Метод контурных токов.Решение задач

Один из методов анализа электрической цепи является метод контурных токов. Основой для него служит второй закон Кирхгофа. Главное его преимущество это уменьшение количества уравнений до m – n +1, напоминаем что m — количество ветвей, а n  — количество узлов в цепи. На практике такое уменьшение существенно упрощает расчет.

Основные понятия

Контурный ток — это величина, которая одинакова во всех ветвях данного контура.  Обычно в расчетах они обозначаются двойными индексами, например  I₁₁, I₂₂ и тд.

Действительный ток в определенной ветви определяется алгебраической суммой контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первоочередная задача метода контурных токов.

Контурная ЭДС — это сумма всех ЭДС входящих в этот контур.

Собственным сопротивлением контура называется сумма сопротивлений всех ветвей, которые в него входят.

Общим сопротивлением контура называется сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Общий план составления уравнений

1 – Выбор направления действительных токов.

2 – Выбор независимых контуров и направления контурных токов в них.

3 – Определение собственных и общих сопротивлений контуров

4 – Составление уравнений и нахождение контурных токов

5 – Нахождение действительных токов

Итак, после ознакомления с теорией предлагаем приступить к практике! Рассмотрим пример.

Выполняем все поэтапно.

1. Произвольно выбираем направления действительных токов I

1-I₆. 

2. Выделяем три контура, а затем указываем направление контурных токов I₁₁,I₂₂,I₃₃. Мы выберем направление по часовой стрелке.

3. Определяем собственные сопротивления контуров. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R₁₁=R₁+R₄+R₅=10+25+30= 65 Ом

R₂₂=R₂+R₄+R₆=15+25+35 = 75 Ом

R₃₃=R₃+R₅+R₆=20+30+35= 85 Ом

Затем определяем общие сопротивления, общие сопротивления легко обнаружить, они принадлежат сразу нескольким контурам, например сопротивление R₄ принадлежит контуру 1 и контуру 2. Поэтому для удобства обозначим такие сопротивления номерами контуров к которым они принадлежат.

R₁₂=R₂₁=R₄=25 Ом

R₂₃=R₃₂=R₆=35 Ом

R₃₁=R₁₃=R₅=30 Ом

4. Приступаем к основному этапу – составлению системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений входят падения напряжений в контуре, а в правой ЭДС источников данного контура.

Так как контура у нас три, следовательно, система будет состоять из трех уравнений. Для первого контура уравнение будет выглядеть следующим образом: 

Ток первого контура I₁₁, умножаем на собственное сопротивление R₁₁ этого же контура, а затем вычитаем ток I₂₂, помноженный на общее сопротивление первого и второго контуров R₂₁ и ток I₃₃, помноженный на общее сопротивление первого и третьего контура R₃₁. Данное выражение будет равняться ЭДС E

1 этого контура.  Значение ЭДС берем со знаком плюс, так как направление обхода (по часовой стрелке) совпадает с направление ЭДС, в противном случае нужно было бы брать со знаком минус.

Те же действия проделываем с двумя другими контурами и в итоге получаем систему: 

В полученную систему подставляем уже известные значения сопротивлений и решаем её любым известным способом.  

5. Последним этапом находим действительные токи, для этого нужно записать для них выражения.

Контурный ток равен действительному току, который принадлежит только этому контуру

. То есть другими словами, если ток протекает только в одном контуре, то он равен контурному. 

Но, нужно учитывать направление обхода, например, в нашем случае ток I2 не совпадает с направлением, поэтому берем его со знаком минус. 

Токи, протекающие через общие сопротивления определяем как алгебраическую сумму контурных, учитывая направление обхода. 

Например, через резистор R

4 протекает ток I₄, его направление совпадает с направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго контура. Значит, для него выражение будет выглядеть

 

А для остальных 

Так решаются задачи методом контурных токов. Надеемся что вам пригодится данный материал, удачи!

Рекомендуем — Метод двух узлов

Просмотров: 69436

Пример решения задачи методом контурных токов

Скачайте приложение для онлайн решения разветвленной цепи. Вам потребуется только нарисовать схему в редакторе программы и задать численные значения элементов.
Программа сама выдаст подробное пошаговое решение как если бы вы сами делали это РГР.

Для электрической цепи рис. 1, выполнить следующее:

1. Составить уравнения для определения токов путем непосредственного применения законов Кирхгофа. Решать эту систему уравнений не следует.
2. Определить токи в ветвях методом контурных токов.
3. Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, содержащего обе ЭДС.
4. Определить режимы работы активных элементов и составить баланс мощностей.

Значения ЭДС источников и сопротивлений приемников:
E1 = 130 В, Е2 = 110 В, R1 = 4 Ом, R2 = 8 Ом, R3 = 21 Ом, R4 = 16 Ом, R5 = 19 Ом, R6 = 16 Ом.

Смотрите также
 Пример решения схемы методом контурных токов № 1
 Пример решения схемы методом контурных токов № 2
 Пример решения схемы методом контурных токов № 3
 Пример решения схемы методом контурных токов № 4
 Пример решения схемы методом контурных токов № 5
 Посмотреть видео «Метод контурных токов 2»   (пример решения конкретной задачи)  

 

Рис. 1. Схема

Решение. Заказать работу!    Решить онлайн! (New!!!)

1. Произвольно расставим направления токов в ветвях цепи, примем направления обхода контуров (против часовой стрелки), обозначим узлы.

Рис. 2

2. Для получения системы уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов в ветвях цепи составим по 1-му закону Кирхгофа 3 уравнения (на 1 меньше числа узлов в цепи) для узлов 1,2,3:

По второму закону Кирхгофа составим m – (р – 1) уравнений (где m – кол-во ветвей, р – кол-во узлов ), т.е. 6 – (4 – 1) = 3 для контуров I11, I22, I33:



Токи и напряжения совпадающие с принятым направлением обхода с «+», несовпадающие с «-».


Т.е. полная система уравнений для нашей цепи, составленная по законам Кирхгофа:







3. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями течения контурных токов в каждом контуре схемы и обозначим их I11, I22, I33 (см. рис. 2)

4. Определим собственные сопротивления трех контуров нашей цепи, а так же взаимное сопротивление контуров:

(Ом)
(Ом)
(Ом)
(Ом)
(Ом)
(Ом)

5. Составим систему уравнений для двух контуров нашей цепи:

Подставим числовые значения и решим.

(А)
(А)
(А)

Определим фактические токи в ветвях цепи:
(А) направление совпадает с выбранным


(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление тока потивоположно выбранному
(А) направление совпадает с выбранным
(А) направление совпадает с выбранным

6. Проверим баланс мощностей:

(ВА)
Небольшая разница в полученных результатах является результатом погрешности при округлении числовых значений токов и сопротивлений.

7. Построим потенциальную диаграмму контура изображенного на рис. 3. В качестве начальной точки примем узел 1.

Рис.3

Для построения потенциальной диаграммы определим падения напряжения на каждом сопротивлении, входящем в выбранный контур.
(В)
(В)


(В)
(В)
Потенциал увеличивается если обход осуществляется против направления тока, и понижается если направление обхода совпадает с направлением тока. На участке с ЭДС потенциал изменяется на величину ЭДС. Потенциал повышается в том случае, когда переход от одной точки к другой осуществляется по направлению ЭДС и понижается когда переход осуществляется против направления ЭДС.


Рис. 4. Потенциальная диаграмма. ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ!  

Решить онлайн! (New!!!)

 

 

 

 

Метод контурных токов: примеры решения задач

Содержание: Основная суть метода контурных токов Применение метода контурных токов для расчета цепи Видео В каждой электрической цепи имеются так называемые Р — ребра (они же ветви, звенья, участки) и У – узлы. Для ее описания существует система уравнений, в которых используются два правила Кирхгофа. В них, в качестве независимых переменных, выступают токи ребер. Поэтому количество независимых переменных будет равно количеству уравнений, что дает возможность нормального разрешения данной системы. На практике используются определенные методики, направленные на сокращение числа уравнений. Среди них очень часто используется метод контурных токов, позволяющий выполнять сложные расчеты и получать довольно точные результаты. Суть метода контурных токов Основные принципы данного метода основываются на том факте, что протекающие в ребрах цепи токи, не все считаются независимыми. Присутствующие в системе У-1 уравнения для узлов, четко показывают зависимость от них У-1 токов. При выделении в электрической цепи независимого тока Р-У+1, вся система может быть сокращена до уравнений Р-У+1. Таким образом, метод контурных токов представляет собой очень простое и удобное выделение в цепи независимых токов Р-У+1. Использование данного способа расчетов допускает, что в каждом независимом контуре Р-У+1 осуществляется циркуляция определенного виртуального контурного тока. Если какое-либо ребро относится лишь к одному конкретному контуру, то значение протекающего в нем реального тока будет равно контурному. В том случае, когда ребро входит в состав сразу нескольких контуров, ток, протекающий в нем, будет представлять собой сумму, включающую в себя соответствующие контурные токи. В этом случае обязательно учитывается направление обхода контуров. Независимыми контурами перекрывается практически вся схема, поэтому ток, протекающий в каком угодно ребре может быть выражен путем контурных токов, составляющих полную систему всех токов. Для того чтобы построить систему независимых контуров, используется простой и наглядный метод создания планарных графов. На данной схеме ветви и узлы цепи размещаются на плоскости таким образом, что взаимное пересечение ребер полностью исключается. С помощью этого метода плоскость разбивается на области, ограниченные замкнутыми цепочками ребер. Именно они и составляют систему независимых контуров. Данный метод более всего подходит для ручных расчетов схем. Однако его применение может стать затруднительным или вовсе невозможным, если рассматриваемая схема не укладывается в рамки планарного графа. Другим способом расчетов служит метод выделения максимального дерева. Само дерево представлено в виде подмножества звеньев электрической цепи и является односвязным графом, в котором отсутствуют замкнутые контуры. Для того чтобы оно появилось, из цепи постепенно исключаются некоторые звенья. Дерево становится максимальным, когда к нему добавляется любое исключенное звено, в результате чего образуется контур. Применение метода выделения максимального дерева представляет собой последовательное исключение из цепи заранее установленных звеньев в соответствии с определенными правилами. Каждый шаг в цепи предполагает произвольное исключение одного звена. Если такое исключение нарушает односвязность графа, разбивая его на две отдельные части, в этом случае звено может возвратиться обратно в цепь. Если граф остается односвязным, то и звено остается исключенным. В конечном итоге, количество звеньев, исключенных из цепи, оказывается равным количеству независимых контуров, расположенных в схеме. Получение каждого нового независимого контура связано с присоединением к электрической цепи конкретного исключенного звена. Применение метода контурных токов для расчета цепи В соответствии с этой методикой, неизвестными величинами являются расчетные или контурные токи, предположительно протекающие во всех независимых контурах. В связи с этим, все неизвестные токи и уравнения в системе, равны количеству независимых контуров электрической цепи. Токи ветвей в соответствии с данным методом рассчитываются следующим образом: В первую очередь вычерчивается схема цепи с обозначением всех ее элементов. Далее определяется расположение всех независимых контуров. Направления протекания контурных токов задаются произвольно по часовой или против часовой стрелки в каждом независимом контуре. Они обозначаются с использованием цифровых или комбинированных символов. В соответствии со вторым законом Кирхгофа, затрагивающего контурные токи, составляются уравнения для всех независимых контуров. В записанном равенстве направления обхода контура и контурного тока этого же контура совпадают. Необходимо учитывать и то обстоятельство, что в ветвях, расположенных рядом, протекают собственные контурные токи. Падение напряжения потребителей берется отдельно от каждого тока. Следующим этапом является решение полученной системы любым удобным методом, и окончательное определение контурных токов. Нужно задать направление реальных токов во всех ветвях и обозначить их отдельной маркировкой, чтобы не перепутать с контурными. Далее нужно от контурных токов перейти к реальным, исходя из того, что значение реального тока конкретной ветви составляет алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви. Если направление контурного тока совпадает с направлением реального тока, то при выполнении алгебраического суммирования математический знак не меняется. В противном случае значение контурного тока нужно умножить на -1. Метод контурных токов очень часто применяется для расчетов сложных цепей. В качестве примера для приведенной схемы нужно задать следующие параметры: Е1 = 24В, Е2 = 12В, r1 = r2 = 4 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 3 Ом. Для решения этой сложной задачи составляются два уравнения, соответствующие двум независимым контурам. Направление контурных токов будет по часовой стрелке и обозначается I11 и I22. На основании второго закона Кирхгофа составляются следующие уравнения: После решения системы получаются контурные токи со значением I11 = I22 = 3 А. Далее произвольно обозначается направление реальных токов, как I1, I2, I3. Все они имеют одинаковое направление – вверх по вертикали. После этого выполняется переход от контурных к реальным. В первой ветви имеется течение только одного контурного тока т I11. Его направление совпадает с реальным током, поэтому I1 + I11 = 3 А. Формирование реального тока во второй ветке осуществляется за счет двух контурных токов I11 и I22. Направление тока I22 совпадает с реальным, а направление I11 будет строго противоположно реальному. Таким образом, I2 = I22 — I11 = 3 — 3 = 0 А. В третьей ветке I3 наблюдается течение лишь контурного тока I22. Его направление будет противоположным направлению реального тока, поэтому в данном случае расчеты выглядят следующим образом: I3 = -I22 = -3А. Основным положительным качеством метода контурных токов по сравнению с вычислениями по законам Кирхгофа, является значительно меньшее количество уравнений, используемых для вычислений. Тем не менее, здесь присутствуют определенные сложности. Например, реальные токи ветвей не всегда удается определить быстро и с высокой точностью.

Метод контурных токов

Главная → Примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ – МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях → 1.3 Метод контурных токов Методы и примеры решения задач ТОЭ → РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ – МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ → 1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.3 Метод контурных токов

В методе контурных токов за основные неизвестные величины принимают контурные токи, которые замыкаются только по независимым контурам (главным контурам). Контурные токи находят, решая систему уравнений, составленную по второму закону Кирхгофа для каждого контура. По найденным контурным токам определяют токи ветвей схемы.

---

Алгоритмом метода контурных токов:

1. Задаются направлением токов ветвей и обозначают их на схеме.

2. Определяют независимые контуры и их нумеруют. При наличии в схеме источников тока независимые контуры, для которых составляются уравнения метода контурных токов, можно определить, если мысленно удалить источники тока.

3. Выбирают направление контурных токов (целесообразно в одну сторону) и составляют уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока. Контурный ток, проходящий через источник тока, известен и равен току источника тока (через источник тока проходит только один контурный ток!).

4. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неизвестных контурных токов.

5. Искомые токи по методу контурных токов находят как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих по данной ветви. Токи в ветвях связи равны контурным токам.

---

Решение задач методом контурных токов

---

Задача 1.3.1. Определить токи в ветвях схемы рис. 1.3.1 методом контурных токов. Правильность решения проверить по балансу мощностей.

Рис. 1.3.1

Решение

1. В соответствии с алгоритмом, зададимся направлением токов ветвей и обозначим их на схеме рис. 1.3.1.

2. Определяем независимые контура и выбираем направления контурных токов I_к1, I_к2, I_к3.

3. Поскольку в схеме имеется ветвь, содержащая источник тока J, контурный ток I_к3 = J, а для контурных токов I_к1 и I_к2 запишем систему уравнений метода контурных токов:

{Iк1⋅ (R3+R6)−Iк2⋅R6−J⋅R3=−E1−E6Iк2⋅ (R4+R5+R6)−Iк1⋅R6−J⋅R4=E6

или

{    Iк1⋅ (R3+R6)−Iк2⋅R6                             =−E1−E6+J⋅R3−Iк1⋅R6                 +Iк2⋅ (R4+R5+R6)=E6+J⋅R4

Подставив значения сопротивлений, получаем численную систему уравнений метода контурных токов с двумя неизвестными контурными токами:

{    25Iк1     −5Iк2=−5   −5Iк1+14Iк2=40

откуда

Iк1=0,4  A;   Iк2=3  A.

4. Определяем токи в ветвях схемы по методу контурных токов:

I1=Iк1=0,4  A;   I5=−Iк2=−3  A;   I6=Iк2−Iк1=3−0,4=2,6  A.

Хотя все токи в ветвях можно определить методом контурных токов (I₃ = I_к3 – I_к1; I₄ = I_к3 – I_к2), токи I₃ и I₄ определим по первому закону Кирхгофа. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла a:

−I5−J+I4=0,

откуда

I4=I5+J= (−3)+2=−1  A;

для узла b:

−I1−I3+J=0,

откуда

I3=J−I1=2−0,4=1,6  A.

5. Правильность решения проверяем по балансу мощностей. Предварительно находим напряжение на зажимах источника тока:

Uad=φa−φd=J⋅R2+I3⋅R3+I4⋅R4−E2=         =2⋅10+1,6⋅20+ (−1)⋅5−10=37  B.

Тогда

   E2⋅J+Uad⋅J+E1⋅ (−I1)+E6⋅I6=J2⋅R2+I32⋅R3+I42⋅R4+I52⋅R5+I62⋅R6;10⋅2+37⋅2+15⋅ (−0,4)+30⋅2,6=22⋅10+1,62⋅20+ (−1)2⋅5+ (−3)2⋅4+2,62⋅5;                                                                  166  Вт=166  Вт.

---

Метод контурных токов в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

ветви связи,  главные контуры,  независимые контуры,  метод контурных токов,  контурные токи 

16.10.2011, 151298 просмотров.

Метод контурных токов — Википедия

Ме́тод ко́нтурных то́ков — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.
Метод контурных токов — метод расчёта электрических цепей, при котором за неизвестные принимаются токи в контурах, образованных некоторым условным делением электрической цепи.

Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков, звеньев) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м правилами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му правилу Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му правилу Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.

Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов.

Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У–1 уравнений для узлов означает, что зависимы У–1 токов. Если выделить в цепи Р–У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р–У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов.

Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.

Использование планарных графов[править | править код]

Наиболее простым и наглядным методом построения системы независимых контуров является построение планарного графа схемы, то есть размещение ветвей и узлов цепи на плоскости без взаимных пересечений рёбер. Планарный граф разбивает плоскость на К ограниченных областей. Можно показать, что замкнутые цепочки рёбер, ограничивающие эти области, являются системой независимых контуров для рассматриваемой схемы.

Метод планарного графа предпочтителен при ручном расчёте схем. В случае, если схему невозможно изобразить в виде планарного графа, а также в случае компьютерного построения системы контуров применение этого метода может оказаться невозможным.

Метод выделения максимального дерева[править | править код]

Дерево представляет собой подмножество звеньев цепи, представляющее собой односвязный (то есть состоящий из одной части) граф, в котором нет замкнутых контуров. Дерево получается из цепи путём исключения из него некоторых звеньев. Максимальное дерево — это дерево, для которого добавление к нему любого исключённого звена приводит к образованию контура.

Метод выделения максимального дерева основан на последовательном исключении из цепи определённых звеньев согласно следующим правилам:

• На каждом шагу из цепи в произвольном порядке исключается одно звено;
• Если исключение звена приводит к нарушению односвязности графа (то есть граф разбивается на две изолированных части, либо появляются «висящие» узлы), то звено возвращается в цепь;
• Если при исключении звена граф не теряет односвязности, звено остаётся исключённым;
• Переходим к следующему шагу.

В конце работы алгоритма число исключённых из цепи звеньев оказывается точно равно числу независимых контуров схемы. Каждый независимый контур получается присоединением к цепи соответствующего исключённого звена.

Пример выделения максимального дерева

• Удаление звена R1

• Удаление звеньев R2 и R3

• Удаление звена R4 приводит к появлению «висячего» узла

• Присоединение к дереву удалённого звена образует контур

Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи P – У + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

Выделение независимых контуров можно осуществить одним из перечисленных выше методов. Следует отметить, что система независимых контуров, как правило, не единственна, как не единственно и максимальное дерево цепи. Однако системы уравнений, составленные по различным системам контуров, математически эквивалентны, поэтому возможен специальный подбор системы контуров, дающей наиболее простую систему уравнений.

Отметим также, что при любом выборе системы контуров в любом контуре обязательно найдётся ребро, которое входит только в этот контур и ни в какой другой. Таким образом, контурный ток всегда совпадает с током в одном из рёбер этого контура. Например, для схемы, изображённой на рисунке, звено 4 входит только в левый контур, поэтому контурный ток обозначен как I₄. То же самое относится к двум другим контурам, токи в которых обозначены как I₅ и I₆. В литературе встречаются и другие обозначения для контурных токов, например, римскими цифрами (I_I, I_II, I_III …), латинскими буквами (I_A, I_B, I_C …) и т.д.

Принцип построения системы уравнений следующий.

• Все токи в звеньях выражаем через контурные токи. В данном случае необходимо выразить только те токи, которые не совпадают с одним из контурных токов:

I1=I6−I4;I2=I5−I4;I3=I6−I5;{\displaystyle I_{1}=I_{6}-I_{4};\quad I_{2}=I_{5}-I_{4};\quad I_{3}=I_{6}-I_{5};}

• Для каждого контура записываем уравнение по второму закону Кирхгофа:
  • В левой части каждого уравнения записываем сумму токов в звеньях, входящих в контур, умноженных на сопротивление соответствующего звена. Суммирование происходит с учётом знака: если ток в звене совпадает с направлением обхода контура, слагаемое записывается со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус».
  • В правой части каждого уравнения записываем сумму ЭДС источников, а также сумму произведений токов источников на сопротивление соответствующего звена. Суммирование также происходит с учётом знака, в зависимости от совпадения или несовпадения направления источника с направлением контурного тока:
Рис. 1. Пример электрической схемы

Для первого контура (I₄):

−I1Z1−I2Z2+I4Z4=E4;{\displaystyle -I_{1}Z_{1}-I_{2}Z_{2}+I_{4}Z_{4}=E_{4};}

−(I6−I4)Z1−(I5−I4)Z2+I4Z4=E4;{\displaystyle -(I_{6}-I_{4})Z_{1}-(I_{5}-I_{4})Z_{2}+I_{4}Z_{4}=E_{4};}

(Z1+Z2+Z4)I4−Z2I5−Z1I6=E4;{\displaystyle (Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})I_{4}-Z_{2}I_{5}-Z_{1}I_{6}=E_{4};}

Для второго контура (I₅):

I2Z2−I3Z3+I5Z5=J5Z5;{\displaystyle I_{2}Z_{2}-I_{3}Z_{3}+I_{5}Z_{5}=J_{5}Z_{5};}

(I5−I4)Z2−(I6−I5)Z3+I5Z5=J5Z5;{\displaystyle (I_{5}-I_{4})Z_{2}-(I_{6}-I_{5})Z_{3}+I_{5}Z_{5}=J_{5}Z_{5};}

−Z2I4+(Z2+Z3+Z5)I5−Z3I6=J5Z5;{\displaystyle -Z_{2}I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})I_{5}-Z_{3}I_{6}=J_{5}Z_{5};}

Для третьего контура (I₆):

I1Z1+I3Z3+I6Z6=E6;{\displaystyle I_{1}Z_{1}+I_{3}Z_{3}+I_{6}Z_{6}=E_{6};}

(I6−I4)Z1+(I6−I5)Z3+I6Z6=E6;{\displaystyle (I_{6}-I_{4})Z_{1}+(I_{6}-I_{5})Z_{3}+I_{6}Z_{6}=E_{6};}

−Z1I4+−Z3I5+(Z1+Z3+Z6)I6=E6;{\displaystyle -Z_{1}I_{4}+-Z_{3}I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})I_{6}=E_{6};}

Окончательно получаем систему уравнений

{(Z1+Z2+Z4)⋅I4−Z2⋅I5−Z1⋅I6=E4−Z2⋅I4+(Z2+Z3+Z5)⋅I5−Z3⋅I6=Z5J5−Z1⋅I4−Z3⋅I5+(Z1+Z3+Z6)⋅I6=E6.{\displaystyle {\begin{cases}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}=E_{4}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{6}=Z_{5}J_{5}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})\cdot I_{6}=E_{6}\end{cases}}.}

Оптимизированная процедура составления системы[править | править код]

Как видно из вышесказанного, процедуру составления системы можно упростить следующим образом:

• В левой части К-го уравнения записываем произведение контурного тока на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур:

IK(ZK1+ZK2+…)+…,{\displaystyle I_{K}(Z_{K1}+Z_{K2}+…)+…,}

где  IK{\displaystyle \ I_{K}} — ток контура, для которого записывается уравнение;

 ZK1…ZKn{\displaystyle \ Z_{K1}…Z_{Kn}} — сопротивления звеньев, входящих в этот контур.

• От левой части уравнения отнимаем остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым контур К пересекается с этими контурами:

…−IA(ZKA1+ZKA2+…)−IB(ZKB1+ZKB2+…)−…{\displaystyle …-I_{A}(Z_{KA1}+Z_{KA2}+…)-I_{B}(Z_{KB1}+Z_{KB2}+…)-…}

где  IA,IB,…{\displaystyle \ I_{A},I_{B},…} — токи контуров, пересекающихся с контуром К;

 ZKA1,ZKA2,…{\displaystyle \ Z_{KA1},Z_{KA2},…} — сопротивления звеньев, входящих одновременно в контура К и A.

• В правой части уравнения записываем сумму источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

…=±EK1±EK2…{\displaystyle …=\pm E_{K1}\pm E_{K2}…}

• К правой части уравнения прибавляем величины источников тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

…±JK1ZK1±JK2ZK2…{\displaystyle …\pm J_{K1}Z_{K1}\pm J_{K2}Z_{K2}…}

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему P–У+1 уравнений относительно P–У+1 неизвестных контурных токов.

Рис. 2. Метод контурных токов

Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I₁₁, а в правом (также по часовой стрелке) — контурный ток I₂₂. Для каждого из контуров составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R₅) течет сверху вниз ток I₁₁–I₂₂. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

{(R1+R2+R5)I11+(−R5)I22=E1+E5(−R5)I11+(R3+R4+R5)I22=−E5−E4{\displaystyle {\begin{cases}(R_{1}+R_{2}+R_{5})I_{11}+(-R_{5})I_{22}=E_{1}+E_{5}\\(-R_{5})I_{11}+(R_{3}+R_{4}+R_{5})I_{22}=-E_{5}-E_{4}\\\end{cases}}}

Перепишем эти уравнения следующим образом:

{R11I11+R12I22=E11R21I11+R22I22=E22,{\displaystyle {\begin{cases}R_{11}I_{11}+R_{12}I_{22}=E_{11}\\R_{21}I_{11}+R_{22}I_{22}=E_{22}\\\end{cases}},}

где

R11=R1+R2+R5{\displaystyle R_{11}=R_{1}+R_{2}+R_{5}} — полное сопротивление первого контура;

R22=R3+R4+R5{\displaystyle R_{22}=R_{3}+R_{4}+R_{5}} — полное сопротивление второго контура;

R12=R21=−R5{\displaystyle R_{12}=R_{21}=-R_{5}} — сопротивления смежной ветви между первым и вторым контурами, взятые со знаком минус;

E11=E1+E5{\displaystyle E_{11}=E_{1}+E_{5}} — контурная ЭДС первого контура;

E22=−E4−E5{\displaystyle E_{22}=-E_{4}-E_{5}} — контурная ЭДС второго контура.

В матричном виде система уравнений для метода контурных токов выглядит следующим образом^[1]:

CZCtI2=C(E+ZJ),{\displaystyle \mathbf {CZC^{t}I_{2}=C(E+ZJ)} ,}

где

C{\displaystyle \mathbf {C} } — матрица контуров размера n × p (где n — количество независимых контуров, р — количество звеньев) , в которой i–я строка соответствует независимому контуру i, а j–й столбец соответствует звену j, причём элемент C_ij равен

• 0, если ребро j не входит в контур i;
• 1, если ребро входит в контур, и направление ребра соответствует направлению обхода контура;
• –1, если ребро входит в контур, и направление ребра противоположно направлению обхода контура.

Для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется с направлением тока в этом ребре;

Z{\displaystyle \mathbf {Z} } — диагональная матрица сопротивлений размера p × p, в которой диагональный элемент Z_ii равен сопротивлению i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю;

Ct{\displaystyle \mathbf {C} ^{t}} — транспонированная матрица контуров;

I2{\displaystyle \mathbf {I} _{2}} — матрица-столбец контурных токов размером n × 1.

J{\displaystyle \mathbf {J} } — матрица-столбец источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;

E{\displaystyle \mathbf {E} } — матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС источника в соответствующем ребре, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.

Пример системы уравнений[править | править код]

Для схемы, представленной в предыдущем разделе (см. «Построение системы уравнений», рис. 1), матрицы имеют вид:

C=(−1−1010001−1010101001);I2=(I4I5I6){\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&-1&0&1&0&0\\0&1&-1&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {I} _{2}={\begin{pmatrix}I_{4}\\I_{5}\\I_{6}\end{pmatrix}}}

Ct=(−101−1100−11100010001);Z=(Z1000000Z2000000Z3000000Z4000000Z5000000Z6);J=(0000J50);E=(000E40E6){\displaystyle \mathbf {C} ^{t}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}};\quad \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}Z_{1}&0&0&0&0&0\\0&Z_{2}&0&0&0&0\\0&0&Z_{3}&0&0&0\\0&0&0&Z_{4}&0&0\\0&0&0&0&Z_{5}&0\\0&0&0&0&0&Z_{6}\\\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmatrix}};\quad \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix}}}

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением:

CZ=(−Z1−Z20Z4000Z2−Z30Z50Z10Z300Z6);{\displaystyle \mathbf {CZ} ={\begin{pmatrix}-Z_{1}&-Z_{2}&0&Z_{4}&0&0\\0&Z_{2}&-Z_{3}&0&Z_{5}&0\\Z_{1}&0&Z_{3}&0&0&Z_{6}\end{pmatrix}};}

CZCt=(Z1+Z2+Z4−Z2−Z1−Z2Z2+Z3+Z5−Z3−Z1−Z3Z1+Z3+Z6);{\displaystyle \mathbf {CZC^{t}} ={\begin{pmatrix}Z_{1}+Z_{2}+Z_{4}&-Z_{2}&-Z_{1}\\-Z_{2}&Z_{2}+Z_{3}+Z_{5}&-Z_{3}\\-Z_{1}&-Z_{3}&Z_{1}+Z_{3}+Z_{6}\end{pmatrix}};}

CZCtI2=((Z1+Z2+Z4)⋅I4−Z2⋅I5−Z1⋅I6−Z2⋅I4+(Z2+Z3+Z5)⋅I5−Z3⋅I6−Z1⋅I4−Z3⋅I5+(Z1+Z3+Z6)⋅I6);{\displaystyle \mathbf {CZC^{t}I_{2}} ={\begin{pmatrix}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{6}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})\cdot I_{6}\end{pmatrix}};}

E+ZJ=(000E4Z5J5E6);C(E+ZJ)=(E4Z5J5E6){\displaystyle \mathbf {E+ZJ} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix}};\quad \mathbf {C(E+ZJ)} ={\begin{pmatrix}E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix}}}

Раскрывая матричную запись, получаем следующую систему уравнений:

{(Z1+Z2+Z4)⋅I4−Z2⋅I5−Z1⋅I6=E4−Z2⋅I4+(Z2+Z3+Z5)⋅I5−Z3⋅I6=Z5J5−Z1⋅I4−Z3⋅I5+(Z1+Z3+Z6)⋅I6=E6.{\displaystyle {\begin{cases}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}=E_{4}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{6}=Z_{5}J_{5}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})\cdot I_{6}=E_{6}\end{cases}}.}

1. ↑ Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — М.: Гардарики, 2002. — 638 с. —

Метод контурных токов.

Метод контурных токов – один из основных и широко применяемых на практике методов. Он заключается в определении по второму закону Кирхгофа контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов Кирхгофа.



Рис.28. Иллюстрация к методу контурных токов.

На рис.28 показана цепь с двумя независимыми контурами, следовательно, и с двумя контурными токами I₁₁иI₂₂.

Токи в ветвях I₁иI₂равны контурным токам:

I₁=I₁₁, I₂=I₂₂

Ток I₃равен сумме этих двух контурных токов:

I₃=I₁₁+I₂₂

По второму закону Кирхгофа для первого контура цепи:

I₁r₁+I₃r₃=E₁-E₃

Или: I₁₁r₁+(I₁₁+I₂₂)r₃=E₁-E₃;

I₁₁ (r₁+r₂)+I₂₂r₃=E₁-E₃

Обозначим r₁+r₂=r₁₁

r₃=r₁₂; E₁-E₃

Тогда: I₁₁r₁₁+I₂r₁₂=E₁₁

r₁₁– сумма всех сопротивлений, входящих в контурI, называетсясобственным сопротивлением контура.

r₁₂– сопротивление ветви, общей для контураIиII;

E₁₁=E₁-E₂– алгебраическая сумма всех э.д.с., содержащихся в первом контуре; со знаком «-» берется э.д.с., действующая навстречу контурному току рассматриваемого контура.

E₁₁называетсяконтурной э.д.с.

Аналогично для второго контура рис.28.

I₁₁r₂₁+I₂₂r₂₂=E₂₂,

где r₂₁=r₃;r₂₂=r₂+r₃;

E₂₂=E₂-E₃

Уравнения, составленные по методу контурных токов, всегда записывают в виде системы. Для схемы рис.28:



В результате решения системы находят контурные токи, а затем токи ветвей.

Если заданная электрическая цепь содержит nнезависимых контуров, то на основании второго закона Кирхгофа получаетсяnконтурных уравнений:

(29)

Собственные сопротивления r_iiвходят в уравнения (29) со знаком «+», поскольку обход контура принимается совпадающим с положительным направлением контурного токаI_ii. Общие сопротивленияr_ikвойдут в уравнения со знаком «-», когда токиI_iиI_kнаправлены в них встречно.

Число уравнений, составляемых по методу контурных токов, определяется по формуле:

N_ур=N_b-N_y+1-N_и.т.

где N_b– число ветвей электрической цепи;

N_y– число узлов;

N_и.т.– число идеальных источников тока.

Если в цепи отсутствуют источники тока, число уравнений равно числу контурных токов и, соответственно, числу независимых контуров рассматриваемой электрической цепи.

Пример.

Решим пример 2 параграфа 11, используя метод контурных токов.

Цепь содержит три контура, через которые протекают контурные токи.

При наличии источников тока надо так направлять контурные токи, чтобы они протекали через данные источники. Но через один источник тока не может протекать два контурных тока.

На рис.1 обозначены положительные направления контурных токов. Очевидно, что I₁₁=J₁;I₂₂=-J₂

Контурный ток I₃₃– неизвестен, для него составляем уравнение:

I₃₃ (R₃+R₄+R₅+R₆)-I₁₁ (R₃+R₄)+I₂₂ (R₅+R₃)=0

В правой части уравнения стоит «0», т.к. отсутствует контурная э.д.с.

В результате решения определяем I₃₃=16,25 мА

Итак: I₁=I₁₁=20мА; I₃=I₁₁-I₂₂-I₃₃=20-(-10)-16,25=13,75мА.

I₄=-I₁₁+I₃₃=-20+16,25=-3,75мА;

I₅=I₂₂+I₃₃=-10+16,25=6,25мА;

I₆=I₃₃=16,25мА.

калькулятор расчета, примеры применения метода

Все расчеты электрических схем базируются на простых формулах. Сложность и громоздкость вычислений зависят от сложности схем. Для упрощения расчетов без ущерба качеству разработано несколько методик, позволяющих сократить число вычислений до разумных пределов.



Основные формулы электротехники

Основные принципы

Любая электротехническая цепь состоит из участков (ветвей), образующих узлы и контуры. Для определения значений тока через любой элемент используют два закона Кирхгофа. Прямое составление уравнений дает систему с их максимальным количеством, равным количеству ветвей. В результате, если множество узлов цепи равно У, а число ветвей Р, то уравнения распределяются следующим образом:

• Для узлов У-1 по закону Кирхгофа для токов;
• Для ветвей Р-У+1 по закону Кирхгофа для напряжений.

Данное количество избыточно и приводит к образованию громоздкой системы уравнений большой размерности.

Для упрощения расчетов разработаны методики, которые позволяют сократить количество уравнений до приемлемых значений без снижения точности результатов. Наиболее простым является метод контурных токов.

Определение и суть метода контурных токов

По данному методу в исследуемой цепи выделяются независимые плоские замкнутые контуры, включающие все, без исключения, элементы. Предполагается, что в каждом контуре может протекать некоторый контурный ток. В том случае, если цепь с элементом принадлежит только одному контуру, то ток через входящие в нее элементы равен контурному. Если элемент охватывается несколькими контурами, то он в ней равен алгебраической (с учетом направления) сумме контурных токов.



Разбиение цепи на контуры

Важно! Суммирование должно производиться строго с учетом направления движения при обходе контура. Знак «плюс» – при совпадении направления, «минус» – при противоположном.

При составлении уравнений учитываются входящие в схему источники ЭДС и тока.

На практике удобнее преобразовать идеальный источник тока в идеальный источник ЭДС. Преобразование выполняется согласно закона Ома:

U=I∙r, где r – внутреннее сопротивление источника тока (напряжения).

Методика расчета используется как в цепях постоянного, так и переменного напряжения. При расчетах цепей переменного напряжения с реактивными элементами используются комплексные величины, затем вычисляются мгновенные и амплитудные величины токов и напряжений и углы сдвига фаз между ними.



Цепь с реактивными элементами

Построение системы контуров

Основная сложность заключается в правильном выделении контуров. Количество контурных токов будет равняться числу выбранных контуров.

Важно! Каждый элемент схемы должен входить хотя бы в один контур.

Распространены две методики выбора контуров.

Использование планарных графов

Метод планарных графов применяется при ручном расчете, поскольку он наиболее прост и нагляден. Для построения плоского графа схему рисуют таким образом, чтобы не было взаимного пересечения ветвей. Получается, что схему можно разбить на несколько ограниченных участков, которые образуют контуры.

Рассматриваемая методика неприменима без дополнительных преобразований, если невозможно выразить схему в виде планарного графа.

Метод выделения максимального дерева

Метод выделения максимального дерева более абстрактный и используется при автоматизированных расчетах и наличия специализированных программ. Суть метода заключается в исключении из цепи некоторых ветвей в соответствии со строгими правилами, которые таковы:

• При каждом шаге исключается только одна ветвь;
• Исключение ветви не должно приводить к разбиению графа на несколько частей или к «висячим узлам»;
• Количество удаленных звеньев равняется числу независимых контуров;
• Подключение удаленной ветви образует соответствующий контур.

Построение системы уравнений

Построение системы уравнений по рассматриваемой методике выполняется по следующим правилам:

• Для каждого выбранного контура задается направление обхода;
• С левой стороны равенств записывается сумма всех произведений искомых токов в ветвях на сопротивление веток. В правую часть записывается сумма источников напряжений, присутствующих в контуре;
• Если направление искомой величины или источника напряжения такое же, как у заданного направления обхода, то слагаемые пишутся со знаком «плюс», в ином случае они имеют отрицательное значение;
• Значение токов в ветвях заменяют на их выражение через токи контура.

После выполнения арифметических действий (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых) получается система уравнений, в которых неизвестными величинами являются виртуальные контурные токи.

Решая систему уравнений, получают значения контурных, а затем искомых величин.

Оптимизированная процедура составления системы

По упрощенной методике поступают следующим образом:

• В уравнениях в левой части записывают произведение суммы всех входящих в контур сопротивлений на контурный ток;
• От полученного выражения вычитаются умноженные на сумму сопротивлений общей ветви соседние контурные токи;
• Справа записывается сумма источников ЭДС контура.

Формальный подход

Формальный подход предполагает матричную форму записи системы уравнений. Для расчетов исходные данные записывают в матричной форме.  Используются такие матрицы:

• C – в которой i строк, соответствующих количеству контуров, и j столбцов по количеству ветвей;
• Z – диагональная матрица сопротивлений, количество строк и столбцов которой соответствуют числу веток;
• Ct – транспонированная матрица С;
• I – матрица контурных величин;
• J – матрица источников тока;
• Е – матрица ЭДС.

При составлении матрицы С каждый элемент Сij:

• 0, если ветвь j не входит в контур;
• -1, если ветвь входит в контур, направление тока противоположно контурному;
• 1 – то же самое, но направление тока совпадает с контурным.

В матрице Z диагональные элементы равняются сопротивлению участков, остальные приравниваются нулю.

Итоговая формула для расчетов имеет вид:

C∙Z∙Ct∙I=C(Z∙J+E).

Такая форма записи решения в матричной форме показывает, каким образом выполняются действия над составленными матрицами.

Пример системы уравнений

Ниже рассмотрен пример расчета конкретной схемы без учета номиналов элементов.



Пример решения

В заданной цепи выделяют три контура. Как выразить токи в ветвях через контурные:

• i1=I1;
• i2=I2;
• i3=I3;
• i4=I2+I3;
• i5=I1+I2;
• i6=I1-I3.

Как составить систему уравнений:

• i1R1+i5R5+i6R6=E1;
• i2R2+i4R4+i5R5=E2;
• i3R3+i4R4-i6R6=0

Как подставить контурные значения:

• I1R1+( I1+I2)R5+( I1-I3)R6=E1;
• I2R2+( I2+I3)R4+( I1+I2)R5=E2;
• I3R3+( I2+I3)R4-( I1-I3)R6=0

После преобразования получается необходимая система уравнений:

• (R1+R5+R6)I1+R5I2+R6I3=E1;
• R5I1+(R2+R4+R5)I2+R4I3=E2;
• -R6I1+R4I2+(R3+R4+R6)I3=0.

Система из трех уравнений легко решается после подстановки известных параметров. Из полученных значений контурных токов затем можно найти искомые величины.

Данный пример решения задач по методу контурных токов показывает, что любую достаточно сложную схему можно существенно упростить для решения, руководствуясь указаниями.

Важно! Метод неприменим, если нет возможности преобразовать цепь без взаимного пересечения ветвей.

В некоторых случаях упростить схему можно путем преобразования ветвей, соединенных по схеме «звезда» в треугольник.

Точно такие же результаты получаются при использовании метода узловых потенциалов. В основе расчетов – поиск потенциала каждого узла (так называемый узловой потенциал). Существуют программы, позволяющие произвести онлайн расчет параметров по рассмотренным методам.

Видео