Формула №12 — Расчет электроснабжения на ОДН при наличии общедомового прибора учета

Расчет размера платы за электроснабжение, предоставленного на общедомовые нужды, в многоквартирном доме, оборудованном общедомовым прибором учета, производится по формулам №10 и №12. По формуле №12 рассчитывается объем электроснабжения, по формуле №10 – сумма к оплате.

ФОРМУЛА №10 СОГЛАСНО ПРАВИЛАМ

P_i^одн = V_i^одн x Т^кр

V_i^одн — объем (количество) электроснабжения, предоставленный за расчетный период на общедомовые нужды в многоквартирном доме и приходящийся на жилое помещение (квартиру) или нежилое помещение.

Т^кр — тариф на соответствующий коммунальный ресурс (электроснабжение), установленный в соответствии с законодательством Российской Федерации.

ФОРМУЛА №12 СОГЛАСНО ПРАВИЛАМ

V^Д— объем (количество) электроснабжения

, потребленный за расчетный период в многоквартирном доме, определенный по показаниям коллективного (общедомового) прибора учета коммунального ресурса.

∑_uV_u^неж. — объем (количество) электроснабжения, потребленный за расчетный период в нежилых помещениях, определенный в соответствии с пунктом 43 Правил.

∑_vV_v^жил.н. — объем (количество) электроснабжения, потребленный за расчетный период в жилых помещениях (квартире), не оборудованных индивидуальными или общими (квартирным) приборами учета.

∑_wV_w^жил.п. — объем (количество) электроснабжения, потребленный за расчетный период в жилых помещениях (квартире), оснащенных индивидуальными или общими (квартирными) приборами учета электроснабжения, определенный по показаниям такого прибора учета.

V^кр — объем электрической энергии, использованный за расчетный период исполнителем при производстве коммунальной услуги по отоплению и (или) горячему водоснабжению (при отсутствии централизованного теплоснабжения и (или) горячего водоснабжения), который кроме этого также был использован исполнителем в целях предоставления потребителям коммунальной услуги по электроснабжению и (или) газоснабжению.

S_i — общая площадь жилого помещения (квартиры) или нежилого помещения

в многоквартирном доме.

S^об — общая площадь всех жилых помещений (квартир) и нежилых помещений в многоквартирном доме.

Читайте также:

Формула платы за тепло по ОДН должна учитывать влияние личных систем отопления — КС | Российское агентство правовой и судебной информации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, 29 апр — РАПСИ, Михаил Телехов. Формула расчета платы за отопление мест общего пользования должна учитывать не только затраты поставщика тепловой энергии в систему центрального отопления, но и затраты собственников, установивших в своих помещениях автономные котлы, поскольку и те и другие участвуют в опосредованном отоплении всех помещений многоквартирного дома, говорится в новом Постановлении Конституционного суда (КС) РФ, опубликованном на его официальном сайте.

Опираясь на эти выводы КС РФ обязал Правительство РФ в кратчайшие сроки внести изменения в Правила предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов (Правила), а также в его приложения.

Все дело в «формуле 3»

Дело о проверке конституционности абзаца третьего пункта 42(1), пунктов 44 и 45 Правил предоставления коммунальных услуг, а также формулы №3 приложения №2 к данным Правилам рассматривалось в связи с жалобой гражданки жительницы Ставропольского края Валентины Шестериковой. Как пояснили в пресс-службе КС РФ, в ходе изучения материалов было установлено, что пункты 44 и 45 Правил не применялись судами в отношении заявительницы, а потому дело в этой части было прекращено.

«Предметом рассмотрения КС РФ стал абзац третий пункта 42(1) Правил предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов во взаимосвязи с формулой № 3 приложения №2 к данным Правилам. Это положение признано несоответствующим Конституции РФ. Постановление основано на ранее вынесенных правовых позициях суда», — рассказали в пресс-службе КС РФ.

Суть жалобы Шестериковой заключалась в том, что с собственников многоквартирного дома, в части подъездов которого демонтированы стояки и радиаторы центрального отопления, а в жилых помещениях установлены автономные котлы, ссылаясь на Правила предоставления коммунальных услуг, продолжали требовать плату за отопление мест общего пользования.

То есть, согласно «формуле 3», даже если объем затраченного теплоносителя равен нулю, плата нулю не равна и может быть высчитана и начислена, как затраты на общедомовые нужды (ОДН).

А у нас в квартирах газ

Как следует из материалов дела, собственники 53 из 80 квартир и части нежилых помещений дома №175 по улице Ленина города Михайловска, в 2013 году перешли на индивидуальное отопление, отказались от услуг Шпаковского филиала ГУП СК «Крайтеплоэнерго» и расторгли договор с предприятием. На центральном отоплении остались 27 квартир и 2 нежилых помещения.

Собственникам квартир с индивидуальным отоплением счета не приходили до 2018 года, но потом «Крайтеплоэнерго» начала выставлять им счета за отопление мест общего пользования. А как раз в декабре 2018 года КС РФ вынес постановление в котором указал, что взыскание с собственников квартир с индивидуальным отоплением платы за отопление общего имущества «законно и справедливо». После чего ресурсоснабжающие организации начали выставлять собственникам квартир с индивидуальным отоплением счета отдельно за ОДН.

Судебная строительно-техническая экспертиза показала, что в тамбурах и на поэтажных лестничных клетках в парадных, за отопление которых «Крайтеплоэнерго» предъявляет счета, отсутствуют теплопроводы и отопительные приборы, и они «не обладают признаками отапливаемых помещений». То есть, эксперты установили, что места общего пользования в подъездах, жильцы которых пользуются индивидуальными системами отопления, не имеют ни стояков, ни радиаторных батарей, а если и отапливаются, что за счет тепла квартир, в которых установлены автономные котлы. В данном случае, теплоноситель, как говорится в жалобе, нагревается газом, а счета поставщика газа жильцы оплачивают в полном объеме.

То есть, по мнению собственников квартир с индивидуальным отоплением, за отопление мест общего пользования должны платить только собственники квартир с центральным отоплением, где в подъездах как раз проходят стояки и установлены радиаторные батареи.

Но суды отказались удовлетворить иск собственников квартир с индивидуальным отоплением об отказе в одностороннем порядке от исполнения договора с теплосетью.

Опосредованный обогрев

Как отметил КС РФ, в основу регулирования отношений по предоставлению собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах коммунальной услуги по отоплению положен принцип возложения на потребителей данной услуги обязанности по внесению платы за тепловую энергию, фактически потребляемую для обогрева как обособленных жилых и нежилых помещений многоквартирного дома, так и расположенных в нем помещений общего пользования.

В то же время предусмотренный порядок определения размера платы за коммунальную услугу по отоплению учитывает и возможность существования в многоквартирном доме одного или нескольких жилых либо нежилых помещений, в которых установлен индивидуальный источник тепловой энергии. Как ранее указывал КС РФ, сама по себе установка такого рода источников тепловой энергии и, как следствие, фактическое неиспользование тепловой энергии, поступающей по внутридомовым системам отопления, для обогрева соответствующего жилого помещения не могут служить достаточным основанием для полного освобождения его собственника или пользователя от обязанности вносить плату за коммунальную услугу по отоплению в части потребления тепловой энергии в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме.

Но, по мнению КС РФ, для опосредованного обогрева указанных помещений общего пользования используется и тепловая энергия, вырабатываемая индивидуальными источниками тепловой энергии, поскольку отдача тепла через общие конструкции многоквартирного дома (стены, плиты перекрытий и т.п.) осуществляется от всех без исключения отапливаемых помещений.

То есть, как отмечает КС РФ, собственники помещений, в которых установлены индивидуальные системы отопления, фактически участвуют в опосредованном отоплении как помещений общего пользования многоквартирного дома, не оснащенных отопительными приборами или иными теплопотребляющими элементами внутридомовой системы отопления, так и дома в целом, а значит, несут обусловленные таким участием расходы на отопление многоквартирного дома как целостной строительной системы.

Дело заявителя не подлежит пересмотру

«Отсутствие же в системе действующего правового регулирования такого механизма расчета платы за коммунальную услугу по отоплению, который бы учитывал не только потребление на общедомовые нужды тепловой энергии, поступившей в многоквартирный дом по централизованным сетям теплоснабжения, но и использование в указанных целях тепловой энергии, выработанной установленными в отдельных помещениях такого дома индивидуальными источниками тепловой энергии, а значит, и расходы, фактически понесенные собственниками и пользователями помещений, отапливаемых автономно, на опосредованное отопление помещений общего пользования и тем самым дома в целом, свидетельствует о наличии имеющего конституционную значимость пробела в правовом регулировании, вступающего в противоречие с конституционными гарантиями права частной собственности, права на жилище, а также принципами равенства, справедливости и соразмерности ограничений прав и свобод», — разъясняет КС РФ.

С этой точки зрения оспариваемое положение было признано не соответствующим Конституции РФ.

До внесения Правительством РФ соответствующих изменений в Правила предоставления коммунальных услуг, сохраняется прежний порядок расчета платы за отопление. Поскольку в отсутствие специальных правил расчета соответствующей платы освобождение собственников и пользователей помещений, отапливаемых автономно, от обязанности по оплате отопления мест общего пользования могло бы привести к существенному росту платежей за отопление для собственников и пользователей остальных помещений данного дома, что не согласовывается с конституционными предписаниями об экономической и социальной солидарности граждан. Дело Шестериковой, также из-за отсутствия механизма расчета, не подлежит пересмотру. Однако, как поясняет пресс-служба КС РФ, после внесения изменений в правовое регулирование заявительнице причитается компенсация, форму и размер которой должен определить рассматривавший ее дело суд.

Расчет платы за отопление в МКД

Расчет платы за отопление в МКД производится по правилам, утвержденным постановлением Правительства РФ №354. Начисление по отоплению исходит из двух главных показателей: объем коммунального ресурса, потребленного отдельной квартирой; количество тепловой энергии, израсходованной на общедомовые нужды.

Начисления за отопление могут производиться двумя способами: в отопительный период или в течение всего года.

Если в доме установлен общедомовой счетчик по отоплению, то расчет производится, как правило, в отопительный период.

С 1 января 2019 года изменился расчет размера платы за отопление для жилых и нежилых помещений в МКД. Самым главным изменением можно назвать то, что в формулах расчета теперь учитываются показания индивидуальных приборов учета, не зависимо от того, сколько таких приборов установлено в доме.

Плата за отопление в настоящее время рассчитывается с учетом данных индивидуальных счетчиков и объема тепла, которое тратится на обогрев общего имущества.

Расчет производится исходя из суммарного объема тепловой энергии, потребленной за расчетный период как в отдельном жилом или нежилом помещении, так и в помещениях МКД, которые относятся к общему имуществу собственников.

Еще одно нововведение касается владельцев жилых помещений с автономным обогревом. Теперь они не обязаны оплачивать услуги центрального отопления, но по-прежнему, как и другие жильцы, вносят плату за обогрев общедомовых площадей.

В случае, если в МКД отсутствуют общедомовые и индивидуальные приборы учета тепла и начисления производятся только в отопительный период, упрощенная формула для расчета осталась неизменной: P = S*N*T. Площадь помещения (S) умножается на установленный норматив потребления тепловой энергии (N) и на тариф на тепловую энергию (T).

Тепло, идущее на общедомовые нужды, количество тепла, потраченное на обогрев нежилых помещений в доме, определяются по общедомовым приборам учета (при их наличии) либо исходя из нормативов. Нормативы потребления ресурсов на общедомовые нужды утверждаются министерством ЖКХ области и распорядительными документами органов местного самоуправления. Размер платы за отопление на ОДН рассчитывается пропорционально площади занимаемого жилого помещения.

Новости и информация | Конституционный Суд РФ проверил порядок оплаты за коммунальную услугу по отоплению в многоквартирном доме

Конституционный Суд РФ проверил порядок оплаты за коммунальную услугу по отоплению в многоквартирном доме, установленный следующими положениями Правил предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов (далее – Правила № 354), утвержденных постановлением Правительства РФ от 06.05.2011 № 354.

 

• В многоквартирном доме, который оборудован коллективным (общедомовым) прибором учета тепловой энергии и в котором ни одно жилое или нежилое помещение не оборудовано индивидуальным и (или) общим (квартирным) прибором учета тепловой энергии, размер платы за коммунальную услугу по отоплению определяется по формулам 3 и 3(4) приложения № 2 к настоящим Правилам на основании показаний коллективного (общедомового) прибора учета тепловой энергии.

(абзац третий пункта 42.1 Правил № 354)

 

• Размер платы за коммунальную услугу, предоставленную на общедомовые нужды в случаях, установленных пунктом 40 настоящих Правил, в многоквартирном доме, оборудованном коллективным (общедомовым) прибором учета, за исключением коммунальной услуги по отоплению, определяется в соответствии с формулой 10 приложения N 2 к настоящим Правилам.

  При этом объем коммунальной услуги, предоставленной на общедомовые нужды, приходящийся на жилое (нежилое) помещение, определяется в соответствии с формулами 11 и 12 приложения № 2 к настоящим Правилам. В случае если указанный объем за расчетный период (расчетный месяц) составляет отрицательную величину, то указанная величина учитывается в следующем расчетном периоде (следующих расчетных периодах) при определении объема коммунальной услуги, предоставленной на общедомовые нужды, приходящегося на жилое (нежилое) помещение.

  При расчете платы за коммунальную услугу, предоставленную на общедомовые нужды потребителю в нежилом помещении, используются цены (тарифы), установленные для категории потребителей, к которой относится такой потребитель.

  В случае если общедомовый (коллективный) и все индивидуальные (квартирные) приборы учета имеют одинаковые функциональные возможности по определению объемов потребления коммунальной услуги дифференцированно по времени суток или по иным критериям, отражающим степень использования коммунальных ресурсов, то объемы коммунальной услуги, предоставленной за расчетный период на общедомовые нужды, определяются раздельно по каждому времени суток или иному критерию и размер платы за каждый из таких объемов коммунальной услуги распределяется между потребителями в соответствии с абзацем первым настоящего пункта. В иных случаях объем коммунальной услуги, предоставленной за расчетный период на общедомовые нужды, определяется и распределяется между потребителями в многоквартирном доме без учета дифференциации этого объема по времени суток или по иным критериям, отражающим степень использования коммунальных ресурсов, если иное не установлено договором, содержащим положения о предоставлении коммунальных услуг.

(пункт 44 Правил № 354)

 

• Если объем коммунальной услуги, предоставленной за расчетный период на общедомовые нужды, составит ноль, то плата за соответствующий вид коммунальной услуги, предоставленной на общедомовые нужды, определенная в соответствии с пунктом 44 настоящих Правил, за такой расчетный период потребителям не начисляется.

(пункт 45 Правил № 354)

 

Конституционный Суд РФ признал вышеприведенные положения Правил № 354:

• не противоречащими Конституции РФ в той мере, в какой эти нормативные положения предполагают оплату коммунальной услуги по отоплению, предоставленной на общедомовые нужды, собственниками и пользователями всех помещений, которые расположены в многоквартирном доме, подключенном к централизованным сетям теплоснабжения и оборудованном общедомовым прибором учета тепловой энергии, в том числе собственниками и пользователями жилых помещений, переведенных с соблюдением установленного порядка переустройства системы внутриквартирного отопления на отопление с использованием индивидуальных источников тепловой энергии, исходя из приходящейся на конкретное помещение доли от общего объема (количества) тепловой энергии, потребленной за расчетный период на содержание общего имущества многоквартирного дома, на основании показаний общедомового прибора учета тепловой энергии, обеспечивая тем самым равное распределение между всеми собственниками и пользователями помещений в таком многоквартирном доме расходов, связанных с потреблением тепловой энергии, поступающей в этот дом по централизованным сетям теплоснабжения, на общедомовые нужды;

• не соответствующими Конституции РФ в той мере, в какой эти нормативные положения обязывают собственников и пользователей жилых помещений, расположенных в многоквартирном доме, который подключен к централизованным сетям теплоснабжения и оборудован общедомовым прибором учета тепловой энергии, и переведенных с соблюдением установленного порядка переустройства системы внутриквартирного отопления на отопление посредством индивидуальных источников тепловой энергии, вносить плату за коммунальную услугу по отоплению в части потребления тепловой энергии в целях содержания общего имущества в случае, когда помещения общего пользования данного многоквартирного дома не оснащены отопительными приборами или иными теплопотребляющими элементами внутридомовой системы отопления, не учитывая при этом фактическое участие этих лиц в опосредованном отоплении указанных помещений общего пользования и тем самым многоквартирного дома в целом, а также в обусловленных таким участием расходах, связанных с обеспечением общедомовых нужд.

Правительство РФ должно внести изменения в действующий порядок расчета платы за коммунальную услугу по отоплению в многоквартирном доме, который оборудован общедомовым прибором учета тепловой энергии и в котором ни одно жилое или нежилое помещение не оборудовано индивидуальным и (или) общим (квартирным) прибором учета тепловой энергии, если отдельные помещения в таком доме переведены на отопление с использованием индивидуальных источников тепловой энергии, а помещения общего пользования не оснащены отопительными приборами или иными теплопотребляющими элементами внутридомовой системы отопления.

Указанные решения отражены в постановлении Конституционного Суда РФ от 27.04.2021 № 16-П «По делу о проверке конституционности абзаца третьего пункта 42(1), пунктов 44 и 45 Правил предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов, а также формулы 3 приложения № 2 к данным Правилам в связи с жалобой гражданки В.Н. Шестериковой».

 

Жителям Подмосковья рассказали, как рассчитывается плата за отопление

Размер платы за отопление зависит от наличия или отсутствия общедомового и индивидуального приборов учета, периода оплаты за отопление, площади квартиры, типа жилого дома, выбранной методики расчета, говорится в сообщении пресс-службы Министерства ЖКХ Московской области.

«Расчет платы за отопление в многоквартирных домах производится по правилам, утвержденным постановлением правительства РФ от 6 мая 2011 года №354. Начисление по отоплению исходит из двух главных показателей: объем коммунального ресурса, потребленного отдельной квартирой; количество энергии, израсходованной на общедомовое хозяйство», — говорится в сообщении.

Размер платы зависит от многих факторов, в том числе: наличия или отсутствия общедомового и индивидуального приборов учета, периода оплаты за отопление, площади квартиры, типа жилого дома, выбранной методики расчета.

Начисления за отопление могут производиться двумя способами: в отопительный период или в течение всего года.

В случае, если в многоквартирном доме отсутствуют общедомовые и индивидуальные приборы учета тепла и начисления производятся только в отопительный период, упрощенная формула для расчета выглядит так: P = S x N x T. Площадь помещения (S) умножается на установленный норматив потребления тепловой энергии (N) и на тариф на тепловую энергию (T).

«Если в доме установлен общедомовой счетчик по отоплению, то расчет производится, как правило, в отопительный период согласно показаниям прибора учета. Упрощенная формула расчета в этом случае такова: сумма к оплате P = количество потраченной тепловой энергии (V) делится на общую площадь дома (So) и умножается на площадь квартиры (Sкв) и на тариф (T)», — добавляется в сообщении.

С 1 января 2019 года вступили в силу изменения законодательства, которые закрепили за жителями право оплачивать отопление в квартирах согласно показаниям индивидуального прибора учета (ИПУ). Еще одно нововведение касается владельцев жилых помещений с автономным обогревом. Теперь они не обязаны оплачивать услуги центрального отопления, но по-прежнему, как и другие жильцы, вносят плату за обогрев общедомовых площадей.

