Закон кирхгофа решение задач: Задачи на правило Кирхгофа с решением

Содержание

Постоянный ток: законы Кирхгофа

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов – столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов – уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально – есть видео.

Задача 1. Два элемента с В и В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление .

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

   

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

   

   

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

   

   

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

   

Выразим из второго уравнения, а – из третьего:

   

   

Подставим эти выражения в первое уравнение:

   

   

   

   

   

Тогда токи и

   

   

Ответ: A, A, A.
Задача 2. Найти силу тока на всех участках цепи‚ если В, В‚ В, Ом‚ Ом‚ Ом‚ Ом‚  Ом, Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.  Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

   

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , .

Ответ: , , .

 

Задача 3. В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если В, кОм; В, кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

   

   

Приравнивая, получим

   

Заметим, что, если  , то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: .

Задача 4. В цепи   В‚ В, Ом,  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

   

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , , , , .

Ответ: , , , , , .
Задача 5. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

   

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала Ом и В.  В итоге получилось: , , , , , .

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.

Алгоритм решения задач на законы Кирхгофа

Задачи на применение закона Кирхгофа решаются в школе не часто, и не во всех классах. Работая в школе, я давала законы Кирхгофа только тем ребятам, кто готовился к олимпиадам по физике, и учащимся, которые готовились в ВУЗы.

Задачи на использование законов Кирхгофа есть даже не всех сборниках задач, рекомендованных для использования в средней школе.

Ниже приведён алгоритм решения задач по данной теме. Алгоритм не сложен. Использование данного алгоритма поможет Вам в решении задач по этой теме.

Итак, начнем. Сначала необходимо выполнить некоторые подготовительные операции.

  • перерисовать схему
  • указать направление ЭДС источников тока
  • указать предполагаемое направление токов, текущих в каждом резисторе (если итоговый ответ будет отрицательным, то направление тока было изначально выбрано не верно)
  • выбрать направление обхода для всех линейно независимых контуров

После проведения предварительных операций, приступаем собственно к решению самой задачи.

  • Записываем первый  закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих и вытекающих в данный узел, равна нулю.

Важно! Если ток втекает в узел, то он берётся со знаком «плюс», если вытекает, то со знаком «минус». Число уравнений второго закона Кирхгофа равно n-1, где n — число узлов в данной схеме. (Узел — точка, в которой соединяются три проводника и более).

  • Записываем второй закон Кирхгофа для всех линейно независимых контуров: Сумма ЭДС в контуре равно сумме падений напряжений в каждом из этих контуров.

Важно! Если направление ЭДС  совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «плюс». Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «минус». Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берётся со знаком «плюс». Если направление тока через какой-либо резистор не совпадает с направлением обхода в данном контуре, то падение напряжения берётся со знаком «минус».

 

Решаем систему получившихся уравнений, относительно неизвестных величин.

Чаще всего в задачах этого типа, основную сложность представляет именно решение системы получившихся уравнений.

Ниже показан пример решения задачи с использованием законов Кирхгофа. Обратите внимание ещё раз на основные этапы решения. Они полностью соответствуют алгоритму, описанному выше.

Вот условие этой задачи.

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех резисторов и амперметра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3

= 20 Ом, ЭДС элемента ?1 = 2 В. Амперметр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ?2 второго элемента. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Удачи в освоении этой довольно сложной темы!

Возникающие вопросы можете оставлять в комментариях.

Вы можете оставить комментарий, или поставить трэкбек со своего сайта.

Написать комментарий

7.2. Порядок решения задач на законы Кирхгофа

1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.

2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше чем число контуров. Чтобы составить необходимое число независимых уравнений надо придерживаться следующего правила: Выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было нив одном ранее рассмотренных контуров.

3. Используя первый закон Кирхгофа можно написать ( n – 1) уравнений, где nчисло узлов в рассматриваемой цепи.

4. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак « – ».

ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.

Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.

5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.

7.3. Примеры решения задач на законы Кирхгофа

П р и м е р 1.

Два элемента с одинаковыми ЭДС e1 = e2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I1 = 1 А. Найдите сопротивление R, ток I2, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I

1 = 1 A

________

Найти:

I2 =? R=? I=?

Решение:

1.Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.

3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:

I1 + I2I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а выходящие с знаком»–». Уравнение для второго узла будет тождественно первому.

4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», т.к. направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках

Uå = IR +I1 r.

В этот контур входит только один источник тока e1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = e1.

Для второго контура, рассуждая аналогично, получим

U2 = +I2r2 + IR. ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».

Второе уравнение имеет вид: I2R2 + IR = e2.

5. Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, находим величину тока I2

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений системы:

.

Ответ: ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 0,66 Ом.

П р и м е р 2.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС e1 = e2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = r 2 = 0,5 Ом. Найдите токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через первый элемент. Схема заданной цепи изображена на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 В;

r1=r2=0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

I1 – ? I2 – ? I – ?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны верно.

2. Выберем два контура обхода: большой и малый. Укажем направления обходов по контурам. Контуров обхода в заданной цепи можно выбрать три, но для нахождения трех неизвестных величин достаточно трех уравнений. Узлов всего два, поэтому можно составить только одно уравнение, применяя первый закон Кирхгофа. Недостающих два уравнения составим используя второй закон Кирхгофа.

3. Для первого узла запишем:

I2 + I1I = 0.

4. Учитывая правила определения знаков всех слагаемых при применении второй закон Кирхгофа для большого контура, получаем уравнение:

I r1 + I2r2 + I2R2 = e1 + e2.

Для малого контура:

I r1 + I1R1 = e1.

5.Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными величинами I1; I2 и I.

Решать систему линейных уравнений можно разными способами. В случае, когда система состоит из большого числа уравнений удобно пользоваться методом Крамера (методом определителей). Проиллюстрируем применение этого метода решения на нашей системе уравнений. Для этого перепишем систему ещё раз:

или в численном виде; если поделить правую и левую части второго и третьего уравнении на « 0,5» получим

Искомые величины токов по методу определителей находятся следующим образом: и ,

где определители — определитель системы уравнений, и -определители, которые получаются заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, полученными из свободных членов уравнений образующих систему (с учетом заданных числовых значений). Запишем эти определители:

По приведенным выше формулам, получаем

и .

Значение третьего тока можно найти аналогичным способом, но проще его значение получить из первого уравнения нашей системы:

I2 + I1I = 0 или I = I2 + I1 = 1,33 + 1,33 = 2,66 А

Знаки у всех полученных значений силы тока положительные, это свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, все направления токов были выбраны правильно.

Ответ: I1 = 1,33 А ; I2 = 1.33 А;I = I1 + I2 = 2.66 А.

П р и м е р 3.

Два элемента с одинаковыми ЭДС 1 = 2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с ЭДС 1 — течет ток I1 = 1 А. Найти сопротивление R и ток I2, текущий через элемент с ЭДС 2. Какой ток течет через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I1 = 1 A

__________

+I2 — ?

R — ? I — ?

Выберем направления токов на всех участках цепи. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для первого узла:

I1 + I2I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком «+», а входящие с «–». Всего можно написать одно уравнение, т.к. второе будет тождественно первому.

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Запишем уравнение для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках 1-го контура напишем со знаком «+», т.к. направление обхода на этих участках совпадает с направлением тока

U = IR +I1 r.

В этот контур входит только ЭДС 1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = 1.

Для второго контура U2 = +I2r2 + IR. И ЭДС будет входить в уравнение также со знаком «+».

Запишем уравнение I2R2 + IR = 2.

Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, получаем

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений

.

Ответ. Ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 2/3 Ом.

П р и м е р 4.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС 1 = 2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = l2 =0,5 Ом. Найти токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через элемент с ЭДС. Схема изображена на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 В;

r1 = r2 = 0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

_____________

I1 — ?

I2 — ?

I — ?

Решение:

Выберем направления токов на всех участках. Запишем первый закон Кирхгофа для 1-го узла

I2 + I1 = I .

Выберем большой и малый контуры обхода. Для большого контура уравнение будет иметь вид:

Ir1 + I2r2 + I2R2 = 1 + 2.

Для малого контура

Ir1 + I1R1 = 1.

Получили три уравнения

В эти уравнения входят три неизвестных величины I1; I2 и I. Решаем систему уравнений и находим

I1 = 2,28 А ; I2 = 0,56 А;I = I1 + I2 = 1,72 А.

Решение задач на применение законов Кирхгофа | Статья по физике (11 класс) по теме:

Решение задач на применение законов Кирхгофа

Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики

Статья относится к разделу : преподавание физики



Цели:

  1. Образовательная.  Формировать понятие электрической цепи и ее элементов.  Научится применять законы Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических цепей.
  2. Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить формирование коммуникативных умений.

Вид урока: практикум по решению задач.

        Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:  k=1nIk=0.        

Второй закон Кирхгофа:   k=1nuk=kEk.

Напомним правила знаков. Направления токов в узле выбирается произвольно. Притекающие в узел токи будем брать со знаком плюс, а вытекающие из узла – со знаком минус. Выбираем положительное направление обхода контура (обозначено овалом со стрелкой). Выбираем направление напряжения по направлению тока. Если «направление»  напряжения совпадает с направлением обхода контура, то напряжение берется со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. Обозначим стрелкой над ЭДС направление возрастания потенциала (от катода к аноду). Если эта стрелка совпадает с направлением обхода контура, то E берется со знаком плюс, если нет, то с минусом.

Рассмотрим стандартную задачу на расчет сложной электрической цепи постоянного тока.

Задача1. Даны две батареи аккумуляторов с ЭДС E1=10 B с внутренним сопротивлением r1=1 Ом, E2=8 В и r2=2 Ом.   Реостат имеет сопротивление R=6 Ом. Элементы цепи соединены по схеме, показанной на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.

Дано:

E1=10 B 

E2=8 B 

r1=1 Ом 

r2=2 Ом 

R=6 Ом 


Найти: I1, I2, I3=?

Решение:

Запишем уравнения законов Кирхгофа в соответствии с обозначениями на рисунке.

I1+I2-I3=0   u1-u2+0=E1-E20+u2+u3=E2 

Так как u1=I1r1, u2=I2r2, u3=I3R,  то

I1 +I2-I3=0                      I1r1-I2r2+0=E1-E20+I2r2+I3R=E2. 

 Подставим в полученную систему данные, получим:

I1+I2-I3=0 

1I1-2I2-I3=2 

0+2I2+6I3=8 .

Решим эту систему по правилу Крамера. Найдем определитель системы:

∆=11-11-20026=1∙-2026-1∙1006-1∙1-206=-20. 

Дополнительные определители для неизвестных:

∆I1=01-12-20826=0∙-2026-1∙2026-1∙2-282=-12-4+16=-32. 

∆I2=10-1120086=1∙2086-0∙1006-1∙1-208=12-8=4.

∆I3=1101-22028=1∙-2286-1∙1208+0∙1-202=-20-8=-28. 

Искомые значения токов определим по формуле Ik=∆Ik∆:

I1=3220=1,6 A,  I2=-420=- 0,2 A,  I3=2820=1,4 A. 

Как видно, пришлось находить определители третьего порядка. Напомним один из способов их определения. Схема расчета определителя третьего порядка:

∆=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11∙a22a23a32a33-a12∙a21a23a31a33+a13∙a21a22a31a32=

=a11a22a33-a32a23-a12a21a33-a31a23+a13(a21a32-a31a22).

        

Рассмотрим другие примеры.

Задача2. Резисторы с сопротивлениями R1=R2=1 Ом  и R3=2 Ом и конденсаторы емкостью C1=2 нФ, C2=3 нФ включены в цепь с ЭДС E=10 B (смотри рисунок), Внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Определите заряды, установившиеся на конденсаторах [1].

                                                                   

Дано:

R1=R2=1 Ом 

R3=2 Ом 

E=10 B 

C1=2 нФ 

С2=3 нФ 

                                                                                      q1=?; q2=?.

Решение:

Через конденсаторы постоянный ток не протекает. Тогда ток, который протекает по цепи, равен

I0=ER1+R2+R3=10 B4 Ом=2,5 А. Этот ток протекает через все резисторы. Чтобы определить заряды на конденсаторах, необходимо знать напряжения на них. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Поскольку всего два неизвестных, то и уравнений составим два.

u2+uC2=Eu2+u3+uC1=0. 

Напряжение u2=I0R2=2,5∙1=2,5 B. Из первого уравнения находим uC2=E-u2=7,5 B. Найдем напряжение на R3: u3=I0R3=2,5∙2 = 5 B. Из второго уравнения uC1=-u2-u3=

=-7,5 B. Заряды определим по формуле q=Cu:

q1=C1uC1=2∙7,5=15 нКл 

q2=C2uC2=3∙7,5=22,5 нКл. Это и есть ответы.

Приведем еще одну задачу в качестве примера применения законов Кирхгофа.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, ЭДС батареи E, сопротивление резистора R, индуктивности сверхпроводящих катушек — L1 и L2, причем L1>L2. Сначала замыкают ключ К1, а через некоторое ключ К2. Известно, что установившиеся токи через катушки L1 и L2 оказались одинаковыми. Определите силу тока, протекающего через резистор R в момент замыкания ключа К2. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь  [2].

Решение этой задачи, как и предыдущей, в указанных ссылках не приведено. Для решения также воспользуемся законами Кирхгофа.

Составим второе уравнение Кирхгофа при замкнутом ключе К1. Так как катушки индуктивности сверхпроводящие, то их омическое сопротивление равно нулю. Пусть в установившемся режиме сила тока равна I0. Имеем

uR+uL1=E.                         (1)

В некоторый момент времени сила тока равна i1. Перепишем (1) в виде:

i1R+L1∆i1∆t=E. 

При замыкании ключа К2 соответствующие уравнения примут вид

uR+uL2=E и  i2R+L2∆i2∆t=E.     

Здесь необходимо отметить, что после установившегося режима ∆i∆t=0. Только в момент включения ключей эти производные отличны от нуля. Пусть ток i и есть тот ток, который изменяется в момент включения ключа К2. По правилу Ленца, этот ток будет направлен навстречу внешнему току I0=ER.  А это значит, что в момент включения ключа К2 ток через резистор R уменьшится. Составим еще одно уравнение: uL2-uL1=0, или uL1=uL2.  Так как uL=L∆I∆t,  то L1∆I1∆t=

=L2∆I2∆t. В установившемся режиме сила тока I0. По условию задачи силы тока в катушках одинаковые, т. е. по I02 после установления при замыкании ключа К 2. Изменения ∆I1=i-I02, ∆I2=I02. Имеем L1i-L1I02=L2I22, откуда i=I02L1L1+L2. Ток, который протечет через резистор в момент включения ключа К 2 равен IR=I0-I02L1L1+L2=

=I0L1-L22L1. Так как I0=ER, тогда окончательно получим IR=EL1-L22RL1. По-видимому, это и будет ответом. Такого рода задачи хорошо проверяются на опыте. По крайне мере, можно зафиксировать скачок тока в резисторе и в какую сторону.

Задача4. Какой должна быть ЭДС  E источника тока, чтобы напряженность электрического поля в плоском конденсаторе была равна E=2 кВ/м, если внутреннее сопротивление источника тока r=2 Ом, сопротивление резистора R=10 Ом, расстояние между пластинами конденсатора d=2 мм[3].

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Кирхгофа для двух контуров, в которых указаны положительные направления обхода контуров.

uR+ur=E 

uC-uR=0 .

Так как uR=I0R, ur=I0r, то I0=ER+r. Из второго уравнения uC=uR=ERR+r. Для плоского конденсатора uC=Ed. Тогда

 E=uC(R+r)R =  Ed(R+r)R. Это ответ.

    Список использованной литературы.

  1. Москалев А. Н., Никулова Г. А..Физика. Готовимся к единому государственному экзамену. – М.: Дрофа, 2008. – 224.
  2. Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – М.: Дрофа, 2008, — 735 с.
  3. Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты. ФИПИ. – М.: — Интеллект-Центр, 2010.-368 с.

Законы Кирхгофа, теория и примеры задач

Законы Кирхгофа (или правила Кирхгофа) – это приемы, которые используют для того, чтобы упрощать процедуру составления систем уравнений необходимых при расчетах сложных разветвленных цепей постоянного тока. Разветвленными цепями называют цепи, которые содержат несколько замкнутых контуров с несколькими источниками ЭДС.

Узлом цепи называют такую точку цепи, в которой сошлись три или более проводников с токами.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа еще называют правилом узлов. Так как он касается именно узлов цепи и токов в них. Словесно этот закон формулируется следующим образом: Сумма токов в цепи с учетом их знаков равна нулю. В математическом виде этот закон представляют как формулу:

   

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда. Если в цепи текут только постоянные токи, то нет в этой цепи точек, которые накапливали бы заряд. Иначе токи не были бы постоянными.

Первый закон Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второй закон Кирхгофа

Во втором законе Кирхгофа рассматривают контуры, поэтому он еще называется правилом контуров. Формулируется второй закон Кирхгофа так: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

   

Величины еще называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника.

Второй закона Кирхгофа является следствием закона Ома.

Любую цепь можно рассчитать при помощи закона сохранения заряда и закона Ома, правила Кирхгофа являются лишь подходами, упрощающими расчетные задачи.

При составлении уравнение, используя законы Кирхгофа, следует внимательно следить за расстановкой знаков у токов и ЭДС.

Примеры решения задач

1.4. Уравнения Кирхгофа в решении задачи анализа

Первый закон (правило) Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом из узлов схемы, равна нулю:

;

2) сумма подтекающих к узлу токов равна сумме вытекающих из узла токов:

.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в том же контуре:

;

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

.

Для решения задачи анализа необходимо составить столько уравнений первого закона Кирхгофа, сколько цепь содержит узлов без одного (), и столько уравнений второго закона Кирхгофа, сколько цепь содержит ветвей без числа уравнений первого закона . Здесь y – число узлов электрической цепи , а b – число ветвей цепи.

При составлении уравнений второго закона Кирхгофа необходимо стремиться выбирать элементарные контуры и помнить о том, чтобы в каждом следующем уравнении появлялась хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая ни в одно из предыдущих уравнений. Элементарным называют контур, внутри которого нет ветвей.

Общее количество уравнений Кирхгофа должно соответствовать числу ветвей, которое будет соответствовать числу неизвестных токов.

Расчет токов ветвей по уравнениям Кирхгофа

Пусть дана схема (рис. 1.8), в которой заданы: Поставим задачу, определить:

Составим уравнение (1) по первому закону Кирхгофа для узла (а) и два уравнения (2) и (3) по

второму закону Кирхгофа для элементарных контуров I и П. Получим систему уравнений:

Найдем главный определитель системы (1.3):

и алгебраическое дополнение

, заменяя первый столбец главного определителя столбцом правой части системы (1.3).

Решение для тока I1 , будет иметь вид:

.

Аналогично замещая столбцом правой части системы (1.3) второй столбец главного определителя, а потом третий получим токи I3 и I4:

; .

Таким образом, задача анализа для заданной цепи решена.

Методическая разработка занятия «Решение задач на разветвлённые цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа»

Н.Б. Хомутская

преподаватель физики

ГБПОУ КО «Калужский колледж народного хозяйства и природообустройства»

город Калуга, Россия

[email protected]

Методическая разработка занятия по дисциплине «Физика» для повышения познавательной активности способных студентов 1 курсов по теме: «Решение задач на разветвлённые цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа».

Дата проведения занятия: 24 апреля 2014 года.

Эпиграф к уроку:

«При изучении наук примеры не менее

поучительны, нежели правила»

И. Ньютон.

Актуальность темы: на практике часто приходиться рассчитывать сложные разветвлённые электрические цепи, содержащие узлы. Непосредственное применение закона Ома для полной цепи обычно затруднительно и приводит к ошибкам в расчёте.

Трудности при решении подобных задач упрощаются, если применять правила Кирхгофа.

Цели урока:

  • обобщить и оценить знания студентов по данной теме;

  • проверить умения учащихся применять правила Кирхгофа при расчёте разветвлённой цепи постоянного тока;

  • развивать мышление, речь, умение комментировать, тренировать память;

  • прививать интерес к дисциплине, путём понимания её актуальности в развитии практических компетенций.

Методы и приёмы: словестный, наглядный.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, «Листы учёта знаний», содержащие вопросы и задания.

План урока:

1.Повторение основных понятий разветвлённых электрических цепей.

2.Повторение закона Ома для полной цепи и правил Кирхгофа.

3.По данной схеме восстановить последовательность использования правил Кирхгофа

при расчёте сложной разветвлённой электрической цепи.

4.Расчёт электрической цепи, изображённой на схеме.

Ход урока:

1этап.

1.Организационный момент: студенты занимают свои места, готовят необходимые принадлежности для урока, проверка присутствующих.

2.Оглашение темы урока: преподаватель объявляет тему уроку, зачитываетэпиграф, план урока; учащиеся записывают тему и план в рабочую тетрадь.

3. Получение необходимой информации: преподаватель раздаёт учащимся «Листы учёта знаний», предлагает записать на них свои фамилии и напоминает правила их заполнения.

«Лист учёта знаний» для группы №1.

Фамилии студентов:

Формулировка задания

Возможное

количество

баллов

Набранное количество

баллов

Примечание

1.

Что называют узлом в разветвлённой электрической цепи?

1

2.

Сформулируйте закон Ома для полной цепи и запишите его математическую формулу.

2

3.

Что означает, если при решении задачи значение какого-нибудь тока получится отрицательным?

1

4.

Как выбрать направление обхода замкнутого контура

(по часовой или против часовой стрелки)?

1

5.

Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.

1

6.

Дополнение ответов — каждое

1

7.

Итого:

«Лист учёта знаний» для группы №2.

Фамилии студентов:

Формулировка задания

Возможное

количество

баллов

Набранное количество

баллов

Примечание

1.

Что называют ветвью в разветвлённой электрической цепи?

1

2.

Сформулируйте первое правило Кирхгофа и запишите его математическую формулу.

2

3.

В каком случае перед Э.Д.С. ставится знак «+», если идти от отрицательного полюса к положительному или от положительного к отрицательному?

1

4.

В одной ветке цепи (участок между узлами) сколько значений и сколько направлений может иметь ток?

1

5.

Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.

1

6.

Дополнение ответов — каждое

1

7.

Итого:

«Лист учёта знаний» для группы №3.

Фамилии студентов:

Формулировка задания

Возможное

количество

баллов

Набранное количество

баллов

Примечание

1.

Что называют замкнутым контуром в разветвлённой электрической цепи?

1

2.

Сформулируйте второе правило Кирхгофа и запишите его математическую формулу.

2

3.

Токи, подходящие к узлу, считаются положительными или отрицательными?

1

4.

Как выбрать на всех участках цепи направления токов?

1

5.

Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.

1

6.

Дополнение ответов — каждое

1

7.

Итого:

2этап.

Воспроизведение основных структурных блоков темы:

а) теоретическая часть.

1) Каждой группе студентов предлагается ответить на 4 вопроса, сформулированные в «Листе учёта знаний». Представители от каждого стола зачитывают последовательно свои ответы. Учащиеся за другими столами следят за правильностью ответов и при необходимости делают замечание, дополнение и получают за это дополнительные баллы. После каждого ответа появляется на доске слайд с правильным ответом.

По итогам работы студенты проставляют в «Лист учёта знаний» баллы, заработанные ими на этом этапе.

2) Работа у доски по схеме.

На доске появляется слайд с изображением схемы разветвлённой электрической цепи.

Учитель с помощью студентов выясняет из каких элементов состоит электрическая цепь, сколько она содержит узлов, ветвей, контуров и задаёт обход контуров и направления токов.

Группа №1 записывает уравнения для узла А и узла F. Группа №2 записывает уравнение для контура ВАКFВ. Группа №3 записывает уравнение для контура ВFDCВ.

Студенты каждой группы внимательно следят за работой своего представителя и могут подкорректировать его запись, если он где-то ошибся.

По окончании этой работы студенты выполняют проверку:

У первой группы работу проверяют студенты второй группы; у второй группы – студенты третьей группы; у третьей группы – студенты первой группы.

1 балл –записаны правильно уравнения для узлов;

1 балл – записаны правильно уравнения для контуров.

Заработанные баллы за это задание студенты каждой группы проставляют в «Лист учёта знаний».

б) выполнение практического задания.

На доске появляется схема электрической цепи.

Преподаватель диктует условие задачи и открывает слайд с данными условия задачи, учащиеся перерисовывают схему и записывают данные задачи в тетрадь.

Задача.

Определить силу токов, текущих в ветвях, если ξ1 = 2,1 В, ξ2 =1,9 В, внешние сопротивления

R1=45 Ом, R2 =10 Ом, R3 =10 Ом. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.


Дано:

ξ1 = 2,1В

ξ2 =1,9 В

R1=45 Ом

R2 =10 Ом

R3 =10 Ом

r1= r2=0

I1 =?, I2 = ?,I3=?

Решение:

1). Выберем направление обхода контура по часовой стрелке.

2). Выберем и обозначим на схеме стрелками направления токов на всех участках цепи.

(Помним, что в пределах одной ветки ток имеет одно значение и одно направление).

3). По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла А. Пусть ток I2входит в узел А, а

токи I1иI3 выходят из узла А.

(Если в цепи kузлов, то достаточно составить k – 1 уравнений).

В нашей цепи 2 узла А и С, поэтому достаточно составить одно уравнение:

I2I1I3=0 (для узла А) или I1 + I3I2 = 0 (для узла С)

4). Составим уравнения для замкнутых линейно не зависимых контуров данной цепи по второму

правилу Кирхгофа:

Замкнутых контуров в нашей цепи три –АВСА, АСDА и АВСD, но контур АВСD линейно и

зависим, поэтому достаточно составить два уравнения:

I3R3I1R11 (для контура АВСА)

I1R1 + I2R2 = — ξ2 (для контураАСDА).

5). Составим систему уравнений, подставим данные из условий задачи:

— I1 + I2 -I3= 0

-R1 I1+ 0+ R3I3= ξ1

R1 I1+R2I2 + 0 = —ξ2

I1 + I2 I3 = 0

-45I1 + 0+ 10I3 = 2,1

45I1+ 10 I2 + 0 = — 1,9 (можно решить систему формулами Крамера)

Обозначим I1= х1; I2 = х2; I3= х3

Получили: I1 = — 0,04 А; I2 = — 0,01А; I3= 0,03А

Отрицательные значения токов I1 и I2 означают, что надо изменить первоначально выбранные направления этих токов на схеме, а значения токов взять без минуса.

Проверка: в уравнениеI1 + I2 I3 = 0 подставим полученные значения токов

-(-0,04) + (-0,01) – 0,03 =0

Ответ: I1 = 0,04 А; I2 = 0,01А; I3= 0,03А

3этап.Формулировка домашнего задания.

Решить задачу, текст которой студенты записывают в тетрадь.

Задача.

Определить силу токов, текущих в ветвях, если ξ1 = 10 В, ξ2 = 24 В, внутренние сопротивления источников r1 = 2 Ом, r2 = 6 Ом, внешнее сопротивление R =16 Ом.


Дано:

ξ1 = 10 В

ξ2 = 24 В

r1 = 2 Ом

r2 = 6 Ом

R =16 Ом

Определить:

I1 =?, I2 = ?,I=?

4 этап. Подведение итогов урока.

1). Самооценка работы учащимися:

— подсчёт количества выполненных заданий и заработанных баллов;

— какие работы вызвали затруднения и требуют повторения?

2). Оценка работы студентов преподавателем. Сбор «Листов учёта знаний» и выставление

оценок.

Итоговая оценка за урок выставляется с учётом набранных баллов по «Листу учёта знаний» и индивидуальной работы каждого студента.

Структура урока обобщения и систематизации знаний.

Этап урока

Время

Методическая цель

Развитие компетенций

1

2

3

4

Первый этап

Организационный момент

Оглашение темы и задача урока

Получение необходимой информации

2 мин.

5мин.

5 мин.

готовность к уроку

обеспечить понимание учащихся их деятельности, чего они должны достигнуть в результате урока

инструктаж студентов для выполнения задания

Второй этап

Воспроизведение основных

структурных блоков темы:

а) теоретическая часть;

б) выполнение практического задания

33 мин.

35 мин.

установление уровня овладения студентами теоретических знаний

проверка и оценка умений обучающихся

ОК 6

ОК7

ОК6

Третий этап

Домашнее задание

5 мин.

закрепление пройденного материала

Четвёртый этап

Подведение итогов

5 мин.

а) самооценка работы

студентами (подсчёт

баллов)

б) оценка работы студентов

преподавателем

При проведении занятий по физике для всех специальностей большое значение уделяется практическим занятиям – решению задач. Умение решать задачи делает знание действительными, практически применяемыми.

1)

2)

3)

правил Кирхгофа | Физика

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Рис. 5. Эта схема аналогична схеме на рис. 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви отмечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для определения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи не могут быть найдены с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.Токи обозначены на рисунке I 1 , I 2 и I 3 , и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а.Это дает

I 1 = I 2 + I 3 ,

, так как I 1 течет в стык, а I 2 и I 3 вытекает. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.Теперь рассмотрим цикл abcdea. Двигаясь от a к b, мы проходим R 2 в том же (предполагаемом) направлении тока I 2 , поэтому изменение потенциала составляет — I 2 R 2 . Затем, переходя от b к c, мы переходим от — к +, так что изменение потенциала составляет + ЭДС 1 . Прохождение внутреннего сопротивления r 1 от c до d дает — I 2 r 1 .Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала — I 1 R 1 . Правило цикла гласит, что изменения в потенциале равны нулю. Таким образом,

I 2 R 2 + ЭДС 1 I 2 r 1 I 1 R 1 = — I 2 ( R 2 + r 1 ) + ЭДС 1 I 1 R 1 = 0.

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

−3 I 2 + 18 — 6 I 1 = 0.

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

+ I 1 R 1 + I 3 R 3 + I 3 r 2 — ЭДС 2 = + I 1 R 1 + I 3 ( R 3 + r 2 ) — ЭДС 2 = 0.

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+6 I 1 + 2 I 3 — 45 = 0.

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение относительно I 2 :

I 2 = 6 — 2 I 1 .

Теперь решите третье уравнение относительно I 3 :

I 3 = 22,5 — 3 I 1 .

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I 1 :

I 1 = I 2 + I 3 = (6−2 I 1 ) + (22,5− 3 I 1 ) = 28,5 — 5 Я 1 .

Объединение терминов дает

6 I 1 = 28,5 и

I 1 = 4,75 А.

Подставляя это значение вместо I 1 обратно в четвертое уравнение, получаем

I 2 = 6 — 2 I 1 = 6 — 9,50

I 2 = −3,50 A.

Знак минус означает, что I 2 течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.Наконец, подстановка значения I 1 в пятое уравнение дает

I 3 = 22,5 — 3 I 1 = 22,5 — 14. 25

I 3 = 8,25 А.

Обсуждение

В качестве проверки отметим, что действительно I 1 = I 2 + I 3 . Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Законы Кирхгофа

  • Действующий закон Кирхгофа (KCL)

  • Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

Действующий закон Кирхгофа (KCL) :

Алгебраическая сумма всех токов, входящих в узел, всегда должна быть равна нулю

, где i n — это n -й ток .N — количество ветвей.

Обычное задание:

  1. , если ток входит в узел, присвойте отрицательный знак «-» и
  2. , если ток покидает узел, присвойте положительный знак «+».

Для следующего рисунка

Уравнение узла можно записать как

Чтобы использовать KCL для анализа схемы,

  1. Напишите уравнения KCL для токов

  2. Используйте закон Ома, чтобы записать токи через напряжения Боде (одно уравнение для каждого резистора)

  3. Решить, чтобы найти значения напряжения и тока узла


Пример: Найдите ток через сопротивление 20 Ом и ток через сопротивление 40 Ом


Закон Кирхгофа о напряжении (KVL):

Алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре всегда должна быть равна нулю.

, где v n — напряжение n -го . N — количество элементов в контуре

Обычное задание:

  1. Если положительная (+) сторона напряжения встречается первой, присвойте положительный знак «+» напряжению на элементе.
  2. Если сначала встречается отрицательная (-) сторона напряжения, присвойте отрицательный знак «-» напряжению на элементе.

Для следующего рисунка

Чтобы использовать KVL для анализа схемы,

  1. Запишите уравнения КВЛ для напряжений

  2. Используйте закон Ома, чтобы записать напряжения через сопротивления и токи.

  3. Решите, чтобы найти значения токов, а затем напряжений.


Примеры:

Пример 2 : Найдите ток i и напряжение v на каждом резисторе.


Пример 3: Найдите v1 и v2 в следующей схеме
(примечание: стрелки указывают положительное положение прямоугольника, а отрицательное — в конце поля)


Пример 4 : Найдите V1, V2 и V3.
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное — в конце поля)


Пример 5: Найдите V1, V2, V3 и V4
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное — в конце поля)


Практические задачи :

(Щелкните изображение, чтобы просмотреть решение)

Задача 1: Найдите V1 в следующей цепи.

Посмотреть решение


Задача 2: Найдите V0 в следующей схеме.

Посмотреть решение


Задача 3: Найдите V1, V2 и V3 в следующей схеме.

Посмотреть решение


Задача 4 : Найдите I 1 , I 2 , I 3 в следующей схеме

Посмотреть решение


Проблема 5 : Найдите значение резистора R в следующей цепи.

Посмотреть решение


Осуществления:
  1. В 1 = 8 В, В 2 = -4 В, В 4 = 14 В. Найдите V 3 и V 5 в следующей схеме

  2. Найдите V x и V y в следующей схеме
  3. Найдите V x , V y и V z в следующей схеме
  4. Найдите уравнения узлов KCL в узлах A, B, C и D

  5. Если I 1 = 4A, I 2 = 5A и I 3 = 3A, то с помощью KCL найдите I 4 и, I 5 в следующей схеме
    Ответы:
    1. В 3 = 12 В и В 5 = -2 В
    2. В x = 12 В и В y = 9 В
    3. V x = 35 В, V y = 5 В и V z = 15 В
    4. На узле A:

      На узле B:

      На узле C:

      На узле D:

    5. I 4 = 2A и I 5 = 1A

Урок 9 — Решение цепей по законам Кирхгофа


«Покупка DVD с репетитором по алгебре, математике и физике была лучшим вложением в образование.»

» В прошлом семестре я перешел с «C» на
и получил «пятерку»! «

Les J.
Matawan, NJ


«DVD-диски Math Tutor просто фантастические!
Джейсон представляет материал в ясной и хорошо организованной форме.

С. Дидс-Рубин
Лос-Анджелес, Калифорния


«Ваши методы настолько ясны, что мой семилетний сын
лет усваивал уроки тригонометрии.Я тоже собираю
новых вещей ».

Гэри Г.


«Смотреть справочные видео по математике — это замечательно, потому что, работая над задачами, вы показываете и объясняете каждый шаг».

М. Далримпл
Ланкастер, Калифорния

«Все инструкции
и примеры на DVD с репетитором математики очень четко объяснены, и стиль преподавания Джейсона определенно делает зрителя очень комфортным с представленным материалом.«

Д. Форбс
Мидлтаун, штат Нью-Джерси


«Я нашел лекции
очень четкими, прямо по делу, и темп был как раз для меня, который не видел никаких расчетов или триггеров за последние 10 лет и должен быстро набрать скорость».

София


«Просто хотел сообщить вам, что благодаря
основам, которые я получил от вашего DVD-диска с математической справкой (особенно DVD-диска с предварительным расчетом), я смог сдать свой курс по предварительному расчету в этом семестре на отлично!»

Дж.Ректон

«У вас серьезный педагогический дар.
Доказательство того, что я смотрю ваши DVD, когда я обычно бываю
вне дома. Никогда не думал, что смогу выучить математику. Я сразу перехожу к исчислению, а затем к физике. Я действительно наслаждайтесь этим, и я подумываю о смене карьеры. Отличная работа! »

Д. Смит

10.4: Правила Кирхгофа — Physics LibreTexts

Мы только что видели, что некоторые схемы можно анализировать, сводя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению.Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке \ (\ PageIndex {1} \) известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить.Попробуйте. Резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \) включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами \ (R_4 \) и \ (R_5 \). Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с использованием уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения ) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Как было сказано ранее, соединение или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Хотя это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) были заменены водопроводными трубами и вода считалась несжимаемой, объем воды, текущей в соединение, должен быть равен объему воды, вытекающей из соединения.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило цикла сформулировано в терминах потенциала В , а не потенциальной энергии, но они связаны между собой, поскольку \ (U = qV \).В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простой цикл без соединений, как на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): простой цикл без соединений. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки a , b , c и d служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Цепь обозначается как Loop abcda , и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки a и двигайтесь к точке b . Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению и вычитается падение потенциала резистора \ (R_1 \). От точки b до c падение потенциала на \ (R_2 \) вычитается. Из c до d вычитается падение потенциала на \ (R_3 \). От точек d до a ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) показан график напряжения при перемещении по контуру.Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор. Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): график напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор.Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

\ [V — IR_1 — IR_2 — IR_3 = 0. \]

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

\ [I = \ frac {V} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {12.00 \, V} {1.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega + 3.00 \, \ Omega} = 2.00 \, A . \]

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

  1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами a , b , c ,….Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
  2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов. Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
  3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться по крайней мере в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
  4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
  5. Примените правило цикла. Используйте карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до до до . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала.(c) При перемещении источника напряжения от отрицательного вывода к положительному, добавьте падение потенциала. (d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному току, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок \ (\ PageIndex {6} \). В этой цепи два перехода: переход b и переход e .Точки a , c , d и f не являются перекрестками, поскольку стык должен иметь три или более соединений. Уравнение для соединения b : \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а уравнение для соединения e — это \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение b и соединение e , но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рисунке \ (\ PageIndex {7} \) показаны четыре варианта циклов для решения примерной схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы. Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Панели (a) — (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы.На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на рисунке \ (\ PageIndex {8a} \). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте схему, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки.В этой схеме точки b и e имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа \ (\ left (\ sum I_ {in} = \ sum I_ {out} \ right) \), рисуя стрелки, представляющие токи, и маркируя каждую стрелку, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {9 } \). Соединение b показывает, что \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а соединение e показывает, что \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Поскольку соединение e дает ту же информацию, что и соединение b , ее можно не принимать во внимание.Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) Эта схема имеет два соединения, помеченных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли. На рисунке \ (\ PageIndex {10} \) контур abefa включает источник напряжения \ (V_1 \) и резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \). Цикл начинается в точке a , затем проходит через точки b , e и f , а затем возвращается к точке a .Второй контур, Loop ebcde , начинается в точке e и включает резисторы \ (R_2 \) и \ (R_3 \), а также источник напряжения \ (V_2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Начиная с точки a и двигаясь к точке b , резистор \ (R_1 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_1 \), поэтому падение потенциала \ (I_1R_1 \) вычитается.Двигаясь от точки b к точке e , резистор \ (R_2 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_2 \), поэтому падение потенциала \ (I_2R_2 \) вычитается. При перемещении от точки e к точке f , источник напряжения \ (V_1 \) пересекается от отрицательной клеммы к положительной клемме, поэтому добавляется \ (V_1 \). Между точками f и a компонентов нет. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

\ [Петля \, abefa: \, -I_1R_1 — I_2R_2 + V_1 = 0 \ или \, V_1 = I_1R_1 + I_2R_2.\]

Наконец, проверяем цикл ebcde . Мы начинаем с точки e и переходим к точке b , пересекая \ (R_2 \) в направлении, противоположном текущему потоку \ (I_2 \). Потенциальное падение \ (I_2R_2 \) добавлено. Затем мы пересекаем \ (R_3 \) и \ (R_4 \) в том же направлении, что и текущий поток \ (I_3 \), и вычитаем потенциальные падения \ (I_3R_3 \) и \ (I_3R_4 \). Обратите внимание, что ток через резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) одинаков, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения \ (V_2 \) вычитается.Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

\ [Петля \, ebcde: \, I_2R_2 — I_3 (R_3 + R_4) — V_2 = 0. \]

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

\ [\ text {Перекресток b:} \, I_1 — I_2 — I_3 = 0. \ label {eq1} \]

\ [\ text {Петля abefa:} \, I_1R_1 + I_2R_2 = V_1. \ label {eq2} \]

\ [\ text {Loop ebcde:} \, I_2R_2 — I_3 (R_3 + R_4) = V_2. \ label {eq3} \]

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока \ (I_2 \).Сначала добавьте уравнение \ ref {eq1} times \ (R_2 \) к уравнению \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq4}:

.

\ [(R_1 + R_2) I_1 — R_2I_3 = V_1. \]

\ [6 \, \ Omega I_1 — 3 \ Omega I_3 = 24 \, V. \ label {eq4} \]

Затем вычтите уравнение \ ref {eq3} из уравнения \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq5}:

.

\ [I_1R_1 + I_3 (R_3 + R_4) = V_1 — V_2. \]

\ [3 \ Omega I_1 + 7 \ Omega I_3 = -5 \, V. \ label {eq5} \]

Мы можем решить уравнения \ ref {eq4} и \ ref {eq5} для тока \ (I_1 \).Если сложить семикратное уравнение \ ref {eq4} и трехкратное уравнение \ ref {eq5}, получится \ (51 \, \ Omega I_1 = 153 \, V \) или \ (I_1 = 3.00 \, A \). Использование уравнения \ ref {eq4} приводит к \ (I_3 = -2,00 \, A \). Наконец, уравнение \ ref {eq1} дает \ (I_2 = I_1 — I_3 = 5,00 \, A \). Один из способов проверить соответствие решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

\ [P_ {in} = I_1V_1 + I_3V_2 = 130 \, W, \ nonumber \]

\ [P_ {out} = I_1 ^ 2R_1 + I_2 ^ 2R_2 + I_3 ^ 2R_3 + I_3 ^ 2R_4 = 130 \, W.\ nonumber \]

Обратите внимание, что решение для текущего \ (I_3 \) отрицательно. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Мощность, отдаваемая вторым источником напряжения, составляет 58 Вт, а не −58 Вт.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения.Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи не могут быть найдены с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены \ (I_1, \, I_2 \) и \ (I_3 \), и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от до до h .В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

\ [Перекресток \, c: \, I_1 + I_2 = I_3. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (R_1 + R_4) — I_2 (R_2 + R_5 + R_6) = V_1 — V_3. \]

\ [Петля \, cdefc: \, I_2 (R_2 + R_5 + R_6) + I_3R_3 = V_2 + V_3.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

\ [Перекресток \, c: \, I_1 + I_2 — I_3 = 0. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (3 \ Omega) — I_2 (8 \ Omega) = 0,5 \, V — 2,30 \, V. \]

\ [Цикл \, cdefc: \, I_2 (8 \ Omega) + I_3 (1 \ Omega) = 0,6 \, V + 2. 2R_1 = 0.2R_1 = 0,18 \, W. \]

\ [P_ {рассеянный} = 1.09 \, W. \]

\ [P_ {источник} = I_1V_1 + I_2V_3 + I_3V_2 = 0,10 \, + 0,69 \, W + 0,30 \, W = 1,09 \, W. \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

Ответ

Схема может быть проанализирована с использованием правила петли Кирхгофа.2R_2 = 7,2 \, мВт. \)

Пример \ (\ PageIndex {2} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {12} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): Эта схема состоит из трех резисторов и двух последовательно соединенных батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов.Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки a до точки b . Рассмотрим цикл abcda и воспользуйтесь рисунком \ (\ PageIndex {5} \), чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку \ (\ PageIndex {5} \), батарея \ (V_1 \) будет добавлена, а батарея \ (V_2 \) вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

\ [Цикл \, abcda: \, -IR_1 -V_1 -IR_2 + V_2 -IR_3 = 0.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

\ [I (R_1 + R_2 + R_3) = V_2 — V_1. \]

\ [I = \ frac {V_2 — V_1} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {24 \, V — 12 \, V} {10.0 \, \ Omega + 30.0 \, \ Omega + 10.0 \, \ Омега} = 0,20 \, А. \]

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее \ (V_1 \) течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет энергию.2R_3 = 0,80 \, Вт \]

\ [P_ {V_1} = IV_1 = 2,40 \, W \]

\ [P_ {рассеивается} = 4.80 \, Вт \]

\ [P_ {источник} = IV_2 = 4.80 \, W \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей \ (V_1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в примере \ (\ PageIndex {2} \) было выбрано направление тока по часовой стрелке от точки a до точки b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки b до точки a ?

Ответ

Расчетный ток будет равен \ (I = -0.20 \, A \) вместо \ (I = 0.20 \, A \). Сумма рассеиваемой мощности и потребляемой мощности все равно будет равна подаваемой мощности.

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи.Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно. Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке \ (\ PageIndex {13} \). Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

\ [\ epsilon_1 — Ir_1 + \ epsilon_2 — Ir_2 — IR = 0, \]

\ [[(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) — I (r_1 + r_2)] — IR = 0.\]

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения. Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах.Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке \ (\ PageIndex {13} \) напряжение на клеммах равно

.

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 — Ir_1) + (\ epsilon_2 — Ir_2) = [(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) — I (r_1 + r_2) — I (r_1 + r_2)] = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2) + Ir_ {eq}. \]

Обратите внимание, что одинаковый ток I присутствует в каждой батарее, потому что они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь. Например, светодиодный фонарик может иметь две батареи типа AAA, каждая с напряжением на клеммах 1,5 В, чтобы обеспечить 3,0 В для фонарика.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для последовательно включенных батарей N напряжение на зажимах равно

Примечание

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2 +… + \ Epsilon_ {N-1} + \ epsilon_N) — I (r_1 + r_2 +.№ р_и \]

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {14} \), мы можем найти ток:

\ [(\ epsilon_1 — Ir_1) + (\ epsilon_2 — Ir_2) = IR, \]

\ [Ir_1 + Ir_2 + IR = \ epsilon_1 + \ epsilon_2, \]

\ [I = \ frac {\ epsilon_1 + \ epsilon_2} {r_1 + r_2 + R}. \]

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): две батареи последовательно подключаются к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке \ (\ PageIndex {15} \) показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, соединенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам. Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен как \ (\ epsilon \)), соединенные параллельно, которые производят одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рисунке \ (\ PageIndex {15b} \). {- 1} \]

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи на 12 В; они производят полную ЭДС 12 В, но могут обеспечивать больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления. Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки.Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Законы Кирхгофа, практические примеры и получение максимальной мощности от схем

Законы Кирхгофа

  1. На любом переходе в цепи общая сумма входящих токов равна общей сумме выходящих токов.
  2. Сумма ЭДС в замкнутой цепи, взятая в определенном направлении, равна сумме ЭДС в той же цепи.

Например, 1

Рассчитайте ток через каждый резистор в следующей цепи, используя законы Кирхгофа.

Эта проблема может быть решена тремя различными методами, используя законы Кирхгофа:

Примените Первый закон Кирхгофа к соединению между G и H,
Ток через 3 Ом, c = a-b
Примените Первый закон Кирхгофа к соединению между G и F,
Ток в соединении C = a

Метод 1:

Теперь давайте применим Второй закон Кирхгофа к набору различных цепей:
Помните, что выбор направления преобладает над всем:
Для AJGDCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
8a + 6b = 30
Для GHFDG:
0 = = 3c -6b = 3 (ab) -6b — ЭДС в этой цепи равна нулю; направление наш выбор отменяет направление существующих токов
3a — 3b = 6b
3a = 9b
a = 3b
Подставляем это в уравнение 1 ,
30 = 8 (3b) + 6b
30 = 30b
b = 1 А.
Подставьте это в уравнение 2 ,
a = 3 X 1 = 3
a = 3 A.
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Метод 2:

Применим Первый закон Кирхгофа на перекрестке H:
Теперь давайте применим Второй закон Кирхгофа к цепи:
Помните, что выбор направления доминирует над всем:
Для AJGDCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
8a + 6b = 30
Для AJHFCBA:
30 = 3 (ab) + 3a + 5a — направление выбора преобладает над направлением существующего тока
30 = 3a — 3b + 8a
11a -3b = 30
2 X 2 => 22a — 6b = 60
1 + 2 => 30a = 90
a = 3 A.Подставьте это в уравнение 1 ,
30 = 8 X 3 + 6b
6 = 6b
b = 1 A
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Метод 3:

Теперь давайте применим Второй закон Кирхгофа к другому набору альтернативных схем:
Помните, что выбор направления преобладает над всем:
Для AJHFCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
Для GHFDG:
0 = 3 (ab) -6b — ЭДС в этой цепи равна нулю; направление наш выбор отменяет направление существующих токов
3a — 3b = 6b
3a = 9b
a = 3b
Подставляем это в уравнение 1 ,
30 = 8 (3b) + 6b
30 = 30b
b = 1 А.
Подставьте это в уравнение 2 ,
a = 3 X 1 = 3
a = 3 A.
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Токи одинаковы независимо от выбранной вами схемы.

Например, 2

Найдите ток через каждый резистор в следующей цепи:

Примените Первый закон Кирхгофа к переходу B:
Ток через каждую ветвь показан на принципиальной схеме.
Теперь применим Второй закон Кирхгофа к схемам.
Для ABFGA:
24 = 6a + 12 (a + b) = 6a + 12a + 12b
24 = 18a + 12b 1
Для ABCDFGA
24 — 6 = 6a — 8b
18 = 6a — 8b 2
3 X 2 => 54 = 18a -24b 3
1 3 => -30 = 36b
b = -0,8A.
Отрицательный знак означает, что ток идет в обратном направлении.
Из 1 => 24 = 18a + 12b
24 = 18a + 12 (-5/6)
18a = 34
a = 17/9 = 1.8 А.
Следовательно, ток через 6Ω = 1,8 А; ток через 12Ω = 1 А; ток через 8Ω = 0,8 А.

Как максимально увеличить мощность нагрузки

Общее сопротивление = (R + r)
Ток (I) = E / (R + r)
Мощность через нагрузку (R) = VI = [E / (R + r)] 2 R
P = E 2 R / (R + r) 2
Теперь посмотрим, как изменяется мощность при разных значениях R.
Пусть E = 12 В; r = 5 Ом R изменяется от 0 до 10 Ом

График показывает, что мощность максимальна при R = r.Итак, чтобы получить от нагрузки максимальную мощность, сопротивление нагрузки должно быть равно внутреннему сопротивлению источника питания.

Проба:

P = E 2 R / (R + r) 2
Давайте дифференцируем P относительно R
dP / dR = E 2/ / (R + r) 2 — 2E 2 R / (R + r) 3
Когда P максимальное, dP / dR = 0
Итак, E 2/ / (R + r) 2 — 2E 2 R / (R + r) 3 = 0
R + r = 2R
R = r

E.g.1

ЭДС и внутреннее сопротивление ячейки составляют 6 В и 2 Ом соответственно. Найдите максимальную мощность, которую можно получить от внешней нагрузки.
Поскольку внутреннее сопротивление составляет 2 Ом, сопротивление нагрузки также должно быть 2 Ом для максимальной мощности.
Общее сопротивление = 4 Ом
Общий ток = 6/4 = 1,5 A
V = IR = 1,5 X 2 = 3 В
P = VI = 1,5 X 3 = 4,5
P = 4,5 Вт.

Например, 2 Какое сопротивление лампочка, если она загорается с максимальной яркостью?

Ответ: 6 Ом

Как подключить вольтметр и амперметр?

Амперметр изготовлен таким образом, что он имеет незначительное сопротивление, потому что он включен в цепь последовательно.Так как амперметр не должен изменять ток в цепи, он сделан с очень небольшим сопротивлением в нем. С другой стороны, вольтметр подключается к двум точкам в цепи параллельно, чтобы определить разность потенциалов между двумя точками. Значит, мы должны минимизировать ток через него. В противном случае вольтметр может повлиять на напряжение на резисторе. Поэтому вольтметр выпускается с катушкой очень высокого сопротивления.
Теоретически, мы принимаем сопротивление амперметра равным нулю, а сопротивление вольтметра — бесконечностью.

Следующий Предыдущий

21.3 Правила Кирхгофа — Колледж Физики, главы 1-17

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем уравнения, которые позволяют нам находить неизвестные в схемах. Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете в результате применения правил.

Рисунок 4 и следующие пункты помогут правильно определить знаки плюса и минуса при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b. Во многих схемах потребуется построить более одного контура. Проходя каждый цикл, нужно быть последовательным в отношении знака изменения потенциала. (См. Пример 1.)

Пример 1: Расчет силы тока: с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Рисунок 5. Эта схема похожа на схему на Рисунке 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви отмечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для определения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи не могут быть найдены с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.На рисунке токи обозначены [латекс] \ boldsymbol {I_1} [/ latex], [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex], и сделаны предположения сделал о своих направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а.Это дает

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3}, [/ латекс]

, так как [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] течет в соединение, а [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex] вытекает. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea.Переходя от a к b, мы пересекаем [латекс] \ boldsymbol {R_2} [/ latex] в том же (предполагаемом) направлении, что и текущий [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex], и поэтому изменение потенциала [латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2} [/ латекс]. Затем, переходя от b к c, мы переходим от — к +, так что изменение потенциала составляет [latex] \ boldsymbol {+ \ textbf {emf} _1} [/ latex]. Если пересечь внутреннее сопротивление [латекс] \ boldsymbol {r_1} [/ latex] от c до d, получим [латекс] \ boldsymbol {-I_2r_1} [/ latex]. Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала [latex] \ boldsymbol {-I_1R_1} [/ latex].

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2 + \ textbf {emf} _1 — I_2r_1 — I_1R_1 = -I_2 (R_2 + r_1) + \ textbf {emf} _1 — I_1R_1 = 0}. [/ Латекс]

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

[латекс] \ boldsymbol {-3I_2 + 18 -6I_1 = 0}. [/ Латекс]

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

[латекс] \ boldsymbol {+ I_1R_1 + I_3R_3 + I_3r_2 — \ textbf {emf} _2 = + I_1R_1 + I_3 (R_3 + r_2) — \ textbf {emf} _2 = 0}.[/ латекс]

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

[латекс] \ boldsymbol {+ 6I_1 + 2I_3 — 45 = 0}. [/ Latex]

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_2} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 — 2I_1}. [/ Латекс]

Теперь решите третье уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_3} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22.5 — 3I_1}. [/ Latex]

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3 = (6 — 2I_1) + (22,5 — 3I_1) = 28,5 — 5I_1}. [/ Latex]

Объединение терминов дает

[латекс] \ boldsymbol {6I_1 = 28,5} [/ латекс] и

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = 4.75 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Подставляя это значение вместо [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] обратно в четвертое уравнение, получаем

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 — 2I_1 = 6 — 9.50} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = -3,50 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Знак минус означает, что [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.

Наконец, подстановка значения [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] в пятое уравнение дает

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22,5 — 3I_1 = 22,5 — 14,25} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 8.25 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Обсуждение

Для проверки отметим, что действительно [латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3} [/ latex].Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Материал в этом разделе теоретически верен. Мы должны иметь возможность проверить это, измерив ток и напряжение. Фактически, некоторые из устройств, используемых для таких измерений, представляют собой прямое применение принципов, рассмотренных до сих пор, и исследуются в следующих модулях. Как мы увидим, результат очень основного, даже глубокого факта — выполнение измерения изменяет измеряемую величину.

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа

Кирхгофа законы

Большинство проблем со схемой мы сталкиваемся, может быть решена путем многократного применения правил добавления резисторы, включенные последовательно или параллельно, пока проблема не будет уменьшена до одна из батареи, подключенной к единственному резистору.

Но для решения более сложных схемных проблем, например, с большим количеством чем одна батарея, иногда необходимо вместо этого писать уравнения основанный на законах Кирхгофа, которые являются формальными математическими утверждениями двух физических фактов, которые вы уже знаете:

  • Закон Кирхгофа № 1 гласит, что напряжение изменяется вокруг замкнутого пути в цепи сложить до нуля, где изменение напряжения D V = ЭДС в проходящем Считается, что аккумулятор от минусовой к плюсовой клемме быть позитивным, и изменение напряжения D V = I R в проходящем резистор в предполагаемом направлении тока I считается отрицательным.,
  • Закон Кирхгофа № 2 гласит, что сумма токов, входящих в любой узел (т. е. любое соединение провода) равняется сумме токов, выходящих из этого узла.
  • Первый закон просто повторяет то, что вы уже знаете об электрическом потенциале: каждая точка в цепь имеет уникальное значение потенциала, поэтому путешествуя по цепь по любому пути должна вернуть вас к тому потенциалу, который вы началось с.Используя аналогию на возвышенность, если вы идете пешком с любой начальной точки в горах и бродить по любому пути, но закончить на исходном старте точка, сумма изменения высоты вдоль вашего пути в сумме будут равны нулю.

    Второй закон просто подтверждает тот факт, что электрический заряд сохраняется: электроны или протоны не создаются и не разрушаются в узле (или, если они есть, античастицы с противоположным зарядом) создаются или уничтожаются вместе с ними), поэтому в любой момент времени Интервал, входящий заряд равен заряду листьев.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *