«Смешанное соединение проводников». Видеоурок. Физика 8 Класс

На уроке приведены формулы для расчета цепей при последовательном и параллельном соединениях. Решены задачи на смешанное соединение проводников, то есть на такие цепи, в которых присутствует и параллельное, и последовательное соединения проводников.

Под соединением проводников подразумевается соединение резисторов – приборов, сделанных на основе сопротивления проводников. На предыдущих уроках были рассмотрены параллельное и последовательное соединения. На данном уроке будут рассмотрены задачи на смешанное соединение проводников, то есть когда в цепи присутствует и последовательное, и параллельное соединение.

Для решения задач сначала рассмотрим формулы для связи различных величин при параллельном и последовательном соединениях:

Если проводники соединены последовательно, то сила тока в них одинакова и равна силе тока в цепи. При этом общее напряжение в цепи будет состоять из суммы напряжений на каждом проводнике. А если говорить о сопротивлении этого участка цепи, в котором проводники соединены последовательно, то оно равно сумме сопротивлений проводников.

В параллельном соединении все по-другому. Сила тока в каждой ветке этой цепи будет различной, при этом общая сила тока в цепи будет вычисляться как сумма сил токов в проводниках. Напряжение на проводниках, соединенных последовательно, будет одинаковым. Общее сопротивление этого участка цепи, так называемое «эквивалентное сопротивление» R, будет вычисляться по следующей формуле: .

Также стоит отметить, что параллельное соединение обычно применяется при включении бытовых приборов, а последовательное – для того, чтобы создать длинную неразветвленную цепь.

Рассмотрим следующую задачу. Участок цепи состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений, каждое из которых равно 1 Ом. К этим двум резисторам параллельно подключают еще одно сопротивление, значение которого составляет 2 Ом. Всю эту цепь подключают к источнику тока, который создает на концах данного соединения напряжение 2,4 В. Необходимо определить силу тока во всей электрической цепи (рис. 1).

Рис. 1. Условия и рисунок задачи № 1

Как видим, резисторы R1 и R2 соединены последовательно, резистор R3 – параллельно к ним. Источник дает напряжение 2,4 В, соответственно, на участке АВ напряжение будет также 2,4 В. Сила тока, которую требуется найти, – это сила тока, протекающая через амперметр А.

Такое соединение проводников называется неразветвленным. В промышленности обычно изготавливается набор резисторов с четко определенными сопротивлениями, но для экспериментов могут понадобиться любые различные сопротивления. Тогда с помощью таких схем можно создавать нужное сопротивление для эксперимента или прибора.

Далее требуется определить эквивалентное сопротивление неразветвленной части. Сначала посмотрим, чему равно сопротивление R’ участка цепи АВ, который содержит только резисторы R1 и R2. Они соединены последовательно, тогда R′=R1+R2=2 [Ом]. Теперь можно перерисовать электрическую цепь, заменив сопротивления R1 и R2 эквивалентным им сопротивлением R’ (рис. 2).

Рис. 2. Первая замена эквивалентным сопротивлением

Теперь можно сказать, что участок АВ включает в себя не три, а два сопротивления: R3 и R’. Эти два сопротивления соединены параллельно, соответственно, можно найти общее сопротивление электрической цепи по формуле . Выразив R и подставив значения

Стоит отметить, что сопротивления были соединены, но общее сопротивление получилось все равно равным 1 Ом. Теперь электрическую цепь можно заменить следующей (рис. 3):

Рис. 3. Вторая замена эквивалентным сопротивлением

На рис. 3 сопротивление R=1 Ом называется эквивалентным сопротивлением, поскольку три сопротивления были заменены на одно. Чтобы рассчитать силу тока в цепи, надо использовать закон Ома для участка цепи:

Теперь рассмотрим задачу, в которой также будет три сопротивления, но соединены они будут по-другому (рис. 4):

Рис. 4. Условие задачи № 2

Два сопротивления R1 и R2 соединены параллельно (R1=R2=2 Ом), к ним еще последовательно присоединено сопротивление R3=1 Ом. Амперметр показывает силу тока в цепи, равную I=0,5 А. Требуется определить напряжение на концах участка этой цепи, то есть на участке АВ.