Тепло, идущее на общедомовые нужды, количество тепла, потраченное на обогрев нежилых помещений в доме, определяются по общедомовым приборам учета (при их наличии) либо исходя из нормативов. Нормативы потребления ресурсов на общедомовые нужды утверждаются министерством ЖКХ Московской области и распорядительными документами органов местного самоуправления. Размер платы за отопление на ОДН рассчитывается пропорционально площади занимаемого жилого помещения.

Рассчитать оплату за отопление можно на сайте «Расчет ЖКХ». Уточнить подробности по оказанию услуги «отопление» можно у исполнителя услуги.

Акция «Школа ЖКХ нашего двора» — как проверят готовность домов к зиме в Подмосковье>>

Формула расчета ОДН по электроэнергии

Расчет объема электроэнергии, отпущенной многоквартирному дому, в случае выхода из строя или утраты ранее введенного в эксплуатацию коллективного (общедомового) прибора учета, либо, если срок его эксплуатации истек.

В соответствии с п. 59(1) «Правил предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов», утвержденных постановлением Правительства Российской Федерации от 06.05.2011 № 354,  в случае отсутствия общедомового прибора учета электроэнергии, плата за коммунальную услугу, предоставленную на общедомовые нужды за расчетный период, определяется исходя из рассчитанного среднемесячного объема потребления коммунального ресурса, определенного по показаниям коллективного (общедомового) прибора учета за период не менее 6 месяцев, а если период работы прибора учета составил меньше 6 месяцев, — то за фактический период работы прибора учета, но не менее 3 месяцев  — начиная с даты, когда вышел из строя или был утрачен ранее введенный в эксплуатацию коллективный (общедомовый) прибор учета, либо истек срок его эксплуатации, а если дату установить невозможно, — то начиная с расчетного периода, в котором наступили указанные события, до даты, когда был возобновлен учет коммунального ресурса путем введения в эксплуатацию соответствующего установленным требованиям коллективного (общедомового) прибора учета, но не более 3 расчетных периодов подряд.

По истечении указанного в пункте 59(1) настоящих Правил предельного количества расчетных периодов, за которые плата за коммунальную услугу, предоставленную на общедомовые нужды, и плата за коммунальную услугу по отоплению определяются по данным, предусмотренным указанным пунктом, в случае если собственники помещений в многоквартирном доме не обеспечили в установленном порядке восстановление работоспособности вышедшего из строя или замену утраченного ранее и введенного в эксплуатацию коллективного (общедомового) прибора учета, а также замену такого прибора учета по истечении срока его эксплуатации, плата за коммунальные услуги за расчетный период рассчитывается по определенной формуле:

норматив потребления электроэнергии на ОДН умножается на общую площадь помещений в составе общего имущества, далее умножается на отношение площади квартиры к площади всех жилых помещений в доме.

Вступили в силу изменения порядка начисления платы по энергоснабжению на общедомовые нужды

5 Августа 2020

Уважаемые потребители!

Сообщаем Вам что в соответствии с требованиями п.12 «Изменений, которые вносятся в акты Правительства Российской Федерации по вопросам совершенствования организации учёта электрической энергии», утвержденные Постановлением Правительства РФ от 29.06.2020 №950 с 01.07.2020 внесены изменения в требования п.44 Правила предоставления коммунальных услуг собственникам и пользователям помещений в многоквартирных домах и жилых домов, утвержденные Постановлением Правительства РФ от 06.05.2011 №354 (далее по тексту – Правила предоставления коммунальных услуг), а именно:

Утратило силу требования абзаца второго пункта 44 Правил предоставления коммунальных услуг предусматривающего, что распределяемый в соответствии с формулами 11 — 14 приложения N 2 Правил предоставления коммунальных услуг между потребителями объем коммунальной услуги, предоставленной на общедомовые нужды за расчетный период, не может превышать объема коммунальной услуги, рассчитанного исходя из нормативов потребления соответствующего коммунального ресурса в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме, за исключением случаев, если общим собранием собственников помещений в многоквартирном доме, проведенным в установленном порядке, принято решение о распределении объема коммунальной услуги в размере превышения объема коммунальной услуги, предоставленной на общедомовые нужды, определенного исходя из показаний коллективного (общедомового) прибора учета, над объемом, рассчитанным исходя из нормативов потребления коммунального ресурса в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме, между всеми жилыми и нежилыми помещениями пропорционально размеру общей площади каждого жилого и нежилого помещения.

Следовательно, в соответствии с требованием п.12 «Изменений, которые вносятся в акты Правительства Российской Федерации по вопросам совершенствования организации учёта электрической энергии», утвержденные Постановлением Правительства РФ от 29.06.2020 №950 с 1 июля 2020 г. расчет и распределение объема электроэнергии на общедомовые нужды в многоквартирном доме будет осуществляться исходя из фактического объема электроэнергии, зафиксированного общедомовым прибором учета.

ПАО «Саратовэнерго» напоминает своим клиентам о своевременной оплате счетов за электроэнергию. Квитанции можно оплатить с помощью онлайн-сервисов:

https://my.saratovenergo.ru/- Личный кабинет клиента для физических лиц, https://www.saratovenergo.ru/chastnym-litsam/online-payment/- онлайн-сервис по быстрой оплате электроэнергии на сайте компании, а также в кредитных организациях, почтовых отделениях и терминалах Qiwi.

Правил вероятности | Безграничная статистика

Правило сложения

Правило сложения гласит, что вероятность двух событий — это сумма вероятностей того, что одно из них произойдет, минус вероятность того, что оба события произойдут.

Цели обучения

Рассчитайте вероятность события с помощью правила сложения

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило сложения: [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ текст {B}) — \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}).[/ латекс]
• Последний член учитывался дважды: один раз в [латексе] \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] и один раз в [латексе] \ text {P} (\ text {B}) [ / latex], поэтому его нужно вычесть один раз, чтобы он не учитывался дважды.
• Если [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не пересекаются, то [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text { B}) = 0 [/ latex], поэтому формула становится [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}). [/ latex]

Ключевые термины

• вероятность : относительная вероятность того, что событие произойдет.

Закон о дополнениях

Закон вероятности сложения (иногда называемый правилом сложения или правилом сумм), утверждает, что вероятность того, что [latex] \ text {A} [/ latex] или [latex] \ text {B} [/ latex] будет Произойти — это сумма вероятностей того, что произойдет [latex] \ text {A} [/ latex] и произойдет [latex] \ text {B} [/ latex], за вычетом вероятности того, что оба [latex] \ text { A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] произойдут. Правило сложения резюмируется формулой:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B} ) — \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) [/ latex]

Рассмотрим следующий пример.При вытягивании одной карты из колоды игральных карт [latex] 52 [/ latex], какова вероятность получить черву или лицевую карту (король, дама или валет)? Пусть [latex] \ text {H} [/ latex] обозначает рисование сердца, а [latex] \ text {F} [/ latex] обозначает рисование карты лица. Так как есть [латексные] 13 [/ латексные] червы и в общей сложности [латексные] 12 [/ латексные] лицевые карты ([латекс] 3 [/ латекс] каждой масти: пики, червы, бубны и трефы), но только [latex] 3 [/ latex] лицевых карты червей, получаем:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {H}) = \ frac {13} {52} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {F}) = \ frac {12} {52} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {F} \ cap \ text {H}) = \ frac {3} {52} [/ latex]

Используя правило сложения, получаем:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {H} \ cup \ text {F}) & = \ text {P} (\ text {H}) + \ text {P} (\ text {F}) — \ text {P} (\ text {H} \ cap \ text {F}) \\ & = \ frac {13} {52} + \ frac {12} {52} — \ гидроразрыв {3} {52} \ end {align} [/ latex]

Причина вычитания последнего члена состоит в том, что в противном случае мы бы дважды считали среднюю часть (поскольку [latex] \ text {H} [/ latex] и [latex] \ text {F} [/ latex] перекрываются).

Правило сложения для непересекающихся событий

Предположим, что [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не пересекаются, их пересечение пусто. Тогда вероятность их пересечения равна нулю. В символах: [латекс] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = 0 [/ latex]. Затем закон сложения упрощается до:

[латекс] \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}) \ qquad \ text {when} \ qquad \ text {A} \ cap \ text {B} = \ emptyset [/ latex]

Символ [latex] \ emptyset [/ latex] представляет пустой набор, который указывает, что в этом случае [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] не имеют какие-либо общие элементы (они не пересекаются).

Пример:

Предположим, что карта взята из колоды из 52 игральных карт: какова вероятность получить короля или королеву? Пусть [latex] \ text {A} [/ latex] представляет событие, когда нарисован король, а [latex] \ text {B} [/ latex] представляет событие, когда нарисован ферзь. Эти два события не пересекаются, поскольку нет королей, которые также были бы королевами. Таким образом:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {A} \ cup \ text {B}) & = \ text {P} (\ text {A}) + \ text {P} (\ text {B}) \\ & = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ & = \ frac {8} {52} \\ & = \ frac {2} { 13} \ end {align} [/ latex]

Правило умножения

Правило умножения гласит, что вероятность того, что встречаются [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], равна вероятности того, что [latex] \ text {B} [/ latex] умножает на условную вероятность того, что встречается [latex] \ text {A} [/ latex], учитывая, что встречается [latex] \ text {B} [/ latex].

Цели обучения

Примените правило умножения, чтобы вычислить вероятность появления как [latex] \ text {A} [/ latex], так и [latex] \ text {B} [/ latex]

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило умножения можно записать как: [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {B}) \ cdot \ text { P} (\ text {A} | \ text {B}) [/ latex].
• Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.

Ключевые термины

• пробел : Набор всех возможных исходов игры, эксперимента или другой ситуации.

Правило умножения

В теории вероятностей правило умножения гласит, что вероятность появления [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] равна вероятности того, что [latex] \ text {A} [/ latex] умножает на условную вероятность того, что [latex] \ text {B} [/ latex] встречается, при условии, что мы знаем, что [latex] \ text {A} [/ latex] уже произошло.Это правило можно записать:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {B}) \ cdot \ text {P} (\ text {A } | \ text {B}) [/ latex]

Переключая роли [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], мы также можем записать правило как:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B } | \ text {A}) [/ latex]

Мы получаем общее правило умножения, умножая обе части определения условной вероятности на знаменатель.То есть в уравнении [латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ frac {\ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B })} {\ text {P} (\ text {B})} [/ latex], если мы умножим обе стороны на [latex] \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], мы получим Правило умножения.

Правило полезно, когда мы знаем и [латекс] \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], и [latex] \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) [/ latex] или оба [латекс] \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] и [latex] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}). [ / латекс]

Пример

Предположим, что мы извлекаем две карты из колоды карт и пусть [latex] \ text {A} [/ latex] будет событием, когда первая карта является тузом, а [latex] \ text {B} [/ latex ] Если вторая карта — туз, тогда:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A}) = \ frac {4} {52} [/ latex]

А:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} \ left ({\ text {B}} | {\ text {A}} \ right) = \ frac {3} {51} [/ latex]

Знаменатель во втором уравнении — [латекс] 51 [/ латекс], поскольку мы знаем, что карта уже разыграна.Таким образом, всего осталось [латекс] 51 [/ латекс]. Мы также знаем, что первой картой был туз, поэтому:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) & = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P } (\ text {B} | \ text {A}) \\ & = \ frac {4} {52} \ cdot \ frac {3} {51} \\ & = 0,0045 \ end {align} [/ latex]

Независимое событие

Обратите внимание, что когда [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, у нас есть [latex] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], поэтому формула становится [latex] \ text {P} (\ text {A} \ cap \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ text {P} (\ text {B}) [/ latex], с которым мы столкнулись в предыдущем разделе.В качестве примера рассмотрим эксперимент по бросанию игральной кости и подбрасыванию монеты. Вероятность того, что мы получим [латекс] 2 [/ latex] на кубике и решки на монете, равна [latex] \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1 } {12} [/ latex], поскольку два события независимы.

Независимость

Сказать, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность другого.

Цели обучения

Объяснить понятие независимости применительно к теории вероятностей

Основные выводы

Ключевые моменты

• Два события являются независимыми, если выполняются следующие условия: [latex] \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) [/ latex] , [латекс] \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex] и [латекс] \ text {P} ( \ text {A} \ \ text {и} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex].
• Если какое-либо из этих условий верно, то все они верны.
• Если события [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, то вероятность возникновения [latex] \ text {A} [/ latex] отсутствует. влияют на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex] и наоборот.

Ключевые термины

• независимость : Возникновение одного события не влияет на вероятность наступления другого.
• теория вероятностей : математическое исследование вероятности (вероятность возникновения случайных событий с целью прогнозирования поведения определенных систем).

Независимые мероприятия

В теории вероятностей утверждение, что два события независимы, означает, что возникновение одного не влияет на вероятность того, что произойдет другое. Другими словами, если события [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] независимы, то вероятность [latex] \ text {A} [/ latex] не влияет на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex] и наоборот. Концепция независимости распространяется на коллекции, состоящие из более чем двух событий.

Два события являются независимыми, если выполняется одно из следующих условий:

1. [латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} | \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) [/ latex]
2. [латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {B} | \ text {A}) = \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]
3. [латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ \ text {and} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]

Чтобы показать, что два события независимы, вы должны показать только одно из перечисленных выше условий.Если хотя бы одно из этих условий верно, то все они верны.

Переводя символы в слова, первые два математических утверждения, перечисленные выше, говорят, что вероятность события с условием такая же, как вероятность события без условия. Для независимых событий условие не меняет вероятность события. Третье утверждение говорит, что вероятность возникновения обоих независимых событий [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] такая же, как вероятность возникновения [latex] \ text { A} [/ latex], умноженное на вероятность появления [latex] \ text {B} [/ latex].

В качестве примера представьте, что вы последовательно выбираете две карты из полной колоды игральных карт. Два выбора не являются независимыми. Результат первого выбора изменяет оставшуюся колоду и влияет на вероятность второго выбора. Это называется выбором «без замены», потому что первая карта не была заменена в колоду до того, как будет выбрана вторая карта.

Однако предположим, что вы должны были выбрать две карты «с заменой», вернув свою первую карту в колоду и перетасовав колоду перед тем, как выбрать вторую карту.Поскольку колода карт является полной для обоих вариантов выбора, первый выбор не влияет на вероятность второго выбора. При выборе карт с заменой выбор не зависит.

Независимые события : Выбор двух карт из колоды, сначала выбирая одну, затем заменяя ее в колоде перед выбором второй, является примером независимых событий.

Рассмотрим роль справедливого кубика, которая представляет собой еще один пример независимых событий.Если человек, играющий роль двоих, умирает, результат первого броска не меняет вероятность результата второго броска.

Пример

Два друга играют в бильярд и решают подбросить монету, чтобы определить, кто будет играть первым в каждом раунде. В первых двух раундах монета выпадает орлом. Они решают сыграть в третий раунд и снова подбрасывают монету. Какова вероятность того, что монета снова упадет орлом?

Во-первых, обратите внимание, что каждое подбрасывание монеты — независимое событие.Сторона, на которую приземляется монета, не зависит от того, что произошло ранее.

Для любого подбрасывания монеты существует [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex] шанс, что монета упадет орлом. Таким образом, вероятность того, что монета упадет орлом во время третьего раунда, равна [latex] {\ frac {1} {2}} [/ latex].

Пример

При подбрасывании монеты, какова вероятность получить решки [латекс] 5 [/ латекс] раз подряд?

Напомним, что каждый бросок монеты независим, и вероятность выпадения решки составляет [латекс] {\ frac {1} {2}} [/ latex] для любого подбрасывания.Также напомним, что для любых двух независимых событий A и B справедливо следующее утверждение:

[латекс] \ displaystyle \ text {P} (\ text {A} \ \ text {and} \ \ text {B}) = \ text {P} (\ text {A}) \ cdot \ text {P} (\ text {B}) [/ latex]

Наконец, концепция независимости распространяется на коллекции более чем [latex] 2 [/ latex] событий.

Следовательно, вероятность получить хвосты [латекс] 4 [/ латекс] раза подряд составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2 }} = {\ frac {1} {16}} [/ latex]

Правила и методы подсчета

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий конечные или счетные дискретные структуры.

Цели обучения

Описать различные правила и свойства комбинаторики

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило суммы (правило сложения), правило произведения (правило умножения) и принцип включения-исключения часто используются для целей перечисления.
• Биективные доказательства используются, чтобы продемонстрировать, что два набора имеют одинаковое количество элементов.
• Двойной счет — это метод, используемый для демонстрации равенства двух выражений.Принцип «ящика» часто устанавливает наличие чего-либо или используется для определения минимального или максимального количества чего-либо в дискретном контексте.
• Генерирующие функции и рекуррентные отношения — мощные инструменты, которые можно использовать для управления последовательностями, и они могут описывать, если не разрешать многие комбинаторные ситуации.
• Двойной счет — это метод, используемый для демонстрации равенства двух выражений.

Ключевые термины

• полином : Выражение, состоящее из суммы конечного числа членов: каждый член является произведением постоянного коэффициента и одной или нескольких переменных, возведенных в неотрицательную целую степень.
• комбинаторика : Раздел математики, изучающий (обычно конечные) совокупности объектов, удовлетворяющих указанным критериям.

Комбинаторика — это раздел математики, изучающий конечные или счетные дискретные структуры. Комбинаторные методы применимы ко многим областям математики, и знание комбинаторики необходимо для создания прочных знаний в области статистики. Он включает в себя перечисление, комбинирование и перестановку наборов элементов и математических соотношений, которые характеризуют их свойства.

Аспекты комбинаторики включают: подсчет структур данного вида и размера, решение, когда могут быть соблюдены определенные критерии, а также создание и анализ объектов, соответствующих критериям. Аспекты также включают поиск «наибольших», «наименьших» или «оптимальных» объектов, изучение комбинаторных структур, возникающих в алгебраическом контексте, или применение алгебраических методов к комбинаторным задачам.

Комбинаторные правила и методы

Общепризнано и используется несколько полезных комбинаторных правил или комбинаторных принципов.Каждый из этих принципов используется для определенной цели. Правило суммы (правило сложения), правило произведения (правило умножения) и принцип включения-исключения часто используются для целей перечисления. Биективные доказательства используются, чтобы продемонстрировать, что два набора имеют одинаковое количество элементов. Двойной счет — это способ показать, что два выражения равны. Принцип «ящика» часто устанавливает наличие чего-либо или используется для определения минимального или максимального количества чего-либо в дискретном контексте.Формирующие функции и рекуррентные отношения — мощные инструменты, которые можно использовать для управления последовательностями, и они могут описывать, если не разрешать многие комбинаторные ситуации. Каждый из этих методов более подробно описан ниже.

Правило суммы

Правило суммы — это интуитивный принцип, гласящий, что если есть [latex] \ text {a} [/ latex] возможные способы сделать что-то, и [latex] \ text {b} [/ latex] возможные способы сделать что-то другое вещь, и две вещи не могут быть выполнены одновременно, тогда есть [latex] \ text {a} + \ text {b} [/ latex] все возможные способы сделать одну из вещей.Более формально сумма размеров двух непересекающихся множеств равна размеру объединения этих множеств.

Правило продукта

Правило продукта — это еще один интуитивный принцип, гласящий, что если есть [latex] \ text {a} [/ latex] способы сделать что-то и [latex] \ text {b} [/ latex] способы сделать что-то еще, то тогда есть [latex] \ text {a} \ cdot \ text {b} [/ latex] способы сделать и то, и другое.

