Закон кирхгофа и ома – Законы Ома и Кирхгофа для цепей постоянного тока. Непосредственное применение этих законов к расчёту электрических цепей. Порядок составления уравнений по законам Кирхгофа. Баланс мощностей. — groupnk.ru — Группа НК — комплексные поставки электрооборудования в Москве и регионах

Содержание

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

, (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

, (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

, (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

или

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

, (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

нулю.

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

, (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Всякая электрическая цепь состоит из источника электрической энергии (генератора), замкнутого проводящего контура (соединительных проводов) и потребителя (нагрузки).

Источники электрической энергии делятся на источники заданной ЭДС (напряжения) и источники заданного тока [1]. У идеального источника заданной ЭДС (рис.1.1,а) полагаем, что напряжение на его клеммах не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление равно нулю), а у идеального источника заданного тока (рис.1.1,б) полагаем, что его ток не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление стремится к ∞).

Омическое сопротивление R участка цепи (нагрузка) (рис.1.1,в) может быть определено по формуле

где ρ – удельное сопротивление проводника; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Для расчета процессов в электрической цепи ее изображают в виде схемы.

Схемой электрической цепи называется её графическое изображение, показывающее последовательность соединения участков и отображающее свойства рассматриваемой цепи.

В электрической цепи (схеме) различают узлы, ветви и контуры.

Узел – точка цепи (схемы), где сходятся не менее 3 ветвей. Ветвь – участок цепи (схемы), соединяющий два узла. Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи (схемы).

Любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником.

Расчёт электрических цепей базируется на законе Ома и двух законах (правилах) Кирхгофа.

Закон Ома для участка цепи – ток I_k k-того участка прямо пропорционален напряжению U_k на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению R_k этого участка:

Типичная ошибка при применении закона Ома заключается в том, что при определении тока берется напряжение на одном участке и делится на сопротивление другого участка, что не соответствует этому закону.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и вытекает из принципа непрерывности электрического тока:

алгебраическая сумма токов в узле равна нулю или сумма токов, подтекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из узла.

«Алгебраическая сумма» означает, что втекающие в узел и вытекающие из него токи берутся с противоположными знаками.

Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться условными положительными направлениями токов в ветвях. Пример приведён на рис.1.2.

или

Если в результате расчета для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то это означает, что действительное направление данного тока противоположно выбранному.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Электрический ток, протекая по сопротивлению, создаёт на нём падение напряжения, совпадающее по направлению с током, поэтому, выбрав направление тока в ветви, мы задаём и направление падения напряжения.

Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться направлениями обхода контуров. Соответственно, те падения напряжения и ЭДС, которые совпадают по направлению с направлением обхода контура, берутся со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».

Рассмотрим пример (рис.1.3).

Для трёх указанных контуров схемы уравнения по второму закону Кирхгофа будут следующие:

Необходимо отметить, что ток в ветви можно определить двумя путями:

— по закону Ома для участка цепи – когда известны напряжение и сопротивление данного участка;

— по первому закону Кирхгофа – когда в узле известны все токи, кроме искомого.

— В свою очередь напряжение между двумя точками цепи можно определить следующим образом:

— по закону Ома для участка цепи ;

— по второму закону Кирхгофа, причём контур может быть замкнут искомым напряжением;

— как разность потенциалов на концах рассматриваемого участка цепи.

1.2. Последовательное соединение сопротивлений

Пусть даны два сопротивления

R₁ и R₂, которые необходимо подключить к зажимам источника.

Один зажим сопротивления R₁ подключаем к клемме (+) источника, а другой – к клемме сопротивления R₂; свободную клемму R₂ подключаем к клемме (–) источника. Получим замкнутый проводящий контур, состоящий из одной ветви, включающей в себя источник с напряжением U и два сопротивления R₁ и R₂(рис.1.4).

Аналогично можно включить и большее число сопротивлений. Через любое сечение проводника проходит одинаковое число электрических зарядов. Это следует из закона сохранения заряда. Следовательно, по всем сопротивлениям протекает один и тот же ток. Такое соединение называется последовательным.

Итак, признаком последовательного соединения является то, что по элементам протекает один и тот же ток, т.е. элементы включены в одну общую ветвь.

Для цепи (рис.1.4) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

(1.1)

Таким образом, напряжение на входе цепи U можно выразить через ток I в цепи и эквивалентное сопротивление цепи R_Э.

Эквивалентным (входным) сопротивлением цепи называется такое одно сопротивление, при подключении которого (вместо всех сопротивлений цепи) к зажимам источника режим его работы не изменится, т.е. не изменятся ток I и напряжение U источника.

Эквивалентное сопротивление находится путём последовательного преобразования цепи от конца, противоположного источнику, к зажимам источника.

Конечная схема этих преобразований всегда одна (рис.1.5).

Итак, для цепи (см. рис.1.4) получаем

(1.2)

Из (1.2) следует:

— при последовательном соединении сопротивления складываются;*

— последовательные соединения удобнее рассчитывать через сопротивления.

Обратите внимание, что последовательное подключение сопротивления увеличивает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. уменьшает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.3. Параллельное соединение сопротивлений

Те же два сопротивления R₁ и R₂ можно подключить к источнику и по-другому: R₁ подключим к зажимам «+» и «–» и аналогично подключим R₂. Получим схему, содержащую три ветви и два узла (рис.1.6).

Такое соединение называется параллельным. Из полученной схемы соединений видно, что признаком параллельного соединения является то, что сопротивления находятся под одним и тем же напряжением, т.е. подключены к двум общих узлам (а и b).

Для цепи (см. рис.1.6) по первому закону Кирхгофа имеем

(1.3)

По закону Ома токи в ветвях схемы

Подставляя в (1.3), получаем

. (1.4)

Поделив левую и правую части уравнения (1.4) на общую величину U, получим

Обозначим . Величина G, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Размерность [G] = Ом^-1 = См.

Получаем выражение для эквивалентной проводимости

. (1.5)

Из (1.5) следует:

— при параллельном соединении элементов проводимости складываются;*

— параллельные соединения удобнее рассчитывать через проводимости.

Для частного случая, когда параллельно соединены два сопротивления R₁ и R₂, эквивалентное сопротивление будет

Обратите внимание, что параллельное подключение сопротивления уменьшает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. увеличивает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.4. Смешанное соединение сопротивлений

Если электрическая цепь содержит три и более сопротивлений, то наряду с последовательным и параллельным соединениями возможно смешанное соединение.

Смешанным соединением называют сочетание последовательного и параллельного соединений (рис.1.7).

Схему смешанного соединения можно «свернуть», т.е. найти эквивалентное сопротивление R_Э.

На схеме (см. рис.1.7) сопротивления R₂ и R₃ включены параллельно. Заменим их одним сопротивлением R₄:

Получим новую схему (рис.1.8), эквивалентную заданной:

В полученной схеме сопротивления R₁ и R₄включены последовательно, так как по ним протекает один ток I₁.

Следовательно, эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.9)

Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению элементов. Если при нахождении R_Э вы убедились, что в схеме нет последовательно или параллельно соединённых сопротивлений, необходимо воспользоваться преобразованием «звезды» в «треугольник» или наоборот [1,2,3].

1.5. Расчет простых электрических цепей

Электрические цепи можно условно разделить на простые и сложные.

Простой электрической цепью будем считать цепь, содержащую один источник электрической энергии. Если в одной ветви имеется несколько источников, то их всегда можно привести к одному эквивалентному.

Сложной электрической цепью будем называть цепь, содержащую два и более источников в различных ветвях. Расчёт сложных электрических цепей будет рассмотрен позже.

Различают прямую и обратную задачи расчёта простых цепей.

Прямой задачей называется расчет такой цепи, когда в схеме заданы ЭДС (напряжение) источника и сопротивления всех нагрузок. Требуется определить токи (напряжения, мощности) во всех ветвях.

Пример.Дана электрическая цепь, схема которой приведена на рис.1.10.

Известны параметры цепи и источника:

U = 20 В; R₁ = 3 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃= 1.6 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅= 4 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Расчёт прямой задачи ведётся в два этапа.

Первый этап. Цепь надо «свернуть», т.е. найти ее эквивалентное (входное) сопротивление R_Э.

Выберем положительные направления токов в ветвях и укажем их стрелками.

Поэтапно преобразуем цепь. Сопротивления R₄ и R₅ включены параллельно, следовательно,

Ом.

Получаем схему, эквивалентную заданной (рис.1.11).

В полученной схеме сопротивления R₆ и R₃ соединены последовательно, следовательно,

Ом.

Получим схему, эквивалентную предыдущей (рис.1.12).

Здесь R₂ и R₇ включены параллельно. Заменим их сопротивлением R₈:

Ом.

Новая эквивалентная схема показана на рис.1.13.

Сопротивления R₁ и R₈ включены последовательно, т.е. эквивалентное сопротивление цепи (рис.1.14)

Ом.

Второй этап. Теперь «развернём» схему, т.е. идем по эквивалентным схемам в обратном порядке и находим токи в ветвях.

В схеме (см. рис.1.14) известны U = 20 В, R_Э = 5 Ом.

Следовательно, ток

А.

Переходим к схеме (см. рис.1.13). Здесь найдены все величины.

Переходим к схеме на рис.1.12. В схеме неизвестны токи I₂ и I₃. Их можно найти по закону Ома:

Найдём напряжение U_a_с. Здесь возможны два пути.

1. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, куда входит напряжение U_a_с:

Отсюда получаем искомое напряжение на участке ac:

В.

2. Напряжение U_a_с можно определить по закону Ома для участка ac схемы (см. рис.1.13)

В.

Зная напряжение U_a_с, находим токи I₂ и I₃ по закону Ома:

A; A.

Аналогично найдём напряжение U_ab:

В.

Тогда токи A; A.

Таким образом, прямая задача решена.

Проверить расчёт можно по законам Кирхгофа.

1. По первому закону Кирхгофа:

для узла «а» A;

для узла «b» A;

для узла «c» A.

2. По второму закону Кирхгофа

В.

Одним из точных способов проверки правильности расчёта токов является проверка по балансу мощностей. В основе баланса мощностей лежит закон сохранения энергии, в соответствии с которым суммарная мощность, отдаваемая источниками в цепь (Р_ист), должна равняться суммарной мощности всех потребителей (Р_потр).

В рассматриваемом примере мощность источника

Вт.

Суммарная мощность потребителей

Вт.

Таким образом,

Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи в ветвях схемы найдены правильно.

Для рассматриваемого примера построим потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальная диаграмма показывает, как изменяется потенциал j при движении вдоль замкнутого контура цепи. По оси абсцисс откладываются сопротивления R участков цепи вдоль контура, по оси ординат – потенциалы точек рассматриваемого контура.

Электрический потенциал j – величина относительная, и его значение зависит от того, какая из точек цепи принимается за базисную и мысленно заземляется, т.е. её потенциал условно считается равным нулю.

Необходимо помнить, что во внешней цепи ток протекает от точки с бóльшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (катится с горки), поэтому при определении потенциала надо учитывать, что если направление тока совпадает с направлением перехода от одной точки к другой, то потенциал понижается на величину падения напряжения IR на этом участке. В противном случае потенциал повышается.

Возьмем замкнутый контур abcma. Пусть потенциал точки а цепи (см. рис.1.10) равен нулю: j_a = 0. Так как ток протекает из точки с бóльшим потенциалом в точку с меньшим потенциалом, то потенциал точки b будет меньше потенциала точки а на величину падения напряжения на сопротивлении R₄ или на сопротивлении R₅:

В.

Потенциал точки с ниже потенциала точки b по той же причине, т.е.

В.

Потенциал точки m выше потенциала точки с из-за наличия на участке cm источника с напряжением U, в котором за счёт работы сторонних сил происходит повышение потенциала, т.е.

В.

Потенциал точки а

В.

Контур abcma замкнулся.

Потенциальная диаграмма приведена на рис.1.15.

Тангенс угла наклона α любого участка потенциальной диаграммы пропорционален току цепи на этом участке.

Например, для участка ab

По заданной потенциальной диаграмме контура можно определить потенциалы точек, сопротивления участков, напряжения на участках, токи на участках этого контура.

Рассмотрим обратную задачу.

Обратная задача: по известным току (напряжению или мощности) на одном из участков и сопротивлениям цепи определить остальные токи и напряжение (мощность) источника.

Рассмотрим эту задачу на том же примере (см. рис.1.10), считая, что заданы ток в пятой ветви (I₅ = 1,2 A) и те же сопротивления нагрузок.

Решение. Определим напряжение U_ab по закону Ома:

В.

Так как R₄ и R₅ соединены параллельно, ток в четвертой ветви

А.

Теперь по первому закону Кирхгофа найдем ток в третьей ветви:

Напряжение U_ac определим по второму закону Кирхгофа. Для этого возьмем контур с сопротивлениями R₅, R₃, R₂:

Отсюда находим

В.

Ток в ветви сопротивлением R₂

Ток в ветви с источником находим по первому закону Кирхгофа:

Напряжение на зажимах источника

В.

Этот приём можно использовать и для расчёта прямой задачи.

Для этого в наиболее удаленной от источника ветви произвольно задаемся некоторым значением тока (например, 1 А). Далее, продвигаясь к входным зажимам, рассчитываем токи в ветвях и напряжения на участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения источника U’, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как полученное значение напряжения U’ в общем случае будет отличаться от действительного значения напряжения U источника, то находим коэффициент K, равный отношению

на который следует умножить все найденные токи и напряжения, чтобы получить их действительные значения. Этот метод расчёта линейных электрических цепей называют методом пропорциональных величин.

1.6. Расчет сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая два и более источников электрической энергии, находящихся в различных ветвях.

Для анализа сложной электрической цепи её необходимо описать системой независимых уравнений, решив которые можно определить токи во всех ветвях, а следовательно, найти напряжения и мощности на всех участках.

В зависимости от поставленной задачи расчёта цепи можно применять любой из пяти ниже рассмотренных методов.

Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 5557;

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3,9)

где Z – комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

Уравнение 3.9 можно записать иначе. Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитудик комплексам действующих значенийи

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:

Подставив вместо выражениеи вынесяза скобку, получим. Таким образом,

— первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:

Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока

1) Резистивный элемент

В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой ,то есть

Напряжение на зажимах резистора

где — амплитудное значение напряжения на зажимах резистора,— начальные фазы напряжения и тока. Кривые изменения напряженияи токаi (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 3.6в).

Векторы исовпадают по направлению (уголφ=0). Переходя к действующим значениям можно записать

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.

2) Индуктивный элемент

Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С.действует навстречу току, а при уменьшении — в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 3.7а положительные направленияиимеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону и приL= const Э.Д.С. самоиндукции

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

где — амплитуда напряжения.

Произведениеобозначается,называетсяиндуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

Из выражения 3.18 следует, что на участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода. На рис. 3.7в вектор напряжения опережает вектор токаi на 90⁰, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения

индуктивное сопротивление пропорционально Если R =0, то средняя активная мощность равна 0

Законы Кирхгофа и Ома

Рис. 1.17. Схема замещения катушки индуктивности а –– на постоянном токе; б –– на низких частотах; в –– на высоких частотах

Rк –– активное сопротивление катушки; Cп –– паразитная межвитковая ёмкость

пользовать один резистивный элемент). С ростом частоты возрастёт влияние межвитковой ёмкости (витки выполнены из изолированного провода, таким образом два соседних можно рассматривать как конденсатор) (рис. 1.17).

На сверхвысоких частотах резко возрастает роль индуктивности и ёмкости выводов катушки индуктивности.

1.3. Законы Кирхгофа и Ома

Закон Ома и два закона (иногда их называют правилами) Кирхгофа являются основополагающими законами электротехники. Они полностью определяют электрическое состояние электрических цепей и лежат в основе всех электротехнических расчетов.

1.3.1. Закон Ома

Закон Ома, связывающий напряжение и ток в электрической цепи, был экспериментально открыт немецким физиком Георгом Симоном Омом (1787 –– 1854 гг.) в 1827 г.

Для пассивного участка цепи (рис. 1.18) закон Ома имеет вид:

i = Ru

где R –– сопротивление цепи.

2.4.2. Законы ома и кирхгофа в комплексном виде

Закон Ома в комплексном виде:

Ỉ=Ủ/Zили Ỉ=Y∙Ủ, (2.26)

где Ỉ – ток, протекающий в электрической цепи,

Ủ – напряжение. приложенное к электрической цепи,

Y– комплексная проводимость электрической цепи,

Z– комплексное сопротивление электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа. Сумма токов в проводах, сходящихся в узле электрической цепи равна нулю:

. (2.27)

Второй закон Кирхгофа. Сумма комплексных э.д.с. или напряжений, действующих в замкнутом контуре, равна сумме падений напряжений на элементах этого контура.

(2.28)

Законы Ома и Кирхгофа справедливы как для мгновенных, так и для действующих значений э.д.с. напряжений и токов.

Действующие(эффективное или среднеквадратическое напряжение) определяется выражением:

, (2.29)

где T – период колебаний напряжения, равный 1/f,

f – частота колебаний напряжения.

При строго синусоидальной форме колебаний действующее напряжение, равно: U=Um/, (2.30)

где Um-максимальное значение напряженияu(t).

Аналогично определяются действующие значения э.д.с. и токов.

2.4.3. Построение векторных диаграмм на вращающейся комплексной плоскости

Для облегчения построения векторных диаграмм на вращающейся плоскости необходимо запомнить следующие основные положения:

а) В цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

б) В идеализированной цепи только с индуктивным сопротивлением без потерь напряжение по фазе опережает ток на угол, равный 90 градусов

в) В цепи с чисто емкостным сопротивлением без потерь ток опережает по фазе напряжение на угол +90 градусов.

Рис.2.1.Мнемоническая схема, поясняющая возможные повороты

радиусов-векторов при различном включении r-L-Cэлементов.

При построении векторных диаграмм надо начинать построение с вектора напряжения или тока общего для всей анализируемой цепи. В частности при последовательном включение элементов цепи надо начинать с построения вектора тока, протекающего через все элементы цепи. При параллельном включении элементов цепи построение векторной диаграммы надо начинать с вектора общего приложенного напряжения, а затем строить вектора токов, протекающих через каждую из ветвей электрической цепи. Возможные сдвиги фаз векторов напряжения в электрических цепях, состоящих из различных комбинаций r-L-C элементов, приведены на мнемонической схеме (см. рис.2.1.).

Радиус-вектора на схеме и ниже выделяются жирным шрифтом или точками (черточками) над ними.

2.4.4. Резонанс напряжений в цепи, состоящей из последовательно включеных катушки индуктивности и конденсатора

Рассмотрим примеры такого анализа в предположении, что величины сопротивления, емкости и индуктивности не изменяются во времени и не зависят от приложенного напряжения и токов (см. рис.2.2).

Рис.2.2.Электрическая схема последовательно включенных r-L-C- элементов.

Процессы, происходящие в исследуемой цепи (в соответствии со вторым законом Кирхгофа) описываются (при постоянстве величин элементов во времени и независимости их от величины протекающего тока) линейным интегрально-дифференциальным уравнением:

u(t)=ri(t)+Ldi(t)/dt+1/C ∫i(t)dt, (2.31)

где u(t) – переменное напряжение, подаваемое от источника на колебательный контур,

i(t) – переменный ток, протекающий в цепи,

L – индуктивность,

r – активное сопротивление катушки индуктивности,

С – емкость конденсатора.

Сопротивление (r), индуктивность (L) и емкость (C) образуют колебательный контур, в котором возможен резонанс напряжений. Термин «резонанс напряжения» подразумевает, что при равенстве Х_l=Хc, переменные напряжения на элементах контура L и C увеличивается в Q раз по сравнению с напряжением подаваемым от источника на контур. Под величиной Q понимается добротность контура, равная Q=Хс/r.

При принятых предположениях уравнение (2.31) может быть представлено в следующем виде:

u(t)=i(t)*{r+j[X_l+Xc]}. (2.32)

Откуда следует выражение для комплексного сопротивления контура

Z=r+j{X_l–Xc}.

При резонансе напряжений, когда Х_l=Хс, Z=r, то есть сопротивление контура оказывается активным, а ток, протекающий через контур, достигает максимальной величины, равной i(t)макс=u(t)/r.

В данном случае построение векторной диаграммы надо начинать с общего для цепи вектора тока (Ỉ), затем строятся векторы напряжений. При последовательном соединении катушки индуктивности и емкости общее реактивное сопротивление цепи X равно алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивлений Xl и Хc. Приложенное к такой цепи напряжение можно представить в виде векторной суммы вектора падения напряжения на активном сопротивлении (U r), совпадающего по фазе с вектором тока; вектора падения напряжения на индуктивности (U_l), опережающего ток по фазе на угол 90° и вектора падения напряжения на емкости (Uc), отстающего по фазе от вектора тока на угол 90°.При этом возможны следующие случаи:

а) Индуктивное сопротивление больше емкостного (Х_l>Х_С). В этом случае входное напряжение будет опережать ток по фазе на угол φ (см. рис. 2.3.).

б) Емкостное сопротивление больше индуктивного (Х_l<Х_с). При этом ток опережает напряжение на угол φ. Векторная диаграмма тока и напряжений показана на рис. 2.4.

Uс–UL

Рис. 2.3 Рис. 2.4

в). Индуктивное сопротивление равно емкостному (Х_l=Xс). Соответственно полное реактивное сопротивление цепи (Х) равно нулю, а полное сопротивление цепиZ=r, т.е. достигает своего минимального значения. При этом ток будет по фазе совпадать с напряжением, т.е. уголφ=0.Векторная диаграмма токов и напряжений для этого случая приведена на рис. 2.5.