Для начала определим сопротивление участка цепи, содержащего сопротивления R1 и R2. Эти два сопротивления соединены параллельно, значит, их эквивалентное сопротивление R’ можно найти из формулы

Теперь можно сказать, что цепь включает в себя только два сопротивления: R’и R3, которые соединены последовательно.

Рис. 5. Замена параллельного соединения эквивалентным сопротивлением

В задаче требуется определить напряжение. Для этого используется прибор, который называется вольтметр. В цепь он включается параллельно. И рассмотрим участок цепи, в котором все три сопротивления уже заменены эквивалентным.

Рис. 6. Включение вольтметра в цепь

Вольтметр включен в месте, соответствующем участку АВ на рис. 4. Соответственно, он измеряет напряжение на это участке цепи. Чтобы найти значения этого напряжения, требуется сначала найти эквивалентное сопротивление. Сопротивления R’ и R3 соединены последовательно (рис. 5), значит, эквивалентное сопротивление определяется по формуле:

Теперь из закона Ома для участка цепи можно найти напряжение:

Значит, вольтметр должен будет показать значения напряжения в 1 В.

На уроке были рассмотрены соединения только трех сопротивлений, когда они были последовательные, к ним параллельно подключается третий, или когда два соединены параллельно, а к ним последовательно подключают третье сопротивление. Но реальные схемы значительно сложнее. Они содержат огромное количество различных элементов, сопротивлений, поэтому имеются достаточно сложные методы расчетов электрических цепей.

Впервые расчетами таких сложных электрических цепей озадачились ученые приблизительно в XIX веке, и появились новые правила, которые используются и по сей день. Немецкий ученый Кирхгоф разработал возможность расчета электрических сложных цепей, поэтому правила, которые используют для сложных цепей, называются «правилами Кирхгофа».

На следующих уроках будет рассмотрено понятие мощности и работы силы тока.

Список литературы

1. Генденштейн Л.Э, Кайдалов А.Б., Кожевников В.Б. / Под ред. Орлова В.А., Ройзена И.И. Физика 8. – М.: Мнемозина.
2. Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010.
3. Фадеева А.А., Засов А.В., Киселев Д.Ф. Физика 8. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Festival.1september.ru (Источник).
2. Electroandi.ru (Источник).
3. Bocharova.ucoz.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Стр. 117: задачи № 4, 5. Перышкин А.В. Физика 8. – М.: Дрофа, 2010.
2. В каком случае эквивалентное сопротивление будет больше: если три проводника с сопротивлениями 1 Ом каждый соединить параллельно или последовательно?
3. Два сопротивления R1=1 Ом и R2= 2 Ом соединены последовательно, к ним параллельно присоединено сопротивление 3 Ом. Чему равно эквивалентное сопротивление?
4. Сколько различных цепей можно составить из трех резисторов с сопротивлениями 1 Ом каждый так, чтоб их эквивалентные сопротивления была различными?

Смешанное соединение сопротивлений — Мегаобучалка

Эквивалентное сопротивление цепи.

Баланс мощностей.

Пример 1.1. Цепь постоянного тока со смешанным соединением состоит из четырёх резисторов. Мощность электрической цепи Р = 750 Вт. Определить эквивалентное сопротивление цепи, токи и напряжения на всех резисторах и для всей цепи. Решение проверить, используя баланс мощностей.

(Указание: номера токов, напряжений и мощностей должны совпадать номерами сопротивлений.)

Дано: R₁=10 Ом; R₂ = 50 Ом; R₃ = 40 Ом; R₄= 6 Ом; Р = 750 Вт.

Определить: R -? U-? U₁-? U₂ -? U₃ -? U₄ -? I₁ -? I₂ -? I₃ -? I₄ -?

Решение:

Определим эквивалентное сопротивление цепи методом свёртывания.

Если между сопротивлениями нет узла, то они соединены последовательно, а между двумя узлами имеется параллельное соединение сопротивлений.

