Конспект и презентация «Потенциал и разность потенциалов электростатического поля. Решение задач»

Тема: «Потенциал и разность потенциалов. Решение задач»

Цели урока:

Дидактическая: обучить навыкам нахождения работы по перемещению заряда в электрическом поле, показать взаимосвязь между напряжённостью и разностью потенциалов, добиться овладения и закрепления качества знаний, дать практику в решении задач.

Развивающая: развивать у учащихся логику мышления при решении задач различного типа, организованность, умение владеть собой и преодолевать трудности.

Воспитательная: сформировать устойчивое осознанное отношение к изучаемому материалу, формировать привычку оказывать помощь товарищам в учении, умения ставить цели и стремления добиваться их.
Тип урока: закрепление новых знаний

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

— Заблудившиеся величины (соединить стрелками название физических величин с соответствующими формулами).

Приложение1

— Выполнить и описать опыт (Электрофорная машина, султанчик и гильза).

— Подумай! Сообрази! (Устный ответ.) Какого знака будут заряды на электрометрах, если убрать металлическую спицу?

Останется ли электроскоп заряжённым, если из-под колокола выкачать воздух?

Объявление темы урока и постановка целей урока учениками самостоятельно.

(Д/з§ 94, тест стр.313)

Видеофрагмент о разности потенциалов.

Для начала вспомним характеристику поля – энергетическую.  Потенциал

– физическая величина, показывающая отношение потенциальной энергии заряда в некоторой точке пространства к величине этого заряда:

Так как потенциальная энергия заряда прямо пропорциональна величине заряда, то потенциал от величины заряда не зависит:

Единица измерения потенциала – вольт:

Потенциал некоторой точки пространства можно определить как работу электрического поля по переносу единичного заряда из бесконечности в эту точку. В общем же виде связь потенциала с работой можно задать через ввод электрического напряжения:

Полученная зависимость справедлива вдоль некоторой силовой линии, и здесь

 – расстояние между двумя точками на одной силовой линии.

Зависимость потенциала поля точечного заряда от расстояния имеет похожий вид с аналогичной зависимостью для напряженности, однако убывает медленнее – не пропорционально квадрату, а пропорционально первой степени:

Так как при перемещении положительного заряда в направлении напряженности электростатическое поле совершает положительную работу, то φ

1 больше φ₂. При перемещении заряда под углом 90⁰ к силовым линиям электрическое поле не совершает работы, т.к. сила перпендикулярна перемещению.

Нам уже известно, что графически напряженность изображается в виде силовых линий, направленных от положительных зарядов к отрицательным. Потенциалы можно также графически отобразить в виде эквипотенциальных поверхностей.

 Эквипотенциальная поверхность – поверхность, каждая точка которой имеет одинаковый потенциал.

Как следует из связи работы и потенциалов:

при переносе заряда вдоль эквипотенциальных поверхностей электрическое поле работы не совершает, так как .

Работа при ненулевой силе равна нулю только в том случае, если вектор силы перпендикулярен вектору перемещения. Из этого следует, что линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Примерами эквипотенциальных поверхностей служат сферы для поля точечного заряда и параллельные плоскости для однородных полей (рис. 3).

3.Закрепление изученного материала

Решение задач на уроке:

1. .Какую работу совершит поле при перемещении заряда 20 нКл из точки с потенциалом 700 В в точку с потенциалом 200 В?

2.Какую скорость приобретает электрон, пролетевший ускоряющую разность потенциалов 10 кВ?

3 Два заряда по 6 нКл находятся на расстоянии 100 см друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы сблизить их до расстояния 50 см?

4.Физкультминутка (Для шеи, и рук)

5.Самостоятельая работа.(Приложение 2)

Уровень А.

1.Электрон перемещается в поле, силовые линии которого показаны на рис. Выберите правильное утверждение.

А. При перемещении электрона из точки 2 в точку 3 электрическое поле совершает положительную работу.

Б. При перемещении электрона из точки 1 в точку 2 электрическое поле совершает отрицательную работу.

В. При перемещении электрона по траектории 1 -2-3-1 электрическое поле совершает отрицательную работу.

2. Положительно заряженный шарик перемещают из точки 1 в точку 2 в поле заряда Q. Выберите правильное утверждение.

А. Потенциальная энергия взаимодействия шарика с зарядом Q остается неизменной.

Б.При перемещении шарика электрическое поле совершает положительную работу.

В. Шарик притягивается к заряду Q.

Уровень В.

1.Какую работу совершает поле при перемещении заряда 5нКл из точки с потенциалом 300 В в точку с потенциалом 100В?(1 мкДж)

2. Заряд ядра атома цинка равен 4,8*10^-18 Кл. Определите потенциал электрического поля, созданного ядром атома цинка, на расстоянии 10 нм.(4,2В)

Уровень С.

1.Из ядра атома радия со скоростью 2*10⁷ м/с вылетает α-частица массой 6,67*10^-27 кг. Определите энергию частицы и разность потециалов, которая бы обеспечила частице такую энергию. Заряд частицы 3,2*10

-19 Кл.(1.33*10^-12 Дж, 4*10⁶ В)

2. Электрон вылетает из точки, потенциал которой 450В, со скоростью 190м/с. Какую скорость он будет иметь в точке с потенциалом 475В?(3*10⁶ м/с)

6.Подведение итогов

Учащиеся заполяют таблицу(Самооценка)

Актуализация

(1б)

Уровень А

(1б)

Уровень В

(по 1б)

Уровень С (по 2б)

7.Рефлексия. На ладошках учащиеся пишут

Что было понятно? Что не понятно? Что понравилось?

8. Домашнее задание: § 94, тест стр.313

Потенциал электрического поля. Точечного заряда. Принцип суперпозиции. Суммарный потенциал

Потенциалом электростатического поля называется скалярная характеристика электрического поля.

Напряжённость электрического поля также является характеристикой поля, однако, в случае достаточно большого количества зарядов, поиск напряжённости затруднителен в связи с достаточно трудным сложением векторов. Тогда, для упрощения, вводят понятие потенциала. Данный параметр также описывает насколько сильно или слабо будет действовать поле на помещённый в данную точку заряд.

Потенциал точечного заряда (

) можно вычислить, исходя из соотношения:

(1)

Принцип суперпозиции потенциала.

В случае нескольких источников, потенциал в точке численно равен сумме потенциалов, образованных от каждого из источников:

(2)

• где
  • — суммарный потенциал в точке,
  • — потенциалы в точке от различных источников.

Важно: в соотношении (1) заряд 

может быть как положительный, так и отрицательный, следовательно, потенциал также может иметь любой знак.

Поделиться ссылкой:

Понравилось это:

Нравится Загрузка…

Оглавление

Глава 3
Электричество и магнетизм

3.1 Электростатика

3.1.1 Пример – поле и потенциал сферы

Найти напряженность поля и потенциал во всем пространстве тонкой сферы радиуса R, равномерно заряженной до заряда q.

Решение

Применим теорему Гаусса. Выберем в качестве замкнутой поверхности концентрическую сферу радиуса r > R (рис.). Очевидно, что напряженность на поверхности этой сферы будет одинакова по величине и направлена по радиусу. Тогда поток напряженности через нее будет E ⋅ 4πr². Согласно теореме Гаусса

откуда

Выбрав в качестве поверхности сферу радиуса r < R, получим E = 0. Таким образом, однородно заряженная сфера во внешней области пространства создает такое же поле, как и заряд, помещенный в ее центре. Внутри сферы поля нет.

Найдем потенциал сферы во всем пространстве. Так как вне сферы напряженность поля совпадает с напряженностью заряда, находящегося в центре, то и потенциал при r > R выразится в виде

Пронесем единичный положительный заряд из бесконечности до расстояния r от центра, меньшего радиуса сферы. Тогда работа, которую необходимо совершить по переносу до поверхности сферы будет равна kq∕R. Внутри сферы поле равно нулю и работа не совершается. Таким образом

---

---

На рис. 3.1 изображены графики зависимости напряженности и потенциала поля от расстояния до центра однородно заряженной сферы.

3.1.2 Пример – поле и потенциал шара

Однородно заряженный шар. Пусть радиус шара R, полный заряд Q. Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущей задаче, получим, что вне шара напряженность и потенциал поля совпадают с полем заряда Q, помещенного в центр шара:

Чтобы найти напряженность электрического поля внутри шара, выберем в качестве замкнутой поверхности сферу радиуса r < R с центром в центре шара. Из симметрии ясно, что напряженность поля направлена по радиусу и одинакова по величине на всей поверхности сферы. Из теоремы Гаусса следует

где q(r) – заряд внутри выбранной поверхности. Введем плотность заряда шара ρ. Тогда

Плотность заряда равна полному заряду, деленному на объем шара:

Для напряженности поля внутри шара получим

Найдем потенциал внутри шара.

Первый интеграл имеет смысл работы по переносу единичного положительного заряда из бесконечности до поверхности шара и равен kQ∕R. Второй член

Значение потенциала внутри шара определится выражением

---

---

Окончательно имеем

Заметим, что непрерывен не только потенциал (что и должно быть), но и напряженность электрического поля. Последнее связано с тем, что в системе нет заряженных тонких поверхностей. Поэтому нет и скачка напряженности. На рис. 3.2 приведены графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния до центра однородно заряженного по объему шара.

3.1.3 Пример – заземленная сфера

---

---

Пусть есть две проводящие концентрические сферы радиусов a и b. На внутреннюю сферу помещен заряд q, а внешняя заземлена (рис. 3.3). Требуется определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве.

Решение

Так как внешняя сфера заземлена, на ней появляется некоторый заряд Q. Если бы он был известен, напряженность поля легко определилась бы из принципа суперпозиции (напомним, что во внешнем пространстве сфера создает поле, такое же, как точечный заряд, расположенный в ее центре, а внутри поля нет)

Для потенциала при r > b имеем φ = k(q + Q)∕r. На поверхности внешней сферы φ(b) = k(q + Q)∕b.

Так как эта сфера заземлена, φ(b) = 0. Отсюда

Тогда напряженность поля при r > b равна нулю. Вне заземленной сферы поля нет. Этот результат не зависит от формы заземленного проводника. Говорят, что заземленная оболочка экранирует находящиеся внутри заряды: никакие изменения их величины или положения не сказываются снаружи.

---

---

Понятно, что при r > b потенциал равен нулю. Для нахождения потенциала между сферами пронесем единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку, используя принцип суперпозиции. В поле заряда Q работа совершается лишь до поверхности внешней сферы: φ₁= kQ∕b—kq∕b. А в поле внутренней сферы φ₂= kq∕r. Полный потенциал

Внутри малой сферы E = 0, потенциал не меняется и равен потенциалу на поверхности

На рис. 3.4 приведены графики зависимостей E(r) и φ(r).

3.1.4 Пример – разлетающиеся частицы

Четыре одинаковых частицы массы m и заряда q первоначально удерживаются в углах квадрата со стороной a. Заряды отпускают. Найти скорости зарядов по прошествии большого промежутка времени.

Решение

Из симметрии ясно, что в любой момент времени частицы будут находиться в углах некоторого квадрата и обладать одинаковыми по величине скоростями, направленными по диагоналям этого квадрата. В результате вся начальная потенциальная энергия U перейдет в кинетическую энергию частиц

где v – искомая скорость.

---

---

Дело, таким образом, сводится к вычислению начальной потенциальной энергии системы U. Перенумеруем заряды (рис. 3.5) и начнем собирать систему. Принесем из бесконечности первый заряд. Для этого не понадобиться совершать работу (внешних сил нет): A₁= 0.

Принесем второй заряд. Работа в поле первого заряда будет

Третий заряд уже придется двигать в поле, как первого, так и второго заряда: Наконец, для последнего Полная потенциальная энергия системы Тогда откуда получаем ответ

3.1.5 Пример – столкновение зарядов

С большого расстояния навстречу друг другу со скоростями, соответственно, v₁и v₂движутся две одинаковых частицы массы m и заряда q. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся.

Решение

При минимальном расстоянии скорости частиц u будут одинаковы. Из закона сохранения импульса

Начальная потенциальная энергия электрического взаимодействия равна нулю.

Запишем закон сохранения энергии:

где r – минимальное расстояние. Из первого уравнения u = ∕2. И, подставляя во второе, получаем ответ:

3.1.6 Пример – система конденсаторов

Определите емкость системы конденсаторов, изображенных на рисунке (рис. 3.6).

---

---

Решение

Пронумеруем конденсаторы и обозначим на схеме заряды (рис. 3.7). Из симметрии схемы ясно, что заряды на конденсаторах 1, 2 и 3, 4, соответственно, одинаковы. Так как батарея электронейтральна q₁= q₂.

Тогда ясно, что средний (5-й) конденсатор не заряжен и его можно убрать. Эквивалентная схема будет выглядеть так: (рис 3.8).

Так как емкость последовательно соединенных конденсаторов определяется по формуле

Отсюда C′ = C. И имеем новую эквивалентную схему (рис. 3.9). По правилу определения емкости параллельно соединенных конденсаторов полная емкость цепи:

Можно было поступить иначе. Так как средний конденсатор не заряжен, точки, к которым он подсоединен, имеют одинаковый потенциал. Тогда их можно соединить проводником: это не приведет к перераспределению зарядов на остальных конденсаторах. Соответствующая эквивалентная схема (рис. 3.10. Или, учитывая, что имеется две пары параллельно соединенных конденсаторов, получаем еще одну эквивалентную схему (рис. 3.11). Отсюда

В итоге получаем тот же ответ:

3.2 Постоянный ток

3.2.1 Пример – соединение сопротивлений

Каким должно быть сопротивление r, чтобы входное сопротивление между клеммами было равно тоже r (рис. 3.12)?

---

---

Решение

Последние два сопротивления, соединенные последовательно, имеют сопротивление

Тогда имеем эквивалентную схему: (рис. 3.13)). Параллельное соединение сопротивлений R и R′ приводит к схеме (рис. 3.14)). Где По условию: R + R′′ = r.

То есть:

Откуда получаем ответ

3.2.2 Пример – ЭДС и внутреннее сопротивление батареи

Батарея, замкнутая на сопротивление R₁= 10 Ом, дает ток I₁= 3 А; замкнутая на сопротивление R₂= 20 Ом, она дает ток I₂= 1,6 А. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление r батареи.

Решение

Из условия

Приравнивая правые части, получим Откуда

Подставляя r в первое уравнение, получим

3.2.3 Пример – внутреннее сопротивление аккумулятора

Аккумулятор подключен один раз к внешней цепи с сопротивлением R₁, другой раз – с R₂. При этом количество теплоты, выделяющейся во внешней цепи в единицу времени, одинаково. Определите внутреннее сопротивление аккумулятора.

Решение

Обозначим ЭДС аккумулятора через , а внутреннее сопротивление – через r.

Условие равенства количества теплоты дает: Или Разрешая это уравнение относительно r, получим ответ:

3.2.4 Пример – цепь с конденсаторами

---

---

Конденсаторы емкости C₁и C₂и резисторы, сопротивления которых равны R₁,R₂,R₃, включены в электрическую цепь, как показано на рисунке 3.15). Найти установившиеся заряды на конденсаторах. Напряжение U известно.

Решение

В установившемся режиме через резисторы течет постоянный ток, определяющийся из уравнения

Рассмотрим контур, содержащий C₁,R₁,R₂. Для него:

Откуда (подставляя I):

Аналогично, рассматривая контур, содержащий C₂,R₂,R₃, получим

3.3 Магнитное поле

3.3.1 Пример – движение заряда в магнитном поле

На заряд q = 1 Кл, движущийся со скоростью v = 1 м/с, в магнитном поле действует сила F = 10 Н. Заряд движется под углом α = 30^∘к направлению индукции магнитного поля. Чему равна индукция этого поля?

Решение

На заряд действует сила Лоренца:

Откуда B = F∕(qv sin α). Подставляя числа, получим ответ: B = 20 Тл.

3.3.2 Пример – проводник с током в магнитном поле

---

---

В вертикальном однородном магнитном поле на двух тонких нитях подвешен горизонтально проводник массы m = 0,16 кг и длины l = 0,8 м. Концы проводника при помощи гибких проводов, находящихся вне поля, подсоединены к источнику тока. Найдите угол, на который отклоняются от вертикали нити подвеса, если по проводнику течет ток I = 2 А, а индукция магнитного поля B = 1 Тл.

Решение

На проводник действуют две силы: тяжести mg, направленная вертикально, и Ампера IBl, направленная горизонтально (см. рис. 3.16). Тогда в равновесии

Принимая g = 10 м∕с²и подставляя числа, получим tgα = 1. Откуда α = 45^∘.

3.3.3 Пример – радиусы траекторий

Как относятся радиусы траекторий двух электронов с кинетической энергией K₁и K₂, если однородное магнитное поле перпендикулярно их скорости?

Решение

Скорости электронов определяются из формул:

Радиусы определятся из закона Ньютона Тогда отношение радиусов

3.4 ЭДС индукции

3.4.1 Пример – падение в магнитном поле

В однородном магнитном поле индукции B находятся две вертикальные рейки, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям поля (рис. 3.17). По рейкам, расстояние между которыми равно L, может скользить без трения проводник массой m. Определите установившуюся скорость этого проводника, если верхние концы реек замкнуты на сопротивление R. В какие виды энергии переходит работа силы тяжести?

---

---

Решение

На скользящий проводник действуют две силы: тяжести mg и Ампера IBL. При установившемся движении

ЭДС индукции Выражая ток из второго уравнения и подставляя в первое, получим ответ: Можно получить ответ другим способом. Мощность силы тяжести в установившемся режиме переходит в тепло, выделяющееся на сопротивлении:

3.4.2 Пример – стержень в магнитном поле

Металлический стержень AB, сопротивление единицы длины которого ρ, движется с постоянной скоростью v, перпендикулярной AB, замыкая два идеальных проводника OC и OD, образующих друг с другом угол α. Длина OC равна l, и AB перпендикулярен OC (рис. 3.18). Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости системы. Найдите полное количество теплоты, которое выделится в цепи за время движения стержня от точки O до точки C.

Решение

Площадь треугольника в зависимости от времени S = xy∕2, где x = vt,y = x ⋅ tgα = vt ⋅ tgα.

Тогда

Сопротивление R = ρx = ρvt. Мощность, выделяющаяся в цепи Полное время движения t₀= l∕v.

Тогда ответ

3.4.3 Пример – вихревое электрическое поле

Индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра радиуса r = 0,1 м линейно возрастает со временем: B = αt (коэффициент α = 10^-3Тл/с). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряженность вихревого электрического поля на расстоянии l = 0,2 м от оси цилиндра?

Решение

Циркуляция электрического поля равна скорости изменения магнитного потока через сечение цилиндра:

Отсюда Подставляя числа: E = 2,5 ⋅ 10^-5В/м.

Потенциал электрического диполя

Публикации по материалам Д. Джанколи. «Физика в двух томах» 1984 г. Том 2.

Два равных по величине и противоположных по знаку точечных заряда Q, находящиеся на расстоянии r друг от друга, называются электрическим диполем. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности диполя показаны в предыдущей публикации на рис. 24.3. Рассчитаем электрический потенциал, создаваемый диполем в произвольной точке Р (рис. 24.5). Потенциал V представляет собой сумму потенциалов, создаваемых каждым из зарядов:

где r — расстояние от точки Р до положительного заряда, а r + Δr — до отрицательного заряда. Выражение упростится, если рассматривать точки, расстояние которых до диполя гораздо больше расстояния между зарядами, когда r значительно больше l . Как видно из рисунка, в этом случае Δr ≈ lcosθ;
тогда r будет значительно больше Δr = lcosθ, и в знаменателе величиной Δr можно пренебречь по сравнению с r. Такого рода приближения часто оказываются полезными и позволяют получить простое выражение для потенциала

где р = Ql — дипольный момент. При 0° θ V положителен, при 90° 0 cosθ). Это разумно, поскольку в первом случае точка Р ближе к положительному заряду, а во втором-к отрицательному. При 0 = 90° потенциал равен нулю (cos 90° = 0) в соответствии с результатом примера 24.4. Из (24.6) мы видим, что потенциал убывает как квадрат расстояния до диполя, в то время как потенциал точечного заряда убывает как первая степень расстояния [см. (24.5)].
Это неудивительно: на больших расстояниях от диполя заряды кажутся столь близкими друг к другу, что взаимно нейтрализуются.
Во многих молекулах, в целом электрически нейтральных, электроны проводят больше времени у одного атома, чем у другого, что эквивалентно разделению зарядов. Такие молекулы обладают дипольным моментом и называются полярными.

Зная напряженность электрического поля, создаваемого данным распределением зарядов, можно рассчитать разность потенциалов между любыми двумя точками, пользуясь формулой (24.4). Но нередко поле Е неизвестно и его сложно рассчитать. Потенциал любого распределения зарядов можно получить иным и часто более простым способом, вычисляя потенциалы, создаваемые каждым точечным зарядом и затем суммируя их.
Если имеется n точечных зарядов, то потенциал в некоторой точке c равен

где r_ic — расстояние от i-го заряда Q_i до точки c. Такой подход использовался в примере 24.4 Джанколи для случая диполя (разд. 24.6). Если распределение зарядов можно считать непрерывным, тогда:

где r — расстояние от элемента заряда dq до точки, в которой определяется V.

Продолжение следует. Коротко о следующей публикации:

Определение напряженности электрического поля Е с помощью потенциала V.
Составляющая напряженности электрического поля по любому направлению равна градиенту потенциала в этом направлении, взятому с обратным знаком. Градиентом потенциала V называется его производная по определенному направлению dV/dl. Если направление не указывается, то градиент соответствует направлению наиболее быстрого изменения потенциала.

Альтернативные статьи:
Постоянный ток, Переменный ток.

---

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!