Треугольник напряжений

Дата публикации: 31 марта 2015.
Категория: Электротехника.

Заштрихованный на рисунке 2, в статье «Последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений», треугольник напряжений начертим отдельно (рисунок 1). Так как этот треугольник прямоугольный, то в случае, когда одна сторона неизвестна, ее можно определить с помощью теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

Рисунок 1. Треугольник напряжений

Следовательно,

U²= U_а² + U_L² ,

откуда

Пример 1. Определить напряжение сети, которое необходимо приложить к зажимам катушки, чтобы создать в ней ток в 5 А, если активное сопротивление катушки r равно 6 Ом, а индуктивное сопротивление x_L равно 8 Ом.

Активное падение напряжения

U_а = I × r = 5 × 6 = 30 В.

Индуктивное падение напряжения

U_L = I × x_L = 5 × 8 = 40 В.

Полное падение напряжения равно напряжению сети:

Необходимо отметить, что показание вольтметра сети не равно арифметической сумме значений U_а и U_L (30 + 40 ≠ 50).

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.

1.6.7 Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей

Из векторной диаграммы цепи с последовательным соединением имеем треугольник напряжений:

 

 

 

 

,
где cos j – коэффициент мощности, .

Согласно закону Ома ; ; .
Делим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получаем треугольник сопротивлений:

 

 

 

;   ;
;    .
Умножаем каждую сторону треугольника напряжений на ток, и получаем треугольник мощностей:

 

 

 

;  ;   
;    ,
здесь P – активная мощность [Вт]; S – полная мощность, вырабатываемая источником [ВА]; Q – реактивная мощность [ВАр].
Коэффициент мощности показывает, насколько эффективно и рационально используется энергия. Р характеризует ту часть энергетического процесса, в которой электрическая  энергия потребляется приемником и преобразуется в другие виды энергии, т.е. в полезные дела. Q характеризует ту часть энергетического процесса, которая связана с изменением энергии электрического поля емкости или магнитного поля индуктивности. Реактивная мощность не совершает полезной работы, т.к. электрическая энергия не преобразуется в другие виды энергии.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ R, L, C И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Рис. 4.1

Дана последовательная цепь из R, L и C (рис. 4.1). Цепь такого вида часто называют последовательным колебательным контуром.

В этой цепи заданы: приложенное напряжение U , частота f и числовые значения (номиналы) элементов R, L, C.

Требуется найти ток и напряжение на элементах. Решение этой задачи выполним на основе построения векторной диаграммы.

В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток. Поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы последовательной электрической цепи.

На рис. 4.2 изображаем вектор тока, например, горизонтально, хотя его направление можно выбирать произвольно. Далее строятся векторы напряжений на всех элементах.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать вектор входного напряжения:

Рис. 4.2

Сложение векторов удобнее выполнять по правилу многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Полученная диаграмма называется топографической векторной

диаграммой.

Известно, что напряжение на активном сопротивлении R совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR направлен по вектору

тока I.

К концу вектора UR пристраиваем вектор UL и направляем его вверх под углом 90°, так как напряжение на индуктивности UL опережает ток на 90°.

Напряжение на ёмкости UC находится в противофазе с UL , т. е. отстаёт от тока на 90°, поэтому вектор UС , пристроенный к концу

Сумма векторов UR + UL + UC даёт вектор напряжения
вектора UL, направлен вниз.	U.

Величины напряжений на отдельных элементах цепи известны, согласно закону Ома:

По теореме Пифагора, из треугольника оab находим:

где Z – полное сопротивление цепи,

X – общее реактивное сопротивление,

Угол сдвига фаз между напряжением U и током I также определяется из треугольника oab:

Векторная диаграмма, изображенная на рис. 4.2, построена для случая, когда UL > UC .

Это имеет место при XL > XC, когда в цепи преобладает

индуктивность и цепь носит активно-индуктивный характер. В этом случае общий ток I отстаёт по фазе от входного напряжения на угол ϕ.

Возможны также режимы, когда UL < UC и UL = UC .

Треугольник	Треугольник
напряжений	сопротивлений

Рис. 4.3.

Изобразим отдельно треугольник oab. Этот треугольник называется треугольником напряжений (рис. 4.3).

Проекция вектора напряжения U на вектор тока I называется активной составляющей напряжения, обозначается Ua, и равна

падению напряжения на активном сопротивлении:

Реактивная составляющая напряжения Up – это проекция вектора

напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока, она равна падению напряжения на суммарном реактивном сопротивлении цепи:

Если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, то получим треугольник сопротивлений, которому соответствуют

формулы:

Резонанс напряжений

Режим, когда в цепи, содержащей последовательно соединенные

активное сопротивление, индуктивность и ёмкость, ток совпадает по фазе с напряжением (рис. 4.4) называют резонансом напряжения.

Это означает, что входное реактивное сопротивление в цепи равно нулю:

Вэтом случае

ицепь носит чисто активный характер,

т.е.

,

Рис. 4.4.

и сдвиг фаз отсутствует

.

Так как при резонансе

, то соответственно:

Напряжения на индуктивности и ёмкости в этом режиме равны по величине и, находясь в противофазе (сдвиг фаз 1800), компенсируют друг друга. Всё приложенное к цепи напряжение приходится на её активное сопротивление.

Напряжение на индуктивности и ёмкости может значительно превышать напряжение на входе цепи. Их отношение, называемое добротностью контура Q, определяется величинами индуктивного (или ёмкостного) и активного

Добротность показывает, во сколько раз напряжения на индуктивности и ёмкости при резонансе превышают напряжение, приложенное к цепи. В радиотехнических цепях она может достигать несколько сотен единиц.

При резонансе

или

Решив это уравнение относительно f, получим:

где f0 – собственная частота колебаний контура. Таким образом, при

резонансе напряжений частота f источника напряжения равна собственной частоте f0 колебаний контура.

При резонансе напряжения

Величину	называют волновым сопротивлением
	контура.
	Тогда добротность Q равна

Для резонанса напряжений можно построить зависимость (частотную характеристику) действующего значения тока в контуре от частоты источника напряжения при неизменной собственной частоте контура (рис. 4.5), называемую резонансной кривой. Она характеризует способность колебательного контура выделять ток резонансной частоты и ослаблять токи других частот.

Резонанс напряжений широко используется в радиотехнике для выделения сигналов заданной частоты.

На рис. 4.6 показана зависимость реактивного сопротивления X, индуктивного XL и ёмкостного XC сопротивлений от частоты f

источника напряжения.

Разомкнутый треугольник. Открытый треугольник

Дата публикации: 17 июля 2013.
Категория: Электротехника.

Следует отличать соединение в разомкнутый треугольник (рисунок 1, а) от соединения в открытый треугольник (рисунок 1, б), называемого иногда V-образным. Рассмотрим на нескольких типичных примерах области их применения.

Рисунок 1. Различие между соединениями в разомкнутый (а) и открытый (б) треугольники. Примеры применения соединений в разомкнутый треугольник: утроитель частоты (в) и фильтр напряжения нулевой последовательности (г).

Разомкнутый треугольник

Разомкнутый треугольник используется, например, в выпрямительных установках для получения тока тройной частоты, подмагничивающего уравнительный реактор (смотрите статью «Шестифазная звезда и двойной зигзаг», рисунок 3, а) С этой целью применяют утроитель частоты, который состоит из трех однофазных трансформаторов с сильно насыщенными магнитопроводами. Первичные обмотки утроителя частоты соединены в звезду с изолированной нейтралью, вторичные – в разомкнутый треугольник (рисунок 1, в). Сильное насыщение магнитопроводов, их малое магнитное сопротивление, непроходимость нейтрали первичной обмотки для токов третьей гармоники – все это обеспечивает возникновение во вторичных обмотках электродвижущей силы (э. д. с.) тройной частоты, совпадающих во времени у всех фаз (смотрите статью «Понятие о магнитном равновесии трансформатора»). Поэтому через УР, замыкающий контур вторичных обмоток утроителя частоты, проходит ток тройной частоты, что и требуется в данном случае (смотрите статью «Шестифазная звезда и двойной зигзаг»).

Следующий пример дан из другой области. На рисунке 1, г показан фильтр напряжения нулевой последовательности ¹, который служит для обнаружения замыканий на землю в сети с изолированной нейтралью. Первичные обмотки соединены в звезду, ее нейтраль обязательно заземлена, благодаря чему первичная обмотка каждой фазы включена на ее напряжение относительно земли. Вторичные обмотки, соединенные в разомкнутый треугольник, питают реле Р.

В нормальных условиях, а также при коротких замыканиях, но без заземления геометрическая сумма фазных напряжений равна нулю. Следовательно, напряжение на обмотке реле равно нулю и оно не срабатывает. Однако при замыкании на землю в напряжениях появляется составляющая нулевой последовательности U₀. Реле срабатывает и производит заданные действия (включает сигнал, отключает заземленный участок, включает резерв и тому подобное).

Обращается внимание на следующее. Заземление нейтрали первичной обмотки (рисунок 1, г) – необходимое условие для действия схемы. Заземление вторичной обмотки – средство обеспечения безопасности (смотрите статью «Схема соединения «Звезда»). Токи третьих гармоник в контуре вторичных обмоток не возникают, так как трансформаторы напряжения работают при малых индукциях, благодаря чему их магнитопроводы далеки от насыщения.

Открытый треугольник

Открытый треугольник в силовых электроустановках редко используется, но в цепях измерения, учета и сложных релейных защит находит самое широкое применение.

На рисунке 2, а в открытый треугольник соединены два однофазных силовых трансформатора. Это равносильно тому, что из трехфазной группы один трансформатор попросту отсоединен, но все внешние выводы как с первичной, так и со вторичной стороны оставлены. Особенности такого соединения состоят в следующем:
1. В фазах ab и ac проходят линейные токи, сдвинутые по фазе при активной нагрузке относительно соответствующих фазных напряжений на 30°. Значит, каждый трансформатор при активной нагрузке работает с cos φ = 0,866 (а не cos φ = 1). Поэтому отдаваемая мощность двух трансформаторов, соединенных в открытый треугольник, составляет не 2/3, а только 58% (2/3 от 86,6%) мощности, которая была бы при закрытом треугольнике.

Рисунок 2. Примеры соединений в открытый треугольник.

2. Различные сопротивления для линейных токов нарушают симметрию под нагрузкой.

Другой пример, (рисунок 2, б) показывает соединение в открытый треугольник обмоток напряжения 2 трехфазного счетчика для трехпроводных сетей трехфазного тока (схема Арона). Токовые обмотки 1 включены в фазы a и c. К обмоткам напряжения подведены напряжения между фазами ab и bc. Буквы Г и Н соответственно обозначают «генератор» и «нагрузка». Звездочками отмечены начала обмоток (смотрите статью «Примеры соединений измерительных трансформаторов»).

Третий пример (рисунок 2, в) показывает соединение в открытый треугольник двух однофазных трансформаторов напряжения. Такое включение применяется в электроустановках высокого напряжения, если достаточно контролировать линейные напряжения U_AB, U_BC, U_CA². Вторичные обмотки трансформаторов напряжения заземлены для обеспечения безопасности.

---

¹ Прямая, обратная и нулевая последовательности – термины метода симметричных составляющих, с помощью которого рассчитываются схемы с несимметричной нагрузкой.
²U_AB = k × U_ab, U_BC = k × U_bc, U_CA = k × U_ca, где k – коэффициент трансформации трансформатора напряжения, в нашем примере 10000 : 100 = 100. Вольтметры градуируют в киловольтах.

Источник: Каминский Е. А., «Звезда, треугольник, зигзаг» – 4-е издание, переработанное – Москва: Энергия, 1977 – 104с.

Соединение приемников энергии треугольником — Знаешь как

При соединении приемников энергии треугольником (рис. 6-11) каждая фаза приемника присоединяется к линейным проводам, т. е. включается на линейное напряжение, которое одновременно будет и фазным напряжением приемника:

U_ab = U_a, U_bc = U_b, Uc_a = U_c.

Таким образом, изменение сопротивления фаз не влияет на фазные напряжения.

Направления линейных токов от генератора к приемнику примем за положительные (рис. 6-11). Направления фазных 

 токов от А’ к В’, от В’ к С‘ и от С’ к А’ также примем за положительные.

