Закон Ома для цепи переменного тока: мощности, формула

Первая и, возможно, самая важная связь между током, напряжением и сопротивлением называется законом Ома, который был открыт Георгом Саймоном и опубликован в статье 1827 года «Математически исследованная гальваническая цепь».

Формулировка закона для последовательной цепи переменного тока

Переменный ток описывает поток заряда, который периодически меняет направление. В результате уровень напряжения также изменяется вместе с током. AC используется для подачи электроэнергии в дома, офисные здания и т. д.

AC может быть произведен с использованием устройства — токовый генератор. Это устройство представляет собой особый тип электрического генератора, предназначенный для выработки.

Генерация

Петля провода вращается внутри магнитного поля, которое индуцирует течение вдоль провода. Вращение проволоки может происходить из любого количества средств: ветряная турбина, паровая турбина, проточная вода и т.д. Поскольку провод вращается и периодически входит в другую магнитную полярность, напряжение и ток на проводе чередуются.

Для генерации переменного потока электронов в наборе водопроводных труб подключается механический кривошип к поршню, который перемещает воду в трубах назад-вперед.

Обратите внимание: зажатый участок трубы по-прежнему обеспечивает сопротивление потоку воды независимо от направления потока.

Если сила и ток чередуются, разряд же может быть разных форм. Если подключить осциллограф к цепи и построить график, с течением времени можно увидеть несколько различных форм сигнала.

Волны

Наиболее распространенным типом потока электронов является синусоида. В большинстве домов и офисов поток имеет колебательную интенсивность, которая создает синусоидальную волну, как на рисунке выше.

Другие распространенные формы разряда включают в себя прямоугольную и треугольную волну.

Квадратные волны часто используются в цифровой и коммутационной электронике для проверки их работы.

Треугольные волны находятся в синтезе звука и полезны для тестирования линейной электроники, такой как усилители.

Прямоугольная и треугольная волна

Закон Ома для мощности переменного тока

Известный треугольник закона Ома, используемый для цепей постоянного потока электронов, может использоваться только при переменном разряде, если нагрузка является чисто резистивной. Однако большинство систем содержат последовательные или параллельные комбинации сопротивления, емкости и индуктивности. Это приводит к несоответствию напряжения и разряда, и нагрузка становится сложной. В чисто емкостных системах форма волны разряда опережает форму волны напряжения, тогда как в индуктивных цепях интенсивность опережает разряд. В цепях, содержащих как катушки индуктивности, так и конденсаторы, форма сигнала не будет синфазной, кроме как в резонансе. Общим термином для сопротивления является полное сопротивление и обозначается символом Z. Треугольник полного сопротивления показан ниже:

Треугольник

Треугольник используется точно так же, за некоторым исключением.

Следует отметить: при измерении напряжения или разряда измеритель будет показывать только правильные значения в ограниченном диапазоне частот. Обычно это справедливо для постоянного тока до 400 Гц, но это можно узнать, проверив спецификации прибора.

Для цепей, в которых напряжение и ток находятся только в фазе, может использоваться следующая круговая диаграмма.

Диаграмма

Закон Ома для участка цепи

Постоянный ток (DC) понять немного легче. Вместо того, чтобы колебаться назад и вперед, разряд обеспечивает постоянное напряжение.

Генерация DC

DC может быть сгенерирован несколькими способами:

• с помощью генератора, который оснащен устройством, называемым «коммутатор», может производить поток электронов;
• с использованием устройства под названием «выпрямитель», который преобразует переменный разряд в постоянный;
• батареи обеспечивают постоянное движение, которое генерируется в результате химической реакции внутри батареи.

DC определяется как «однонаправленный» поток (течет только в одном направлении). Напряжение и разряд могут меняться, пока направление потока не изменится. Для упрощения можно предположить, что напряжение является постоянным. Например, предполагается, что батарея АА обеспечивает 1,5 В, что в математических терминах можно описать так: V(t)=1,5V

Если построить график с течением времени, будет видно постоянное напряжение:

График

Что это значит? Это означает, что можно рассчитывать на большинство источников постоянного разряда для обеспечения напряжения во времени. В действительности батарея будет постепенно терять заряд, а это означает, что при использовании батареи напряжение будет падать. Следовательно, можно предположить, что оно постоянно.

Формула

Закон Ома не может быть применен к цепям переменного потока электронов, поскольку он не учитывает реактивное сопротивление, которое всегда присутствует в таких цепях. Однако, изменяя закон Ома, который учитывает влияние реактивного сопротивления, получается общий закон Ома для последовательной цепи переменного тока, применимый к цепям этого движения (закон Ома для постоянного и переменного тока). Поскольку полное сопротивление Z представляет собой совокупное сопротивление всех реактивных сопротивлений, то общий закон Ома для переменного тока: I=E/Z

Эта общая модификация применяется к переменному потоку электронов, протекающему в любой цепи, и любое из значений может быть найдено из уравнения, если другие известны.

Применение закона

Если технические специалисты во время тестирования стандартных показателей разрядов обнаружат, что обычные значения не регистрируются на их цифровых мультиметрах или измерителях токовых клещей, то они могут использовать закон Ома, чтобы определить, какая часть цепи дает сбой, и исходя из этого определить, в чем может заключаться проблема.

5. Закон Ома для электрической цепи переменного тока

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки (рис. 8). Если к выводам этой электрической цепи приложить электрическое напряжение, изменяющееся по гармоническому закону с частотой щ и амплитудой Um, то в цепи возникнут вынужденные колебания силы тока с той же частотой и некоторой амплитудой Im. Установим связь между амплитудами колебаний силы тока и напряжения

В любой момент времени сумма мгновенных значений напряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения:

Во всех последовательно включенных элементах цепи изменения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:

Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на р/2 от колебаний силы тока, а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на р/2. Поэтому уравнение (1) можно записать так:

где U_Rm, U_Cm и U_Lm – амплитуды колебаний напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке.

Амплитуду колебаний напряжения в цепи переменного тока можно выразить через амплитудные значения напряжения на отдельных ее элементах, воспользовавшись методом векторных диаграмм.

При построении векторной диаграммы необходимо учитывать, что колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор, изображающий амплитуду напряжения U_Rm, совпадает по направлению с вектором, изображающим амплитуду силы тока I_mКолебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на р/2 от колебаний силы тока, поэтому вектор

U_Cmотстает от вектора I_m на угол 90°. Колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока по фазе на р/2, поэтому вектор U

Lmопережает вектор I_m на угол 90° (рис. 9).

На векторной диаграмме мгновенные значения напряжения на резисторе, конденсаторе и катушке определяются проекциями на горизонтальную ось векторов _{Rm, Cm,Lm}вращающихся с одинаковой угловой скоростью щ против часовой стрелки. Мгновенное значение напряжения во всей цепи равно сумме мгновенных напряжений u_R, u_{C, и} u_Lна отдельных элементах цепи, т.е. сумме проекций векторов U_Rm, U_Cm и U_Lmна горизонтальную ось. Так как сумма проекций векторов на произвольную ось равна проекции суммы этих векторов на ту же ось, то амплитуду полного напряжения можно найти как модуль суммы векторов:

Из рисунка 9 видно, что амплитуда напряжений на всей цепи равна:

Или

Отсюда

Введя обозначение для полного сопротивления цепи переменного тока:

выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом:

Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока.

Из векторной диаграммы, приведенной на рисунке 9, видно, что фаза колебаний полного напряжения равна щ∙t + ц. Поэтому мгновенное значение полного напряжения определяется формулой:

Начальную фазу ц можно найти из векторной диаграммы:

Величина cos ц играет важную роль при вычислении мощности в электрической цепи переменного тока.

Мощность в цепи переменного тока

Мощность в цепи постоянного тока определяется произведением напряжения на силу тока:

Физический смысл этой формулы прост: так как напряжение U численно равно работе электрического поля по перемещению единичного заряда, то произведение U∙I характеризует работу по перемещению заряда за единицу времени, протекающего через поперечное сечение проводника, т.е. является мощностью. Мощность электрического тока на данном участке цепи положительна, если энергия поступает к этому участку из остальной сети, и отрицательна, если энергия с этого участка возвращается в сеть. На протяжении очень малого интервала времени переменный ток можно считать неизменным. Поэтому мгновенная мощность в цепи переменного тока определяется такой же формулой:

Пусть напряжение на концах цепи меняется по гармоническому закону:

При этом мощность меняется со временем как по модулю, так и по знаку. В течение одной части периода энергия поступает к данному участку цепи (р > 0), но в течение другой части периода некоторая доля энергии вновь возвращается в сеть (р < 0). Как правило, во всех случаях нам надо знать среднюю мощность на участке цепи за достаточно большой промежуток времени, включающий много периодов. Для этого достаточно определить среднюю мощность за один период.

Чтобы найти среднюю мощность за период, преобразуем полученную формулу таким образом, чтобы выделить в ней член, не зависящий от времени. С этой целью воспользуемся известной формулой для произведения двух косинусов:

Выражение для мгновенное мощности состоит из двух слагаемых. Первое не зависит от времени, а второе дважды за каждый период изменения напряжения изменяет знак: в течение какой-то части периода энергия поступает в цепь от источника переменного напряжения, а в течении другой части возвращается обратно. Поэтому среднее значение второго слагаемого за период равно нулю. Следовательно, средняя мощность Р за период равна первому члену, не зависящему от времени:

При совпадении фазы колебаний силы тока и напряжения (для активного сопротивления R) среднее значение мощности равно:

Для того чтобы формула для расчета мощности переменного тока совпадала по форме с аналогичной формулой для постоянного тока (Р = I∙U = I²∙R), вводятся понятия действующих значений силы тока и напряжения. Из равенства мощностей получим:

Действующим значением силы тока называют величину, в √2 раз меньшую ее амплитудного значения:

Действующее значение силы тока равно силе такого постоянного тока, при котором средняя мощность, выделяющаяся в проводнике в цепи переменного тока, равна мощности, выделяющейся в том же проводнике в цепи постоянного тока.

Аналогично можно доказать, что действующее значение переменного напряжения в √2 раз меньше его амплитудного значения:

Заметим, что обычно электрическая аппаратура в цепях переменного тока показывает действующие значения измеряемых величин. Переходя к действующим значениям силы тока и напряжения, уравнение (10) можно переписать:

Таким образом, мощность переменного тока на участке цепи определяется именно действующими значениями силы тока и напряжения. Она зависит также от сдвига фаз цc между напряжением и током. Множитель cos цc в формуле называется коэффициентом мощности.

В случае, когда цc = ± р/2, энергия, поступающая к участку цепи за период, равна нулю, хотя в цепи и существует ток. Так будет, в частности, если цепь содержит только катушку индуктивности или только конденсатор. Как же средняя мощность может оказаться равной нулю при наличии тока в цепи? Это поясняют приведенные на рисунке 10 графики изменения со временем мгновенных значений напряжения, силы тока и мощности при цc = – р/2 (чисто индуктивное сопротивление участка цепи). График зависимости мгновенной мощности от времени можно получить, перемножая значения силы тока и напряжения в каждый момент времени. Из этого графика видно, что в течение одной четверти периода мощность положительна и энергия поступает к данному участку цепи; но в течение следующей четверти периода мощность отрицательна, и данный участок отдает без потерь обратно в сеть полученную ранее энергию. Поступающая в течение четверти периода энергия запасается в магнитном поле тока, а затем без потерь возвращается в сеть.

Лишь при наличии проводника с активным сопротивлением в цепи, не содержащей движущихся проводников, электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию проводника, который нагревается. Обратного превращения внутренней энергии в электромагнитную на участке с активным сопротивлением уже не происходит.

При проектировании цепей переменного тока нужно добиваться, чтобы cos цc не был мал. Иначе значительная часть энергии будет циркулировать по проводам от генератора к потребителям и обратно. Так как провода обладают активным сопротивлением, то при этом энергия расходуется на нагревание проводов.

Неблагоприятные условия для потребления энергии возникают при включении в сеть электродвигателей, так как их обмотка имеет малое активное сопротивление и большую индуктивность. Для увеличения cos цc в сетях питания предприятий с большим числом электродвигателей включают специальные компенсирующие конденсаторы. Нужно также следить, чтобы электродвигатели не работали вхолостую или с недогрузкой. Это уменьшает коэффициент мощности всей цепи. Повышение cos цc является важной народнохозяйственной задачей, так как позволяет с максимальной отдачей использовать генераторы электростанций и снизить потери энергии. Это достигается правильным проектированием электрических цепей. Запрещается использовать устройства с cos цc < 0,85.

Закон Ома для участка цепи переменного тока. Разность фаз между колебаниями силы тока и напряжения

«Любое препятствие

преодолевается настойчивостью».

