{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

Вектор угловой скорости — Энциклопедия по машиностроению XXL

Углы между векторами, угловые скорости и ускорения будем  [c.82]

Т ело» движется в пространстве, причем вектор угловой скорости тела равен о) и направлен в данный момент по оси z. Скорость точки О тела равна vo и образует с осями (/, Z одинаковые углы, равные  

Тензор типа ( ) связан с вектором угловой скорости с помощью тензора Леви-Чивита  [c.116]

Векторы угловой скорости и углового ускорения  [c. 141]

Если h = k(b, V. е. векюр Л все время параллелен вектору угловой скорости W, то юх6 = 0 и  [c.197]

Если h = k6i, г. е. вектор Л все время параллелен вектору угловой скорости W, то б) X 6 = О и  

Установим зависимость проекций вектора угловой скорости на оси координат, скрепленные с телом, от углов Эйлера vj , 0, ф и их производных по времени.  [c.496]

Условимся откладывать вектор угловой скорости тела oj от любой точки оси вращения, направляя его по этой оси так, чтобы, смотря  [c.208]

Вектор углового ускорения е характеризует изменение вектора угловой скорости (О в зависимости от времени, т. е. он должен быть равен производной от вектора угловой скорости по времени  [c.208]

Пользуясь понятием вектора угловой скорости ш, легко получить векторное выражение вращательной скорости.  

Изобразим (рис. 270) вектор угловой скорости со, радиус-вектор г точки /VI тела относительно произвольной точки О оси вращения и вращательную скорость этой точки v. Модуль вращательной скорости V = = СОЛ sin а, где а — угол между радиусом-вектором г и вектором угловой скорости со.  [c.209]

Таким образом, вращательная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки относительно любой точки оси вращения.  [c.210]

Если известны проекции о) , Му, озг вектора угловой скорости, направленного по оси вращения тела ОА, на оси координат (рис. 271) и координаты некоторой точки М тела х, у, г, то вращательную скорость этой точки можно найти при помощи определителя векторного произведения.  

Если мысленно перенести вектор угловой скорости в точку М (рис. 272), то, смотря навстречу центростремительному ускорению w , перпендикулярному плоскости векторов сомножителей ш и IT, можно видеть поворот вектора к вектору v на угол 90 , совершающийся в сторону, обратную вращению часовой стрелки, т. е. направление центростремительного ускорения Wu> совпадает с направлением векторного произведения со х и. Следовательно,  

Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси  [c.218]

Согласно 82, вращательную скорость Vqa можно представить в виде векторного произведения вектора угловой скорости плоской фигуры со на радиус-вектор гд  [c.222]

I — Iq и 11 — Вектор угловой скорости вращения плоской фигуры со перпендикулярен к плоскости этой фигуры поэтому определитель векторного произведения со х г, выралпроекции векторов сомножителей на неподвижные оси, имеет вид  [c. 245]

Так как проекции радиуса-вектора г на оси х и у соответственно равны J и у, а вектор угловой скорости вращения плоской фигуры перпендикулярен к плоскости этой фигуры, то определитель векторного произведения со х г, выраженный через проекции векторов сомножителей на подвижные оси, имеет вид  [c.246]

При сферическом движении тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется, а следовательно, изменяется не только модуль, но и направление вектора угловой скорости тела.  [c.276]

Для нахождения ли leйllыx скоростей, а также вектора угловой скорости звена 2 нужно определить первую производную по времени от всех тех величин, которые определялись в задаче о положениях.  [c.198]

Введем поиятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела, Рхли к единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, го векюры угловой скорости (Г) и углового ускорения е определяют выражениями  [c. 141]

Введенный таким образом вектор угловой скорости ш характеризует угловую скорость вращения вокруг мгновещюй оси, направление мгновенной оси и направление врап ения гела вокруг этой оси. Вектор угловой скорости со можно прикладывать в любой точке мгновенной оси (рис. 76).  [c.181]

Известно, что такой характеристикой является производная по времени от вектора угловой скорости со. Таким образом, угловое ускоретше  [c.181]

Полная и лoкaJтьнaя производные также равны друг другу в те моменты времени, в которые вектор h параллелен вектору угловой скорости ю.  [c.197]

Движение подвижной системы осей координат относительно ненодвижтюй можно охарактеризовать скоростью ее поступа-гелыюго движения Vq, например вместе с точкой О и вектором угловой скорости ю ее вращетшя вокруг О. Пусть точка М движется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведем  [c. 197]

Enje одна итерпрегация рассмотренного случая получается, если рассмотреть параллельный перенос скользящего вектора угловой скорости Q в точку О. Такой перенос, как известно, следует компенсировагь парой вращений, эквивалентной поступательному движению со скоростью v.  [c.215]

Определим проекции вектора угловой скорости (о на подвижные оси координат Oxyz, скрепленные с rejmM. Движение тела при этом рассматривается относительно неподвижной системы отсчета При проецировании на оси координат  [c.497]

Таким образом, КВС как области с повышенным энергосодержанием, переходят на периферию, тем самым увеличивая ее энергию. Такой механизм неустойчивости действует только в одном направлении и хорюшо согласуется с возникновением реверса при образовании зоны рециркуляции в области диафрагмы вихревой трубы. В этом случае КВС возникают на фанице рециркулирующего потока. Направление силы Г можно определить по знаку скалярного произведения вектора угловой скорости вращения приосевого вихря Л и вектора угловой скорости вихревого жгута направления начальной завихренности КВС и осевой составляющей скорости, что соответствует зеркальному отражению относительно плоскости, перпендикулярной оси вихревой трубы. Но при зеркальном отражении скалярное произведение не изменяется и, соответственно, не изменяется направление действия силы F. В результате вихревой перенос энергии будет идти из зоны рециркуляции в область потока, выносимого через отверстие диафрагмы, что и приводит в конечном счете к его нагреванию.  [c.130]

Дли определения вектора угловой скорости (di выполняют построение в осевой плоскости входного и выходного звеньев и записы-нают соотнопичшя между отрезками  [c.138]

Введем поиятия векторов угловой скорости о> и углового ускорения е.  [c.208]

Основы теоретической механики (2000) — [ c. 121 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1972) — [ c.107 , c.112 ]

Курс теоретической механики. Т.1 (1982) — [ c.271 ]

Курс теоретической механики (1965) — [ c.286 ]

Курс теоретической механики Том1 Изд3 (1979) — [ c.189 , c.222 ]

Курс лекций по теоретической механике (2001) — [ c.87 ]

Аналитическая механика (1961) — [ c.64 , c.66 ]

Технический справочник железнодорожника Том 1 (1951) — [ c.372 ]

Курс теоретической механики (2006) — [ c. 163 , c.192 ]

Курс теоретической механики Изд 12 (2006) — [ c.165 ]

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Поздравляем с Международным днем студента! Дорогие студенты Сибстрина! Администрация, профессорско-преподавательский состав и сотрудники университета поздравляют вас с профессиональным праздником! Студенческие годы – это время становления личности, самореализации, время творчества и возможностей, время дружбы, любви и веселья. Именно его вы будете с особой теплотой вспоминать всю жизнь. Чем больше знаний и опыта вы получите в студенчестве, тем легче Вам будет преодолевать трудности в дальнейшей жизни. Желаем реализовать в стенах университета свой потенциал, активной жизненной позиции, интересной учебы, творчества и вдохновения, новых перспектив и возможностей, успехов и удачи! Для справки Дата 17 ноября считается днем солидарности студентов всех учебных заведений мира. Международный день студента был учрежден как дань памяти чешской молодежи, пострадавшей во время расправы над студенческой…

НГАСУ (Сибстрин) и ЛКЗ «Колорит» объявляют конкурс по разработке дизайн-проекта по оформлению коридора кафедры СМСС Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибстрин) и лакокрасочный завод «Колорит» (г. Новосибирск) проводят конкурс по разработке дизайн-проекта по оформлению вне учебного пространства (коридор) кафедры Строительных материалов, стандартизации и сертификации. К участию в конкурсе приглашаются студенты, магистранты, аспиранты и молодые ученые университета вне зависимости от специальности, а также преподаватели в качестве руководителей. Участвовать могут как самостоятельные конкурсанты, так и творческие коллективы. Один участник может представить не более 2-х собственных проектов, которые ранее не реализовывались и не принимали участие в других аналогичных конкурсах. Особой спецификой конкурсного проекта должно быть применение и/или визуализация качественных экологичных строительных материалов и технологий, которые свяжут все компоненты дизайн-проекта в единое целое. Все предложенные идеи проектов должны быть интерпретированы современными дизайнерскими средствами и декораторскими приемами и выполнены в AutoCAD и CorelDraw, а также в формате цифровых фотографий.

Объявляется конкурс на замещение вакантных должностей педагогических работников, относящихся к профессорско-педагогическому составу Внимание! Объявляется конкурс на замещение вакантных должностей педагогических работников, относящихся к профессорско-педагогическому составу. Квалификационные требования по должностям педагогических работников, относящихся к профессорско-преподавательскому составу (в соответствии с приказом Минздравсоцразвития РФ от 11.01.2011 № 1н) Доцент Требования к квалификации. Высшее профессиональное образование, ученая степень кандидата (доктора) наук и стаж научно-педагогической работы не менее 3 лет или ученое звание доцента (старшего научного сотрудника). Письменное заявление для участия в конкурсе претенденты подают в УДКР (каб.127) …

Киберспортсмены вуза успешно выступают в студенческой лиге QUAZAR.GG В НГАСУ (Сибстрин), помимо традиционных направлений творчества, общественной деятельности и спорта, развивается новое – киберспорт. Под патронажем управления информатизации на базе нашего университета был создан Киберспортивный клуб: сейчас в нем порядка 20 студентов всех институтов и факультета. Киберспорт – это быстро развивающаяся мировая индустрия, в которой геймеры участвуют в командных и индивидуальных соревнованиях по компьютерным играм. В числе самых популярных киберспортивных дисциплин – трехмерные шутеры (например Counter-Strike: Global Offensive), симулирующие бой между командами игроков на современном или фантастическом оружии, и командные ролевые . ..

10.1 Вращательные переменные — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите физический смысл переменных вращения применительно к вращению с фиксированной осью
• Объясните, как угловая скорость связана с тангенциальной скоростью
• Вычислить мгновенную угловую скорость с учетом функции углового положения
• Найдите угловую скорость и угловое ускорение во вращающейся системе
• Расчет среднего углового ускорения при изменении угловой скорости
• Вычислить мгновенное угловое ускорение по функции угловой скорости

До сих пор в этом тексте мы в основном изучали поступательное движение, включая переменные, которые его описывают: смещение, скорость и ускорение.Теперь мы расширим наше описание движения до вращения, в частности, вращательного движения вокруг фиксированной оси. Мы обнаружим, что вращательное движение описывается набором связанных переменных, аналогичных тем, которые мы использовали для поступательного движения.

Угловая скорость

Равномерное круговое движение (обсуждавшееся ранее в разделе «Движение в двух и трех измерениях») — это движение по кругу с постоянной скоростью. Хотя это простейший случай вращательного движения, он очень полезен во многих ситуациях, и мы используем его здесь для введения вращательных переменных.

На (Рисунок) мы показываем частицу, движущуюся по кругу. Система координат является фиксированной и служит точкой отсчета для определения положения частицы. Его вектор положения от начала круга до частицы выметает угол

, который увеличивается в направлении против часовой стрелки, когда частица движется по круговой траектории. Угол

называется угловым положением частицы. Когда частица движется по круговой траектории, она также отслеживает дугу длиной с .

относительно оси x и определяет длину дуги s.

Угол связан с радиусом окружности и длиной дуги на

Уголок

, угловое положение частицы на ее пути, измеряется в радианах (рад). Есть

радиан в

Обратите внимание, что мера в радианах представляет собой отношение измерений длины и, следовательно, является безразмерной величиной.По мере движения частицы по круговой траектории ее угловое положение изменяется, и она претерпевает угловые смещения

Мы можем назначить векторы для величин (рисунок). Угол

— вектор вне страницы (рисунок). Вектор углового положения

и длина дуги

оба лежат в плоскости страницы. Эти три вектора связаны между собой соотношением

То есть длина дуги — это произведение вектора угла и вектора положения, как показано на (Рисунок).

. Все три вектора перпендикулярны друг другу.

Величина угловой скорости , обозначенная цифрой

, — временная скорость изменения угла

, когда частица движется по круговой траектории. Мгновенная угловая скорость определяется как предел, в котором

при средней угловой скорости

:

где

— угол поворота ((рисунок)).Единицы угловой скорости — радианы в секунду (рад / с). Угловая скорость также может называться скоростью вращения в радианах в секунду. Во многих ситуациях нам задают скорость вращения в оборотах в секунду или циклах в секунду. Чтобы найти угловую скорость, мы должны умножить обороты / с на

, так как имеется

радиана за один полный оборот. Поскольку направление положительного угла в круге — против часовой стрелки, мы принимаем вращения против часовой стрелки как положительные, а вращения по часовой стрелке — как отрицательные.

Мы можем увидеть, как угловая скорость связана с тангенциальной скоростью частицы, дифференцируя (рисунок) по времени. Записываем (рисунок) как

Взяв производную по времени и отметив, что радиус r является константой, имеем

где

. Здесь

— это просто тангенциальная скорость частицы на (Рисунок).Таким образом, используя (рисунок), получаем

То есть тангенциальная скорость частицы равна ее угловой скорости, умноженной на радиус круга. Из рисунка видно, что тангенциальная скорость частицы увеличивается по мере удаления от оси вращения при постоянной угловой скорости. Этот эффект показан на (Рисунок). Две частицы размещены под разными радиусами на вращающемся диске с постоянной угловой скоростью. По мере вращения диска тангенциальная скорость увеличивается линейно с радиусом от оси вращения.На (рисунок) мы видим, что

и

. Но диск имеет постоянную угловую скорость, поэтому

. Это означает

или

. Таким образом, с

,

.

До сих пор мы обсуждали величину угловой скорости

— скалярная величина — изменение углового положения во времени. Вектор

— вектор, связанный с угловой скоростью, и указывает вдоль оси вращения. Это полезно, потому что, когда твердое тело вращается, мы хотим знать как ось вращения, так и направление, в котором тело вращается вокруг оси, по или против часовой стрелки.Угловая скорость

дает нам эту информацию. Угловая скорость

имеет направление, определяемое так называемым правилом правой руки. Правое правило таково, что если пальцы вашей правой руки сгибаются против часовой стрелки от оси x (направление, в котором

) по направлению к оси y- , ваш большой палец указывает в направлении положительной оси z ((рисунок)). Угловая скорость

, который указывает вдоль положительной оси z , поэтому соответствует вращению против часовой стрелки, тогда как угловая скорость

, который указывает на отрицательную ось z , соответствует вращению по часовой стрелке.

Мы можем проверить правило правой руки, используя векторное выражение для длины дуги

, (рисунок).Если продифференцировать это уравнение по времени, мы найдем

с

— константа, член

. С

— тангенциальная скорость,

— угловая скорость, имеем

То есть тангенциальная скорость — это векторное произведение угловой скорости и вектора положения, как показано на (Рисунок). Из части (а) этого рисунка мы видим, что с угловой скоростью в положительном направлении z , вращение в плоскости xy происходит против часовой стрелки. В части (b) угловая скорость находится в отрицательном направлении z-, что дает вращение по часовой стрелке в плоскости xy-.

Пример

Вращение маховика

Маховик вращается так, что проходит под углом со скоростью

радиана. Колесо вращается против часовой стрелки, если смотреть в плоскости страницы. а) Какова угловая скорость маховика? (б) В каком направлении угловая скорость? (c) На сколько радиан проходит маховик за 30 с? (d) Какова тангенциальная скорость точки на маховике на расстоянии 10 см от оси вращения?

Стратегия

Функциональная форма углового положения маховика задается в задаче как

, поэтому, взяв производную по времени, мы можем найти угловую скорость. Мы используем правило правой руки, чтобы найти угловую скорость. Чтобы найти угловое смещение маховика за 30 с, ищем угловое смещение

, где изменение углового положения составляет от 0 до 30 с. Чтобы найти тангенциальную скорость точки на расстоянии от оси вращения, мы умножаем ее расстояние на угловую скорость маховика.

Решение

1. . Мы видим, что угловая скорость постоянна.

2. По правилу правой руки мы сгибаем пальцы в направлении вращения, которое находится против часовой стрелки в плоскости страницы, а большой палец указывает в направлении угловой скорости, которая выходит за пределы страницы.

3. .

4. .

Значение

За 30 с маховик совершил большое количество оборотов, около 215, если разделить угловое смещение на

.Таким образом можно использовать массивный маховик для хранения энергии, если потери на трение минимальны. В недавних исследованиях рассматривались сверхпроводящие подшипники, на которых покоится маховик, с нулевыми потерями энергии из-за трения.

Угловое ускорение

Мы только что обсудили угловую скорость для равномерного кругового движения, но не все движения однородны. Представьте себе фигуриста, вращающегося с вытянутыми руками — когда он втягивает руки внутрь, его угловая скорость увеличивается. Или представьте себе, как жесткий диск компьютера останавливается при уменьшении угловой скорости.Мы рассмотрим эти ситуации позже, но мы уже видим необходимость определения углового ускорения для описания ситуаций, когда

изменения. Чем быстрее смена

, тем больше угловое ускорение. Определяем мгновенное угловое ускорение

как производная угловой скорости по времени:

, где мы взяли предел среднего углового ускорения,

как

.

Единицы углового ускорения: (рад / с) / с, или

.

Точно так же, как мы определили вектор, связанный с угловой скоростью

, мы можем определить

, вектор, связанный с угловым ускорением ((Рисунок)). Если угловая скорость направлена ​​вдоль положительной оси z- , как на (Рисунок), и

положительный, то угловое ускорение

положительный и указывает на

ось.Аналогично, если угловая скорость

находится вдоль положительной оси z- и

отрицательно, тогда угловое ускорение отрицательно и указывает на

ось.

Мы можем выразить вектор тангенциального ускорения как произведение углового ускорения и вектора положения. Это выражение можно найти, взяв производную по времени от

и оставлен как упражнение:

Векторные зависимости углового и тангенциального ускорений показаны на (Рисунок).

Мы можем связать тангенциальное ускорение точки вращающегося тела на расстоянии от оси вращения таким же образом, как мы связали тангенциальную скорость с угловой скоростью. Если мы продифференцируем (рисунок) по времени, учитывая, что радиус r постоянный, мы получим

Таким образом, тангенциальное ускорение

— это радиус, умноженный на угловое ускорение. (Рисунок) и (Рисунок) важны для обсуждения качения (см. Угловой момент).

Давайте применим эти идеи к анализу нескольких простых сценариев вращения с фиксированной осью. Прежде чем сделать это, мы представляем стратегию решения проблем, которая может быть применена к вращательной кинематике: описание вращательного движения.

Стратегия решения проблем: вращательная кинематика

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли кинематика вращения (вращательное движение).
2. Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные). Набросок ситуации полезен.
3. Составьте полный список того, что дано или может быть выведено из указанной проблемы (укажите известные).
4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для величины, которую необходимо определить (неизвестное). Может быть полезно думать в терминах поступательного аналога, потому что теперь вы знакомы с уравнениями поступательного движения.
5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения с указанием единиц. Обязательно используйте радианы для углов.
6. Проверьте свой ответ, чтобы узнать, разумен ли он: Имеет ли ваш ответ смысл?

Теперь давайте применим эту стратегию решения проблем к нескольким конкретным примерам.

Пример

Вращающееся колесо велосипеда

Веломеханик устанавливает велосипед на ремонтный стенд и запускает вращение заднего колеса из состояния покоя до конечной угловой скорости 250 об / мин за 5 секунд.00 с. (а) Рассчитайте среднее угловое ускорение в

. (b) Если она сейчас нажимает на тормоза, вызывая угловое ускорение -87,3

, сколько времени нужно, чтобы колесо остановилось?

Стратегия

Среднее угловое ускорение можно найти непосредственно из его определения

, потому что даны окончательная угловая скорость и время. Мы видим, что

и

равно 5.00 с. Для части (b) нам известны угловое ускорение и начальная угловая скорость. Мы можем найти время остановки, используя определение среднего углового ускорения и решение для

, давая

Решение

1. Вводя известную информацию в определение углового ускорения, получаем

   Потому что

   выражается в оборотах в минуту (об / мин), и нам нужны стандартные единицы

   .

   для углового ускорения, нам нужно преобразовать из об / мин в рад / с:

   Ввод этого количества в выражение для

   , получаем

2. Здесь угловая скорость уменьшается с 26.2 рад / с (250 об / мин) до нуля, так что

   составляет −26,2 рад / с, а

   принимается равным –87,3

   . Таким образом,

Значение

Обратите внимание, что угловое ускорение, когда механик раскручивает колесо, небольшое и положительное; для получения заметной угловой скорости требуется 5 с. Когда она нажимает на тормоз, угловое ускорение велико и отрицательно. Угловая скорость быстро стремится к нулю.

Проверьте свое понимание

Лопасти вентилятора турбореактивного реактивного двигателя (показан ниже) ускоряются из состояния покоя до скорости вращения 40,0 об / с за 20 с. Увеличение угловой скорости вентилятора постоянно во времени. (Турбореактивный двухконтурный двигатель GE90-110B1, установленный на Боинг 777, как показано на рисунке, в настоящее время является самым большим турбовентиляторным двигателем в мире, способным развивать тягу 330–510 кН.)

(а) Какое среднее угловое ускорение?

(b) Какое мгновенное угловое ускорение в любой момент времени в течение первых 20 с?

[показать-ответ q = ”821157 ″] Показать ответ [/ показать-ответ]
[скрытый-ответ a =” 821157 ″] a.

,

; б. Поскольку угловая скорость увеличивается линейно, в течение указанного времени должно быть постоянное ускорение. Следовательно, мгновенное угловое ускорение в любой момент является решением для

. [/ Hidden-answer]

Пример

Ветряная турбина

Ветряная турбина ((Рисунок)) ветряной электростанции останавливается на техническое обслуживание.Турбине требуется 30 с, чтобы перейти от своей рабочей угловой скорости до полной остановки, при которой функция угловой скорости равна

. Если турбина вращается против часовой стрелки, глядя на страницу, (а) каковы направления векторов угловой скорости и ускорения? б) Что такое среднее угловое ускорение? (c) Какое мгновенное угловое ускорение при

Стратегия

1. Нам дано направление вращения турбины против часовой стрелки в плоскости страницы. Используя правило правой руки ((Рисунок)), мы можем установить направления векторов угловой скорости и ускорения.
2. Рассчитываем начальную и конечную угловые скорости, чтобы получить среднее угловое ускорение. Мы устанавливаем знак углового ускорения из результатов в (а).
3. Нам дана функциональная форма угловой скорости, поэтому мы можем найти функциональную форму функции углового ускорения, взяв ее производную по времени.

Решение

1. Поскольку турбина вращается против часовой стрелки, угловая скорость

   балла за страницу. Но поскольку угловая скорость уменьшается, угловое ускорение

   указывает на страницу в противоположном смысле угловой скорости.

2. Начальная угловая скорость турбины, уставка

   . Конечная угловая скорость равна нулю, поэтому среднее угловое ускорение равно

   .

3. Взяв производную от угловой скорости по времени, получаем

Значение

Мы обнаружили из расчетов в (а) и (б), что угловое ускорение

и среднее угловое ускорение

отрицательны. Турбина имеет угловое ускорение, противоположное ее угловой скорости.

Теперь у нас есть базовый словарь для обсуждения кинематики вращения с фиксированной осью и взаимосвязей между переменными вращения. Мы обсудим больше определений и связей в следующем разделе.

Вращение

Чтобы описать движение вращающихся или вращающихся объектов, нам нужен более естественный набор переменных, чем x, v и a, которые мы использовали до сих пор.

Угловые переменные

Угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением, а не с центростремительным ускорением. Угловое ускорение возникает только при изменении скорости вращения.

Если угловая скорость постоянна, то скорость точки на вращающемся объекте равна:

где T — период, время, которое нужно обойти один раз.

Эти угловые переменные являются векторами, как и их собратья по прямолинейному движению. В какую сторону они указывают? Возьмите пальцы правой руки и согните их, как вращается предмет. Высуньте большой палец наружу, и вы получите направление угловой скорости. Угловое ускорение будет в том же направлении, если объект ускоряет свое вращение, и в противоположном направлении, если он замедляется.

Мы часто будем использовать по часовой стрелке и против часовой стрелки, чтобы указать направление. Как и в случае прямолинейного движения, мы можем определить положительное направление в зависимости от того, что удобно в конкретном случае.

Соединение с прямолинейным движением

Мы сосредоточимся на вращении вокруг одной оси вращения, которое аналогично одномерному прямолинейному движению. По сути, если вы понимаете одномерное движение, вы можете выполнять вращение — вращательное движение — это просто прямолинейное движение, свернутое в круг.

Смещение, скорость и ускорение имеют эквиваленты вращения. Существуют также вращательные эквиваленты массы, силы, законов Ньютона, кинетической энергии, импульса и т. Д.Любое уравнение, которое мы использовали для прямолинейного движения, имеет вращательную форму, которую можно найти, подставив эквивалентные вращательные переменные.

Например, как связаны углы, угловые скорости и угловые ускорения? Таким же образом линейные переменные:

Угловая скорость — это скорость изменения угла

Угловое ускорение — это скорость изменения угловой скорости

Уравнения постоянного ускорения

Эти уравнения связывают смещение, скорость, ускорение и время и применяются при следующих условиях:

• ускорение постоянное
• движение отсчитывается от t = 0
• тот факт, что несколько переменных являются векторами, учитывается соответствующими знаками плюс и минус

Пример задачи

Вы находитесь на колесе обозрения, которое вращается со скоростью 1 оборот каждые 8 ​​секунд. Оператор колеса обозрения решает остановить его и включает тормоз. Тормоз производит постоянное ускорение -0,11 радиан / с ² .

(a) Если ваше место на колесе обозрения — 4.2 м от центра колеса, какова ваша скорость, когда колесо вращается с постоянной скоростью до того, как будет применен тормоз?

(b) Сколько времени нужно, чтобы колесо обозрения остановилось?

(c) Сколько оборотов делает колесо, когда оно останавливается?

(d) Как далеко вы проедете при замедлении колеса?

Решение

(a) Колесо вращается со скоростью 1 оборот каждые 8 ​​секунд, или 0,125 об / с. Это начальная угловая скорость.Часто удобнее всего работать с угловой скоростью в радианах / с; выполнение преобразования дает:

ω = 0,125 об / с * 2π рад / об = 0,785 рад / с

Ваша скорость — это просто угловая скорость, умноженная на расстояние от центра колеса:

v = r ω = 4,2 * 0,785 = 3,30 м / с

(b) Мы вычислили начальную угловую скорость, конечная угловая скорость равна нулю, а угловое ускорение составляет -0,11 рад / с ² . Это позволяет определить время остановки:

ω = ω _или + α t

(c) Один из способов определить количество оборотов, которое совершает колесо при замедлении до остановки, — это определить угол, на который оно движется:

θ — θ _o = ω _o t + ½ α t ²

θ = (0,785 * 7,14) + ½ (-0,11) * (7,14) ² = 2,80 радиан

Это может быть преобразовано в обороты:

2. 80 рад 2π рад / об

=

0,446 оборота

(d) Чтобы определить расстояние, которое вы прошли во время замедления колеса, угловое смещение (в радианах) можно преобразовать в смещение, умножив его на r:

s = rθ = 4,2 * 2,80 = 11,8 м

Как рассчитать формулу угловой скорости

Формула угловой скорости: В физике угловая скорость означает, насколько быстро объект вращается или вращается относительно другой точки, т.е.е. насколько быстро угловое положение или ориентация объекта меняется со временем. Есть два типа угловой скорости: орбитальная угловая скорость и угловая скорость вращения. Угловая скорость вращения означает, насколько быстро твердое тело вращается относительно центра вращения.

Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Как правило, угловая скорость измеряется в углах в единицу времени, т.е.грамм. радиан в секунду. Единица измерения угловой скорости в системе СИ выражается в радианах / сек, причем радиан имеет безразмерное значение, равное единице, поэтому единицы измерения угловой скорости в системе СИ обозначаются как 1 / сек . Угловая скорость обычно обозначается символом омега ( Ом , иногда Ом ). По соглашению, положительная угловая скорость означает вращение против часовой стрелки, а отрицательная — по часовой стрелке.

Например, геостационарный спутник совершает один оборот в день над экватором, или 360 градусов за 24 часа, и имеет угловую скорость ω = 360/24 = 15 градусов в час, или 2π / 24 ≈ 0.26 радиан в час. Если угол измеряется в радианах, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость, {\ displaystyle v = r \ omega}. При радиусе орбиты 42000 км от центра Земли скорость спутника в космосе составляет v = 42000 × 0,26 ≈ 11000 км / ч. Угловая скорость положительна, поскольку спутник движется на восток вместе с вращением Земли (против часовой стрелки над северным полюсом).

В трех измерениях угловая скорость представляет собой псевдовектор, величина которого измеряет скорость, с которой объект вращается или вращается, а ее направление указывает перпендикулярно плоскости мгновенного вращения или углового смещения.Ориентация угловой скорости условно задается правилом правой руки.

Формула угловой скорости

В простейшем случае кругового движения по радиусу {\ displaystyle r} с положением, заданным угловым смещением {\ displaystyle \ phi (t)} от оси x, орбитальная угловая скорость — это скорость изменения угла с относительно времени: {\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {d \ phi} {dt}}}. Если {\ displaystyle \ phi} измеряется в радианах, расстояние от оси x вокруг круга до частицы равно {\ displaystyle \ ell = r \ phi}, а линейная скорость равна {\ displaystyle v (t) = {\ tfrac {d \ ell} {dt}} = r \ omega (t)}, так что {\ displaystyle \ omega = {\ tfrac {v} {r}}}.

В общем случае частицы, движущейся в плоскости, орбитальная угловая скорость — это скорость, с которой вектор положения относительно выбранного начала координат «выметает» угол. На диаграмме показан вектор положения {\ displaystyle \ mathbf {r}} от начала координат {\ displaystyle O} до частицы {\ displaystyle P} с его полярными координатами {\ displaystyle (r, \ phi)}. (Все переменные являются функциями времени {\ displaystyle t}.) Частица имеет линейное разделение скорости как {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ |} + \ mathbf {v} _ {\ perp }} с радиальным компонентом {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ |}}, параллельным радиусу, и поперечно-радиальным (или тангенциальным) компонентом {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}} перпендикулярно радиусу.Когда нет радиальной составляющей, частица движется вокруг начала координат по окружности; но когда нет поперечно-радиального компонента, он движется по прямой линии от начала координат. Поскольку при радиальном движении угол остается неизменным, только поперечно-радиальная составляющая линейной скорости вносит вклад в угловую скорость.

Угловая скорость ω — это скорость изменения углового положения относительно времени, которую можно вычислить из поперечной радиальной скорости как:

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}.}

Здесь поперечная радиальная скорость {\ displaystyle v _ {\ perp}} является величиной со знаком {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}, положительной для движения против часовой стрелки, отрицательной для движения по часовой стрелке. Принятие полярных координат для линейной скорости {\ displaystyle \ mathbf {v}} дает величину {\ displaystyle v} (линейную скорость) и угол {\ displaystyle \ theta} относительно радиус-вектора; в этих терминах {\ displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)}, так что

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}}.{\ perp} = (- y, x)}.

В двух измерениях угловая скорость — это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указывающее в направлении. Знак обычно считается положительным, если радиус-вектор вращается против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Тогда угловая скорость может быть названа псевдоскалярной, числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности, такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Читайте также: Формула трехчлена идеального квадрата

Как рассчитать угловую скорость на основе числа оборотов в минуту?

оборотов в минуту можно преобразовать в угловую скорость в градусах в секунду, умножив об / мин на 6, поскольку один оборот составляет 360 градусов, а количество секунд составляет 60 секунд в минуту.Если об / мин равно 1 об / мин , угловая скорость в градусах в секунду будет 6 градусов в секунду, так как 6, умноженное на 1, равно 6.

Какова формула угловой скорости?

Чтобы получить нашу вторую формулу для угловой скорости , мы понимаем, что тета дается в радианах, а определение радианной меры дает theta = s / r. Таким образом, мы можем подставить theta = s / r в нашу первую формулу угловой скорости .Это дает w = (s / r) / t.

Обороты — это то же самое, что и угловая скорость?

Угловая скорость составляет скорость вращения . Что-то крутится. Это сокращение от «Оборотов в минуту». Другими связанными единицами измерения, выражающими то же свойство , являются градусы в секунду и радианы в секунду.

Формула средней угловой скорости

Во-первых, когда вы говорите об «угловом» чем-либо, будь то скорость или какая-либо другая физическая величина, осознайте, что, поскольку вы имеете дело с углами, вы говорите о путешествии по кругам или их частям.Вы можете вспомнить из геометрии или тригонометрии, что длина окружности равна его диаметру, умноженному на константу пи, или πd . (Значение пи составляет около 3,14159.) Это чаще всего выражается в терминах радиуса круга r , который составляет половину диаметра, в результате чего окружность 2πr .

Кроме того, вы, вероятно, где-то по пути узнали, что круг состоит из 360 градусов (360 °). Если вы переместитесь на расстояние S по окружности, то угловое смещение θ будет равно S / r.Таким образом, один полный оборот дает 2πr / r, что оставляет 2π. Это означает, что углы меньше 360 ° могут быть выражены в единицах пи или, другими словами, в радианах.

Взяв всю эту информацию вместе, вы можете выразить углы или части круга в единицах, отличных от градусов:

1 радиан = (360 ° / 2π) = 57,3 °,

В то время как линейная скорость выражается в длине в единицу времени, угловая скорость измеряется в радианах в единицу времени, обычно в секунду.

Если вы знаете, что частица движется по круговой траектории со скоростью v на расстоянии r от центра круга, причем направление v всегда перпендикулярно радиусу круга, тогда угловую скорость можно записать

, где ω — греческая буква омега. Единицы угловой скорости — радианы в секунду; вы также можете рассматривать эту единицу как «обратные секунды», потому что v / r дает м / с, деленные на m, или с ^-1 , что означает, что радианы технически являются безразмерной величиной.

Формула центростремительного ускорения, угловая скорость

Формула углового ускорения выводится так же, как и формула угловой скорости: это просто линейное ускорение в направлении, перпендикулярном радиусу окружности (эквивалентно, его ускорение по касательной к круговой траектории в любой точке) делится на радиус круга или части круга, который составляет:

, потому что для кругового движения a _t = ωr / t = v / t.

α , как вы, наверное, знаете, это греческая буква «альфа». Индекс «t» здесь означает «касательную».

Как ни странно, вращательное движение может иметь другой вид ускорения, называемый центростремительным («центростремительным») ускорением. Это дается выражением:

Это ускорение направлено к точке, вокруг которой вращается рассматриваемый объект. Это может показаться странным, поскольку объект не приближается к этой центральной точке, так как радиус r фиксирован.Думайте о центростремительном ускорении как о свободном падении, при котором нет опасности столкновения объекта с землей, потому что сила, притягивающая объект к нему (обычно сила тяжести), точно компенсируется тангенциальным (линейным) ускорением, описываемым первым уравнением в эта секция. Если бы a _c не было равно a _t , объект либо улетел бы в космос, либо вскоре врезался бы в середину круга.

Читайте также: Средняя и мгновенная скорость изменения

Формула угловой скорости Физика

Прежде чем мы перейдем к угловой скорости, мы сначала рассмотрим линейную скорость. Линейная скорость применяется к объекту или частице, движущимся по прямой линии. Это скорость изменения положения объекта во времени.

Линейная скорость может быть рассчитана по формуле v = s / t , где v = линейная скорость, s = пройденное расстояние и t = время, необходимое для преодоления расстояния. Например, если я проехал 120 миль за 2 часа, то для расчета моей линейной скорости я бы вставил с = 120 миль и t = 2 часа в свою формулу линейной скорости, чтобы получить v = 120 / 2 = 60 миль в час.Один из наиболее распространенных примеров линейной скорости — это ваша скорость при движении по дороге. Ваш спидометр показывает вашу скорость или показатель в милях в час. Это скорость изменения вашего положения относительно времени, другими словами, ваша скорость — это ваша линейная скорость.

Перед тем, как перейти к угловой скорости, нам нужно рассмотреть еще одну вещь — радианы. Когда мы имеем дело с угловой скоростью, мы используем радианную меру угла, поэтому важно, чтобы мы были знакомы с радианной мерой.Техническое определение радиан. Измерение — это длина дуги, образуемой углом, деленная на радиус окружности, частью которой является угол, где протяженность означает, что она находится напротив угла и проходит от одной точки на круг к другому, оба отмечены углом. Это говорит нам о том, что угол тета = с / r радиан, где с = длина дуги, соответствующей тета, а r = радиус круга, частью которого является тета.

Формула угловой скорости в линейную скорость Поскольку большинству из нас удобно измерять углы в градусах, удобно, что мы можем легко преобразовать градус в радиан, умножив градус на пи / 180. Например, угол 45 градусов имеет мера в радианах 45 (пи / 180), что равно пи / 4 радиана.

Читайте также: Формула линейной интерполяции

оборотов

оборот

Оборотов

Предположим, вы заменяете подшипники в колесе вашего велосипед.Чтобы проверить, хорошо ли вы поработали, вы держите ось. вертикально и покрутите. Ось в центре колеса стационарный. Колеса в целом нет поступательное движение . Но колесо вращается ось. Каждая точка колеса совершает круговое движение вокруг ось вращения. Такое движение вокруг оси вращения есть называется вращательное движение .

Расширенный объект может иметь трансляционные и вращательное движение.Любое движение протяженного объекта можно увидеть как сочетание поступательного движения центр масс и вращательное движение вокруг центра масс.

Губка Toss Movie

Пример:

Квадрат из пенопласта имеет синий светодиод возле CM и красный светодиод у его края. Если мы бросим губку мы можем легко наблюдать параболическое движение ЦМ и вращательное движение вокруг ЦМ.

---

Как описать вращательное движение?

Предположим, вы сделали отметку мелом на ободе колеса и вы первоначально сориентируйте колесо так, чтобы отметка была обращена к вам. Это ваша справочная ориентация. В угловое положение колеса описывает его ориентацию относительно этой эталонной ориентации. Когда колесо вращается, это угловое положение меняется. Угловой смещение измеряет, как далеко он повернулся от своего справочная ориентация.Часто удобно ориентировать систему координат так, чтобы ось z совпадает с осью вращения, а ось x определяет справочная ориентация. Тогда угловое смещение θ из точка P на колесе — это угол θ прямая от оси вращения в точку P делает с осью абсцисс.

Углы могут измеряться в градусах или градусах. радианы. 360 градусов = 2π радиан. При описании вращательного движения наиболее удобно измерять углы в радианах.

Чтобы узнать, насколько быстро вращается колесо, мы измеряем его угловая скорость ω. Средняя угловая скорость определяется выражением

ω _ср. = (θ _f — θ _i ) / (t _f — t _i ) = Δθ / Δt.

Каждая точка колеса имеет одинаковую угловую скорость. В единицы угловой скорости — рад / с или с ^-1 , потому что радианы безразмерны.

Предположим, вы поворачиваете ось прялки из с вертикального на горизонтальный.Колесо все так же крутится угловая скорость, но его угловая скорость ω изменилась. Угловой Скорость имеет величину и направление. Его величина — это угловая скорость, а направление — это направление оси вращения. Однако есть тонкость, которую мы надо позаботиться. Предположим, что ось вращения вертикальный. Какое направление вращения? Колесо крутится по часовой стрелке или против часовой стрелки, если смотреть сверху? Просто говорю ось вертикальна не говорит нам смысла вращения.

Чтобы указать направление вращения, мы используем соглашение, называемое Правое правило . Если пальцы вашей правой руки изгибаются, чтобы указать, в какую сторону поворачиваясь, большой палец правой руки указывает в направление оси вращения. Это направление угловая скорость ω .

Нажмите на изображении ниже для трехмерного просмотра!

Проблема:

Какова средняя угловая скорость
(a) Земли на своей орбите вокруг Солнце и
(b) Луна на своей орбите вокруг Земли?

Решение:

• Рассуждение:
  Земля обращается вокруг Солнца один раз в год.
  Луна обращается вокруг Земли за 27,3 дня
• Детали расчета:
  а) угловая скорость Земли на орбите вокруг Солнца равна ω = 2π / год = 2π / (365 * 24 * 60 * 60 с) = 2 * 10 ^-7 / с.
  (b) угловая скорость Луны на орбите вокруг Земли составляет ω = 2π / (27,3 дня) = 2π / (27,3 * 24 * 60 * 60 с) = 2,7 * 10 ^-6 / с.

---

Угловое ускорение

Угловое ускорение α определяется как скорость изменения угловая скорость.Среднее угловое ускорение равно

.

α = ( ω ₂ — ω ₁ ) / (т ₂ — т ₁ ) = Δ ω / Δt.

Угловая скорость изменяется, когда скорость вращения увеличение или уменьшение и при изменении оси вращения направление. Угловое ускорение — вектор.

Если поменять количество оборотов колесо делает в секунду, затем каждая точка на колесе имеет угловое ускорение.Предположим, что точки угловой скорости в z-направлении, и через интервал времени в одну секунду мы изменяем угловую скорость колесо от π / s до 2π / s. Среднее угловое ускорение составляет
α = ( ω ₂ — ω ₁ ) / (т ₂ — t ₁ ) = ((2π / с — π / с) к / (1 с) = (π / с ² ) к ,
то есть имеет величину π / s и указывает в направлении оси z.

Если повернуть ось вращение с вертикали на горизонталь, затем каждая точка на колесе имеет угловое ускорение.Предположим, что колесо вращается с угловым скорость (2π / с) k относительно оси Z. Если за интервал времени 1 с переориентировать ось вращения с вертикально на горизонтальное, так что теперь колесо вращается с угловой скоростью (2π / с) i вокруг оси x, затем дано среднее угловое ускорение на
α = ( ω ₂ — ω ₁ ) / (т ₂ — t ₁ ) = ((2π / с i — 2π / с к ) / (1 с).
Величина (√2) 2π, а его направление составляет угол 315 ^o с осью x.

Проблема:

Какова величина угловой скорости, ω , секундной стрелки часов? Какое направление ω как вы смотрите на часы, висящие вертикально? Какова величина угловое ускорение секундной стрелки?

Решение:

• Рассуждение:
  Секундная стрелка часов проходит через угловой смещение 2π в одном минута.Его угловая скорость ω = 2π / (60 с) = 0,105 / с. Направление ω есть перпендикулярно циферблату часов, указывая в циферблат часов. Среднее угловое ускорение секундная стрелка равна нулю.

11.1: Кинематические векторы вращения — Physics LibreTexts

Скалярные кинематические величины вращения

Напомним, что мы можем описать движение частицы по окружности радиуса \ (R \), используя ее угловое положение \ (\ theta \), угловую скорость \ (\ omega \) и угловую скорость. ускорение, \ (\ alpha \). 2 \ end {align} \], где \ (\ theta_0 \) и \ (\ omega_0 \) — угловое положение и скорость, соответственно, в точке \ (t = 0 \).

Мы также можем описать движение частицы в терминах «линейных» величин (в отличие от «угловых» величин) вдоль одномерной оси, которая изогнута по окружности. Если \ (s \) — это расстояние по окружности круга, измеренное против часовой стрелки от того места, где круг пересекает ось \ (x \), то это связано с угловым смещением: \ [\ begin {align} s = R \ theta \ end {align} \], если \ (\ theta \) выражается в радианах. Аналогично, линейная скорость вдоль оси \ (s \), \ (v_s \), и соответствующее ускорение, \ (a_s \), задаются следующим образом: \ [\ begin {align} v_s & = \ frac {ds} {dt} = \ frac {d} {dt} R \ theta = R \ omega \\ a_s & = \ frac {dv} {dt} = \ frac {d} {dt} R \ omega = R \ alpha \ end { выровнено} \], где радиус круга \ (R \) — это константа, которую можно вычесть из производных по времени.При движении по окружности вектор скорости \ (\ vec v \) частицы всегда касается окружности (рис. \ (\ PageIndex {1} \)), поэтому \ (v_s \) соответствует скорости частицы. Вектор ускорения \ (\ vec a \), как правило, не касается окружности; \ (a_s \) представляет компонент вектора ускорения, касательный к окружности. Если \ (a_s = 0 \), то \ (\ alpha = 0 \), и частица движется с постоянной скоростью (равномерное круговое движение), а вектор ускорения указывает на центр круга.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Какое из следующих утверждений правильно описывает скорости в точках \ (A \) и \ (B \) на диске, вращающемся вокруг оси, проходящей через его центр, как показано на рис. \ (\ PageIndex {2} \) ?

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): две точки с разными радиусами на вращающемся диске.

1. Обе точки \ (A \) и \ (B \) имеют одинаковые угловые и линейные скорости.
2. Обе точки \ (A \) и \ (B \) имеют одинаковую линейную скорость, но разные угловые скорости.
3. Обе точки \ (A \) и \ (B \) имеют одинаковую угловую скорость, но разные линейные скорости.

Ответ

Векторные кинематические величины вращения

В предыдущем разделе мы определили угловые величины для описания движения частицы вокруг оси \ (z \) по окружности радиуса \ (R \), лежащей в плоскости \ (xy \). Используя векторы, мы можем определить угловые величины для вращения вокруг оси , которая может указывать в любом направлении .Для данной оси вращения путь любой частицы, вращающейся вокруг этой оси, можно описать окружностью, лежащей в плоскости, перпендикулярной этой оси вращения, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): определение вектора \ (\ vec r \) и угловой скорости \ (\ vec w \) для частицы со скоростью \ (\ vec v \), вращающейся вокруг оси в общее направление.

Мы определяем вектор \ (\ vec r \) для частицы как вектор, идущий от оси вращения к частице и находящийся в плоскости, перпендикулярной оси вращения, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).{2}} \ vec r \ times \ vec v \]

Вектор угловой скорости перпендикулярен как вектору скорости, так и вектору \ (\ vec r \), поскольку он определяется как их векторное произведение. Таким образом, вектор угловой скорости совпадает с осью вращения . Используя вектор угловой скорости, мы можем указать направление оси вращения, а также направление, в котором частица вращается вокруг этой оси . Направление вращения задается правилом правой руки для осевых векторов: когда вы указываете большим пальцем в том же направлении, что и вектор угловой скорости, направление вращения — это направление, в котором указывают ваши пальцы, когда вы их сгибаете, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {4} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Использование правила правой руки для аксиальных векторов. В этом случае направление вращения — против часовой стрелки, когда вы смотрите на страницу (направление, в котором изгибаются пальцы), поэтому вектор вращения указывает за пределы страницы (направление большого пальца). {\ circ} \) для движения по окружности).Направление угловой скорости на рисунке \ (\ PageIndex {1} \) находится в положительном направлении \ (z \), что соответствует вращению против часовой стрелки вокруг оси \ (z \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Вы нажимаете на правую сторону двери, чтобы открыть ее, поскольку петли двери находятся слева. Вектор угловой скорости двери:

1. и выше
2. вниз
3. Нападающие
4. назад

Ответ

Всегда можно определить вектор угловой скорости относительно точки вращения , даже если частица не движется по окружности.Если мы определим вектор \ (\ vec r \) как вектор от точки вращения к частице, то вектор угловой скорости описывает движение частицы, как если бы она мгновенно двигалась по окружности с центром в точке вращение в плоскости, заданной векторами \ (\ vec r \) и \ (\ vec v \). {2}} || \ vec r \ times \ vec v || = \ frac {v \ sin φ} {r} = \ frac {v \ perp} {r} \]

, где \ (\ phi \) — угол между \ (\ vec r \) и \ (\ vec v \).{2}} \ vec r \ times \ vec a \]

где \ (\ vec a \) — вектор ускорения частицы, а \ (\ vec r \) — вектор от оси вращения к частице. Направление углового ускорения совпадает с осью вращения, и правило правой руки дает направление вращения углового ускорения. Мы также можем определить угловое ускорение относительно точки; в этом случае направление вектора будет определять мгновенную ось вращения вокруг круга радиуса \ (r \) с центром в точке, а также направление углового ускорения вокруг этой оси.

Наконец, мы можем определить вектор углового смещения \ (\ vec \ theta \) относительно оси вращения. Направление вектора углового смещения будет совмещено с осью вращения, его направление будет указывать направление вращения вокруг этой оси, а его величина (в радианах) будет соответствовать угловому смещению (как показано на рис. ). (\ PageIndex {3} \) ). Мы можем связать вектор углового смещения только с бесконечно малым вектором линейного смещения, \ (d \ vec s \), поскольку вектор положения \ (\ vec r \) от оси вращения будет отличаться на каждом конце вектора смещения. если смещение большое.2} \ vec r \ times d \ vec s \\\ конец {выровнено} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Какое утверждение относительно муравья на диске, который вращается все медленнее и медленнее, как показано на рисунке, является правильным?

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Муравей на диске.

1. Угловая скорость указывает на страницу, а угловое ускорение указывает за пределы страницы.
2. И угловая скорость, и ускорение указывают на страницу.
3. И угловая скорость, и ускорение указывают за пределы страницы.2} \ vec r \ times \ vec v_s \ end {align} \], где \ (\ vec v_s \) — (мгновенная) тангенциальная скорость вокруг окружности (т. Е. Составляющая скорости \ (\ vec v \), которая перпендикулярно \ (\ vec r \)). Вектор углового ускорения — это скорость изменения вектора угловой скорости: \ [\ begin {выравнивание} \ vec \ alpha = \ frac {d} {dt} \ vec \ omega \ end {выравнивание} \]

   С учетом угловых кинематических величин соответствующие линейные величины в положении \ (\ vec r \) от оси вращения задаются выражением:

   \ [d \ vec s = d \ vec \ theta \ times \ vec r \]

   \ [\ vec v_ {s} = \ vec w \ times \ vec r \]

   \ [\ vec a_ {s} = \ vec \ alpha \ times \ vec r \]

   , где линейные величины всегда направлены в направлении, перпендикулярном \ (\ vec r \) (касательное к окружности, для движения по окружности).Другими словами, нельзя, скажем, взять вектор ускорения, получить вектор углового ускорения, а затем вернуть исходный вектор ускорения — можно получить только компонент вектора ускорения, который перпендикулярен \ (\ vec r \ ).

   Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

   Частица имеет угловую скорость в отрицательном направлении \ (z \). Каким образом вектор скорости частицы находится в точке ее траектории, когда она находится на положительной оси \ (y \)?

   1. Положительное направление \ (z \)
   2. Отрицательное направление \ (y \)
   3. Положительное направление \ (x \)
   4. Отрицательное направление \ (x \)

   Ответ

   Угловая скорость и ускорение.Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции. Радиус вращения. Работа. Власть. Крутящий момент. Угловой момент и импульс.

   Угловая скорость и ускорение. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции. Радиус вращения. Работа. Власть. Крутящий момент. Угловой момент и импульс.

   ---

   SolitaryRoad.com

   Владелец сайта: Джеймс Миллер
    

   ---

   [ Дом ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]

   ---

   Угловая скорость и ускорение. Кинетическая энергия вращающееся тело.Момент инерции. Радиус Гирация. Работа. Власть. Крутящий момент. Угловой импульс и импульс.

   Радиан — важная и часто используемая единица измерения углов.

   Def. Радиан. Один радиан — это угол, образуемый центр круга по дуге, равной по длине радиусу круг. См. Рис. 1. В круге 2π радиана. Один радиан = 360 ^o / 2π = 57,3 ^o .

   Def. Угловое смещение. Угол в радианах (градусы, обороты), через которые прошла точка или линия повернут в указанном направлении вокруг указанной оси.Пример. На рис. 2 угловое смещение точки P от исходной оси Ox равно θ.

   Def. Угловая скорость. Скорость изменения углового смещения вокруг оси. это выражается в радианах в секунду, градусах в секунду, оборотах в секунду (об / мин) и оборотах в минуту (об / мин).

   Угловая скорость рассматривается как вектор. Он расположен параллельно оси вращения и направлен внутрь. направление, заданное правилом правой руки (согните пальцы правой руки в направлении вращение и ваш большой палец указывает в направлении вектора).Как вектор можно манипулировать в соответствии с правилами манипулирования векторами. Его векторный характер не важен для многих проблемы, но важен в других.

   Def. Угловое ускорение. Скорость изменения угловой скорости. Это обычно выражается в радианах в секунду в секунду (рад / сек ² ).

   Поскольку угловая скорость является векторной, угловое ускорение также является векторной величиной.

   Угловые отношения. Рассмотрим движение частицы P по окружности с центром в точке O как изображенный на рис.2. Если

   r = радиус окружности (дюймы, футы, м и т. Д.)

   θ = угловое смещение P в радианах, измеренное против часовой стрелки от положительная ось x

   с = линейное расстояние, пройденное P, измеренное от положительной оси x (дюймы, футы, м и т. Д.)

   v = линейная скорость (скорость) P (фут / сек, м / сек и т. Д.)

   a = линейный ускорение P (фут / сек ² , м / сек ² и т. д.)

   ω = угловой скорость P (рад / сек, рад / мин и т. д.)

   α = угловой ускорение P (рад / сек ² , рад / мин ² и т. д.)

   f = частота (об / сек, об / мин и т. д.)

