Среднее значение переменного тока – Графическое изобретение синусоидальных величин. Векторная диаграмма.

Среднее значение переменного тока

Дата публикации: .
Категория: Электротехника.

Среднее значение переменной синусоидальной величины за период равно нулю. Поэтому, когда говорят о среднем значении синусоидальной величины, имеют в виду среднее значение за полпериода. На рисунке 1 изображена кривая изменения переменного тока за полпериода.

Среднее значение тока

Рисунок 1. Среднее значение синусоидального тока

Построим прямоугольник с основанием T/2 и площадью, равной площади, заключенной между кривой и горизонтальной осью. Высота прямоугольника будет представлять среднее значение тока за полпериода.

Высшая математика дает следующую зависимость между средним и амплитудным значениями переменного синусоидального тока:

Среднее значение тока

Такая же зависимость существует между средними и амплитудными значениями напряжения и электродвижущей силы (ЭДС). Среднее значение напряжения и ЭДС равно:

Среднее значение тока

Отношение действующего значения переменной величины к ее среднему значению называется коэффициентом формы кривой и обозначается буквой kф.

Для синусоидальных величин коэффициент формы кривой равен:

Среднее значение тока

Отношение амплитудного значения переменной величины к ее действующему значению называется коэффициентом амплитуды и обозначается kа.

Для синусоидальных величин коэффициент амплитуды

Среднее значение тока

Источник: Кузнецов М. И., «Основы электротехники» — 9-е издание, исправленное — Москва: Высшая школа, 1964 — 560 с.

Действующее и среднее значения переменного тока

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, выделяет за время, равное 1 периоду, одинаковое количество тепла. Все приборы показывают действующее значение .

Если левые части уравнения равны, то и правые будут тоже равны. Приравняв правые части и выполнив операцию интегрирования, получим:

Среднее арифметическое значение переменного тока определяется в течении полупериода; если через поперечное сечение проводника в течении 1 полупериода будет протекать один и тот же заряд при постоянном и переменном токе, то такое значение постоянного тока будет равно среднему значению переменного тока

.

Среднее значение тока за период равно нулю.

Коэффициенты формы и амплитуды

Отношение действующего значения переменного тока (напряжения или ЭДС) к среднему значению называется коэффициентом формы, а отношение амплитудного значения к действующему –коэффициентом амплитуды.

Для синусоидального тока:

, а .

Для кривых, имеющих более острую форму, чем синусоида: ;.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

Предположим, что в магнитном поле генератора находится два одинаковых витка, сдвинутых в пространстве друг относительно друга на угол

. При вращении в них буду находится ЭДС одинаковой частоты и амплитуды.

Но т.к. витки сдвинуты в пространстве, то наводимая в них ЭДС будет достигать амплитудных и нулевых значений не одновременно.

В начальный момент времени ЭДС витка будет:

В этих выражениях углы

иназываютсяфазными, илифазой. Углыиназываютсяначальной фазой. Фазный угол определяет значение ЭДС в любой момент времени, а начальная фаза определяет значение ЭДС в начальный момент времени.

Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой частоты и амплитуды называется углом сдвига фаз

Разделив угол сдвига фаз на угловую частоту, получим время, прошедшее с начала периода:

Если угол сдвига фаз составляет 1800, то такие ЭДС находятся в противофазе

Графическое изображение синусоидальных величин

Синусоидальные величины можно изображать графически при помощи синусоид или вращающихся векторов.

Любая синусоидальная величина характеризуется:

  1. амплитудой;

  2. угловой частотой;

  3. начальной фазой.

При изображении величины с помощью синусоиды ординаты синусоиды в масштабе представляют собой мгновенное значение, абсциссы – промежутки времени.

При этом длина вектора равна амплитудному значению величины, угол между положительным направлением оси абсцисс и векторов даст начальную фазу. Вектор вращается против часовой стрелки с угловой скоростью. Проекция конца вектора на ось ординат даст мгновенное значение синусоидальной величины.

Совокупность нескольких синусоид называется синусоидальной (волновой) диаграммой.

Совокупность нескольких векторов называется векторной диаграммой.

Сложение и вычитание синусоидальных величин

.

Для сложения двух синусоидальных величин с помощью синусоид необходимо сложить их ординаты в каждый момент времени.

Для того, чтобы сложить две величины с помощью векторов, необходимо к концу первого вектора добавить второй, не изменяя его величины и направления. Соединив начало первого вектора с концом второго, получим суммарный вектор.

2. Среднее и действующее значения переменного тока и напряжения

Среднее значение Fср произвольной функции времени f(t) за интервал времени Т оп­ределяется по формуле 

Численно среднее значение Fср равно высоте прямоугольника, равновели­кого по пло­щади фигуре, ограниченной кривой f(t), осью t и пределами интег­ри­рования 0 – Т (рис. 33).

Для синусоидальной функции среднее значение за полный период Т (или за целое число полных периодов) равно нулю, так как площади положи­тельной и отрицательной по­луволн этой функции равны. Для переменного си­нусоидального тока (напряжения) среднее значение определяют за половину периода (Т/2) между двумя нулевыми значениями (рис. 34) 

I

ср=Imsint dt = Im

Аналогично получим для напряжения:

Действующее значение переменного тока (напряжения) определяется как средне­квадратичное значение функции за период 

===

==

Аналогично получим для напряжения:

Количество энергии, выделяемое переменным током в резисторе R за время Т, по за­кону Джоуля будет равно W = =I2RT, а активная мощность соответственно Р = = I2R .

Таким образом, параметры электрической энергии на переменном токе (количество энергии, мощность) характеризуются действующими значениями напряжения U и тока I. По этой причине в электроэнергетике принято все тео­ретические расчеты и экспериментальные измерения выполнять для действую­щих значений токов и напряжений. В радиотехнике и в технике связи, наобо­рот, оперируют максимальными значениями этих функций.

Приведенные выше формулы для энергии и мощности переменного тока полностью совпадают с аналогичными формулами для постоянного тока. На этом основании можно ут­верждать, что энергетически постоянному току экви­валентно действующее значение пере­менного тока.

Синусоидальная функция времени, как периодическая функция, харак­теризуется следующими коэффициентами 

ка = = 1,41- коэффициент амплитуды,

кф = – коэффициент формы.

3. Векторные диаграммы переменных токов и напряжений

Из курса математики известно, что любую синусоидальную функцию времени, на­пример i(t)=Imsin(t+), можно изобразить вращающимся вектором при соблюдении следую­щих условий 

а) длина вектора в масштабе равна амплитуде функции Im ;

б) начальное положение вектора при t = 0 определяется начальной фа­зой ;

в) вектор равномерно вращается с угловой скоростью , равной угло­вой частоте функции.

При соблюдении названных условий проекция вращающегося вектора на вертикаль­ную ось y в системе координат ху в любой момент времени t равна мгновенному значению функции i(t), следовательно i = Im sin(t+)

Рассмотрим процессы в схеме электрической цепи рис. 36. Изобразим си­нусоидаль­ные функции токов и напряжений вращающимися векторами для произвольного момента времени, например t = 0 (рис. 37а). При рассмотрении установившегося режима в схеме мгно­венные значения функций не представ­ляют интереса, поэтому момент времени, для которого строится векторная диа­грамма, может быть выбран произвольно. Целесообразно один из век­торов принять начальным или исходным и совместить его на диаграмме с одной из осей ко­ординат (вектор Е на рис. 37б совмещен с осью y), при этом остальные векторы располагают по отношению к исходному вектору под углами, равными их сдвигам фаз.

Так как на практике интерес представляют действующие значения токов и напряже­ний, то на векторных диаграммах длины векторов принимают рав­ными в выбранных мас­штабах их действующим значениям (рис. 37б).

Совокупность векторов, характеризующих процессы в цепи перемен­ного тока, по­строенных в выбранных масштабах и с соблюдением правильной их ориентации друг отно­сительно друга, называется векторной диаграммой.

Среднее и действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет  от амплитудного. Аналогично, 

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна  Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока  численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном  токе,

 

T

 

T

 

w =

i2r dt =

Im2sin2 ωt r dt..

 

0

 

0

 

При неизменном во времени токе энергия

W = I2rT

Приравняв правые части

 

T

 

I2rT =

Im2sin2 ωt r dt,.

 

0

 

получим действующее значение тока

I =

1

T

 

Im2sin2 ωt r dt

0

 

=

Im

= 0,707I.

T

√2

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е = Em /√2,    U = Um /√2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значе­ниях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

Im = √2= 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = Im sin (ωt + ψ) = 14,1 sin (ωt + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

 

T2

 

 

 

 

 

Еср =

Ет sin ωt dt =

sin ωt dωt =

|cos ωt|π0 =

= 0,637Ет .

 

0

 

0

 

 

 

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

Iср = 2Iт /π;    Uср = 2Uт .

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

Кф =

Е

=

I

=

U

=

π

= 1,11.

Ес

Iср

Uср

2√2

Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.

Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 

Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока. 

Мощность Р постоянного тока I, проходящего через сопротивление r, будет Р = Р2r.

Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I2r за целый период или среднее значение от (Im х sinωt)2 х rза то же время.

Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I2r = Mr, откуда I = √M,

Величина I называется действующим значением переменного тока.

Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.

Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени. 

Действующее значение переменного тока

Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (-i) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.

Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно1/2I2m. Следовательно, М = 1/2I2m

Так как действующее значение I переменного тока равно I = √M, то окончательно I = Im / √2

Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:

U = Um / √2,E= Em / √2

Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).

На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.

При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √2 раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.

Среднее и действующие значения синусоидальных токов и напряжений

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет  от амплитудного. Аналогично, 

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным). Действующее значение тока

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично,

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна  Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока  численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Для установления эквивалентности переменного тока в отношении энергии и мощности, общности методов расчета, а также сокращения вычислительной работы изменяющиеся непрерывно во времени токи. ЭДС и напряжения заменяют эквивалентными неизменными во времени величинами. Действующим или эквивалентным значением называется такой неизменный во времени ток, при котором выделяется в резистивном элементе с активным сопротивлением r за период то же количество энергии, что и при действительном изменяющемся синусоидально токе.

Энергия за период, выделяющаяся в резистивном элементе при синусоидальном  токе,

 

T

 

T

 

w =

i2r dt =

Im2sin2 ωt r dt..

 

0

 

0

 

При неизменном во времени токе энергия

W = I2rT

Приравняв правые части

 

T

 

I2rT =

Im2sin2 ωt r dt,.

 

0

 

получим действующее значение тока

I =

1

T

 

Im2sin2 ωt r dt

0

 

=

Im

= 0,707I.

T

√2

Таким образом, действующее значение тока меньше амплитудного в √2 раз.

Аналогично определяют действующие значения ЭДС и напряжения:

Е = Em /√2,    U = Um /√2.

Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на ротор двигателя переменного тока, подвижную часть измерительного прибора и т. д. Когда говорят о значе­ниях напряжения, ЭДС и тока в цепях переменного тока, имеют в виду их действующие значения. Шкалы измерительных приборов переменного тока отградуированы соответственно в действующих значениях тока и напряжения. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока

Im = √2= 1,41 • 10 = 14,1 A,

и мгновенное значение тока

i = Im sin (ωt + ψ) = 14,1 sin (ωt + ψ).

При анализе и расчет выпрямительных устройств пользуются средними значениями тока, ЭДС и напряжения, под которыми понимают среднее арифметическое значение соответствующей величины за полпериода (среднее значение за период, как известно, равно нулю):

 

T2

 

 

 

 

 

Еср =

Ет sin ωt dt =

sin ωt dωt =

|cos ωt|π0 =

= 0,637Ет .

 

0

 

0

 

 

 

Аналогично можно найти средние значения тока и напряжения:

Iср = 2Iт /π;    Uср = 2Uт .

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока

Кф =

Е

=

I

=

U

=

π

= 1,11.

Ес

Iср

Uср

2√2

Переменный синусоидальный ток в течение периода имеет различные мгновенные значения. Естественно поставить вопрос, какое же значение тока будет измеряться амперметром, включенным в цепь?

При расчетах цепей переменного тока, а также при электрических измерениях неудобно пользоваться мгновенными или амплитудными значениями токов и напряжений, а их средние значения за период равны нулю. Кроме того, об электрическом эффекте периодически изменяющегося тока (о количестве выделенной теплоты, о совершенной работе и т. д.) нельзя судить по амплитуде этого тока.

Наиболее удобным оказалось введение понятий так называемых действующих значений тока и напряжения. В основу этих понятий положено тепловое (или механическое) действие тока, не зависящее от его направления.

Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 

Для оценки действия, производимого переменным током, мы сравним его действия с тепловым эффектом постоянного тока. 

Мощность Р постоянного тока I, проходящего через сопротивление r, будет Р = Р2r.

Мощность переменного тока выразится как средний эффект мгновенной мощности I2r за целый период или среднее значение от (Im х sinωt)2 х rза то же время.

Пусть среднее значение t2 за период будет М. Приравнивая мощность постоянного тока и мощность при переменном токе, имеем: I2r = Mr, откуда I = √M,

Величина I называется действующим значением переменного тока.

Среднее значение i2 при переменном токе определим следующим образом.

Построим синусоидальную кривую изменения тока. Возведя в квадрат каждое мгновенное значение тока, получим кривую зависимости Р от времени. 

Действующее значение переменного тока

Обе половины этой кривой лежат выше горизонтальной оси, так как отрицательные значения тока (-i) во второй половине периода, будучи возведены в квадрат, дают положительные величины.

Построим прямоугольник с основанием Т и площадью, равной площади, ограниченной кривой i2 и горизонтальной осью. Высота прямоугольника М будет соответствовать среднему значению Р за период. Это значение за период, вычисленное при помощи высшей математики, будет равно1/2I2m. Следовательно, М = 1/2I2m

Так как действующее значение I переменного тока равно I = √M, то окончательно I = Im / √2

Аналогично зависимость между действующим и амплитудным значениями для напряжения U и Е имеет вид:

U = Um / √2,E= Em / √2

Действующие значения переменных величин обозначаются прописными буквами без индексов (I, U, Е).

На основании сказанного выше можно сказать, что действующее значение переменного тока равно такому постоянному току, который, проходя через то же сопротивление, что и переменный ток, за то же время выделяет такое же количество энергии.

Электроизмерительные приборы (амперметры, вольтметры), включенные в цепь переменного тока, показывают действующие значения тока или напряжения.

При построении векторных диаграмм удобнее откладывать не амплитудные, а действующие значения векторов. Для этого длины векторов уменьшают в √2 раз. От этого расположение векторов на диаграмме не изменяется.

2.1.3.Среднее значение переменного тока и напряжения

Среднее значение переменного напряжения, ЭДС и тока за период равно нулю, так как площадь отрицательных и положительных полуволн синусоид равны по величине и различны по знаку (рис.2.6).

е,u,i e

u i

0t

0

T/2

T

Рис.2.6

Поэтому, когда говорят о среднем значении переменного тока i, напряжения u или ЭДС е, под ним подразумевается среднее значение за половину периода Т/2 между двумя нулевыми значениями величины 0 и .

Например, среднее значение переменной ЭДС любого вида определяется так:

Если ЭДС изменяется по синусоидальному закону е , то можно установить простую зависимость между средним значением ЭДС Eср и его амплитудным значением Еm.

а так как ,

то =0,637.

Аналогично получим средние значения напряжения и тока:

2.1.4. Действующее значение переменного тока и напряжения.

В электротехнике часто приходится иметь дело с тепловыми и механическими действиями переменного тока.

Механическая сила взаимодействия двух проводников с одинаковыми токами и тепловое действие тока пропорциональны квадрату мгновенных значений тока. Для переменного тока тепловое или механическое действие определяется средним значением квадратов токов за период, называемым действующим значением тока.

Иначе говоря, действующее значение переменного тока равняется постоянному току, выделяющему за время, равное периоду, в каком-либо проводнике такое же количество тепла, что и данный переменный ток.

Количество теплоты, выделяемое постоянным током в резисторе с активным сопротивлением r за промежуток времени Т, равный периоду переменного тока, составляет:

=0,24

Количество теплоты, выделяемое переменным током в том же эелементе за промежуток времени dt, равно:

Количество теплоты, выделяемое за период Т, равно:

Приравнивая количество теплоты, выделяемое постоянным и переменным током, получим:

=

Отсюда получим действующее значение тока:

Аналогично для напряжений и ЭДС переменного тока имеем:

Выражения для I,U и Е определяют в общем виде действующие периодические токи, напряжение и ЭДС при любом законе их изменения.

Для синусоидального переменного тока i= будем иметь:

Второй интеграл равен нулю, и для действующего синусоидального тока имеем:

Аналогично получим выражение для действующих синусоидальных ЭДС и напряжения:

.

Градация вольтметров и амперметров, предназначенных для работы в цепи синусоидального тока, обычно показывает непосредственно действующие значения напряжения или тока.

2.1.5.Векторные диаграммы переменного тока.

Как было установлено, гармонически изменяющееся напряжение в общем виде определяется выражением:

Зная амплитуду напряжения и аргумент синусоидальной функции , можно с помощью несложных математических операций определить мгновенные значения напряжения u в любой момент времени. Наряду с аналитическим способом расчета получить u можно графически, например, по временной диаграмме гармонической переменной (рис.2.7).

Однако при различных расчетах бывает удобнее пользоваться методом векторных диаграмм. Применение векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы и упрощать производимые расчеты.

Y U

u Х u

0

u=0

Рис.2.7

Синусоидальный ток и напряжение можно представить как вектор, движущийся по окружности со скоростью Мгновенные значения будут равны проекции этого вектора на ось Y.

Суть данного метода заключается в следующем: если какая-нибудь точка движется с постоянной скоростью по окружности, то её проекция на любой диаметр (горизонтальный- воображаемая ось Х или вертикальная- ось Y) совершает гармонические(синусоидальные колебания). Радиус-вектор ( в дальнейшем для краткости будем называть просто вектор) этой точки вращается с постоянной угловой скоростью

Y Um U

X 0

Um

Рис.2.8

Если этот вектор (рис.2.8) в известном, произвольно выбранном масштабе изображающий амплитуду напряжения ( тока и ЭДС), занимает в начальный момент времени (t=0) горизонтальное положение, вправо от центра вращения 0 и вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то в произвольный момент времени t, когда он образует с горизонталью угол , проекция его на вертикальную ось Y в том же масштабе покажет соответствующее мгновенное напряжение:

Если же вектор в начальный момент расположен не горизонтально, а образует с осью абсцисс Х угол , то проекция на ось Y покажет мгновенное значение напряжения опережающее предыдущее на часть периода . Представим этот случай графически. Расположим под углом относительно положительной оси абсцисс вектора ,длина которого в заранее выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис.2.9).

Y

U

0 X

Рис.2.9

Положительные углы ( начальные фазы напряжения , а так же только принято откладывать в направлении против часовой стрелки, а отрицательные( )-по часовой стрелке ( рис.2.9, показана положительная начальная фаза напряжения ).

Предположим, что вектор , начиная с момента времени t=0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения , равной угловой частоте изображаемого напряжения.

В момент времени t вектор повернется на угол и будет расположен под углом по отношению к оси абсцисс X.

Проекция этого вектора на ось координат Y в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения .

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором. При начальной фазе, равной нулю ( когда , вектор для t=0. (рис.2.8) расположен на оси абсцисс.

При больше или меньше 0 положение вектора для t=0 определяется знаком и величиной начальной фазы напряжения.

Обычно при расчете цепи используются действующие ЭДС, напряжения и токи( или амплитуды этих величин), а так же их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядней. Такая диаграмма называется векторной. Иными словами векторная диаграмма является совокупностью векторов, изображающих движущие синусоидальные ЭДС, напряжение и токи или их амплитудные значения. Углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращении векторов (против часовой стрелки), если они положительны (например, , и в обратном направлении, если они отрицательны (. Если, например, начальный фазовый угол ЭДС больше начального фазового угла (см.временную диаграмму на рис.2.10), то соответственно сдвиг по фазе и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока (рис.2.10).

Мгновенные значения ЭДС и тока в начальный момент отсчета ( для определяются проекциями амплитудных значений их векторов на ось ординат Y в заданном масштабе расчетных параметров e и i.

Рассмотрим сложение ЭДС, токов и напряжений на векторной диаграмме. При исследовании цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи и напряжения одной и той же частоты.

Y

e0 Eme,i

e i

Im X

0

Рис.2.10

Предположим, что требуется сложить две ЭДС:

Такое сложение можно осуществить аналитически ( путем математических вычислений) и графически с помощью векторных диаграмм. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е1 и е2 в определенном масштабе представлены векторами и

Y e e1 e2

e Em

e1 E1

E2m Ψ2e E1m E2m

e2 Ψe Ψ1e

0 Ψ1e Ψe Ψ2e

Рис.2.11

При вращении этих векторов с одинаковой частотой вращения, равной угловой частоте переменного тока , взаимное расположение вращающихся векторов относительно друг друга остается неизменным. Сумма проекций вращающихся векторов и на ось ординат (е1 и е2) равна проекции на ту же ось Y вектора , равного геометрической сумме векторов и :

.

Указанный способ сложения двух ЭДС универсален, его можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС, напряжений и токов одной частоты. При этом операцию вычитания можно представить в виде сложения, проведя элементарные преобразования.

Например, , то есть уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком.

На практике векторные диаграммы, как правило, строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС, напряжений и токов, а для действующих величие E,U и I, пропорциональных амплитудных значениям так как все расчеты цепей выполняются для действующих значений ЭДС, напряжений и токов.

2.9. Действующее и среднее значения переменного тока и напряжения

Действующим значением переменного тока или напряжения называют корень квадратный от интеграла квадрата мгновенных значений тока или напряжения на периоде повторения.

Пользуясь определением, найдем действующее значение синусоидального тока:

После аналогичных вычислений для напряжения получим:

Таким образом, действующие значения переменного тока и напряжения меньше их амплитудных значений в раз.

Действующее значение переменного тока в одной и той же нагрузке r способствует выделению такой тепловой энергии, которая выделилась бы, если по нагрузке пропустить постоянный ток той же величины.

В комплексном виде действующие значения напряжения и тока имеют вид:

;

Средним по модулю значением напряжения или тока, называют интеграл от модуля мгновенного значения тока или напряжения на периоде повторения.

Найдем среднее значение переменного напряжения:

Средние значения напряжения и тока меньше их амплитудных значений в раз. То есть для действующего значения тока: I = 0,707 Im, а для среднего значения

тока: Icp = 0,637 Im .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *