Температура Дебая — Википедия
Температура Дебая — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.
Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.
Температура Дебая определяется следующей формулой:
- ΘD=hνDkB,{\displaystyle \Theta _{D}={\frac {h\nu _{D}}{k_{B}}},}
где h{\displaystyle h} — постоянная Планка, νD{\displaystyle \nu _{D}} — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, kB{\displaystyle k_{B}} — постоянная Больцмана.
Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.
Физическая интерпретацияПравить
При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.
При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна 3NrkB{\displaystyle 3Nrk_{B}} , где N{\displaystyle N} количество элементарных ячеек в теле, r{\displaystyle r} — количество атомов в элементарной ячейке, kB{\displaystyle k_{B}} — постоянная Больцмана.
При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких, как дисперсия акустических и оптических фононов, количество атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой
- CV(T)=3NkBfD(θD/T){\displaystyle C_{V}(T)=3Nk_{B}f_{D}(\theta _{D}/T)} ,
где θD{\displaystyle \theta _{D}} — температура Дебая, а функция
- fD(x)=3×3∫0xt4et(et−1)2dt{\displaystyle f_{D}(x)={\frac {3}{x^{3}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{4}e^{t}}{(e^{t}-1)^{2}}}{\textrm {d}}t}
называется функцией Дебая.
При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры
- CV(T)=12π45NkB(T/θD)3{\displaystyle C_{V}(T)={\frac {12\pi ^{4}}{5}}Nk_{B}(T/\theta _{D})^{3}} .
Оценка температуры ДебаяПравить
При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейный закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если qD{\displaystyle q_{D}} радиус такой сферы, то ωD=qDs{\displaystyle \omega _{D}=q_{D}s} , где s{\displaystyle s} скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения
- ℏωD=kBθD{\displaystyle \hbar \omega _{D}=k_{B}\theta _{D}} .
Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.
Характеристическая температура — Энциклопедия по машиностроению XXL
При рассмотрении зависимости удельного сопротивления от температуры удобно выделить три температурных диапазона, пользуясь характеристической температурой 0н, связанной с дебаевской температурой 0в. Первый диапазон, 7 >0д, высокотемпературный, в нем практически все фононы имеют максимальную возможную частоту сот и энергию й(От = й0н. Второй диапазон включает 0д и простирается до умеренно низких температур. В этом диапазоне энергия фонона может достигать значения й0д. И наконец, низкотемпературный диапазон, 7 [c.193]Еще одной причиной нелинейности температурной зависимости удельного сопротивления при высоких температурах является тепловое расширение. Характеристическая температура понижается и поэтому амплитуда колебаний решетки увеличивается. В уравнение (5.4) необходимо ввести аддитивную поправку, пропорциональную Таким образом, для платины, у которой 0д составляет примерно 240 К, зависимость удельного сопротивления от температуры при комнатной температуре и выше получает квадратичную составляющую, связанную с тепловым расширением. Кроме того, если учесть сложный характер кривой плотности состояний, следует ожидать появления чле- [c.194]
Характеристическая температура Дебая 173 [c.384]
В начале текуш его столетия были заложены основы квантовой физики. Вскоре после этого Эйнштейн [75], Борн и Карман [76] и Дебай [77] применили принципы квантовой теории для объяснения результатов, полученных при измерении теплоемкости твердых тел. Б несколько более поздней работе Эйнштейн [78] признал, что его первоначальное предположение о наличии одной частоты колебаний у всех атомов твердого тела не может рассматриваться как точная физическая модель. Тем не менее его первую работу характеризует глубокое понимание основных особенностей теплоемкости, что полностью оправдывает использование в качестве первого приближения сравнительно грубой первоначальной модели. Теоретическим результатом первостепенной важности было введение представления о свойственной каждому веществу характеристической температуре 0, выше которой тепловое движение полностью нивелирует индивидуальные особенности любой решетки и поэтому действительна универсальная классическая формула Е = 31 кТ. При температурах ниже в теплоемкость, а также многие другие экспериментально определяемые свойства твердых тел весьма критическим образом зависят от особенностей данной решетки. Так, например, аномальная теплоемкость алмаза, значительно меньшая классического значения, в свете этой теории получает прямое объяснение как результат высокой характеристической частоты колебаний решетки v (это подтверждается также исключительной твердостью алмаза). Характеристическая температура алмаза в (A 0=/zv) много выше комнатной температуры, а потому и его теплоемкость при комнатной температуре много ниже значения, которое следует из закона Дюлонга и Пти. Иными словами, алмаз при комнатной температуре находится в низкотемпературной области .
Характеристическая температура, К Металл [c.191] Сравнительное постоянство характеристической температуры в натрия (см. фиг. 26), вычисленной по формуле Блоха, можно на основании этой теории интерпретировать как свидетельство того, что среднее эффективное экранирование в этом металле является полным, и поэтому его свойства соответствуют модели свободных электронов. Падение в примерно на 50% в случае других металлов при низких температурах означает, что для них Ф 0,50, т. е. что радиус экранирования Ь сравним с постоянной решетки, которая приблизительно равна диаметру иона. Расчеты Мотта, проведенные на основе модели Томаса — Ферми, в предположении, что на каждый атом металла приходится один свободный электрон, приводят к соотношению
Для определения теплоемкости двухатомных газов будем представлять себе молекулу в виде двух связанных между собой твердых атомов. Электронными возбуждениями в атомах при нагревании будем пренебрегать, так как при энергии возбуждения атома El—Ео 10 — Дж характеристическая температура энергии этих возбуждений [c.248]
Характеристическая температура энергии вращения молекулы двухатомных газов достаточно низка от нескольких кельвинов до небольшого числа десятков кельвинов. Так, для О2 Тс = 2,07 К, для НС1 7с =15,1 К, для И 7с = 85,4 К. Поэтому Су имеет классическое значение уже при комнатных температурах. Действительно, при 7 >7 с из (14.80) имеем
Характеристическая температура энергии вращения вокруг оси симметрии молекулы вследствие чрезвычайно малого ее момента инерции относительно этой оси согласно формуле (14.84) составляет миллионы кельвинов, и поэтому теплоемкостью, соответствующей этой степени свободы, можно полностью пренебречь. [c.250]
Важнейшим параметром, характеризующим температурную зависимость теплоемкости твердого тела, является характеристическая температура Дебая (дебаевский параметр) 0, К, определяемая соотношением kQ=h, где k — постоянная Больцмана, Дж/К h — постоянная Планка, Дж-с v — максимальная частота колебаний атома в кристалле, Гц.
После подстановки в нее данных получаем D = 2,169 AV = 0,9320. Затем уточняем относительные значения энтальпии по (4.68) 2 = 1,12 и температуры 7г = 7г/7( (Та — характеристическая температура диссоциации)
Для оценки диапазонов, в которых колебательная энергия, быстро уменьшаясь, приближается к нулю, или диапазонов, в которых вращательная энергия уменьшается и перестает зависеть от температуры (диапазоны вырождения), вводят понятие характеристическая температура и обозначают ее через 0. [c.32]
Характеристической температурой называют такую, при которой вырождение становится заметным. [c.32]
Для колебательной и вращательной энергии характеристические температуры соответственно определяются формулами
О — характеристическая температура колебательного движения, равная 0 = hailk (h — постоянная Планка, k — постоянная Больцмана, ш — число колебаний в секунду) [c.76]
Температура 0э, при которой начинается быстрый спад теплоемкости и получившая название характеристической температуры Эйнапейна, очевидно, определяется близостью k T к Цтэ - [c.168]
Несколько позже Дебай предложил остроумную модель, согласно которой в твердом теле имеется полный спектр характеристических колебаний с длинами волн, лежащими в пределах от макроскопических размеров кристалла до размеров, соответствующих межатомным расстояниям. Б этой модели, известной под разными названиями (вроде студня или квазиконтинуума ), сохраняется важное представление о наличии единой характеристической температуры данного твердого тела. Б целом модель Дебая очень хорошо объясняла экспериментальные результаты и, в частности, величины скорости уменьшения теплоемкости с температурой в области низких температур, в которой по формуле Эйнштейна должно наблюдаться значительно более резкое спадание теплоемкости ).
Грюнейзен вычислил это приведенное сонротивление г= = l,056-(f/e) F (0/Г). Значения функции/ (0/Г) даны в табл. 3. Построенные по данным Мейснера графики (фиг. 25) показывают, что этот вывод выполняется вполне точно. Пользуясь таким графиком, легко найти характеристическую температуру 0 любого металла. Часть полученных Грюнейзеном [401 значений 0 приведена в табл. 4. Эти значения очень хорошо совпадают со
Характеристическая температура 0 ,, определенная из данных но теплоемкости, и характеристическая температура Ид, определенная по электросонротивленин [c.191]
Ф и г. 27. а—изменения характеристической температуры 0п натрия, вычис-пешхой на основании измерения теплоемкости (см. работу Келли и Макдональда [92]) б—изменения хараитерпстическойтемпературы вц калия, вычисленной па основании измерения теплоемкости. [c.193]
Физическая основа теоремы Нернста состоит в том, что при достаточно низких температурах существующий в системе беспорядок устраняется иод влиянием сил взаимодействия между элементарными частицалш. Это происходит в области температур, в которой энергия взаимодействия Е сравнима с тепловой энергией кТ. Следовательно, можно ввести характеристическую температуру Н порядка Elk, соответствующую переходу системы в новую упорядоченную фазу или состояние. При Г=0 наблюдается крутой наклон на верхней из кривых, изображенных на фиг. 2, а в теплоемкости при постоянном внешнем параметре (равной TdS/dT) наблюдается четко выраженный максимум. [В случае перехода первого рода на (6 —Г)-кри-вых имеет место разрыв непрерывности и, следовательно, скрытая теплота.) При температурах много ниже 0 энтропия очень слабо зависит от внешнего параметра, и вещество теряет свою эффективность в качестве рабочего вещества охладительного цикла.
Дебай и Джиок показали, что для некоторых парамагнитных солей очень хорошо выполняются требования, изложенные в п. 1. Если магнитные ионы, имеющиеся в решетке соли, достаточно удалены друг от друга ( разбавлены ), так что энергия их взаимодействия весьма мала по сравнению с тепловой энергией при температуре 1 ° К, то пространственная ориентация ионов при этой температуре является еще хаотической, и энтропия имеет значительную величину. В магнитном поле, при котором потенциальная энергия магнитных ионов имеет тот же порядок величины, что и их тепловая энергия, большая часть ионов ориентирована параллельно полю, и энтропия заметно ниже, чем в отсутствие поля. Следовательно, если такая соль изотермически (в тепловом контакте с криостатом, заполненным жидким гелием) намагничивается, а затем адиабатически (при разомкнутом тепловом контакте с жидким гелием) размагничивается, то температура соли падает значительно ниже температуры жидкого гелия. Внешним параметром при этом процессе является магнитное поле, а характеристической температурой 0—температура Кюри или Ноэля для данной соли. [c.423]
При высоких температурах функция Эйнштейна стремится к единице, поэтому выражение (1.33) совпадает с классическим результатом ЗЫоко. Но при температурах, значительно более низких, чем характеристическая температура Эйнштейна ТЕ=Ь(ОЕ/ко, эта фукция убывает экспоненциально [c.38]
КИМ законом Дюлонга и Пти (кривая 1) и теорией Эйнштейна (кривая 2) для характеристической температуры 1320 К (эта температура отвечает угловой частоте ШЕ = коТ /Н= 1,73-10 ра,д/с). Хотя согласие между тео1ретичеокими и экспериментальными данными оказалось неидеальным, модель Эйнштейна более справедлива по сравнению с классической. Характеристическая тем1перату ра Те использовалась как регулируемый параметр, обеспечивающий согласие между теорией и опытом в отношении величины Сг,. [c.39]
Условие исчезновения теплоемкости hv/kT l можно записать в виде Т- Тс , где величина T = hvlk= (Ei— о)/й называется характеристической температурой энергии колебаний. [c.246]
По сравнению с предыдущим соотношением (9.89) в последней формуле опущен вклад нулевой энергии, поскольку он не влияет на теплоемкость. Величина 0 = Лсотах/ЙБ получила название температуры Дебая, или характеристической температуры. Введя 0 в формулу (9.90), получим [c.224]
Характеристическая температура Дебая — Энциклопедия по машиностроению XXL
Характеристическая температура Дебая 173 [c.384]Важнейшим параметром, характеризующим температурную зависимость теплоемкости твердого тела, является характеристическая температура Дебая (дебаевский параметр) 0, К, определяемая соотношением kQ=h, где k — постоянная Больцмана, Дж/К h — постоянная Планка, Дж-с v — максимальная частота колебаний атома в кристалле, Гц. [c.197]
В табл. 17.1 приведены характеристические температуры Дебая и значения теплоемкости [3]. Видно, что при температуре 293 К Для всех металлов, кроме переходных, для которых значения теплоемкости значительно выше ожидаемых, выполняется правило Дюлонга— Пти. [c.276]
Для количественной оценки влияния теплового и механического воздействий на одномерную модель материала в виде линейной цепочки ионов воспользуемся методами классической статистической физики [47]. Эти методы применимы к большинству металлов при температурах, начиная с нормальной и выше (точнее, при Т > > Эд, где 0Д — характеристическая температура Дебая [55]. Эта температура достаточна для возбуждения почти всех возможных колебаний ионов в кристаллической решетке, когда справедлив закон Дюлонга — Пти для приходящейся на один атом тепло емкости при постоянном объеме су =3k(k = 1,38 10 Дж/К — постоянная Больцмана). Воспользуемся формулой осреднения [c.56]
Величина 00 есть характеристическая температура Дебая, при которой выполняется условие [c.49]
Воспользовавшись данными табл. 5.3.1, вычислить 0,, — предельную характеристическую температуру Дебая при 0 К, и сравнить ее с 0 , вычисленной по скорости звука (4,26 10 сл сек ) при низких температурах. (Объем грамм-атома германия при 0 °К можно считать равным 13,606 сл .) [c.32]
В табл. 5.12.1 даны значения характеристической температуры Дебая, измеренные для кристаллов трех химических элементов в функции температуры. [c.34]
Найти вид температурной зависимости характеристических температур Дебая 0 (Г) и 0 (Г) в области 0° решетки кристаллической меди [0 (Т) — характеристическая температура, соответствующая фактору Дебая —Вал-лера] при значениях моментов частотного распределения [c.35]
Область Т > 0л, где 0d — характеристическая температура Дебая (при температурах выше дебаевской возбуждены все колебания решетки). Подробный расчет для этой области приводится в книге Мотта и Джонса [29] ), а в более простом виде — в книге Киттеля [4]. В результате получается o Т , что согласуется с опытом. [c.108]
Результаты исследования температурных зависимостей удельной теплоемкости позволили определить коэффициенты электронной теплоемкости у, изучить их изменение с изменением состава, а также рассмотреть температурные вависимости характеристических температур Дебая, то есть получить надежную информацию об электронном и фононном спектрах исследованных препаратов. [c.37]
В начале текуш его столетия были заложены основы квантовой физики. Вскоре после этого Эйнштейн [75], Борн и Карман [76] и Дебай [77] применили принципы квантовой теории для объяснения результатов, полученных при измерении теплоемкости твердых тел. Б несколько более поздней работе Эйнштейн [78] признал, что его первоначальное предположение о наличии одной частоты колебаний у всех атомов твердого тела не может рассматриваться как точная физическая модель. Тем не менее его первую работу характеризует глубокое понимание основных особенностей теплоемкости, что полностью оправдывает использование в качестве первого приближения сравнительно грубой первоначальной модели. Теоретическим результатом первостепенной важности было введение представления о свойственной каждому веществу характеристической температуре 0, выше которой тепловое движение полностью нивелирует индивидуальные особенности любой решетки и поэтому действительна универсальная классическая формула Е = 31 кТ. При температурах ниже в теплоемкость, а также многие другие экспериментально определяемые свойства твердых тел весьма критическим образом зависят от особенностей данной решетки. Так, например, аномальная теплоемкость алмаза, значительно меньшая классического значения, в свете этой теории получает прямое объяснение как результат высокой характеристической частоты колебаний решетки v (это подтверждается также исключительной твердостью алмаза). Характеристическая температура алмаза в (A 0=/zv) много выше комнатной температуры, а потому и его теплоемкость при комнатной температуре много ниже значения, которое следует из закона Дюлонга и Пти. Иными словами, алмаз при комнатной температуре находится в низкотемпературной области . [c.186]
Частоте, Дебая соответствует так называемая характеристическая температура, или температура Дебая 6, при которой в решетке возбуждается весь спектр нормальных колебаний вплоть до частоты температура определяется из следующего соотношения [c.130]
Для количественной оценки энергии и сил межатомной связи в кристаллических телах могут быть использованы энергия сублимации, среднее квадратичное амплитуды тепловых колебаний, температура плавления, характеристическая температура (температура Дебая), параметры диффузии, упругие постоянные и другие физические величины. Однако при решении проблемы прочности не все они равноценны, так как по-разному связаны с механизмом пластической деформации и разрушения металлов. [c.9]
Введем в (53.5) новую переменную интегрирования х с помощью соотношения Ну 1Т = х и определим характеристическую температуру кристалла, или температуру Дебая в, формулой [c.258]
Характеристические температуры для металлов и значения теплоемкости при комнатной температуре Ср и температуре Дебая для металлов приведены в разделе 8.12, [c.48]
В предположении, что функция Дебая с характеристической температурой, равной 280°К, дает точное значение тепло- [c.31]
К. Здесь применима модель Дебая, а характеристические температуры, вычисленные из теплоемкостей и из скоростей звука, должны совпадать. [c.157]
Значения характеристических температур в формулах Дебая и Эйнштейна для одних и тех же веществ различны, причем 6о>9е это обусловлено тем, что величина Во связана с максимальной частотой колебаний, а 0 — со средней частотой. В большинстве случаев [c.266]
Максимальная частота колебаний -т в формуле Дебая (89) связана с упругими постоянными- Зная упругие свойства вещества, можно вычислить у ,, а следовательно, и характеристическую температуру 0в. [c.271]
Значительно сложнее экстраполяции кривой теплоемкости и вычисление тер модинамических функций в тех случаях, когда формула (91) не выполняется даже при самых низких из достигнутых в опытах температур. В этих случаях нередко выражают опытные данные в виде комбинации функций Дебая и Эйнштейна, основываясь при этом на некоторых выводах из теории Борна и Кармана. По Борну теплоемкость кристалла, число атомов в котором равно р, может быть представлена в виде двух частей. Первая из них отражает упругие свойства кристалла в целом в трех направлениях и выражается суммой трех функций Дебая с характеристическими температурами и о,- Вторая часть состоит из 3 (р — 1) [c.273]
Т / т численные по функциям Дебая и Эйнштейна (см. Приложение, табл. 1 и 2) для соответствующих характеристических температур и 0 . (в расчете на трехмерный осциллятор). Общее число функций Дебая и Эйнштейна равно 3 р, что соответствует такому же числу независимых частот колебаний. [c.273]
Рассмотренные выше особенности динамики решетки поверхностных слоев и как следствие этого специфика ее термодинамических функций, по-видимому, могут оказать существенное влияние на физико-механ№ ческие свойства и деформационную способность приповерхностных слоев кристалла. Например, если среднеквадратичные смещения для поверхностных атомов всегда больше, чем для объемных, а характеристические температуры Дебая всегда меньше вблизи поверхности, то, поскольку указанные факторы (в и [/ ) непосредственно связаны с упругими константами решетки и формой ее потенциального рельефа, можно предполагать, что они также являются одной из причин проявления аномальных особенностей микропластического течения вблизи поверхности твердого тела. Так, в работах [428, 436—438] показано, что в ультрамалых частицах Ли [436], Sn [437], SnOj [438], а также в пленках Sn толщиной 20-500 А [428] дебаевская температура, как правило, уменьшается по сравнению с массивными образцами именно за счет ослабления упругих связей поверхностных атомов (см. рис. 73). [c.131]
Х (о) — число осцилляторов Б интервале ё(о. Заметим, что теория Дебая относится к случаю, когда в элементарной ячейке кристалла содержится один атом. Важной величиной является так называемая характеристическая температура Дебая 6д, которая определяется выражением Й-сод=Йб6д, где — постоянная Больцмана. 0д может быть рассчитана по данным для упругих постоянных соответствующего кристалла. Отметим, что температура Дебая 0 указывает на степень жесткости и звукопроводности кристалла. Чем выше 0д, тем более звукопроводен кристалл например, для кварца 0д 4ОО К, а для такого кристалла, как РЬ, О ЮО К- Отметим также, что чем больше для кристалла 0 , тем он более линеен [c.243]
Несколько позже Дебай предложил остроумную модель, согласно которой в твердом теле имеется полный спектр характеристических колебаний с длинами волн, лежащими в пределах от макроскопических размеров кристалла до размеров, соответствующих межатомным расстояниям. Б этой модели, известной под разными названиями (вроде студня или квазиконтинуума ), сохраняется важное представление о наличии единой характеристической температуры данного твердого тела. Б целом модель Дебая очень хорошо объясняла экспериментальные результаты и, в частности, величины скорости уменьшения теплоемкости с температурой в области низких температур, в которой по формуле Эйнштейна должно наблюдаться значительно более резкое спадание теплоемкости ). [c.186]
Дебай и Джиок показали, что для некоторых парамагнитных солей очень хорошо выполняются требования, изложенные в п. 1. Если магнитные ионы, имеющиеся в решетке соли, достаточно удалены друг от друга ( разбавлены ), так что энергия их взаимодействия весьма мала по сравнению с тепловой энергией при температуре 1 ° К, то пространственная ориентация ионов при этой температуре является еще хаотической, и энтропия имеет значительную величину. В магнитном поле, при котором потенциальная энергия магнитных ионов имеет тот же порядок величины, что и их тепловая энергия, большая часть ионов ориентирована параллельно полю, и энтропия заметно ниже, чем в отсутствие поля. Следовательно, если такая соль изотермически (в тепловом контакте с криостатом, заполненным жидким гелием) намагничивается, а затем адиабатически (при разомкнутом тепловом контакте с жидким гелием) размагничивается, то температура соли падает значительно ниже температуры жидкого гелия. Внешним параметром при этом процессе является магнитное поле, а характеристической температурой 0—температура Кюри или Ноэля для данной соли. [c.423]
По сравнению с предыдущим соотношением (9.89) в последней формуле опущен вклад нулевой энергии, поскольку он не влияет на теплоемкость. Величина 0 = Лсотах/ЙБ получила название температуры Дебая, или характеристической температуры. Введя 0 в формулу (9.90), получим [c.224]
Под влиянием размеров кристаллитов претерпевают изменения и такие параметры фононного спектра, как характеристическая температура и фактор Дебая — Уоллера, отражающий атомные смещения. В табл. 3.6 приведены средние значения статических составляющих фактора Дебая—Уоллера Д в дебаевском и эйн-щтейновском приближениях и соответствующие характеристические температуры 0д и бддля образцов селена, изготовленных контролируемой кристаллизацией из аморфного состояния, т.е. с минимальными деформационными искажениями. Эти данные получены с помощью известной процедуры оценки характеристической температуры из измерений интенсивности рентгеновских рефлексов в интервале Т = 88 — 325 К. [c.62]
Как видно из табл. 3.6, с уменьщением размера кристаллитов убывает характеристическая температура и возрастает фактор Дебая-Уоллера (статическая составляющая которого является преобладающей по сравнению с температурно-зависимой динамической составляющей). Конечно, при анализе данных табл. 3.6 следует иметь в виду известный схематизм дебаевского и эйнщтей-новского приближений, тем более по отнощению к такому объекту, как селен с некубической структурой. [c.62]
Статические составляющие фактора Дебая —Уоллера и значения характеристических температур для образцов селена с различным размером кристаллитов [85] [c.62]
Аналогично можно представить характеристические температуры, соответствующие фактору Дебая — Валлера в виде степенных рядов [58], которые мы приведем без выводов и без доказательств. [c.162]
Атомная физика
П. Дебай учел, что колебания атомов в кристаллической решетке не являются независимыми. Смещение одного из атомов из положения равновесия влечет за собой смещение соседних с ним атомов. Таким образом, кристалл представляет собой систему N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы. Каждая степень свободы (нормальное колебание) может быть представлена как гармонический осциллятор, среднюю энергию которого мы уже вычислили (см. (7.6)). Из-за связи между атомами частоты нормальных колебаний уже не совпадают между собой. Взаимодействие атомов приводит к тому, что колебание, возникшее в каком-то месте кристалла, передается от одного атома к другому, в результате чего возникает упругая волна. Эта волна, дойдя до границы кристалла, отражается. При наложении прямой и отраженной волн образуется стоячая волна, которой соответствует некоторое нормальное колебание кристаллической решетки. Число dN нормальных колебаний, то есть стоячих волн, в интервале частот от до велико, поэтому суммирование в выражении для внутренней энергии системы может быть заменено интегрированием:
|
|
. |
(7.9) |
Число колебаний в единице объема. В этом разделе мы займемся подсчетом числа стоячих волн, имеющих близкие частоты . В сущности, мы проделали уже эти выкладки ранее для электромагнитного излучения, но повторим их снова с небольшими модификациями для применения также и к упругим колебаниям в кристалле.
Рассмотрим сначала одномерный потенциальный ящик длиной . Мы могли уже убедиться, что стоячая волна в нем (неважно, электромагнитная ли, звуковая или волна де Бройля), описывается функцией sin(kx), которая должна обращаться в нуль на границах ящика. Отсюда
|
|
. |
(7.10) |
Число нумерует различные стоячие волны вдоль оси х, и потому на малый интервал волнового вектора приходится число колебаний
|
|
. |
(7.11) |
Двойку в знаменателе мы поставили, чтобы избежать двойного счета: замена на приводит к той же стоячей волне. В трехмерном ящике для волн, распространяющихся по другим осям, получаем аналогичные формулы
|
|
. |
(7.12) |
Перемножая (7.11) и (7.12), находим для полного числа стоячих волн в ящике объемом
|
|
. |
(7.13) |
Наконец, учтем, что каждой стоячей волне может соответствовать g поляризаций (например, для волн де Бройля, соответствующих частицам со спином s, имеем g = 2s + 1 — число различных проекций спина). Окончательно имеем
|
|
. |
(7.14) |
Формула (7.14) дает число различных стоячих волн (отличающихся числом узлов и направлениями поляризации) в объеме V, приходящихся на элемент объема в пространстве волнового вектора . Далее, для перехода к частотам волн вспомним соотношение
где v — фазовая скорость волны. Отсюда
.
и окончательно получаем
|
|
. |
(7.15) |
Мы вывели формулу (7.15) для прямоугольного объема, но можно показать, что форма объема не влияет на результат. Не имеет большого значения и физическая природа колебаний, число которых мы подсчитали. Например, для фотонов v = c и g = 2 (свет может иметь правую и левую циркулярные поляризации). В итоге получаем уже известную нам формулу для числа типов фотонов в объеме V с частотой в интервале :
|
|
. |
(7.16) |
Для применения (7.15) к звуковым волнам в кристалле учтем, что там возможна одна продольная волна, распространяющаяся со скоростью , и две поперечные волны с разными поляризациями, как у фотонов, распространяющиеся со скоростью . Теперь очевидно, как обобщить формулу (7.15) на данный случай:
|
|
. |
(7.17) |
Здесь мы ввели величину v, играющую роль некого среднего между скоростями продольных и поперечных волн; она вычисляется из соотношения
|
|
. |
(7.18) |
Характеристическая температура Дебая. Подставляя (7.17) и (7.6) в выражение (7.9) для внутренней энергии, получаем
|
|
(7.19) |
где — максимальная частота нормальных колебаний, которая определяется из нормировочного соотношения
|
|
(7.20) |
так как полное число нормальных колебаний равно числу степеней свободы. Используя (7.17), находим
|
|
(7.21) |
где n — концентрация атомов (их число в единице объема кристалла). Таким образом, максимальная частота нормальных колебаний, называемая дебаевской частотой, равна
|
|
. |
(7.22) |
Следует отметить, что наименьшая длина упругой волны в кристалле, которая соответствует максимальной частоте , равна
|
|
. |
(7.23) |
где
.
— расстояние между соседними атомами в кристаллической решетке. Этот результат согласуется с тем, что волны, длины которых меньше удвоенного межатомного расстояния, не могут существовать в кристалле.
Используя определение (7.22) и учитывая, что для одного моля кристалла концентрация атомов равна
где — число атомов в молекуле вещества кристалла, мы можем записать внутреннюю энергию одного моля в виде
|
|
. |
(7.24) |
Дифференцируя внутреннюю энергию U по температуре, можно получить молярную теплоемкость кристалла:
|
|
. |
(7.25) |
Введем новый параметр — характеристическую температуру Дебая
|
|
(7.26) |
и выполним в интеграле (7.25) замену переменных
.
Тогда молярную теплоемкость кристалла можно записать в виде
|
|
. |
(7.27) |
При низких температурах верхний предел интеграла будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности. Тогда интеграл будет представлять собой число
и теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:
|
|
. |
(7.28) |
Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая и хорошо согласуется с экспериментом при достаточно низких температурах .
При высоких температурах экспонента в числителе приближенно равна единице, а экспоненту в знаменателе можно разложить в ряд Тейлора:
.
Тогда для молярной теплоемкости получается значение
|
|
(7.29) |
то есть закон Дюлонга и Пти.
О согласии теории Дебая с опытом можно судить по графику рис. 7.1, на котором показаны экспериментальные точки для некоторых веществ.
Рис. 7.1. Сравнение теории теплоемкости Дебая с экспериментальными данными: показаны вещества с заметно различающимися значениями дебаевской температуры и разным составом молекул ( для NaCl и для ), но все точки лежат достаточно близко от теоретической кривой
Пример. Пользуясь данными, приведенными на графике рис. 7.1, найдем максимальную частоту колебаний в кристалле золота по теории Дебая.
Температура Дебая для золота, как указано на графике, равна . Используя (7.26), находим
Дебая температура — это… Что такое Дебая температура?
физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем (См. Дебай) в его теории теплоёмкости (См. Теплоёмкость). Д. т. определяется формулой:ΘD = hvD /k,
где k — Больцмана постоянная, h — Планка постоянная, vD — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела. Д. т. приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты. При температурах Т>>ΘD теплоёмкость кристалла, состоящего из атомов одного сорта, при постоянном объёме CV = 6 кал (°С․моль)—1 в соответствии с законом Дюлонга и Пти. При TD теплоёмкость пропорциональна (T/ ΘD)3(закон T3 Дебая).Типичные значения Д. т. в К для некоторых веществ приведены в табл.
——————————————————————————————————————
| Металлы | ΘD | Полупроводники | ΘD |
|——————————————————————————————————————|
| Hg | 60-90 | Sn (серое) | 212 |
|——————————————————————————————————————|
| РЬ | 94,5 | Ge | 366 |
|——————————————————————————————————————|
| Na | 160 | Si | 658 |
|——————————————————————————————————————|
| Ag | 225 | | |
|——————————————————————————————————————|
| W | 270 | Диэлектрики | ΘD |
|——————————————————————————————————————|
| Cu | 339 | AgBr | 150 |
|——————————————————————————————————————|
| Fe | 467 | NaCI | 320 |
|——————————————————————————————————————|
| Be | 1160 | Алмаз | 1850 |
——————————————————————————————————————
Колебательная характеристическая температура — Справочник химика 21
Кривая зависимости Скол (7/9 ол). вычисленная по формуле (IX. 111), приведена на рис. 33. Мы видим, что классическое значение колебательной теплоемкости при Т = б ол еще не достигается, хотя отличие сравнительно невелико (С кол — около 7,50 Дж-К -моль 1). Характеристическая температура колебательного движения двухатомных молекул — величина обычно порядка тысяч кельвинов (см. ниже) [c.228]Каждой колебательной степени свободы отвечает своя характеристическая температура 0 и своя частота колебаний, числовые значения которых определяются из анализа спектров молекул и по линии спектров комбинационного рассеивания, а также путем подбора, используя опытные значения С для нескольких температур. Приводим значения 0 и 0/Г для некоторых веществ (табл. Х.2 и Х.З). [c.212]
Для твердых тел при достаточно высоких температурах, когда атомы можно считать колеблющимися независимо друг от друга (выше характеристической температуры Дебая), теплоемкость Су можно оценивать, используя правило Дюлонга и Пти, согласно которому одному молю атомов в твердом теле можно приписать Су я ЗЛ в соответствии с тремя колебательными степенями свободы. В случае простых веществ это правило вполне применимо, но в общем случае им нужно пользоваться с осторожностью. [c.119]
Колебательные характеристические температуры равны [c.281]
Используя характеристические температуры и функцию Эйнштейна для расчета колебательной составляющей (приложения [c.85]
Колебательная характеристическая температура О2 равна 2260 К. а) При каких температурах доля колебательной теплоемкости от ее предельного значения будет составлять 0,01 0,1 0,5 и 0,9 б) При каких температурах отнощение колебательной энергии к ЯТ будет составлять значения, указанные выще [c.53]
При 298 К теплоемкость Ср обычно не сильно отличается от Су [разница межцу ними, определяемая по уравнению (1.113), мала] и оценить энтропию можно с помощью модели Дебая. Легко видеть (например, по рис. 1.9), что, если колебательная характеристическая температура мала, то энтропия достаточно велика и наоборот. [c.44]
Характеристическая температура газообразных Кг и 1а соответственно равна 134 и 308 К. Какой из этих газов даст больший вклад колебательной энергии в общий запас внутренней энергии при 298 К [c.25]
Таким образом, частота колебаний определяет порцию энергии = которую может принимать частица, находящаяся в узле кристаллической решетки ( осциллятор ), на каждую степень свободы и которую она принимает при нагревании. Эти порции энергии названы квантами, а А — постоянной Планка. С помощью введенных понятий можно объяснить температурную зависимость молярной теплоемкости. Введем характеристическую температуру 0, соответствующую температуре пробуждения колебательной степени свободы [c.25]
Каждой колебательной степени свободы отвечает своя частота и своя характеристическая температура, которые находят из молекулярных спектров или спектров комбинационного рассеяния. Значения 6 и вели- [c.652]
Последовательность нахождения колебательной составляющей теплоемкости газов устанавливают сложность структуры молекулы рассчитывают число степеней свободы по таблицам [111] определяют волновые числа ш и степени вырождения, т. е. число одинаковых значений a , вычисляют характеристические температуры по отношению Qg/T из таблицы Эйнштейна выписывают значения Се = ф (Йе/Т ) с учетом степеней вырождения для одинаковых характеристических температур рассчитывают Скол по уравнениям (1.79). [c.30]
Молекулы СО2 линейны. Поэтому без учета энергии колебательного движения атомов в молекуле Ср = /г Д=3,5-8,314 = = 29,1 Дж/(моль-К). Значение 37,1 Дж/(моль-К) получается потому, что у СО2 уже при комнатной температуре достаточно велика энергия колебательного движения, так как две из четырех характеристических температур достаточно малы и дают при этой температуре заметный вклад в колебательную часть теплоемкости. [c.9]
Колебательные кванты молекулы иода так малы (по мере их накопления они еще уменьшаются по величине из-за падения значений к), что для полной диссоциации на атомы молекула 2 должна их накопить свыше 115 она может производить это накопление уже при комнатной температуре (так как кванты малы) характеристическая температура , при которой А v= кТ, для 2 составляет 309,6° К. [c.136]
Легко показать, что слабые колебания с малой частотой V начинают проявлять себя уже при низких температурах -> В при 0/Т 0. Наоборот, в случае прочной связи характеристическая температура растет, и при обычных температурах вклад таких колебаний ничтожно мал. Уже начиная с 0/Т > 12 колебательной составляюш ей можно пренебречь. [c.334]
С использованием значений вероятностей перехода, вычисленных по методу искаженных волн, в работе [57] был проведен расчет времени колебательной релаксации т для азота и кислорода. Результаты расчета (сплошные и пунктирные кривые) на ЭВМ приведены на рис. 3, где они сравниваются с экспериментальными значениями времени релаксации, полученными рядом авторов и приведенными в работе [58]. Сравнение показывает, что расчетные значения времени релаксации хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными в основном в ударных трубах в большом диапазоне температур. Это указывает на неплохое соответствие с опытами по вязкости, на основании которых выбираются константы в потенциале Ленарда—Джонса, и спектроскопическими данными, из которых определяется характеристическая температура 0. [c.126]
Многоатомную молекулу рассматривают как совокупность гармонических осцилляторов с характеристическими температурами, 2, Поэтому сумма по всем состояниям колебательного движения многоатомной молекулы определяется уравнением [c.95]
Здесь сумма эйнштейновских функций распространяется только на те колебания атомных ядер, которые возбуждены неполностью если же все колебания можно считать возбужденными полностью, то понятно, что этот член за ненадобностью отпадает. Что касается колебательной составляющей энтропийной константы, то, как это явствует из предыдущего уравнения, она выражается через характеристические температуры колебаний следующим образом [c.176]
Появление 3-ей ветви колебательного спектра дает возможность объяснить обнарун экспериментально [5] отклонение температурной зависимости хар
Температура Дебая — это… Что такое Температура Дебая?
Температура Дебая — температура, при которой возбуждаются все моды колебаний в данном твёрдом теле. Дальнейшее увеличение температуры не приводит к появлению новых мод колебаний, а лишь ведёт к увеличению амплитуд уже существующих, то есть средняя энергия колебаний с ростом температуры растёт.
Температура Дебая — физическая константа вещества, характеризующая многие свойства твёрдых тел — теплоёмкость, электропроводность, теплопроводность, уширение линий рентгеновских спектров, упругие свойства и т. п. Введена впервые П. Дебаем в его теории теплоёмкости.
Температура Дебая определяется следующей формулой:
где — постоянная Планка, — максимальная частота колебаний атомов твёрдого тела, — постоянная Больцмана.
Температура Дебая приближённо указывает температурную границу, ниже которой начинают сказываться квантовые эффекты.
Физическая интерпретация
При температурах ниже температуры Дебая теплоёмкость кристаллической решётки определяется в основном акустическими колебаниями и, согласно закону Дебая, пропорциональна кубу температуры.
При температурах намного выше температуры Дебая справедлив закон Дюлонга-Пти, согласно которому теплоёмкость постоянна и равна , где количество элементарных ячеек в теле, — количество атомов в элементарной ячейке, — постоянная Больцмана.
При промежуточных температурах теплоёмкость кристаллической решётки зависит от других факторов, таких как дисперсия акустических и оптических фононов, количества атомов в элементарной ячейке и т. д. Вклад акустических фононов, в частности, даётся формулой
- ,
где — температура Дебая, а функция
называется функцией Дебая.
При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры
- .
Оценка температуры Дебая
При выводе формулы Дебая для определения теплоёмкости кристаллической решётки принимаются некоторые допущения, а именно принимают линейным закон дисперсии акустических фононов, пренебрегают наличием оптических фононов и заменяют зону Бриллюэна сферой такого же объёма. Если радиус такой сферы, то , где скорость звука, называется частотой Дебая. Температура Дебая определяется из соотношения
- .
Значения температуры Дебая для некоторых веществ приведено в таблице.