Закон Ома в дифференциальной форме

Сообщение от администратора:

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng! 
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Закон Ома в дифференциальной форме — физический закон, определяющий связь между Электродвижущей силой источника или напряжением с силой тока и сопротивлением проводника.

Вывод формулы Закона Ома в дифференциальной форме

Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

К концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

Тут t — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости. В этом приближении

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

Полученную формулу подставим в

И у нас получилось

В Формуле мы использовали :

— Вектор плотности тока

— Удельная проводимость

— Вектор напряжённости электрического поля

— среднее значение длины свободного пробега

— скорость теплового движения электронов

Закон Ома ? для участка цепи, формула. Закон Ома ? в дифференциальной форме для полной цепи и её участка

Автор Даниил Леонидович На чтение 5 мин. Просмотров 472 Опубликовано

18 ноября

Физический закон ома получен путём экспериментов. 3 формулировки ома – одни из основополагающих в физике, устанавливающие связь между электротоком, сопротивлением и энергонапряжением. Год открытия – 1826. Впервые все 3 физических закона ома сформулировал физик-экспериментатор немецкого происхождения Георг Ом, с фамилией которого связано их определение.

Мнемоническая схема

Согласно мнемосхеме, чтобы высчитать электросопротивление по закону ома для участка цепи постоянного тока, необходимо комплексное напряжение на участке цепи разделить на силу тока для полной цепи. Однако, с физико-математической точки зрения, формулу ома для участка цепи для вычисления только по первому закону ома принято считать неполной.

Альтернативный способ вычислить токовое сопротивление по закону ома кратко подразумевает умножение электросопротивления материи, из которой выполнен проводник, на длину с последующим делением на площадь пересекающегося сечения.

Для выполнения вычислений сформулируйте по закону ома для участка цепи уравнение, исходя из имеющихся числовых данных:

Применение на линии электропередач

В процессе доставки на линию электропередач потери энергии должны быть минимизированы. Причиной энергетических потерь является нагрев провода, во время которого энергия электротока превращается в теплоэнергию.

Чтобы дать определение по закону ома потерянной мощности, необходимо показатель электрической мощности во второй степени умножить на внутреннее сопротивление источника напряжения и разделить на ЭДС в квадрате.

Из этого следует, что рост потери энергомощности осуществляется пропорционально протяжённости линии электропередач и квадрату электродвижущей силы.

Поскольку электродвижущую силу ограничивает прочность обмотки генератора, то повышение энергонапряжения возможно после того, как из генератора выйдет электроток, на участке входа линии.

Переменный ток легче всего распределяется по линии через трансформатор. Однако, поскольку следствием повышения энергонапряжения является потеря коронирования, а надёжность изоляции обеспечивается с трудом, напряжение на участке цепи протяжённой линии электропередач не превышает миллиона вольт.

Внимание!

Поведение линии электропередач в пространстве подобно антенне, ввиду чего берётся во внимание потеря на излучение.

Отображение в дифференциальной форме

На подсчёт сопротивления влияет тип материи, по которой протекает электроток, а также геометрические габариты проводника.

Дифференциальная форма формулировки Ома, записывающаяся достаточно кратко, отображает электропроводящие характеристики изотропных материалов и заключается в умножении удельной проводимости на вектор напряжённости электрополя с целью вычисления вектора плотности энерготока.

Для выполнения требуемых вычислений, уравнение сформулируйте по закону ома:

Интересно!

Если исходить из научных данных, следует сделать вывод о законе ома в дифференциальной форме об отсутствии зависимого соотношения геометрических габаритов.

При использовании анизотропеновых электроэлементов нередко встречается несовпадение вектора плотности токового энергонапряжения. Данное суждение справедливо для закона ома в интегральной и дифференциальной формах.

Переменный ток

Величины являются комплексными, если речь идёт о синусоидальных формах энерготока с циклической частотой, в цепях которых присутствуют активная ёмкость с индуктивностью.

В перечень комплексных величин входят:

• разность между потенциалами;
• сила тока;
• комплексное электросопротивление;
• модуль импеданса;
• разность индуктивного и ёмкостного сопротивлений;
• омическое электросопротивление;
• фаза импеданса.

Если несинусоидальный энерготок допустимо измерить временными показателями, закон ома для неполной электрической цепи может быть представлен в виде сложенных синусоидальных Фурье-компонентов. В линейной цепи составные элементы фурье-разложения являются независимо функционирующими. В нелинейных цепях образуются гармоники и множество колебаний. Таким образом, можно сделать вывод о невозможности выполнения правила Ома для нелинейной электроцепи.

Внимание!

Гармоника – это колебание, частота которого кратна частоте напряжения.

Как трактуется правило Ома

Так как обобщённая формула ома не считается основополагающей, правило применяется для описания разновидностей проводников в условиях приближения незначительной частоты, плотности тока и напряжения электрополя. Следует отметить, что в ряде случаев как первый закон, так и второй закон, применяемый для полной цепи, не соблюдаются.

Существует теория Друде, для выражения которой используются следующие величины:

• удельная электропроводимость;
• концентрированное размещение электронов;
• показатель элементарного заряда;
• время затихания по импульсам;
• эффективная масса электрона.

Внимание!

Все формулы Ома – первый, второй физический закон ома и третий распространяются на омические компоненты.

Перечень условий, при которых становится невозможным соблюдения правила Ома:

1. высокие частоты с чрезмерно большой скоростью изменения электротока;
2. пониженная температура сверхпроводимого вещества;
3. перегрев проводника проходящим электротоком;
4. в ситуации пробоя, возникшего в результате подсоединения к проводниковому элементу высокого напряжения;
5. в вакуумной или газонаполненной электролампе;
6. для гетерогенного полупроводникового прибора;
7. при образовании пространственного диэлектрического заряда в контакте металлического диэлектрика.

Интерпретация

Определяющаяся действием приложенного напряжения мощностная сила тока является пропорциональной показателю его напряжения. К примеру, при двойном увеличении приложенного напряжения, интенсивность постоянного тока также удваивается.

Интересно!

Наиболее часто правило Ома применяется для металла и керамики.

Методы запоминания формулы

Чтобы легче запомнить формулу расчёта напряжения на участке цепи, следует выписать на бумажном листе все величины, из которых она состоит, в которую также входит сопротивление и сила тока. Искомую величину закрыть пальцем, вследствие чего соотношение оставшихся величин будет отображать действие, которое необходимо совершить для её вычисления.

Ниже будет представлено видео с подробным объяснением всех правил и формул, относящихся к рассматриваемой теме.

Закон Ома – один из самых несложных для понимания, который входит в программу школьных учебников физики начального уровня. Пользуясь графическим приёмом расчёта величин – при необходимости или для самопроверки, можно получить безошибочные результаты вычислений.

Дифференциальная форма закона Ома

Закон Ома в виде:

формулу для электросопротивления (R):

где $\rho $ — удельное сопротивление материала можно использовать для нахождения тока (I) в проводниках в тех случаях, если трубки тока являются цилиндрами с постоянным сечением ($S$). Довольно часто силу тока необходимо вычислить в проводящих средах с другими формами трубок тока. Например, в сферическом конденсаторе, пространство между обкладками в котором заполнено проводящим материалом. В подобном случае формула расчета сопротивления (2) не применима, в связи с тем, что расстояние l различно для разных точек поверхности обкладок, площадь у каждой обкладки разная. Следовательно, закон Ома необходимо представить в другой форме.

Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной

Найдем связь между вектором плотности тока ($\overrightarrow{j}$) и вектором напряженности электрического поля ($\overrightarrow{E}$) в одной и той же точке проводящей среды. Если вещество изотропно, то $\overrightarrow{j}\uparrow \uparrow \overrightarrow{E}$. Выделим в окрестности рассматриваемой точки гипотетический цилиндр, образующие которого параллельны векторам напряженности поля и плотности тока (рис.1).

Рис. 1

Через поперечное сечение цилиндра (dS) (рис.1) течет ток, сила которого запишется как:

Напряжение, приложенное к цилиндру можно выразить как:

где $E$ — напряжённость поля в рассматриваемой точке. Сопротивление цилиндра получит выражение:

Подставим формулы (3),(4),(5) в выражение (1), получим:

Проведем сокращения, получим:

Заменим удельное сопротивление ($\rho $), на удельную проводимость ($\sigma $). Используем то, что векторы напряженности и плотности тока имеют одинаковые направления окончательно запишем:

Уравнение (8) называется законом Ома в дифференциальной форме. В отличие от закона Ома в интегральной форме (1) уравнение (8) содержит величины, которые характеризуют электрическое состояние среды в точке.

Напряженность поля, которая входит в уравнение (8) — это поле внутри проводящей среды при наличии тока. Однако, если среда однородна, то в большинстве случаев это поле совпадает с электростатическим полем, то есть полем, которое было бы между электродами с таким же напряжением на них что и при наличии тока. Следовательно, в однородном проводнике линии напряженности электростатического поля совпадают с линиями тока.

Дифференциальный закон Ома для анизотропных сред

В анизотропных средах для большинства электрических полей линейная связь между вектором плотности тока и вектором напряженности сохраняется. Однако удельная электрическая проводимость из скаляра переходит в тензор. В таком случае дифференциальный закон Ома выглядит следующим образом:

где индексы $ik$ пробегают значения x,y,z. Таким образом, тензор удельной проводимости имеет девять компонент из них шесть независимых. Тензор удельной проводимости симметричен:

При выборе осей координат, совпадающих с главными осями тензора, не равны нулю только 3 диагональные компоненты: ${\sigma }_{xx}\equiv {\sigma }_1,\ {\sigma }_{yy}\equiv {\sigma }_2,\ {\sigma }_{zz}\equiv {\sigma }_3\ $ — главные значения удельной электрической проводимости.

Пример 1

Задание: Найдите ток утечки через плоский конденсатор, если него подали напряжение U. Пространство между обкладками конденсатора заполнено веществом с удельным сопротивлением $\rho \ $и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon $. Емкость конденсатора равна C.

Решение:

За основу решения задачи возьмем закон Ома в дифференциальной форме:

\[j=\frac{1}{\rho }E\ \left(1.1\right).\]

Силу тока, если бы мы знали плотность тока можно найти для данного случая, используя формулу:

\[I=\int\limits_S{jdS\ \left(1.2\right).}\]

Напряженность поля между обкладками плоского конденсатора может быть найдена в соответствии с формулой:

\[E=\frac{U}{d}\left(1.3\right).\]

Подставим закон Ома (1.1) в уравнение (1.2) и используем выражение (1.3):

\[I=\int\limits_S{\frac{1}{\rho }\frac{U}{d}\ dS=\frac{1}{\rho }\frac{U}{d}\ S\ \left(1.4\right).}\]

Емкость конденсатора связана с его геометрическими параметрами и веществом, которое заполняет пространство между обкладками:

\[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{d}\to \frac{S}{d}=\frac{C}{\varepsilon {\varepsilon }_0}\left(1.5\right).\]

Используем полученное отношение $\frac{S}{d}$ подставим в (1.4), получим:

\[I=\frac{1}{\rho }\frac{U}{d}\ \frac{C}{\varepsilon {\varepsilon }_0}.\]

Ответ: Ток утечки равен $I=\frac{1}{\rho }\frac{U}{d}\ \frac{C}{\varepsilon {\varepsilon }_0}$.

Пример 2

Задание: Сравните напряженности электрического поля для сечений $S_1$ и $S_2$ (рис.2). Если по проводнику течет постоянный ток ($I=const$).

Рис. 2

Решение:

Для решения используем закон Ома в дифференциальной форме:

\[\overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{E\ }\left(2.1\right).\]

Будем считать, что проводник изотропный, запишем (2.1) в скалярном виде:

\[j=\sigma E\ \left(2.2\right).\]

При этом плотность силы тока можно записать как:

\[j=\frac{I}{S}\left(2.3\right).\]

Подставим (2.3) в (2.2), получим:

\[\frac{I}{S}=уE\left(2.4\right).\]

Следовательно,

\[E=\frac{I}{\sigma S}\left(2.5\right).\]

Мы получили, что при $I=const,\ \sigma =const$. Напряженность поля зависит только от площади поперечного сечения проводника, причем $E\sim \frac{1}{S}.$

Ответ: Так как $E\sim \frac{1}{S}$, то $E_2\left(S_2\right)

Закон Ома в дифференциальной форме

   

Закон Ома в дифференциальной форме — физический закон, определяющий связь между Электродвижущей силой источника или напряжением с силой тока и сопротивлением проводника.

   

Закон ома в дифференциальной форме

Вывод формулы Закона Ома в дифференциальной форме

Предположим, что напряженность поля не изменяется. Тогда под действием поля электрон получит постоянное ускорение равное

   

К концу пробега скорость упорядоченного движения достигнет значения

   

Тут t — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределение электронов по скоростям и приписывал всем электронам одинаковое значение средней скорости. В этом приближении

   

   

Скорость изменяется за время пробега линейно. Поэтому ее среднее (за пробег) значение равно половине максимального

   

Полученную формулу подставим в

   

И у нас получилось

   

В Формуле мы использовали :

j — Вектор плотности тока

   

— Удельная проводимость

E — Вектор напряжённости электрического поля

   

— среднее значение длины свободного пробега

   

— скорость теплового движения электронов

Вопрос№13. Электрически ток и его характеристики. Условия существования тока. Закона Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

Электрический ток – любое упорядоченное движение заряженных частиц. В проводнике под действием приложенного электрического поля свободные электрические заряды перемещаются: положительные – по полю, отрицательные – против поля – идет ток проводимости.

Виды электрического тока:

1. ток проводимости— движение свободных электрических зарядов заряженных макроскопических тел;

2. конвекционный ток — перенос электрических зарядов заряженными макроскопическими телами;

3. ток в жидкости — упорядоченное движение положительных и отрицательных ионов;

4. ток в газах (газовый разряд) — упорядоченное движение положительных и отрицательных ионов;

5. ток поляризации— возникает при малом перемещении связанных зарядов в диэлектрике;

6. ток смещения в вакууме — условный ток, объясняющий магнитное действие переменного электрического тока

Для возникновения и существования тока необходимо:

— наличие свободных носителей зарядов;

— наличие разности потенциалов, т.е. электрического поля, энергия которого затрачивалась бы на перемещение зарядов.