Леонардо да Винчи

Задача 1. В цепь переменного тока включена катушка с индуктивностью 75 мГн. Найдите действующее значение напряжения на данном участке цепи, если действующее значение силы тока равно 2 А, а частота колебаний равна 50 Гц.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Из закона Ома для участка цепи Тогда действующее напряжение будет равно Индуктивное сопротивление определяется по формуле Т.к. циклическая частота равна индуктивное сопротивление будет равно С учётом последней формулы действующее значение напряжения будет определяться по формуле

Ответ: 47 В.

Задача 2. В цепь переменного тока включены резистор с сопротивлением 20 Ом и конденсатор с ёмкостью 10 мкФ. Известно, что напряжение на конденсаторе изменяется по закону , а амплитудный ток, протекающий по данному участку равен 5 А. Какое напряжение покажет вольтметр, указанный на схеме?

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Запишем закон Ома для цепей переменного тока Полное сопротивление определяется по формуле (с учётом того, что катушка с индуктивностью L отсутствует) Действующее значение напряжения определяется по формуле С другой стороны действующие значения напряжения и силы тока можно определить по формулам Тогда получим Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде По условию задачи задано следующее уравнение Сопоставляя эти два уравнения можно определить, что циклическая частота Тогда действующее значение напряжения

Ответ: 79 В.

Задача 3. Дана цепь переменного тока со следующими параметрами: активное сопротивление равно 20 Ом, индуктивность равна 15 мГн, электроёмкость конденсатора равна 55 мкФ, частота равна 50 Гц, амплитудное напряжение равно 220 В. Найдите амплитудные токи, протекающие в каждом элементе цепи, а также суммарный ток.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ При параллельном соединении Закон Ома для участка цепи Исходя из него, запишем выражения для токов в резисторе, конденсаторе и катушке Индуктивное сопротивление определяется по формуле Ёмкостное сопротивление определяется по формуле Тогда получим Циклическую частоту можно определить по формуле Тогда сила тока в резисторе, конденсаторе и катушке будет определяться по формулам Запишем закон Ома для цепей переменного тока В котором полное сопротивление определяется как Тогда сила тока

Задача 4. Конденсатор и катушка индуктивности последовательно подключены к источнику переменного напряжения. Частоту колебаний увеличивают от 50 Гц до 80 Гц. Как изменится значение амплитудного тока? Резонансная частота колебаний равна 70 Гц.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ Запишем закон Ома для цепей переменного тока В соответствии с ним, запишем выражения для начального и конечного тока Полное сопротивление определяется по формуле Исходя из того, что в цепи нет активного сопротивления формула упрощается. Извлекая квадратный корень из квадрата выражения получаем модуль В соответствии с полученным уравнением, запишем выражения для начального и конечного полного сопротивления Тогда отношение полных сопротивлений Собственная частота колебательного контура определяется по формуле Тогда получаем, что отношение полных сопротивлений равно Т.к. циклическая частота определяется по формуле то получаем Тогда отношение полных сопротивлений равно Можно получить косвенное подтверждение того, что задача решена правильно: конечная частота ближе к резонансной частоте, чем начальная, потому-то ток и увеличился. Если бы получилось, что ток уменьшился, то следовало бы пересмотреть решение и поискать ошибку.

Ответ: амплитудный ток увеличится в 6,67 раза.

Задача 5. В цепь переменного тока последовательно включен резистор с сопротивлением 10 Ом, катушка и конденсатор с ёмкостью 200 нФ. Известно что при частотах 1 кГц и 1,5 кГц в цепи наблюдаются одинаковые амплитудные токи. Найдите индуктивность катушки и разность фаз между током и напряжением при указанных частотах.

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ Запишем закон Ома для цепей переменного тока В соответствии с этим, запишем выражения для токов при обеих частотах Запишем теперь формулу, по которой вычисляется полное сопротивление цепи переменного тока На основании данной формулы и равенства сопротивлений, составим уравнение Преобразуем полученное уравнение, возведя обе части в квадрат и сократив активное сопротивление Преобразуем получившуюся формулу Циклическая частота определяется по формуле Тогда индуктивность катушки равна Разность фаз определяется по формуле В соответствии с полученной формулой, запишем выражения для тангенса разности фаз при обеих частотах

  

Закон Ома для активного и пассивного участка линейной электрической цепи

Закон Ома для пассивного участка электрической цепи. 

При протекании электрического тока через сопротивление R, напряжение U и ток I на этом участке связаны между собою согласно закону Ома:

Сопротивление R — это коэффициент пропорциональности между током и напряжением. Чтобы найти сопротивление, нужно напряжение на участке электрической цепи разделить на ток, протекающий на этом же участке.

Закон Ома можно записать через разность потенциалов:

Закон Ома для активного участка электрической цепи.

Закон Ома для активного участка цепи между точками а и в имеет вид:

Напряжение на участке электрической цепи U_ab и ЭДС берутся со знаком «плюс», если их направление совпадает с направление протекания тока. Напряжение (разность потенциалов) и источник электродвижущей силы берутся со знаком «минус», если их направление не совпадает с направлением протекания тока.

Пример составления уравнения по закону Ома 

Рассмотрим пример решения задачи на составления уравнения по закону Ома для участка линейной электрической цепи с двумя источниками ЭДС.

Пусть в данной электрической цепи направление тока будет из точки «a» в точку «b». Напряжение U_ab Направляется всегда из первой буквы («a») к последней («b»).

Согласно правилу составления уравнения по закону Ома источник ЭДС E1 берем со знаком «плюс», т.к. его направление (направление стрелочки) совпадает с направлением протекающего тока.

Источник ЭДС E2 берем со знаком «минус», т.к. его направление (направление стрелочки) не совпадает с направлением протекающего тока.

Напряжение U_ab или разность потенциалов φ_a — φ_b берем со знаком «плюс», т.к. его направление совпадает с направление протекающего тока.

Сопротивление R1 и R1 соединены последовательно. При последовательном соединении сопротивлений их эквивалентное значение равно сумме. 

В результате составленное уравнение по закону Ома будет иметь вид:

Пусть потенциал в данной задаче потенциал точки «а» равен 10 вольт, потенциал точки «b» = 7 вольт, E1=25 В, E2=17 В, R1=5 Ом, R2=10 Ом. Рассчитаем величину тока:

 

Полученный ток равен 1 Ампер.

Закон Ома в интегральной форме

Для того, чтобы перейти к интегральной форме записи закона Ома для участка проводника, на котором действуют две силы, введем понятие линии тока.

Линия тока – кривая, в каждой точке которой вектор плотности тока направлен по касательной к этой кривой. В этом случае вектор плотности находится из соотношения:

где τ ⃗ – единичный вектор касательной к линии тока.

Предположим, что удельное сопротивление (r) и напряженность поля движущих сил (E ⃗) на поперечном сечении проводника однородны, т.к. E ⃗ однородна, то j ⃗ так же однородная величина. Возьмем произвольное значение поперечного сечения цепи – S. Тогда:

, а значит

Последнее равенство до множим на dl (элементарное перемещение вдоль вектора плотности тока):

где

• dφ – элементарный сброс потенциала электростатического поля,
• dε – элементарная работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда (ЭДС).

Отсюда:

Учитывая, что ρ/S dl=dR (элементарное сопротивление), запишем закон Ома в интегральной форме:

Закон Ома в интегральной форме для неоднородного участка цепи

Проинтегрируем получившееся соотношение на конкретном участке цепи постоянного тока между поперечными сечениями S1 и S2:

интегральный закон Ома для участка цепи

где:

• – сопротивление участка,
• – работа сторонних сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи ЭДС участка,
• – работа электростатических сил на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (напряжение участка),
• – абсолютная величина работы сил сопротивления на перемещении единичного положительного заряда по данному участку цепи (падение напряжения участка).

Запишем значение напряжения при постоянном токе:

Отсюда запишем закон Ома:

Таким образом закон Ома в интегральной форме – это закон изменения механической энергии единичного положительного заряда на этом участке. В арифметическом виде этот закон можно записать так:

Решение задач

Какой будет плотность тока в металлическом проводнике с удельным сопротивлением ρ постоянного сечения, имеющем длину l, если напряжение, которое приложено к проводу равно U?

Дано:	Решение:
	Плотность тока можно найти по формуле —

Пространство между пластинами плоского конденсатора заполняет неоднородное плохо проводящее вещество, удельная проводимость которого изменяется в соответствии с линейным законом: в направлении перпендикулярном пластинам. Известно, что расстояние между пластинами – d, площадь пластин конденсатора – S. Каким будет ток через этот конденсатор, если напряжение на нем станет равно U?

Дано:	Решение:
d S U	Запишем закон Ома — Отсюда можем найти силу тока — Ответ