Энергия магнитного поля

Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается источником тока на создание этого поля.

Рассмотрим цепь, содержащую катушку индуктивностью L и сопротивлением R_к, источник тока ε с внутренним сопротивлением r (рис. 125). Полное сопротивление цепи

R = R_к + r.

При замыкании цепи энергия источника тока расходуется на преодоление омического сопротивления и преодоление ЭДС самоиндукции ε_с, равной

ε_с= —

Здесь i – мгновенное значение силы тока, который при включении изменяется от 0 до I. Очевидно, что

или ε = iR – ε_c = iR + .

Умножим обе части равенства на idt

εidt = i²Rdt +Lidi.

Здесь εidt – работа, совершаемая источником тока за время dt; Lidi – энергия, расходуемая на создание магнитного поля катушки, обладающей индуктивностью L, dW = Lidi; i²Rdt – энергия, расходуемая на нагревание проводника.

Полная энергия магнитного поля W, запасенная в катушке при нарастании тока от 0 до I будет

;

Если потокосцепление катушки Ψ = LI, то энергия магнитного поля будет

.

Выразим энергию магнитного поля через его характеристики В и Н.

Потокосцепление Ψ = NBS; напряженность поле в катушке Н = nI =

, откуда . Тогда,

где V =Sl –объем катушки, в котором сосредоточено практически все магнитное поле, энергия которая равна .

Учитывая, что B = μ μ₀H, получим

.

Объемная плотность энергии магнитного поля — отношение энергии поля к объему

==.

Единица измерения Дж/ м³.

Магнитное поле в веществе.

Все вещества в той или иной мере обладают магнитными свойствами. Поэтому все вещества можно назвать магнетиками, т.е. веществами, способными приобретать во внешнем магнитном поле магнитные свойства, иначе говоря, намагничиваться и созда­вать собственное магнитное поле. Магнитные свойства вещества определяются магнитными свойствами электронов и атомов веще­ства.

Движение электрона в атоме по орбите радиуса r эквива­лентно некоторому замкнутому контуру с током. Магнитный момент ρ

m контура с током равен ρ_m = IS. Площадь кон­тура S = πr², а ток в нем I = e ν, где е – заряд электрона, ν – час­тота вращения электрона. Тогда ρ_m = IS = eνπr² . Если учесть, что скорость v вращения электрона v = 2 πrν, а

Величина ρ_m называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Электрон, движущийся по орбите, обладает орбитальным механическим моментом импульса L = mvr. Отношение орбиталь­ного магнитного ρ

m и механического L моментов

называют гиромагнитным отношением

Знак минус означает, что вектора ρ_m и L

противоположны по направлению (рис. 126).

Кроме орбитального электрон обладает собственными магнитным моментом ρ_ms и механическим L_s моментами, для которых гиро­магнитное отношение равно

. Собственный механический мо­мент электрона называют спином. Спин и связанный с ним собст­венный (спиновый) магнитный момент являются такими же неотъ­емлемыми свойствами электрона как его масса и заряд.

Магнитный момент атома слагается из орбитальных и соб­ственных моментов входящих в его состав электронов (а также ядра). При наложении внешнего магнитного поля напряженностью Н происходит определенная ориентация атомов и молекул веще­ства, что приводит к упорядоченному направлению векторов ρ_mi отдельных атомов и молекул магнетика, в результате чего объем ΔV магнетика приобретает определенный суммарный магнитный момент, который характеризуется вектором намагничивания

J

,

где n –число атомов (молекул) в объеме ΔV. Единица измерения J [А/м ].

Число ориентированных молекул и степень их ориентации относи­тельно поля будут пропорциональны Н, т.е. J = χH, где χ – магнит­ная восприимчивость магнетика.