Согласно первому правилу Кирхгофа для мгновенных значений токов для узла А’ можно написать:

i_A + i_CA = i_AB

откуда

i_A = i_AB — i_CA

Аналогично для узла В’:

i_B = i_BC — i_AB

и для узла С’:

i_C = i_CA — i_BC

Рис. 6-11. Соединение приемников треугольником

Следовательно, мгновенное значение любого линейного тока равно алгебраической разности мгновенных значений токов тех фаз, которые соединены с данным проводом.

Рис. 6-12. Векторная диаграмма при соединении приемников треугольником.

Вектор любого линейного тока находится как разность векторов соответствующих фазных токов:

I_A = I_AB — I_CA; I_B = I_BC — I_AB; I_C = I_CA — I_BC

На рис. 6-12 дана векторная диаграмма для трехфазной цепи при соединении приемников энергии треугольником. На этой диаграмме все векторы проведены из одного начала. На рис. 6-13 дана вторая диаграмма для той же цепи, на которой векторы напряжений образуют треугольник, а вектор каждого фазного тока проведен из одного начала с вектором соответствующего фазного напряжения.

Рис. 6-13. Векторная диаграмма при соединении приемников треугольником.

Если при симметричной системе линейных напряжений нагрузка фаз равномерная, т. е.

z_AB = z_BC = z_CA = z_Ф

и

φ_АВ = φ_ВС = φ_СА = φ_Ф.

то действующие значения фазных токов равны между собой и они сдвинуты по фазам на одинаковые углы от соответствующих напряжений (рис. 6-14) и, следовательно, на углы 120° один относительно другого. Следовательно, фазные токи представляют симметричную систему. Симметричную систему будут представлять и линейные токи (рис. 6-14).

Восстановив перпендикуляр из середины вектора линейного тока, например I_А, получим прямоугольный треугольник OHM, из которого следует, что

1/2I_Л = I_Ф cos 30° = I_Ф(√3/2)

или

I_Л = √3I_Ф

Таким образом, при соединении приемников треугольником при равномерной нагрузке фаз линейные токи больше фазных в √3 раз.

Кроме того, из той же векторной диаграммы следует, что линейные токи отстают от соответствующих фазных токов на углы 30°.

Рис. 6-14. Векторная диаграмма для цепи, соединенной треугольником при равномерной нагрузке фаз.

При соединении приемников треугольником при равномерной нагрузке фаз расчет трехфазной цепи сводится к расчету одной фазы.

В этом случае фазное напряжение U_Ф = U_Л Фазный ток I_Ф = U_Ф/z_Ф

Линейный ток

I_Л = √3I_Ф

во фазного напряжения определяются из выражений

cosφ = r_Ф/z_Ф; tgφ_Ф = x_Ф/r_Ф

Активная мощность одной фазы

P_Ф = U_ФI_Фcosφ_Ф Активная мощность трех фаз

P = 3P_Ф = 3U_ФI_Ф cosφ_Ф = √3 UI cosφ

Реактивная мощность трех фаз

Q = 3U_ФI_Ф sinφ_Ф = √3 UI sinφ

Полная мощность трехфазной цепи

S = 3U_ФI_Ф = √3UI

При неравномерной нагрузке фаз мощность трехфазной цепи определяется как сумма мощностей отдельных фаз.

Если приемники энергии соединены звездой и за положительное направление линейных токов вобрано направление от генератора к потребителю, то согласно первому правилу Кирхгофа для нейтральной точки можно написать:

i_A + i_B + i_C = 0.

Если приемники энергии соединены треугольником, то сумма линейных токов

i_A + i_B + i_C = i_AB — i_CA+ i_BC — i_AB+ i_CA — i_BC = 0

Следовательно, при любом способе соединения приемников алгебраическая сумма мгновенных значений линейных токов трехфазной трехпроводной цепи равна нулю.

Поэтому, например, намагничивающая сила трех жил трехфазного кабеля равна нулю и, следовательно, не происходит намагничивания стальной брони кабеля, применяемой для защиты от механических повреждений.

ВКЛЮЧЕНИЕ ПРИЕМНИКОВ ЭНЕРГИИ В СЕТЬ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА

Электрические лампы изготовляются на номинальные напряжения 127 и 220 в, а трехфазные электродвигатели на номинальные фазные напряжения 127, 220 и 380 в и выше.

Способ включения приемника в сеть трехфазного тока зависит от линейного напряжения сети и от номинального напряжения приемника.

Лампы с номинальным напряжением 127 в включаются треугольником при линейном напряжении сети 127 в и звездой с нейтральным проводом при линейном напряжений сета 220 в. Лампы с номинальным напряжением 220 в включаются треугольником в сеть с линейным напряжением 220 в и звездой с нейтральным проводом в сеть с линейным напряжением 380 в.

Трехфазный электродвигатель включается треугольником в сеть, линейное напряжение которой равно номинальному фазному напряжению электродвигателя. Если линейное напряжение сети превышает в √3 раз номинальное фазное напряжение электродвигателя, то он включается звездой.

 

Статья на тему Соединение приемников энергии треугольником

4 Контрольные вопросы

1. Какое соединение фаз называется соединением в треугольник?

Соединением в треугольник называется соединение, когда конец одной фазы соединяется с началом другой, образуя замкнутый контур. Полученные узлы присоединяются к соответствующим началам фаз генератора.

2.Какое соотношение между фазными и линейными напряжениями при соединении приемников в треугольник?

В треугольник могут соединяться фазы трансформаторов, электродвигателей, фазы осветительной нагрузки и т.д.. При соединении фаз приемников с сопротивлением Z_ав,Z_вс, Z_сав треугольник каждая фаза включается на линейное напряжение источника. Поэтому фазные напряженияU_фравны линейным напряжениямU_л, т.е.

3. Каковы соотношения между фазными и линейными токами для любой нагрузки и для симметричной нагрузки при соединении приемников в треугольник?

Фазные токи I_ав,I_вс, I_саопределяются по формулам:

Линейные токи I_А,I_В, I_Сопределяются по фазным токам из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов а, в, с

;;

Из уравнения следует, что любой из линейных токов равен геометрической разности токов тех двух фаз нагрузки, которые соединяются с данным линейным проводом. Векторы линейных токов I_лможно определить из векторной диаграммы, построенной на основании уравнения, для чисто активной нагрузки, например, осветительной

Рис.6. Векторная топографическая диаграмма на­пряжений и токов для симметричной нагрузки

При симметричной нагрузке:

При этом линейный I_Л и фазный I_Ф токи связаны числовым соотношением, которое можно определить из заштрихованного треугольника (рис. 4).

Т.е.

4.Каковы особенности соединения фаз приемников в треугольник?

При несимметричной нагрузке, т. е. при изменении сопротивления одной из фаз. режим работы других фаз останется неизменным, т. к. сохраняется постоянство напряжений на фазах нагрузки, что является важной особенностью соединения фаз приемника треугольником. Поэтому схему соединения треугольником исполь­зуют для включения несимметричных однофазных приемников, например, осве­тительных приборов в трехпроводную осветительную сеть.

5. В каком случае следует применить соединение фаз приемников в треугольник?

Преимуществом соединения фаз источника энергии и приемника треугольником по сравнению с соединением звездной без нейтрального провода является взаимная независимость фазных токов

6. В чем достоинства схемы соединения в треугольник по сравнению со с схемой соединения в звезду?

Схема соединения трех фаз приемника не зависит от схемы соединения трех фаз генератора. Соединения фаз приемника треугольником часто переключается на соединение звездной для изменения тока и мощности, например для уменьшения пусковых токов трехфазных двигателей, изменение трех фазных электрических цепей и т. д.

7) Изменяются ли линейные токи при изменении сопротивления одной из фаз приемников?

При несимметричной нагрузке, т. е. при изменении сопротивления одной из фаз, режим работы других фаз останется неизменным, т. к. сохраняется постоянство напряжений на фазах нагрузки, что является важной особенностью соединения фаз приемника треугольником. Поэтому схему соединения треугольником используют для включения несимметричных однофазных приемников, например, осветительных приборов в тpexпроводную осветительную сеть