Поверхностный эффект и эффект близости
Сопротивление проводника неизменному току определяется по известной формуле rо=ρl/S.
Это сопротивление можно также найти, зная величину неизменного тока Iо и мощность Ро:
rо = Pо / Iо2
Оказывается, что в цепи переменного тока сопротивление r такого же проводника больше сопротивления постоянному току: r > rо
Это сопротивление r в отличие от сопротивления неизменному току rо и носит заглавие активного сопротивления. Повышение сопротивления проводника разъясняется тем, что при переменном токе плотность тока не схожа в разных точках поперечного сечения проводника. Уповерхности проводника плотность тока выходит больше, чем при неизменном токе, а и центре меньше.
При высочайшей частоте неравномерность проявляется так резко, что плотность тока в значимой центральной чисти сечения проводника фактически равна нулю, ток проходит исключительно в поверхностном слое, отчего это явление и получило заглавие поверхностного эффекта.
Таким макаром, поверхностный эффект приводит к уменьшению сечения проводника, по которому проходит ток (активного сечения), и, как следует, к повышению его сопротивления по сопоставлению с сопротивлением неизменному току.
Для разъяснения предпосылки появления поверхностного эффекта представим цилиндрический провод (рис. 1) состоящим из большего числа простых проводников схожего сечения, прилегающих впритирку друг к другу и расположенных концентрическими слоями.
Сопротивления этих проводников неизменному току, отысканные по формуле ρl/S будут схожи.
Рис. 1. Магнитное поле цилиндрического проводника.
При переменном электронном токе вокруг каждого проводника создается переменное магнитное поле (рис. 1). Разумеется, простый проводник, расположенный поближе к оси, охватывается огромным магнитным потоком проводник, расположенный у поверхности провода, потому 1-ый обладает большей индуктивностью и индуктивным сопротивлением, чем 2-ой.
При схожем напряжении на концах простых проводников длиной l, расположенных у оси и у поверхности, плотность тока в первых меньше, чем во вторых.
Разница в плотностях тока у оси и на периферии провода растет с повышением поперечника провода d, проводимости материала γ, магнитной проницаемости материала μ и частоты переменного токаf.
Отношение активного сопротивления проводника r к его сопротивлению при. неизменном, токе rо именуется коэффициентом поверхностного эффекта и обозначается буковкой ξ (кси), как следует, коэффициент ξ можно найти по графику рис. 2, на котором представлена зависимость ξ от произведения d и √γμμоf.
Рис. 2. График для определения коэффициента поверхностного эффекта.
При вычислении этого произведения следует выражать d в см, γ — в 1/ом-см, μо — в гн/см и f = в гц.
Пример. Нужно найти коэффициент поверхностного эффекта для медного проводника поперечником d= 11,3 мм (S = 100 мм2) при частоте f = 150 гц.
Произведение d√γμоf.
По графику на рис. 2 находим ξ = 1,03
Неодинаковая плотность тока в проводе выходит также из-за воздействия токов в примыкающих проводах. Это явление именуется эффектом близости.
Рассматривая магнитное поле токов одною направления в 2-ух параллельно расположенных проводах, просто показать, что те простые проводники, принадлежащие различным проводам, которые более удалены друг от друга, сцеплены с минимальным магнитным потоком, как следует, плотность тока в их большая. Если токи в параллельных проводах имеют, различные направления, то можно показать, что большая плотность тока наблюдается в тех простых проводниках, принадлежащих различным проводам, которые более сближены вместе.
Школя для электрика -http://electricalschool.info/
Лекция 12 (часть 2)
31
СОДЕРЖАНИЕ
1. Поверхностный эффект ……………………………………………………..2
2. Электрический поверхностный эффект на примере шины прямоугольного сечения …………………………………………………….3
3. Расчёт комплексного сопротивления шины ………………………………9
4. Магнитный поверхностный эффект ………………………………………11
5. Расчёт комплексной мощности в листе, обтекаемом синусоидальным магнитным потоком ……………………………………15
6. Анализ выражений для удельной комплексной мощности ……………17
7. Приближённые способы расчёта комплексной мощности в стальном листе, обтекаемом магнитным потоком .……………………..18
8. Электрический поверхностный эффект в проводнике круглого сечения …………………………………………………………….21
9. Эффект близости ……………………………………………………………..26
10. Комплексное сопротивление шины при наличии эффекта близости ………………………………………………………………………30
11. Параметры однофазного шинопровода …………………………………33
12. Электромагнитные поля и параметры шин трёхфазного шинопровода ………………………………………………………………..34
13. Расчёт поля в шинах С, В, А ………………………………………………36
14. Расчёт комплексного сопротивления шины ……………………………38
15. Эквивалентные схемы замещения трёхфазного шинопровода при симметричной системе токов …………………………………………40
16. Электромагнитное поле в оболочке кабеля …………………………….45
17. Комплексное сопротивление оболочки ………………………………….47
18. Список литературы …………………………………………………………49
Поверхностный эффект
Экспериментально установлено и теоретически подтверждено, что переменный электрический ток (в том числе и синусоидальный) в отличие от постоянного неравномерно распределяется по сечению токопровода. При этом всегда существует тенденция вытеснения тока из внутренней части проводника в периферийную, т.е. плотность тока в проводнике возрастает по мере перемещения из глубины к поверхности провода. Это явление называют
Ранее
указывалось, что вектор Пойнтинга имеет
нормальную к боковой поверхности
проводника составляющую, и это
свидетельствует о проникновении в
проводник энергии из окружающего
пространства через эту поверхность.
Одновременно отмечалось, что
электромагнитные волны распространяются
в направлении вектора Пойнтинга и в
проводящей среде затухают в том же
направлении. Но если это так, то в
проводнике, обтекаемом током, плотность
тока, а также электрическая и магнитная
напряженности у поверхности должны
быть больше, чем в глубине. Электрическому
поверхностному эффекту может быть дано
и другое более наглядное объяснение.
Если токопровод обтекается синусоидальным
током, то его внутренние части сцеплены
с большим магнитным потоком по сравнению
с периферийными, и поэтому в них в
соответствии с законом электромагнитной
индукции будут наводиться большие
Если частота тока и параметры таковы, что глубина проникновения волны много меньше поперечного сечения проводника ( Δ«d ), то ток в проводнике будет сосредоточен лишь в тонком поверхностном слое, толщина которого практически определяется глубиной проникновения волны. Такой поверхностный эффект называют ярко выраженным.
Если глубина проникновения волны соизмерима с габаритными размерами, то проводник называют прозрачным и считают, что по сечению этого проводника ток распределяется практически равномерно.
Если в проводящем ферромагнетике замыкается переменный магнитный поток, то он также вытесняется на поверхность магнитопровода, в поверхностном слое возрастают магнитная индукция и напряженность, а это влечет за собой увеличение плотности вихревого тока и джоулевых потерь.
При магнитном поверхностном эффекте также вводится в рассмотрение глубина проникновения волны, и при условии, что Δ«d, эффект считается ярко выраженным. Явление магнитного поверхностного эффекта широко используется в электротермии, однако в электрических машинах, трансформаторах и других подобных установках проявление этого эффекта крайне нежелательно.
Электрический поверхностный эффект на примере шины прямоугольного сечения
На рис. 1 изображена шина прямоугольного сечения, обтекаемая током I. Поле в шине удовлетворяет уравнению Гельмгольца
Рис.1
Внутри шины существуют электромагнитное поле и ток проводимости. За пределами шины (удельная проводимость (γ=0) ток проводимости (δ=0) отсутствует, но электрическое и магнитное поля существуют. Так как внутреннее и внешнее электромагнитные поля взаимосвязаны, то при решении задачи о расчете поля внутри шины необходимо знать законы распределения поля и за ее пределами.
Таким образом, при строгом подходе нужно решать задачу о расчете поля во всем пространстве — внутри и за пределами шины.
Так как эта задача очень сложна для точного аналитического решения, сформулируем такие условия и допущения, при которых задачу о поверхностном эффекте в шине можно будет решить приближенно с хорошей точностью. Сначала рассмотрим поле в круглом проводе (рис. 2).
Рис.2
Рис.3
Магнитные линии представляют собой концентрические окружности. В данном примере поток, обусловленный током в проводе, разделяется на две составляющие — внутренний и внешний. Это свойство круглого провода используется в инженерной практике при определении внутренней индуктивности провода. Как видно из рис. 3, при квадратном сечении провода такое четкое разграничение потоков сделать нельзя, так как контур сечения уже не является силовой линией.
Определим, какое влияние оказывает геометрия шины (h/2a) на распределение поля в ее объеме. Из рис. 4 следует, что по мере увеличения относительных размеров (h/2а) силовые линии внутри шины начинают принимать очертания, приближающиеся к форме внешнего контура шины. Если же отношение h/2a » 1 (рис. 5), то практически во всем объеме шины вектор магнитной напряженности становится направленным вдоль большей боковой поверхности шины, т. с. в сторону координаты у.
Если теперь пренебречь краевыми эффектами, то для шины при h » 2a возможно решение задачи в системе координат (х, у, z) в предположении, что
, ,
, .
Рис.4 Рис. 5
Поставим задачу: рассчитать распределение поля Е и Н в объеме прямоугольной шины (рис. ПО) и вычислить ее комплексное сопротивление синусоидальному току, если шина h/2a » 1 обтекается током I с частотой ω.
Рис. 6 Рис. 7
Параметры среды: μ, γ. Принятое допущение Ė=Ėx(z) приводит к уравнению Гельмгольца (индекс х в дальнейшем опустим) относительно вектора электрической напряженности
, (5.34)
где .
Решением уравнения (5.34) является совокупность экспоненциальных функций
, (5.35)
. (5-36)
Запишем общее решение для , используя второе уравнение Максвелла . Поскольку в рассматриваемом случае , то
. (5.37)
С учётом (5.35)
. (5.38)
Далее отыщем постоянные интегрирования С1 и С2. Поскольку исследуемое поле обладает симметрией , следовательно, из (5.35) имеем
.
Очевидно, что последнее равенство справедливо, если С1=С2=С/2.
Тогда с учётом условия симметрии выражения (5.35) и (5.38) будут иметь вид соответственно
, (5.39)
. (5.40)
Постоянная интегрирования С пропорциональна заданному в шине току I.
Выделим некоторый участок dS= hdz (рис. 7). Тогда
(5.41)
Учтем далее, что и, подставив (5.39) в (5.40), получим
J n
.Отсюда находим . (5.42)
В итоге окончательное решение для Ė имеет вид:
. (5.43)
Подстановка (5.42) в (5.40) с учетом (5.34) позволяет получить решение для магнитной напряженности:
. (5.44)
Таким образом, (5.43) и (5.44) есть окончательные выражены для электрической и магнитной напряженностей и в объем шины.
Интерес представляет качественный анализ распределения плотности тока в объеме шины (рис.8). В соответствии с законом Ома для плотности тока в шине имеем
.
Рис. 8
Картина распределения δ(z), очевидно, будет зависеть от коэффициента распространения .
Если на низких частотах параметр а/∆ мал (ра << 1), то при малом аргументе shpz≈1, Shpa≈pa и тогда
Таким образом при этих условиях ток равномерно распределяется по шине и поверхностный эффект не проявляется. По мере роста частоты картина изменяется, поскольку с ростом параметра (ра) увеличивается неравномерность распределения тока по сечению шины.
Рис. 9
Из графика на рис.9 видно, что при переходе через начало координат функция H(z) меняет знак. Кроме того, на поверхности шины , что соответствует закону полного тока. Приpa << I, t т.е. при слабо выраженном поверхностном эффекте Н(z) изменяется практически по линейному закону. С ростом (ра) начинает проявляться поверхностный эффект.
Расчет комплексного сопротивления шины
Для расчета сопротивления шины синусоидальному току воспользуемся известной формулой, непосредственно вытекающей из теоремы Пойнтинга:
(5.45)
Возьмем кусок шины длиной l (рис. 10) и условимся, что замкнутая поверхность, охватывающая эту шину, состоит из следующих частей:
,
Рис. 10
Так как на поверхностях ST и S*бок┴ ,то потоки энергии поступают в шину только через боковые вертикальные поверхности слева и справа, а в силу осевой симметрии они одинаковы. Это значит, что
.
Поскольку в любой плоскости =const (как и в плоской волне), то интеграл справа обращается в произведение П(a)S6ок и тогда
. (5.46)
Подставив (5.43), (5.44) в (5.46) с учетом, что ,
(5.47)
Выражение для Z найдём (5.47) на квадрат ток
. (5.48)
Рассмотрим (5.48) при малой частоте и ярко выраженном поверхностном эффекте. При ра « 1 («прозрачная» шина) cthpa≈1/pа
тогда Таким образом, (очевидна аналогия постоянному току). Если ра > 1,7-2, то с большой точностью можно считать, что cthpa≡1. Следовательно, при ярко выраженном эффекте
.
Но так как ,то активное сопротивление шины синусоидальному току при ярко выраженном поверхностном эффекте становится равным
Таким образом, эффективное сечение шины определяется не ее геометрическими размерами, а удвоенным значением глубины проникновения волны.
4. Исследование поверхностного эффекта и эффекта близости
4.1. Общие сведения
Переменный ток распределяется по сечению массивных проводников (шин) неравномерно вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости. Наибольшая плотность тока наблюдается на поверхности шины и уменьшается к центру поперечного сечения (рис.4.1.а). В двух близко расположенных шинах с противоположным направлением токов, кроме того, происходит вытеснение токов на поверхности шин обращённые друг к другу (рис.4.1 6). При одинаковых направлениях токов в двух таких шинах вытеснение токов происходит на внешние поверхности.
а) б) в)
Рисунок 4.1. Исследование поверхностного эффекта и эффекта близости
В проводнике, уложенном в ферромагнитный паз ротора или статора электрической машины происходит вытеснение тока на открытую поверхность проводника (рис. 4.1 в).
Неравномерное распределение тока по сечению проводников приводит к увеличению их активных сопротивлений, что необходимо учитывать при проектировании электрических машин и токопроводов.
Наиболее простым для математического описания является проводник, уложенный в ферромагнитный паз. При достаточной высоте паза можно пренебречь отражённой электромагнитной волной от его дна. Тогда распределение действующего значения плотности тока по высоте паза (вдоль оси z) может быть описано следующей формулой [1]:
(4.1)
, где — коэффициент затухания и коэффициент фазы;
— действующее значение плотности тока на открытой поверхности проводника;
В этих формулах:
I -действующее значение тока в проводнике;
w — круговая частота переменного тока;
и — магнитная проницаемость и проводимость проводника;
а = 2 мм — ширина паза;
b = 0,35 мм — толщина проводящей шины.
Согласно этим формулам, плотность тока уменьшается вдоль оси z по экспоненциальному закону (множитель ). Начальная фаза плотности тока на поверхности проводник равна 45О и с увеличением координаты z изменяется по фазе в сторону отставания (ц = 45О – kz).
Глубина, на которой плотность тока в е = 2,718 раз меньше, чем на поверхности проводника, называется глубиной проникновения электромагнитной волны = 1/к. Глубина проникновения уменьшается с увеличением частоты переменного тока, магнитной проницаемости и проводимости проводника.
В данной работе исследуется распределение тока в ленточных медных проводниках толщиной 0.35 мм и шириной 25 мм при их различном взаимном расположении (рис.4.2).
Рисунок 4.2. Ленточный медные проводники
Первый вариант расположения проводников (см. рис. 4.2 а) позволяет экспериментально исследовать распределение тока вдоль ширины (ось у) двух близко расположенных прямоугольных шин, показанных на рис. 4.1 б.
Во втором случае (рис. 4.2 б) опыт может быть выполнен при двух значениях расстояния между шинами: d = 63 мм и d =3 мм.
При большом расстоянии между ленточными проводниками, распределение тока в них аналогично распределению тока в одном из горизонтальных слоёв прямоугольной шины, показанной на рис. 4.1 а (вдоль оси х). Эффект близости сказывается здесь незначительно.
При малом расстоянии между ленточными проводниками их можно рассматривать как один из горизонтальных слоёв двух близко расположенных шин, показанных на рис. 4.1 б. Вдоль горизонтальной оси (оси х) здесь сильно проявляется эффект близости.
В третьем случае (рис. 4.2 в.) медная лента охвачена с трёх сторон ферромагнитным экраном и распределение тока в ней примерно такое же, как в проводнике, уложенном в паз электрической машины (рис.4.1 .в).
Проводящие ленты для каждого из описанных четырёх вариантов смонтированы на стеклотекстолитовых платах и образуют замкнутые контуры. Электрический ток к ним подводится через понижающий трансформатор, вторичной обмоткой которого является сам контур из проводящих лент и соединительных шин (один виток).
Лабораторная установка с одним из вариантов проводящего контура схематично показана на рис. 4.3.
Для её сборки необходимо сначала установить в левой верхней части наборной панели катушку трансформатора 170 витков вместе с нижней U-образной частью разъёмного сердечника, затем надеть на катушку один из исследуемых проводящих контуров и закрепить его над наборной панелью, пользуясь соединительными вилками со средним выводом, как подставками. Подставки необходимы для увеличения расстояния между исследуемыми проводниками и металлической поверхностью наборной панели. Иначе наводимые в ней вихревые токи существенно изменят распределение тока в исследуемых проводниках.
Рисунок 4.3. Лабораторная установка
После этого нужно вставить в катушку вторую половинку разъёмного сердечника и скрепить две половинки сердечника резиновым кольцом.
Для измерения падения напряжения вдоль нити тока в проводящей ленте служит датчик напряжения, также изображённый на рис. 4.3. Он представляет собой пластинку из стеклотекстолита, в которую вмонтированы два миниатюрных контакта. Провода от контактов проходят вдоль нити тока в исследуемом проводнике до середины пластинки, затем они поворачивают на 90° и проходят вместе сквозь ручку к усилителю напряжения. При прижатии контактов к исследуемой поверхности, соединительные провода датчика оказываются расположенными почти вплотную к этой поверхности. В результате, магнитный поток, сцеплённый с контуром измерительной цепи, оказывается близким к нулю и на вход усилителя подводится активная составляющая напряжения, пропорциональная плотности тока:
(4.2)
где
U — напряжение между контактами датчика,
Е — тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля,
L — расстояние между контактами датчика, равное 0,1 м.
= 55 м/(Ом·м2) — удельная проводимость медного проводника.
Для измерения тока в исследуемых проводниках используется трансформатор тока с коэффициентом трансформации 100. Он имеет один первичный виток и расположен непосредственно на соединительной шине (рис. 4.3).
Эффект близости
При относительно близком расположении проводящих тел, обтекаемых переменными токами, электромагнитные поля каждого из них оказывают влияние на характер распределения магнитного и электрического полей внутри всех прочих проводников, что приводит к изменению их активных и реактивных сопротивлений. Это явление называют эффектом близости.
Сделаем его количественную оценку для наиболее простого случая, т. е. для двух прямоугольных шин (рис. 22).
Рис. 22
Рис. 23
Рассмотрим качественную картину поля для варианта, изображенного на рис. 23, когда h»a, h » b. Как видно, при h » a вблизи шины и внутри нее магнитный поток ориентирован преимущественно в направлении у. Но если теоретически допустить, что ток сосредоточен в бесконечно тонкой полосе (настил тока) с линейной плоскостью J = I/h и эта полоса имеет бесконечную протяженность по координате у, то очевидно, что всюду вектор будет параллелен поверхности настила. Он имеет однуy-составляющую, которая является функцией координаты z.
Выберем замкнутый контур высотой h . Исходя из закона полного тока , H2h = Jh, H=J/2. Отсюда следует, что плоский настил с равномерным распределением тока создает однородное магнитное поле с вектором напряженности , направленным параллельно плоскости настила и равнымJ/2. Здесь очевидна аналогия с полем заряженной плоскости, где модуль вектора смещения определялся выражением D = σ/2.
Рис. 24
На рис.24 представлено наглядное решение задачи о расчете поля в системе двух параллельных настилов . Как видно, поле существует лишь между плоскостями и
Обратимся вновь к рис. 22 и рассчитаем одномерные поля и в шинах (размеры шин и токи заданы). Исходя из условии симметрии, здесь можно рассматривать лишь одну шипу, предварительно определив граничные условия для или на ее боковых поверхностях. Так, для левой шины, следуя приведенным выше рассуждениям, имеем, что за ее пределами (слева) магнитный поток отсутствует, но в нашем случае Н=Ну, и эта составляющая является касательной к боковой поверхности шины. Но если это так, то из условия Н1τ = Н2τ получаем, что и внутри шины при z = О напряженность магнитного поля равна нулю.
Таким образом, представляется возможным окончательно сформулировать задачу: рассчитать поле и в шине, h»а при граничном условии Ну (0) = 0 (рис. 25).
Рис.25
Решение задачи
Поле в шине удовлетворяет уравнению Гельмгольца .
В нашем варианте
Здесь, как и ранее, р2 = jωμγ
Следовательно, уравнение для имеет вид . (5.104)
Решением этого уравнения является сумма экспонент
. (5.105)
Для того чтобы записать решение для Н, воспользуемся вторым уравнением Максвелла . (5.106)
Отсюда . (5.107)
Из (5.105) с помощью (5.107) получаем
(5.108)
Определим постоянные С1 и С2. При граничном условии Ну(0) = 0 из (5.108) имеем
С1 — С2 = 0 или С1= С2 = С/2 . (5.109)
С учетом (5.109) решения для ипринимают вид
. (5.110)
Очевидно, что С пропорциональна току в шине. Значение тока в тине можно вычислять поразному:
либо по выражению ,
либо с помощью закона полного тока (это проще) .
Действительно, выбрав замкнутый контур (рис. 25), прилегающий к поверхности шины, и обходя его против хода часовой стрелки, а также учитывая, что Н(0) = 0, получим
Н(а)h= — I. (5.111)
Таким образом, из выражений (5.110) и (5.111) имеем
Откуда следует, что . (5.112)
Запишем окончательные решения для комплексных и в шине:
, (5.113)
. (5.114)
С помощью решений (5.113) и (5.114) можно проанализировать проявление в шине эффекта близости при различных сочетаниях геометрических размеров, частоты тока, удельных проводимостей и магнитных проницаемостей шин.
Рис. 26
На рис. 26 представлены качественные графики магнитной напряженности и плотности тока для различных частот тока в шине. Отметим, что эффект близости проявляется также и проводящих стальных , обтекаемых магнитными потоками.
5.6.Эффект близости
До сих пор рассматривалось прохождение переменного тока по уединенному проводнику. Если поблизости от проводника, поле в котором исследуется, есть другой проводник с током, то, естественно, что второй проводник влияет на картину поля в первом проводнике. В результате этого влияния активное сопротивление такого провода, как правило, увеличивается по сравнению с активным сопротивлением уединенного провода. Влияние близлежащих проводников с током на комплекс сопротивления исследуемого проводника называют эффектом близости.
Рассмотрим эффект близости на примере двух плоских шин, близко расположенных одна к другой (рис. 5.5, а).
Рис.5.5
Одна шина является прямым проводом, другая обратным. Если расстояние между шинами 2в такого, же порядка, что и толщина шин (2а) и много меньше высоты h, то можно показать, что с известной степенью приближения напряженность магнитного поля в пространстве между шинами в два раза больше напряженности магнитного поля от одной шины в непосредственной близости от шины. А снаружи шин напряженность магнитного поля примерно равна нулю.
Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся принципом наложения. На рис. 5.5,б дан вид на пластины с торца. Сплошные стрелки на рис. 5.5 представляют напряженность поля от левой шины, пунктирные от правой. В пространстве между шинами напряженности складываются, снаружи вычитаются. В результате оказывается, что напряженность поля в пространстве между шинами H=2·I/2h=I/h, а снаружи шин напряженность магнитного поля равна нулю. Найдем постоянные интегрирования в выражении = Ċ1epz +Ċ2e—pz.
При z= –a 0 = Ċ1e—pa +Ċ2epа. При z = a – İ/h = Ċ1epa +Ċ2e—pа.
Отсюда Ċ1= –İepa/(2h sh 2pa) и Ċ2= İe—pa/(2h sh 2pa).
Следовательно,
= – İ(epa+pz–e—pa-pz)/2h sh 2pa= – İ sh p(a+z) /(h sh 2pa) и
напряженность электрического поля Ė=pİch p(a+z)/(γh sh 2pa).
Если придавать z значения от – а до а, то по написанным выше формулам могут быть построены кривые изменения модулей Ė и в функции от z. Такие кривые качественно изображены на рис.5.6.
Рис.5.6
Для правой шины кривые построены на основании симметрии поля. Если не учитывать искажающего действия торцов, то электромагнитная волна в каждую из шин проникает только через поверхности их, обращенные друг к другу. Через наружные поверхности электромагнитная волна не проникает, так как там Н = 0. Комплекс сопротивления одной шины на единицу длины
Zвн.1=.
Рассмотрим числовой пример. Пусть ток в 10 а течет по двум таким же шинам, с которые рассматривали в предыдущем параграфе (h =2 см, 2а = 0,1 см). Одна из шин является прямым проводом, другая обратным. Подсчитаем комплекс сопротивления одной шины на единицу длины с учетом эффекта близости и сравним его с сопротивлением уединенной шины( когда эффекта близости нет):
th 2pa = (sh 3,74+j sin 214˚)/(ch 3,74+ cos 214˚) = 1,04e-j1˚30′.
Следовательно,
Zвн.1=p/(σhth 2pa) =18,7√2ej45˚/(5,6·107·21,04·e—j1˚ 30′) = 22,5·10-4e—j46˚ 30′;
R=15,7·10-4 Ом/м; Хвн=16,34·10-4 Ом/м.
Таким образом, влияние второй шины на поле в первой шине привело к тому, что активное сопротивление одной шины возросло с 9,5·104до15,7·104Ом/м.
Для определения комплекса полного сопротивления единицы длины петли, образованной двумя шинами, кроме собственного сопротивления самих шин, надо учесть еще индуктивное сопротивление, обусловленное магнитным потоком, проходящим в пространстве между шинами.
Последнее равно:
Хвнешн = ωLвнешн = ω Фвнешн/I = (ωμ0H·2в·1)/I =μ0ω2в/h.
Комплекс полного сопротивления единицы длины петли
Zполн=2R вн+j (2Хвн + Хвнешн).
В качестве примера найдем комплекс полного сопротивления на 1 м длины линии, составленной двумя шинами предыдущей задачи, если 2в =0,4·10-2 м.
Хвнешн=(1,256·10-6·105·0,4·10-2)/2·10-2=2,51·10-2 Ом/м,
Zполн=3,14·10-3+j 28,4·10-3 Ом/м.
Скин-эффект — Википедия
Поверхностный эффект, скин-эффект — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.
Физическая картина возникновения[править | править код]
Физическая картина возникновения скин-эффекта.Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная ∂B∂t{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии ∂B∂t{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции
- rotE=−∂B∂t{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.
Уравнение, описывающее скин-эффект[править | править код]
Исходим из уравнения Максвелла,
- rotB=μj{\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu \mathbf {j} }
и выражения для j{\displaystyle \mathbf {j} } по закону Ома:
- j=γE{\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} }
Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:
- rot∂B∂t=μγ∂E∂t{\displaystyle \operatorname {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}
- −rotrotE=μγ∂E∂t{\displaystyle -\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}.
Поскольку
- rotrotE=graddivE−∇2E{\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E} } и divE=0{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {E} =0}
окончательно получаем:
- ∇2E=μγ∂E∂t{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu \gamma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}.
Для упрощения решения предположим, что ток течёт по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство y>0 вдоль оси X. Поверхностью проводника является плоскость Y=0. Таким образом,
- jx=jx(y,t),jy=jz=0{\displaystyle j_{x}=j_{x}(y,t),\qquad j_{y}=j_{z}=0},
- Ex=Ex(y,t),Ey=Ez=0{\displaystyle E_{x}=E_{x}(y,t),\qquad E_{y}=E_{z}=0}.
Тогда
- ∂2Ex∂y2=μγ∂Ex∂t{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}=\mu \gamma {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}}.
В этом уравнении все величины гармонически зависят от t, и можно положить:
- Ex(y,t)=E0(y)eiωt{\displaystyle E_{x}(y,t)=E_{0}(y)e^{i\omega t}}.
Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для E0(y){\displaystyle E_{0}(y)}:
- ∂2E0∂y2=iγμωE0{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial y^{2}}}=i\gamma \mu \omega E_{0}}.
Общее решение этого уравнения таково:
- E0=A1e−ky+A2eky{\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-ky}+A_{2}e^{ky}}.
Учитывая, что k=iγμω=α(1+i){\displaystyle k={\sqrt {i\gamma \mu \omega }}=\alpha (1+i)}, где α=γμω2{\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {\gamma \mu \omega }{2}}}}, находим
- E0=A1e−αye−iαy+A2eαyeiαy{\displaystyle E_{0}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{-i\alpha y}+A_{2}e^{\alpha y}e^{i\alpha y}}.
При удалении от поверхности проводника (y→∞{\displaystyle y\rightarrow \infty }) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, A2=0{\displaystyle A_{2}=0} и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:
- Ex=A1e−αyei(ωt−αy){\displaystyle E_{x}=A_{1}e^{-\alpha y}e^{i(\omega t-\alpha y)}}.
Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения j=γE{\displaystyle \mathbf {j} =\gamma \mathbf {E} } к плотности тока, получим
- jx(y,t)=A1e−αycos(ωt−αy){\displaystyle j_{x}(y,t)=A_{1}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}}.
Принимая во внимание, что jx(0,0)=j0{\displaystyle j_{x}(0,0)=j_{0}} — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:
- jx(y,t)=j0e−αycos(ωt−αy){\displaystyle j_{x}(y,t)=j_{0}e^{-\alpha y}\cos {(\omega t-\alpha y)}}.
Объёмная плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает экспоненциально и на глубине Δ{\displaystyle \Delta } становится меньше в е раз. Эта глубина называется толщиной скин-слоя и на основании полученного выше равна
- Δ=2γμω{\displaystyle \Delta ={\sqrt {\frac {2}{\gamma \mu \omega }}}}.
Очевидно, что при достаточно большой частоте ω{\displaystyle \omega } толщина скин-слоя может быть очень малой. Также из экспоненциального убывания плотности тока следует, что практически весь ток сосредоточен в слое толщиной в несколько Δ{\displaystyle \Delta }, так, уменьшение плотности тока в 100 раз происходит на глубине ≈4,6Δ{\displaystyle \approx 4,6\Delta }, если общая толщина проводника многократно превышает толщину скин-слоя. В качестве примера приведём зависимость глубины скин-слоя от частоты для медного проводника:
Частота | Δ{\displaystyle \Delta } | Примечания |
---|---|---|
50 Гц | 9,34 мм | 50 Гц — частота электросети в большинстве стран Евразии и Африки |
60 Гц | 8,53 мм | 60 Гц — частота электросети в Северной, Центральной и частично Южной Америке |
10 кГц | 0,66 мм | |
100 кГц | 0,21 мм | |
500 кГц | 0,095 мм | |
1 МГц | 0,067 мм | |
10 МГц | 0,021 мм |
Если проводник имеет ферромагнитные свойства, то толщина скин-слоя будет во много раз меньше. Например, для стали (μ{\displaystyle \mu }=1000) Δ{\displaystyle \Delta }=0.74 мм. Это имеет значение, например, при электрификации железных дорог, поскольку там стальные рельсы используются в качестве обратного провода.
Для расчёта толщины скин-слоя в металле (приближённо) можно использовать следующие эмпирические формулы:
- Δ=c2ε0ωμmρ{\displaystyle \Delta =c{\sqrt {2{\frac {\varepsilon _{0}}{\omega \mu _{m}}}\rho }}}.
Здесь ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}} = 8,85419⋅10−12 Ф/м — электрическая постоянная, ρ{\displaystyle \rho } — удельное сопротивление, c — скорость света, μm{\displaystyle \mu _{m}} — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), ω=2π⋅f{\displaystyle \omega =2\pi \cdot f}. Все величины выражены в системе СИ.
- Δ=503ρμmf{\displaystyle \Delta =503{\sqrt {\frac {\rho }{\mu _{m}f}}}},
ρ{\displaystyle \rho } — удельное сопротивление, μm{\displaystyle \mu _{m}} — относительная магнитная проницаемость, f{\displaystyle f} — частота.
Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако даже при комнатной температуре длина свободного пробега электрона для металлов сопоставима с глубиной скин-слоя — что говорит об аномальном характере эффекта. При очень низкой температуре ситуация только усугубляется[1]: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.
На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ).
Благодаря скин-эффекту на высоких частотах теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет раскалить проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Данное явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов.
Учёт эффекта в технике и борьба с ним[править | править код]
Скин-эффект проявляется всё более явно с увеличением частоты переменного тока, что заставляет учитывать его при конструировании и расчётах электрических схем, работающих с переменным и импульсным током. В связи с тем, что ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, активное сопротивление проводника значительно возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты. Скин-эффект значительно влияет на характеристики катушек индуктивности и колебательных контуров, такие как добротность, на затухание в линиях передачи, на характеристики фильтров, на расчёты тепловых потерь и КПД, на выбор сечений проводников.
Для уменьшения влияния скин-эффекта применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов, и тонкий его слой, в котором из-за скин-эффекта и протекает бо́льшая часть тока, оказывает заметное влияние (до 10 %) на активное сопротивление проводника. Кроме того, слой сульфида, образующийся на поверхности серебра, не проводит ток и не участвует в скин-эффекте, в отличие от слоя окиси-закиси на поверхности меди, обладающего заметной проводимостью, вдобавок ещё и со свойствами полупроводника, и вносящего дополнительные потери на высоких частотах. Также применяется и покрытие золотом, у которого слой окислов отсутствует вовсе. Напротив, покрытие никелем, оловом или оловянно-свинцовым припоем способно значительно, в несколько раз увеличить сопротивление медных проводников на высоких частотах.
Так, в ВЧ аппаратуре используют катушки индуктивности из посеребрённого провода, серебрят печатные и проволочные проводники, поверхности экранов и обкладки конденсаторов, в высоковольтных линиях электропередач применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечником, в высокомощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, по которым для охлаждения циркулирует сжиженный водород или дистиллированная вода. Также с целью подавления скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — литцендрат. При передаче больших мощностей на значительные расстояние применяются линии постоянного тока — HVDC, который не подвержен воздействию скин-эффекта.
Покрытие серебром также применяется в сверхвысокочастотном оборудовании, использующем колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передач — волноводы. Кроме того, на таких частотах особое внимание приходится уделять снижению шероховатости поверхности с целью уменьшения длины пути протекания тока.
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 4. Оптика. — 1980. — С. 454.
- А. Н. Матвеев. Параграф 53 // Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
- A. A. Власов. Глава VI. Параграф 5 // Макроскопическая электродинамика. — 2-е изд.. — М.: Наука, 2005.
Исследование поверхностного эффекта и эффекта близости
Общие сведения
Переменный ток распределяется по сечению массивных проводников (шин) неравномерно вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости. Наибольшая плотность тока наблюдается на поверхности шины и уменьшается к центру поперечного сечения (рис.8.1.а). В двух близко расположенных шинах с противоположным направлением токов, кроме того, происходит вытеснение токов на поверхности шин обращённые друг к другу (рис.8.1б). При одинаковых направлениях токов в двух таких шинах вытеснение токов происходит на внешние поверхности.
Рис. 8.1
В проводнике, уложенном в ферромагнитный паз ротора или статора электрической машины происходит вытеснение тока на открытую поверхность проводника (рис. 8.1в).
Неравномерное распределение тока по сечению проводников приводит к увеличению их активных сопротивлений, что необходимо учитывать при проектировании электрических машин и токопроводов.
Наиболее простым для математического описания является проводник, уложенный в ферромагнитный паз. При достаточной высоте паза можно пренебречь отражённой электромагнитной волной от его дна. Тогда распределение действующего значения плотности тока по высоте паза (вдоль оси z) может быть описано следующей формулой [1]:
,
где
— коэффициент затухания и коэффициент фазы;
– действующее значение плотности тока на открытой поверхности проводника;
В этих формулах:
I – действующее значение тока в проводнике;
круговая частота переменного тока;
и магнитная проницаемость и проводимость проводника;
а = 2 мм — ширина паза;
b =0,35 мм — толщина проводящей шины.
Согласно этим формулам, плотность тока уменьшается вдоль оси zпо экспоненциальному закону (множитель). Начальная фаза плотности тока на поверхности проводник равна 45Ои с увеличением координатыzизменяется по фазе в сторону отставания (= 45О–kz).
Глубина, на которой плотность тока в е = 2,718 раз меньше, чем на поверхности проводника, называется глубиной проникновения электромагнитной волны = 1/k. Глубина проникновения уменьшается с увеличением частоты переменного тока, магнитной проницаемости и проводимости проводника.
В данной работе исследуется распределение тока в ленточных медных проводниках толщиной 0.35 мм и шириной 25 мм при их различном взаимном расположении (рис.8.2).
Рис. 8.2
Первый вариант расположения проводников (см. рис. 8.2а) позволяет экспериментально исследовать распределение тока вдоль ширины (ось y) двух близко расположенных прямоугольных шин, показанных на рис. 8.1б.
Во втором случае (рис. 8.2б) опыт может быть выполнен при двух значениях расстояния между шинами: d= 63 мм иd=3 мм.
При большом расстоянии между ленточными проводниками, распределение тока в них аналогично распределению тока в одном из горизонтальных слоёв прямоугольной шины, показанной на рис. 8.1а (вдоль оси х). Эффект близости сказывается здесь незначительно.
При малом расстоянии между ленточными проводниками их можно рассматривать как один из горизонтальных слоёв двух близко расположенных шин, показанных на рис. 8.1б. Вдоль горизонтальной оси (оси х) здесь сильно проявляется эффект близости.
В третьем случае (рис. 8.2в.) медная лента охвачена с трёх сторон ферромагнитным экраном и распределение тока в ней примерно такое же, как в проводнике, уложенном в паз электрической машины (рис.8.1.в).
Проводящие ленты для каждого из описанных четырёх вариантов смонтированы на стеклотекстолитовых платах и образуют замкнутые контуры. Электрический ток к ним подводится через понижающий трансформатор, вторичной обмоткой которого является сам контур из проводящих лент и соединительных шин (один виток).
Лабораторная установка с одним из вариантов проводящего контура схематично показана на рис. 8.3.
Для её сборки необходимо сначала установить в левой верхней части наборной панели катушку трансформатора 170 витков вместе с нижнейU-образной частью разъёмного сердечника, затем надеть на катушку один из исследуемых проводящих контуров и закрепить его над наборной панелью, пользуясь соединительными вилками со средним выводом, как подставками. Подставки необходимы для увеличения расстояния между исследуемыми проводниками и металлической поверхностью наборной панели. Иначе наводимые в ней вихревые токи существенно изменят распределение тока в исследуемых проводниках.
После этого нужно вставить в катушку вторую половинку разъёмного сердечника и скрепить две половинки сердечника резиновым кольцом.
Для измерения падения напряжения вдоль нити тока в проводящей ленте служит датчик напряжения, также изображённый на рис. 8.3. Он представляет собой пластинку из стеклотекстолита, в которую вмонтированы два миниатюрных контакта. Провода от контактов проходят вдоль нити тока в исследуемом проводнике до середины пластинки, затем они поворачивают на 90ои проходят вместе сквозь ручку к усилителю напряжения. При прижатии контактов к исследуемой поверхности, соединительные провода датчика оказываются расположенными почти вплотную к этой поверхности. В результате, магнитный поток, сцеплённый с контуром измерительной цепи, оказывается близким к нулю и на вход усилителя подводится активная составляющая напряжения, пропорциональная плотности тока:
,
где
U – напряжение между контактами датчика,
Е– тангенсиальная составляющая напряжённости электрического поля,
l– расстояние между контактами датчика, равное 0,1 м.
— удельная проводимость медного проводника.
Для измерения тока в исследуемых проводниках используется трансформатор тока с коэффициентом трансформации 100. Он имеет один первичный виток и расположен непосредственно на соединительной шине (рис. 8.3).