ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· врСмя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°: ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° | Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ расчСты ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ – Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°: Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ — минимальноС врСмя, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ цикличСски двиТущаяся систСма возвращаСтся Π² исходноС состояниС.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ

$T = \frac{t}{n}$,

Π³Π΄Π΅ $t$ — врСмя всСх ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, $n$ — ΠΈΡ… количСство.

ЗакономСрности, связанныС с колСбаниями, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ двиТущСгося Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмы дСйствуСт всСго ΠΎΠ΄Π½Π° сила — сила упругости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ (Π΅Π΅ вСсом ΠΈ силами сопротивлСния срСды ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ). Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ устройство относится ΠΊ Ρ‚.Π½. Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ гармоничСским осцилляторам — систСмам, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ зависимости скорости Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся синусоида.

Ѐункция силы ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ маятникС, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ:

$F(t) = m \cdot a (t) = -m \cdot \omega^2 \cdot x$ (t), Π³Π΄Π΅:

  • $m$ — масса,
  • $a$ — ускорСниС,
  • $\omega$ — круговая частота гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ,
  • $x$ — ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π‘ΠΈΠ»Π° упругости зависит лишь ΠΎΡ‚ коэффициСнта упругости ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ растяТСния ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹:

$F_{ΡƒΠΏΡ€} = -k \cdot x$

ОбъСдинив эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

$m \cdot a = -kx = m \cdot \omega_0^2 \cdot x$,

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° $\omega_0$ называСтся собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника. Π•Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ, исходя ΠΈΠ· Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ

$\omega_0 = \sqrt\frac{k}{m}$.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ связан с собствСнной частотой ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$,

Π³Π΄Π΅ $2\pi$ — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π°, выраТСнная Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Из этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ массы ΠΈ упругости:

$T = 2\pi \cdot \sqrt\frac{m}{k}$.

Для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСм класса гармоничСских осцилляторов (матСматичСского маятника, ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ маятника) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ находятся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ лишь систСмы сил, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚Π΅Π»ΠΎ. Π’Π°ΠΊ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника зависит (ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… отклонСния ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ) ΠΎΡ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ подвСса.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Найти ΠΆΡ‘ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника с Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΌ массой 0,1 ΠΊΠ³, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ составляСт 1 с.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ значСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

$1 = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt\frac{0,1}{k}$

$1^2 = 4 \cdot 3,14^2 \cdot \frac{0,01}{k^2}$

$k = \sqrt {4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,01} = 0,628 \frac{Н}{м}$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $0,628 \frac{Н}{ΠΌ}$.

Π€Π˜Π—Π˜ΠšΠ: Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈΒ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания — ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈΒ Π½Π°Β ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Β«Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈΒ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания».

НазваниС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹
ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°
Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ
A
ΠΌ
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ
T
с
T = 1 / v ;
T = t / N
Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ
v
Π“Ρ†
v = 1 / T ;
v = N / t
Число ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ врСмя
N
N = t /T ;
N = vt
ВрСмя
t
с
t = NT ;
t = N / v
ЦикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ
Β Ο‰
Π“Ρ†
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника
T
c
ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника
T
c
Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ
x(t) = Asin(Ο‰t+Ο†0)

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π Π« Π Π•Π¨Π•ΠΠ˜Π― ЗАДАЧ


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 1. Β Π¨Π°Ρ€ΠΈΠΊ Π½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ» 60 ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π° 2 ΠΌΠΈΠ½. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частоту ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠ°.


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 2.  На рисункС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ зависимости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π°.

По Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅:Β 1) Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ;Β 2) ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ;Β 3) частоту ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ;Β 4) Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 3. Β 

Амплитуда Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ струны 2 ΠΌΠΌ, частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ 1 ΠΊΠ“Ρ†. Какой ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° струны Π·Π° 0,4 с? КакоС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ?


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 4. Β ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ измСнСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ частоту ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ зависимости x(t) ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 0,1 ΠΈ 0,2 с послС Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° отсчСта Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Β 


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 5.  Какова Π΄Π»ΠΈΠ½Π° матСматичСского маятника, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ гармоничСскиС колСбания с частотой 0,5 Π“Ρ† Π½Π° повСрхности Π›ΡƒΠ½Ρ‹? УскорСниС свободного падСния Π½Π° повСрхности Π›ΡƒΠ½Ρ‹ 1,6 ΠΌ/с2.


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 6. Β Π“Ρ€ΡƒΠ· массой 400 Π³ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ колСбания Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ с ΠΆΠ΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 250 Н/ΠΌ. Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ 15 см. Найти ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°.


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 7.  Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΠ΅Π² Π²ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π² срСднСм 3 Π“Ρ†. Бколько Π²Π·ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ² ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΡΠΌΠΈ сдСлаСт Π²ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ»Π΅Ρ‚Π΅Π² ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ 650 ΠΌ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 13 ΠΌ/с?

Β 


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 8.  ГармоничСскоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅ описываСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌΒ 
Β Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ цикличСская частота колСбаний, линСйная частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ?

Β 


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 9. Β ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 0,99 ΠΌ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 50 ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π·Π° 1 ΠΌΠΈΠ½ 40 с. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ускорСниС свободного падСния Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ мСстС Π½Π° повСрхности Π—Π΅ΠΌΠ»ΠΈ? (МоТно ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΒ Ο€2Β = 9,87.)


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 10. Β  ΠžΠ“Π­  Как ΠΈ Π²ΠΎ сколько Ρ€Π°Π· измСнится ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, Ссли ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΡˆΠ°Ρ€ΠΈΠΊΠΎΠΌ, радиус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ мСньшС, Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС?


Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β„– 11. Β Β  Π•Π“Π­ Β Π”Π²Π° матСматичСских маятника Π·Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ N

1 = 30, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” N2 = 40 ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Какова Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ссли Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½ Ξ”l = 7 см?


Β 

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠ°Ρ тСория для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈΒ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания.

Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания

Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания

Β 


Π­Ρ‚ΠΎ конспСкт ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Β«Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜ Π½Π° ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания». Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ дальнСйшиС дСйствия:

Β 

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ колСбания — ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅

Β 


Автор β€” ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€, Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… пособий для ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­ Π˜Π³ΠΎΡ€ΡŒ ВячСславович Π―ΠΊΠΎΠ²Π»Π΅Π²

Π’Π΅ΠΌΡ‹ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π•Π“Π­ : гармоничСскиС колСбания; Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π°, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄, частота, Ρ„Π°Π·Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ; свободныС колСбания, Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания, рСзонанс.

КолСбания — это ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ измСнСния состояния систСмы. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ явлСний.

КолСбания мСханичСских систСм, ΠΈΠ»ΠΈ мСханичСскиС колСбания — это мСханичСскоС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ систСмы Ρ‚Π΅Π», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ происходит Π² окрСстности полоТСния равновСсия.

ПолоТСниСм равновСсия называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ состояниС систСмы, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ, Π½Π΅ испытывая Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… воздСйствий.

НапримСр, Ссли маятник ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ начнутся колСбания. ПолоТСниС равновСсия — это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ маятника ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии отклонСния. Π’ этом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ маятник, Ссли Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠ³Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ. ΠŸΡ€ΠΈ колСбаниях маятник ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия.

Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ маятник отпустили, ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ‡Π°Π» Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡ‘Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, достиг ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ полоТСния, Π½Π° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ остановился Π² Π½Ρ‘ΠΌ, двинулся Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, снова ΠΏΡ€ΠΎΡˆΡ‘Π» ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия ΠΈ вСрнулся Π½Π°Π·Π°Π΄. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ

ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅. Π”Π°Π»ΡŒΡˆΠ΅ этот процСсс Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСриодичСски ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ.

Амплитуда ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ‚Π΅Π»Π° — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ наибольшСго отклонСния ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия.

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ — это врСмя ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ колСбания. МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹.

Частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ — это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρƒ: . Частота измСряСтся Π² Π³Π΅Ρ€Ρ†Π°Ρ… (Π“Ρ†) ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сСкунду.

ГармоничСскиС колСбания.

Β 

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° опрСдСляСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ-СдинствСнной ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΠΉ . ПолоТСнию равновСсия ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Основная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС состоит Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Для матСматичСского описания ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ СстСствСнно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ пСриодичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… — синус ΠΈ косинус — ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ самыми Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π£ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… свойств, ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ тСсно связаны с ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ физичСских явлСний.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синус ΠΈ косинус ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° сдвигом Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. ΠœΡ‹ для опрСдСлённости Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ косинус.