Принцип включения-исключения

Принцип включения-исключения — это метод подсчета, который используется для получения количества элементов в объединении нескольких наборов.Этот метод подсчета гарантирует, что элементы, которые присутствуют более чем в одном наборе в объединении, не будут подсчитаны более одного раза. Он учитывает размер каждого набора и размер пересечения наборов. Самый маленький пример — когда есть два набора: количество элементов в объединении [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] равно сумме количество элементов в [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex] за вычетом количества элементов на их пересечении.См. Схему ниже для примера с тремя наборами.

Биективное доказательство

Биективное доказательство — это метод доказательства, который находит биективную функцию [latex] \ text {f}: \ text {A} \ rightarrow \ text {B} [/ latex] между двумя конечными наборами [latex] \ text {A} [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], что доказывает, что они имеют одинаковое количество элементов, [latex] | \ text {A} | = | \ text {B} | [/ латекс]. Биективная функция — это функция, в которой существует взаимно однозначное соответствие между элементами двух множеств.Другими словами, каждый элемент в наборе [latex] \ text {B} [/ latex] связан ровно с одним элементом в наборе [latex] \ text {A} [/ latex]. Этот метод полезен, если мы хотим узнать размер [latex] \ text {A} [/ latex], но не можем найти прямого способа подсчета его элементов. Если [латекс] \ text {B} [/ latex] легче подсчитать, то установка биекции из [latex] \ text {A} [/ latex] в [latex] \ text {B} [/ latex] решает проблему. .

Двойной счет

Двойной счет — это комбинаторный метод доказательства равенства двух выражений.Это делается путем демонстрации того, что два выражения представляют собой два разных способа подсчета размера одного набора. В этом методе конечный набор [latex] \ text {X} [/ latex] описывается с двух точек зрения, что приводит к двум различным выражениям для размера набора. Поскольку оба выражения равны размеру одного и того же набора, они равны друг другу.

Принцип голубятни

Принцип «ящика» гласит, что если каждый элемент [latex] \ text {a} [/ latex] помещается в одно из полей [latex] \ text {b} [/ latex], где [latex] \ text {a}> \ text {b} [/ latex], то хотя бы одно из ящиков содержит более одного элемента.Этот принцип позволяет продемонстрировать наличие некоторого элемента в наборе с некоторыми специфическими свойствами. Например, рассмотрим комплект из трех перчаток. В таком наборе должно быть либо две левых перчатки, либо две правые перчатки (или три левых или правых). Это применение принципа «ячеек», позволяющее получить информацию о свойствах перчаток в наборе.

Генерирующая функция

Производящие функции можно рассматривать как многочлены с бесконечным числом членов, коэффициенты которых соответствуют членам последовательности.{\ text {n}} [/ latex]

, коэффициенты которого дают последовательность [латекс] \ left \ {\ text {a} _ {0}, \ text {a} _ {1}, \ text {a} _ {2},… \ right \} [/ латекс].

Отношение повторения

Рекуррентное отношение определяет каждый член последовательности в терминах предыдущих терминов. Другими словами, как только даны один или несколько начальных терминов, каждый из следующих членов последовательности является функцией предыдущих терминов.

Последовательность Фибоначчи — один из примеров рекуррентного отношения. Каждый член последовательности Фибоначчи задается [латексом] \ text {F} _ {\ text {n}} = \ text {F} _ {\ text {n} -1} + \ text {F} _ {\ text {n} -2} [/ latex] с начальными значениями [latex] \ text {F} _ {0} = 0 [/ latex] и [latex] \ text {F} _ {1} = 1 [/ латекс].Таким образом, начинается последовательность чисел Фибоначчи:

[латекс] \ displaystyle 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… [/ latex]

Правило Байеса

Правило Байеса выражает, как субъективная степень веры должна рационально измениться, чтобы учесть свидетельства.

Цели обучения

Объясните важность теоремы Байеса в математическом манипулировании условными вероятностями

Основные выводы

Ключевые моменты

• Правило Байеса связывает шансы события [latex] \ text {A} _1 [/ latex] с событием [latex] \ text {A} _2 [/ latex], до (до) и после (после) обусловливание другого события [latex] \ text {B} [/ latex].
• Более конкретно, с учетом событий [latex] \ text {A} _1 [/ latex], [latex] \ text {A} _2 [/ latex] _, и [latex] \ text {B} [/ latex], Правило Байеса гласит, что условные шансы [latex] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex] с учетом [latex] \ text {B} [/ latex] равны предельным шансам [latex ] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex], если умножить на коэффициент Байеса.
• Правило Байеса показывает, как суждение о том, является ли [latex] \ text {A} _1 [/ latex] или [latex] \ text {A} _2 [/ latex] истинным, должно быть обновлено на основе наблюдения за доказательствами.
• Байесовский вывод — это метод вывода, в котором правило Байеса используется для обновления оценки вероятности гипотезы по мере получения дополнительных свидетельств.

Ключевые термины

• Фактор Байеса : Отношение условных вероятностей события $ B $ при условии, что $ A_1 $ имеет место, или что $ A_2 $, соответственно.

В теории вероятностей и статистике теорема Байеса (или правило Байеса) является важным результатом при математическом манипулировании условными вероятностями.Это результат, вытекающий из более основных аксиом вероятности. При применении вероятности, включенные в теорему Байеса, могут иметь любую из множества вероятностных интерпретаций. В одной из этих интерпретаций теорема используется непосредственно как часть определенного подхода к статистическому выводу. В частности, с байесовской интерпретацией вероятности теорема выражает, как субъективная степень веры должна рационально измениться, чтобы учесть свидетельства. Это известно как байесовский вывод, который является фундаментальным для байесовской статистики.

Правило Байеса связывает шансы события [latex] \ text {A} _1 [/ latex] с событием [latex] \ text {A} _2 [/ latex] до (до) и после (после) кондиционирования на другом мероприятии [latex] \ text {B} [/ latex]. Шансы на [latex] \ text {A} _1 [/ latex] на событие [latex] \ text {A} _2 [/ latex] — это просто отношение вероятностей двух событий. Отношение выражается с помощью отношения правдоподобия или байесовского фактора. По определению, это отношение условных вероятностей события [latex] \ text {B} [/ latex] с учетом того, что [latex] \ text {A} _1 [/ latex] является случаем или что [latex] \ text {A} _2 [/ latex] — это соответственно регистр.Правило просто гласит:

Апостериорные шансы равны предыдущим шансам, умноженным на коэффициент Байеса.

Более конкретно, с учетом событий [latex] \ text {A} _1 [/ latex], [latex] \ text {A} _2 [/ latex] и [latex] \ text {B} [/ latex], правило Байеса утверждает, что условные шансы [латекса] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex] с учетом [latex] \ text {B} [/ latex] равны предельным шансам [latex] \ text {A} _1: \ text {A} _2 [/ latex], умноженное на коэффициент Байеса или отношение правдоподобия. Это показано в следующих формулах:

[латекс] O (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) = \ Lambda (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) \ cdot O (\ text {A} _1: \ text {A} _2) [/ latex]

Где отношение правдоподобия [latex] \ Lambda [/ latex] — это отношение условных вероятностей события [latex] \ text {B} [/ latex] при условии, что [latex] \ text {A} _1 [/ latex ] это случай или [латекс] \ text {A} _2 [/ latex] соответственно:

[латекс] \ displaystyle \ Lambda (\ text {A} _1: \ text {A} _2 | \ text {B}) = \ frac {\ text {P} (\ text {B} | \ text {A} _1)} {\ text {P} (\ text {B} | \ text {A} _2)} [/ latex]

Правило

Байеса широко используется в статистике, науке и технике, например, в: выборе моделей, вероятностных экспертных системах на основе сетей Байеса, статистических доказательствах в судебных процессах, фильтрах спама в электронной почте и т. Д.Правило Байеса говорит нам, как связаны безусловная и условная вероятности, независимо от того, работаем ли мы с частотной или байесовской интерпретацией вероятности. Согласно байесовской интерпретации, это часто применяется в ситуации, когда [латекс] \ text {A} _1 [/ latex] и [latex] \ text {A} _2 [/ latex] являются конкурирующими гипотезами, а [latex] \ text { B} [/ latex] — некоторые наблюдаемые доказательства. Правило показывает, как следует обновлять суждение о том, является ли [latex] \ text {A} _1 [/ latex] или [latex] \ text {A} _2 [/ latex] истинным, при рассмотрении доказательств).

Байесовский вывод

Байесовский вывод — это метод вывода, в котором правило Байеса используется для обновления оценки вероятности гипотезы по мере получения дополнительных свидетельств. Байесовское обновление — важный метод всей статистики, особенно в математической статистике. Байесовское обновление особенно важно при динамическом анализе последовательности данных. Байесовский вывод нашел применение в целом ряде областей, включая науку, инженерию, философию, медицину и право.

Неофициальное определение

С рациональной точки зрения правило Байеса имеет большой смысл. Если доказательства не совпадают с гипотезой, гипотезу следует отвергнуть. Но если гипотеза крайне маловероятна a priori , ее также следует отвергнуть, даже если кажется, что доказательства совпадают.

Например, представьте, что у нас есть различные гипотезы о природе новорожденного ребенка друга, в том числе:

• [латекс] \ text {H} _1 [/ latex]: Младенец — мальчик с шатенками.
• [латекс] \ text {H} _2 [/ latex]: Ребенок — светловолосая девочка.
• [латекс] \ text {H} _3 [/ latex]: Ребенок — собака.

Затем рассмотрим два сценария:

1. Нам представлены доказательства в виде фотографии светловолосой девочки. Мы находим, что это свидетельство поддерживает [латекс] \ text {H} _2 [/ latex] и выступает против [latex] \ text {H} _1 [/ latex] и [latex] \ text {H} _3 [/ latex].
2. Нам представлены доказательства в виде фотографии собачки. Хотя это свидетельство, рассматриваемое изолированно, поддерживает [latex] \ text {H} _3 [/ latex], моя предыдущая вера в эту гипотезу (что человек может родить собаку) чрезвычайно мала.Следовательно, апостериорная вероятность все же мала.

Таким образом, критическим моментом байесовского вывода является то, что он обеспечивает принципиальный способ объединения новых свидетельств с предыдущими убеждениями посредством применения правила Байеса. Кроме того, правило Байеса можно применять итеративно. После наблюдения некоторых свидетельств результирующая апостериорная вероятность затем может рассматриваться как априорная вероятность, а новая апостериорная вероятность вычисляется на основе новых свидетельств. Это позволяет применять байесовские принципы к различным видам доказательств, независимо от того, просматриваются они все сразу или с течением времени.Эта процедура называется байесовским обновлением.

Теорема Байеса : синий неоновый знак в Autonomy Corporation в Кембридже, демонстрирующий простую формулировку теоремы Байеса.

Дело Коллинза

Народ штата Калифорния против Коллинза был судом присяжных в Калифорнии в 1968 году, в ходе которого использовалась печально известная судебно-медицинская экспертиза статистических данных и вероятностей.

Цели обучения

Спорить о причинах заблуждения прокурора

Основные выводы

Ключевые моменты

• Свидетели ограбления в Лос-Анджелесе показали, что преступниками были темнокожий мужчина с бородой и усами и женщина европеоидной расы со светлыми волосами, заплетенными в хвост.Они скрылись на желтом автомобиле.
• Свидетель обвинения, преподаватель математики, объяснил присяжным правило умножения, но не принял во внимание независимость или разницу между условной и безусловной вероятностями.
• Дело Коллинза является ярким примером феномена, известного как ошибка прокурора.

Ключевые термины

• Правило умножения : Вероятность того, что A и B возникнут, равна вероятности того, что A произойдет, умноженной на вероятность того, что B произойдет, при условии, что мы знаем, что A уже произошло.
• Ошибка прокурора : Ошибка статистического обоснования при использовании в качестве аргумента в судебном разбирательстве.

Народ штата Калифорния против Коллинза был судом присяжных в Калифорнии в 1968 году. Он широко использовал статистику и вероятность для криминалистической экспертизы. Свидетели ограбления в Лос-Анджелесе показали, что преступниками были темнокожий мужчина с бородой и усами и женщина европеоидной расы со светлыми волосами, завязанными в хвост. Они скрылись на желтом автомобиле.

Прокурор вызвал для дачи показаний преподавателя математики местного государственного колледжа. Инструктор объяснил жюри правило умножения, но не принял во внимание независимость или разницу между условной и безусловной вероятностями. Затем прокурор предположил, что присяжные будут уверены в оценке следующих вероятностей:

• Чернокожий мужчина с бородой: 1 из 10
• Мужчина с усами: 1 из 4
• Белая женщина с конским хвостом: 1 из 10
• Белая женщина со светлыми волосами: 1 из 3
• Желтый легковой автомобиль: 1 из 10
• Межрасовая пара в машине: 1 из 1000

Эти вероятности, если их рассматривать вместе, дают шанс 1 из 12 000 000, что преступление совершила любая другая пара с аналогичными характеристиками, то есть по мнению прокурора.Присяжные признали виновным.

Как видно из апелляции, Верховный суд Калифорнии отменил обвинительный приговор, критикуя статистические аргументы и не допуская вынесения решения на рассмотрение жюри присяжных. В своем решении судьи отметили, что математика:

Дело Коллинза : Дело Коллинза — классический пример ошибки прокурора. Приговор о виновности был отменен после подачи апелляции в Верховный суд Калифорнии в 1968 году.

… помогая исследователю фактов в поисках истины, не должен околдовывать его.

Заблуждение прокурора

Дело Коллинза является ярким примером феномена, известного как ошибка прокурора — ошибки статистической аргументации, используемой в качестве аргумента в судебном разбирательстве. По сути, заблуждение заключается в предположении, что априорная вероятность случайного совпадения равна вероятности невиновности обвиняемого. Например, если известно, что у преступника та же группа крови, что и у обвиняемого (и 10% населения разделяют эту группу крови), аргументировать исключительно на этом основании, что вероятность того, что обвиняемый виновен, составляет 90%, делает обвинение заблуждение (в очень простой форме).

Основная ошибка возникает из-за неправильного понимания условной вероятности и пренебрежения предыдущими шансами обвиняемого быть виновным до того, как это доказательство было представлено. Когда прокурор собрал некоторые доказательства (например, совпадение ДНК) и попросил эксперта засвидетельствовать, что вероятность найти эти доказательства, если обвиняемый был невиновен, мала, ошибка возникает, если делается вывод о том, что вероятность невиновности обвиняемого должен быть сравнительно крошечным. Если совпадение ДНК используется для подтверждения вины, которая подозревается иным образом, то это действительно веское доказательство.Однако, если доказательство ДНК является единственным доказательством против обвиняемого, и обвиняемый был выбран из большой базы данных профилей ДНК, то вероятность случайного совпадения может быть уменьшена. Следовательно, это менее опасно для ответчика. Шансы в этом сценарии не связаны с вероятностью быть виновным; они связаны с шансами быть выбранными наугад.

Правило сложения для определения вероятностей

Что такое правило сложения вероятностей?

Правило сложения для вероятностей описывает две формулы: одна для вероятности одного из двух взаимоисключающих событий, а другая — для вероятности двух не исключающих друг друга событий.

Первая формула — это просто сумма вероятностей двух событий. Вторая формула — это сумма вероятностей двух событий за вычетом вероятности того, что оба они произойдут.

Ключевые выводы

• Правило сложения для вероятностей состоит из двух правил или формул, одна из которых учитывает два взаимоисключающих события, а другая — два не исключающих друг друга события.
• Не исключающие друг друга означает, что между двумя рассматриваемыми событиями существует некоторое перекрытие, и формула компенсирует это путем вычитания вероятности перекрытия P (Y и Z) из суммы вероятностей Y и Z.
• Теоретически первая форма правила является частным случаем второй формы.

Формулы для правил сложения вероятностей —

Математически вероятность двух взаимоисключающих событий обозначается следующим образом:

п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z)

Математически вероятность двух не исключающих друг друга событий обозначается следующим образом:

п ( Y или Z ) знак равно п ( Y ) + п ( Z ) — п ( Y а также Z ) P (Y \ text {или} Z) = P (Y) + P (Z) — P (Y \ text {и} Z) P (Y или Z) = P (Y) + P (Z) −P (Y и Z)

Что вам говорит правило сложения вероятностей?

Чтобы проиллюстрировать первое правило правила сложения вероятностей, рассмотрим кубик с шестью гранями и шансами на выпадение 3 или 6.Поскольку шансы выпадения 3 равны 1 из 6, а шансы выпадения 6 также 1 из 6, вероятность выпадения 3 или 6 составляет:

1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Чтобы проиллюстрировать второе правило, рассмотрим класс, в котором 9 мальчиков и 11 девочек. В конце семестра 5 девочек и 4 мальчика получают оценку B. Если студент выбран случайно, каковы шансы, что он будет девочкой или четвертым? Поскольку шансы выбрать девушку составляют 11 из 20, шансы выбрать ученицу B равны 9 из 20, а шансы выбрать девушку, которая является ученицей B, составляют 5/20, шансы выбрать девушку или ученицу B находятся:

11/20 + 9/20 — 5/20 = 15/20 = 3/4

На самом деле два правила упрощаются до одного правила, второго.Это потому, что в первом случае вероятность двух взаимоисключающих событий равна 0. В примере с кубиком невозможно бросить одновременно 3 и 6 при одном броске одного кубика. Таким образом, эти два события исключают друг друга.

Взаимная эксклюзивность

Взаимоисключающие — это статистический термин, описывающий два или более событий, которые не могут совпадать. Он обычно используется для описания ситуации, когда возникновение одного результата заменяет другой. В качестве основного примера рассмотрим бросание игральных костей.Вы не можете бросить одновременно пятерку и тройку на одном кубике. Кроме того, получение тройки при начальном броске не влияет на то, дает ли последующий бросок пятерку. Все броски кубика — независимые события.

Вероятность

независимых событий: правило «хотя бы одно» — видео и стенограмма урока

«По крайней мере одно правило»

Иногда при вычислении независимых событий важно, чтобы событие произошло хотя бы один раз. Это называется правилом «По крайней мере один» .Чтобы рассчитать вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, это будет дополнение к событию, которое никогда не произойдет. Это означает, что вероятность того, что событие никогда не произойдет, и вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, будет равна единице или 100% -ному шансу.

Например, вероятность выиграть главный приз в местном розыгрыше составляет 1 из 30. Тим и его жена Джейн купили билеты. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет главный приз? Сначала нам нужно определить вероятность того, что Тим и Джейн не выиграют главный приз.Поскольку вероятность того, что один человек выиграет приз, составляет 1 из 30, вероятность того, что один человек не выиграет главный приз, составляет 29/30, или 0,96.

Помните, что для расчета вероятности нескольких независимых событий — в данном случае, когда оба они не выиграют главный приз — мы находим вероятность того, что каждое событие произойдет отдельно, и умножаем их вместе. Поскольку и Тим, и Джейн имеют одинаковую вероятность не выиграть, нам нужно возвести в квадрат вероятность того, что кто-то не выиграет.2 = 0,935.

Таким образом, вероятность того, что ни Тим, ни Джейн не выиграют главный приз, составляет 0,935. Чтобы вычислить вероятность того, что хотя бы один из них выиграет главный приз, нам нужно найти дополнение к этому числу. Вероятность не выигрыша плюс вероятность хотя бы одного выигрыша равняется целому. Таким образом, вычитая 1–0,935, мы видим, что вероятность того, что Тим или Джейн выиграют главный приз, составляет 0,065, или 6,5%.

Когда диктор подходит к микрофону, чтобы назвать выигрышный билет, Тиму и Джейн не нравятся их шансы.Диктор подходит к микрофону и выкрикивает имя Джейн. Джейн так взволнована и прыгает от радости, что ей удалось превзойти все шансы на получение главного приза.

Пример

Давайте посмотрим на другой пример. Тим и Джейн планируют потратить свой главный приз на четырехдневную лыжную прогулку. Они хотят быть уверены, что снег будет хотя бы один день, пока они в пути. На горнолыжном курорте, который они забронировали, есть вероятность 65%, что снег будет идти каждый день. Какова вероятность того, что во время их четырехдневной лыжной поездки хотя бы один день пойдет снег?

Первый шаг для расчета вероятности выпадения снега хотя бы в один день — это определить вероятность того, что снегопад не будет во время их четырехдневной поездки.4, что составляет 0,015. Вероятность того, что за их четырехдневную поездку вообще не будет снега, составляет 0,015.

Чтобы рассчитать вероятность того, что по крайней мере один день будет снег, нам нужно вычислить дополнение этого события. Для этого вычтем 1 — 0,015, что равно 0,985. Тим и Джейн знают, что вероятность выпадения снега хотя бы в один день во время их лыжной поездки составляет 0,985 или 98,5%. Когда Тим и Джейн прибывают на горнолыжный курорт, начинает падать снег. Это самое красивое зрелище, которое они когда-либо видели.

Сводка урока

Итак, независимых события — это события, которые не влияют на результат последующих событий. В независимом событии каждая ситуация отличается от предыдущих событий. Иногда при вычислении независимых событий важно, чтобы событие произошло хотя бы один раз. Это называется правилом «По крайней мере один» . Чтобы рассчитать вероятность того, что событие произойдет хотя бы один раз, она будет дополнением к вероятности того, что событие никогда не произойдет.При расчете этой суммы вы можете использовать экспоненты, чтобы умножить количество произошедших событий.

Результат обучения

После просмотра этого урока вы должны быть в состоянии интерпретировать процесс дополнительных событий, чтобы узнать вероятность того, что что-то произойдет хотя бы один раз.

Основная теория вероятностей: правила и формулы — видео и стенограмма урока

Визуализация вероятностей

Существует несколько способов визуализировать вероятности, но самый простой способ представить их — использовать метод дроби : превратить члены в дроби, разделив количество желаемых результатов на общее количество возможные исходы.Это всегда даст вам число от 0 до 1. Например, каковы шансы выпадения нечетного числа на 6-гранном кубике? Всего существует шесть чисел и три нечетных числа: 1, 3 и 5. Таким образом, вероятность выпадения нечетного числа равна 3/6 или 0,5. Вы можете использовать эту формулу при выполнении более сложных вычислений, как мы увидим позже в уроке.

В этой формуле:

• P (A) читается как «вероятность A », где A — это интересующее нас событие.
• P (A | B) читается как «вероятность появления A при наличии B ».
• P (не A) читается как «вероятность не A » или «вероятность того, что A не произойдет».

Правила вероятности

Есть три основных правила, связанных с базовой вероятностью: правило сложения, правило умножения и правило дополнения. Вы можете думать о правиле дополнения как о «правиле вычитания», если оно помогает вам его запомнить.

1.) Правило сложения : P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)

Если A и B — взаимоисключающих события , или те, которые не могут встречаться вместе, то третий член равен 0, и правило сводится к P (A или B) = P (A) + P (B) . Например, вы не можете подбросить монету, и она выпадет орлом и решкой за один бросок.

2.) Правило умножения : P (A и B) = P (A) * P (B | A) или P (B) * P (A | B)

Если A и B равны независимых события , мы можем сократить формулу до P (A и B) = P (A) * P (B) .Термин «независимый» относится к любому событию, результат которого не зависит от результата другого события. Например, рассмотрим второй из двух подбрасываний монеты, для которого вероятность выпадения орла все еще составляет 0,50 (50%), независимо от того, что выпало при первом подбрасывании. Какова вероятность того, что во время двух подбрасываний монеты вы получите решку при первом подбрасывании и орел при втором подбрасывании?

Выполним вычисления: P = P (хвосты) * P (головы) = (0,5) * (0,5) = 0,25

3.) Правило дополнения : P (не A) = 1 — P (A)

Понимаете ли вы, почему правило дополнения также можно рассматривать как правило вычитания? Это правило основывается на взаимоисключающем характере P (A) и P (не A) . Эти два события никогда не могут произойти вместе, но одно из них должно произойти всегда. Следовательно, P (A) + P (не A) = 1. Например, если метеоролог говорит, что вероятность дождя завтра составляет 0,3, какова вероятность того, что дождя не будет?

Давайте посчитаем: P (без дождя) = 1 — P (дождь) = 1 — 0.3 = 0,7

Закон полной вероятности

Закон полной вероятности : P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | not B) * P (not B)

Например, какова вероятность того, что любимый цвет человека будет синим, если вы знаете следующее:

• У левшей синий цвет является любимым цветом в 30% случаев
• Правши любят синий в 40% случаев
• Левши составляют 10% населения

Завершим уравнение:

1.) P (синий) = P (левша) * P (как синий | левша) + P (не левша) * (P (как синий | не левша)

2.) P ( Синий) = (0,1) (0,3) + (0,9) (0,4)

3.) P (Синий) = 0,03 + 0,36 = 0,39

Следовательно, вероятность того, что любимым цветом человека будет синий, составляет 39%.

Теорема Байеса

Теорема Байеса — это метод работы с условными свойствами. В нем говорится, что:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / P (B)

Использование закона полной вероятности для разложения P (B) Байеса ‘, мы также можем написать:

P (A | B) = {P (B | A) * P (A)} / {P (A) * P (B | A) + P (not A) * P (B | not A)}

Вы можете использовать теорему Байеса для вычисления P (A | B) , если у вас ограниченная информация о других величинах.Например, предположим, что случайно выбранный гонщик на Тур де Франс дал положительный результат на препараты, повышающие производительность. Тест имеет точность 95%. Насколько велика вероятность того, что этот спортсмен причастен к незаконной деятельности, если 1% спортсменов обманывают таким образом?

Давайте составим наше уравнение и выполним вычисления:

1.) P (Cheat | Positive) = {P (Positive | Cheat) * P (Cheat)} / {P (Positive | Cheat) * P ( Чит) + P (Положительный | не Чит) * P (Не Чит)}

2.) P (Чит | Положительный) = (0.95) (0,01) / {(0,95) (. 01) + (. 05) (. 99)}

3.) P (Чит | Положительный) = .0095 / .0095 + .0495

4 .) P (Cheat | Positive) = 0,0095 / 0,059

5.) P (Cheat | Positive) = 0,1610

Затем мы следуем математическим правилам для преобразования десятичной дроби в дробь и завершаем операция:

100% — 16,1% = 83%

Несмотря на то, что тест достаточно точен, и этот гонщик дал положительный результат, наши результаты дают нам ответ, отличный от того, которого мы могли ожидать.После расчета вероятности появляется 83% вероятность, что этот гонщик не делает ничего противозаконного!

Краткое содержание урока

Вероятность относится к числу от 0 до 1 и включает взаимоисключающие или независимые события. Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно, а независимых события не влияют на вероятность друг друга.

Есть три основных правила, связанных с вероятностью: правила сложения, умножения и дополнения.

• Правило сложения используется для вычисления вероятности возникновения события A или события B; мы выражаем это как: P (A или B) = P (A) + P (B) — P (A и B)
• Правило умножения используется для определения вероятности того, что события A и B произойдут; мы выражаем это как: P (A и B) = P (A) * P (B | A) или P (B) * P (A | B)
• Правило дополнения гласит, что P (не A) = 1 — P (A)

Закон полной вероятности может облегчить вычисление вероятности при наличии некоторых других фактов; мы выражаем это как:

P (A) = P (A | B) * P (B) + P (A | not B) * P (not B)

Мы также можем использовать теорему Байеса для вычисления условных вероятностей:

P (A | B) = {P (B | A) x P (A)} / P (B)

Правил вероятности

Часто мы хотим вычислить вероятность события из известных вероятности других событий.В этом уроке рассматриваются некоторые важные правила которые упрощают эти вычисления.

Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео в формате HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (например, последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеоматериал об этом уроке.

Определения и обозначения

Прежде чем обсуждать правила вероятности, мы сформулируем следующие определения:

• Два события взаимно эксклюзивный или непересекающийся если они не могут произойти одновременно.
• Вероятность того, что событие A произойдет, при условии, что событие B произошло, называется условная вероятность . Условная вероятность Событие A, данное Событие B, обозначается символом P (A | B).
• Дополнение события — это событие, которое не произошло. Вероятность того, что Событие A произойдет , а не , обозначается P (A ‘).
• Вероятность того, что События A и B , оба , произойдут, равна вероятность пересечения A и B.Вероятность пересечения Событий A и B обозначается через P (A ∩ B). Если события A и B взаимоисключающие, P (A ∩ B) = 0.
• Вероятность того, что События A или B произойдут, равна вероятность объединения A и B. Вероятность объединения событий A и B обозначается как P (A ∪ B).
• Если наступление События А изменяет вероятность Событие B, затем события A и B зависят от . С другой стороны, если возникновение события А не изменится вероятность события B, то события A и B равны независимый .

Правило вычитания

В предыдущий урок, мы узнали два важных свойства вероятности:

• Вероятность события колеблется от 0 до 1.
• Сумма вероятностей всех возможных событий равна 1.

Правило вычитания следует непосредственно из этих свойств.

Правило вычитания . Вероятность то, что событие A произойдет, равно 1 минус вероятность того, что событие A произойдет , а не происходить.

P (A) = 1 — P (A ‘)

Предположим, например, что вероятность того, что Билл закончит колледж составляет 0,80. Какова вероятность того, что Билл не закончит колледж? Исходя из правила вычитания, вероятность того, что Билл не получит диплом составляет 1,00 — 0,80 или 0,20.

Правило умножения

Правило умножения применяется к ситуации, когда мы хотим знать вероятность пересечения двух событий; то есть мы хотим знать вероятность того, что произойдут два события (событие A и событие B).

Правило умножения вероятность того, что оба события A и B произойдут, равна равна вероятности того, что Событие А произойдет, умноженной на вероятность того, что Событие B происходит при условии, что произошло событие A.

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)

Пример
Урна содержит 6 красных шариков и 4 черных шарика. Нарисовано два шарика без замена из урны. Какова вероятность того, что оба мраморы черные?

Решение: Пусть A = событие, когда первый шарик черный; и пусть B = случай, когда второй шарик черный.Нам известно следующее:

• Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (A) = 4/10.
• После первого выбора в урне 9 шариков, 3 из которых чернить. Следовательно, P (B | A) = 3/9.

Следовательно, исходя из правила умножения:

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)
P (A ∩ B) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15 = 0,133

Правило сложения

Правило сложения применяется к следующей ситуации.У нас есть два события, и мы хотим знать вероятность того, что произойдет какое-либо событие.

Правило сложения Вероятность того, что Происходит событие A или событие B равна вероятности того, что Событие А произойдет, плюс вероятность того, что Событие B происходит минус вероятность того, что оба события A и B.

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) — P (A ∩ B)

Примечание: Учитывая тот факт, что P (A ∩ B) = P (A) P (B | A), правило сложения также может быть выражено как:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) — P (A) P (B | A)

Пример
Учащийся идет В библиотеку.Вероятность того, что она проверяет (а) работу художественной литературы составляет 0,40, (б) научно-популярное произведение составляет 0,30, и (в) обе художественные а научно-популярная — 0,20. Какова вероятность того, что студент получит художественная литература, документальная литература или и то, и другое?

Решение: Пусть F = событие, когда студент проверяет художественную литературу; и разреши N = событие, когда учащийся просматривает научную литературу. Затем по правилу сложения:

P (F ∪ N) = P (F) + P (N) — P (F ∩ N)
P (F ∪ N) = 0,40 + 0.30 — 0,20 = 0,50

Проверьте свое понимание

Задача 1

Урна содержит 6 красных шариков и 4 черных шарика. Нарисованы два шарика с заменой из урны. Какова вероятность того, что оба мраморы черные?

(A) 0,16
(B) 0,32
(C) 0,36
(D) 0,40
(E) 0,60

Решение

Правильный ответ A. Пусть A = событие, когда первый шарик черный ; и пусть B = случай, когда второй шарик черный.Нам известно следующее:

• Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (A) = 4/10.
• После первого выбора мы заменяем выбранный мрамор; так что есть еще В урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (B | A) = 4/10.

Следовательно, исходя из правила умножения:

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)
P (A ∩ B) = (4/10) * (4/10) = 16/100 = 0,16

Калькулятор вероятности

Используйте калькулятор вероятности для вычисления вероятности событие из известных вероятностей других событий.Вероятность Калькулятор бесплатный и простой в использовании. Калькулятор вероятности можно найти в Stat Trek. главное меню на вкладке Stat Tools. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Калькулятор вероятностей

Задача 2

Карта случайным образом вытягивается из колоды обычных игральных карт. Вы выиграете 10 долларов, если карта — пика или туз. Какова вероятность того, что вы выиграете игра?

(A) 1/13
(B) 13/52
(C) 4/13
(D) 17/52
(E) Ничего из вышеперечисленного.

Решение

Правильный ответ — C. Пусть S = событие, когда карта является пикой; и пусть A = событие, что карта — туз. Нам известно следующее:

• В колоде 52 карты.
• Пиков 13, поэтому P (S) = 13/52.
• Есть 4 туза, поэтому P (A) = 4/52.
• Есть 1 туз, который также является пикой, поэтому P (S ∩ A) = 1/52.

Следовательно, исходя из правила сложения:

P (S ∪ A) = P (S) + P (A) — P (S ∩ A)
P (S A) = 13/52 + 4 / 52 — 1/52 = 16/52 = 4/13

Правило сложения в вероятности

Если А а также B являются двумя событиями в вероятностном эксперименте, то вероятность того, что произойдет одно из событий, равна:

п ( А или B ) знак равно п ( А ) + п ( B ) — п ( А а также B )

Это можно представить в виде Диаграмма Венна в качестве:

п ( А ∪ B ) знак равно п ( А ) + п ( B ) — п ( А ∩ B )

Если А а также B два взаимоисключающие события , п ( А ∩ B ) знак равно 0 .Тогда вероятность того, что произойдет одно из событий, равна: п ( А или B ) знак равно п ( А ) + п ( B )

Это может быть представлено на диаграмме Венна как:

п ( А ∪ B ) знак равно п ( А ) + п ( B )

Пример:

Если вы вытащите одну карту из обычной колоды карт, какова вероятность того, что это туз или пика?

Позволять Икс быть событием выбора туза и Y быть событием выбора лопаты.

п ( Икс ) знак равно 4 52

п ( Y ) знак равно 13 52

Эти два события не исключают друг друга, так как есть один благоприятный исход, при котором карта может быть как тузом, так и пикой.

п ( Икс а также Y ) знак равно 1 52

п ( Икс или Y ) знак равно 4 52 + 13 52 — 1 52 знак равно 16 52 знак равно 4 13

Правило сложения для вероятностей — обзор, расчет, пример

Что такое правило сложения для вероятностей?

При наличии нескольких событий правило сложения вероятностей используется для вычисления вероятности того, что произойдет хотя бы одно из событий.Вероятность можно определить как раздел математики, который количественно определяет достоверность или неопределенность события или набора событий.

Связанные концепции

Прежде чем понимать правило сложения, важно понять несколько простых концепций:

• Пространство выборки : это набор всех возможных событий. Например, при подбрасывании монеты пробелом будет {орел, решка}, потому что орел и решка — все возможные результаты.
• Событие : Вероятно, событие определяется как конкретный результат.Например, подбросить монетку и получить орел — это событие.
• Взаимоисключающие события : это события, при которых одно происходит, другое не может произойти. Опять же, в примере с монетой, если мы получаем орел, мы не можем получить решку. Следовательно, эти два события являются взаимоисключающими.
• Взаимные исчерпывающие события : События, которые вместе охватывают все пространство выборки. В случае подбрасывания монеты, выпадение орла и выпадения решки являются взаимно исчерпывающими, поскольку все пространство выборки составляет {орла, решка}.
• Независимые события : События, которые происходят независимо друг от друга. Например, при подбрасывании двух монет результат второй монеты не зависит от результата первой монеты.

Формула для вычисления вероятности двух событий A и B имеет следующий вид:

Где:

• P (A ∪ B) — Вероятность того, что произойдет либо A, либо B
• P (A) — Вероятность события A
• P (B) — Вероятность события B
• P (A ∩ B) — Вероятность того, что A и B произойдут вместе

Следующий Венн На диаграмме показано, как и почему работает формула:

Как показано выше, мы вычитаем член P (AB), потому что он будет учитываться дважды при сложении P (A) и P (B).

Расчет P (A ∩ B)

Вероятность того, что оба события A и B произойдут — P (A ∩ B) — можно легко вычислить, если события независимы друг от друга, умножив две вероятности P (A ) и P (B), как показано ниже:

Если A и B — независимые события, то:

Если события A и B не являются независимыми друг от друга, вероятность можно вывести из характера событий, иначе это трудно определить.

Взаимоисключающие события

В случае взаимоисключающих событий Взаимоисключающие события В статистике и теории вероятности два события являются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Самый простой пример взаимоисключающего действия: вероятность того, что оба события произойдут одновременно, по определению равна нулю, потому что если одно произойдет, то другое событие не произойдет. Следовательно, для взаимоисключающих событий A и B существует:

Обратите внимание на тот факт, что взаимоисключающие события не являются независимыми, потому что если и P (A), и P (B) имеют ненулевые вероятности, то P (AB) = P (A) * P (B) не может быть нулевым.Фактически, по самому своему определению взаимоисключающих событий они зависят от того, что другое событие не происходит. Схема ниже иллюстрирует концепцию:

Числовой пример

Давайте перейдем к числовому примеру, который иллюстрирует концепцию. Предположим, два независимых события, A и B. Пусть P (A) = 0,6 и P (B) = 0,4. Тогда P (A ∪ B) определяется как:

P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,6 * 0,4 = 0,24

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) — P (AB) = 0.6 + 0,4 — 0,24 = 0,76

Следовательно, P (A ∪ B) составляет 76% .

Производные правила

Правило сложения для вероятностей дает некоторые другие правила, которые можно использовать для вычисления других вероятностей.

Взаимоисключающие события

Для взаимоисключающих событий совместная вероятность P (A ∪ B) = 0. Отсюда получаем:

Вероятность только одного из двух событий

Вероятность Ровно одно из двух событий можно вычислить, просто изменив правило сложения следующим образом:

Дополнительные ресурсы

CFI является официальным поставщиком глобальной страницы программы коммерческого банковского и кредитного анализа (CBCA) ™. CBCAG Получите сертификат CBCA ™ CFI и станьте коммерческим банковским и кредитным аналитиком.Зарегистрируйтесь и продвигайтесь по карьерной лестнице с помощью наших программ и курсов сертификации. программа сертификации, призванная помочь любому стать финансовым аналитиком мирового уровня. Чтобы продолжить карьеру, вам будут полезны следующие дополнительные ресурсы CFI:

• Зависимые события против независимых событий Зависимые события против независимых событий В математике, особенно в статистике, события часто классифицируются как зависимые или независимые. Основное практическое правило: наличие или отсутствие теории игр
• Теория игр Теория игр — это математическая основа, разработанная для решения проблем с конфликтующими или сотрудничающими сторонами, которые способны принимать рациональные решения.Количественный анализ
• Количественный анализ Количественный анализ — это процесс сбора и оценки измеримых и проверяемых данных для понимания поведения и эффективности бизнеса.