Вектора как строить: 404 — Страница не найдена

Содержание

основные понятия. Операции над векторами

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Тот факт, что вектор — это направленный отрезок, будет проще понять, остановившись на различиях между скалярными и векторными величинами.

В приведенной ниже таблице «Не векторы» — это скалярные величины или просто скаляры, а «Векторы» — векторные величины.

Не векторыВекторы
МассаСила тяжести
ДлинаПуть
ВремяУскорение
ПлотностьДавление
ТемператураСкорость
Объем
Площадь
Модуль вектора

Не векторы (скаляры) не имеют направления, а векторы имеют направление.

Вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке B. Числовое значение вектора — длина, а физическое и геометрическое — направление. Из этого и выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор — это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так: .

А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.

Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (

х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.

Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.

Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.


Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.


Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде

направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.

Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается символом или одной строчной буквой . На рисунке конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)


Длиной (или модулем) геометрического вектора называется длина порождающего его отрезка


Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.


В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. В курсе высшей математики векторы изучаются в разделе аналитической геометрии, где рассматриваются свободные векторы. Итак, если свободный вектор — это вектор, начало которого может быть в любой точке пространства, то все векторы одинакового направления и длины считаются равными.

Прежде чем Вы узнаете всё об операциях над векторами, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.

А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.

Умножение вектора на число


Сложение и вычитание векторов

Слагаемые называются составляющими вектора , а сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а). Выразить через и векторы , , и , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус.

Результат — требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:

Даны длины векторов и длина суммы этих векторов . Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)»

.

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть — произвольный вектор (Рис. 5), а и — проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l называется такой вектор , лежащий на этой оси, начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l

называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l, если , а углы —

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0yосью ординат, и ось 0zосью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через



Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz


Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением

.

Пусть даны векторы . Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением

,

то есть, координаты векторов пропорциональны.

Пример 6. Даны векторы . Коллинеарны ли эти векторы?

Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:

.

Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства


следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 8. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.

Пример 9. Найти длину вектора и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пусть даны два вектора и , заданные своими проекциями:

или

или 

Укажем действия над этими векторами.

1.Сложение:

или, что то же

(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).

2.Вычитание:

или, что то же

,

(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).

3.Умножение вектора на число:

или, что то же

,

(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).

Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:

.

Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: .

Решение:

.

Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.

n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде

,

где  - i – й элемент (или i – я координата) вектора x.

Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:

Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,

n – мерный вектор.

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:

0 = (0; 0; …; 0).

Введём операции над n-мерными векторами.

Произведением вектора


на действительное число  называется вектор

(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).

Зная вектор

можно получить противоположный вектор

Суммой векторов

и

называется вектор

,

(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).

Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж

,

где

продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .

Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:

Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:

При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:

Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1.


Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Свойство 5.

Свойство 6.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.

RU

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

Глава 30. Линейные операции над векторами

Глава 30. Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если — число положительное, и противоположно вектору , если — число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

, ,

то

,

и

.

Если , то для любого числа

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

, ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор лежит на оси Ох, вектор — на оси Оу, вектор — на оси Oz;

2). Каждый из векторов , , направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы , , единичные, то есть , , .

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции вектора на координатные оси).

761 По данным векторам и построить каждый из следующих векторов: 1). , 2). , 3). , 4). .
762 Даны =13, =19 и =24. Вычислить .
763 Даны =11, =23 и =30. Определить .
764 Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить и .
765 Векторы и образуют угол =600, причем=5 и =8. Определить и .
766 Векторы и образуют угол =1200, причем =3 и =5. Определить и .
767 Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место следующие соотношения:
767.1 ;
767.2 ;
767.3 .
768 Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор делил пополам угол между векторами и .
769 По данным векторам и построить каждый из следующих векторов:
769.1 ;
769.2 ;
769.3 ;
769.4 .
770 В треугольнике АВС вектор и вектор . Построить каждый из следующих векторов. Принимая в качестве масштабной единицы , построить также векторы:
770.1 ;
770.2 ;
770.3 ;
770.4 ;
770.5 ;
770.6 .
771 Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .
772 В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , , , . Построить векторы:
772.1 ;
772.2  ;
772.3 .
773 В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: , , . Построить каждый из следующих векторов:

773.1 ;
773.2

;

773.3 ;
773.4 ;
773.5 .
774 Три силы , , , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что =2Н, =10Н, =11Н.
775 Даны два вектора ={3; -2; 6}, ={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:
775.1 ;
775.2 ;
775.3 ;
775.4 ;
775.5 ;
775.6 .
776 Проверить коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
777 Определить, при каких значениях , векторы и коллинеарны.
778 Проверить, что четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.
779 Даны точки A(-1; 5; -10}, B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
780 Найти орт вектора ={6; -2; -3}.
781 Найти орт вектора ={3; 4; -12}.
782 Определить модули суммы и разности векторов ={3; -5; 8} и ={-1; 1; -4}.
783 Дано разложение вектора по базису , , : . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору и противоположного с ним направления, при условии, что =75.
784 Два вектора ={2; -3; 6} и ={-1; 2; -2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .
785 Векторы ={2; 6; -4} и ={4; 2; -2} совпадают со сторонами теругольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающими с его медианами AM, BN, CP.
786 Доказать, что если и — какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости, может быть представлен в виде . Доказать, что числа и однозначно определяются векторами , и .
787 На плоскостиданы два вектора ={2; -3}, ={1; 2}. Найи разложение вектора ={9; 4} по базису , .
788 На плоскости даны три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, ={7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех векторов, принимая в качестве базиса два других.
789 Даны три вектора ={3; -1}, ={1; -2}, ={-1; 7}. Определить разложение вектора по базису , .
790 Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС, опреедлить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающие с его медианами.
791 На плоскости даны етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить разложение векторов , , и , принимая в качестве базиса векторы и .
792 Доказать, что если , , — какие угодно некомпланарные векторы, то всякий вектор пространства может быть представлен в виде . Доказать, что числа , , однознчно определяются векторами , , , . (Представление вектора в виде называется разложением его по базису , , . Числа , , называются коэффициентами этого разложения.
793 Даны три вектора ={3; -2; 1}, ={-1; 1; -2}, ={2; 1; -3}. Найти разложение вектора ={11; -6; 5} по базису , , .2\), откуда получаем требуемое равенство.

 

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

 

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

 

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

 

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

 

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).


 

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

 

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).  

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

 

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

 

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

 

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

 

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

 

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.  

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

 

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).


 

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

 

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

 

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).2}\).  

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.


 

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

 

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

 

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

 

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

 

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

Как найти проекции вектора на координатные оси. Проекция вектора на ось

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.


Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 — вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически разделяются строго на практике. Обычно пользуются термином «проекция вектора», подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же необходимо четко эти понятия различать. Следуя установившейся традиции, будем использовать термины «проекция вектора», подразумевая скалярную проекцию, и «векторная проекция» — в соответствии с установленным смыслом.

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О — начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L — угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то

На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.

Проекция точки

Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.

Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.

Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.

Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.

Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).

Как найти длину проекции

Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных данных значений только катетов D и N, длину проекции следует находить при помощи теоремы Пифагора.
Найдем длину гипотенузы D. Для этого нужно воспользоваться значениями катетов √ (N² + T²), а затем подставить полученное значение в следующую формулу нахождения проекции: Nd = N² / √ (N² + T²).

Когда в исходных данных указаны данные о длине проекции катета RD, а также данные о величине гипотенузы D, следует вычислять длину проекции второго катета ND при помощи простой формулы вычитания: ND = D – RD.

Проекция скорости

Рассмотрим, как найти проекцию скорости. Для того чтобы заданный вектор представлял описание движения, его следует разместить в проекции на координатные оси. Различают одну координатную ось (луч), две координатные оси (плоскость) и три координатные оси (пространство). При нахождении проекции необходимо из концов вектора опустить перпендикуляры на оси.

Для того чтобы уяснить значения проекции, необходимо узнать, как найти проекцию вектора.

Проекция вектора

При движении тела перпендикулярно относительно оси, проекция будет представлена в виде точки, и иметь значение равное нулю. Если же движение осуществляется параллельно координатной оси, то проекция будет совпадать с модулем вектора. В случае, когда тело движется таким образом, что вектор скорости направлен под углом φ относительно оси (х), проекция на данную ось будет являться отрезком: V(x) = V cos(φ), где V – это модель вектора скорости. 2).

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 x 1 и проекция x 2 x 1 l , то x 2 = x 1 и x 2 x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где — некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b — скалярное произведение векторов , |a| — модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

  1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
  2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.


Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

  1. проекция на ось OX.
  2. проекция на ось OY.
  3. проекция на вектор.
Проекция на ось OX Проекция на ось OY Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу — его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

  1. Эти векторы коллинеарны.
  2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

  1. Они сонаправлены;
  2. Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A»$ — начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B»$ — конец искомого вектора. Вектор $\overline{A»B»}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A»$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B»$ (рис. 7).

Интегрированный урок математики и физики «Применение векторов и их проекции к решению задач»

Цели урока:

  • используя геометрическое понятие вектора, значение физических величин, их формулы и новое понятие “проекции” вектора,
  • научить решать задачи по физике.

Уметь:

  • строить векторы;
  • строить проекции вектора;
  • решать задачи с применением векторов и их проекций.

Учитель математики (у. м.): Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы проводим роки физики и математики вместе. Математика и физика – два тесно связанных предмета. И за одной из связующих ниточек мы с вами сегодня проследим.

Учитель физики (у.ф.): сообщает тему и цель урока.

У.М.: На прошлом уроке мы рассмотрели, как векторы используются при доказательстве теорем и решении геометрических задач. Сегодня на уроке мы применяем векторы к решению задач по физике. Для успешной работы на уроке нам необходимо вспомнить основные понятия, которые будут использоваться при решении задач.

(Фронтальный опрос)

1) Что такое вектор?

2) Как изображается вектор?

3) Как записывается вектор?

4) Что называется модулем вектора?

У.Ф.: приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики. Запишите и изобразите их.

(рисунки)

1) машина

2) перемещение

3) басня (“Лебедь, рак и щука”)

Задача с автобусом: Представьте, что вы пассажиры автобуса, а я – его водитель. Мы двигаемся прямо по дороге к реке Ишим. Пусть ваши авторучки будут вектора, где конец пасты – конец вектора. Покажите, как движется каждый из вас относительно дороги.

У.М.: Какие вектора вы изобразили? Какие вектора называются коллинеарными? А изображенные вами коллинеарные вектора, какими должны быть? Дан вектор х. Построй вектор – х. Как называется этот вектор?

У.Ф.: Повторим формулы равноускоренного движения.

МИНИ-САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ( с взаимопроверкой)

Выбрать из предложенных величин в 1 столбик – векторные, а во 2 – скалярные:

время, скорость, масса, давление, длина, ускорение, путь, перемещение, сила, вес.

Выбери правильные формулы (формулы на плакате)

(В это время сильные учащиеся работают по карточкам)

1. В параллелограмме АВСDдиагонали пересекаются в точке О, а М – точка на стороне AD = 1/2 МD. Вырази через векторы х = AD, у = АВ векторы АС, АМ, МС.

2. Изобрази векторы скорости и ускорения. Два автомобиля едут навстречу друг другу.

3. Изобразите векторы сил действующих на автомобиль и назовите их (под рисунком)

План изучения нового материала.

Проекция вектора – это…

Проекция бывает…

Обозначение проекции.

Проекция – скалярная или векторная величина?

У.М.: Упр. 1, № 1, стр. 15 по учебнику “Физика – 9”

У.Ф.: Решение задач по физике:

У.М.: Самостоятельная работа (два варианта по трем уровням)

Итог урока.

Оценки.

Домашнее задание: геометрия: № 784(а, б)

Физика: §4, упр. 7 №7, №11.

Самостоятельная работа.

Вариант 1

А.

1) Начерти два неколлинеарных вектора х и у. Построй вектор –х и 2у.

2) Изобразите векторы скорости и ускорения легкового автомобиля и их проекции на ось Ох.

3) Какова скорость автомобиля через 6 с после разгона, если его начальная скорость 8 м/с, а ускорение 2,2 м/с .

В.

1) Начерти два неколлинеарных вектора m и n. Построй вектор m+n (по правилу параллелограмма).

2) Изобразите векторы скорости и ускорения мотоциклиста при его торможении и найди их проекции.

3) За какое время автомобиль набрал скорость с 15 м/с до 30 м/с при ускорении 1,5 м/с.

С.

1) Начерти два неколлинеарных вектора а и в. Построй вектор -1/2а+3в.

2) За какое время автомобиль пройдет 100 м, если его начальная скорость 36 км/ч и движется он с ускорением 2 м/с. Какую скорость приобрел автомобиль за это время?

Вариант 2

А.

1) Начерти два неколлинеарных вектора х и у. Построй вектор –у и 2х.

2) Изобразите векторы скорости и ускорения и их проекции на ось Ох грузового автомобиля, движущегося по прямой дороге.

3) Каково ускорение автомобиля при спуске с горы, если его скорость изменилась с 6 м/с до 18 м/с за время 4 с?

В.

1) Начерти два неколлинеарных вектора m и n. Построй вектор m+n (по правилу треугольника).

2) Изобразите векторы скорости и ускорения и их проекции на ось Ох взлетающего самолета.

3) Какое перемещение совершила лошадь, если ее начальная скорость была 18 км/ч, ускорение 2 м/с, а двигалась она 20 с.

С.

1) Начерти два неколлинеарных вектора а и в. Построй вектор -1/2в+2а.

2) Какой автомобиль двигался с большей скоростью “Ауди” или “Мерседес”, если начальная скорость их была одинаковая 72 км/ч, а ускорение у “Ауди” было 2,5 м/с, и двигалась она 12 с, а у “Мерседеса” — 2,8 м/с, а двигался он 11 с. Какой путь проделали автомобили?

ВЕКТОР — Строить легко!

Капитальное строительство

Строительство объектов любой сложности «под ключ».

Быстровозводимые здания

«ASTRON» – это ведущий европейский поставщик полнокомплектных стальных зданий, предлагающий эффективные решения для зданий любого назначения. Вместе с «ASTRON» мы помогаем воплотить идеи в реальность в рамках фиксированного графика и бюджета.

Производство модульных зданий

Здания из модулей, собранные из одного и более блоков модулей. Модульные здания относятся к временным строениям, могут устанавливаться без фундамента, могут легко демонтироваться и перевозиться на другое место.

Информация о компании

Строительная компания ООО «ВЕКТОР» является официальным Партнером-строителем ASTRON. Мы специализируемся на выполнении полного перечня общестроительных и специализированных работ по строительству быстровозводимых зданий и сооружений из металлоконструкций: спортивных комплексов, промышленных и складских помещений любой сложности, авиационных ангаров и ремонтных мастерских. На собственной производственной базе изготавливаем модульные здания и мобильные вагон-дома различного назначения и комплектации. В нашем распоряжении собственный автопарк, состоящий из специализированной техники, что позволяет нам оперативно выполнять любые строительно-монтажные работы.

Наши показатели

28

лет на рынке

60

сотрудников с высокой квалификацией

15

единиц спецтехники

11

лет официальный партнер-строитель ASTRON

Строить легко!

С нашей компанией любая стройка превратится в приятное увлечение и останется хорошим воспоминанием.

Наши преимущества

Качество

Мы контролируем процесс создания вашего здания от момента производства строительных материалов до ввода объекта в эксплуатацию.

Скорость

Мы знаем, как строить быстро и качественно.

Опыт

Мы имеем большой опыт работы на крупных строительных объектах, умеем работать в сжатые сроки.

Репутация

Мы дорожим своей репутацией и доверием наших клиентов, поэтому мы обещаем только то, что сможем исполнить, и делаем больше, чем обещаем.

Хотите узнать больше? Звоните или заполните форму обратной связи!

Мы обязательно свяжемся с вами и ответим на все интересующие вопросы.

Оставить заявку

Наши заказчики

Векторная алгебра:

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Приоритетные направления:

  1. Векторы и векторное сложение
  2. Единичные векторы
  3. Базовые векторы и векторные компоненты
  4. прямоугольный координаты в 2-D
  5. прямоугольный координаты в 3-D
  6. Вектор соединение двух точек
  7. Точечный продукт
  8. Перекрестное произведение
  9. Трехместный товар
  10. Трехместный векторный продукт

Векторы и сложение вектора:

Скаляр — это величина, такая как масса или температура, которая имеет только величину.» на жирном символе (т.е.,). Следовательно,

Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу. вектор по его направлению.

Базовые векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве базовых для представления всех остальных векторы.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из сложения векторов по базовым направлениям. Например, вектор на рисунке можно записать как сумма трех векторов u 1 , u 2 и u 3 , каждый по направлению одного из базовых векторов e 1 , e 2 и e 3 , так что

Каждый из векторов u 1 , u 2 и u 3 параллельна одному из базовых векторов и может быть записана как скалярное кратное эта база.Пусть u 1 , u 2 и u 3 обозначим эти скалярные множители так, чтобы получилось

Оригинальный вектор u банка теперь будет записано как

Скалярные множители u 1 , u 2 и u 3 известны как компоненты и в базе, описываемой базой векторы e 1 , e 2 и e 3 .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют собой длины трех векторов соответственно u 1 , u 2 , и u 3 . Если базовые векторы являются единичными векторами и взаимно ортогонально, то основание называется ортонормированным, евклидовым или декартовым база.

Вектор может быть разрешен по любым двум направлениям в плоскости, содержащей его. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов и . и b , что в сумме дает c .

В трех измерениях вектор может быть разрешен вдоль любых трех некомпланарных линий. На рисунке показано, как можно разрешить вектор по трем направлениям. сначала найдя вектор в плоскости двух направлений, а затем разрешение этого нового вектора по двум направлениям на плоскости.

Когда векторы представлены в виде базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы.Следовательно, если два вектора A и B представлены как

тогда,

прямоугольный компоненты в 2-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат x-y задаются формулой единичные векторы и вдоль x и y направления соответственно.

Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

Из-за ортогональности базисов имеют место следующие соотношения.

прямоугольный координаты в 3-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначенных,, и что находятся по координатным направлениям x , y и z , соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система является системой для правой руки, поскольку большой палец правой руки указывает в направлении z , если пальцы таковы, что представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эта система может можно превратить в левостороннюю систему, изменив направление любого из координатные линии и связанный с ними базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются проекции вектора вдоль x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A вдоль направлений x, y, и z задаются как A x , A y , и A z соответственно.

В результате теоремы Пифагора и ортогональности базы векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть рассчитано по

Направляющий косинус:

Направляющие косинусы определены как

где углы, и — углы показаны на рисунке.Как показано на рисунке, направляющие косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и тремя координатные направления.

Направляющие косинусы могут быть вычислены из компоненты вектора и его величина через отношения

Три направляющих косинуса не являются независимыми и должно удовлетворять соотношению

Эти результаты формируют тот факт, что

Единичный вектор может быть построен вдоль вектора используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y и z направлений.Например, единичный вектор вдоль вектора A получается из

Следовательно,

Вектор соединение двух точек:

Вектор, соединяющий точку A с точкой B дается

A единичный вектор вдоль линии A-B может быть получен из

A вектор F по линии A-B и величиной F может таким образом получается из соотношения

Точечный продукт:

Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.В скалярное произведение векторов A и B приводит к скаляру, заданному отношение

где — угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярное произведение, как видно из определения скалярных произведений. В результате один получает

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

Поскольку косинус 90 o равен нулю, скалярное произведение двух ортогональные векторы приведут к нулю.

Поскольку угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус нуля единица, величина вектора может быть записана в терминах скалярного произведения используя правило

Прямоугольные координаты:

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по составляющим

, то скалярное произведение можно оценить из отношение

Это можно проверить прямым умножением векторы и отмечая, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система

Проекция вектора на линию:

Ортогональная проекция вектора вдоль прямой получается перемещением одного конца вектора на линию и опусканием перпендикулярно линии от другого конца вектора.Результирующий отрезок на прямой — это ортогональная проекция вектора или просто его проекция.

Скалярная проекция вектора A вдоль направления единичный вектор — длина ортогональной проекции A вдоль линии, параллельной, и может быть оценен с помощью скалярного произведения. В отношение для проекции

Векторная проекция А вдоль агрегата. вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор, чтобы получить вектор вместе.Это дает соотношение

Крест товар:

Перекрестное произведение векторов a и b — это вектор, перпендикулярный к обоим a и b и имеет величину, равную площади параллелограмм, созданный из a и b . Направление креста продукт определяется правилом правой руки.Перекрестное произведение обозначается «» между векторами

Порядок важен в перекрестном произведении. Если порядок операций изменится в перекрестном произведении направление результирующего вектора меняется на противоположное. То есть

Перекрестное произведение имеет следующие свойства.

Прямоугольные координаты:

При работе в прямоугольных системах координат, перекрестное произведение векторов a и b , заданных

можно оценить с помощью правила

Можно также использовать прямое умножение основания векторов с использованием соотношений

Тройной товар:

Тройное произведение векторов a , b и c равно

Стоимость тройного произведения равна объему параллелепипеда. построенный из векторов.Это видно из рисунка с

г.

Тройной продукт имеет следующие свойства

Прямоугольные координаты:

Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольнике. система координат как

Тройное произведение можно оценить с помощью отношение

Тройной вектор товар:

Произведение тройного вектора имеет свойства

4.12 Vectors

4.12 Vectors

Vectors в The Racket Guide представляет векторы.

Вектор — это массив фиксированной длины с доступом в постоянное время и обновление векторных слотов, пронумерованных от 0 до на единицу меньше, чем количество слотов в векторе.

Два вектора равны? если они одинаковой длины, и если значения в соответствующих слотах векторов равны равный?.

Вектор может быть изменяемым или неизменным.Когда неизменяемый вектор предоставляется такой процедуре, как vector-set !, exn: fail: возникает исключение контракта. Векторы, созданные по умолчанию reader (см. Чтение строк) неизменны. Использовать неизменный? чтобы проверить, является ли вектор неизменным.

Вектор может использоваться как однозначная последовательность (см. Последовательности). Элементы вектора служат элементами последовательности. См. Также in-vector.

Буквальный или печатный вектор начинается с # (, необязательно с число между # и (.См. Чтение векторов для информации по чтению векторы и печать векторов для информации о векторах печати.

Возвращает #t, если v — вектор, в противном случае — #f.

Возвращает изменяемый вектор со слотами размера, где все слоты инициализирован, чтобы содержать v.

Эта функция требует времени, пропорционального размеру.

Возвращает вновь выделенный изменяемый вектор с таким количеством слотов, как предусмотрено vs, где слоты инициализируются для хранения заданного vs в порядок.

Возвращает вновь выделенный неизменяемый вектор с таким количеством слотов, как предусмотрено vs, где слоты содержат данное vs в порядок.

Возвращает длину vec (т. Е. Количество слотов в вектор).

Эта функция требует постоянного времени.

Возвращает элемент в позиции слота vec. Первое слот находится в позиции 0, а последний слот на единицу меньше, чем (вектор длины vec).

Эта функция требует постоянного времени.

Обновляет позицию слота vec, чтобы он содержал v.

Эта функция требует постоянного времени.

Добавлен в версию 6.90.0.15 пакета base.

Операция сравнения и задания векторов.Смотрите box-cas !.

Добавлен в версию 6.11.0.2 пакета base.

Возвращает список той же длины и элементов, что и vec.

Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.

Возвращает изменяемый вектор той же длины и элементов, что и lst.

Эта функция требует времени, пропорционального длине lst.

Возвращает неизменяемый вектор той же длины и элементов, что и vec. Если vec сам по себе неизменяемый, то он возвращается как результат.

Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec, когда vec изменчив.

Изменяет все слоты vec, чтобы они содержали v.

Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.

Изменяет элементы dest, начиная с позиции dest-start соответствует элементам в src из src-start (включительно) до src-end (исключая). В векторы dest и src могут быть одним и тем же вектором, а в в этом случае целевой регион может перекрываться с исходным регионом; целевые элементы после копии соответствуют исходным элементам от до копии.Если какой-либо из dest-start, src-start или src-end находятся вне допустимого диапазона (с учетом учитывать размеры векторов, а также источник и место назначения регионов) возникает исключение exn: fail: contract.

Эта функция занимает время, пропорциональное (- src-end src-start).

Примеры:

Возвращает end-pos — значения start-pos, которые элементы vec от start-pos (включительно) до end-pos (исключительный). Если start-pos или end-pos больше, чем (vector-length vec), или если конечная позиция меньше, чем начальная позиция, exn: fail: возникает исключение контракта.

Эта функция требует времени, пропорционального размеру vec.

Создает вектор из n элементов, применяя процедуру к целые числа от 0 до (sub1 n) по порядку. Если vec — это результирующий вектор, затем (vector-ref vec i) — значение, созданное (proc i).

Пример:

4.12.1 Дополнительные векторные функции

Возвращает #t, если v пусто (т.е. его длина равна 0), в противном случае — #f.

Добавлен в версию 7.4.0.4 пакета base.

Обновляет pos каждого слота vec, чтобы он содержал каждый v.Обновление происходит слева, поэтому более поздние обновления перезаписывают более ранние обновления.

Применяет proc к элементам vecs из первые элементы до последнего. Аргумент proc должен принимать такое же количество аргументов, как и количество предоставленных vecs, и все vecs должны иметь одинаковое количество элементов. В результат — это свежий вектор, содержащий каждый результат процедуры в порядок.

Пример:

Аналогично векторной карте, но результат процедуры вставлен в первое vec по индексу, которое аргументы proc были взяты из.Результат — первый vec.

Примеры:

Создает новый вектор, содержащий все элементов данных векторов по порядку.

Пример:

Возвращает новый вектор, элементы которого являются первыми элементами pos vec. Если vec меньше, чем pos, то возникает исключение exn: fail: contract.

Пример:

Возвращает новый вектор, элементы которого являются последними элементами pos в vec. Если vec меньше, чем pos, то возникает исключение exn: fail: contract.

Пример:

Возвращает новый вектор, элементы которого являются элементами vec после первых элементов pos. Если у vec меньше чем элементы pos, то возникает исключение exn: fail: contract.

Пример:

Возвращает новый вектор, элементы которого являются префиксом vec, опускает свой длинный хвост. Если у vec меньше чем элементы pos, то возникает исключение exn: fail: contract.

Примеры:

Возвращает тот же результат, что и

(values ​​(vector-take vec pos) (vector-drop vec pos))

, за исключением того, что это может быть быстрее.

Пример:

Возвращает тот же результат, что и

(values ​​(vector-take-right vec pos) (vector-drop-right vec pos))

, за исключением того, что это может быть быстрее.

Пример:

Создает новый вектор размера (- конец начала) со всеми элементы vec от начала (включительно) до конец (исключительный).

Примеры:

Возвращает свежий вектор с элементами vec, для которых pred дает истинное значение. Предварительная процедура применяется к каждому элементу от первого до последнего.

Пример:

Подобно векторному фильтру, но значение предиката перевернуто: результатом является вектор всех элементов, для которых пред возвращает #f.

Пример:

Возвращает количество элементов вектора … (взятых в parallel), на котором proc не оценивается как #f.

Примеры:

Возвращает первый элемент непустого вектора vec, который минимизирует результат прока.

Примеры:

Возвращает первый элемент непустого вектора vec, который максимизирует результат прока.

Примеры:

Находит первый равный элемент vec? к v. Если такой элемент существует, индекс этого элемента в vec возвращается. В противном случае результат будет #f.

Примеры:

Примеры:

Как sort, но работает с векторами; а свежий вектор длины (- конец начала) равен возвращается, содержащий элементы из индексов от начала (включительно) до конца (исключая) vec, но в отсортированном порядке (т. е. vec без изменений). Этот сорт стабилен (т. Е. Порядок «равных» элементы сохранены).

Примеры:

Добавлено в версии 6.6.0.5 пакета base.

Аналогично векторной сортировке, но обновляет индексы от начала (включительно) до конца (исключая) of vec, отсортировав их по меньшему? процедура.

Примеры:

Добавлено в версии 6.6.0.5 пакета base.

Сложение векторов

С векторами и над векторами можно выполнять множество математических операций. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результирующий).Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что чистая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект. То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить чистую силу (т.е. векторная сумма всех индивидуальных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.


В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, когда векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений. Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.

Существует множество методов определения величины и направления результата сложения двух или более векторов. В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:


Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу.Этот метод не применим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу. Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.


Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрите следующую проблему:

Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток.Определите результирующее смещение Эрика.

В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу. Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.


Использование тригонометрии для определения направления вектора

Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Синусоидальная функция связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор делает относительно востока.)


Расчетный угол не всегда является направлением

Мера угла, определенная с помощью SOH CAH TOA, равна , а не всегда направлению вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу .Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторных прогулок . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с исходной базы , эти 18 векторов смещения могут быть сложены вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены по направлению «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. Как только результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

  1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
  2. Выберите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
  3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
  4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
  5. Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к голове последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
  6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
  7. Измерьте направление результирующей, используя условное обозначение против часовой стрелки, о котором говорилось ранее в этом уроке.

Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» нашего веб-сайта и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Обзор векторных чертежей

| Разработчики Android

VectorDrawable — это векторная графика, определенная в XML-файле как набор точек, линий и кривых вместе с соответствующими информация о цвете.Основным преимуществом использования векторного рисования является изображение масштабируемость. Его можно масштабировать без потери качества отображения, что означает Размер одного и того же файла изменяется для разной плотности экрана без потери качества изображения. Это приводит к уменьшению размера APK-файлов и сокращению затрат на поддержку разработчика. Вы также можете использовать векторные изображения для анимации, используя несколько файлов XML вместо нескольких изображения для каждого разрешения дисплея.

На этой странице и в видео ниже представлен обзор создания векторных чертежей в XML.Android Studio также может конвертировать файлы SVG в формат векторной графики, как описано в с помощью Добавить векторную графику с разной плотностью.

Android 5.0 (уровень API 21) был первой версией, официально поддерживающей векторные чертежи с VectorDrawable и AnimatedVectorDrawable , но вы можете поддерживать более старые версии с помощью библиотеки поддержки Android, которая предоставляет VectorDrawableCompat и AnimatedVectorDrawableCompat классов.

О классе VectorDrawable

VectorDrawable определяет статическую возможность рисования объект. Подобно формату SVG, каждая векторная графика определяется как дерево. hierachy, который состоит из пути и группы объектов. Каждый путь содержит геометрию контура объекта и группа содержит детали для преобразования. Все пути нарисованы в том же порядке, в каком они появляются в XML-файле.

Рисунок 1. Пример иерархии векторного объекта с возможностью рисования

Объект Vector инструмент studio предлагает простой способ добавить в проект векторную графику как файл XML.

Пример XML

Вот пример XML-файла VectorDrawable , который отображает изображение. аккумулятора в режиме зарядки.


   <группа
         android: name = "RotationGroup"
         android: pivotX = "10.0"
         android: pivotY = "10.0"
         android: Rotation = "15.0">
      <путь
        android: name = "vect"
        android: fillColor = "# FF000000"
        android: pathData = "M15.67,4h24V2h-4v2H8.33C7.6,4 7,4.6 7,5.33V9h5.93L13,7v2h5V5.33C17,4.6 16.4,4 15.67,4z"
        android: fillAlpha = ". 3" />
      <путь
        android: name = "draw"
        android: fillColor = "# FF000000"
        android: pathData = "M13,12.5h3L11,20v-5.5H9L11.93,9H7v11.67C7,21.4 7.6,22 8.33,22h7.33c0.74,0 1.34, -0.6 1.34, -1.33V9h-4v3.5z "/>
   

 

Этот XML-код отображает следующее изображение:

О классе AnimatedVectorDrawable

AnimatedVectorDrawable добавляет анимацию к свойствам вектора графический. Вы можете определить анимированную векторную графику как три отдельных файлы ресурсов или как один файл XML, определяющий весь объект drawable. Давайте посмотрите на оба подхода для лучшего понимания: несколько файлов XML и один XML-файл.

Несколько файлов XML

Используя этот подход, вы можете определить три отдельных файла XML:

Пример нескольких файлов XML

Следующие файлы XML демонстрируют анимацию векторной графики.

  • XML-файл VectorDrawable: vd.xml
  • 
       <группа
          android: name = "RotationGroup"
          android: pivotX = "300.0 "
          android: pivotY = "300.0"
          android: Rotation = "45.0">
          <путь
             android: name = "vectorPath"
             android: fillColor = "# 000000"
             android: pathData = "M300,70 l 0, -70 70,70 0,0 -70,70z" />
       
    
     
  • XML-файл
  • AnimatedVectorDrawable: avd.xml
  • 
         <цель
             android: name = "RotationGroup"
             android: animation = "@ anim / rotation" />
         <цель
             android: name = "vectorPath"
             android: animation = "@ anim / path_morph" />
    
     
  • файлы XML Animator, которые используются в XML AnimatedVectorDrawable. файл: оборот.xml и path_morph.xml
  • 
     
    
       
    
     

Один файл XML

Используя этот подход, вы можете объединить связанные файлы XML в один XML-файл через формат пакета XML.Во время создания приложения aapt тег создает отдельные ресурсы и ссылается на них в анимированный вектор. Для этого подхода требуется Build Tools 24 или выше, а также вывод обратно совместим.

Пример одного файла XML
<анимированный вектор
    xmlns: android = "http://schemas.android.com/apk/res/android"
    xmlns: aapt = "http://schemas.android.com/aapt">
    
        <вектор
            android: width = "24dp"
            android: height = "24dp"
            android: viewportWidth = "24"
            android: viewportHeight = "24">
            <путь
                android: name = "корень"
                android: strokeWidth = "2"
                android: strokeLineCap = "квадрат"
                android: strokeColor = "? android: colorControlNormal"
                android: pathData = "M4.8,13,4 L9,17,6 M10,4,16,2 L19,6,7 "/>
        
    
    <целевой android: name = "root">
        
            
        
    

 

Решение обратной совместимости с векторными чертежами

Поддержка векторных и анимированных векторных изображений, которые можно рисовать на устройствах. под управлением версий платформы ниже Android 5.0 (уровень API 21), VectorDrawableCompat и AnimatedVectorDrawableCompat доступны через две библиотеки поддержки: с поддержкой векторной графики и с анимированной векторной графикой , соответственно.

Android Studio 1.4 представила ограниченную поддержку совместимости для вектора drawables путем создания файлов PNG во время сборки. Однако вектор, который можно рисовать и анимированной векторной поддержки. Библиотеки предлагают гибкость и широкая совместимость — это вспомогательная библиотека, поэтому вы можете использовать ее со всеми Версии платформы Android возвращаются к Android 2.1 (уровень API 7+). Чтобы настроить свой приложение для использования библиотек поддержки векторов, добавьте vectorDrawables в файл build.gradle в модуле приложения.

Используйте следующий фрагмент кода для настройки vectorDrawables элемент:

Заводной

// Для подключаемого модуля Gradle 2.0+
android {
    defaultConfig {
        vectorDrawables.useSupportLibrary = true
    }
}
 

Котлин

// Для подключаемого модуля Gradle 2.0+
android {
    defaultConfig {
        vectorDrawables.useSupportLibrary = true
    }
}
 

Заводной

// Для подключаемого модуля Gradle 1.5 или ниже
android {
    defaultConfig {
        // Останавливает автоматическую растеризацию векторов плагином Gradle
        createdDensities = []
    }
    // Флаг уведомляет aapt о необходимости сохранения идентификаторов атрибутов
    aaptOptions {
        additionalParameters "--no-version-vectors"
    }
}
 

Котлин

// Для подключаемого модуля Gradle 1.5 или ниже
android {
    defaultConfig {
        // Останавливает автоматическую растеризацию векторов плагином Gradle
        createdDensities ()
    }
    // Флаг уведомляет aapt о необходимости сохранения идентификаторов атрибутов
    aaptOptions {
        additionalParameters ("- векторы без версии")
    }
}
 

Вы можете использовать VectorDrawableCompat а также AnimatedVectorDrawableCompat на всех на устройствах под управлением Android 4.0 (уровень API 14) и выше. Путь Android загружает чертежи, а не все места, которые принимают выводимый идентификатор, например, в XML файл, поддерживает загрузку векторных чертежей.В android.support.v7.appcompat пакет добавил номер функций, упрощающих использование векторных чертежей. Во-первых, когда вы используете android.support.v7.appcompat пакет с ImageView или с подклассами, такими как ImageButton и FloatingActionButton , вы можете использовать новый атрибут app: srcCompat для ссылки на векторные чертежи а также любой другой доступный для android: src :


 

Чтобы изменить чертежи во время выполнения, вы можете использовать setImageResource () метод как раньше.Использование AppCompat и app: srcCompat — самый надежный метод интеграции векторные чертежи в ваше приложение.

Библиотека поддержки 25.4.0 и выше поддерживает следующие функции:

  • Морфинг пути (оценщик PathType) Используется для морфинга один путь на другой путь.
  • Интерполяция пути Используется для определения гибкого интерполятор (представленный как путь) вместо определенного системой интерполяторы, такие как LinearInterpolator.

Библиотека поддержки 26.0.0-beta1 и выше поддерживает следующие функции:

  • Двигаться по траектории Геометрический объект может перемещаться, по произвольному пути, как часть анимации.
Пример нескольких файлов XML с использованием библиотеки поддержки

Следующие файлы XML демонстрируют подход к использованию нескольких файлов XML. для анимации векторной графики.

  • XML-файл VectorDrawable: vd.xml
  • 
       <группа
          android: name = "RotationGroup"
          android: pivotX = "300.0"
          android: pivotY = "300.0"
          android: Rotation = "45.0">
          <путь
             android: name = "vectorPath"
             android: fillColor = "# 000000"
             android: pathData = "M300,70 l 0, -70 70,70 0,0 -70,70z" />
       
    
     
  • XML-файл
  • AnimatedVectorDrawable: avd.xml
  • 
         <цель
             android: name = "RotationGroup"
             android: animation = "@ anim / rotation" />
    
     
  • XML-файл Animator, который используется в XML-файле AnimatedVectorDrawable. файл: Rotation.xml
  • 
     

Один файл XML

Следующий XML-файл демонстрирует подход к использованию одного XML-файла. для анимации векторной графики.Во время создания приложения aapt тег создает отдельные ресурсы и ссылается на них в анимированный вектор. Для этого подхода требуется Build Tools 24 или выше, а также вывод обратно совместим.

Пример одного файла XML с использованием библиотеки поддержки
<анимированный вектор
    xmlns: android = "http://schemas.android.com/apk/res/android"
    xmlns: aapt = "http://schemas.android.com/aapt">
    
        
            <группа
                android: name = "RotationGroup"
                android: pivotX = "300"
                android: pivotY = "300"
                android: Rotation = "45.0">
                <путь
                    android: name = "vectorPath"
                    android: fillColor = "# 000000"
                    android: pathData = "M300,70 l 0, -70 70,70 0,0 -70,70z" />
            
        
    
    
        
            
        
    

 

Выразите вектор в форме компонента

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Векторов

Мы рисовали точки в Rn как точки на линии, плоскости, пространстве и т. Д. Мы также можем нарисовать их как стрелок . Поскольку мы имеем в виду две геометрические интерпретации, мы теперь обсудим взаимосвязь между двумя точками зрения.

Точки и векторы

Опять же, точка в Rn рисуется как точка.

Вектор — это точка в Rn, нарисованная в виде стрелки.

Разница чисто психологическая: точек и вектора — это просто списки чисел .

Когда мы думаем о точке в Rn как о векторе, мы обычно записываем ее вертикально, как матрицу с одним столбцом:

v = E13F.

Мы также запишем 0 для нулевого вектора.

Зачем нужно различать точки и векторы? Вектор не обязательно должен начинаться в начале координат: он может располагаться где угодно ! Другими словами, стрелка определяется ее длиной и направлением, а не местоположением. Например, все эти стрелки представляют вектор E12F.

Если не указано иное, мы будем предполагать, что все векторы начинаются в начале координат.

Векторы имеют смысл в реальном мире: многие физические величины, такие как скорость, представлены в виде векторов.Но разумнее думать о скорости автомобиля как о приближении к машине.

Здесь мы узнаем, как складывать векторы вместе и как умножать векторы на числа, как алгебраически, так и геометрически.

Сложение векторов и скалярное умножение
  • Мы можем сложить два вектора:

    CabcD + CxyzD = Ca + xb + yc + zD.

  • Мы можем умножить или масштабировать вектор на действительное число c:

    cCxyzD = Cc · xc · yc · zD.

    Мы называем c скаляром , чтобы отличить его от вектора.Если v — вектор, а c — скаляр, то cv называется скалярным числом , кратным v.

Сложение и скалярное умножение работают одинаково для векторов длины n.

Закон параллелограмма для сложения векторов

Геометрически сумма двух векторов v, w получается следующим образом: поместите хвост w в начало v. Тогда v + w — это вектор, хвост которого является хвостом v, а голова — головой w. В обоих случаях получается параллелограмм.Например,

E13F + E42F = E55F.

Почему? Ширина v + w — это сумма ширин, а также высот.

vwwvv + w5 = 1 + 4 = 4 + 15 = 2 + 3 = 3 + 2
Вычитание вектора

Геометрически разность двух векторов v, w получается следующим образом: поместите хвосты v и w в одну и ту же точку. Тогда v − w — это вектор от вершины w к вершине v. Например,

E14F-E42F = E-32F.

Почему? Если вы добавите v − w к w, вы получите v.

.
Скалярное умножение

Скалярное кратное вектора v имеет то же (или противоположное) направление, но разную длину.Например, 2v — это вектор в направлении v, но в два раза длиннее, а -12v — вектор в направлении, противоположном v, но вдвое короче. Обратите внимание, что набор всех скалярных кратных (ненулевого) вектора v представляет собой строку .

Somemultiplesofv.v2v − 12v0vAllmultiplesofv.

Мы можем складывать и масштабировать векторы в одном и том же уравнении.

Определение

Пусть c1, c2, …, ck — скаляры, и пусть v1, v2, …, vk — векторы в Rn. Вектор в Rn

c1v1 + c2v2 + ··· + ckvk

называется линейной комбинацией векторов v1, v2 ,…, vk, с весами или коэффициентами c1, c2, …, ck.

Геометрически линейная комбинация получается растяжением / сжатием векторов v1, v2, …, vk в соответствии с коэффициентами, а затем их сложением по закону параллелограмма.

Рисунок 17: Линейные комбинации двух векторов в R2: перемещайте ползунки, чтобы изменить коэффициенты v1 и v2. Обратите внимание, что любой вектор на плоскости может быть получен как линейная комбинация v1, v2 с подходящими коэффициентами.
Пример (линейные комбинации одного вектора)

Линейная комбинация одного вектора v = A12B — это просто скалярное кратное v. Поэтому некоторые примеры включают

v = E12F, 32v = E3 / 23F, −12v = E − 1 / 2−1F, …

Набор всех линейных комбинаций — это строка с по v . (Если v = 0, и в этом случае любое скалярное кратное v снова равно 0.)

Пример (линейные комбинации коллинеарных векторов)

Набор всех линейных комбинаций векторов

v1 = E22F и v2 = E − 1−1F

— это строка , содержащая оба вектора.

Разница между этим и предыдущим примером в том, что оба вектора лежат на одной линии. Следовательно, любые скалярные числа, кратные v1, v2, лежат на этой прямой, как и их сумма.

Векторов

Векторы

Векторы — это точки, множественные точки, полилинии или многоугольники, используемые для обозначения интересующих областей на изображении. Используйте кнопки панели инструментов Vector для работы с векторами. Дополнительные сведения о векторах см. В разделе Фон векторных записей.

ENVI поддерживает шейп-файлы (.shp, исключая многоугольники Z и M) и векторные файлы ENVI (.evf). См. Раздел «Фон вспомогательных векторных файлов» для получения списка и описания вспомогательных файлов, которые ENVI создает на вашем локальном диске при первом открытии векторных файлов.

См. Следующие разделы:

Создание и сохранение векторных слоев


  • Создайте новый слой, выбрав Файл> Новый> Векторный слой в строке меню.
  • Каждый слой может содержать только одну запись типа (например, точки).
  • Вы можете выбрать файл Source Data при создании нового слоя, чтобы определить границы нового слоя и проекцию карты с использованием существующего файла.
  • ENVI выполняет Орто в реальном времени для векторных слоев, созданных поверх изображения RPC. Векторные слои будут содержать проецируемые координаты, которые могут отображаться с другими проецируемыми изображениями, а проецируемые векторные слои будут отображаться поверх существующего изображения RPC без повторного проецирования изображения RPC.
  • Когда слой был изменен, значок рядом с именем слоя в диспетчере слоев становится затемненным. Затенение значка удаляется после сохранения слоя.
  • Сохраните изменения слоя, щелкнув правой кнопкой мыши в окне изображения и выбрав Сохранить .
  • Сохраните изменения слоя в новый файл, щелкнув правой кнопкой мыши в окне изображения и выбрав Сохранить как . Также используйте Сохранить как при первом сохранении нового векторного слоя.
  • При сохранении нового слоя создается новая таблица атрибутов, состоящая из числового атрибута RECORD_ID.
  • Чтобы скрыть векторный слой на виде, снимите флажок для этого слоя в Диспетчере слоев. Чтобы отобразить слой, установите флажок. Или щелкните правой кнопкой мыши значок «Просмотр» в диспетчере слоев и выберите Показать все слои и Скрыть все слои , чтобы отобразить / скрыть все слои одновременно.
  • Чтобы переименовать слой, щелкните его имя правой кнопкой мыши и выберите Переименовать элемент .Введите новое имя в диалоговом окне «Переименовать элемент» и нажмите клавишу Enter , чтобы принять его, или нажмите клавишу Esc для отмены. (Пользователи Linux и Macintosh должны щелкнуть значок зеленой галочки, чтобы принять новое имя, или красный значок X, чтобы отменить.)
  • Чтобы удалить векторный слой из Диспетчера слоев, щелкните слой правой кнопкой мыши и выберите Удалить . Это удаляет слой из диспетчера слоев, но файл остается открытым, и вы можете получить к нему доступ для повторного отображения из диспетчера данных.
  • Если у вас отображается несколько представлений, вы можете перетащить векторные слои из Диспетчера слоев в любое из этих представлений на экране или на соответствующие значки представлений в Диспетчере слоев. Это создает копию слоя (слоев) для заполнения представлений.
  • Чтобы добавить векторный слой в новый вид, щелкните правой кнопкой мыши имя файла в Диспетчере данных и выберите Открыть выбранный набор данных в новом виде .
  • Каждый раз, когда вы открываете новый векторный файл, слой появляется в верхней части Диспетчера слоев и становится выбранным слоем .Назначение выбранного слоя — позволить вам применить улучшение отображения (прозрачность и т. Д.) Только к этому слою, не затрагивая другие слои. Чтобы выбрать слой, щелкните его имя в Диспетчере слоев.
  • Если шейп-файл Esri открыт и в ArcMap, и в ENVI, и вы изменяете этот слой в ArcMap (например, перемещаете вершины), вы можете обновить слой в ENVI, чтобы увидеть изменения. Для обновления в ENVI слой необходимо сначала сохранить в ArcMap.Обновите одно из следующего:

  • В диспетчере слоев щелкните правой кнопкой мыши слой Esri и выберите Обновить .
  • В Диспетчере данных щелкните правой кнопкой мыши слой Esri и выберите Обновить .

    Слой закрывается и открывается снова. Обновление слоя перемещает его в верхнюю часть порядка в Диспетчере слоев. Если в окне изображения открыто несколько представлений слоя Esri, слой закроется во всех представлениях, которые его содержат, и снова откроется в активном представлении.

Создание векторных слоев из данных ASCII


Вы можете создавать точечные, многоточечные, полилинейные или полигональные векторные слои из текстовых файлов ASCII или файлов значений, разделенных запятыми (CSV), которые содержат данные и значения геолокации. Примером является создание шейп-файла на основе точек из файла ASCII, который содержит записи GPS. Вы можете создать только новых векторных слоев из данных ASCII; вы не можете добавлять записи в существующий векторный слой.

Вы можете написать сценарий для создания векторных слоев из данных ASCII с помощью задачи ASCIIToVector.

Если данные содержат комбинацию числовых и текстовых значений, они должны быть разделены запятыми. Если данные полностью состоят из числовых значений, их можно разделить пробелами или запятыми. Вы можете добавлять записи в новую или существующую РИ. ENVI игнорирует любую информацию заголовка или метки столбцов.

Совет: Инструмент подсчета функций ENVI предоставляет возможность экспортировать количество функций в файлы CSV или отчеты ASCII.

Выполните следующие шаги:

  1. Создайте новый слой, выбрав Файл> Новый> Векторный слой в строке меню.Появится диалоговое окно «Создать новый векторный слой».
  2. Введите необязательное Имя слоя .
  3. В раскрывающемся списке Тип записи выберите тип создаваемой векторной записи. Возможные варианты: Point , Multipoint , Polyline или Polygon (по умолчанию).
  4. В списке Исходные данные выберите исходные данные, которые будут определять размеры нового слоя и проекцию карты.
  5. Щелкните ОК .
  6. Выберите векторный слой в Диспетчере слоев, чтобы сделать его активным. Инструмент Create Vector становится активным на панели инструментов ENVI.
  7. Щелкните правой кнопкой мыши в окне изображения и выберите Импорт из ASCII . Появится диалоговое окно «Выбрать файл исходных координат».
  8. Выберите текстовый файл ASCII (.txt) или файл CSV (.csv) с записями, которые вы хотите импортировать, и нажмите Открыть .Появится диалоговое окно «Импорт из ASCII».
  9. Раздел File Preview показывает столбцы данных, которые были импортированы; например:

  10. В поле X столбца Data Columns выберите номер столбца, который содержит долготу или восток.
  11. В поле Y столбца Data Columns выберите номер столбца, который содержит широту или северное положение.
  12. В приведенном выше примере поле X является столбцом № 3, поскольку этот столбец содержит долготы. Поле Y — это столбец №2, поскольку этот столбец содержит широту:

    .

  13. Выберите систему координат импортированных данных ASCII. Дополнительные инструкции см. В разделе «Выбор систем координат». По умолчанию используется географическая широта / долгота WGS-84.
  14. Щелкните ОК .

Добавить векторы


  • В активном слое щелкните раскрывающееся меню Векторы на панели инструментов и выберите Vector Create , затем щелкните изображение, куда вы хотите добавить вектор.
  • Создавайте многоугольники или полилинии, щелкая и перетаскивая их, чтобы рисовать, или щелкайте через определенные промежутки времени, чтобы добавлять вершины по одной.
  • Используйте параметры меню, вызываемые правой кнопкой мыши, чтобы принять векторы, когда они нарисованы.
  • Многоточечные векторы могут быть добавлены только в векторный файл, обозначенный как многоточечный файл.
  • Сгруппируйте или разгруппируйте векторы, выбрав их и используя контекстное меню.
  • Редактирование векторного слоя со связанной таблицей атрибутов не изменяет существующие значения атрибутов. В зависимости от типа внесенных вами изменений это может означать, что значения в этой записи больше не действительны.
  • Векторные слои, происходящие из базы геоданных ArcGIS или на которые ссылается слой Esri, не редактируются; однако вы можете получить доступ к исходным данным для слоя Esri и отредактировать их.

Редактировать или удалить векторы


Опции редактирования или удаления вектора включают: удаление записи, перемещение вершины полилинии или полигона, добавление или удаление вершины полилинии или полигона, группирование или разгруппирование записей. соединение полилиний, объединение или разделение полилиний или многоугольников, сглаживание многоугольников, прямоугольное построение многоугольников. и удаление многоугольных отверстий.

  • Чтобы отредактировать или удалить записи полигонов или полилиний в активном слое, щелкните раскрывающийся список Векторы на панели инструментов и выберите Редактировать вектор .
  • Чтобы отредактировать или удалить точки в активном слое, щелкните раскрывающееся меню Vectors на панели инструментов и выберите Vertex Edit .
  • Выберите запись, щелкнув по ней.
  • Выберите несколько записей, используя Ctrl, + щелчок или щелкнув и перетащив, чтобы нарисовать рамку вокруг записей.
  • Используйте контекстное меню, чтобы выбрать параметры редактирования или удаления для выбранных записей.

Изменить свойства векторов


Свойства векторного слоя отображаются под панелью инструментов ENVI; например:

Вы можете редактировать основные свойства прямо на этой панели.

Чтобы изменить свойства отображения для данного атрибута, щелкните правой кнопкой мыши векторный слой в Диспетчере слоев и выберите Свойства . В диалоговом окне «Свойства вектора» выберите имя атрибута из раскрывающегося списка Атрибут .В разделе «Значения атрибута » в левой части диалогового окна «Свойства вектора» перечислены уникальные значения этого атрибута.

  • Используйте верхнюю таблицу для редактирования свойств отображения выбранного атрибута.
  • Свойство Fill Interior отключено для любого полигонального слоя, который является активным слоем, когда используется инструмент Vector Edit или Vertex Edit .
  • При первом отображении векторного файла в диалоговом окне «Свойства вектора» назначается красный цвет заливки по умолчанию для всех атрибутов.
  • Чтобы изменить цвет заливки для всех значений для выбранного атрибута, выберите параметр Solid Color в раскрывающемся списке Color Table . В противном случае при необходимости выберите другие параметры цвета. Например, вы можете назначить разные цвета для разных типов дорог, таких как грунтовая, многополосная и т. Д. Предварительный просмотр выбранной в данный момент таблицы цветов отображается под раскрывающимся списком.
  • Для шейп-файлов многоугольника, если для свойства Fill Interior задано значение True и вы выбираете параметр из раскрывающегося списка Color Table (кроме Solid Color ), свойство Line Color в верхний стол автоматически становится черным.Вы можете изменить это при необходимости. Если для свойства Fill Interior задано значение False и вы выбираете таблицу цветов, контуры многоугольников окрашиваются в соответствии с выбранной таблицей цветов.
  • Если для свойства Fill Interior задано значение True для многоугольных шейп-файлов, заливка временно отключена, если вы используете инструменты Pan, Fly или Rotate для перемещения по дисплею.
  • Если атрибут имеет более 256 уникальных значений, выбранная таблица цветов делится поровну между количеством атрибутов, создавая градиент цвета.Выберите опцию Cycle Color Table , если вы хотите, чтобы таблица цветов повторялась с каждой итерацией из 256 уникальных значений.
  • Щелкните Применить , чтобы сохранить изменения в окне изображения.

Значения атрибутов

Чтобы изменить свойства отображения определенного атрибута , значение , выберите значение в списке Значения атрибута . Используйте нижнюю таблицу для редактирования свойств цвета для этого значения.

Вот несколько советов по работе с векторными файлами, имеющими более 256 уникальных значений атрибутов:

Сохранить векторную символику

После того, как вы изменили свойства отображения векторного слоя, вы можете сохранить настройки символов для дальнейшего использования.Щелкните раскрывающийся список Symbology и выберите Save / Update Symbology File . ENVI сохраняет символы в файл .evs с тем же корневым именем, что и векторный файл. По умолчанию файл символов записывается в тот же каталог, что и векторный файл. Однако, когда этот каталог доступен только для чтения, файл символов записывается в каталог вспомогательных файлов .

Каждый раз, когда вы повторно открываете векторный файл, ENVI применяет стили, определенные в связанном файле символов (если он присутствует).Вы можете выбрать Сохранить / обновить файл символики после внесения дальнейших изменений. Или, если вам не нравятся внесенные вами изменения, выберите Применить символы по умолчанию , чтобы вернуться к стилям, определенным в файле символов.

Чтобы полностью удалить файл символов, выберите Удалить файл символов . Затем векторный слой использует цвета и стили ENVI по умолчанию.

Просмотр атрибутов для векторов


Если векторный слой или слой класса пространственных объектов Esri имеет связанную таблицу атрибутов, вы можете открывать и просматривать атрибуты.Щелкните правой кнопкой мыши имя слоя в диспетчере слоев и выберите Просмотр атрибутов , чтобы открыть средство просмотра атрибутов.

Опции масштабирования


  • Чтобы увеличить до полного экстента данного векторного слоя, щелкните правой кнопкой мыши имя слоя в Диспетчере слоев и выберите Приблизить к слою .
  • Выбор Полный экстент в раскрывающемся меню Масштаб или нажатие кнопки Масштаб до полного размера на главной панели инструментов увеличивает суммарное масштабирование всех слоев для текущего вида.
  • Если векторный слой имеет географическую привязку, в раскрывающемся списке Zoom To на главной панели инструментов отображаются параметры для масштаба карты:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены.