Проверка усвоения новых знаний и умений.

Учащиеся выполняют тест (приложение 1). Проверяют его сами (приложение 2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе отметки. Таблица соответствия отметок и баллов определяется учителем и выводится на доске.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Учащиеся получают домашнее задание.

Презентация

Статья по физике (11 класс) по теме: Решение задач на применение законов Кирхгофа

Решение задач на применение законов Кирхгофа

Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики

Статья относится к разделу : преподавание физики

Цели:

1. Образовательная.  Формировать понятие электрической цепи и ее элементов.  Научится применять законы Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических цепей.
2. Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить формирование коммуникативных умений.

Вид урока: практикум по решению задач.

        Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:  k=1nIk=0.        

Второй закон Кирхгофа:   k=1nuk=kEk.

Напомним правила знаков. Направления токов в узле выбирается произвольно. Притекающие в узел токи будем брать со знаком плюс, а вытекающие из узла – со знаком минус. Выбираем положительное направление обхода контура (обозначено овалом со стрелкой). Выбираем направление напряжения по направлению тока. Если «направление»  напряжения совпадает с направлением обхода контура, то напряжение берется со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. Обозначим стрелкой над ЭДС направление возрастания потенциала (от катода к аноду). Если эта стрелка совпадает с направлением обхода контура, то E берется со знаком плюс, если нет, то с минусом.

Рассмотрим стандартную задачу на расчет сложной электрической цепи постоянного тока.

Задача1. Даны две батареи аккумуляторов с ЭДС E1=10 B с внутренним сопротивлением r1=1 Ом, E2=8 В и r2=2 Ом.   Реостат имеет сопротивление R=6 Ом. Элементы цепи соединены по схеме, показанной на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.

Дано:

E1=10 B 

E2=8 B 

r1=1 Ом 

r2=2 Ом 

R=6 Ом 

Найти: I1, I2, I3=?

Решение:

Запишем уравнения законов Кирхгофа в соответствии с обозначениями на рисунке.

I1+I2-I3=0   u1-u2+0=E1-E20+u2+u3=E2 

Так как u1=I1r1, u2=I2r2, u3=I3R,  то

I1 +I2-I3=0                      I1r1-I2r2+0=E1-E20+I2r2+I3R=E2. 

 Подставим в полученную систему данные, получим:

I1+I2-I3=0 

1I1-2I2-I3=2 

0+2I2+6I3=8 .

Решим эту систему по правилу Крамера. Найдем определитель системы:

∆=11-11-20026=1∙-2026-1∙1006-1∙1-206=-20. 

Дополнительные определители для неизвестных:

∆I1=01-12-20826=0∙-2026-1∙2026-1∙2-282=-12-4+16=-32. 

∆I2=10-1120086=1∙2086-0∙1006-1∙1-208=12-8=4.

∆I3=1101-22028=1∙-2286-1∙1208+0∙1-202=-20-8=-28. 

Искомые значения токов определим по формуле Ik=∆Ik∆:

I1=3220=1,6 A,  I2=-420=- 0,2 A,  I3=2820=1,4 A. 

Как видно, пришлось находить определители третьего порядка. Напомним один из способов их определения. Схема расчета определителя третьего порядка:

∆=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11∙a22a23a32a33-a12∙a21a23a31a33+a13∙a21a22a31a32=

=a11a22a33-a32a23-a12a21a33-a31a23+a13(a21a32-a31a22).

Рассмотрим другие примеры.

Задача2. Резисторы с сопротивлениями R1=R2=1 Ом  и R3=2 Ом и конденсаторы емкостью C1=2 нФ, C2=3 нФ включены в цепь с ЭДС E=10 B (смотри рисунок), Внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Определите заряды, установившиеся на конденсаторах [1].

Дано:

R1=R2=1 Ом 

R3=2 Ом 

E=10 B 

C1=2 нФ 

С2=3 нФ 

                                                                                      q1=?; q2=?.

Решение:

Через конденсаторы постоянный ток не протекает. Тогда ток, который протекает по цепи, равен

I0=ER1+R2+R3=10 B4 Ом=2,5 А. Этот ток протекает через все резисторы. Чтобы определить заряды на конденсаторах, необходимо знать напряжения на них. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Поскольку всего два неизвестных, то и уравнений составим два.

u2+uC2=Eu2+u3+uC1=0. 

Напряжение u2=I0R2=2,5∙1=2,5 B. Из первого уравнения находим uC2=E-u2=7,5 B. Найдем напряжение на R3: u3=I0R3=2,5∙2 = 5 B. Из второго уравнения uC1=-u2-u3=

=-7,5 B. Заряды определим по формуле q=Cu:

q1=C1uC1=2∙7,5=15 нКл 

q2=C2uC2=3∙7,5=22,5 нКл. Это и есть ответы.

Приведем еще одну задачу в качестве примера применения законов Кирхгофа.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, ЭДС батареи E, сопротивление резистора R, индуктивности сверхпроводящих катушек — L1 и L2, причем L1>L2. Сначала замыкают ключ К1, а через некоторое ключ К2. Известно, что установившиеся токи через катушки L1 и L2 оказались одинаковыми. Определите силу тока, протекающего через резистор R в момент замыкания ключа К2. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь  [2].

Решение этой задачи, как и предыдущей, в указанных ссылках не приведено. Для решения также воспользуемся законами Кирхгофа.

Составим второе уравнение Кирхгофа при замкнутом ключе К1. Так как катушки индуктивности сверхпроводящие, то их омическое сопротивление равно нулю. Пусть в установившемся режиме сила тока равна I0. Имеем

uR+uL1=E.                         (1)

В некоторый момент времени сила тока равна i1. Перепишем (1) в виде:

i1R+L1∆i1∆t=E. 

При замыкании ключа К2 соответствующие уравнения примут вид

uR+uL2=E и  i2R+L2∆i2∆t=E.     

Здесь необходимо отметить, что после установившегося режима ∆i∆t=0. Только в момент включения ключей эти производные отличны от нуля. Пусть ток i и есть тот ток, который изменяется в момент включения ключа К2. По правилу Ленца, этот ток будет направлен навстречу внешнему току I0=ER.  А это значит, что в момент включения ключа К2 ток через резистор R уменьшится. Составим еще одно уравнение: uL2-uL1=0, или uL1=uL2.  Так как uL=L∆I∆t,  то L1∆I1∆t=

=L2∆I2∆t. В установившемся режиме сила тока I0. По условию задачи силы тока в катушках одинаковые, т. е. по I02 после установления при замыкании ключа К 2. Изменения ∆I1=i-I02, ∆I2=I02. Имеем L1i-L1I02=L2I22, откуда i=I02L1L1+L2. Ток, который протечет через резистор в момент включения ключа К 2 равен IR=I0-I02L1L1+L2=

=I0L1-L22L1. Так как I0=ER, тогда окончательно получим IR=EL1-L22RL1. По-видимому, это и будет ответом. Такого рода задачи хорошо проверяются на опыте. По крайне мере, можно зафиксировать скачок тока в резисторе и в какую сторону.

Задача4. Какой должна быть ЭДС  E источника тока, чтобы напряженность электрического поля в плоском конденсаторе была равна E=2 кВ/м, если внутреннее сопротивление источника тока r=2 Ом, сопротивление резистора R=10 Ом, расстояние между пластинами конденсатора d=2 мм[3].

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Кирхгофа для двух контуров, в которых указаны положительные направления обхода контуров.

uR+ur=E 

uC-uR=0 .

Так как uR=I0R, ur=I0r, то I0=ER+r. Из второго уравнения uC=uR=ERR+r. Для плоского конденсатора uC=Ed. Тогда

 E=uC(R+r)R =  Ed(R+r)R. Это ответ.

    Список использованной литературы.

1. Москалев А. Н., Никулова Г. А..Физика. Готовимся к единому государственному экзамену. – М.: Дрофа, 2008. – 224.
2. Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – М.: Дрофа, 2008, — 735 с.
3. Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты. ФИПИ. – М.: — Интеллект-Центр, 2010.-368 с.

Законы Кирхгофа для электрической цепи

Правильнее было бы говорить правила Кирхгофа для расчетов сложных электрических цепей постоянного тока. Электрическая цепь на практике может состоять из нескольких резисторов и источников тока. Такие цепи называют разветвленными. Уравнения позволяющие провести расчеты, например, сил токов, текущих в сопротивлениях, в любых сетях можно составить, воспользовавшись законом Ома и законом сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями вышеназванных законов и принципиально нового ни чего не привносят, однако, с их помощью можно упростить процедуру написания необходимых уравнений. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Одно правило называют правилом узлов, так как оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле. Второе правило касается замкнутых контуров, которые можно выделить в сложной цепи.

Первый закон (правило) Кирхгофа

В электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников с токами, тогда такую точку цепи называют узлом (разветвлением). Учитывая, что сила тока алгебраическая величина для любого узла:

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.

Второй закон (правило) Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматриваются замкнутые контуры, поэтому оно носит название правила контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

Величины называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

1.7. Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряже­ниями в разветвленных электрических цепях произвольного типа.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, чтоалгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю

Рис. 1.15

где – число токов, сходящихся в данном узле.

Например, для узла электрической цепи (рис. 1.15) уравне­ние по первому закону Кирхгофа можно записать в виде

.

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты поло­жительными.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгеб­раической сумме ЭДС в этом контуре

, (1.30)

где k– число источников ЭДС;– число ветвей в замкнутом контуре;– ток и сопротивление-й ветви.

Рис. 1.16

.

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпа­дает с направлением произвольно выбранного об­хода контура;

2) падение напряжения на резисторе положи­тельно, если направление тока в нем совпадает с на­правлением обхода.

1.8. Преобразование линейных электрических схем

Расчет и исследование сложных электрических схем во многих случаях можно значительно облегчить за счет преобразования. Суть преобразования заключается в замене участков цепи эквивалентными, но более простыми, т.е. не вызывающими изменения напряжения и токов в остальной части цепи.

1.8.1. Последовательное соединение резисторов

Если несколько резисторов соединены один за другим без разветвлений и по ним протекает один и тот же ток, такое соединение называется последова­тельным(рис. 1.17 а). Обозначим сопротивления отдельных резисторов через, а напряжения на них соответственно.

По второму закону Кирхгофа имеем

. (1.31)

Разделим обе части формулы (1.31) на ток

или

. (1.32)

Таким образом, при последовательном соединении эквивалентное или об­щее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных участков цепи (рис. 1.17 б). В общем случае

, (1.33)

где – число последовательно соединенных резисторов.

Ток в этой цепи

.

Напряжения на отдельных участках определяются по формулам

.

Последовательное соединение приемников энергии нашло широко применя­ется в различных областях техники. Оно используется обычно в тех слу­чаях, когда расчетное напряжение приемника меньше напряжения источника электрической энергии.

1.8.2. Параллельное соединение резисторов

Параллельнымсоединением приемников называется такое соединение, при котором к одним и тем же двум узлам электрической цепи присоединяется несколько ветвей (рис. 1.18).

Рис. 1.18

;

или

. (1.34)

Сократив обе части равенства на , получим

или

. (1.35)

Таким образом, общая (эквивалентная) проводимость при параллельном соединении приемников равна сумме проводимостей параллельных ветвей.

Из формулы (1.34) определяем общее сопротивление трех ветвей

. (1.36)

Если параллельно включены одинаковых резисторовR_i, то эквивалент­ное сопротивление цепивраз меньше сопротивления одной ветви

. (1.37)

Во всех случаях параллельного соединения эквивалентное сопротивление меньше самого малого из параллельно включенных.

Практический интерес представляет цепь с двумя параллельными резисто­рами (рис. 1.19). Эквивалентное сопротивление ее рассчитывают по формуле

Рис. 1.19

Токи в ветвях можно выразить через общий ток

;.

Параллельное соединение имеет свои особенности: все приемники находятся под одним напряжением; при неизменном напряжении отключение одного или не­скольких приемников энергии не нарушает режима работы оставшихся вклю­ченными приемников.