R₁ и R₂ соединены последовательно, R₁₂ и R₃ параллельно, а R₁₂₃ и R₄ последовательно.

R₁₂ = R₁ + R₂ = 10 + 50 = 60 Ом.

R = R₁₂₃ + R₄ = 24 + 6 = 30 Ом.

Определим токи и напряжения на всех резисторах.

Ток и напряжение для всей цепи:

Рис. 1.9. получается свёртыванием рис. 1.8. На рисунке 1.10 покажем токи и напряжения на резисторах R₁₂₃ и R₄:

U₃ = I·R₁₂₃ = 5 · 24 = 120 В. U₄ = I₄·R₄ = 5 · 6 = 30 В.

Решение проверим, используя 2-ой закон Кирхгофа.

U = U₃ + U₄ = 120 + 30 = 150 В.

Резистор R₁₂₃ получается от параллельного соединения резисторов R₁₂ и R₃.

Из рис. 1.11. имеем:

Решение проверим, используя 1-ый закон Кирхгофа.

I = I₁ + I₂ = 2 + 3 = 5 A.

Резистор R₁₂ получается от последовательного соединения резисторов

R₁ и R₂. Из рис. 1.12. имеем:

U₁ = I₁·R₁ = 2 · 10 = 20 В. U₂ = I₂·R₂ = 2 · 50 = 100 В.

Решение проверим, используя 2 — ой закон Кирхгофа.

U₃ = U₁ + U₂ ; 120 = 20 + 100 = 120;

Баланс мощностей: Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ ; Р = U· I;

150 · 5 =20 · 2 + 100 · 2 + 120 · 3 + 30 · 5 = 40 + 200 + 360 + 150 = 750;

750 = 750;

Ответ представим в виде таблицы:

Задача 1.1. Цепь постоянного тока со смешанным соединением состоит из четырёх резисторов. Дана одна из величин U,I или Р. Определить эквивалент- ное сопротивление цепи, токи и напряжения на всех резисторах и для всей цепи. Решение проверить, используя баланс мощностей.

(Указание: номера токов, напряжений и мощностей должны совпадать номерами сопротивлений.) Данные выбрать из таблицы 1.1.

Таблица 1.1.

Пример 1.2.Дана электрическая цепь со смешанным соединением резисторов. Номера токов, напряжений и мощностей совпадают с номером резистора.

Определить:

1.эквивалентное сопротивление электрической цепи;

2.используя известную величину тока, напряжения или мощности вычис-

лить токи и напряжения, по закону Ома для участка цепи, на всех резис-

торах и для всей цепи; законы Кирхгофа использовать для проверки;

3.проверить решение методом баланса мощностей.

Решение:

Для определения эквивалентного сопротивления используем метод свёртывания.

R₅ и R₆ cоединены параллельно, а R₄ и R₅₆ последовательно.

R₃ и R₄₅₆ cоединены параллельно, R₁ и R₂ c R₃₄₅₆ последовательно.

Определим ток и напряжение всей цепи:

Из рис. 1.26 видим, что резисторы R₁, R₃₄₅₆, R₂ соединены последовательно,

определим напряжения и токи на R₁, R₃₄₅₆, R₂. На рис.1.27 покажем токи и напряжения.

I = I₁ = I₂ = I₃₄₅₆ = 5 А.

U₁ = I₁· R₁= 5 · 1 = 5 В. U₂ = I₂· R₂= 5 · 3 = 15 В. U₃ = I·R₃₄₅₆ = 5 ·6 = 30 B.

Проверим используя 2-ой закон Кирхгофа.

U = U₁ + U₃ + U₂ ; 50 = 5 + 30 + 15 = 50

Рассмотрим резистор R₃₄₅₆. Выделим из рис. 1.25. часть с резисторами R₃ и R₄₅₆, получим рис.1.28. Ток I₄₅₆ равен I₄ т.е. I₄₅₆ = I₄. Определим токи I₄ и I₁. Из рис. 1.28 видно: напряжение U₄₅₆ = U₃ т.к. R₃ и R₄₅₆ соединены параллельно. Токи в ветвях:

Проверим, используя 1-ый закон Кирхгофа.

