Физика: формула периода колебаний
Определение 1
Период колебаний — минимальное время, за которое циклически движущаяся система возвращается в исходное состояние.
Период колебаний можно найти как
$T = \frac{t}{n}$,
где $t$ — время всех колебаний, $n$ — их количество.
Закономерности, связанные с колебаниями, удобно изучать с помощью модели движущегося в горизонтальной плоскости пружинного маятника, поскольку внутри такой системы действует всего одна сила — сила упругости пружины (ее весом и силами сопротивления среды можно пренебречь). Такое устройство относится к т.н. линейным гармоническим осцилляторам — системам, графиком зависимости скорости тела от времени для которых является синусоида.
Функция силы от времени, действующая в пружинном маятнике, может быть выражена как:
$F(t) = m \cdot a (t) = -m \cdot \omega^2 \cdot x$ (t), где:
- $m$ — масса,
- $a$ — ускорение,
- $\omega$ — круговая частота гармонических колебаний,
- $x$ — приращение длины в данный момент времени.
Сила упругости зависит лишь от коэффициента упругости пружины и растяжения пружины:
$F_{упр} = -k \cdot x$
Объединив эти две формулы, получим:
$m \cdot a = -kx = m \cdot \omega_0^2 \cdot x$,
Величина $\omega_0$ называется собственной частотой колебательной пружинного маятника. Ее можно выразить, исходя из вышеизложенного, как
$\omega_0 = \sqrt\frac{k}{m}$.
Период колебаний связан с собственной частотой отношением
$T = \frac{2\pi}{\omega_0}$,
где $2\pi$ — длина одного цикла, выраженная в радианах. Из этого можно выразить период как зависимость от массы и упругости:
$T = 2\pi \cdot \sqrt\frac{m}{k}$.
Для других колебательных систем класса гармонических осцилляторов (математического маятника, крутильного маятника) периоды колебаний находятся аналогично. Различаются лишь системы сил, действующие на тело. Так, период колебаний математического маятника зависит (при небольших углах отклонения от вертикали) от длины подвеса.
Пример 1
Найти жёсткость пружины пружинного маятника с грузом массой 0,1 кг, если период его колебаний составляет 1 с.
Подставляем значения в формулу:
$1 = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt\frac{0,1}{k}$
$1^2 = 4 \cdot 3,14^2 \cdot \frac{0,01}{k^2}$
$k = \sqrt {4 \cdot 3,14^2 \cdot 0,01} = 0,628 \frac{Н}{м}$
Ответ: $0,628 \frac{Н}{м}$.
ФИЗИКА: Задачи на Механические колебания — Ответы и решения
Задачи на Механические колебания с решениями
Формулы, используемые на уроках «Задачи на Механические колебания».
Название величины | Обозначение | Единица измерения | Формула |
Амплитуда колебаний | A | м | |
Период колебаний | T | с | T = 1 / v ;T = t / N |
Частота колебаний | v | Гц | v = 1 / T ;v = N / t |
Число колебаний за какое-то время | N | N = t /T ;N = vt | |
Время | t | с | t = NT ;t = N / v |
Циклическая частота колебаний | ω | Гц | |
Период колебаний пружинного маятника | T | c | |
Период колебаний математического маятника | T | c | |
Уравнение гармонических колебаний | x(t) = Asin(ωt+φ0) |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача № 1. Шарик на нити совершил 60 колебаний за 2 мин. Определите период и частоту колебаний шарика.
Задача № 2. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени колеблющегося тела.
По графику определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) частоту колебаний; 4) запишите уравнение координаты.
Задача № 3.
Задача № 4. Пользуясь графиком изменения координаты колеблющегося тела от времени, определить амплитуду, период и частоту колебаний. Записать уравнение зависимости x(t) и найти координату тела через 0,1 и 0,2 с после начала отсчета времени.
Задача № 5. Какова длина математического маятника, совершающего гармонические колебания с частотой 0,5 Гц на поверхности Луны? Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с2.
Задача № 6. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найти полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.
Задача № 7. Частота колебаний крыльев вороны в полете равна в среднем 3 Гц. Сколько взмахов крыльями сделает ворона, пролетев путь 650 м со скоростью 13 м/с?
Задача № 8.
Гармоническое колебание описывается уравнением
Чему равны циклическая частота колебаний, линейная частота колебаний, начальная фаза колебаний?
Задача № 9. Математический маятник длиной 0,99 м совершает 50 полных колебаний за 1 мин 40 с. Чему равно ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли? (Можно принять π2 = 9,87.)
Задача № 10. ОГЭ Как и во сколько раз изменится период колебаний пружинного маятника, если шарик на пружине заменить другим шариком, радиус которого вдвое меньше, а плотность — в два раза больше?
Задача № 11.
ЕГЭ
Два математических маятника за одно и то же время совершают — первый N
Краткая теория для решения Задачи на Механические колебания.
Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Механические колебания». Выберите дальнейшие действия:
Механические колебания — материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике
Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.
Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.
Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия.
Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.
Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно
Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.
Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.
Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.
Гармонические колебания.
Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.
Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.
Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
(1)
Выясним смысл входящих в эту формулу величин.
Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.
Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .
Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда
(2)
(3)
Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):
.
График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.
 |
| Рис. 1. График гармонических колебаний |
Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.
Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:
.
График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.
 |
| Рис. 2. Закон косинуса |
Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:
.
График колебаний представлен на рис. 3.
 |
| Рис. 3. Закон синуса |
Уравнение гармонических колебаний.
Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
. (4)
Теперь дифференцируем полученное равенство (4):
. (5)
Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
. (6)
Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
. (7)
C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:
-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;
-никакая другая функция решением данного уравнения не является.
Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.
Пружинный маятник.
Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.
Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.
Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .
Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.
 |
| Рис. 4. Пружинный маятник |
В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:
. (8)
Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:
Тогда соотношение (8) принимает вид:
или
.
Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
.
Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
. (9)
Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
. (10)
Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).
Математический маятник.
Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.
 |
| Рис. 5. Математический маятник |
Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Запишем для маятника второй закон Ньютона:
,
и спроектируем его на ось :
.
Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:
.
Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:
.
Итак, при любом положении маятника имеем:
. (11)
Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):
,
или
.
Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
.
Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
. (12)
Отсюда период колебаний математического маятника:
. (13)
Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.
Свободные и вынужденные колебания.
Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.
Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.
Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.
В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).
 |
| Рис. 6. Затухающие колебания |
Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
.
В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.
 |
| Рис. 7. Резонанс |
Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ | ||
Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, xm – амплитуда колебания, φ0 и φ0’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ0’ = φ0 +π/2 полностью совпадают. |
| |
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ0’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=хm, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ0=0. |
| |
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени. |
| |
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе). |
| |
Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. | ||
Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени |
| |
Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2. |
| |
Величина |
| |
Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: |
| |
Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:
Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе). | ||
Величина — максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: |
| |
Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения). | ||
Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:
|
| |
Можно записать: т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота. |
| |
Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: |
| |
.
— максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).
, а для случая нулевой начальной фазы 
(см. график).
— вторая производная от координаты по времени. Тогда: 
.
, а для случая нулевой начальной фазы: 
(см. график).
и 
.
—
,
. Аналогично для скорости и ускорения.Вычисление разницы во времени — Excel
Предположим, вам нужно узнать, сколько времени требуется для сотрудника, чтобы завершить операцию сборки, или Быстрый заказ на питание, который будет обрабатываться в часы пик. Существует несколько способов расчета разницы между двумя значениями.
Представление результата в стандартном формате времени
Для представления результатов в стандартном формате времени (часы: минуты: секунды) можно использовать два подхода. Оператор вычитания (—) используется для определения разницы между временем, а затем выполните одно из указанных ниже действий.
Примените пользовательский код формата к ячейке, выполнив указанные ниже действия.
-
Выделите ячейку.
-
На вкладке Главная в группе число щелкните стрелку рядом с полем Общие и выберите пункт другие числовые форматы.
-
В диалоговом окне Формат ячеек в списке Категория выберите пункт другой , а затем в поле тип выберите настраиваемый формат.
Чтобы отформатировать значения параметров, используйте функцию текст .Если вы используете коды форматов времени, часы не всегда превышают 60, а секунды не предельной, а в секундах — 60.
Пример таблицы 1: результат представлен в стандартном формате времени
Скопируйте приведенную ниже таблицу на пустой лист, а затем при необходимости измените ее.
|
|
Примечание: Если вы используете как формат, примененный к функции текст , так и примените к ячейке числовой формат, функция текст имеет приоритет над форматированием ячеек.
Дополнительные сведения об использовании этих функций можно найти в разделе функция текст и отобразить числа в виде дат или времени.
Пример таблицы 2 — представление результата на основе одного единицы времени
Для выполнения этой задачи используется функция целое или часы, минутыи секунды , как показано в следующем примере.
Скопируйте приведенный ниже таблето пустой лист, а затем внесите необходимые изменения.
|
|
Дополнительные сведения о том, как использовать эти функции, можно найти в разделе int, функция Hour, функция минутыи Вторая функция.
Примечание: Эта страница переведена автоматически, поэтому ее текст может содержать неточности и грамматические ошибки. Для нас важно, чтобы эта статья была вам полезна. Была ли информация полезной? Для удобства также приводим ссылку на оригинал (на английском языке).
Период колебаний маятника | Все формулы
Период колебаний маятника — наименьший промежуток времени, за который осциллятор совершает одно полное колебание
Период пружинного маятника
Период математического маятника
Период физического маятника
Период крутильного маятника
В Формуле мы использовали :
— Период колебаний маятника
— Масса груза, или масса маятника
— Жесткость пружины
— Длина подвеса
— Ускорение свободного падения
— Момент инерции маятника относительно оси вращения
— Расстояние от оси вращения до центра масс
— Момент инерции тела
— Вращательный коэффициент жёсткости маятника