Удельное электрическое сопротивление — Википедия

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние, или просто удельное сопротивление вещества — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Удельное сопротивление обозначается греческой буквой ρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]

. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Обобщение понятия удельного сопротивления

Кусок резистивного материала с электрическими контактами на обоих концах

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля E→(r→){\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})} и плотность тока J→(r→){\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})} в данной точке r→{\displaystyle {\vec {r}}}. Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

E→(r→)=ρ(r→)J→(r→).{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}){\vec {J}}({\vec {r}}).}

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

Ei(r→)=∑j=13ρij(r→)Jj(r→).{\displaystyle E_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\rho _{ij}({\vec {r}})J_{j}({\vec {r}}).}

В анизотропном, но однородном веществе тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} от координат не зависит.

Тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} симметричен, то есть для любых i{\displaystyle i} и j{\displaystyle j} выполняется ρij=ρji{\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}}.

Как и для всякого симметричного тензора, для ρij{\displaystyle \rho _{ij}} можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица ρij{\displaystyle \rho _{ij}} становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}} отличными от нуля являются лишь три: ρ11{\displaystyle \rho _{11}}, ρ22{\displaystyle \rho _{22}} и ρ33{\displaystyle \rho _{33}}. В этом случае, обозначив ρii{\displaystyle \rho _{ii}} как ρi{\displaystyle \rho _{i}}, вместо предыдущей формулы получаем более простую

Ei=ρiJi.{\displaystyle E_{i}=\rho _{i}J_{i}.}

Величины ρi{\displaystyle \rho _{i}} называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Связь с удельной проводимостью

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением ρ{\displaystyle \rho } и удельной проводимостью σ{\displaystyle \sigma } выражается равенством

ρ=1σ.{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sigma }}.}

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления ρij{\displaystyle \rho _{ij}} и тензора удельной проводимости σij{\displaystyle \sigma _{ij}} имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

Ji(r→)=∑j=13σij(r→)Ej(r→).{\displaystyle J_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}({\vec {r}})E_{j}({\vec {r}}).}

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для Ei(r→){\displaystyle E_{i}({\vec {r}})} следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

ρ11=1det(σ)[σ22σ33−σ23σ32],{\displaystyle \rho _{11}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{22}\sigma _{33}-\sigma _{23}\sigma _{32}],}

ρ12=1det(σ)[σ33σ12−σ13σ32],{\displaystyle \rho _{12}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{33}\sigma _{12}-\sigma _{13}\sigma _{32}],}

где det(σ){\displaystyle \det(\sigma )} — определитель матрицы, составленной из компонент тензора σij{\displaystyle \sigma _{ij}}. Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3^[3].

Удельное электрическое сопротивление некоторых веществ

Металлические монокристаллы

В таблице приведены главные значения тензора удельного сопротивления монокристаллов при температуре 20 °C^[4].

Кристалл	ρ1=ρ2, 10−8 Ом·м	ρ3, 10−8 Ом·м
Олово	9,9	14,3
Висмут	109	138
Кадмий	6,8	8,3
Цинк	5,91	6,13
Теллур	2,90·109	5,9·109

Металлы и сплавы, применяемые в электротехнике

Разброс значений обусловлен разной химической чистотой металлов, способов изготовления образцов, изученных разными учеными и непостоянством состава сплавов.

Металл ρ, Ом·мм²/м Серебро 0,015…0,0162 Медь 0,01724…0,018 Золото 0,023 Алюминий 0,0262…0,0295 Иридий 0,0474 Молибден 0,054 Вольфрам 0,053…0,055 Цинк 0,059 Никель 0,087 Железо 0,098 Платина 0,107 Олово 0,12 Свинец 0,217…0,227 Титан 0,5562…0,7837 Висмут 1,2

Сплав ρ, Ом·мм²/м Сталь 0,103…0,137 Никелин 0,42 Константан 0,5 Манганин 0,43…0,51 Нихром 1,05…1,4 Фехраль 1,15…1,35 Хромаль 1,3…1,5 Латунь 0,025…0,108 Бронза 0,095…0,1

Значения даны при температуре t = 20 °C. Сопротивления сплавов зависят от их химического состава и могут варьироваться. Для чистых веществ колебания численных значений удельного сопротивления обусловлены различными методами механической и термической обработки, например, отжигом проволоки после волочения.

Другие вещества

Тонкие плёнки

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», RSq.{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.} Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: RSq=RW/L,{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,} где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 93. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
2. ↑ ^{1 2} Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: «Высшая школа», 1977. — 287 с.
3. ↑ Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М.: «Наука», 1976. — С. 191—192. — 646 с.
4. ↑ Шувалов Л. А. и др. Физические свойства кристаллов // Современная кристаллография / Гл. ред. Б. К. Вайнштейн. — М.: «Наука», 1981. — Т. 4. — С. 317.

См. также

Удельное электрическое сопротивление — Википедия

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние, или просто удельное сопротивление вещества — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Удельное сопротивление обозначается греческой буквой ρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Видео по теме

Обобщение понятия удельного сопротивления

Кусок резистивного материала с электрическими контактами на обоих концах

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля E→(r→){\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})} и плотность тока J→(r→){\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})} в данной точке r→{\displaystyle {\vec {r}}}. Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

E→(r→)=ρ(r→)J→(r→).{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}){\vec {J}}({\vec {r}}).}

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

Ei(r→)=∑j=13ρij(r→)Jj(r→).{\displaystyle E_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\rho _{ij}({\vec {r}})J_{j}({\vec {r}}).}

В анизотропном, но однородном веществе тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} от координат не зависит.

Тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} симметричен, то есть для любых i{\displaystyle i} и j{\displaystyle j} выполняется ρij=ρji{\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}}.

Как и для всякого симметричного тензора, для ρij{\displaystyle \rho _{ij}} можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица ρij{\displaystyle \rho _{ij}} становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}} отличными от нуля являются лишь три: ρ11{\displaystyle \rho _{11}}, ρ22{\displaystyle \rho _{22}} и ρ33{\displaystyle \rho _{33}}. В этом случае, обозначив ρii{\displaystyle \rho _{ii}} как ρi{\displaystyle \rho _{i}}, вместо предыдущей формулы получаем более простую

Ei=ρiJi.{\displaystyle E_{i}=\rho _{i}J_{i}.}

Величины ρi{\displaystyle \rho _{i}} называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Связь с удельной проводимостью

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением ρ{\displaystyle \rho } и удельной проводимостью σ{\displaystyle \sigma } выражается равенством

ρ=1σ.{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sigma }}.}

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления ρij{\displaystyle \rho _{ij}} и тензора удельной проводимости σij{\displaystyle \sigma _{ij}} имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

Ji(r→)=∑j=13σij(r→)Ej(r→).{\displaystyle J_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}({\vec {r}})E_{j}({\vec {r}}).}

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для Ei(r→){\displaystyle E_{i}({\vec {r}})} следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

ρ11=1det(σ)[σ22σ33−σ23σ32],{\displaystyle \rho _{11}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{22}\sigma _{33}-\sigma _{23}\sigma _{32}],}

ρ12=1det(σ)[σ33σ12−σ13σ32],{\displaystyle \rho _{12}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{33}\sigma _{12}-\sigma _{13}\sigma _{32}],}

где det(σ){\displaystyle \det(\sigma )} — определитель матрицы, составленной из компонент тензора σij{\displaystyle \sigma _{ij}}. Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3^[3].

Удельное электрическое сопротивление некоторых веществ

Металлические монокристаллы

В таблице приведены главные значения тензора удельного сопротивления монокристаллов при температуре 20 °C^[4].

Кристалл	ρ1=ρ2, 10−8 Ом·м	ρ3, 10−8 Ом·м
Олово	9,9	14,3
Висмут	109	138
Кадмий	6,8	8,3
Цинк	5,91	6,13
Теллур	2,90·109	5,9·109

Металлы и сплавы, применяемые в электротехнике

Разброс значений обусловлен разной химической чистотой металлов, способов изготовления образцов, изученных разными учеными и непостоянством состава сплавов.

Металл ρ, Ом·мм²/м Серебро 0,015…0,0162 Медь 0,01724…0,018 Золото 0,023 Алюминий 0,0262…0,0295 Иридий 0,0474 Молибден 0,054 Вольфрам 0,053…0,055 Цинк 0,059 Никель 0,087 Железо 0,098 Платина 0,107 Олово 0,12 Свинец 0,217…0,227 Титан 0,5562…0,7837 Висмут 1,2

Сплав ρ, Ом·мм²/м Сталь 0,103…0,137 Никелин 0,42 Константан 0,5 Манганин 0,43…0,51 Нихром 1,05…1,4 Фехраль 1,15…1,35 Хромаль 1,3…1,5 Латунь 0,025…0,108 Бронза 0,095…0,1

Значения даны при температуре t = 20 °C. Сопротивления сплавов зависят от их химического состава и могут варьироваться. Для чистых веществ колебания численных значений удельного сопротивления обусловлены различными методами механической и термической обработки, например, отжигом проволоки после волочения.

Другие вещества

Тонкие плёнки

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», RSq.{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.} Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: RSq=RW/L,{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,} где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 93. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
2. ↑ ^{1 2} Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: «Высшая школа», 1977. — 287 с.
3. ↑ Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М.: «Наука», 1976. — С. 191—192. — 646 с.
4. ↑ Шувалов Л. А. и др. Физические свойства кристаллов // Современная кристаллография / Гл. ред. Б. К. Вайнштейн. — М.: «Наука», 1981. — Т. 4. — С. 317.

См. также

Удельное сопротивление Википедия

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние (удельное сопротивление) — физическая величина, характеризующая способность материала препятствовать прохождению электрического тока, выражается в Ом·метр. Удельное электрическое сопротивление принято обозначать греческой буквой ρ. Значение удельного сопротивления зависит от температуры в различных материалах по-разному: в проводниках, удельное электрическое сопротивление с повышением температуры возрастает, а в полупроводниках и диэлектриках — наоборот, уменьшается. Величина, учитывающая изменение электрического сопротивления от температуры называется температурный коэффициент удельного сопротивления. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения[ | ]

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому

Удельное электрическое сопротивление — Википедия. Что такое Удельное электрическое сопротивление

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние, или просто удельное сопротивление вещества — физическая величина, характеризующая способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Удельное сопротивление обозначается греческой буквой ρ. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Обобщение понятия удельного сопротивления

Кусок резистивного материала с электрическими контактами на обоих концах

Удельное сопротивление можно определить также для неоднородного материала, свойства которого меняются от точки к точке. В этом случае оно является не константой, а скалярной функцией координат — коэффициентом, связывающим напряжённость электрического поля E→(r→){\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})} и плотность тока J→(r→){\displaystyle {\vec {J}}({\vec {r}})} в данной точке r→{\displaystyle {\vec {r}}}. Указанная связь выражается законом Ома в дифференциальной форме:

E→(r→)=ρ(r→)J→(r→).{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=\rho ({\vec {r}}){\vec {J}}({\vec {r}}).}

Эта формула справедлива для неоднородного, но изотропного вещества. Вещество может быть и анизотропно (большинство кристаллов, намагниченная плазма и т. д.), то есть его свойства могут зависеть от направления. В этом случае удельное сопротивление является зависящим от координат тензором второго ранга, содержащим девять компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}}. В анизотропном веществе векторы плотности тока и напряжённости электрического поля в каждой данной точке вещества не сонаправлены; связь между ними выражается соотношением

Ei(r→)=∑j=13ρij(r→)Jj(r→).{\displaystyle E_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\rho _{ij}({\vec {r}})J_{j}({\vec {r}}).}

В анизотропном, но однородном веществе тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} от координат не зависит.

Тензор ρij{\displaystyle \rho _{ij}} симметричен, то есть для любых i{\displaystyle i} и j{\displaystyle j} выполняется ρij=ρji{\displaystyle \rho _{ij}=\rho _{ji}}.

Как и для всякого симметричного тензора, для ρij{\displaystyle \rho _{ij}} можно выбрать ортогональную систему декартовых координат, в которых матрица ρij{\displaystyle \rho _{ij}} становится диагональной, то есть приобретает вид, при котором из девяти компонент ρij{\displaystyle \rho _{ij}} отличными от нуля являются лишь три: ρ11{\displaystyle \rho _{11}}, ρ22{\displaystyle \rho _{22}} и ρ33{\displaystyle \rho _{33}}. В этом случае, обозначив ρii{\displaystyle \rho _{ii}} как ρi{\displaystyle \rho _{i}}, вместо предыдущей формулы получаем более простую

Ei=ρiJi.{\displaystyle E_{i}=\rho _{i}J_{i}.}

Величины ρi{\displaystyle \rho _{i}} называют главными значениями тензора удельного сопротивления.

Связь с удельной проводимостью

В изотропных материалах связь между удельным сопротивлением ρ{\displaystyle \rho } и удельной проводимостью σ{\displaystyle \sigma } выражается равенством

ρ=1σ.{\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sigma }}.}

В случае анизотропных материалов связь между компонентами тензора удельного сопротивления ρij{\displaystyle \rho _{ij}} и тензора удельной проводимости σij{\displaystyle \sigma _{ij}} имеет более сложный характер. Действительно, закон Ома в дифференциальной форме для анизотропных материалов имеет вид:

Ji(r→)=∑j=13σij(r→)Ej(r→).{\displaystyle J_{i}({\vec {r}})=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}({\vec {r}})E_{j}({\vec {r}}).}

Из этого равенства и приведённого ранее соотношения для Ei(r→){\displaystyle E_{i}({\vec {r}})} следует, что тензор удельного сопротивления является обратным тензору удельной проводимости. С учётом этого для компонент тензора удельного сопротивления выполняется:

ρ11=1det(σ)[σ22σ33−σ23σ32],{\displaystyle \rho _{11}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{22}\sigma _{33}-\sigma _{23}\sigma _{32}],}

ρ12=1det(σ)[σ33σ12−σ13σ32],{\displaystyle \rho _{12}={\frac {1}{\det(\sigma )}}[\sigma _{33}\sigma _{12}-\sigma _{13}\sigma _{32}],}

где det(σ){\displaystyle \det(\sigma )} — определитель матрицы, составленной из компонент тензора σij{\displaystyle \sigma _{ij}}. Остальные компоненты тензора удельного сопротивления получаются из приведённых уравнений в результате циклической перестановки индексов 1, 2 и 3^[3].

Удельное электрическое сопротивление некоторых веществ

Металлические монокристаллы

В таблице приведены главные значения тензора удельного сопротивления монокристаллов при температуре 20 °C^[4].

Кристалл	ρ1=ρ2, 10−8 Ом·м	ρ3, 10−8 Ом·м
Олово	9,9	14,3
Висмут	109	138
Кадмий	6,8	8,3
Цинк	5,91	6,13
Теллур	2,90·109	5,9·109

Металлы и сплавы, применяемые в электротехнике

Разброс значений обусловлен разной химической чистотой металлов, способов изготовления образцов, изученных разными учеными и непостоянством состава сплавов.

Металл ρ, Ом·мм²/м Серебро 0,015…0,0162 Медь 0,01724…0,018 Золото 0,023 Алюминий 0,0262…0,0295 Иридий 0,0474 Молибден 0,054 Вольфрам 0,053…0,055 Цинк 0,059 Никель 0,087 Железо 0,098 Платина 0,107 Олово 0,12 Свинец 0,217…0,227 Титан 0,5562…0,7837 Висмут 1,2

Сплав ρ, Ом·мм²/м Сталь 0,103…0,137 Никелин 0,42 Константан 0,5 Манганин 0,43…0,51 Нихром 1,05…1,4 Фехраль 1,15…1,35 Хромаль 1,3…1,5 Латунь 0,025…0,108 Бронза 0,095…0,1

Значения даны при температуре t = 20 °C. Сопротивления сплавов зависят от их химического состава и могут варьироваться. Для чистых веществ колебания численных значений удельного сопротивления обусловлены различными методами механической и термической обработки, например, отжигом проволоки после волочения.

Другие вещества

Тонкие плёнки

Сопротивление тонких плоских плёнок (когда её толщина много меньше расстояния между контактами) принято называть «удельным сопротивлением на квадрат», RSq.{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }.} Этот параметр удобен тем, что сопротивление квадратного куска проводящей плёнки не зависит от размеров этого квадрата, при приложении напряжения по противоположным сторонам квадрата. При этом сопротивление куска плёнки, если он имеет форму прямоугольника, не зависит от его линейных размеров, а только от отношения длины (измеренной вдоль линий тока) к его ширине L/W: RSq=RW/L,{\displaystyle R_{\mathrm {Sq} }=RW/L,} где R — измеренное сопротивление. В общем случае, если форма образца отличается от прямоугольной, и поле в пленке неоднородное, используют метод ван дер Пау.

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 93. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
2. ↑ ^{1 2} Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: «Высшая школа», 1977. — 287 с.
3. ↑ Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М.: «Наука», 1976. — С. 191—192. — 646 с.
4. ↑ Шувалов Л. А. и др. Физические свойства кристаллов // Современная кристаллография / Гл. ред. Б. К. Вайнштейн. — М.: «Наука», 1981. — Т. 4. — С. 317.

См. также

Удельное объёмное сопротивление Википедия

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние (удельное сопротивление) — физическая величина, характеризующая способность материала препятствовать прохождению электрического тока, выражается в Ом·метр. Удельное электрическое сопротивление принято обозначать греческой буквой ρ. Значение удельного сопротивления зависит от температуры в различных материалах по-разному: в проводниках, удельное электрическое сопротивление с повышением температуры возрастает, а в полупроводниках и диэлектриках — наоборот, уменьшается. Величина, учитывающая изменение электрического сопротивления от температуры называется температурный коэффициент удельного сопротивления. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения[ | ]

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого веще

Удельное электрическое сопротивление Википедия

Уде́льное электри́ческое сопротивле́ние (удельное сопротивление) — физическая величина, характеризующая способность материала препятствовать прохождению электрического тока, выражается в Ом·метр. Удельное электрическое сопротивление принято обозначать греческой буквой ρ. Значение удельного сопротивления зависит от температуры в различных материалах по-разному: в проводниках, удельное электрическое сопротивление с повышением температуры возрастает, а в полупроводниках и диэлектриках — наоборот, уменьшается. Величина, учитывающая изменение электрического сопротивления от температуры называется температурный коэффициент удельного сопротивления. Величина, обратная удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью (удельной электропроводностью). В отличие от электрического сопротивления, являющегося свойством проводника и зависящего от его материала, формы и размеров, удельное электрическое сопротивление является свойством только вещества.

Электрическое сопротивление однородного проводника с удельным сопротивлением ρ, длиной l и площадью поперечного сечения S может быть рассчитано по формуле R=ρ⋅lS{\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} (при этом предполагается, что ни площадь, ни форма поперечного сечения не меняются вдоль проводника). Соответственно, для ρ выполняется ρ=R⋅Sl.{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}.}

Из последней формулы следует: физический смысл удельного сопротивления вещества заключается в том, что оно представляет собой сопротивление изготовленного из этого вещества однородного проводника единичной длины и с единичной площадью поперечного сечения.

Единицы измерения

Единица измерения удельного сопротивления в Международной системе единиц (СИ) — Ом·м^[1]. Из соотношения ρ=R⋅Sl{\displaystyle \rho ={\frac {R\cdot S}{l}}} следует, что единица измерения удельного сопротивления в системе СИ равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 м², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление произвольного вещества, выраженное в единицах СИ, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 м².

В технике также применяется устаревшая внесистемная единица Ом·мм²/м, равная 10⁻⁶ от 1 Ом·м^[1]. Данная единица равна такому удельному сопротивлению вещества, при котором однородный проводник длиной 1 м с площадью поперечного сечения 1 мм², изготовленный из этого вещества, имеет сопротивление, равное 1 Ом^[2]. Соответственно, удельное сопротивление какого-либо вещества, выраженное в этих единицах, численно равно сопротивлению участка электрической цепи, выполненного из данного вещества, длиной 1 м и площадью поперечного сечения 1 мм².

Зависимость от температуры

В проводниках удельное электрическое сопротивление увеличивается с увеличением температуры. Это объясняется тем, что с ростом температуры увеличивается интенсивность колебания

Удельное сопротивление

Общая информация

Определение 1

Удельное сопротивление — это физическая величина, которая характеризует способность вещества препятствовать прохождению электрического тока.

Этот параметр обозначается греческой буквой $p$ (ро). Основой для расчета удельного сопротивления является эмпирическая формула, используемая для расчета электрического сопротивления, которую получил Георг Ом.

$R=p • l/S $

Чтобы получить формулу для расчета удельного сопротивления, нужно преобразовать формулу Ома:

$R =p · l/S$

$p • l/S=R$

$p/S=R/l $

$p=R • S/l $

Последний этап преобразования и есть нужная формула:

$p=R•S/l$, где

• $R$ — сопротивление, Ом;
• $S$ — площадь поперечного сечения, $мм^2$;
• $l$ — длина, м.

По международной системе СИ, удельное сопротивление выражается в $Ом•м$. На практике используется альтернативное выражение удельного сопротивления $Ом•мм^2/м$.

Рисунок 1. Удельное сопротивление отдельных материалов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Замечание 1

На рисунке изображены значения удельного сопротивления только для часто используемых материалов. Значения этого параметра для других материалов можно найти в соответствующих справочниках.

Зависимость удельного сопротивления от температуры

Говоря об удельном сопротивлении, нельзя упомянуть о влиянии температуры окружающей среды на его значение. Однако, это влияние будет разным для каждого материала. Это объясняется одним важным параметром $α$ — температурным коэффициентом.

Температурный коэффициент используется в формула для расчета удельного сопротивления с учетом изменения температуры:

$ρ_t =ρ_0 • [1+α•(t-t_0)]$, где

• $ρ_0$ — удельное сопротивление при 20 С*,
• $α$ — температурный коэффициент,
• $t-t_0$ — разница температур.

Рисунок 2. Температурный коэффициент сопротивления. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассчитаем удельное сопротивление меди при -30 C и +30 C .

Пример 1

Для расчета удельного сопротивления при +30 C*, нужно взять первую формулу и подставить известные значения:

$ρ_t=ρ_0 • [1+α•(t-t_0)]=0,017• [1+0,0039•(30-20)]=0,017•[1+(0,0039•10)]=0,0176 $

Для расчета удельного сопротивления при -30 C*, нужно взять вторую формулу и выполнить аналогичный расчет:

$ρ_t=ρ_0 • [1+α•(t-t_0)]=0,017 • [1+(0,0039 • (– 30 – 20)=0,0136$

Исходя из расчетов можно сделать вполне логичный вывод, который заключается в следующем.

Замечание 2

Чем выше температура окружающей среды, тем выше удельное сопротивление.

Практическое определение удельного сопротивления

Иногда, материал необходимый для работы бывает неизвестен. Из-за этого нет возможности использовать справочник и посмотреть значение удельного сопротивления. В этом случае, для определения необходимого параметра, нужно использовать расчетные формулы и ряд подручных инструментов: цифровой микрометр и мультиметр.

Определим удельное сопротивление проволоки из неизвестного материала длинной 3,5 м.

Включаем мультиметр и устанавливаем на нижний предел измерения сопротивления (200 Ом).

Подводим по одному щупу к каждому концу проволоки, проводим измерение и снимаем показания прибора, например, 75 Ом.

Берем микрометр и измеряем диаметр проволоки, например, 0,25 $мм^2$

Выпишем формулы для определения сечения провода и удельного сопротивления:

$S=π•d^2/4$;

$ρ=R•S/l$

Преобразуем формулу для нахождения удельного сопротивления с учетом новой формулы и подставим необходимы значения:

$ρ=R•S/l=R• π• d^2/4• l=75• 3,14• 0,25^2/4• 3,5=235,5• 0,25^2/4• 3,5=14,71/14=1,05$ $Ом• мм^2$

Откроем справочник и по найденному удельному сопротивлению определим материал (в данном случае это нихром).