2. Электрическое поле. Напряженность поля, электрический потенциал и напряжение.

В пространстве вокруг электрически заряженного тела существует электрическое

поле, представляющее собой один из видов материи. Электрическое поле обладает энергией, которая проявляется в виде сил, действующих на находящиеся в поле заряженные тела.

Электрическое поле условно изображают в виде силовых линий, которые направлены в ту сторону, в которую двигалась бы в поле положительно заряженная частица.

Н

апряженность поля. Электрическое поле действует на внесенный в него заряд q (рис. 4) с некоторой силой F. Следовательно, об интенсивности электрического поля можно судить по значению силы, с которой притягивается или отталкивается некоторый электрический заряд. В электротехнике интенсивность поля характеризуют напряженностью электрического поля Е, под которой понимают отношение силы F, действующей на заряженное тело в данной точке поля, к заряду q этого тела:

E= F/q

По мере удаления от заряженного тела силовые линии электрического поля располагаются реже, т. е. напряженность поля

E уменьшается (рис. 3,а,б и в). Только в однородном электрическом поле (рис. 3,г) напряженность одинакова во всех его точках.

Электрический потенциал. Электрическое поле обладает определенным запасом энергии, т. е. способностью совершать работу, которая может быть реализована, если внести в него какой-либо заряд. Этот заряд будет перемещаться по направлению силовых линий, совершая определенную работу. Для характеристики энергии, запасенной в каждой точке электрического поля, введено специальное понятие — электрический потенциал. Электрический потенциал

φ поля в данной точке равен работе, которую могут совершить силы этого поля при перемещении единицы положительного заряда из этой точки за пределы поля.

За нулевой потенциал условно принимают потенциал, который имеет поверхность земли.

Электрическое напряжение.Разные точки электрического поля обладают разными потенциалами. Обычно нас мало интересует абсолютная величина потенциалов отдельных точек электрического поля, важнее знать разность потенциалов φ₁-φ₂ между двумя точками поля

А и Б (рис. 5). Разность потенциалов φ₁ и φ₂ двух точек поля характеризует собой работу, затрачиваемую силами поля на перемещение заряда из одной точки поля с большим потенциалом в другую — точку с меньшим потенциалом и носит название электрического

напряжения. Электрическое напряжение обозначают буквой U.

Единицей электрического напряжения служит Вольт (В).

3. Электрический ток и электропроводность вещества.

В веществе, помещенном в электрическое поле, возникает процесс направленного движения элементарных носителей электричества. Заряженными частицами являются электроны или ионы. Движение этих электрически заряженных частиц называется электрическим током.

Единицей силы тока служит Ампер (А). Это такой ток, при котором через поперечное сечение проводника каждую секунду проходит количество электричества, равное 1 Кл. В формулах ток обозначают буквой I.

В электротехнике широко применяют как постоянный, так и переменный ток. Постоянным называют ток, значение и направление которого в любой момент времени остаются неизменными (рис. 6, а). Токи, значение и направление которых не остаются постоянными, называют изменяющимися, или переменными.

Свойство вещества проводить электрический ток под действием электрического поля называют электропроводностью. Электропроводность различных веществ зависит от концентрации свободных электрически заряженных частиц. Чем их больше, тем больше электропроводность данного вещества. Все вещества в зависимости от электропроводности делят на три группы: проводники, диэлектрики (изолирующие материалы) и полупроводники.

Высокая электропроводность металлов объясняется электронной теорией строения атома, согласно которой атомы металлов имеют такое строение, при котором электроны на последней электронной орбите сравнительно слабо связаны с ядрами атомов. Поэтому они свободно перемещаются между атомами, переходя от одного к другому и заполняя пространство между ними. Эти электроны называются свободными.

Если внести металлический проводник в электрическое поле, то свободные электроны под действием сил поля начнут перемещаться в сторону положительного полюса, создавая электрический ток. Таким образом, электрическим током в металлических проводниках называется упорядоченное

(направленное) движение свободных электронов.

1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала

Предположим, что нам известен потенциал  электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке?

Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние

. Тогда работа электрического поля по перемещению зарядаq из одной точки в другую

,

где и () – начальная и конечная координаты заряда, а– изменение потенциала заряда.

С другой стороны по определению элементарная работа силы

(на небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов и приращения радиус-вектора :

,

где  проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной системы координат.

Так как заряд перемещается вдоль оси

, то его координатыине меняются:. Следовательно, получаем:

.

Приравнивая правые части полученных для величины выражений:

, для проекции вектора напряженности на осьx получим:

, (1.9)

т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении.

Аналогично, смещая заряд вдоль оси

или вдоль оси, можно найти величины проекцийи:

, (1.9,а)

. (1.9,б)

Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны:

. (1.9,в)

Вектор, стоящий справа в последнем уравнении, называется градиентом скалярной функции и обозначается. Таким образом

, (1.10)

т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал в каждой точке пространства, где существует электрическое поле, можно определить вектор напряженностив каждой точке этого пространства, и наоборот.

В курсе математического анализа показывается, что , где вектор нормали к поверхности . Функциявозрастает наиболее быстро в направлении. Поскольку, вектортакже перпендикулярен поверхностии направлен в сторону, противоположную нормали, т.е. в сторону убывания потенциала.

1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции

Определим напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Поместим некоторый «пробный» положительный заряд на расстоянииr от заряда . Тогда на заряд действует сила, модуль которой определяется выражением (1.1)

.

По определению напряженности поля (1.3) находим

. (1.11)

Таким образом, величина напряженности электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Согласно (1.3) вектор направлен так же, как и сила, действующая на «пробный» положительный заряд. Если зарядположительный, то векторнаправлен вдоль радиус-вектора(рис.1.3, а), проведенного от точечного заряда в точку наблюдения. Если заряд отрицательный, то векторнаправлен против вектора(рис. 1.3, б). Таким образом, для проекции векторана направление радиус-вектора, проведенного от точечного заряда в точку наблюдения, получится формула

, (1.11,а)

, если , и, если. Напряженность можно записать в векторном виде

. (1.11,б)

Теперь определим потенциал поля точечного заряда, для которого формула (1.10) имеет следующий вид

,

где  проекция вектора напряженности электрического поля на направление радиус вектора, проведенного от точечного заряда в точку, где определяются характеристики поля. Подставляя в нее значение из (1.11,а), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

,

далее интегрируем:

,

где С – константа интегрирования. На бесконечно большом расстоянии () получим. Имея ввиду нулевое значение потенциала бесконечно удаленных точек, получаем. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

. (1.12)

Как потенциал, так и напряженность электростатического поля, подчиняются принципу суперпозиции, который является важнейшим свойством электрического поля. Согласно этому принципу, напряженность поля (потенциал), создаваемая в какой-либо точке пространства системой зарядов, равна векторной (скалярной) сумме напряженностей (потенциалов), создаваемых в этой точке каждым из зарядов

, (1.13)

. (1.14)

Принцип суперпозиции для напряженностей полей точечных зарядов следует из того опытного факта, что сила электрического поля , действующая на «пробный» заряд, равна векторной сумме сил, с которыми каждый из зарядовидействует в отсутствии другого на заряд(рис. 1.4). Отсюда и следует правило векторного сложения напряженностей электрических полей. Действительно, исходя из определения (1.3) напряженности электрического поля следует:

,

где и— напряженности полей одного из зарядов в отсутствии другого. Аналогичные рассуждения, конечно, можно провести не только для двух, но и для любого количества зарядов.

Пример 1.1. Определить потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов и.

Решение. Рассмотрим движение заряда в поле заряда. Пусть заряд, первоначально находившийся на расстоянииот зарядав точке с потенциалом, перемещается по произвольной траектории в точку с потенциалом, находящуюся на расстоянииот заряда. Тогда, согласно (1.7), работа электрического поля зарядапо перемещению зарядаравна:

.

Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов иотносительно друг друга и определяется выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется выражением:

(1.15)

в предположении, что при бесконечно большом расстоянии между зарядами . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются.

Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля. Градиент потенциала. Теорема о циркуляции электрического поля.

Напряженность и потенциал – это две характеристики одного и того же объекта – электрического поля, поэтому между ними должна существовать функциональная связь. Действительно, работа сил поля по перемещению заряда q из одной точки пространства в другую может быть представлена двояким образом:

Откуда следует, что

Или

Это и есть искомая связь между напряженностью и потенциалом электрического поля в дифференциальном виде.

— вектор, направленный из точки с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом.

.

Из свойства потенциальности электростатического поля следует, что работа сил поля по замкнутому контуру (φ₁= φ₂) равна нулю:

,

поэтому можем написать .

Последнее равенство отражает суть второй основной теоремы электростатики – теоремы о циркуляции электрического поля, согласно которой циркуляция полявдоль произвольного замкнутого контура равна нулю. Эта теорема является прямым следствием потенциальности электростатического поля.

Эквипотенциальные линии и поверхности и их свойства.

Линии и поверхности, все точки которых имеют одинаковый потенциал, называются эквипотенциальными. Их свойства непосредственно вытекают из представления работы сил поля и иллюстрируются рисунке.

1)— работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной линии (поверхности) равна нулю, т. к..

2)— силовые линии поля в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной линии (поверхности).

Потенциалы простейших электрических полей.

Из соотношения , определяющего связь между напряженностью и потенциалом электрического поля, следует формула для вычисления потенциала поля:

где интегрирование производится вдоль силовой линии поля; С – произвольная постоянная, с точностью до которой определяется потенциал электрического поля.

Если направление поля совпадает с направлением радиус–вектора(), то вычисления можно производить по формуле:

.

Потенциал поля точечного заряда.

При полагают, что, тогда.

Таким образом, потенциал поля точечного заряда определяется по формуле:

.

Вопросы для самоконтроля

1. Что представляют собой электрические заряды? Какие виды зарядов вы знаете?

2. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда.

3. Сформулируйте закон Кулона.

4. Что представляет собой электростатическое поле?

5. Каково числовое значение, единица и размерность электрической постоянной?

6. Что называется напряженностью электрического поля?

7. Сформулируйте принцип суперпозиции электрических полей.

8. Какое практическое применение имеет теорема Остроградского-Гаусса?

9. Сформулируйте определение потенциала точки электрического поля.

10. Что называется вольтом и какая его размерность?

11. Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности?

12. Каким соотношением связаны между собой потенциал и напряженность электрического поля?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Детлаф, А.А. Курс физики учеб. пособие / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский.-7-е изд. Стер.-М. : ИЦ «Академия».-2008.-720 с.

2. Савельев, И.В. Курс физики: в 3т.:учеб.пособие/И.В. Савельев.-4-е изд. стер. – СПб.; М. Краснодар: Лань.-2008

Т.2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. – 480 с.

3. Трофимова, Т.И. курс физики: учеб. пособие/ Т.И. Трофимова.- 15-е изд., стер.- М.: ИЦ «Академия», 2007.-560 с.

Дополнительная

1. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. – М.: Мир.

Т.1. Современная наука о природе. Законы механики. – 1965. –232 с.

Т. 2. Пространство, время, движение. – 1965. – 168 с.

Т. 3. Излучение. Волны. Кванты. – 1965. – 240 с.

2. Берклеевский курс физики. Т.1,2,3. – М.: Наука, 1984

Т. 1. Китель, Ч. Механика / Ч. Китель, У. Найт, М. Рудерман. – 480 с.

Т. 2. Парселл, Э. Электричество и магнетизм / Э. Парселл. – 448 с.

Т. 3. Крауфорд, Ф. Волны / Ф. Крауфорд – 512 с.

3. Фриш, С.Э. Курс общей физики: в 3 т.: учеб. / С.Э. Фриш, А.В. Тиморева.- СПб.: М.; Краснодар: Лань.-2009.

Т. 1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны: учебник — 480 с.

Т.2: Электрические и электромагнитные явления: учебник. – 518 с.

Т. 3. Оптика. Атомная физика : учебник– 656 с.

§10. Напряженность и потенциал электростатического поля Основные формулы

Напряженность электрического поля определяется выражением

,

где – сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в данную точку поля.

Потенциал электростатического поля равен

,

где П – потенциальная энергия точечного заряда q, находящегося в данной точке поля .

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электри­ческом поле, и потенциальная энергия этого заряда определяются из соотношений

, .

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность или потенциал поля, созданного системой то­чечных зарядов, равны сумме напряженностей или потенциалов полей каждого из зарядов, то есть

, ,

где – напряженность и потенциал в данной точке поля, созда­нного i – м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, созданного точечным зарядом, определяются из соотношений:

, ,

где r – расстояние от заряда Q до точки, в которой определяются напряженность и потенциал электростатического поля.

Теорема Остроградского – Гаусса для электростатического поля имеет вид

,

где – поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S; – сумма зарядов, охваченных данной поверхностью.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей заряженной сферой радиуса R , заряд которой q , на расстоянии r от центра сферы, определяются формулами:

а) если то ,

б) если , то ,

в) если то , .

Напряженность поля, создаваемого прямой бесконечной равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром, равна

,

где r – расстояние от нити или оси цилиндра до точки, в которой вычисляется напряженность поля.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, определяется выражением

,

где – поверхностная плотность заряда на плоскости.

Вектор электрического смещения связан с вектором напряженности электрического поля соотношением

,

где – электрическая постоянная, – диэлектрическая проницаемость вещества.

Связь потенциала с напряженностью выражается уравнениями:

а) в общем случае или ;

б) в случае однородного поля ,

где и – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями;

в) в случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией,

.

Электрический момент диполя определяется формулой

,

где Q – заряд диполя; – плечо диполя, то есть вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию между зарядами.

Работа сил электростатического поля по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом в точку с потенциалом равна

, или .

Задачи

10.1. Определить напряжен­ность Е электрического поля, создаваемого точечным зарядом q = 10 нКл на расстоянии r =10 см от него. Диэлектрик – масло.

10.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами q₁ = 8 нКл и q₂= -5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напря­женность, если второй заряд будет положительным?

10.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q₁ = 10 нКл и q₂ = -20 нКл, находящимися на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удален­ной от первого заряда на r₁ = 30 см и от второго на r₂ = 50 см.

10.4. Расстояние d между двумя точечными положительными за­рядами q₁ = 9q и q₂ = q равно 8 см. На каком расстоянии r от перво­го заряда находится точка, в которой напряженность Е поля заря­дов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным?

10.5. Два точечных заряда q₁= 2q и q₂ = —q находятся на рас­стоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, про­ходящей через эти заряды, напряженность поля Е в которой равна нулю.

10.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q₁ = 40 нКл и q₂= -10 нКл, находящимися на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность поля Е в точке, удален­ной от первого заряда на r₁ = 12 см и от второго на r₂ = 6 см.

10.7. Тонкое кольцо радиусом R = 8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Какова на­пряженность электрического поля Е в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r = 10 см?

10.8. Тонкое полукольцо радиуса R = 20 см заряжено равно­ мерно зарядом q = 0,70 нКл. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.

10.9. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с по­верхностной плотностью σ = 1 нКл/м². Найти напряженность электрического поля Е в геометрическом центре полусферы.

10.10. На металлической сфере радиусом R = 10 см находится заряд q = l нКл. Определить напряженность электрического поля Е в следующих точках: 1) на расстоянии r₁ = 8 см от центра сферы; 2) на её поверхности; 3) на расстоянии r₂ = 15 см от центра сферы. Построить график зависимости Е от r.

10.11. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R₁ = 6 см и R₂ = 10 см несут соответственно заряды q₁ = 1 нКл и q₂ = -0,5 нКл. Найти напряженность электростатического поля Е в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁ = 5 см, r₂ = 9 см, r₃ = 15 см. Построить график зависимости Е (r).

10.12. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность заряда , если напряженность Е поля на расстоянии а = 0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м.

10.13. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволо­ками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Про­волоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью τ = 150 мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точ­ке, удаленной на r = 10 см как от первой, так и от второй проволоки?

10.14. Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и длиной l = 4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд q = 500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а = 1 см от его поверхности.

10.15. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R = 2 см несет равномерно распределенный по поверхно­сти заряд (σ = 1 нКл/м²). Определить напряженность Е поля в точ­ках, отстоящих от оси трубки на расстояниях r₁ = l см, r₂ = 3 см. Построить график зависимости Е(r).

10.16. На отрезке тонкого прямого проводника длиной l = 10 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью = 3 мкКл/м. Вычислить напряженность Е поля, создаваемого этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего кон­ца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

10.17. Тонкий стержень длиной l = 12 см заряжен с линейной плотностью τ = 200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r = 5 см от стержня против его середины.

10.18. Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью = 400 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, про­веденном через один из его концов, на расстоянии r = 8 см от этого конца.

10.19. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал­лельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распре­деленный по площади заряд (σ= 1 нКл/м²). Определить напряжен­ность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

10.20. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал­лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями = 2 нКл/м² и = -5 нКл/м². Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напря­женности вдоль линии, перпендикулярной пластинам.

10.21. Две бесконечные параллельные пластины равномерно за­ряжены с поверхностной плотностью = 10 нКл/м² и = 30 нКл/м². Определить силу взаимодействия между пластинами, приходящуюся на площадь S, равную 1 м².

10.22. Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках: 1) на расстоянии r₁ = 3 см от центра сферы; 2) на поверхно­сти сферы; 3) на расстоянии r₂ = 10 см от центра сферы. Построить графики зависимостей Е(r) и D(r).

10.23. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несет заряд, равномер­но распределенный по объему с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить на­пряженность Е и смещение D электричес­кого поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) r₁ = 1 см; 2) r₂ = 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимостей Е(r) и D (r).

10.24. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью τ = 2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на расстоянии r = 1 см, малом по сравнению с ее длиной, нахо­дится точечный заряд q = 0,l мкКл. Определить силу F, действую­щую на заряд.

10.25. Большая металлическая пластина несет равномерно рас­пределенный по поверхности заряд (σ= 10 нКл/м²). На малом рас­стоянии от пластины находится точечный заряд q = 100 нКл. Найти силу F, действующую на заряд.

10.26. Между пластинами плоского конденсатора находится то­чечный заряд q = 30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой F₁ = 10 мН. Определить силу F₂ взаимного притяжения плас­тин, если площадь S каждой пластины равна 100 см².

10.27. Две одинаковые круглые пластины площадью по S = 100 см² каждая расположены параллельно друг другу. Заряд одной пла­стины равен q₁ = 100 нКл, другой q₂ = -100 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин в двух случаях, когда расстояние между ними: 1) r₁ = 2 см; 2) r₂ = 10 м.

10.28. Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити несут заряд, равномерно распределенный по длине с линейными плотностями = 0,1 мкКл/м и = 0,2 мкКл/м. Определить силу F взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м. Рас­стояние r между нитями равно 10 см.

10.29. Металлический шар имеет заряд q₁ = 0,1 мкКл. На рас­стоянии от его поверхности, равном радиусу шара, находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно рас­пределенный по длине заряд q₂ = 10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу F, действующую на нить, если радиус R шара равен 10 см.

10.30. Точечный заряд q = 10 нКл, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж. Найти потенциал этой точки поля.

10.31. При перемещении заряда q = 20 нКл между двумя точками поля внешними силами была совершена работа А = 4 мкДж. Определить работу А₁ сил поля и разность потенциалов этих точек поля.

10.32. Поле создано точечным зарядом q = l нКл. Определить потенциал φ поля в точке, удаленной от заряда на расстояние r = 20 см.

10.33. Определить потенциал φ электрического поля в точке, удаленной от зарядов q₁ = -0,2 мкКл и q₂ = 0,5 мкКл соответственно на r₁ = 15 см и r₂ = 25 см.

10.34. Заряды q₁ = l мкКл и q₂ = -1 мкКл находятся на расстоянии d = 10 см. Определить напряженность Е и потенциал поля в точке, удаленной на расстояние r = 10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпендикулярно направлению от q₁ к q₂.

10.35. Вычислить потенциальную энергию П системы двух точечных зарядов q₁ = 100 нКл и q₂ = 10 нКл, находящихся на расстоянии d = 10 см друг от друга.

10.36. Какова потенциальная энергия П системы четырех одинаковых точечных зарядов q = 10 нКл, расположенных в верши­нах квадрата со стороной длиной а = 10 см?

10.37. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно рас­пределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить потенциал φ в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а = 5 см от центра.

10.38. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Вычислить потенциал φ поля, создаваемого этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка.

10.39. Тонкий стержень длиной l = 10 см несет равномерно распределенный заряд q = l нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца.

10.40. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной а. Стержни заряжены с линейной плотностью заряда τ = 1,33 нКл/м. Найти потенциал φ электрического поля в центре квадрата.

10.41. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равномерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотностью τ = 0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов двух точек поля, удаленных от нити на r₁ = 2 см и r₂ = 4 см.

10.42. Имеются две концентрические металлические сферы ра­диусами R₁ = 3 см и R₂ = 6 см. Пространство между сферами запол­нено парафином. Заряд q₁ внутренней сферы равен -1 нКл, заряд внеш­ней сферы q₂ = 2 нКл. Найти потенциал φ электрического поля на рас­стоянии от центра сфер: 1) r₁ = l см; 2) r₂ = 5 см; 3) r₃ = 9 см.

10.43. Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд q = 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d = 2 см. Вычислить потенциал электрического поля на расстоянии от центра шара: 1) r₁ = 3 см; 2) r₂ = 6 см; 3) r₃ = 9 см. Построить график зависи­мости (r).

10.44. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью σ = 10 нКл/м². Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние d = 10 см.

10.45. Определить потенциал φ, до которого можно зарядить уединенный металлический шар радиусом R = 10 см, если напряженность Е поля, при которой происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность σ электрических зарядов перед пробоем.

10.46. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d = 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями = 0,2 мкКл/м² и = -0,3 мкКл/м². Определить разность потенциалов U между плоскостями.

10.47. Металлический шарик диаметром d = 2 см заряжен отрицательно до потенциала φ = 150 В. Сколько электронов находится на поверхности шарика?

10.48. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала φ = 20 В, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал φ₁ образовавшейся капли?

10.49. Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью ρ = 1 мкКл/м³. Определить потенциал электрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости (r).

10.50. Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномерно распределенный по объему заряд с плотностью ρ = 2 мкКл/м³. Внут­ренний радиус R₁шара равен 3 см, наружный R₂= 6 см. Определить потенциал поля в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара.

10.51. Напряженность Е однородного электрического поля в не­которой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей угол α = 60° с направлением вектора напряженности. Расстояние между точками равно 2 мм.

10.52. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал φ поля в точке, удаленной от заряда на r = 12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке.

10.53. Точечные заряды q₁ = l мкКл и q₂ = 0,1 мкКл находятся на расстоянии r₁ = 10 см друг от друга. Какую работу А совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на расстояние: 1) r₂ = 10 м; 2) r₃ = ?

10.54. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен с линейной плотностью τ = 133 нКл/м. Какую работу А надо совер­шить, чтобы перенести заряд q = 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность?

10.55. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = 10 см. Он заряжен с линейной плотностью τ = 300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заряд q = 5 нКл из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на рас­стоянии l = 20 см от его центра?

10.56. Электрон находится в однородном электрическом поле напряженностью E = 200 кВ/м. Какой путь пройдет электрон за время t = 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю? Какой скоростью будет обладать электрон в конце этого интервала времени?

10.57. Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется для того, чтобы сообщить скорость v = 30 Мм/с: 1) электрону; 2) про­тону?

10.58. Разность потенциалов U между катодом и анодом элект­ронной лампы равна 90 В, расстояние r = 1 мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость v электро­на в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от катода до анода? Поле считать однородным.

10.59. Пылинка массой m = 1 мг, несущая на себе пять электро­нов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов U = 3 MB. Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?

10.60. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 600 кВ, приобрела скорость v = 5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда в массе).

10.61. Электрон, летевший горизонтально со скоростью v₀ = 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряжен­ностью E = 90 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направлению скорость v электрона через 1 нc?

10.62. Электрон движется вдоль силовой линии однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом = 100 В электрон имел скорость V₁ = 6 Мм/с. Определить потенциал точки поля, в которой скорость V₂ электрона будет равна 0,5V₁.

10.63. Электрон с начальной скоростью v₀ = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью E = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженно­сти электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на элек­трон; 2) ускорение а, приобретаемое электроном; 2) скорость v электрона через t = 0,1 мкс.

10.64. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v₀ = 10 Мм/с, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конден­сатора (поле считать однородным), если расстояние d между пласти­нами равно 16 мм, разность потенциалов U = 30 В и длина l пластин равна 6 см?

10.65. Положительно заряженная частица, заряд которой равен элементарному заряду e, прошла ускоряющую разность потенциа­лов U = 60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем элементарным зарядам. На какое наименьшее расстояние r_min частица может приблизиться к ядру? Начальное расстояние ча­стицы от ядра можно считать бесконечно большим, а массу частицы – пренебрежимо малой по сравнению с массой ядра.

10.66. Два электрона, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью v = 10 Мм/с. Определить минимальное расстояние r_min, на которое они могут подойти друг к другу.

10.67. Три одинаковых шарика, расположенные в вершинах равностороннего треугольника со стороной а, соединены друг с другом нитями. Заряд и масса каждого шарика равны q и m. Одну из нитей пережгли. Найти максимальную скорость среднего шарика. Сил тяжести нет.

10.68. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости k. После того, как шарик зарядили, он опустился на х см, и его расстояние от проводящей плоскости стало равным l. Найти заряд шарика.

10.69. Точечный заряд q = 100 мкКл находится на расстоянии l = 1,5 см от проводящей плоскости. Какую работу надо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд на очень большое расстояние от плоскости?

10.70. Два точечных заряда, q и —q, расположены на расстоянии l друг от друга и на одинаковом расстоянии l/2 от проводящей плоскости с одной стороны от нее. Найти модуль электрической силы, действующей на каждый заряд.

10.71. Точечный заряд q = 2 мкКл находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными полуплоскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости l = 5 см. Найти модуль силы, действующей на заряд.

10.71. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l = 30 см от ее центра находится точечный заряд q = 0,5 мкКл.

10.72. Три электрона, находившихся на расстоянии а = 10 мм друг от друга, начали симметрично разлетаться под действием взаимного отталкивания. Найти их максимальные скорости.

10.73. Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной а в системах, которые показаны на рис. 10.1.

10.74. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости.

1.2. Потенциал электрического поля и его связь с напряженностью. Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора напряженности электрического поля через поверхность S , это физическая величина равная

В случае замкнутых поверхностей

при этом принято считать поток вектора E выходящий из области, охватываемой поверхностью положительным, а входящий – отрицательным.

Поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через любую замкнутую поверхность

Для системы из n электрических зарядов поток вектора напряженности через замкнутую поверхность

т.е.: «Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности».

Данное утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

При непрерывном распределении электрических зарядов с объёмной плотностью r, внутри некоторой замкнутой поверхности, теорему Остроградского-Гаусса можно записать так:

Интеграл

называется циркуляцией вектора напряженности электрического поля.

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Эта формула справедлива только для электростатического поля. Для электрических полей движущихся зарядов условие равенства нулю циркуляции вектора напряженности не выполняется. Для таких полей она отлична от нуля.

Потенциальная энергия системы электрических зарядов пропорциональна величинам зарядов.

Отношение потенциальной энергии системы зарядов к величине помещаемого в данную точку поля электрического заряда остается постоянным, является энергетической характеристикой электрического поля, которая получила название-потенциал.

Или, потенциал – потенциальная энергия единичного положительного заряда, помещенного в данную точку поля:

где Wp-потенциальная энергия системы электрических зарядов;

q₊ – единичный положительный заряд;

j-потенциал.

Для поля: 1) положительного точечного заряда q:

2) системы точечных зарядов q₁, q₂, q₃, ……

Работа сил электрического поля равна изменению потенциальной энергии, взятой с обратным знаком:

A=-DW=W₁ – W₂=q (j₁-j₂).

Разность потенциалов

При q=q₊=1 ôj₁-j₂ô=ôA₁₂ô, т.е. разность потенциалов между двумя точками поля численно равна работе А₁₂, которую совершают силы электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую.

При перемещении единичного положительного электрического заряда из данной точки поля в бесконечность

а

Если q=q₊=1, то

,

т.е. потенциал электрического поля численно равен работе сил электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Связь между напряженностью и потенциалом электрического поля:

где ℓ-произвольно выбранное направление;

-характеризует быстроту изменения потенциала в данном направлении и называется градиентом потенциала.

В общем случае

E=-gradj,

или

.

Электрическое поле сферически симметрично распределенного заряда, т.е. такого распределения, при котором объёмная плотность заряда зависит от расстояния до центра сферы.

Напряженность электрического поля в точке, расположенной на расстоянии r₁ от центра:

.

Поле внутри «полого» сферически распределенного заряда отсутствует.

Характеристикой линейного распределения заряда является линейная плотность заряда:

В точке, находящейся на расстоянии r от оси бесконечно длинного, равномерно заряженного стержня (провода), напряженность электрического поля является суммарной от всех элементов dx, заряд на которых dq=tdx, и определяется по формуле

Это выражение справедливо и для полей заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей.

Характеристикой поверхностного распределения зарядов является поверхностная плотность s:

При равномерном распределении заряда по поверхности

На любых расстояниях от бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости напряженность электрического поля не зависит от расстояния имеет одно и тоже направление, величину, является однородным:

Каждая из двух бесконечно протяженных равномерно заряженных плоскостей, заряд на которых равномерно распределен с поверхностными плотностями s^— и s⁺, вокруг себя создаёт электрическое поле с напряженностями соответственно E₊ и E_— . В пространстве, как вне, так и между плоскостями существует результирующее электрическое поле с напряженностью

E=E₊+E_—.

При этом: 1) вне плоскостей векторы напряженности электрических полей E₊ и E_— равны по величине, но противоположны по направлению, следовательно поля компенсируют друг друга, результирующее поле отсутствует, E=0;

2)Между плоскостями векторы напряженности электрических полей E₊ и E_ направлены в одну сторону, результирующее поле характеризуется вектором

Этот результат оказывается справедливым и для поля заряженных плоскостей конечных размеров. Отклонение от полученного результата наблюдается только вблизи краёв (так называемый краевой эффект).

Линии вектора напряженности электрического поля заряженной сферической поверхности перпендикулярны поверхности сферы, направлены по радиальным прямым. Величина напряженности такого поля определяется соотношением:

где R-радиус сферической поверхности;

r-расстояние от центра сферы до рассматриваемой точки поля.

При:

а) r=R

б) r<R

Характеристикой объемного распределения заряда является объемная плотность

У равномерно заряженной по объёму сферы, радиус которой R, линии вектора напряженности электрического поля направлены по радиальным прямым, перпендикулярно поверхности сферы. Напряженность электрического поля в точке находящейся на расстоянии:

а) r>R

б) r=R

в) r<R

г) r=0

E=0.

Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей.

Взаимодействие электрических зарядов осуществляется через особый вид материи, порождаемой заряженными частицами — электрическое поле. Электрические заряды изменяют свойства окружающего их пространства. Проявляется это в том, что на помещенный вблизи заряженного тела другой заряд (назовем его пробным) действует сила (рис. 2). По величине этой силы можно судить об «интенсивности» поля, созданного зарядом q. Для того, чтобы сила, действующая на пробный заряд, характеризовала электрическое поле именно в данной точке пространства, пробный заряд, очевидно, должен быть точечным.

Рисунок 2

Поместив пробный заряд q_пр на некотором расстоянии r от заряда q (рис. 2), мы обнаружим, что на него действует сила, величина которой зависит от величины взятого пробного заряда q_пр.

Легко, однако, видеть, что для всех пробных зарядов отношениеF/ q_пр будет одно и тоже и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле заряда q в данной точке r. Естественно, поэтому, принять это отношение за величину, характеризующую «интенсивность» или, как говорят, напряженность электрического поля (в данном случае поля точечного заряда):

.

Таким образом, напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Численно она равна силе, действующий на пробный заряд q_пр = +1, помещенный в данное поле.

Напряженность поля – вектор. Его направление совпадает с направлением вектора силы, действующей на точечный заряд, помещенный в это поле. Следовательно, если в электрическое поле напряженностью поместить точечный зарядq, то на него будет действовать сила:

Размерность напряженности электрического поля в СИ: .

Электрическое поле удобно изображать с помощью силовых линий. Силовая линия – линия, вектор касательной к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля в этой точке. Принято считать, что силовые линии начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных (или уходят на бесконечность) и нигде не прерываются.

Электрическое поле подчиняется принципу суперпозиции (сложения), который можно сформулировать следующим образом: напряженность электрического поля, созданного в некоторой точке пространства системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, созданных в этой же точке пространства каждым из зарядов в отдельности:

.

2. Работа сил электростатического поля, потенциал. Консервативность электростатических сил, связь между е и . Потенциал точечного и распределенного заряда.

Как следует из закона Кулона, сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле, созданном другими зарядами, является центральной. Напомним, что центральной называется сила, линия действия которой направлена по радиус-вектору, соединяющему некоторую неподвижную точку О (центр поля) с любой точкой траектории. Из «Механики» известно, что все центральные силы являются потенциальными. Работа этих сил не зависит от формы пути перемещения тела, на которое они действуют, и равна нулю по любому замкнутому контуру (пути перемещения). В применении к электростатическому полю:

.

То есть, работа сил поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2 равна по величине и противоположна по знаку работе по перемещению заряда из точки 2 в точку 1, независимо формы пути перемещения. Следовательно, работа сил поля по перемещению заряда может быть представлена разностью потенциальных энергий заряда в начальной и конечной точках пути перемещения:

.

Введем потенциал электростатического поля φ, задав его как отношение:

, (размерность в СИ: ).

Тогда работа сил поля по перемещению точечного заряда q из точки 1 в точку 2 будет:

Разность потенциалов называется электрическим напряжением. Размерность напряжения, как и потенциала, [U] = B.

Считается, что на бесконечности электрические поля отсутствуют, и значит. Это позволяет датьопределение потенциала как работы, которую нужно совершить, чтобы переместить заряд q = +1 из бесконечности в данную точку пространства. Таким образом, потенциал электрического поля является его энергетической характеристикой.

1.8. Потенциал и разность потенциалов электрического поля. Связь напряженности электрического поля с его потенциалом

1.8.1. Потенциал и разность потенциалов электрического поля

Так как потенциальная энергия системы электрических зарядов пропорциональна величинам зарядов, то, при помещении в одну и ту же точку поля различных по величине зарядов, будет изменяться потенциальная энергия.

Однако отношение потенциальной энергии системы зарядов к величине помещаемого в данную точку поля электрического заряда остается постоянным, следовательно, оно может служить характеристикой электрического поля.

Потенциальную энергию положительного единичного заряда, помещенного в данную точку поля, называют потенциалом электрического поля . Потенциал электрического поля

. (1.31)

Если поле создано положительным точечным зарядом q, то

, (1.32)

где q – величина заряда, создающего электрическое поле;

r – расстояние от центра заряда до рассматриваемой точки поля.

Потенциал электрического поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых отдельно взятым зарядом системы:

, (1.33)

где q_i – величина i-го заряда;

r_i – расстояние от i-го заряда до рассматриваемой точки поля.

Из выражения (1.31)

W = q. (1.34)

Так как работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии, т.е.

A_1,2 = — W = W₁ — W₂ = q(₁ — ₂), (1.35)

то

. (1.36)

При q = q₊ = 1

. (1.37)

Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля, численно равна работе, которую совершают силы электрического поля по перемещению положительного единичного заряда из одной точки поля в другую.

При перемещении положительного единичного электрического заряда из данной точки поля в бесконечность

A_1, = W₁ — W_ = q_1,

а

. (1.38)

Если q = q₊ = 1, то

. (1.39)

Следовательно, потенциал электрического поля численно равен работе сил электрического поля по перемещению положительного единичного заряда из данной точки поля в бесконечность.

Потенциал и разность потенциалов электрического поля являются его энергетическими характеристиками. В системе СИ потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах.

Один вольт – это потенциал такой точки электрического поля, находясь в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией, равной 1 Дж.

1.8.2. Связь напряженности электрического поля с его потенциалом

Каждая точка электрического поля характеризуется напряженностью и потенциалом (силовой и энергетической характеристиками). Между ними должна существовать связь, которую можно установить исходя из следующих соображений.

Элементарная работа, совершаемая силами электрического поля по перемещению электрического заряда на расстояние dl,

dA = =F∙dl∙cos = F_l∙dl = qE_l∙dl.

Работа совершается за счет убыли (уменьшения) потенциальной энергии:

dA = — dW = — qd.

Следовательно, имеем

qE_ldl = — qd.

Отсюда

, (1.40)

где характеризует быстроту изменения потенциала в данном направлении l и называется градиентом потенциала;

l – произвольно выбранное направление.

В векторной форме

E = — grad . (1.41)

Знак «минус» означает, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Проинтегрировав формулу d = — E_ldl, получим

;

.

Откуда

, (1.42)

где d = lcos — расстояние между точками 1 и 2 поля.

В векторной форме выражение (1.41), можно представить так:

. (1.43)

Зная теорему Остроградского-Гаусса и связь между напряженностью и потенциалом электрического поля, можно по известной величине определить неизвестную.