Правила Кірхгофа — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Пра́вила Кірхгофа визначають метод розрахунку складних розгалужених електричних кіл. Методика розрахунку була вперше описана в 1845 році німецьким фізиком Густавом Кірхгофом.

Правила Кірхгофа є основоположними в електротехніці, а тому в рамках цієї дисципліни їх називають законами Кірхгофа.

Перше правило Кірхгофа[ред. | ред. код]

Перше правило Кірхгофа. В кожному вузлі електричного кола алгебраїчна сума значень сил струмів, що сходяться у даному вузлі, рівна нулю, або, алгебраїчна сума сил струмів, вхідних у вузол електричного кола, рівна алгебраїчній сумі вихідних з вузла значень сил струмів.

Перше правило встановлює зв’язок між сумою струмів, спрямованих до вузла електричного з’єднання (додатні струми), і сумою струмів, спрямованих від вузла (від’ємні струми). Згідно з цим законом алгебраїчна сума струмів, що збігаються в будь-якій точці розгалуження провідників, дорівнює нулю:

∑kIk=0. {\displaystyle \sum _{k}I_{k}=0.\ }

Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження заряду. Для неперервно розподілених струмів у просторі воно відповідає рівнянню неперервності.

Друге правило Кірхгофа[ред. | ред. код]

Для будь-якого замкнутого контура проводів сума електрорушійних сил дорівнює сумі добутків сил струму на кожній ділянці контура на опір ділянки, враховуючи внутрішній опір джерел струму.

Математично друге правило Кірхгофа записується так:

∑iEi=∑kIkRk.{\displaystyle \sum _{i}{\mathcal {E}}_{i}=\sum _{k}I_{k}R_{k}.}

Послідовне застосування правил Кірхгофа до усіх вузлів й контурів у складній електротехнічній мережі дозволяє скласти повну систему лінійних рівнянь для визначення сил струму на кожній із ділянок.

Для розрахунку перш за все малюють електротехнічну схему й довільним чином позначають стрілками напрями струмів на кожній ділянці. Потім виділяються замкнуті контури й обходяться в одному довільно вибраному напрямку. Якщо стрілка, яка вказує напрям струму направлена проти обходу, то відповідний добуток струму на опір береться зі знаком мінус.

Якщо при обході переходять від від’ємного полюса джерела струму до додатного, то е.р.с. записується з додатним знаком, якщо навпаки, то з від’ємним.

В результаті отримують систему рівнянь, розв’язуючи яку визначають сили струму. Якщо сила струму вийшла від’ємною, то це значить, що напрям струму на даній ділянці вгадали неправильно , хоча це не впливає на правильність результату.

Припустимо, що електрична схема складається з двох джерел напруги і трьох резисторів.

Відповідно до першого правила маємо

i1−i2−i3=0{\displaystyle i_{1}-i_{2}-i_{3}=0\,}

Другий закон, застосований до замкненого кола s₁ дозволяє отримати

−R2i2+E1−R1i1=0{\displaystyle -R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}=0}

Другий закон, застосований до замкненого кола s₂ дозволяє отримати

−R3i3−E2−E1+R2i2=0{\displaystyle -R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}=0}

Таким чином, ми отримуємо лінійну систему рівнянь для i1,i2,i3{\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}}:

{i1−i2−i3=0−R2i2+E1−R1i1=0−R3i3−E2−E1+R2i2=0{\displaystyle {\begin{cases}i_{1}-i_{2}-i_{3}&=0\\-R_{2}i_{2}+{\mathcal {E}}_{1}-R_{1}i_{1}&=0\\-R_{3}i_{3}-{\mathcal {E}}_{2}-{\mathcal {E}}_{1}+R_{2}i_{2}&=0\end{cases}}}

Що еквівалентно наступному:

{i1+(−i2)+(−i3)=0R1i1+R2i2+0i3=E10i1+R2i2−R3i3=E1+E2{\displaystyle {\begin{cases}i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})&=0\\R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}+0i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}\\0i_{1}+R_{2}i_{2}-R_{3}i_{3}&={\mathcal {E}}_{1}+{\mathcal {E}}_{2}\end{cases}}}

• Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм : учебное пособие. — М. : Высшая школа, 1983. — 463 с.
• Калашников С. Г. Электричество : учебное пособие. — М. : Физматлит, 2003. — 625 с.
• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — 11-е издание. — М. : Гардарики, 2007.
• Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи. — М. : Энергоатомиздат, 1996. — 288 с. — ISBN 5-283-05005-X.

17.3 Закон Ома та закони Кірхгофа у комплексній формі

Вводячи комплекси повного опору, діючих значень струму і напруг отримуємо закон Ома у комплексній формі: комплексний струм на ділянці кола прямо пропорційний комплексній напрузі на її затискачах і обернено пропорційний комплексу повного опору ділянки:

, де

Комплекс еквівалентного опора послідовного сполучення дорівнює сумі окремих комплексів опорів:

Комплекс еквівалентного опора паралельного сполучення дорівнює :

Комплекс еквівалентної провідності паралельного сполучення дорівнює сумі окремих комплексів провідностей:

І закон Кірхгофа у комплексній формі: алгебраїчна сума комплексних струмів у вузлі дорівнює нулю:

При цьому комплекси струмів, які входять до вузла, вважають позитивними, а комплекси струмів, які виходять з вузла, вважають негативними.

ІІ закон Кірхгофа у комплексній формі: алгебраїчна сума комплексів падінь напруги на ділянках контуру дорівнює алгебраїчній сумі комплексів ЕРС, діючих у контурі:

Для написання рівняння за другим законом Кірхгофа потрібно обрати напрямок обходу контуру та напрямки струмів і ЕРС довільно. Якщо обхід контуру збігається з напрямком ЕРС чи струмом, то їх комплекси враховують зі знаком «+» і навпаки.

Символічний метод дозволяє використовувати для розрахунку кіл змінного струму усі методи розрахунку кіл постійного струму: метод згортання, перетворення зірки в трикутник і навпаки, законів Кірхгофа, вузлових потенціалів, контурних струмів, еквівалентного генератора і накладання, але для розрахунків у цьому випадку використовують комплекси змінних величин.

17.4 Розрахунок електричних кіл комплексним(символічним ) методом

17.4.1 Кругові та топографічні діаграми

При зміні параметра кола (активного опору, ємності чи індуктивності) для струмів і напруг на окремих ділянках кола будуть різні значення. Проаналізувати зміну режимів кола можна побудовою серії векторних діаграм. Кругові діаграми — це серії векторних діаграм при зміні параметрів кола. Їх використовують для визначення струму чи напруги при певному значенні параметру, який змінюється (активного опору, ємності чи індуктивності). Наприклад, визначати значення струму при активному опорі, який дорівнює

, для вказаного на ( рис.17.3) кола. Активний опір можна змінювати. До цього кола подається синусоїдна напруга:

Рисунок 17.3 — Нерозгалужене коло зі змінним активним опором і його кругові діаграми

Рисунок 17.4- Топографічна діаграма кола вказаного на рис.17.3

Побудуємо кругові діаграми (рис.17.3).

Відкладаємо вектор комплексу напруги:

При R=0 спостерігається коротке замкнення. При цьому режимі струм у колі найбільш можливий: , і відстає від напруги на кут 90º. Показуємо це на діаграмі і проводимо окружність з діаметром. Уздовж векторавідкладаємо відрізокОК, який у масштабі дорівнює

. З точкиК проведемо перпендикуляр цьому вектору — відрізок КП, який у масштабі дорівнює , при якому струм у колі зменшується:. Якщо з’єднати прямою лінією точкиО і П отримаємо точки 1 і 2 на кругових діаграмах, які і визначать режим роботи при заданому активному опорі : діюче значення струму — відрізокО1, який нахилений під кутом φ до вектора напруги, активна складова прикладеної до кола напруги — відрізок О2, реактивна складова прикладеної до кола напруги — відрізок ОА.

Напруга між двома точками електричного кола уявляє собою різницю потенціалів цих точок. Тобто, потенціал окремої точки можна представити відповідним комплексом потенціалу і зобразити вектором, який починається у початку координат. Його кінець позначають той же цифрою або буквою, що і точку кола, потенціал якої зображає вектор.

Топографічною діаграмою називається векторна діаграма комплексів кола при умові, що кожній точці кола відповідає певна точка на діаграмі і вектор, проведений з початку координат в будь-яку точку діаграми, зображає комплекс потенціалу цієї точки. В цьому випадку відрізок, який з’єднує дві будь-які точки діаграми, визначає комплекс напруги між цими точками.

При побудові топографічної діаграми потенціал будь-якої точки приймають рівним нулю і на діаграмі точку нульового потенціалу суміщають з початком координат.

Приклад, побудувати топографічну діаграму для вказаного на ( рис.17.3) кола.

Розв’язання

1. Визначимо точки в колі, де можлива зміна потенціалу. Позначимо їх 1, 2, 3. Потенціал точки 1 приймемо рівним нулю: . Початкову фазу загального струму приймемо рівною нулю, тобто:тому вектор струму направлений уздовж позитивної дійсної вісі. Визначимо напрямки струмів та потенціалів у колі.

2. Складаємо рівняння потенціалів для кожної точки:. Струм в опорах добутково направлений від точки з більш високим потенціалом до точки з меншим потенціалом. Обхід контуру приймемо назустріч струму.

2: , тоді

Вектор випереджає струм за фазою на кут 90º — отримаємо точку 2.

3: , тоді

Вектор збігається за напрямком з вектором струму — точка 3.

Вектор, який з’єднує точки 1 і 3, направлений від точки 3 до точки 1 зображує напругу на затискачах кола: . При цьому вектори напруг на діаграмі мають до точок кола напрямки зворотні позитивним напрямкам напруг відносно цих точок, що відповідає правилу віднімання векторів, згідно якому вектор різниці завжди направлений в один бік з вектором, від якого вираховують. Так вектор індуктивної напруги на топографічній діаграмі направлений від точки 1 до точки 2, у схемі направлений навпаки — від точки 2 до точки 1 (за напрямком струму).

Топографічна діаграма вказана на ( рис.17.4)

11. Закони Кірхгофа у комплексній формі.

І Закон Кірхгофа для струмів.

Синусоїдні струми вузла (Рис.25) замінюються комплексами:

Згідно з першим законом Кірхгофа: , або в зага-льній формі:

Алгебраїчна сума комплексів струмів у вузлі дорівнює нулю.

ІІ Закон Кірхгофа для напруг.

Синусоїдні напруги контура (Рис. 26) замінюються комплексами:

У комплексній формі:

Після групування:

можна записати , або в загальному вигляді другий закон Кірхгофа формулюється:

Алгебраїчна сума комплексів напруг пасивних елементів контура дорівнює алгебраїчній сумі комплексних ЕРС контура.

Якщо ЕРС перенести в ліву частину рівняння і записати комплексну нап-ругу кожної вітки з урахуванням ЕРС,то другий закон Кірхгофа формулюється аналогічно першому:

Алгебраїчна сума комплексів напруг всіх віток контура дорівнює нулю.

12. Розрахунок складних кіл синусоїдного струму символічним методом.

Всі розрахункові методи для кіл постійного струму виведені на основі за-конів Кірхгофа, також справедливі і для кіл синусоїдного струму, в яких немає магнітного зв’язку між вітками. Кола з магнітним зв’язком між вітками будуть розглянуті нижче.

Відповідність між величинами, які описують стан кіл постійного та синусо-їдного струмів:

13. Потужність у комплексній формі.

Зв’язок між потужностями наочно показаний на Рис. 27.

14. Баланс потужностей.

Комплексна потужність джерела енергії (генератора)дорівнюєкомплексній потужності споживачаP_сп + jQ_сп,

де:— активна потужність споживача, дорівнюєарифметичній сумі добутків квадратів діючих значень струмів на активні опори віток.

— реактивна потужність спожива-ча, дорівнює алгебраїчній сумі добутків квадратів діючих значень струмів на реактивні опори віток. Для ємнісних опорів реактивна потужність від’ємна(Q<0).

15. Топографічна діаграма електричного кола.

Потенціали точок електричного кола – комплексні числа, тобто комплексні потенціали. Різниця комплексних потенціалів – комплекснанапруга.

Топографічна діаграма -це діаграма розподілу комплексних потенціалів вузлів (точок) електричного кола. Вона будується так, щоб кожній точці кола відповідала однойменна точка на комплексній площині, яка є комплексним потенціалом цієї точки кола. На цій діаграмі показують напруги на всіх еле-ментах кола, як різницю відповідних потенціалів.

На Рис. 28показана одноконтурна схема електричного кола з заданими параметрами. Якісно побудуєм топографічну діаграму кола.

За законом Ома визначається струм у колі: . Приймемо

Потенціали інших точок:

Напруга на вході На Рис. 29 побудована топографічна діаграма кола. Нагадаємо, що множення на  jозначає поворот вектора на 90. Різниця комплексних потенціалів дорівнює комплексній напрузі між відповідними точками, наприклад,

, і так далі. Згідно з другим законом Кірхгофа для цього кола сума комплексних напруг дорівнює ЕРC . Тобто топо-графічна діаграма є геометричною інтерпретацією другого закону Кірхгофа

Приклад 1.

В електричному колі Рис. П1 синусоїдна напруга на вході:

(В).

Параметри активних і реак-тивних опорів задані в Омах, частота f=50(Гц).

Визначити діючі та миттєві значення струмів, зробити перевірку розрахун-ків за балансом потужностей. Визначити покази вольтметра. Побудувати су-місну векторну діаграму струмів і топографічну діаграму напруг.

Для застосування символічного методу розрахунку переходим до комплек-сів напруги (В), та комплексних опорів – імпендансів:

Комплексна еквівалентна схема кола показана на Рис. П 1.1

Згорнемо коло до одного еквівалентного опору. Паралельне з’єднання опо-рів послідовно з’єднане з опором .

Струми у вітках:

Струм також можна визначити за першим законом Кірхгофа

Перевірка правильності розрахунків проводиться за балансом потужностей.

Потужність генератора розкладається на активну і реактивну складові

Активна потужність споживача:

Рективна потужність споживача:

Активні і реактивні потужності генератора і споживача практично однакові, баланс зійшовся – розрахунок вірний.

Перехід від комплексів до миттєвих значеннь струмів (:

Покази вольтметра визначимо за двома шляхами:

Вольтметр електромагнітної системи покаже діюче значення напруги, тобто модуль комплекса U_гд: V = U_гд = 15.83 (В).

Для побудови топографічної діаграми кола визначаються комплексні потен-ціали точок кола відносно точки е, потенціал якої приймемо за нуль:

Комплексна напруга на будь-якому елементі кола дорівнює різниці комп-лексних потенціалів відповідних точок, між якими знаходиться даний елемент.

Спочатку будується променева діаграма струмів(вектори струмів в масштабі із своїми кутами відкладаються з початку

координат.Із діаграми видно, що

(І закон Кірхгофа).

З точки е, потенціал якої прийнятий за нульовий відкладаються в масштабі за розрахованими координатами комплексні потенціали відповідних точок. Очевидно вектори, що між цими точками (різниця потеціалів) – напруги на елементах кола між точками. Наприклад, наочно видно, що — напруга на ємнісному опорі від-стає від струмуна 90, – напруга на активному опорі співпадає за фазою зі струмом .Також наочно видно, що су-ма комплексів напруг між точками е, г, в, б, а дорівнює замикаючому вектору , який дорівнює згідно другому закону

Сумісна векторна діаграма струмів і топографічна діаграма напруг кола показана на Рис. П1.2. Діаграма побудована починаючи з точки е, потенціал якої прийнятий за нуль;

Кірхгофа вхідній напрузі .

Покази вольтметра відповідають модулю вектора напруги U_гд.

Аналогічно розраховується схема з п’ятьма вітками. З метою надбання на-вичок дій з комплексними числами у наступному прикладі пропонується само-стійно зробити проміжні обчислення і порівняти їх з приведеними кінцевими результатами.

Приклад 2.

В електричному колі Рис. П2 комплексна ЕРС на вході: (В).

Параметри активних і реактивних опорів задані в Омах, частота f=50(Гц).

Визначити діючі та миттєві значення струмів, зробити перевірку розрахунків за балансом потужностей. Визначити покази вольтметра. Побудувати сумісну векторну діаграму струмів і топографічну діаграму напруг.

Згортаєм схему до еквівалентного опору.

Паралельне зєднання опорів між точками б, ж:

Еквівалентний вхідний опір:

Струми у вітках кола:

або

або

Перевірка правильності розрахунків за балансом потужностей.

Потужність генератора: .

Сумарна активнаі реактивнапотужності споживачів:

Для перевірки правильності розрахунків покази вольтметра (напруга визначаються двома шляхами:

Очевидно покази вольтметра (діюче значення напруги) U_зд = 151.49 (В).

Для побудови топографічної діаграми визначаються комплексні потенціали точок кола. За нульовий приймаємо потенціал точки к;

Комплексні напруги на елементах кола дорівнюють різниці комплексних потенціалів відповідних точок, між якими знаходиться даний елемент.

За розрахунковими даними побудована сумісна векторна діаграма струмів і топографічна діаграма напруг (Рис. П2.1). Діаграма побудована починаючи з точки к, потенціал якої прийнятий за нуль

1.7 Закони кірхгофа

Для розрахунку електричних ланцюгів|цепів| разом і|поряд з|з законом Ома застосовуються два закони Кірхгофа, що є |з’являються| слідством закону збереження|зберігання| енергії.

Методи розрахунку із застосуванням законів Кірхгофа дозволяють розрахувати електричний ланцюг|цеп| будь-якої конфігурації і складності, тобто є|з’являються| основними.

Перший закон Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа застосовується до вузлів електричних ланцюгів і виражає баланс струмів в них: у вузлі електричного ланцюга алгебраічна сума струмів дорівнює нулю:

. (1.17)

У цій сумі струми|токи| беруться з|із| різними знаками залежно від напряму|направлення| їх по відношенню до вузла. На підставі першого закону Кірхгофа для кожного вузла можна скласти рівняння струмів|токів|.

Наприклад, для точки|точки| 3 схеми, представленої|уявляти| на рис.3.2, таке рівняння має вигляд|вид|

У цьому рівнянні струми|токи|, направлені|спрямовані| до вузла, умовно узяті позитивними, а струми|токи|, направлені|спрямовані| від вузла, — негативними|заперечними|:

Останнє рівняння дозволяє дати інше формулювання першого| закону Кірхгофа : сума струмів|токів|, направлених|спрямованих| до вузла електричного ланцюга|цепу|, дорівнює сумі струмів|токів|, направлених|спрямованих| від цього вузла.

Цей закон виходить з принципу безперервності струму|току|. Якщо допустити|припуститися| переважання у вузлі струмів|токів| одного напряму|направлення|, то заряд одного знаку повинен накопичуватися і потенціал вузлової точки повинен безперервно змінюватися, що в реальних ланцюгах|цепах| не спостерігається.

Другий закон Кірхгофа

Другий закон Кірхгофа застосовується до контурів електричних ланцюгов і виражає баланс напруги в них: у контурі електричного ланцюга|цепу| алгебраічна| сума електрорушійних сил дорівнює алгебраічній| сумі падінь напруги|напруження| на опори, що входять в цей контур:

. (1.18)

Для доведення іншого закону Кірхгофа визначимо потенціали окремих точок контура 1-2-3-4-5-6-1 в схемі, зображеній|змальовувати| на рис.1.17, обходячи|обминати| контур в довільному напрямі|направленні|, наприклад, за годинниковою стрілкою. Напрями|направлення| струмів|токів| в єлементах контура узяті також довільно.

Обхід контура почнемо від точки І, потенціал якої . Потенціал точки і далі

Зміна потенціалу по вибраному контуру має дорівнювати нулю|нуль-індикатору|, оскільки|тому що| воно виражає|виказує| роботу, витрачену на переміщення частинок|часток|, що володіють разом одиницею заряду, по замкнутому шляху|колії| в електричних полях джерел і приймачів енергії.

Таким чином, в замкнутому контурі

Перенісши в ліву частину|частку| рівняння значення і помінявши знаки, отримаємо|одержуватимемо| рівняння, відповідне другому закону Кірхгофа в застосуванні|вживанні| до вибраного контура:

Для інших контурів виходять інші рівняння. Їх неважко написати, не удаючись до визначення потенціалів точок контура. Для цього можна користуватися наступним|таким| правилом.

У ліву частину|частку| рівняння слід записати алгебраічну| суму, що зустрічаються при обході контура, а в праву частину|частку| — алгебраічну| суму падінь напруги|напруження| в опорах контура.

При цьому за позитивну вважається така електрорушійна сила, напрям якої збігається з напрямом обходу; за позитивне вважається падіння напруги в такому опорі, в якому напрям струму збігається з напрямом обходу. Згідно|згідно з| цьому правилу, нижче записані рівняння два інших контурів схеми, представленої|уявляти| на рис.1.17:

контур 1-2-3-6-1

контур 3-4-6-3

Закони Кірхгофа

Академія ФСО Росії

Кафедра Фізики

Тема:

«Закони Кірхгофа та їх застосування для розрахунку електричних ланцюгів»

Зміст

Перший закон Кірхгофа
Другий закон Кірхгофа
Розрахунок складних кіл за допомогою рівнянь Кірхгофа

Перший закон Кірхгофа
Алгебраїчна сума струмів у гілках, що сходяться до будь-якого вузла електричного кола, тотожно дорівнює нулю. Згідно з цим законом, якщо до деякого вузла ланцюга приєднано n гілок зі струмами i _1, i _2, …, i _n, то в будь-який момент часу
,
де , Якщо напрямок струму позитивно і орієнтоване від вузла (струм виходить з вузла), або , Якщо струм входить у вузол. Таким чином, будь-якому вузлу ланцюга відповідає рівняння, що зв’язує струми в гілках ланцюга, з’єднаних з даним вузлом.
В якості прикладу наведемо схему на малюнку 1.

Рис.1.
Відповідно до першого закону Кірхгофа:
.
Загальне число рівнянь, яке можна скласти за першим законом Кірхгофа для ланцюга, дорівнює числу вузлів ланцюга .
Так, для чотирьох вузлів графа (малюнок 2) можна скласти наступні чотири рівняння:

Рис.2.
вузол 1: ,
вузол 2: ,
вузол 3: ,
вузол 4: .
Перший закон Кірхгофа часто називають законом Кірхгофа для струмів і скорочено у тексті позначають ЗКТ.
Число незалежних рівнянь дорівнює трьом, так як будь-яке з цих рівнянь відрізняється від суми трьох інших тільки знаком. Отже, якщо ланцюг містить вузлів, то для неї можна скласти за першим законом Кірхгофа незалежних рівнянь. Сукупність з N вузлів ланцюга, рівняння для яких утворюють систему лінійно незалежних рівнянь, називають сукупністю незалежних вузлів ланцюга.

Приклади на застосування першого закону Кірхгофа. Паралельне з’єднання елементів

Як приклад на застосування першого закону Кірхгофа розглянемо паралельне з’єднання декількох елементів активних опорів, конденсаторів, котушок індуктивності.
Особливістю паралельного з’єднання декількох елементів є рівність напруг, прикладених до затискачів кожного з елементів, що входять у з’єднання. Ланцюг при такому з’єднанні характеризується тільки одним незалежним вузлом.
Нехай паралельно з’єднані n елементів активного опору. Якщо вибрати напрями звітів струмів в елементах такими як це показано на малюнку 3, то згідно з першим законом Кірхгофа при паралельному з’єднанні елементів запишемо:

Рис.3.
;
враховуючи, що , Маємо ,
де .
Залежність не відрізняється від залежності між напругою на затискачах і струмом в елементі активного опору з провідністю G. Отже, ланцюг, складена з кількох опорі, включених паралельно, може бути замінена одним активним опором, при цьому провідність еквівалентного елемента дорівнює сумі провідностей елементів, що входять у з’єднання.
При паралельному з’єднанні конденсаторів (малюнок 4) струм гілці можна визначити за формулою: .

Рис.4.
Для обчислення загального струму необхідно підсумувати струми гілок:
,
де _..
Таким чином, при паралельному з’єднанні декількох конденсаторів еквівалентна ємність дорівнює сумі ємностей, що входять у з’єднання.
У разі паралельного з’єднання котушок індуктивностей (рисунок 5)
струм кожної з гілок дорівнює: .
Рис.5.
Рівняння для обчислення загального струму має вигляд:
.
Отже , Тобто .
Це означає, що значення еквівалентної індуктивності будить менше найменшого із значень з’єднаних паралельно індуктивностей.
Другий закон Кірхгофа
Другий закон Кірхгофа формулюється наступним чином: алгебраїчна сума напруг гілок в будь-якому контурі ланцюга тотожно дорівнює нулю. Для замкнутого контуру, зображеного на малюнку 6, можна записати співвідношення:
.

Рис.6.
Згідно з другим законом Кірхгофа при обході контура за годинниковою стрілкою справедливе співвідношення:
.
Зміна напрямку обходу еквівалентно зміни знаків напружень на протилежні (множенню на мінус одиницю).

Приклади на застосування другого закону Кірхгофа

Послідовне з’єднання елементів

Нехай n елементів активного опору з’єднані послідовно (рисунок 7).
Рис.7.
Відповідно до вибраного напрямом обходу за другим законом Кірхгофа отримаємо рівняння:
.
характерною особливістю послідовного з’єднання є рівність струмів в кожному з елементів, що входять у з’єднання.
При запишемо:
, Тобто .
Таким чином, при послідовному з’єднанні декількох резисторів еквівалентний опір дорівнює сумі опорів, що входять у з’єднання.
При послідовному з’єднанні котушок індуктивності (рисунок 8) можна записати:
.

Рис.8.
Якщо , То ,
отже .
Це означає, що еквівалентна індуктивність дорівнює сумі індуктивностей, що входять у послідовне з’єднання.
У разі послідовного з’єднання конденсаторів (малюнок 9) за другим законом Кірхгофа можна записати:

.
Рис.9.
Замінюючи отримаємо: .
Зворотній ємність всіх конденсаторів, з’єднаних послідовно, дорівнює сумі зворотних ємностей конденсаторів, які входять у з’єднання:
.
При цьому еквівалентна ємність з’єднання буде менше найменшою ємності конденсатора, який входить у послідовне з’єднання.

Розрахунок складних кіл за допомогою рівнянь Кірхгофа

Приклад 1
Далеко не у всіх випадках ланцюг представляє собою сукупність лише послідовно і паралельно з’єднаних гілок. В якості прикладу розглянемо варіант розрахунку за допомогою рівнянь Кірхгофа електричного кола (рисунок 10). Ланцюг містить = 4 вузлів і = 6 гілок, включаючи джерела напруги.

Рис.10.
Для визначення всіх струмів і напруг у схемі достатньо знайти значення струмів у всіх гілках ланцюга. Знаючи струм, що проходить через будь-яку з гілок ланцюга, можна знайти як напруга цієї гілки, так і напругу між будь-якою парою вузлів ланцюга.
Якщо ми поставимо собі довільно позитивними напрямками струмів в гілках ланцюги і пронумеруємо довільно ці струми, то за першим законом Кірхгофа можна скласти рівнянь відносно струмів в гілках ланцюга.
За другим законом Кірхгофа буде лінійно-незалежних рівнянь для напружень гілок схеми.
Сукупність з рівнянь за першим законом Кірхгофа, і рівнянь, складених за другим законом Кірхгофа, утворює систему лінійно — незалежних рівнянь. Ця система буде неоднорідною системою рівнянь, так як її вільними членами є задані напруги джерел.

Подібна система рівнянь має єдине рішення, що дозволяє знайти струми в гілках ланцюги, а за ним і значення напруг між будь-якою парою вузлів ланцюга.
Для прикладу складемо систему рівнянь за першим законом Кірхгофа (рисунок 10).
Число рівнянь: .
Вузол 1: ,
вузол 2: ,
вузол 3:   .
У теж час за другим законом Кірхгофа для контурів I, II, III можна скласти систему з рівнянь.
.
Контур I:   ,
контур II:   ,
контур III: .
Таким чином, вирішуючи систему з 6 рівнянь з шістьма невідомими струмами, наприклад за методом Крамера, визначимо невідомі. Якщо в ланцюзі буде джерело струму, то в системі рівнянь невідомим буде напруга на затискачах цього джерела, а струм через джерело буде дорівнює струму задає джерела. Загальне число невідомих збережеться колишнім.

Приклад 2

Для ланцюга (рисунок 11) визначити струми і , Якщо E = 20 В, I ₀= 2 A , R ₁= 15 Ом, R ₂ = 85 Ом.

Рис.11.

Рішення

Виберемо напрямки струмів ,   і обходу в контурі, складемо рівняння за законами Кірхгофа. Число рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа:
.
Число рівнянь за другим законом Кірхгофа:
.
Рівняння струмів для вузла 1:
. (A)
Рівняння за другим законом Кірхгофа:
. (Б)
Підставимо в рівняння (а) і (б) числові значення отримаємо:
,
.
Вирішивши цю систему, визначимо струми і :
; .

Література
1. Білецький А.Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. — М.: Радіо і зв’язок, 1986.
2. Бакалов В.П. та ін Теорія електричних ланцюгів. — М.: Радіо і зв’язок, 1998.
3. Качанов Н. С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974.
4. В.П. Попов Основи теорії ланцюгів — М.: Вища школа, 2000

Закони Кірхгофа та їх застосування

Перший закон Кірхгофа

Закони Кірхгофа (коректніше – правила Кіргхгофа) застосовуються при розрахунку складних (розгалужених) електричних ланцюгів. Пропоную розглянути їх по черзі і почати, природно, з першого.

Визначення і формула першого закону Кірхгофа, який говорить: алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі дорівнює нулю, ілюструються малюнком 1.
тут:

I i – струм у вузлі,
n – число провідників, що сходяться у вузлі,
струми, що впадає до вузол (I1, In) вважаються позитивними,
випливають струми (I2, I3) – негативними.
У такому вигляді цей закон звучить і виглядає, напевно, дуже академічно, тому пропоную все дещо спростити.

Намалюємо розгалужену електричну ланцюг в більш звичному вигляді (рис.2) і дамо таке формулювання:

Сума струмів втікають у вузол дорівнює сумі струмів, що випливають з вузла.

Для цього випадку формула першого закону Кірхгофа набуде вигляду: I = I1 + I2 + … + In, що для повсякденних обчислень набагато зручніше.

Другий закон Кірхгофа

Другий закон Кірхгофа Другий закон Кірхгофа визначає залежність між падіннями напруг і ЕРС в замкнутих контурах і має такий вигляд (рис.3) і визначення:

алгебраїчна сума (з урахуванням знака) падінь напруг на всіх гілках будь-якого замкнутого контуру ланцюга, дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС гілок цього контуру.
При відсутності в контурі ЕРС сума падінь напруг дорівнює 0.

Тепер кілька пояснень щодо практичного застосування цього правила Кірхгофа:

оскільки, алгебраїчна сума вимагає врахування знака слід вибрати напрямок обходу контура (на рис.3 – за годинниковою стреклке), струми і напруги, що збігаються з цим напрямком вважати позитивними, інші – негативними. При скруті у визначенні напрямку струму, візьміть довільне, якщо в результаті обчислень отримаєте результат зі знаком “-“, поміняйте обраний напрям на противоположенное.
для нашого прикладу можна записати:
U1 + U3-U2 = 0
U4 + U5-U3 = 0
крім того, керуючись першим правилом Кірхгофа:
Iвх – I1 – I2 = 0
I1 – I3 – I4 = 0
I4 – I5 = 0
I2 + I3 + I5 – Iвих = 0,

отримуємо систему з 6 рівнянь, повністю описує розглянуту електричний ланцюг.

« Закон ома для ділянки ланцюга Змінний і трифазний струм »

Закони Кірхгофа | Електричні кола | Електротехніка, теорія

Перший і другий закони Кирхгофа в комплексній формі. Математичне формулювання законів Кирхгофа для ланцюгів синусоїдального струму залежать від обраного способу подання синусоїдальних величин. Перший закон Кирхгофа. По першому законі Кирхгофа алгебраїчна сума струмів у будь-якому вузлі електричного кола в кожний момент часу дорівнює нулю. 

Комплексний метод розрахунку ланцюгів синусоїдального струму. Визначити показання амперметра Аъ, якщо показання амперметрів Ах і А2 рівні . Рішення. Напруга по фазі збігається зі струмом у резистивном елементі IR і випереджає на кут л 2 струм в індуктивному елементі. Сума векторів комплексних значень струмів iR і iL по першому законі Кирхгофа для вузла а визначає вектор комплексного значення струму. Модуль вектора струму по теоремі Пифагора визначає показання амперметра. 

Комплексний метод розрахунку ланцюга синусоїдального струму полягає в наступному. Представляємо вихідні дані про параметри всіх елементів ланцюга в комплексній формі, тобто синусоїдальні ЭДС джерел напруги й струми джерел струму, заданих миттєвими значеннями (у тригонометричній формі), індуктивні і ємнісні елементи ланцюга відповідними їм комплексними значеннями й комплексними опорами або проводимостями.

Вибираємо позитивні напрямки комплексних струмів у всіх галузях і вказуємо їхніми стрілками на схемі ланцюга. За законами Ома й Кирхгофа в комплексній формі становимо систему рівнянь, що визначає режим роботи ланцюга. Вирішуємо отриману систему рівнянь і визначаємо комплексні значення струмів у галузях ланцюга й напруг на її елементах. 

По знайдених комплексних значеннях струмів і напруг визначаємо відповідні їм миттєві значення синусоїдальних струмів і напруг. Для спрощення обчислень при розрахунку лінійних ланцюгів синусоїдального струму, так само як і лінійних ланцюгів постійного струму, застосовні різні розрахункові методи: перетворення схем, вузлових потенціалів, контурних струмів, накладення. При цьому математичні формулювання методів розрахунку ланцюгів постійного струму залишаються справедливими й для розрахунку ланцюгів синусоїдального струму.

Потрібно тільки всі ЭДС, напруги й струми замінити комплексними значеннями відповідних синусоїдальних величин, а опору елементів — комплексними опорами. Надалі для понять комплексні значення ЭДС, напруги, струму й т.д., а також відповідних їм векторів комплексних значень будемо використовувати скорочені терміни, наприклад комплексний струм або струм

Електричне коло з послідовною сполукою елементів. Розглянемо загальний, а потім окремі випадки ланцюга з послідовною сполукою елементів, тобто нерозгалуженого ланцюга. 

Ланцюг з послідовною сполукою елементів R, L і С. У ланцюзі з послідовною сполукою елементів при дії джерела синусоїдальної струм також синусоїдальний напруги на резистивном, індуктивному і ємнісному елементах. Позначення комплексних опорів і провідності відрізняються від позначень комплексних значень струму й напруги тому, що другим відповідають фізичні величини, що змінюються в часі, а першим — немає. 

Кожному значенню комплексного опору Z як комплексному числу відповідає крапка на комплексній площині. Її положення визначається вектором на комплексній площині. Цей вектор є геометричною інтерпретацією комплексного опору й має таке ж позначення Z. Доданки комплексного опору у вигляді векторів для двох випадків. 

Геометрична інтерпретація комплексного опору дозволяє легко перейти від алгебраїчної форми запису комплексного опору до тригонометричної й показової форм модуль комплексного опору, або повний опір, одиниця виміру якого аргумент комплексного опору. Залежно від знака величини аргумент комплексного опору може бути або. Підставивши значення комплексного опору в показовій формі, одержимо вираження закону Ома для не-розгалуженого ланцюга. 

Якщо комплексний опір ланцюга має індуктивний характер, то струм у ланцюзі відстає по фазі від напруги. Якщо комплексний опір ланцюга має ємнісний характер, то струм у ланцюзі випереджає по фазі напруга. На векторній діаграмі позитивне (негативне) значення кута ф відлічується проти напрямку (по напрямку) руху годинникової стрілки від вектора комплексного значення струму. 

Ланцюг з послідовною сполукою елементів R і L. У ланцюзі з послідовною сполукою резистивного й індуктивного елементів вираження приймають вид яким відповідають на векторних діаграмах прямокутні трикутники напруг і опорів.