Магнитное поле в веществе создается двумя типами токов – макротоками и микротоками. Макротоки – это токи проводимости, образующиеся вследствие движения свободных зарядов. Микро­токи – это токи, обусловленные движением электронов в атомах, молекулах или ионах. При внесении магнетика во внешнее магнитное поле с ин­дукцией

В₀ он намагничивается и создает собственное магнитное поле с индукцией В‘. Индукция В результирующего поля после на­ложения внешнего и собственного полей будет равна В = В₀ + В‘. В зависимости от значения магнитной проницаемости μ все вещества разделяют на 3 группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Диамагнетики – это вещества, у которых μ < 1 и χ < 0. При наложении внешнего поля в них возникает собственное поле, на­правленное навстречу основному, т.е. векторы В₀ и В‘ имеют про­тивоположное направление. У диамагнетиков атомы вещества не обладают магнитным моментом (векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов в атоме равна нулю). Однако при наложении на них внешнего магнитного поля в них на­водится некоторый магнитный момент, направленный навстречу внешнему полю, что и приводит к ослаблению внешнего магнит­ного поля в объеме диамагнетика.

Парамагнетики – это вещества, у которых суммарный маг­нитный момент атомов (векторная сумма орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов в атоме) отличен от нуля. В таком веществе внешнее магнитное поле не только индуцирует магнит­ный момент, но и ориентирует магнитные моменты атомов по на­правлению поля несмотря на то, что тепловое движение стремится разбросать их равномерно по всем направлениям. Возникающий вследствии ориентации атомов положительный магнитный момент оказывается значительно больше, чем отрицательный момент (ин­дуцируемый вследствие прецессии электронов как у диамагнети­ков). Поэтому результирующий магнитный момент оказывается по­ложительным, вещество ведет себя как парамагнетик, у которого μ > 1 и χ > 0.

Индукция В результирующего поля в парамагнетике будет выше, чем индукция внешнего поля В₀. В = В₀ + В’.

Намагничивание магнетика характеризуется вектором на­магничивания J, который имеет такую же размерность [А/м], что и напряженность Н. Поэтому для описания магнитного поля в магне­тиках часто пользуются выражением

Вектор намагничивания равен нулю в вакууме, а в веществе он пропорционален Н. J = χH и откуда

Безразмерная величина μ=1+χ называется относительной маг­нитной проницаемостью среды. Так как χ может быть положитель­ной и отрицательной, то μ может быть меньше единицы (у диамаг­нетиков) и больше единицы (у парамагнетиков).

Ферромагнетики – это особый класс веществ, намагничи­вание которых во много раз (до 10⁶) превышает намагничивание диа-и парамагнетиков. К ним относятся Fe, Co, Gd и др., а также их сплавы и соединения. Ферромагнитные свойства присущи только кристаллам и объясняются их доменной структурой. В кристаллах возникают области, спонтанного (самопроизвольного) намагничивания – до­мены. В пределах домена ферромагнетик спонтанно намагничен до насыщения и обладает определенным магнитным моментом. На­правление этих моментов у различных доменов ориентированы произвольно, так что в отсутствие внешнего магнитного моля сум­марный магнитный момент всего тела равен нулю. При наложении внешнего магнитного поля (В₀) магнитные моменты доменов ори­ентируются по направлению внешнего магнитного поля, создавая собственное магнитное поле, индукция которого В’ на много больше В₀, а индук­ция суммарного поля В будет равна В=В’+В₀≃В’.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная температура Т_с, называемая точкой Кюри, при значениях выше которой области спонтанного намагничивания (домены) распадаются, а вещество утрачивает ферромагнитные свойства. При температуре Т > Т_с ферромагнетик становится обычным парамагнетиком, магнитная восприимчивость которого χ подчиняется закону Кюри-Вейса

,

где с – постоянная Кюри.

Намагничивание J слабомагнитных диа-и парамагнетиков линейно зависит от напряженности Н внешнего поля. На рис. 127 показана зависимость J(H) для случая, когда J(0) = 0.

Намагничение достигает насыщения при некотором значении Н_нас для данного магнетика.

У ферромагнетиков сложная зависимость J(H) объясняется особенностью их доменной структуры. По мере нарастания напряженности внешнего магнитного поля увеличивается степень ориентации внешних моментов по направлению внешнего поля. При достижении Н = Н_нас векторы магнитных моментов всех доменов ориентированы параллельно полю и намагничение дости­гает насыщения. Для ферромагнетиков характерно наличие гисте­резиса. Увеличивая напряженность Н внешнего поля от Н = 0, можно довести намагничение до насыщения (точка 1 на рис. 128) при Н = Н_нас.

Если затем уменьшать напряженность Н, то намагничение будет изменяться по кривой 1-2 (а не по кривой 0-1 как при увеличении Н). В результате, когда напряженность внешнего поля Н станет равной нулю (точка 2), намагничение не исчезает и характеризуется величиной В_r, которая называется остаточной индукцией. При этом намагничение имеет значение J_r и называется остаточным намагничением. Намагничение обращается в нуль (точка 3) лишь под действием поля Н_с, имеющего направление противоположное вызвавшему намагниче­ние. Напряженность Н_с называется коэрцетивной силой. Существо­вание остаточного намагничения дает возможность изготовления постоянных магнитов.

3.3. Магнитная энергия токов и энергия магнитного поля

Электрический ток обладает запасом энергии, которая называется собственной энергией тока. Она равна той работе, которую при создании тока в цепи совершают внешние источники по преодолению ЭДС самоиндукции, препятствующей нарастанию этого тока.

Энергия контура с током равна:

. (3.15)

Собственная энергия тока представляет собой энергию магнитного поля тока. В случае системы контуров с токами магнитная энергия определяется по формуле:

. (3.16)

Энергия однородного магнитного поля определяется выражением:

, (3.17)

где V – объем, занятый магнитным полем, Н и В  напряженность и индукция магнитного поля соответственно.

Энергия, заключенная в единице объема, называется объемной плотностью энергии и равна:

. (3.18)

Энергия неоднородного магнитного поля:

. (3.19)

Примеры решения задач

Пример 1. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,5 Тл равномерно вращается квадратная рамка из алюминиевой проволоки диаметром 0,8 мм. Ось вращения совпадает с диаметром рамки и перпендикулярна линиям вектора магнитной индукции. Рамка вращается с частотой 2 об/с. В начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. Найти силу тока в рамке спустя четверть периода от начала вращения. Сторона квадрата 10 см.

Решение

Магнитный поток (1.8) через плоскость S, ограниченную рамкой (рис. 3.2), равен:

_m=BScos,

где  = t = 2t  угол между направлением нормали к плоскости рамки и направлением магнитного поля.

Учитывая площадь рамки S=a², получим:

Ф_m=В∙а²∙cos2πνt.

При вращении рамки меняется магнитный поток через плоскость рамки, и в ней возникает ЭДС индукции (3.1)

.

По рамке потечет индукционный ток, величину которого найдем по закону Ома для полной цепи:

. (1)

Для момента времени t=T/4:

. (2)

Подставляя (2) в (1) получим:

. (3)

Найдем сопротивление рамки:

,

где l_пр  длина проволоки, S_пр  площадь поперечного сечения проволоки.

Учтем, что l_пр= 4а² и , получим:

. (4)

Подставим (4) в (3)

,

.

Ответ: I = 3 А.

Пример 2. На немагнитный цилиндрический каркас диаметром D=5 см навита обмотка, состоящая из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. По обмотке течет ток I_о=5 А. Определить, какое количество электричества протечет по обмотке за время t=50 мкс с того момента, как концы обмотки будут замкнуты накоротко.

Решение

При замыкании накоротко концов обмотки сила тока в ней убывает по закону (3.11)

. (1)

При изменении тока в обмотке изменяется создаваемый им магнитный поток, и в обмотке возникает ЭДС самоиндукции (3.9):

.

Сила тока самоиндукции в обмотке определяется по закону Ома:

.

Индукционный ток перенесет количество электричества, равное:

, (2)

где _m1=LI_oпотокосцепление катушки в начальный момент времени,

потокосцепление катушки в момент времени t.

Подставляя выражения для потокосцеплений в (2) получаем:

. (3)

Индуктивность обмотки определяем по формуле (3.5):

,

где l_k – длина катушки, n – число витков на единицу длины катушки.

Витки обмотки плотно прилегают друг к другу, поэтому n можно найти через диаметр провода (3.7).

Длину катушки l_k находим через диаметр провода и число витков обмотки N, l_k=d∙N. Тогда

. (4)

Сопротивление обмотки: .

Длину провода найдем через длину одного витка и число витков обмотки:

, .

Подставляя длину и сечение провода в выражение для сопротивления, получаем:

. (5)

Из (4) и (5) найдем отношение

. (6)

Подставив (6) в (3), получим

.

Подставим данные задачи:

.

Ответ: q=2,1∙10^-4 Кл.

Пример 3. На цилиндрический деревянный каркас длиной 60 см навита обмотка из медного провода, масса которого 50 г, а сопротивление 30 Ом. Считая длину обмотки во много раз большей её диаметра, найти индуктивность катушки.

Решение

Будем считать катушку длинной. В этом случае её индуктивность определяется по формуле (3.5):

, (1)

где n  число витков на единицу длины катушки,

l_k и S  длина и площадь поперечного сечения катушки.

Если общее число витков обмотки N, то

. (2)

Площадь поперечного сечения: , (3)

где D  диаметр обмотки.

Подставим (2) и (3) в (1)

. (4)

Масса провода:

m=_Cul_прS_пр, (5)

где _Cu плотность меди (прил. 2), l_пр – длина провода, S_пр – площадь поперечного сечения провода.

Сопротивление провода:

, (6)

где   удельное сопротивление провода (прил. 3).

Решим систему уравнений (5) и (6) и найдем длину провода l_пр:

(7)

Длину провода можно выразить через длину одного витка и число витков обмотки (3.8):

l_пр=DN. (8)

Выразим из (7) и (8) произведение DN:

. (9)

Подставим (9) в (4):

.

Вычислим индуктивность:

Ответ: L = 16,6 мГн.

Пример 4. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником. По этим стержням без трения и нарушения контакта скользит перемычка длиной l=50 см и массой m=10 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл, перпендикулярной плоскости рамки. Установившаяся скорость движения перемычки =1 м/с. Найти сопротивление перемычки. Сопротивлением стержня и провода пренебречь.

Энергия магнитного поля тока

Магнитное поле имеет энергию. Это можно показать экспериментальным путем. Например, рассмотрим процесс убывания силы тока в катушке, если от нее отключить источник тока.

Эмпирическое доказательство наличия энергии магнитного поля

Пусть до размыкания ключа (рис.1(a)) в катушке имеется ток $I$. Данный ток порождает магнитное поле. Если ключ разомкнут, то мы получаем последовательное соединение катушки и сопротивления (рис. 1(b)). Ток в катушке из-за процесса самоиндукции уменьшается постепенно. На сопротивлении при этом выделяется теплота. Но мы помним, что источник отключен, появляется вопрос об источнике энергии, которая тратится на тепло. Поскольку убывает ток и, соответственно, создаваемое им магнитное поле, то можно говорить об энергии тока или энергии магнитного поля, которое он создает.

Рисунок 1. Энергия магнитного поля тока. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если магнитное поле создается постоянным током, то понять, где сосредоточена энергия невозможно, поскольку ток создает магнитное поле, а магнитные поля всегда сопровождаются токами.

Рассмотрим переменное магнитное поле в электромагнитной волне. В такой волне магнитные поля могут существовать при отсутствии токов. Известно, что электромагнитные волны переносят энергию, на этом основании сделаем вывод о том, что энергия заключена в магнитном поле.

И так, энергия электрического тока локализована в магнитном поле, то есть в среде, которая окружает этот ток.

Вычисление энергии магнитного поля

По закону сохранения энергии имеем, что в эксперименте рис.1 (a-b), вся энергия магнитного поля в результате выделяется в виде Джоулева тепла на сопротивлении $R$.

Уменьшение энергии магнитного поля можно найти как работу индукционного тока:

$-\Delta E_{m}=A_{i}\left( 1 \right)$.

Конечные величины силы тока, индукции магнитного поля и энергии равны нулю, обозначим начальное значение энергии магнитного поля как $E_m$, соответственно:

${-E}_{m}=A_{i}\left( 2 \right)$.

Элементарную работу, совершаемую током, найдем как:

$dA_{i}=Ɛ_{i}Idt=-L\, I\frac{dI}{dt}dt=-L\, IdI\left( 3 \right),$

где $dt$ – время совершения работы током индукции; $Ɛ_{i}=-L\, \frac{dI}{dt}$ – ЭДС самоиндукции.

Возьмем интеграл от (3) учитывая, что ток изменяется от I до 0:

$E_{m}=-\int {dA_{i}=L\int\limits_I^0 {IdI=\frac{LI^{2}}{2}\left( 4 \right).}} $

Выражение (4) является справедливым для всякого контура, она указывает на связь энергии магнитного поля, создаваемого током от силы тока и индуктивности контура.

Сопоставим выражение (4) с выражением для кинетической энергии поступательного движения:

$E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}\left( 5 \right)$.

Это сравнение показывает, что индуктивность контура связана с инерционностью контура. Нельзя остановить перемещающееся тело, без превращений энергии, так нет возможности остановить электрический ток без трансформации энергии.

Связь энергии магнитного поля и его основных характеристик

Рассмотрим энергию магнитного поля длинного соленоида. Пусть рассматриваемое нами поле можно считать однородным, и находится оно внутри соленоида. Тогда сила тока, текущая по соленоиду может быть выражена как:

$I=\frac{Hl}{N}\left( 6 \right)$,

где $H$ – напряженность магнитного поля соленоида; $l$ – длина соленоида; $N$ – число витков соленоида. Для соленоида:

$L=\mu \mu_{0}n^{2}Sl\, \left( 7 \right)$.

где $μ$ – магнитная проницаемость сердечника соленоида; $S$ – площадь сечения соленоида; $n=\frac{N}{l}$.

Принимая во внимание формулы (6) и (7) выражение (4) приведем к виду:

$E_{m}=\frac{\mu \mu_{0}N^{2}Sl}{2l^{2}}\frac{H^{2}l^{2}}{N^{2}}=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}Sl=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}V\, \left( 8 \right)$.

Часто в качестве энергетической характеристики магнитного поля используют такой параметр, как плотность энергии магнитного поля:

$w=\frac{E_{m}}{V}=\mu \mu_{0}\frac{H^{2}}{2}\left( 9 \right)$.

Формула (9) применима для любого магнитного поля независимо от его происхождения, она показывает энергию магнитного поля в единице его объема.

Для магнитоизотропной среды мы можем записать:

$\vec{B}=\mu \mu_{0}\vec{H}\left( 10 \right)$.

Тогда уравнение (9) представим как:

$w=\frac{BH}{2}\left( 11 \right)$.

Если магнитное поле является неоднородным, то его разбивают на элементарные объемы ($dV$) (малые объемы в которых магнитное поле можно считать однородным). Энергию магнитного поля, которая заключена в этих объемах, считают равной:

$dE_{m}=wdV\left( 12 \right)$.

В таком случае суммарная энергия магнитного поля может быть найдена как:

$E_{m}=\int\limits_V {wdV\left( 13 \right),}$

где интегрирование проводят по всему объему, который занимает магнитное поле.

Ограничения в применении формулы для вычисления плотности энергии магнитного поля

При получении формулы (9) считалось, что:

1. индуктивность контура, следовательно, магнитная проницаемость вещества не изменяются,
2. вся энергия источника тока переходит в энергию магнитного поля.

Эти условия справедливы точно, только для вакуума (при $\mu$=1). При помещении контура с током в вещество, следует учитывать:

• Намагничивание вещества, что ведет к увеличению ее температуры.
• Объем и плотность вещества в магнитном поле способны меняться даже при неизменной температуре.

Данные нюансы указывают на то, что магнитная проницаемость вещества ($\mu$), которая изменяется при изменении температуры и плотности среды не может быть неизменной при намагничивании.

Кроме того, работа источника ЭДС не целиком переходит в энергию магнитного поля.

Выше сказанное дает основание полагать, что в общем случае формула (2) не выражает в точности работу при намагничивании и выражение (9) не дает объемную плотность энергии магнитного поля в веществе.

Допустим, что изменение объема вещества мало. Температура среды постоянна. Внешняя работа расходуется на рост энергии магнитного поля $E_m$ и на теплоотдачу $(Q)$, для поддержания постоянной температуры. Работа внешних сил, в нашем случае источника тока, которая совершается над телом при квазистатическом изотермическом процессе, будет равна приращению свободной энергии тела. Получается, что формула (9) отражает часть свободной энергии намагниченного вещества, которая связана с магнитным полем.

Если количества теплоты ($Q$) в сравнении с энергией поля $E_m$ мало, тогда выполняется равенство (2).

Условие неизменности магнитной проницаемости вещества, означает, что справедлива линейная зависимость (10). Даная зависимость выполняется для вакуума. Ее можно применять для парамагнетиков и диамагнетиков. Но для ферромагнетиков связь между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля является сильно нелинейной даже при $T=const$, поэтому выражение (9) для этих веществ не применяется.

Электромагнитная энергия — это… Что такое Электромагнитная энергия?

Электромагнитная энергия — термин, под которым подразумевается энергия, заключенная в электромагнитном поле. Сюда же относятся частные случаи чистого электрического поля и чистого магнитного поля.

Работа электрического поля по перемещению заряда

Понятие работы A электрического поля E по перемещению заряда Q вводится в полном соответствии с определением механической работы:

где  — разность потенциалов (также употребляется термин напряжение)

Во многих задачах рассматривается непрерывный перенос заряда в течение некоторого времени между точками с заданной разностью потенциалов U(t), в таком случае формулу для работы следует переписать следующим образом:

где  — сила тока

Мощность электрического тока в цепи

Мощность W электрического тока для участка цепи определяется обычным образом, как производная от работы A по времени, то есть выражением:

— это наиболее общее выражение для мощности в электрической цепи.

С учётом закона Ома :

электрическую мощность, выделяемую на сопротивлении R можно выразить как через ток: ,

так и через напряжение:

Соответственно, работа (выделившаяся теплота) является интегралом мощности по времени:

Энергия электрического и магнитного полей

Для электрического и магнитного полей их энергия пропорциональна квадрату напряжённости поля. Следует отметить, что, строго говоря, термин энергия электромагнитного поля является не вполне корректным. Вычисление полной энергии электрического поля даже одного электрона приводит к значению равному бесконечности, поскольку соответствующий интеграл (см. ниже) расходится. Бесконечная энергия поля вполне конечного электрона составляет одну из теоретических проблем классической электродинамики. Вместо него в физике обычно используют понятие плотности энергии электромагнитного поля (в определенной точке пространства). Общая энергия поля равняется интегралу плотности энергии по всему пространству.

Плотность энергии электромагнитного поля является суммой плотностей энергий электрического и магнитного полей.

В системе СИ:

В вакууме (а также в веществе при рассмотрении микрополей):

где E — напряжённость электрического поля, B — магнитная индукция, D — электрическая индукция, H — напряжённость магнитного поля, с — скорость света,  — электрическая постоянная, и  — магнитная постоянная. Иногда для констант и  — используют термины диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вакуума, — которые являются крайне неудачными, и сейчас почти не употребляются.

Потоки энергии электромагнитного поля

Для электромагнитной волны плотность потока энергии определяется вектором Пойнтинга S (в российской научной традиции — вектор Умова-Пойнтинга).

В системе СИ вектор Пойнтинга равен: ,

— векторному произведению напряжённостей электрического и магнитного полей, и направлен перпендикулярно векторам E и H. Это естественным образом согласуется со свойством поперечности электромагнитных волн.

Вместе с тем, формула для плотности потока энергии может быть обобщена для случая стационарных электрических и магнитных полей, и имеет совершенно тот же вид: .

Сам факт существования потоков энергии в постоянных электрических и магнитных полях, на первый взгляд, выглядит очень странно, но это не приводит к каким-либо парадоксам; более того, такие потоки обнаруживаются в эксперименте.

См. также