I₁ = I₃ + I₄; 5 = 2 + 3 = 5.

Отделим из рис.1.24 резисторы R₄ и R₅₆. Эти резисторы соединены последовательно. На рис. 1.29 покажем напряжения U₄ и U₅₆ = U₅ = U₆.

Ток I₅₆ = I₄ = 3А.

U₄ = I₄· R₄ = 3 · 6 = 18 В. U₅ = U₆ = U₅₆ = I₄· R₅₆ = 3 · 4 = 12 В.

Проверим используя 2-ой закон Кирхгофа.

U₄₅₆ = U₃ = U₄ + U₅₆ ; 30 = 18 + 12 = 30.

Из рис.1.23 видим, что резисторы R₅ = R₆ соединены параллельно. На рис.1.30 покажем токи I₅ и I₆. Определим токи на резисторах R₅ и R₆ .

Проверим используя 1-ый закон Кирхгофа: I₄= I₅ + I₆; 3 = 2 + 1.

Из рис.1.30 определим напряжения на R₁ и R₂: I = I₁ = I₂ = I₃₄₅₆ = 5 А.

U₁ = I₁· R₁= 5 · 1 = 5 В. U₂ = I₂· R₂= 5 · 3 = 15 В.

Решение проверим используя баланс мощностей:

P·I = Ʃ U·I; U·I = U₁·I₁ + U₂·I₂ + U₃·I₃ + U₄·I₄ + U₅·I₅ + U₆·I₆;

50·5 = 5·5 + 15·5 + 30·2 + 18·3 + 12·2 + 12·2 = 250.

250 = 250

Таблица ответов:

Задача 1.2.Дана электрическая цепь со смешанным соединением резисто- ров. Номера токов, напряжений и мощностей совпадают с номером резистора. Данные выбрать из таблицы 1.2.

Определить используя заданную величину U,I, или Р:

1.Эквивалентное сопротивление электрической цепи.

2.Используя известную величину тока, напряжения или мощности вычислить токи и напряжения, по закону Ома для участка цепи, на всех резисторах и для всей цепи. Законы Кирхгофа использовать для проверки.

3. Решение проверить методом баланса мощностей.

Таблица 1.2.

Методика расчета смешанного соединения резисторов

R₂ = 120Oм

R₃ =120Oм

R₄ = 10 Oм

R₅ =150Oм

R₆ =130Oм

R₇ =170Oм

R₀ =1,3Ом

Е =68В

I_1-7 = ?, R_экв =?

U_1-7 = ?Pmax=?

Определить потенциал точки С.

Схема цепи.

Решение

Эквивалентное сопротивление цепи определяется методом «свертывания» схемы.

1. При последовательном сопротивлении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

R_6-7 = R₆+ R₇ = 130 + 170 =300 Ом.

2. При параллельном соединении резисторов общее определится:

3. При параллельном соединении резисторов общее определится:

4. При последовательном сопротивлении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

R_2-4= R₂+ R_3-4 = 140 + 60 =200 Ом.

После этих преобразований схема соединения резисторов примет вид:

5. Эквивалентное сопротивление определится:

R_экв=

6. Ток цепи или ток источника определится по закону Ома:

I = 1 А

7. Падение напряжения на внешнем участке цепи:

U= I _* R_экв = 1 * 66,7 = 66,7 В

U = U ₅=U _5-7= U _6-7= U _2-4 = 66,7 В

8. Ток в резисторах:

I₅ =0,45А

I_6-7 =I₆= I₇ = 0,22А

I_2-4 =I₂= I_3-4 = 0,33А

9. Падение напряжения на участках цепи:

U₆ = I_{6 *} R₆ = 0,22 * 130 = 28,6 В

U₇ = U_6-7 — U₆ = 66,7 – 28,6=38,1В

U₂ = I_{2 *} R₂ = 0,33 * 120 = 39,6 В

U_3-4= U₃= U₄= U_2-4 — U₂= 66,7 – 39,6=27,1В

10. Мощность на резисторе с большим сопротивлением определится:

Р₇ = I² * R₇ =

11. Потенциал точки А:

φА больше φс =0 на падение напряжения на резисторе R₆так как ток течет от большего потенциала к меньшему:

φА=φс +U6 =0 +28,6 = 28,6В

1.4. Эквивалентное преобразование схемы при смешанном соединении резисторов

Смешанным соединением называют сочетание последовательного и парал­лельного соединений резисторов. Большое разнообразие этих соединений не позволяет вывести общую формулу для определения эквивалентного сопро­тивления цепи. Поэтому в каждом конкретном случае правило расчета свое.

При смешанном соединении элементов для эквивалентного преобразования пользуются методом последовательных эквивалентных преобразований, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое (только последовательное, или только параллельное) соединение элементов.

Поясним это на конкретном примере расчета электрической цепи (рис.1.3).

В схеме на рис.1.3а простое соединение имеют резисторы только резисторы R₃ и R₄ — они соединены последовательно.

На первом этапе – преобразуем участок цепи с резисторами R₃ и R₄. Поскольку они соединены последовательно, то их эквивалентное сопротивление R₃₄определяется из соотношения R₃₄=R₃+R₄. В результате эквивалентного преобразования этих резисторов получаем схему см. рис.1.3б.

Рис. 1.3. Эквивалентные преобразования при смешанном соединении

На втором этапе, из анализа схемы на рис.1.3б следует, что простое соединение имеют резисторы R₂ и R₃₄— они соединены параллельно. Их заменяем одним эквивалентным резистором R₂₃₄= R₃₄R₂/(R₂+R₃₄). В результате преобразования исходной схемы на втором этапе получаем схему см. рис.1.3в.

На третьем этапе, из анализа схемы на рис.1.3в, следует, что простое соединение имеют резисторы R₁ и R₂₃₄—они соединены последовательно. Их заменяем одним эквивалентным резистором R₁₂₃₄=R₁+R₂₃₄=R₁+ R₂(R₃+R₄)/(R₂+R₃+R₄) = R_экв.

В результате преобразования исходной схемы на третьем этапе получаем схему см. рис.1.3г. Она явна проще исходной схемы, поскольку состоит из одного элемента.

1.4. Эквивалентное преобразование резисторов, соединенных треугольником в звезду (и наоборот)

В сложных электрических цепях часто встречаются ветви, соединенные треугольником (рис.1.4а) или звездой (рис.1.4б).

Соединения такого вида очень распространены в трехфазных цепях, при этом часто возникает необходимость перехода от одного вида соединения к другому, но эквивалентному. Кроме того, такое преобразование часто применяется для упрощения схемы.

Рис.1.4. Схемное соединение резисторов треугольником (а) и звездой (б)

Практический интерес представляют соотношения сопротивлений резисторов этих цепей при их эквивалентных преобразованиях. Условие эквивалентности преобразования этих цепей заключается в том, что при одинаковых напряжениях между узлами 1, 2 и 3 , втекающие (вытекающие) извне токи I₁, I₂, I₃в этих узлах также одинаковы, т.е. должны быть одинаковыми сопротивления между этими узлами.

Рассмотрим эквивалентное преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду на схемах приведенных на рис.1.5.

а) б)

Рис. 1.5. Схема для расчета правила эквивалентного преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

 Для того чтобы преобразование было эквивалентным, достаточно равенства сопротивлений между точками 1 – 2, 2 – 3 и 3 – 1 в обеих схемах. Запишем систему уравнений для сопротивлений между указанными точками для обеих схем.

Для точек 1 – 2:

 Для точек 2 – 3:

 Для точек 3 – 1:

 Если решить эту систему относительно сопротивлений R₁₂, R₂₃ и R₃₁ получим формулы преобразования звезды в треугольник:

 Если решить систему исходных уравнений относительно сопротивлений R₁, R₂ и R₃ получим формулы преобразования треугольника в звезду:

Резисторы: последовательное и параллельное соединение

Содержание: