Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ – ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.. Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия 9 Класс

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.. Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия 9 Класс

МоТно Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΆΠΈΠ»Ρ‹Π΅ массивы: Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π° практичСски Π½Π΅Ρ‚, нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ΄Ρ‹, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всСгда. Π­Ρ‚ΠΎ зависит ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π»ΠΈ ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ сила Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСимущСствСнно Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΠΉΠΎΠ½Π΅. Π­Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΆΠΈΠ»Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΠΉΠΎΠ½ΠΎΠ², Π½ΠΎ ΠΈ аэродромов, Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π° основании ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π½ΠΈΡ… наблюдСний, наносят направлСния Π²Π΅Ρ‚Ρ€Π° Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ·Ρƒ Π²Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² (см. рис. 1). Π§Π΅ΠΌ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ дальшС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β (см. рис. 2).

Рис. 1. Π ΠΎΠ·Π° Π²Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²

Рис. 2. Π§Π΅ΠΌ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΌ дальшС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Рассмотрим Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρƒ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β Π½Π° плоскости. БоСдиняя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ  с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€ΠΎΠ·Ρ‹ Π²Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² вдоль Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния

Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ называСтся радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ (см. рис. 3) (Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ Π²Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ мСстности Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ вдоль Π΅Π³ΠΎ направлСния).

Рис. 3. Радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

НазваниС «радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β» понятно – ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ радиус окруТности, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ любого радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° зафиксировано Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ (Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚) (см. рис. 4).

Рис. 4. Начало любого радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° зафиксировано Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚

Как ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ алгСбраичСски? Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° плоскости Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (см. рис. 5) (говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Β ΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°).

Рис. 5. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° плоскости соотвСтствуСт Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π‘Π°ΠΌΠ° ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ задаСтся своими ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. Π’. Π΅. ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ саму Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β (см. рис. 6).

Рис. 6. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Β Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ саму Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Π±Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Β Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ? ИмСнно Ρ‚Π°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΈ поступим. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Β ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Β Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° :

ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (см. рис. 7), Ссли Ρƒ Π½ΠΈΡ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ сонаправлСны:

Рис. 7. Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹:

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β (см. рис. 8).

Рис. 8. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Β Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ Β (см. рис. 9) (ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ – Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ стороны Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹).

Рис. 9. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β (ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β ΠΈ, соотвСтствСнно, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² соотвСтствиС ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ чисСл – Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° (Ρ‚. ΠΊ. Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ сам Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€).ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

Β ΠΈ Β ΠΈΠ· нашСго ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, соотвСтствСнно, Β ΠΈ . Вычислим ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ
, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Ρ‚ΠΎ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β (см. рис. 10).

Рис. 10. Радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π³Π΄Π΅ ,

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° Β Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (см. рис. 11).

Рис. 11. ΠŸΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ нас Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Β (см. рис. 12).

Рис. 12. ΠŸΡƒΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° .

Π£Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β Π±Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° Β Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… – это ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β (см. рис. 13).

Рис. 13. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° Β Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…


Β 

БвязанныС ΠΈ свободныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π½Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ достаточно Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ . Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°  – ΡƒΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ числа: ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Β ΠΈ . Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Π² этом ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅?

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅Ρ‚. Π’ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΆΠ΅ «спрятаны» Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ – Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ всСгда совпадаСт с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ , ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ –. Если ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Β ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ искали ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия 8 Класс

Π’Π΅ΠΌΠ°: Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π£Ρ€ΠΎΠΊ: Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

На ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, сказали, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, сонаправлСнными ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β ΠΈ . НайдСм сумму этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . Для этого ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ суммой Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Β (см. Рис. 1).

Рис. 1

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π±Ρ‹Π» Π·Π°Π΄Π°Π½ Π³Ρ€ΡƒΠ·, ΠΈ сначала Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ подСйствовала сила  – ΠΎΠ½ пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, послС этого подСйствовала сила  – Π³Ρ€ΡƒΠ· пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. Но Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ дСйствия Π΄Π²ΡƒΡ… этих сил Π³Ρ€ΡƒΠ· пСрСмСстился ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² – ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ – это ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

МоТно провСсти аналогию с числами. ΠœΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ понятиС числа, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , Β ΠΈ  справСдливы ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ равСнства:

 – ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ: ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ сначала Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А сначала Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ равСнство ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° построСния ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (см. Рис. 2).

Рис. 2

ΠžΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Β ΠΈ Β Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, стороны Π’Π‘ ΠΈ АВ1 Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° АВБВ1 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. Аналогично ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈ стороны АВ ΠΈ Π’1Π‘, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. АБ – диагональ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ

Рис. 3

Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° (см. Рис. 3).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, исходящая ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ суммой Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

 – ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½;

Из ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… сумму . К этой суммС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Β (см. Рис. 4).

Рис. 4

Π’ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части выраТСния ΠΌΡ‹ сначала ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , послС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚: Β (см. Рис. 5).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Рис. 5

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅; ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹, соСдинив Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ послСднСго Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ сумму Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (см. Рис. 6).

Рис. 6

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΈΡ… ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½Π° обратная опСрация – Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β Β ΠΈ . НайдСм Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ Β Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, сумма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Β Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ .

Если Π·Π°Π΄Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π΅ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² всСгда Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€: . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, .

ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β (см. Рис. 7).

Рис. 7

Рассмотрим Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ . Из Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π’ ΠΈ D ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π² Β ΠΈ  соотвСтствСнно. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ АБ – это сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ : . Но Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ вторая диагональ – BD. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Β Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Β (см. Рис. 8).

Рис. 8

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈ вычитания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, сформулировали Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Β 

Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

  1. АлСксандров А.Π”. ΠΈ Π΄Ρ€. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2006.
  2. Π‘ΡƒΡ‚ΡƒΠ·ΠΎΠ² Π’.Π€., ΠšΠ°Π΄ΠΎΠΌΡ†Π΅Π² Π‘.Π‘., ΠŸΡ€Π°ΡΠΎΠ»ΠΎΠ² Π’.Π’. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ΠŸΡ€ΠΎΡΠ²Π΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, 2011.
  3. ΠœΠ΅Ρ€Π·Π»ΡΠΊ А.Π“., Полонский Π’.Π‘., Π―ΠΊΠΈΡ€ Π‘.М. ГСомСтрия, 8 класс. – М.: ВЕНВАНА-ГРАЀ, 2009.

Β 

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ссылки Π½Π° рСсурсы сСти Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚

  1. Emomi.com (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).
  2. Prosto-o-slognom.ru (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).
  3. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ (Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ).

Β 

Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

  1. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 1: Π΄Π°Π½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ , Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Β ΠΈ ; Β ΠΈ ; Β ΠΈ ; Β ΠΈ .
  2. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 2: турист ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π» 20 ΠΊΠΌ Π½Π° восток ΠΈΠ· Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π° А Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π’, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ 30 ΠΊΠΌ Π½Π° восток Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ Π‘. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Π² подходящий ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±, Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ Β Π Π°Π²Π½Ρ‹ Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β ΠΈ ?
  3. Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ 3: Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , Β ΠΈ Β ΠΈ постройтС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β , , .

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. ГСомСтрия, 9 класс.

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число kβ‰ 0Β ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… (ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ сонаправлСны, Ссли k>0, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹, Ссли k<0. Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡΒ \(k\) Ρ€Π°Π·.

Reiz1.png

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ суТдСниС.

Если Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ число kβ‰ 0Β Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ bβ†’=kβ‹…aβ†’.

Для Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² справСдливо суТдСниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ cβ†’=kβ‹…aβ†’+mβ‹…bβ†’. Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ cβ†’Β Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ aβ†’ ΠΈ bβ†’, Π° числа \(k\) ΠΈ \(m\) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнтами разлоТСния.

Π­Ρ‚ΠΎ справСдливо для любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° плоскости, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ коэффициСнты ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ СдинствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° осях систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Π² этой систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ iβ†’ ΠΈ jβ†’.

Β 

Koord_vektori_teor.png

Β 

Если ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ aβ†’, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ iβ†’Β ΠΈ jβ†’Β ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: aβ†’=3β‹…iβ†’&plus;2β‹…jβ†’.

Π’ этом Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ коэффициСнты ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° aβ†’.

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ aβ†’3;2.

Β 

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ aβ†’, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄.

Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

Но Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ iβ†’ ΠΈ jβ†’, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² нСзависимо ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… мСста располоТСния Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ систСмС.

Β 

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° мСТду абсциссами (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ x) ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ абсцисса Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΒ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ y) ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒΒ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Β 

Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° \(-1\),Β Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Β ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π£Β ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ нСсколько интСрСсных связСй ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

Β 

Vektori_teor_preteji.png

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ

Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π’Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ всё ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΈ опСрациях Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСслоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π’Π°ΡˆΠ΅ΠΉ прСдприимчивости ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π’Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… способностСй. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдприимчивости Π²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ Вас ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 1, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… способностСй — ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сразу ΠΏΠΎ направлСниям Π΄Π²ΡƒΡ… этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ сразу Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΈΠ»ΠΈ, Ссли Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСским языком, Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ производится нСкоторая опСрация. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ становится Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ «Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Вас ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 3.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ скаТитС: Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ «ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΈΠΌΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ» ΠΈ «Π˜Π½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ способности» являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ «Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚»? Если Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ сразу, Π½Π΅ ΡƒΠ½Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅. По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ изучСния этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π’Ρ‹ смоТСтС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° этот вопрос.

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Ρ‘Ρ‚ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΏΠΎ прямой ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ физичСскоС ΠΈ гСомСтричСскоС — Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Из этого выводится ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, самоС простоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ B. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ½ Ρ‚Π°ΠΊ: .

А Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ опСрациям с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — это Π²ΠΈΠ΄ прСдставлСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ трСбуСтся Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. НапримСр, Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, записываСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (Ρ…, y, z). Говоря совсСм просто, эти числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ трСбуСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… направлСниях, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. ΠŸΡ€ΠΈ этом x = 3 (правая Ρ€ΡƒΠΊΠ° ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ), y = 1 (лСвая Ρ€ΡƒΠΊΠ° ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄), z = 5 (ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ стоит лСстница, вСдущая Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…). По этим Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, проходя 3 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ 1 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ, Π° Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Вас ΠΆΠ΄Ρ‘Ρ‚ лСстница ΠΈ, поднимаясь Π½Π° 5 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², Π’Ρ‹, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ — это уточнСния прСдставлСнного Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ объяснСния, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ практичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌΡΡ ΠΏΠΎ этим Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ строгим опрСдСлСниям, ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.


ЀизичСскими ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ смСщСниС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π² пространствС, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Π½Π΅Ρ‘ сила.


ГСомСтричСский Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдставлСн Π² Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†.

Если A — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° B — Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ обозначаСтся символом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ строчной Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ . На рисункС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° указываСтся стрСлкой (рис. 1)


Π”Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ) гСомСтричСского Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° называСтся Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°


Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ совмСщСны (ΠΏΡ€ΠΈ совпадСнии Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ) ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса, Ρ‚.Π΅. Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ сторону ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.


Π’ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ часто Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ прилоТСния, Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° прилоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, сохраняя Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пространства. Π’ этом случаС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся свободным. ΠœΡ‹ договоримся Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ свободныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число


Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π‘Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π° сформулированноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ — ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ плоским.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

.

РСшСниС:

,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° числа Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ (Π² частности, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ). ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ выраТСния с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ вычислСниСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ слуТат диагоналями ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD (рис. 4Π°). Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , , ΠΈ , ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ сторонами этого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

РСшСниС. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ диагональ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ сумм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… с искомыми Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ разностСй (Π² зависимости ΠΎΡ‚ направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, слуТащСго диагональю), Π»ΠΈΠ±ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² послСднСм случаС, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ суммы, взятой со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ — Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹:

Π•ΡΡ‚ΡŒ всС основания ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π’Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° вопрос ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… «ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΈΠΌΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ» ΠΈ «Π˜Π½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ способности» Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π°Π΄ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ производится опСрация слоТСния.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ особоС мСсто Π² опСрациях с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ использованиС тригономСтричСских свойств. Допустим, Π’Π°ΠΌ попалась Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ:

Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ разности этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² .

РСшСния этой ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ объяснСния, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ — Π² ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ «Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов«.

А ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ «ΠΠ΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ная сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов)».

А Π³Π΄Π΅ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. И Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ «Π‘калярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²» ΠΈ «Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ смСшанноС произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²».

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью:

Как извСстно, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ) слуТит основаниС пСрпСндикуляра , ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (Рис. 5), Π° ΠΈ — ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A) ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B) Π½Π° ось l. (Для построСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ прямой. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ плоскости ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° оси l называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π½Π° этой оси, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† — с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° .

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось l называСтся число

,

Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° этой оси, взятоС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ плюс, Ссли Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡˆΠ΅ΠΉ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси l, ΠΈ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, Ссли эти направлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось:

1. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ось Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

2. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π΅Π³ΠΎ проСкция умноТаСтся Π½Π° это ΠΆΠ΅ число.

3. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ось Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° эту ΠΆΠ΅ ось слагаСмых Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

4. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ось l, Ссли , Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ —

.

РСшСниС. Π‘ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ось l ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² тСорСтичСской справкС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Из рис.5Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ВычисляСм эти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Находим ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

.

Знакомство с ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² пространствС ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅, ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅.

Π’ упорядочСнной систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй 0xyz ось Ox называСтся осью абсцисс, ось 0y – осью ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΈ ось 0z – осью Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚.

Π‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ М  пространства свяТСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

,

Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М ΠΈ спроСцируСм Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Числа x, y, z Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ М , соотвСтствСнно абсциссой, ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈ Π°ΠΏΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΠΉ, ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ упорядочСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ чисСл: M (x; y; z) (рис.6).

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ(ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠΌ) оси. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·



БоотвСтствСнно ΠΎΡ€Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй Ox, Oy, Oz


Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Всякий Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΎΡ€Ρ‚Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй:

Β Β Β Β Β Β Β  (2)

РавСнство (2) называСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ осям. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ этого разлоТСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ оси. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, коэффициСнтами разлоТСния (2) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ осям ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ПослС Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π² пространствС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, поэтому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записан Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  (3)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (2) ΠΈ (3) тоТдСствСнны.

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π»ΠΈ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ связаны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ . Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ссли ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² связаны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Π”Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ . ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ Π»ΠΈ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹?

РСшСниС. Выясним ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

.

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

ВслСдствиС Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ пСрпСндикулярности ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… осСй Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…

ΠΈ выраТаСтся равСнством

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  (4)

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСляСтся Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ (Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°), поэтому ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† – Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅

(рис.8).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Из равСнства


слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

Β Β Β Β Β Β Β Β Β  (5)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ разностям ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (4) Π² этом случаС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

Β Β Β Β Β Β Β Β Β  (6)

НаправлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы. Π­Ρ‚ΠΎ косинусы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с осями Ox, Oy ΠΈ Oz. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ эти ΡƒΠ³Π»Ρ‹ соотвСтствСнно Ξ±, Ξ² ΠΈ Ξ³. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° косинусы этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ

,

,

.

ΠΠ°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ€Ρ‚Π° этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΡ€Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

ΠΈΠ»ΠΈ

.

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ€Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

,

ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ равСнство для Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… косинусов:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° x = (3; 0; 4).

РСшСниС. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π°

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

Π’Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, построСнный Π½Π° этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

РСшСниС. По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (6) Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон ΠΈ установим, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ срСди Π½ΠΈΡ… Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅:

Π”Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ стороны нашлись, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стороны ΠΎΡ‚ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚, Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ являСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы, Ссли .

РСшСниС. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π½Ρ‹:

.

Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°:

.

Находим Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ косинусы:

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ , Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ своими проСкциями:

ΠΈΠ»ΠΈ

ΠΈΠ»ΠΈΒ 

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ дСйствия Π½Π°Π΄ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

1.Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

(ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

2.Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

,

(ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

3.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

,

(ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° это число).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ:

.

Найти Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ суммой этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: .

РСшСниС:

.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… вопросов, Π² частности, экономичСских, оказалось ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ рассмотрСнныС ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ установлСния соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ n Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ°ΠΊ «Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ абстрактного «n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства», Π° сами числа — ΠΊΠ°ΠΊ «ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹» этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π—Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΆΠ°ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², тСхничСскиС коэффициСнты, Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΊΠ»Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° складах ΠΈ Ρ‚.Π΄.

n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся упорядочСнный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΈΠ· n Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, записываСмых Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

,

Π³Π΄Π΅ Β - i – ΠΉ элСмСнт (ΠΈΠ»ΠΈ i – я ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° x.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΈ другая запись Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ столбца ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° опрСдСляСтся числом Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ являСтся Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ характСристикой. НапримСр, (2; 5) – Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, (2; -3; 0) – Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимСрный,

n – ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

НулСвым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

0 = (0; 0; …; 0).

Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°


Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число  называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

(ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число каТдая Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° умноТаСтся Π½Π° это число).

Зная Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠΈ

называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

,

(ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

Если Π² ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ сСти Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… прСдприятий ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², Π° Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ – ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ

,

Π³Π΄Π΅

ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ (Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹) k – ΠΌ прСдприятиСм Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π° i, Π° k = 1, 2, 3,…, m .

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ y опрСдСляСтся суммированиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ всСх m прСдприятий сСти:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€:

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ:

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам.

Бвойство 1.


Бвойство 2.

Бвойство 3.

Бвойство 4.

Бвойство 5.

Бвойство 6.

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ

Π’Π΅ΡΡŒ Π±Π»ΠΎΠΊ «ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡ‚ичСская гСомСтрия»

  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
  • ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
  • ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости

Онлайн ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, расчСты ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π° GELEOT.RU

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой особый Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» аналитичСской Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ влияниС Π½Π° Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ. Π‘Π°ΠΌ ΠΏΠΎ сСбС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Но Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° кроСтся мноТСство Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… скрытых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π° счСт Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ссли для ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния какая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ, Π° какая ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ, ΠΈ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ просто примСняСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ чтСния «слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΒ», Ρ‚ΠΎ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² AB ΠΈ BA – это Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ понятия.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ присутствуСт Π΄Π²Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… – это Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° задаСтся Π½Π΅ Π΅Π³ΠΎ фактичСская Π΄Π»ΠΈΠ½Π°, Π° мСстополоТСниС Π½Π° плоскости ΠΈΠ»ΠΈ Π² пространствС. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ называСмая ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, вычисляСтся, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ дСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ провСсти аналогию с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, — ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π° числовой оси, приходится Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½ΠΎ ΠΈ всС врСмя ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π²ΠΎ всСх дСйствиях – Π±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎ слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ скалярноС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ дСйствия, приходится Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² расчСт Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. К слову, направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ находят ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ°Ρ… – ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «минус».

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ всС основныС дСйствия с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², вычислСниС ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅. ВсС расчСт ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ произвСсти для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° плоскости ΠΈΠ»ΠΈ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² пространствС. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ доступСн Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ вычисляСт всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€?

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Как Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΈΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΡŽ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈ опрСдСляСтся Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Рассмотрим ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ.

  1. ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (x, y, z) Π² пространствС, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° осях Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ.
  2. ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ… осях Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, провСсти ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠΌ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ осям, Π΄ΠΎ пСрСсСчСния. ΠŸΠΎΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠΌ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.
  3. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
  4. ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ оси Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ провСсти ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€Π½ΡƒΡŽ линию, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° построСнному Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.
  5. Из ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° провСсти ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠΌ линию, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ оси Π΄ΠΎ пСрСсСчСния с Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π°.
  6. Π’ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ.

Иногда трСбуСтся ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ слоТСния ΠΈΠ»ΠΈ вычитания Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ сСйчас ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΡƒΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.Β 

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ

ГСомСтричСскиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ нСсколькими способами. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространСнным способом слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ этому ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° совпадало с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ этом Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ сторона ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ суммы.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ сумму Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ линию Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получился ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ. Π”ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒ построСнного ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ суммой этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Для вычитания Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ. Для этого Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ: Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ пСрСнСсСны Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ \(P(x_1; y_1)\) ΠΈ \(Q(x_2; y_2)\) выраТаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ \(\rho(P, Q) = \sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2}\).

Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Если \(PQ\parallel Ox\), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прямой \(y = C\), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \(y_1 = y_2 = C\), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(\sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2} = |x_1 — x_2|\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅.

Β 

Если \(PQ\parallel Oy\), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прямой \(x = C\), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \(x_1 = x_2 = C\), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(\sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2} = |y_1 — y_2|\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅.


Β 

Если \(PQ\) Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ осям, Ρ‚ΠΎ рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ \(PQM\), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ \(PM\parallel Ox\), \(QM\parallel Oy\). По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° \(PQ^2 = PM^2 + QM^2\). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ \(PM\parallel Ox\), Ρ‚ΠΎ \(PM\) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прямой \(y = C\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° \(PM = |x_1 — x_2|\), Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ \(QM = |y_1 — y_2|\), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° \(PQ^2 = (x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2\), ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство.

Β 

Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Если Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° \(M\) – сСрСдина ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° \(PQ\), Π³Π΄Π΅ \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), Ρ‚ΠΎ

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(M(a;b)\).

Β 

1) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ.

Β 

Π’.ΠΊ. \(PM=MQ\), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) ΠΈΠ»ΠΈ \(y_2-b=b-y_1\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ \(y_2=y_1\) ΠΈΠ»ΠΈ \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ равСнство Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ (Ρ‚.ΠΊ. Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(P\) ΠΈ \(Q\) ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚).

Β 

2) Π‘Π»ΡƒΡ‡Π°ΠΉ \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказываСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ.

Β 

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).


Β 

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° \(Ma=b\) – срСдняя линия Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ \(x_1PQx_2\), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π²Π½Π° полусуммС оснований, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

Β 

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\). Β 

\[{\Large{\text{Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости}}}\]

Π›Π΅ΠΌΠΌΠ°

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \(\overrightarrow a\) ΠΈ \(\overrightarrow b\) ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число \(\lambda\ne 0\), Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

Β 

Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ сонавправлСн с \(\overrightarrow a\), Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° \(1\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ сонаправлСн с \(\overrightarrow a\), Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° \(|\overrightarrow b|\). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ \(\overrightarrow b\).

Β 

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

Β 

Аналогично доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

Β 

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\overrightarrow p\) прСдставлСн ΠΊΠ°ΠΊ линСйная комбинация Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\overrightarrow p\) Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ \(\overrightarrow a\) ΠΈ \(\overrightarrow b\).

Β 

\(\alpha, \beta\) – коэффициСнты разлоТСния. Β 

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ \(1\), Π° Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ осСй \(Ox\) ΠΈ \(Oy\) соотвСтствСнно. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

Β 

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ссли \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), Ρ‚ΠΎ \(\{a;b\}\) – ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\overrightarrow p\).


Β 

Бвойства ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

1. Π Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

Β 

2. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ суммС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: Ссли \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

Β 

3. КаТдая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, Ρ‚ΠΎ \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).

Β 

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A(x_1;y_1), \ B(x_2;y_2)\), Ρ‚ΠΎ \(\overrightarrow {AB}\{x_2-x_1;y_2-y_1\}\).
Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ каТдая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° разности ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°.


Β 

БлСдствиС

Если \(\overrightarrow a\{x;y\}\), Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° \(|\overrightarrow a|=\sqrt{x^2+y^2}\). Β 

\[{\Large{\text{БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²}}}\]

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \(\overrightarrow {AB}\) ΠΈ \(\overrightarrow {AC}\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ – это ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(\angle BAC\), Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.


Β 

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\overrightarrow a\) ΠΈ \(\overrightarrow b\) – это число, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) ΠΈΠ»ΠΈ \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

БлСдствия

1. Если Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны, Ρ‚ΠΎ косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Β 

2. Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ острый, Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Β 

3. Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

Β 

4.БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° сСбя Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a=|\overrightarrow a|^2\).

Β 

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}\) ΠΈ \(\overrightarrow b\{x_2;y_2\}\) выраТаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

\[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2\]

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \(\overrightarrow c\):


Β 

Π’.ΠΊ. \(\overrightarrow a+\overrightarrow c=\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow c=\overrightarrow b-\overrightarrow a \Rightarrow \overrightarrow c \{x_2-x_1; y_2-y_1\}\).

Β 

По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов: \(|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\alpha\), Π½ΠΎ \(|a||b|\cos \alpha=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\), Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚: \[\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\dfrac12\left(|a|^2+|b|^2-|c|^2\right) =\dfrac12\left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2\right)=x_1x_2+y_1y_2\]

Бвойства скалярного произвСдСния

Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² \(\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c\) ΠΈ любого числа \(\lambda\) справСдливо:

Β 

1. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° сСбя всСгда Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΎΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ: \(\overrightarrow a^2\geqslant 0, \quad \overrightarrow a^2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

Β 

2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

Β 

3. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

Β 

4. Π‘ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *