуктивным, т.к. реактивный ток в общей цепи во много раз больше активного. Угол фазового сдвига между напряжением генератора и током при этом близок к. По мере повышения частоты генератора реактивная составляющая тока в общей цепи и фазовый угол уменьшаются. При резонансе сопротивление контура является чисто активным и фазовый сдвиг между напряжением генератора и током равен нулю. Если частота генератора превышает резонансную частоту контура, то сопротивление контура состоит из активной и емкостной составляющих. По мере повышения частоты генератора соотношение между активной и реактивной составляющими изменяется и угол фазового сдвига между напряжением генератора и током приближается к.

Кривая, показывающая зависимость угла фазового сдвига между напряжением генератора и током через контур, называется фазо-частотной характеристикой параллельногоконтура(рис.15).

Рис.15. Фазо-частотная характеристика параллельного контура

Резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре

  

   В радиотехнике широкое применение имеют электрические цепи, составленные из катушки индуктивности и конденсатора. Такие цепи в радиотехнике называются колебательными контурами. Источник переменного тока к колебательному контуру может быть присоединен двумя способами: последовательно (рисунок 1а) и параллельно (рисунок 1б).

Рисунок 1. Схемотическое обозначение колебательного контура. а) последовательный колебательный контур; б) параллельный колебательный контур.

   Рассмотрим поведение колебательного контура в цепи переменного тока при последовательном соединении контура и источника тока (рис 1а).

Мы знаем, что такая цепь оказывает переменному току реактивное сопротивление, равное:

   где R_L— активное сопротивление катушки индуктивности в ом;

   ωL,-индуктивное сопротивление катушки индуктивности в ом;

   1/ωC-емкостное сопротивление конденсатора в ом.

   Активное сопротивление катушки R_L практически очень мало изменяется при изменении частоты (если пренебречь поверхностным эффектом). Индуктивное и емкостное сопротивления в очень сильной степени зависят от частоты, а именно: индуктивное сопротивление ωL увеличивается прямо пропорционально частоте тока, а емкостное сопротивление 1/ωC уменьшается при повышении частоты тока, т. е. оно связано с частотой тока обратно пропорциональной зависимостью.

   Отсюда непосредственно следует, что реактивное сопротивление последовательного колебательного контура также зависит от частоты, и колебательный контур будет оказывать токам разных частот неодинаковое сопротивление.

   Если мы будем измерять реактивное сопротивление колебательного контура при различных частотах, то обнаружим, что в области низких частот сопротивление последовательного контура очень велико; при увеличении частоты оно уменьшается до некоторого предела, а затем начинает снова возрастать.

   Объясняется это тем, что в области низких частот ток испытывает большое сопротивление со стороны конденсатора, при увеличении же частоты начинает действовать индуктивное сопротивление, компенсирующее действие емкостного сопротивления.

   При некоторой частоте индуктивное сопротивление становится равным емкостному, т. е.

   Они будут взаимно компенсировать друг друга и общее реактивное сопротивление контура станет равным нулю:

   При этом реактивное сопротивление последовательного колебательного контура будет равно только его активному сопротивлению, так как

   При дальнейшем повышении частоты ток будет испытывать все большее и большее сопротивление со стороны индуктивности катушки, при одновременном уменьшении компенсирующего действия емкостного сопротивления. Поэтому реактивное сопротивление контура начнет снова возрастать.

  

   На рисунке 2а приведена кривая, показывающая изменение реактивного сопротивления последовательного колебательного контура при изменении частоты тока.

Рисунок 2. Резонанс напряжений. а) зависимость изменения полного сопротивления от частоты; б) зависимость реактивного сопротивления от активного сопротивления контура; в) кривые резонанаса.

   Частота тока, при которой сопротивление колебательного контура делается наименьшим, называется частотой резонанса или резонансной частотой колебательного контура.

При резонансной частоте имеет место равенство:

пользуясь которым, нетрудно определить частоту резонанса:

                                   (1)                             

   Единицами в этих формулах служат герцы, генри и фарады.

   Из формулы (1) видно, что чем меньше величины емкости и самоиндукции колебательного контура, тем больше будет его резонансная частота.

   Величина активного сопротивления R_L не влияет на резонансную частоту, однако от нее зависит характер изменения Z. На рисунке 2б приведен ряд графиков изменения реактивного сопротивления колебательного контура при одних и тех же величинах L и С, но при разных R_L. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление последовательного колебательного контура, тем тупее становится кривая изменения реактивного сопротивления.

   Теперь рассмотрим, как будет изменяться сила тока в колебательном контуре, если мы будем изменять частоту тока. При этом мы будем считать, что напряжение, развиваемое источником переменного тока, остается все время одним и тем же.

   Так как источник тока включен последовательно с L и С контура, то сила тока, протекающего через катушку и конденсатор, будет тем больше, чем меньше реактивное сопротивление колебательного контура в целом, так как

   Отсюда непосредственно следует, что при резонансе сила тока в колебательном контуре будет наибольшей. Величина тока при резонансе будет зависеть от напряжения источника переменного тока и от активного сопротивления контура:

   На рисунке 2г изображен ряд графиков изменения силы тока в последовательном колебательном контуре при изменении частоты тока так называемых кривых резонанса. Из этого рисунка видно, что чем больше активное сопротивление контура, тем тупее кривая резонанса.

   При резонансе сила тока может достигать огромных значений при сравнительно малой внешней ЭДС. Поэтому падения напряжения на индуктивном и емкостном сопротивлениях контура, т. е. на катушке и на конденсаторе, могут достигать очень больших величии и далеко превосходить величину внешнего напряжения.

   Последнее утверждение на первый взгляд может показаться несколько странным, однако нужно помнить, что фазы напряжений на емкостном и индуктивном сопротивлениях сдвинуты друг относительно друга на 180°, т. е. мгновенные значения напряжений на катушке и конденсаторе направлены всегда в противоположные стороны. Вследствие этого большие напряжения, существующие при резонансе внутри контура на его катушке и конденсаторе, ничем не обнаруживают себя вне контура, взаимно компенсируя друг друга.

  Разобранный нами случай последовательного резонанса называется резонансом напряжений, так как в этом случае в момент резонанса имеет место резкое увеличение напряжения на L и С колебательного контура.

 

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

Добавить комментарий

Уроки по электрическим цепям — линии передачи / Habr

Ещё не начав читать статью, попробуйте подумать над вопросом: побежит ли ток, если подключить к батарейке очень длинный провод(более чем 300 тысяч километров, сверхпроводник), если противоположные концы провода никуда не подключены? Сколько Ампер?

Прочитав эту статью, вы поймёте в чём смысл волнового сопротивления. Из лекций по теории волн я вынес только то, что волновое сопротивление — это сопротивление волнам. Большая часть студентов, кажется, поняла ровно то же самое. То есть ничего.

Эта статья — весьма вольный перевод этой книги: Lessons In Electric Circuits
Статьи по теме: На Хабре: Контакт есть, сигнала нет
Трэш в Википедии: Длинная линия

50-омный кабель?

В начале моего увлечения электроникой я часто слышал про волновое сопротивление коаксиального кабеля 50Ω. Коаксиальный кабель – это два провода. Центральный провод, изолятор, оплётка, изолятор. Оплётка полностью закрывает центральный проводник. Такой провод используется для передачи слабых сигналов, а оплётка защищает сигнал от помех.

Я был озадачен этой надписью – 50 Ω. Как могут два изолированных проводника иметь сопротивление друг с другом 50 Ω? Я измерил сопротивление между проводами и увидел, как и ожидалось, обрыв. Сопротивление кабеля с одной стороны до другой — ноль. Как бы я не подключал омметр, я так и не смог получить сопротивление 50 Ом.

То, что я не понимал в то время – так это как кабель реагирует на импульсы. Конечно, омметр работает с постоянным током, и показывает, что проводники не соединены друг с другом. Тем не менее, кабель, из-за влияния ёмкости и индуктивности, распределённой по всей длине, работает как резистор. И так же, как и в обычном резисторе, ток пропорционален напряжению. То, что мы видим как пара проводников – важный элемент цепи в присутствии высокочастотных сигналов.

В этот статье вы узнаете что такое линия связи. Многие эффекты линий связи не проявляются при работе с постоянным током или на сетевой частоте 50 Гц. Тем не менее, в высокочастотных схемах эти эффекты весьма значительны. Практическое применение линий передач – в радиосвязи, в компьютерных сетях, и в низкочастотных схемах для защиты от перепадов напряжения или ударов молний.

Провода и скорость света

Рассмотрим следующую схему. Цепь замкнута – лампа зажигается. Цепь разомкнута – лампа гаснет. На самом деле лампа зажигается не мгновенно. Ей как минимум надо раскалиться. Но я хочу заострить внимание не на этом. Хотя электроны двигаются очень медленно, они взаимодействуют друг с другом гораздо быстрее – со скоростью света.

Что произойдёт, если длина проводов будет 300 тысяч км? Так как электроэнергия передаётся с конечной скоростью, очень длинные провода внесут задержку.

Пренебрегая временем на разогрев лампы, и сопротивлением проводов, лампа зажжётся примерно через 1 секунду после включения выключателя. Несмотря на то, что строительство сверхпроводящих ЛЭП такой длины создаст огромные практические проблемы, теоретически это возможно, поэтому наш мысленный эксперимент реален. Когда переключатель выключается, лампа будет продолжать получать питание ещё 1 секунду.
Один из способов представить движение электронов в проводнике – это вагоны поезда. Сами вагоны движутся медленно, только начинают движение, и волна сцеплений передаётся гораздо быстрее.

Другая аналогия, возможно более подходящая – волны в воде. Объект начинает движение горизонтально вдоль поверхности. Создастся волна из-за взаимодействия молекул воды. Волна будет перемещаться гораздо быстрее, чем двигаются молекулы воды.

Электроны взаимодействуют со скоростью света, но движутся гораздо медленнее, подобно молекуле воды на рисунке выше. При очень длинной цепи становится заметна задержка между нажатием на выключатель и включением лампы.

Волновое сопротивление

Предположим, у нас есть два параллельных провода бесконечной длины, без лампочки в конце. Потечёт ли ток при замыкании выключателя?

Несмотря на то, что наш провод — сверхпроводник, мы не можем пренебречь ёмкостью между проводами:

Подключим питание к проводу. Ток заряда конденсатора определяется формулой: I = C(de/dt). Соответственно, мгновенный рост напряжения должен породить бесконечный ток.
Однако ток не может быть бесконечным, так как вдоль проводов есть индуктивность, ограничивающая рост тока. Падение напряжения в индуктивности подчиняется формуле: E = L(dI/dt). Это падение напряжения ограничивает максимальную величину тока.

Поскольку электроны взаимодействуют со скоростью света, волна будет распространяться с той же скоростью. Таким образом, нарастание тока в индуктивностях, и процесс зарядки конденсаторов будет выглядеть следующим образом:

В результате этих взаимодействий, ток через батарею будет ограничен. Так как провода бесконечны, распределённая емкость никогда не зарядится, а индуктивность не даст бесконечно нарастать току. Другими словами, провода будут вести себя как постоянная нагрузка.
Линия передачи ведёт себя как постоянная нагрузка так же, как и резистор. Для источника питания нет никакой разницы, куда бежит ток: в резистор, или в линию передачи. Импеданс (сопротивление) это линии называют волновым сопротивлением, и оно определяется лишь геометрией проводников. Для параллельных проводов с воздушной изоляцией волновое сопротивление рассчитывается так:

Для коаксиального провода формула расчёта волнового сопротивления выглядит несколько иначе:

Если изоляционный материал – не вакуум, скорость распространения будет меньше скорости света. Отношение реальной скорости к скорости света называется коэффициентом укорочения.
Коэффициент укорочения зависит только от свойств изолятора, и рассчитывается по следующей формуле:

Волновое сопротивление известно также как характеристическое сопротивление.
Из формулы видно, что волновое сопротивление увеличивается по мере увеличения расстояния между проводниками. Если проводники отдалить друг от друга, становится меньше их ёмкость, и увеличивается распределённая индуктивность (меньше эффект нейтрализации двух противоположных токов). Меньше ёмкость, больше индуктивность => меньше ток => больше сопротивление. И наоборот, сближение проводов приводит к большей ёмкости, меньшей индуктивности => больше ток => меньше волновое сопротивление.
Исключая эффекты утечки тока через диэлектрик, волновое сопротивление подчиняется следующей формуле:

Линии передачи конечной длины

Линии бесконечной длины – интересная абстракция, но они невозможны. Все линии имеют конечную длину. Если бы тот кусок 50 Ом кабеля RG-58/U, который я измерял с помощью омметра несколько лет назад, был бесконечной длины, я бы зафиксировал сопротивление 50 Ом между внутренним и внешним проводом. Но эта линия не была бесконечной, и она измерялась как открытая, с бесконечным сопротивлением.

Тем не менее, волновое сопротивление важно также и при работе с проводом ограниченной длины. Если к линии приложить переходное напряжение, потечёт ток, который равен отношению напряжения к волновому сопротивлению. Это всего лишь закон Ома. Но он будет действовать не бесконечно, а ограниченное время.

Если в конце линии будет обрыв, то в этой точке ток будет остановлен. И это резкое прекращение тока повлияет на всю линию. Представьте себе поезд, идущий вниз по рельсам, имеющий слабину в муфтах. Если он врежется в стенку, он остановится он не весь сразу: сначала первый, потом второй вагон, и т.д.

Сигнал, распространяющийся от источника, называют падающей волной. Распространение сигнала от нагрузки обратно к источнику называют отражённой волной.

Как только нагромождение электронов в конце линии распространяется обратно к батарее, ток в линии прекращается, и она ведёт себя как обычная открытая схема. Всё это происходит очень быстро для линий разумной длины так, что омметр не успевает померить сопротивление. Не успевает поймать тот промежуток времени, когда схема ведёт себя как резистор. Для километрового кабеля с коэффициентом укорочения 0,66 сигнал распространяется всего 5.05мкс. Отражённая волна идёт обратно к источнику ещё столько же, то есть в сумме 10,1 мкс.

Высокоскоростные приборы способны измерить это время между посылкой сигнала и приходом отражения для определения длины кабеля. Этот метод может быть применён также для определения обрыва одного или обоих проводов кабеля. Такие приборы называются рефлектометры для кабельных линий. Основной принцип тот же, что и у ультразвуковых гидролокаторов: генерация импульса и замер времени до эха.

Аналогичное явление происходит и в случае короткого замыкания: когда волна достигает конца линии, она отражается обратно, так как напряжение не может существовать между двумя соединёнными проводами. Когда отражённая волна достигает источника, источник видит, что произошло короткое замыкание. Всё это происходит за время распространения сигнала туда + время обратно.

Простой эксперимент иллюстрирует явление отражения волн. Возьмите верёвку, как показано на рисунке, и дёрните её. Начнёт распространяться волна, пока она полностью не погасится за счёт трения.

Это похоже на длинную линию с потерями. Уровень сигнала будет падать по мере продвижения по линии. Однако, если второй конец закрепить на твёрдую стенку, возникнет отражённая волна:

Как правило, назначением линии передачи является передача электрического сигнала от одной точки к другой.

Отражения могут быть исключены, если терминатор на линии в точности равен волновому сопротивлению. Например, разомкнутая или короткозамкнутая линия будет отражать весь сигнал обратно к источнику. Но если на конце линии включить резистор 50 Ом, то вся энергия будет поглощена на резисторе.

Это всё имеет смысл, если мы вернёмся к нашей гипотетической бесконечной линии. Она ведёт себя как постоянный резистор. Если мы ограничим длину провода, то он будет себя вести как резистор лишь некоторое время, а потом – как короткое замыкание, или открытая цепь. Однако, если мы поставим резистор 50 Ом на конец линии, она вновь будет себя вести как бесконечная линия.



В сущности, резистор на конце линии, равный волновому сопротивлению, делает линию бесконечной с точки зрения источника, потому что резистор может вечно рассеивать энергию так же, как и бесконечные линии могут поглощать энергию.

Отражённая волна, вернувшись обратно к источнику, может вновь отразиться, если волновое сопротивление источника не равно в точности волновому сопротивлению. Этот тип отражений особенно опасен, он делает вид, что источник передал импульс.

Короткие и длинные линии передачи

В цепях постоянного тока волновое сопротивление, как правило, игнорируется. Даже коаксиальный кабель в таких цепях применяется лишь для защиты от помех. Это связано с короткими промежутками времени распространения по сравнению с периодом сигнала. Как мы узнали в предыдущей главе, линия передачи ведёт себя как резистор до тех пор, пока отражённая волна на вернётся обратно к источнику. По истечении этого времени (10,1 мкс для километрового кабеля), источник видит полное сопротивление цепи.

В случае, если цепь передаётся низкочастотный сигнал, источник на какое-то время видит волновое сопротвление, а потом – полное сопротивление линии. Мы знаем, что величина сигнала не равна по всей длине линии из-за распространения со скоростью света(почти). Но фаза низкочастотного сигнала изменяется незначительно за время распространения сигнала. Так, мы можем считать, что напряжение и фаза сигнала во всех точках линии равна.

В этом случае мы можем считать что линия является короткой, потому что время распространения гораздо меньше периода сигнала. В противовес, длинная линия это такая, где за время распространения форма сигнала успевает измениться на большую часть фазы, либо даже передать несколько периодов сигнала. Длинными линиями считаются такие, когда фаза сигнала меняется более чем на 90 градусов за время распространения. До этого в данной книге мы рассматривали лишь короткие линии.

Чтобы определить тип линии(длинная, короткая), мы должны сравнить её длину и частоту сигнала. Например, период сигнала с частотой 60Гц равен 16,66мс. При распространении со скоростью света(300 тысяч км/с) сигнал пройдёт 5000км. Если коэффициент укорочения будет меньше 1, то и скорость будет меньше 300 тысяч км/с, и расстояние меньше во столько же раз. Но даже если использовать коэффициент укорочения коаксиального кабеля(0,66), расстояние всё равно будет велико — 3300км! Независимо от длины кабеля это называется длиной волны.

Простая формула позволяет вычислить длину волны:

Длинная линия – такая, где хотя бы умещается ¼ длины волны в длину. И теперь вы можете понять, почему все линии прежде относятся к коротким. Для систем питания переменного тока 60Гц длина кабеля должна превышать 825 км, чтобы эффекты распространения сигнала стали значительными. Кабели от аудио усилителя к колонкам должны быть более 7,5 км в длину, чтобы существенно повлиять на 10кГц звуковой сигнал!

Когда имеешь дело с радиочастотными системами, задача с длиной линии передачи является далеко не такой тривиальной. Рассмотрим 100МГц радиосигнал: его длина волны 3 метра даже на скорости света. Линия передачи должна быть более 75 см в длину, чтобы считаться длинной. С коэффициентом укорочения 0,66 эта критическая длина составит всего 50 см.

Когда электрический источник подключен к нагрузке через короткую линию передачи, доминирует импеданс нагрузки. То есть, когда линия короткая, волновое сопротивление не влияет на поведение схемы. Мы можем это увидеть при тестировании коаксиального кабеля омметром: мы видит разрыв. Хотя линия ведёт себя как резистор 50Ом (RG/58U кабель) на короткое время, после этого времени мы увидим обрыв. Так как время реакции омметра значительно больше времени распространения сигнала, мы видим обрыв. Эта очень большая скорость распространения сигнала не позволяет нам обнаружить 50Ом переходное сопротивление омметром.

Если мы будем использовать коаксиальный кабель для передачи постоянного тока, кабель будет считаться коротким, и его волновое сопротивление не будет влиять на работу схемы. Обратите внимание, что короткой линией будет называться любая линия, где изменение сигнала происходит медленнее, чем сигнал распространяется по линии. Почти любая физическая длина кабеля может являться короткой с точки зрения волнового сопротивления и отражённых волн. Используя же кабель для передачи высокочастотного сигнала, можно по разному оценивать длину линии.

Если источник подключен к нагрузке через длинные линии передачи, собственное волновое сопротивление доминирует над сопротивлением нагрузки. Иными словами, электрически длинная линия выступает в качестве основного компонента в цепи, и её свойства доминируют над свойствами нагрузки. С источник, подключенным к одному концу кабеля и передаёт ток на нагрузку, но ток в первую очередь идёт не в нагрузку, а в линию. Это становиться всё более верным, чем длиннее у нас линия. Рассмотрим наш гипотетический 50Ом бесконечный кабель. Независимо от того, какую нагрузку мы подключаем на другой конец, источник будет видеть лишь 50Ом. В этом случае сопротивление линии является определяющим, а сопротивление нагрузки не будет иметь значения.

Наиболее эффективный способ свести к минимуму влияние длины линии передачи – нагрузить линию сопротивлением. Если сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению, то любой источник будет видеть то же самое сопротивление, независимо от длины линии. Таким образом, длина линии будет влиять только на задержку сигнала. Тем не менее, полное совпадение сопротивления нагрузки и волнового сопротивления не всегда возможно.

В следующем разделе рассматриваются линии передачи, особенно когда длина линии равна дробной части волны.

Надеюсь, вы прояснили для себя основные физические принципы работы кабелей
К сожалению, следующая глава очень большая. Книга читается на одном дыхании, и в какой-то момент надо остановиться. Для первого поста, думаю, этого хватит. Спасибо за внимание.

Продолжение здесь

5.5.1.2. Зависимость добротности контура q от сопротивления источника сигнала (Ri) и сопротивления нагрузки (Rн)

Схема замещения последовательного колебательного контура с учетом добавочных элементовR_i, R_H имеет вид (рис.5.24).

На рис. 5.25 показано эквивалентное преобразование паралельной RC цепи в последовательную, где. Добротность контура с учетом добавочных элементовR_i, R_H называется эквивалентной и определяется из следующего выражения

.

Она меньше собственной добротности контура Q. Для того, чтобы необходимо:

1) . Это означает, что последовательный колебательный контур необходимо питать от источника ЭДС, т.е. источника с нулевым сопротивлением.

2) . В этом случае нагрузка не будет влиять на добротность контура.

5.5.1.3. Последовательный колебательный контур как четырехполюсник

На практике используются две схемы включения рис.5.26. Для четырехполюсника основной частотной характеристикой является передаточная по напряжению.

1)

2)

Построим графики амплитудно-частотные характеристик этих зависимостей рис.5.27. Подробный анализ показывает, что при высоких добротностях резонансные частоты обеих схем совпадают и равны ω₀.

5.5.2. Параллельный колебательный контур

Он состоит из параллельно соединенных двух реактивных элементов L и C. Его принципиальная схема имеет вид, приведенный на рис.5.28а.

Схема замещения контура с учетом резистивных потерь реактивных элементов приведена на рис.5.28б.

Определим комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура

Обозначим — общие резистивные потери параллельного контура. При условии, что вблизи от резонанса, . Получим окончательное выражение для сопротивления параллельного колебательного контура.

.

Характер сопротивления параллельного колебательного контура зависит от частоты.

1) На НЧ — характер индуктивный. Схема замещения состоит из элементовR, L и приведена на рис. 5.29а. Сопротивление контура Z_kk(ω = 0) =R_L.

2) На ВЧ — сопротивление носит емкостной характер, рис. 5.29б. Сопротивление контураZ_kk(ω ) =R_C.

3) На , когдасопротивление контура имеет резистивный характерZ_kk(ω₀) =ρQ, рис. 5.29в, где ω₀=(LC)^1/2 – резонансная частота.

Отметим свойства параллельного контура на резонансной частоте.

1. Сопротивление контура имеет резистивный характер и его модуль имеет максимальное значение по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2. Ток и напряжение совпадают по фазе.

3. сопротивление реактивных элементов одинаково и равно .

4. Амплитуда тока через реактивные элементы в Q раз превышает ток во внешней цепи: , поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. Это вытекает из следующего

; .

5. Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180⁰.

Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного контура, которые определяются выражениями

АЧХ: ; ФЧХ:.

Построенные графики приведены на рис.5.30.

5.5.2.1. Резонансная характеристика параллельного колебательного контура

Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на резонансной частоте.

Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного контуров одинаковы, это их и объединяет. По характеру зависимости сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами (см. рис.5.30).