   T = период (Время требуется в сек, мин и т. д. сделать один полный революция вокруг круг)

   , то выполняются следующие отношения:

   1) v = ds / dt

   2) а = дв / дт

   3) ω = dθ / dt

   4) α = dω / dt

   5) s = θr

   6) v = ωr

   7) а = αr

   8) ω = 2πf

   9) Т = 1 / f = 2π / ω = 2πr / v

   Уравнения равноускоренного углового движения.Уравнения для равномерно Ускоренное угловое движение полностью аналогично линейному движению. Пусть v _o и ω _o обозначают начальную линейную и угловую скорости соответственно, и пусть v _t и ω _t обозначают линейную и угловые скорости после времени t. Тогда

   v _t = v _o + при s = v _o t + ½ при ² v _t ² = v _o ² + 2as

   ω _t = ω _o + αt θ = ω _o t + ½ αt ² ω _t ² = ω _o ² + 2αθ

   Если тело запускается из состояния покоя, v _o = 0 и ω _o = 0 и

   v _t = при s = ½ при ² v _t ² = 2as

   ω _t = αt θ = ½ αt ² ω _t ² = 2αθ

   Инерция и движение.Тело в состоянии покоя имеет тенденцию оставаться в состоянии покоя, а тело в движении имеет тенденцию оставаться в состоянии покоя. движение, если на тело не действуют внешние силы. Если бы кто-то дал мрамор толчок по гладкой ровной поверхности он будет катиться по прямой бесконечно если бы не силы трения, которые заставили бы его остановиться. То же самое верно для блока древесина. Если толкнуть деревянный брусок по гладкой ровной поверхности, он соскользнет навсегда. это не для сил трения. Если бы кто-то завел детский волчок и поставил его на поверхность он продолжал бы вращаться бесконечно, если бы не силы трения, останавливающие его.То же самое и с гироскопом. В природе есть пример вращающегося объекта, который вращаться вечно. Это наша планета Земля (или любая планета, которая вращается при движении в космосе). В в этом случае нет сил трения, замедляющих движение.

   Инерция. Инерция — это неотъемлемое свойство тела, которое заставляет его противостоять любой силе, которая может вызвать изменение в его движении. Тело в состоянии покоя и тело в движении противостоят силам, которые могут вызвать ускорение. Инерцию тела можно измерить по его массе, которая определяет его сопротивление действию силы или момент ее инерции относительно заданной оси, который измеряет его сопротивление действию крутящего момента относительно той же оси.

   Кинетическая энергия вращающегося тела и момент инерции. Вращающееся тело вокруг оси обладает кинетической энергией движения. Кинетическая энергия, которой он обладает, — это сумма всех кинетических энергий всех составляющих его частиц. Частица массы m _i , расположенный на расстоянии r _i от оси вращения, имеет кинетическую энергию, равную ½ m _i v _i ² , где v _i скорость частицы.Полная кинетическая энергия E _k всех частиц в теле будет предоставлено

   E _k = Σ ½ м _i v _i ²

   Помня, что v = ωr, полученное выше становится

   E _k = Σ ½ м _i r _i ² ω ²

   Поскольку ω одинакова для всех частиц в твердом теле, его можно вынести за скобки, и мы получим

   E _k = ½ [Σ m _i r _i ² ] ω ²

   Величина Σ m _i r _i ² получается делением тела на большое количество бесконечно малых частиц и суммирование с использованием интегрального исчисления.Это количество обозначается I

   .

   1] I = Σ м _i r _i ²

   и называется моментом инерции тела относительно этой оси вращения. В момент инерции тела — это мера сопротивления, которое тело оказывает любому изменению в его угловая скорость.

   Примечание. Момент инерции обычно выражается в снарядах ² в инженерной системе, кг-м ² в система mks и g-cm ² в системе cgs.

   Тогда кинетическая энергия вращения тела определяется формулой

   2] E _k = ½ Iω ²

   Мы видим, что это в точности аналог формулы поступательной кинетической энергии

   K = ½ мв ²

   Радиус вращения. Во вращающемся теле есть точка на определенном расстоянии k от оси вращения, на которой можно считать сосредоточенной всю массу тела (я.е. где тело можно было заменить точечной массой) без изменения его момента инерции. Это расстояние k называется радиусом вращения тела вокруг этой конкретной оси вращения. Таким образом, для тела массой м и момента инерции I относительно некоторой заданной оси вращения соответствующий радиус вращения k задается формулой I = mk ² или

   Теорема о параллельной оси. Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, равен известно, момент инерции через параллельную ей ось равен

   4] I = I _G + mh ²

   где

   I _G = момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс

   м = масса корпуса

   h = расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными осями

   Моменты инерции для многих тел простой геометрической формы можно найти в справочниках.

   Работа во вращательном движении. Рассмотрим тело на рис. 3, которое поворачивается вокруг оси через О перпендикулярно плоскости рисунка. Внешняя сила F действует на тело в точке P производя вращение. При повороте тела на небольшой угол dθ точка P перемещается на расстояние ds по его круговой траектории, где ds = rdθ. Составляющая F в направлении ds равна F cos α. В работа dW, выполненная F, составляет

   dW = F cos α ds

   или

   dW = (F cos α) rdθ

   Учитывая, что произведение (F cos α) r является моментом (или крутящим моментом) M силы F вокруг оси, мы иметь

   5] dW = M dθ

   , который представляет собой формулу работы, совершаемой силой, действующей на вращающееся тело.Это вращательный аналог формулы W = F ds для поступательного движения.

   [Примечание. В векторных обозначениях проделанная работа выражается как dW = M ∙ dθ]

   Работа W, совершенная над вращающимся телом с постоянным крутящим моментом, равна произведению крутящего момента M и угловое смещение θ.

   Вт = Mθ

   Мощность во вращательном движении. Сила P во вращательном движении определяется формулой

   6] P = Mω

   где M — крутящий момент, а ω — угловой скорость.

   Вывод. Эта формула непосредственно следует из 5]

   [Примечание. В векторных обозначениях мощность равна P = M ∙ ω]

   Момент. Крутящий момент — это крутящая сила, которая имеет тенденцию производить вращение. См. Рис. A. В Рис. А сила F перпендикулярна плоскость, содержащая ось вращения и d. Здесь крутящий момент = F × d.

   Крутящий момент — это векторная величина. Его направление задается следующим правилом правой руки: если пальцы правой руки зажаты в направление поворота, большой палец дает направление.Крутящий момент вокруг оси — это момент силы вокруг оси. Посмотреть момент силы, Пара

   Теорема 1. Крутящий момент и угловой ускорение. Несбалансированный крутящий момент M, действуя на тело с моментом инерции I вокруг некоторой фиксированной оси, производит в ней угловое ускорение α в соответствии с формула

   7] M = Iα

   Это вращательный аналог второго закона Ньютона, F = ma.

   Вывод. Работа, совершаемая крутящим моментом, действующим на вращающееся тело, определяется формулой

   dW = Mdθ

   Эта работа, выполняемая телом, равна увеличению кинетической энергии тела, т. Е.

   dW = d (½ Iω ² ) = Iωdω

   Таким образом,

   Mdθ = Iωdω

   или

   Теперь о продукте равно ускорению α, как мы видим из

   Следовательно, 8] становится

   M = Iα

   Def.Угловой момент частицы относительно неподвижной точки. Угловой импульс L частицы P относительно некоторой фиксированной точки O определяется как

   9] L = r × p

   где r — вектор, идущий от O к P, p — импульс частицы P, а × — перекрестное произведение.

   Это можно записать как

   10] L = r × mv

   где m — масса частицы P, а v — ее скорость.

   Обратите внимание, что L представляет собой момент количества движения частицы и иногда его называют момент количества движения частицы.

   Угловой момент совокупности частиц относительно точки. В системе содержащий несколько частиц, общая угловая импульс совокупности вокруг точки O равен полученный сложением всех угловых моментов составляющие частицы около O:

   
   

   На рис. 4 показана горизонтальная плоская пластина, вращающаяся вокруг вертикальной оси через точку O. Угловой импульс каждой частицы в пластине около O равен

   12] L = mvr

   Тогда угловой момент всей пластины вокруг O равен

   .

   13] L = мвр

   Так как v = ωr, имеем

   14] L = ∑mr ² ω

   Так как ω имеет одинаковое значение для всех частиц, это становится

   15] L = ω ∑mr ²

   и поскольку ∑mr ² = I, момент инерции, имеем

   16] L = Iω

   Теорема 2.Угловой момент. Момент количества движения тела, вращающегося вокруг некоторая фиксированная ось A равна ее моменту инерции относительно A, умноженному на ее угловую скорость относительно A, то есть

   17] L _A = I _A ω

   или проще,

   18] Угловой момент = Iω

   Угловой момент Iω является вращательным аналогом количества движения mv.

   Поскольку угловая скорость является вектором, угловой момент также является вектором.Он расположен параллельно ось вращения и направлена ​​в направлении, заданном правилом правой руки. Как вектор это может быть манипулируют в соответствии с правилами манипулирования векторами.

   Def. Угловой импульс. Угловой импульс вращающегося тела равен его крутящему моменту, умноженному на продолжительность действия крутящего момента, т.е.

   19] Угловой импульс = Mt

   где

   M = крутящий момент

   t = время действия крутящего момента

   Угловой импульс Ft является вращательным аналогом линейного импульса Ft.

   Поскольку крутящий момент является вектором, угловой импульс также является вектором. Параллельно оси вращения и указал в направлении, заданном правилом правой руки.

   Связь между угловым импульсом и угловым моментом. Переписывая уравнение, связывающее крутящий момент и угловое ускорение, M = Iα, получаем

   M = I dω / dt

   или

   20] M = d (Iω) / dt

   и

   21] Mdt = d (Iω)

   Это вращательные аналоги линейных соотношений F = d (mv) / dt и Fdt = d (mv).

   Из 20] и 21] получаем следующее:

   Принцип разговора по импульсу. Вращающееся твердое тело поддерживает постоянный угловой момент, если только на него не действует несбалансированный внешний крутящий момент.

   Таким образом, поскольку угловой момент является векторной величиной, как величина, так и направление угловой момент (т.е. угловая скорость и направление оси вращения) остаются постоянным, если на тело не действует несбалансированный внешний крутящий момент. Другими словами, жесткая тело, вращающееся вокруг своей оси, будет сохранять направление вращения, а также угловую скорость, если на него не действует внешний крутящий момент.

   Гироскопическое движение. Гироскопическое движение — это стремление вращающегося объекта поддерживать ориентация его вращения. Вращающийся объект обладает угловым моментом, и этот импульс необходимо сохранить. Объект будет сопротивляться любому изменению оси вращения, так как изменение ориентация приведет к изменению углового момента.

   Теорема 3. Изменение углового момента, вызванное неуравновешенным угловым импульсом, равно равный угловому импульсу.

   Таким образом, если неуравновешенный крутящий момент M, действующий в течение времени t на тело с моментом инерции I, изменяет его угловая скорость от начального значения ω ₀ до конечного значения ω _t , затем

   Mt = I (ω _t — ω ₀ )

   Аналогичные линейные и угловые формулы:

   Линейный: F = ma K.E. = ½ мВ ² Работа = Fs Мощность = Fv

   Угловой: M = Iα K.E. = ½ Iω ² Работа = Mθ Мощность = Mω

   Скалярные величины

   угловое смещение, θ

   момент инерции, I

   кинетическая энергия вращения, E _k

   Радиус инерции, k

   работа, Вт

   мощность, П

   Векторные величины

   угловая скорость, ω

   угловое ускорение, α

   крутящий момент или момент, М

   угловой момент, л

   угловой импульс

   __________________________________________________________

   Крутящий момент и угловое ускорение

   M = Iα

   M (фунт-фут) = I (снаряд-фут ² ) × α (рад / с ² )

   M (м-нт) = I (кг-м ² ) × α (рад / с ² )

   M (см-дин) = I (г-см ² ) × α (рад / с ² )

   Кинетическая энергия вращения

   К.E. = ½Iω ²

   К.Э. (фут-фунт) = ½I (снаряд-фут ² ) × ω ² (рад / с) ²

   К.Э. (джоули) = ½I (кг-м ² ) × ω ² (рад / с) ²

   К.Э. (эрг) = ½I (г-см ² ) × ω ² (рад / с) ²

   Работа

   Вт = Mθ

   Вт (фут-фунт) = M (фут-фунт) × θ (радианы)

   Вт (джоули) = M (m-nt) × θ (радианы)

   Мощность

   P = Mω

   P (фут-фунт / сек) = M (фут-фунт) × ω (рад / сек)

   P (Вт) = M (м-нт) × ω (рад / сек)

   Список литературы

   Schaum.Колледж физики.

   Sears, Земанский. Университетская физика.

   Семат, Кац. Физика.

   Ещё с сайта SolitaryRoad.com:

   Путь истины и жизни

   Божье послание миру

   Иисус Христос и Его учение

   Мудрые слова

   Путь просветления, мудрости и понимания

   Путь истинного христианства

   Америка, коррумпированная, развратная, бессовестная страна

   О целостности и ее отсутствии

   Проверка на христианство человека — это то, что он есть

   Кто попадет в рай?

   Высший человек

   О вере и делах

   Девяносто пять процентов проблем, с которыми сталкивается большинство людей. пришли из личной глупости

   Либерализм, социализм и современное государство всеобщего благосостояния

   Желание причинить вред, мотивация поведения

   Обучение таково:

   О современном интеллектуализме

   О гомосексуализме

   О самодостаточной загородной жизни, усадьбе

   Принципы жизни

   Актуальные притчи, заповеди, аранжировка Котировки.Общие поговорки. Альманах бедного Ричарда.

   Америка сбилась с пути

   Действительно большие грехи

   Теория формирования характера

   Моральное извращение

   Ты то, что ты ешь

   Люди подобны радиотюнерам — они выбирают и слушайте одну длину волны и игнорируйте остальные

   Причина черт характера — по Аристотелю

   Эти вещи идут вместе

   Телевидение

   Мы то, что мы едим — живем в рамках диеты

   Как избежать проблем и неприятностей в жизни

   Роль привычки в формировании характера

   Истинный христианин

   Что такое истинное христианство?

   Личные качества истинного христианина

   Что определяет характер человека?

   Любовь к Богу и любовь к добродетели тесно связаны

   Прогулка по пустынной дороге

   Интеллектуальное неравенство между людьми и властью в хороших привычках

   Инструменты сатаны.Тактика и уловки, используемые дьяволом.

   Об ответе на ошибки

   Настоящая христианская вера

   Естественный путь — Неестественный путь

   Мудрость, разум и добродетель тесно связаны

   Знание — это одно, мудрость — другое

   Мои взгляды на христианство в Америке

   Самое главное в жизни — понимание

   Оценка людей

   Мы все примеры — хорошо или плохо

   Телевидение — духовный яд

   Главный двигатель, который решает, «кто мы»

   Откуда берутся наши взгляды, взгляды и ценности?

   Грех — серьезное дело.Наказание за это настоящее. Ад реален.

   Самостоятельная дисциплина и регламентация

   Достижение счастья в жизни — вопрос правильных стратегий

   Самодисциплина

   Самоконтроль, сдержанность, самодисциплина — основа всего в жизни

   Мы наши привычки

   Что создает моральный облик?

   ---

   [ Дом ] [ Вверх ] [ Информация ] [ Почта ]

   ---

   Механическая карта — Ориентация Угловое смещение Угловая скорость Угловое ускорение

   При обсуждении твердых тел , которые могут перемещаться и вращаться, нам нужно будет обсудить концепции ориентации , углового смещения , угловой скорости и углового ускорения , в дополнение к положению, смещению, скорости , и ускорение, чтобы полностью описать движение.

   Твердые тела могут как поступать, так и вращаться во время движения, поэтому для полного описания движения твердых тел необходимо учитывать варианты вращения, положения, смещения, скорости и ускорения.

   Ориентация

   Концепция ориентации описывает, как тело в настоящее время вращается относительно установленной нейтральной ориентации. Наряду с позицией необходимо полностью определить местонахождение твердого тела.

   Угол тета используется для определения ориентации этого твердого тела.Вместе с координатами x и y центра масс это полностью описывает текущее местоположение тела.

   В двухмерных системах одного угла достаточно, чтобы полностью определить ориентацию. Однако в трехмерных системах для полного определения ориентации необходим набор из трех углов. Эти три угла обычно задаются как повороты вокруг каждой из трех осей координат.

   В трех измерениях угол поворота вокруг каждой оси необходим для полного определения ориентации тела.Изображение предоставлено Jrvz CC-BY-SA 3.0

   Угловое смещение

   Угловое смещение — это просто изменение ориентации между двумя точками времени. В двумерных системах мы можем рассматривать это как более или менее скалярную величину (просто вращение по или против часовой стрелки), но в трехмерных системах нам нужно будет рассматривать значение как векторную величину, описывающую угол поворота, а также ось, вокруг которой мы вращаем тело.

   Угловая скорость

   Угловая скорость твердого тела определяется как скорость изменения ориентации в зависимости от скорости изменения времени.

   \ [\ vec {\ omega} = \ frac {d \ vec {\ theta}} {dt} \]

   Это векторная величина, указывающая как величину, так и направление вращения. Вектор угловой скорости выровняется с осью вращения, используя правило правой руки, чтобы определить направление вектора вдоль этой оси.

   Правило правой руки используется для определения направления вектора угловой скорости. Возьмите правую руку, согните пальцы в направлении вращения и вытяните большой палец, как показано на изображении.Ваш большой палец будет указывать в направлении вектора угловой скорости. Изображение потолочного вентилятора, созданное Piercetheorganist CC-BY-SA 3.0

   Если нас интересует средняя угловая скорость за некоторый заданный период времени, мы бы взяли изменение ориентации (то есть угловое смещение) за изменение во времени.

   \ [\ vec {\ omega} _ {ave} = \ frac {\ Delta \ vec {\ theta}} {\ Delta t} = \ frac {angular \, displacement} {time} \]

   Угловое ускорение

   Наконец, угловое ускорение определяется как скорость изменения угловой скорости во времени.2} \]

   Как и в случае углового смещения и угловой скорости, ускорение является векторной величиной, имеющей как величину, так и направление. Как и в случае с угловой скоростью, мы можем использовать правило правой руки для определения направления вектора углового ускорения.