Сила тока — заряд, проходящий, через всё поперечное сечение S проводника в единицу времени:

а) для постоянного тока

б) для переменного тока , размерность – ампер.

Плотность тока — заряд, прошедший через единицу площади поперечного сечения проводника в единицу времени;

а) равномерное распределение по сечению

б) неравномерное распределение по сечению

Закон Ома. (для плотности тока)

Приложенное к проводнику напряжение U вызывает электрический ток I. Как физически будет развиваться этот процесс. Зависимость тока I(U) участка цепи называется вольт — амперной характеристикой. Немецкий ученый Георг Ом установил что для металла величина тока I линейно зависит от U.

Закон Ома можно представить в дифференциальной форме. Подставив выражение для сопротивления в закон Ома, получим

,где величина, обратная удельному сопротивлению, — называется удельной электрической проводимостью вещества проводника. Учитывая, что — напряженность электрического поля в проводнике, — плотность тока, закон Ома можно записать в виде

Закон Джоуля — Ленца дифференциальной форме

Если электрический ток проходит по неподвижному омическому проводнику, то вся работа по перемещению заряда идет на его нагревание.

закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме.

 

Вопрос№14.Стороние силы. ЭДС. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Сторонние силы. Э.Д.С.,

Против сил электрического поля могут действовать только силы неэлектрического происхождения, поэтому такие силы называются сторонними.

Сторонние силы — это силы неэлектрического происхождения, которые в отличие от кулоновских сил вызывают не соединение, а разделение разноименных электрических зарядов и поддерживают разность потенциалов проводников.

Примеры сторонних сил: — механические; — химические; — магнитные; — теплового движения и т.д.

Электродвижущая сила – численно равна работе, совершаемой сторонними силами при перемещении по участку цепи единичного положительного заряда. –электродвижущая сила, действующая на участок цепи.

а) цепь замкнута:

б) Э.Д.С. на участке отсутствует:

Участок на котором отсутствует Э.Д.С. называется однородным, а участок содержащий Э.Д.С. называется неоднородным.

Закон Джоуля — Ленца в интегральной и дифференциальной форме.

Если электрический ток проходит по неподвижному омическому проводнику, то вся работа по перемещению заряда идет на его нагревание. Пусть к однородному проводнику приложено напряжение, тогда работа по перемещению заряда q, равна Из соотношения следует

Для омического проводника U=IR

dA=I²Rdt, мы полагаем, что вся работа идет на образование тепла, то есть dA=dQ

Тепловая мощность

Количество теплоты, выделяемое постоянным током в участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

Закон Ома для участка цепи

Для участка цепи содержащей ЭДС будет иметь вид

Вопрос№15. Правила Киргофа и расчет электрических цепей.

Электрическая цепь- это система соединенных между собой токопроводящих элементов цепи. Если цепь состоит только из линейных эле­ментов, то она линейна, если же цепь содержит хотя бы один нелиней­ный элемент, то она становится нелинейной. Электрическая цепь изображается графически в виде своей эквива­лентной электрической схемы, на которой показано условное изобра­жение её элементов и соединение их друг с другом.

Физической основой расчёта электрической цепи, как линейной так и нелинейной являются законы Кирхгофа, первый из которых относит­ся к узлам цепи, а второй — к простым контурам.

Первый закон Кирхгофа (для узлов): алгебраическая сумма притека­ющих и вытекающих токов для любого узла цепи равна нулю:

(1)

В уравнении (1) притекающие и вытекающие токи берутся с противо­положными знаками.

Второй закон Кирхгофа (для контуров): алгебраическая сумма паде­ний напряжений на элементах цепи вдоль любого замкнутого конту­ра равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в данном контуре

(2)

В уравнении (2) знаки величин U_k и E_k определяются по отношению к выбранному направлению обхода контура. Если ток I_k совпадает с на­правлением обхода, то падение напряжения на данном элементе U_k считается положительным, в противном случае оно отрицательно. Элек­тродвижущая сила E_k считается положительной, если её поле сторон­них сил совпадает с направлением обхода контура, в противном слу­чае она отрицательна. (Поле сторонних сил всегда направлено внутри источника от отрицательного к положительному полюсу).

Если элемент цепи не генерирует ЭДС, то падение напряжения на нём совпадает с разностью потенциалов на элементе. Для линейного эле­мента оно определяется¹ из закона Ома по заданному току и сопротив­лению . Для нелинейного элемента, не подчиняющегося зако­ну Ома, такое определение падения напряжения невозможно, в дан­ном случае оно определяется только из ВАХ нелинейного элемента по заданному току.