ГармоничСскиС колСбания — это колСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ:

(1)

Выясним смысл входящих Π² эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° являСтся наибольшим ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля косинуса Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅), Ρ‚. Π΅. наибольшим ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ — Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

АргумСнт косинуса называСтся Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° , равная Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ , называСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ. ΠΠ°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„Π°Π·Π° ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ Ρ‚Π΅Π»Π°: .

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся цикличСской частотой. Найдём Π΅Ρ‘ связь с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ частотой . ΠžΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ колСбанию ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°Π·Ρ‹, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½: , ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°

(2)

(3)

Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ цикличСская частота Π² Ρ€Π°Π΄/с (Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½ Π² сСкунду).

Π’ соотвСтствии с выраТСниями (2) ΠΈ (3) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ записи гармоничСского Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° (1):

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (1), Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½ Π½Π° рис. 1.

x=Acos(\frac{\displaystyle 2\pi t }{\displaystyle T}+ \alpha), x=Acos(2 \pi \nu t + \alpha)
Рис. 1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

Β 

ГармоничСский Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π²ΠΈΠ΄Π° (1) носит самый ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€. Он ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ситуации, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° с маятником ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… дСйствия: ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Π»ΠΈ Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π˜ΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… частных случая, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· этих дСйствий Π½Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π»ΠΎΡΡŒ.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ маятник ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½ΠΈΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости Π½Π΅ сообщали (отпустили Π±Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости). Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этом случаС , поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ . ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса:

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² этом случаС прСдставлСн Π½Π° рис. 2.

x=Acos \omega t
Рис. 2. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ косинуса

Β 

Допустим Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ маятник Π½Π΅ отклоняли, Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π°Ρ€ΠΎΠΌ сообщили Π΅ΠΌΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. Π’ этом случаС , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса:

.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ прСдставлСн Π½Π° рис. 3.

x=Asin \omega t
Рис. 3. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ синуса

Β 

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Β 

ВСрнёмся ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ (1). Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ это равСнство:

. (4)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство (4):

. (5)

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ сопоставим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (1) для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5) для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ускорСния. ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция ускорСния отличаСтся ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ лишь ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ :

. (6)

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π•Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

. (7)

C матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (7) являСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. РСшСниями Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ слуТат Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π° Π½Π΅ числа, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅).
Π’Π°ΠΊ Π²ΠΎΡ‚, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

-Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния (7) являСтся всякая функция Π²ΠΈΠ΄Π° (1) с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ;

-никакая другая функция Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π½Π΅ являСтся.

Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ (6), (7) ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ гармоничСскиС колСбания с цикличСской частотой ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΡ…. Π”Π²Π΅ константы ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий — ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ скорости.

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник.

Β 

ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник — это Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠ·, способный ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ колСбания Π² Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Найдём ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника (рис. 4). КолСбания Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСньшС Π΅Ρ‘ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… дСформациях ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π“ΡƒΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания окаТутся гармоничСскими.

Π’Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ. Π“Ρ€ΡƒΠ· ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ массу , ΠΆΡ‘ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° .

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π° Π½Π΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°.

x=0
Рис. 4. ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник

Β 

Π’ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€ΡƒΠ· дСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ сила упругости со стороны ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° для Π³Ρ€ΡƒΠ·Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ось ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

. (8)

Если (Π³Ρ€ΡƒΠ· смСщён Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° рисункС), Ρ‚ΠΎ сила упругости Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону, ΠΈ . Наоборот, Ссли , Ρ‚ΠΎ . Π—Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ всё врСмя ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹, поэтому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π“ΡƒΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (8) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

ΠΈΠ»ΠΈ

.

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (6), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ

.

ЦикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ€Π°Π²Π½Π°:

. (9)

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника:

. (10)

Если ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅ΡΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ· Π½Π° ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π΅, Ρ‚ΠΎ получится ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ маятник, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ колСбания Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² этом случаС для ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ справСдлива Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (10).

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник.

Β 

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник — это нСбольшоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, подвСшСнноС Π½Π° нСвСсомой нСрастяТимой Π½ΠΈΡ‚ΠΈ (рис. 5). ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ колСбания Π² Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ силы тяТСсти.
T=2 \pi \sqrt{\frac{\displaystyle m}{\displaystyle k}}
Рис. 5. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ маятник

Β 

Найдём ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° . Π‘ΠΎΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡ…Π° ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Π³Π°Π΅ΠΌ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ для маятника Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°:

,

ΠΈ спроСктируСм Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ось :

.

Если маятник Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° рисункС (Ρ‚. Π΅. ), Ρ‚ΠΎ:

.

Если ΠΆΠ΅ маятник находится ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия (Ρ‚. Π΅. ), Ρ‚ΠΎ:

.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ любом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ маятника ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

. (11)

Когда маятник покоится Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ равновСсия, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ равСнство . ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… колСбаниях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° отклонСния маятника ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия ΠΌΠ°Π»Ρ‹ (ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ), Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ равСнство . Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠΌ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (11):

,

ΠΈΠ»ΠΈ

.

Π­Ρ‚ΠΎ — ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° (6), Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ

.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, цикличСская частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Ρ€Π°Π²Π½Π°:

. (12)

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника:

. (13)

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (13) Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ масса Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°. Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСского маятника Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ массы.

Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания.

Β 

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ свободныС колСбания, Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΈΠ· полоТСния равновСсия ΠΈ Π² дальнСйшСм прСдоставлСна сама сСбС. Никаких пСриодичСских Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ…
воздСйствий систСма ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ испытываСт, ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… источников энСргии, ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… колСбания, Π² систСмС Π½Π΅Ρ‚.

РассмотрСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ колСбания ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ.

Частота, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ свободныС колСбания, называСтся собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы. Π’Π°ΠΊ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (9) ΠΈ (12) Π΄Π°ΡŽΡ‚ собствСнныС (цикличСскиС) частоты ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ матСматичСского маятников.

Π’ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ситуации ΠΏΡ€ΠΈ отсутствии трСния свободныС колСбания ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΈ длятся Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… систСмах всСгда присутствуСт Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, поэтому свободныС колСбания постСпСнно Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚ (рис. 6).

T=2\pi \sqrt{\frac{\displaystyle l}{\displaystyle g}}
Рис. 6. Π—Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ колСбания

Β 

Π’Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания — это колСбания, ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ систСмой ΠΏΠΎΠ΄ воздСйствиСм внСшнСй силы , пСриодичСски ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собствСнная частота ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° , Π° Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила зависит ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ:

.

Π’ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ происходит установлСниС Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ: систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ слоТноС Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ свободных ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π‘Π²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ колСбания постСпСнно Π·Π°Ρ‚ΡƒΡ…Π°ΡŽΡ‚, ΠΈ Π² ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠ΅ΠΌΡΡ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ систСма ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ колСбания, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ гармоничСскими. Частота ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ совпадаСт с частотой
Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы (внСшняя сила ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ навязываСт систСмС свою частоту).

Амплитуда ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ зависит ΠΎΡ‚ частоты Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой зависимости ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° рис. 7.

\omega
Рис. 7. РСзонанс

Β 

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ частоты наступаСт рСзонанс — явлСниС возрастания Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. РСзонансная частота ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° собствСнной частотС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ систСмы: , ΠΈ это равСнство выполняСтся Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² систСмС. ΠŸΡ€ΠΈ отсутствии трСния рСзонансная частота совпадаСт с собствСнной частотой ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ, , Π° Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ возрастаСт Π΄ΠΎ бСсконСчности ΠΏΡ€ΠΈ .

Β 

ГармоничСскиС колСбания. | ОбъСдинСниС ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π‘Π°Π½ΠΊΡ‚-ΠŸΠ΅Ρ‚Π΅Ρ€Π±ΡƒΡ€Π³Π°

Π“ΠΠ ΠœΠžΠΠ˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ΠšΠžΠ›Π•Π‘ΠΠΠ˜Π―

КолСбания, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… измСнСния физичСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ происходят ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ косинуса ΠΈΠ»ΠΈ синуса (гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ), Π½Π°Π·. гармоничСскими колСбаниями.

НапримСр, Π² случаС мСханичСских гармоничСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ:.

Π’ этих формулах ω – частота колСбания,Β xm – Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° колСбания,Β Ο†0Β ΠΈΒ Ο†0’ – Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°Π·Ρ‹ колСбания. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΒ Ο†0’ =Β Ο†0Β +Ο€/2 ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

гармоничСскими колСбаниями

Β 

гармоничСскими колСбаниями

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ пСриодичСских ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠšΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (синус ΠΈΠ»ΠΈ косинус) зависит ΠΎΡ‚ способа вывСдСния систСмы ΠΈΠ· полоТСния равновСсия. Если Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ происходит Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ (сообщаСтся кинСтичСская энСргия), Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΒ t=0  смСщСниС Ρ…=0, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ sin, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²Β Ο†0’=0; ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия (сообщаСтся ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ энСргия) ΠΏΡ€ΠΈΒ t=0 смСщСниС х=Ρ…m, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉΒ cosΒ ΠΈΒ Ο†0=0.

Β 

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, стоящСС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΒ cosΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ sin, Π½Π°Π·.Β Ρ„Π°Π·ΠΎΠΉ колСбания:Β Ρ„Π°Π·Π° колСбания.

Π€Π°Π·Π° колСбания измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΠΈ опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСщСния (ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹) Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Ρ„Π°Π·Π° колСбания

Амплитуда колСбания зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ отклонСния (Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии, сообщСнной ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС).

Β 

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях.

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ скорости, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ врСмСни Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ скорости, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ – это производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ при гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ колСбания скорости ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ колСбания смСщСния ΠΏΠΎ Ρ„Π°Π·Π΅ Π½Π°Β Ο€/2.

Β 

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β  максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости)Β — максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости).

 максимальная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ скорости)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для скорости ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: для скорости ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΈ,Β Β Π° для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ фазы для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹ Β (см. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ускорСния, ускорСниС – это производная ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ:

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ускорСния, ускорСниС – это производная ΠΎΡ‚ скорости ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈΒ — вторая производная ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: УскорСниС ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

УскорСниС при гармоничСском ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈΒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся ΠΏΠΎ гармоничСскому Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ колСбания ускорСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ колСбания скорости Π½Π°Β Ο€/2 ΠΈ колСбания смСщСния на π (говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ колСбания происходят в ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ„Π°Π·Π΅).

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°Β ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

— максимальноС ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ,Β Π° для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹: для случая Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°Π·Ρ‹Β (см. Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ).

максимальноС ускорСниС (Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π° ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ускорСния). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для ускорСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

Из Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° процСсса ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… матСматичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π»ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ полоТСния равновСсия (смСщСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ) ускорСниС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° максимальна (Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ), Π° ΠΏΡ€ΠΈ достиТСнии Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния смСщСния – ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° ускорСниС максимально ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŽ (Ρ‚Π΅Π»ΠΎ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ своСго двиТСния).

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях:

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠΌ выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях   и    Бравним выраТСния для смСщСния ΠΈ ускорСния ΠΏΡ€ΠΈ гармоничСских колСбаниях.

Β 

МоТно Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ: вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽΒ —

Ρ‚.Π΅. вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·. ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ гармоничСского колСбания. Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ выполняСтся для любого гармоничСского колСбания, нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π½ΠΈΠ³Π΄Π΅ Π½Π΅ использовали ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ цикличСская частота.

вторая производная смСщСния прямо ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ) ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ

Часто Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:Β  уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ,

Π³Π΄Π΅Β T – ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ колСбания. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли врСмя Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² долях ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° подсчСты Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. НапримСр, Ссли Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ смСщСниС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1/8 ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:Β Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, Ссли врСмя Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² долях ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° подсчСты Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Аналогично для скорости ΠΈ ускорСния.

 уравнСния для ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ

ВычислСниС Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ — Excel

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, сколько Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ трСбуСтся для сотрудника, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ сборки, ΠΈΠ»ΠΈ Быстрый Π·Π°ΠΊΠ°Π· Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² часы ΠΏΠΈΠΊ. БущСствуСт нСсколько способов расчСта Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π² стандартном Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Для прСдставлСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π² стандартном Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (часы: ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹: сСкунды) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π°. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ вычитания () ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для опрСдСлСния Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΈΠΆΠ΅ дСйствий.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π° ΠΊ ячСйкС, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ дСйствия.

  1. Π’Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ячСйку.

  2. На Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ Главная Π² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ число Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈΡ‚Π΅ стрСлку рядом с ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ числовыС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Ρ‹.

  3. Π’ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ ячССк Π² спискС ΠšΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ , Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ настраиваСмый Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ значСния ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ тСкст .Если Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, часы Π½Π΅ всСгда ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ 60, Π° сСкунды Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π² сСкундах β€” 60.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1: Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ прСдставлСн Π² стандартном Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Π‘ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π½Π° пустой лист, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π΅.

1

2

3


чСтырСхпроцСссорном


5


152

7


No8


9

A

B

ВрСмя Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°

ВрСмя окончания

6/9/2007 10:35 AM

6/9/2007 3:30 PM

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ОписаниС (Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚)

=B2-A2

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (4). Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ячСйкС ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ «h».

=B2-A2

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (4:55). Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ячСйкС ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ «Ρ‡: ΠΌΠΌ».

=B2-A2

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов, ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ ΠΈ сСкунд ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (4:55:00). Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ячСйкС настраиваСмый Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ «Ρ‡: Π‘Π‘».

= Π’Π•ΠšΠ‘Π’ (B2. a2; «h»)

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тСкст (4) Π² ячСйкС, ΠΎΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ «h».

= Π’Π•ΠšΠ‘Π’ (B2. a2; «Ρ‡: ΠΌΠΌ»)

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тСкст (4:55) Π² ячСйкС, ΠΎΡ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ «Ρ‡: ΠΌΠΌ».

= Π’Π•ΠšΠ‘Π’ (B2; a2; «Ρ‡: Π‘Π‘»)

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ часов, ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ ΠΈ сСкунд ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тСкст (4:55:00) Π² ячСйкС с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΎΠΌ «Ρ‡: Π‘Π‘».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Если Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тСкст , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ячСйкС числовой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚, функция тСкст ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅Ρ‚ Π½Π°Π΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ячССк.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свСдСния ΠΎΠ± использовании этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ функция тСкст ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ числа Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 2 β€” прСдставлСниС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π½Π° основС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Для выполнСния этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ функция Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ часы, ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΈ сСкунды , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π‘ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»Π΅Ρ‚ΠΎ пустой лист, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ внСситС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ измСнСния.

1

2

3


чСтырСхпроцСссорном


5


152

7


No8


9

A

B

ВрСмя Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°

ВрСмя окончания

6/9/2007 10:35 AM

6/9/2007 3:30 PM

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°

ОписаниС (Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚)

= INT ((B2-A2) * 24)

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство часов ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (4)

= (B2-A2) * 1440

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (295)

= (B2-A2) * 86400

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ количСство сСкунд ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (17700)

= HOUR (B2-A2)

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ 24 (4).

= МИНУВА (B2-A2)

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π°Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ 60 (55).

= Π‘Π•ΠšΠ£ΠΠ” (B2-A2)

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя сСкундами Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ 60 (0).

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свСдСния ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ int, функция Hour, функция ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΈ Вторая функция.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅:Β  Π­Ρ‚Π° страница ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° автоматичСски, поэтому Π΅Π΅ тСкст ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ нСточности ΠΈ грамматичСскиС ошибки. Для нас Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π±Ρ‹Π»Π° Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π°. Π‘Ρ‹Π»Π° Π»ΠΈ информация ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ? Для удобства Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ссылку Π½Π° ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π» (Π½Π° английском языкС).

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ маятника | ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ маятника β€” наимСньший ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ осциллятор ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠ΅


ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ маятника

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ матСматичСского маятника

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ физичСского маятника

ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ маятника

Π’ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΌΡ‹ использовали :

β€” ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ маятника

β€” Масса Π³Ρ€ΡƒΠ·Π°, ΠΈΠ»ΠΈ масса маятника

β€” Π–Π΅ΡΡ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½Ρ‹

β€” Π”Π»ΠΈΠ½Π° подвСса

β€” УскорСниС свободного падСния

β€” ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ маятника ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния

β€” РасстояниС ΠΎΡ‚ оси вращСния Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс

β€” ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°

β€” Π’Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Тёсткости маятника

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *