Векторное поле это – Определение векторного поля, его характеристики, понятия, формулы и примеры (Таблица) — groupnk.ru — Группа НК — комплексные поставки электрооборудования в Москве и регионах

Содержание

Скалярное поле. Векторное поле. Основные понятия и задачи

Теория поля является разделом математики, однако понятие поля лежит в основе многих представлений современной физики. В общем случае говорят, что в пространстве задано поле некоторой величины u, если в каждой точке пространства (или некоторой его части) определено значение этой величины. Так, например, при изучении потока газа приходится исследовать несколько полей: температурное поле (в каждой точке температура имеет определённое значение), поле давлений, поле скоростей и другие поля.

Поле величины u называется стационарным, (или установившимся), если u не зависит от времени t. В противном случае поле называется нестационарным (или неустановившимся). Таким образом, величина u есть функция точки M и времени t.

В задачах физики чаще всего приходится иметь дело со скалярными и векторными величинами. В соответствии с этим различают два вида полей: скалярные и векторные.

Пусть D — некоторая область на плоскости или в пространстве.

Определение скалярного поля. Если в области D каждой точке M(x,y,z) пространства или точке M(x,y) плоскости в каждый момент времени t по определённому закону ставится в соответствие значение скалярной величины u, то функция u(x,y,z,t) в случае пространства или u(x,y,t) в случае плоскости называется скалярным полем.

Понятия скалярного поля и функции, определённой в области

D, совпадают.

Примером скалярного поля может служить поле температур воздуха в некотором помещении, если температуру рассматривать как функцию точки. В точках, расположенных ближе к источнику тепла, температура выше, чем в точках, расположенных дальше от источника тепла. Можно привести и такие примеры, как поле освещённости, поле плотности массы и тому подобные.

Для получения более полного представления о скалярном поле используется его графическое изображение — поверхности уровня в пространстве и линии уровня на плоскости.

Линии уровня широко используются при составлении топографических и метеорологических карт. На топографических картах линия уровня — линия, в точках которой отмечена одна и та же высота над уровнем моря. На метеорологических картах строят два вида линий уровня — изотермы (линии одинаковой температуры) и изобары (линии одинакового давления).

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется множество всех тех точек пространства, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение поверхности уровня скалярного поля u(x,y,z):

u(x,y,z) = C.

При постоянном изменении значения C поверхности уровня заполняют всю область пространства. Если поверхности уровня размещены плотно, скалярное поле изменяется быстро. Если же поверхности уровня расположены редко, скалярное поле изменяется медленно.

Определение. Линией уровня скалярного поля называется множество всех тех точек на плоскости, в которых скалярное поле постоянно.

Уравнение линии уровня скалярного поля u(x,y):

u(x,y) = C.

Пример 1. Определить поверхности уровня скалярного поля

и их вид.

Решение. Уравнением поверхностей уровня данного скалярного поля является

или

Определение поверхностей уровня скалярного поля

Поверхностями уровня являются конусы с вершиной в начале координат и осью вращения Oy. Так как по области определения

, то одновременно не может быть x = 0 и z = 0. Поэтому следует исключить вершину конусов.

Пример 2. Определить линии уровня скалярного поля и их вид.

Решение. Уравнением линий уровня данного скалярного поля является

Из этого уравнения выразим «игрек»:

Так как arcsinC — также константа, обозначим её C1. Тогда

Определение линий уровня скалярного поля

Графиками этих линий являются параболы с вершиной в точках и ветвями вниз. На рисунке изображены линии уровня в трёх случаях: C1 = 1 — красная линия,

C1 = 2 — зелёная линия, C1 = 3 — синяя линия.

Понятие векторного поля во многом аналогично понятию скалярного поля.

Определение векторного поля. Если в некоторой области пространства каждой точке M по определённому закону ставится в соответствие вектор , то векторная функция называется полем вектора или векторным полем.

Таким образом, векторным полем является векторная функция точки пространства

Примерами векторного поля являются поля скорости и ускорения в текущей жидкости или газе, поле силы гравитации, поле интенсивности электростатического поля и тому подобные. Вообще, примером векторного поля может служить поле сил любой природы.

Мы будем рассматривать только стационарные векторные поля, то есть поля, не зависящие от времени.

Проекции вектора

, соответствующего точке M, на координатные оси обозначим P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z). Тогда векторное поле сможем задать через компоненты:

Таким образом, векторное поле можно определить тремя скалярными функциями P, Q, R. Пусть эти функции и их частные производные по переменным x,y,z являются непрерывными функциями.

Определение. Векторной линией называется линия, направление которой в каждой точке касательной совпадает с направлением вектора поля в этой точке (рисунок ниже).

Векторные линии поля силы обычно называют линиями силы, векторные линии поля скоростей потока жидкости или газа — векторами потока. У стационарного потока жидкости линии потока совпадают с траекториями частиц жидкости.

Уравнения векторных линий можно найти, решив систему дифференциальных уравнений

Поделиться с друзьями

2 Векторное поле. Векторные линии

Если в каждой точке пространственной областизадан определенный вектор

то говорят, что в этой области задановекторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями

, являющимися проекциями вектора

на координатные оси декартовой системы:

Примерами векторных полей могут служить поле электрической напряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и др. Векторное поле тоже может быть плоским, например,

Векторной линией поля называется такая линия, касательная в каждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рисунок 1).

Рисунок 1

Всякое векторное поле обладает семейством векторных линий. Уравнения этого семейства есть общее решение дифференциальных уравнений вида

. (4)

Задача 2. Для плоского поля найти уравнения семейства векторных линий и векторной линии, проходящей через точку

Решение. Так как то, согласно равенству (4), уравнение семейства одно и определяется общим решением дифференциального уравнения

Это уравнение линейное относительно как функции от. Решая его методом вариации произвольной постоянной, получим общее решение в виде

Выделим из этого семейства одно решение то, которое представляет собой уравнение векторной линии, проходящей через точку . Подставив в общее решениеполучимИтак, искомая векторная линия

3 Поток векторного поля

Пусть в поле вектора задана ориентированная поверхность. Обозначим черезединичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в ее произвольной точке. Поверхностный интеграл первого рода по поверхностиот скалярного произведения векторана вектор

(5)

называется потоком векторного поля через ориентированную поверхность и обозначается. В случае замкнутой поверхностипоток записывается в виде

Если ввести в рассмотрение вектор и обозначить его проекции на оси координатто формулу (5) можно переписать в виде

(6)

где вектор направлен по нормали к выбранной стороне поверхности. Правая часть равенства (6) является поверхностным интегралом второго рода.

Если, например, – поле скоростей текущей жидкости в областии– незамкнутая поверхность с выбранным направлением нормали, торавен количеству жидкости, проходящей в единицу времени через поверхностьв направлении. Если– замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую областьс внешней нормалью, торавен разности количеств втекающей в эту область жидкости и вытекающей. Когдаэто означает, что в областиимеютсяисточники (где векторные линии порождаются), а если то это указывает на наличие в областистоков (где векторные линии заканчиваются).

Если ориентированная поверхность задана явно непрерывно дифференцируемой функциейто по формуле (6) можно получить следующую формулу, связывающую поверхностный интеграл по поверхностис двойным интегралом по проекцииэтой поверхности на плоскость:

(7)

где знак плюс берется, когда интегрирование в левой части ведется по стороне положительно ориентированной по отношению к оси— вектор нормали к ориентированной поверхности. Записьозначает, что в произведениипеременнуюследует заменить на

Если поверхность задана явно уравнениемилито соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Замечание. Если поверхность задана уравнениемкоторое неоднозначно разрешается относительно одной из переменных и, следовательно, поверхностьнеоднозначно проецируется на соответствующую координатную плоскость (например— цилиндрическая поверхность неоднозначно проецирующаяся на плоскость), ее следует разбить на части, однозначно проецирующиеся на координатную плоскость.

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности, отсеченной плоскостью(рисунок 2).

Рисунок 2

Решение. Учитывая, что имеет различный знакдля правой и левой части поверхности, а– сохраняет отрицательный знак для всей поверхности, будем иметь

где – правая часть поверхности (нормаль к ней составляет сострый угол),– левая часть поверхности. Первые два слагаемых уничтожаются, так какиимеют одинаковую проекцию наОкончательно имеем :

где – проекциянаимеет форму круга с границей. Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Векторное поле Википедия

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени различен в разных точках и может быть описан векторным полем.

Определение и вариации[ | ]

Евклидово пространство[ | ]

Векторное поле на евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве^[1]E{\displaystyle {\mathcal {E}}} определяется как вектор-функция точки пространства, отображающая это пространство в (на) себя^[2]:

F:E⟶E.{\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.}

То есть, каждой точке пространства сопоставляется некоторый вектор (значение векторного поля в данной точке пространства). В общем случае этот вектор различается для разных точек пространства, то есть в общем случае векторное поле принимает разные значения в разных точках пространства. В каждой точке пространства вектор поля имеет определенную величину и определенное (за исключением тех случаев, когда поле обращается в ноль) направление в этом пространстве^[3].

В литературе (особенно в более старой, а также в физической) применительно к векторному полю на некотором пространстве употребляется также предлог в (то есть говорят и поле на пространстве, и поле в пространстве).

Многообразие[ | ]

В более общем случае, когда исходное пространство является многообразием, векторное поле определяется как сечение касательного расслоения к данному многообразию, то есть отображение, которое каждой точке p{\displaystyle p}

2 Векторное поле. Векторные линии

Если в каждой точке пространственной областизадан определенный векторто говорят, что в этой области задановекторное поле. Векторное поле задается тремя скалярными функциями , являющимися проекциями векторана координатные оси декартовой системы:

Рисунок 1

. (4)

3 Поток векторного поля

(5)

(6)

(7)

Если поверхность задана явно уравнениемилито соответственно меняются роли переменных в формуле (7).

Задача 3. Вычислить поток вектора через нижнюю сторону поверхности, отсеченной плоскостью(рисунок 2).

Рисунок 2

где – проекциянаимеет форму круга с границей. Поэтому, переходя к полярным координатам, получим

Потенциальное векторное поле — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат. Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным — если рассматриваемая область пространства не является односвязной, то скалярный потенциал может быть многозначной функцией.

В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при мгновенном перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. Этот контур не обязан быть траекторией частицы, движущейся под действием только данных сил. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по мгновенному перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновой теории гравитации.

В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует.

Пусть v→{\displaystyle {\vec {v}}} — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал ϕ{\displaystyle \phi } как

v→=∇ϕ{\displaystyle {\vec {v}}=\nabla \phi } (или в другой записи v→=grad⁡ϕ{\displaystyle {\vec {v}}=\operatorname {grad} \phi }).

Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как

F→(r→,t)=−∇U(r→,t){\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)},

то есть для сил потенциалом ϕ{\displaystyle \phi } является −U{\displaystyle -U}. Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия.

Для поля ϕ{\displaystyle \phi } выполняется свойство независимости интеграла от пути P{\displaystyle P}:

∫Pv→⋅dr→=ϕ(B)−ϕ(A){\displaystyle \int _{P}{\vec {v}}\cdot d{\vec {r}}=\phi (B)-\phi (A)},

Это равносильно

∮⁡v→⋅dr→=0{\displaystyle \oint {\vec {v}}\cdot d{\vec {r}}=0}.

Интеграл по замкнутому контуру обращается в 0, поскольку начальная и конечная точка совпадают. И наоборот, предыдущую формулу можно вывести из этой, если разбить замкнутый контур на два незамкнутых.

Необходимое условие записывается как ∇×v→=0{\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=0} (или в другой записи rot⁡v→=0{\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {v}}=0}).

На языке дифференциальных форм потенциальное поле — это точная 1-форма — то есть форма, которая является (внешним) дифференциалом 0-формы (функции). Градиенту соответствует взятие внешнего дифференциала от 0-формы (потенциала), ротору соответствует взятие внешнего дифференциала от 1-формы (поля). Необходимое условие следует из того, что второй внешний дифференциал всегда равен нулю: d2=0{\displaystyle d^{2}=0}. Интегральные формулы следуют из (обобщённой) теоремы Стокса.

Потенциальное векторное поле — это… Что такое Потенциальное векторное поле?

Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, в многосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).

В некоторых источниках потенциальным полем сил считается только поле с потенциалом, не зависящим от времени. Это связано с тем, что потенциал для сил, зависящий от времени, вообще говоря, не является потенциальной энергией тела, движущегося под действием этих сил. Поскольку силы совершают работу не одномоментно, работа сил над телом будет зависеть от его траектории и от скорости прохождения по ней. В этих условиях сама потенциальная энергия не определена, так как по определению должна зависеть только от положения тела, но не от пути. Тем не менее, и для этого случая потенциал для сил может существовать, и может входить в уравнения движения так же, как и потенциальная энергия для тех случаев, когда она существует.

Пусть — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал как

(или в другой записи ).

Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как

то есть для сил потенциалом является . Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия.

Для поля выполняется свойство независимости интеграла от пути :

Это равносильно

Необходимое условие записывается как (или в другой записи ).

На языке дифференциальных форм потенциальное поле — это точная 1-форма — то есть форма, которая является (внешним) дифференциалом 0-формы (функции). Градиенту соответствует взятие внешнего дифференциала от 0-формы (потенциала), ротору соответствует взятие внешнего дифференциала от 1-формы (поля). Необходимое условие следует из того, что второй внешний дифференциал всегда равен нулю: . Интегральные формулы следуют из (обобщённой) теоремы Стокса.

См. также

Виды векторных полей

Определение. Векторное поле называется соленоидальным в области , если его дивергенция равна нулю в каждой точке этой области. Для соленоидального поля характерно, что в областиотсутствуют источники и стоки, а потокдля любой замкнутой поверхности, т.к. по теореме Остроградского-Гаусса.

Для соленоидальных полей имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки, состоящий в следующем. Теорема. В соленоидальном поле поток вектора через поперечное сечение векторной трубки остается постоянным вдоль этой трубки. Доказательство. Пусть — соленоидальное поле, т.е.. Рассмотрим некоторую векторную трубку, т.е часть часть пространства ограниченную векторными линиями, пересекающими некоторый заданный контур. Пересечем векторную трубку двумя поперечными сечениямии. Эти сечения вместе с боковой поверхностьюобразуют замкнутую поверхность.

Т.к. поле соленоидально, то поток через замкнутую поверхность равен нулю:. Поэтому получим:

На боковой поверхности векторнаправлен по касательной к векторной линии, т.е. лежит в касательной плоскости. Поэтомуперпендикулярен вектору нормали к поверхности, т.е., откуда. На поверхностяхинаправления нормалей берутся внешними к поверхностям. На поверхности(см. рисунок) внешняя нормаль направлена в сторону, противоположному направлению векторных линий. Поэтому заменив ее на внутреннюю нормаль и, соответственно, поменяв ориентацию, будем иметь:

Поэтому поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одно и тоже значение. Иногда соленоидальное поле назвают трубчатым. Это согласуется с физическими моделями соленоидальных полей, когда говорят, что поле несжимаемо, что через поперечное сечение трубки проходит одинаковое количество векторных линий. Т.е. векторные линии не возникают и не пропадают ни в какой точке поля. Они либо уходят в бесконечность, либо являются замкнутыми. Пример 1. Поле напряженности магнитного поля, образованного электрическим током, текущему по бесконечному прямолинейному проводу, соленоидально всюду, кроме точек оси, т.к..Пример 2. Поле электрической напряженности точечного заряда также соленоидально всюду, за исключением начала координат.

Определение. Векторное поле называетсябезвихревым в области , если в каждой ее точке.Определение. Векторное поле , заданное в области, называетсяпотенциальным, если в этой области существует такая скалярная функция , что векторможно представить в виде градиента этой функции:

Функция называется потенциальной функцией или потенциалом векторного поля. Из формулыследует, что

и ,

т. е. – есть полный дифференциал потенциала этого поля. Критерием потенциальности векторного поляслужит равенство

Следовательно, для того чтобы ВП было потенциальным необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым. Выполнение условия в областиприводит не только к потенциальности ВП, но и к следующим результатам:а) в области существует потенциал, который может быть определен с точностью до постоянной по формуле

где – любая фиксированная точка;– переменная точка в области;– произвольная постоянная. Во втором интеграле формулы постоянен, а в третьемипостоянные величины;б) циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю:

Если же хотя бы в одной точке, внутренней по отношению к контуру , полене определено, циркуляция по этому контуру может и не обратиться в нуль, хотя поле потенциально;в) для любых двух точек иобластизначение линейного интеграла векторного поля

не зависит от пути интегрирования в области ;г) линейный интеграл этого поля вдоль любого контура , соединяющего точкииравен разности значений потенциалав конечной и начальной точках контура:

Физический смысл этого результата: если – силовое поле, то разность потенциалов между точкамииравна работе, которую поле совершает при перемещении материальной точки изв.Пример 3. Доказать, что векторное поле является потенциальным. Найти его потенциал и вычислить линейный интеграл поля от точкидо точки.Решение. Так как поле определено и дифференцируемо в любой точке пространства и (проверьте самостоятельно), то данное поле потенциально. Найдем потенциал поля, взяв в качестве точкиначало координат:. Вычислим линейный интеграл :.Определение. Векторное поле называетсягармоническим, если оно одновременно является и потенциальным и соленоидальным, т.е. и. Из определения следует, что гармоническое поле одновременно является полем безвихревым и без источников и стоков. Потенциал этого поля удовлетворяет условию:.Пример 4. Выяснить тип векторного поля .Решение. Найдем ротор векторного поля :. Рассчитаем дивергенцию векторного поля:Следовательно, поле– гармоническое.

Существует теорема Гельмгольца о разложении произвольного поля на две компоненты — потенциальную и соленоидальную.

Теорема. Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке областипространства, то всюду вфункция может быть представлена в виде суммы безвихревого (потенуиального) поляи соленоидального поля:

где идля всех точек области. Замечание. Для описания электромагнитных полей существуют система уравнений Максвелла, накопленных к середине XIX века на основе экспериментальных результатов. 1) , т.е. электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.2) , т.е. изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле. 3) , т.е. электрический заряд является источником электрической индукции.4) , т.е. магнитных зарядов не существует.Вопрос. Поле является