Метод свертывания

Метод свертывания используется для цепей со смешанным соединением потребителей, то есть, когда есть участки с последовательным и параллельным соединением потребителей.

Расчет цепи со смешанным соединением потребителейпроизводится в следующей последовательности:

• На схеме отмечаются все токи и узловые точки;

• Группы резисторов с явным последовательным или явным параллельным соединением заменяются эквивалентными сопротивлениями;

• Замена соединений эквивалентным сопротивлением производится до получения простейшей схемы;

• По заданному напряжению и эквивалентному сопротивлению находим общий ток;

• Определяем падения напряжения на участках и токи на этих участках;

(привести пример)

Метод преобразования схем

Метод преобразования схем применяют для расчета сложных цепей, в которых невозможно использовать метод свертывания без дополнительных преобразований, так как там присутствуют соединения типа «треугольник» или «звезда». Соединение «треугольник» преобразуют в соединение «звезда» или, наоборот, для того, чтобы потом цепь можно было легко свернуть. Эти преобразования проводятся при условии, что электрические параметры (ее баланс) не нарушаются.

Если есть соединение «треугольник» с узлами А, В, Си сопротивлениямиR_{АВ ,}R_{ВС ,}R_СА, то его можно преобразовать в соединение «звезда» с общим узлом

Ои сопротивлениями на участках:

АО – R_A;

BO – R_B;

CO – R_C.

Для того, чтобы преобразовать соединение «звезда» с общим узлом Ои сопротивлениями на участках:АО – R_A; BO – R_B;CO – R_C. в соединение «треугольник» с узлами

А, В, Си сопротивлениямиR_{АВ ,}R_{ВС ,}R_СА , необходимо рассчитать сопротивления «треугольника» по заданным сопротивлениям «звезды», воспользовавшись следующими соотношениями:

Метод наложения

Метод наложения используется для расчета сложных электрических цепей, имеющих несколько источников.

Порядок расчета:

• В каждой ветви выбираем и показываем на чертеже произвольно направление токов;

• Количество расчетных схем в цепи равно количеству источников в исходной схеме;

• В каждой расчетной схеме действует только один источник, а остальные заменяются их эквивалентным сопротивлением;

• В каждой расчетной схеме методами преобразования и сворачивания находятся частичные токи. Частичным называется ток, протекающий в ветви под действием только одного источника;

• Искомые токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма частичных токов в этих ветвях.

Метод узлового напряжения

Расчет сложной электрической цепи с несколькими источниками можно произвести с помощью метода узлового напряжения.

Порядок расчета цепи:

• Произвольно в ветвях выбираем и показываем на схеме направления токов;

• Выбираем базисный узел (φ=0В) и выбираем положительные направления узловых напряжений от независимых узлов к базисному узлу;

• Определяем узловые токи, узловые и общие проводимости. При этом токи источников, направленные к узлам, принимают положительными;

• Для определения токов в ветвях составляют систему уравнений по первому закону Кирхгофа для узла.

Узловой проводимостью называют сумму проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу.

Общей проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла.

27. Смешанное соединение пассивных элементов. Метод свертывания.

Смешанным соединением элементов называют все возможные

сочетания последовательного и параллельного соединений. В такой цепи может быть различное число узлов и ветвей. Один из примеров смешанного соединения представлен на схеме (рис. 1.3, а).

а) б)

 

 

в)

Рис.1.3 Схема смешанного соединения элементов (а) и ее эквивалентные схемы (б, в)

 

Для расчета такой схемы необходимо сначала определить эквивалентные сопротивления тех частей схемы, которые представляют собой только последовательное или только параллельное соединение. В предложенной схеме элементы R₁иR₂соединены между собой последовательно, а элементы R₃иR₄ – параллельно. Используя приведенные ранее соотношения (1.7) и (1.13), можно заменить R₁иR₂ 

эквивалентным сопротивлением R₁₂,а элементы R₃иR₄ –эквивалентным сопротивлением R₃₄:

 

R₁₂ = R₁+R₂ (1.18) R₃₄ =  (1.19)

В результате такой эквивалентной замены получится схема, изображенная рис.1.3 (б), в которой элементы R₁₂ и R₃₄ соединены между собой последовательно. Для этой схемы эквивалентное сопротивление

 

R_экв=R₁₂ + R₃₄ (1.20) В результате такой эквивалентной замены получим схему, изображенную на рис.1.3 (в). Определим ток, протекающий в этой цепи:

 

 (1.21) Это ток источника питания и ток в элементах R₁иR₂ реальной цепи. Найдем напряжения на участке цепи с сопротивлением R₁₂ и на участке цепи с сопротивлением R₃₄:

U₁₂ = I·R₁₂ ; U₃₄ = I ·R₃₄ (1.22)

 

Токи I

3 и I₄ можно найти по закону Ома:

 

 (1.23) Для проверки правильности расчета схемы смешанного соединения элементов можно воспользоваться 1-м и 2-м законами Кирхгофа, а также законом баланса мощности. Должны выполняться соотношения:

I = I₃ + I₄ ; U_ист = U₁₂ + U₃₄ ; Р_ист=ΣР_пр= Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄

Здесь Р₁ = 

 ·R₁ ; Р₂ =  ·R₂ ; Р₃ =  ·R₃ ; Р₄ =  ·R_{4 .}

 Подобным образом можно рассчитать и другие, более сложные схемы электрических цепей со смешанным соединением элементов.

Существуют и другие схемы эквивалентных преобразований, так как не все схемы сводятся к комбинации последовательно и параллельно соединенных элементов. Такие схемы будут рассмотрены в следующем подразделе.

Метод свертывания используется для цепей со смешанным соединением потребителей, то есть, когда есть участки с последовательным и параллельным соединением потребителей.

 

28.Соединение конденсаторов.

В электрических цепях применяются различные способы соединения конденсаторов. Соединение конденсаторов может производиться: последовательно, параллельно и последовательно-параллельно (последнее иногда называют смешанное соединение конденсаторов). Существующие виды соединения конденсаторов показаны на рисунке 1.

Параллельное соединение конденсаторов.

Если группа конденсаторов включена в цепь таким обра­зом, что к точкам включения непосредственно присоединены пластины всех конденсаторов, то такое соединение называется параллельным соединением конденсаторов

Если же соединение конденсаторов в батарею производится в виде цепочки и к точкам включения в цепь непосредственно присоединены пластины только первого и последнего конденсаторов, то такое соединение конденсаторов называется последо­вательным

Последовательно-параллельным соединением конденсаторов называется цепь имеющая в своем составе участки, как с параллельным, так и с последовательным соединением конденсаторов.

Метод свертывания цепи

Путем упрощения цепи сводят её к последовательному соединению некоторого эквивалентного R с ИИЭЭ.

Вычисляется ток источника или напряжение на полюсах ИТ или ИН.

Н ачинаем упрощения с какого-либо удаленного от источника фрагмента, но выбор следует делать так, чтобы путем логических заключений происходило приближение к источнику.

Возможно преобразование «треугольник-звезда».

Выберем R₅ для начала рассуждений.

I₅=U_cf/R₅

U_R4=U_cd=U_cf

R₄ и R₅ включены параллельно → R₄₅=R₄R₅ /(R₄+R₅)

R₃ и R₄₅ включены последовательно → R₃₄₅=R₃+R₄₅

R₂ и R₃₄₅ включены параллельно → R₂₃₄₅=R₂R₃₄₅ /(R₂+R₃₄₅)

U_bd=I₃₄₅R₃₄₅=U_R2

R_o=R₁+R₂₃₄₅

I₁=E/R_o

Теперь, последовательно возвращаясь к предыдущим схемам, можем найти все неизвестные токи и напряжения.

Метод пропорциональных величин

(применим только для линейных цепей)

Выбирается удаленный от источника элемент и задается в нем значение тока 1А(мА) или напряжение 1В.

Выбор элемента делают так, чтобы последовательное применение законов Ома и Кирхгофа позволяло приближаться к полюсам источника.

I₅=1А → U_cf=I₅R₅ → I₄=U_cf/R₄ → I₃=I₄+I₅ → U_bc=I₃R₃ → U_bd=U_bc+U_cd → I₂=U_bd/R₂ → I₁=I₂+I₃ → U_ab=I₁R₁ → E_p=U_ab+U_bd – расчетное значение E источника

k=E/E_p – коэффициент пропорциональности, все полученные значения должны увеличиться в k раз

Метод эквивалентного генератора

После замены части цепи, рассматриваемой как ЭГ, на СЗ, можно изобразить новую упрощенную схему цепи.

I_н=E_э/(R_вн.э+R_н)

U_н=I_нR_н=E_эR_н/(R_вн.э+R_н)

Делитель напряжения

Делитель напряжения – простейшее электротехническое устройство, позволяющее получить меньшее напряжение, если имеется источник с большим ЭДС.

В этом случае ЭДС делится между R_вн, R₁ и R_н. При увеличении U_вн,1 происходит уменьшение U_н.

k_д=(R_вн+R₁+R_н)/R_н >1 – коэффициент деления

Чтобы при подключении нагрузки напряжение делителя падало не более 10% надо, чтобы ток нагрузки был в 5-10 раз меньше, чем ток делителя в ХХ.

Емкость как параметр эц

Емкостью уединенного проводника называют величину q, необходимую для сообщения проводнику φ=1В.

Если проводник не уединен, то φ зависит от формы и от расстояния между проводниками, т.к. на проводниках изменяется распределение q в результате индукции.

A , B – проводники, в них есть свободные носители заряда, возникает поле с напряженностью E

E=Δφ/d,

где d – расстояние между проводниками

Для реализации емкости используют конденсаторы – систему двух обращенных друг к другу металлических поверхностей.

C =εε₀S/d – емкость плоского конденсатора

В любой точке ЭЦ, даже если в ней нет конденсатора, существует паразитная емкость.

Конденсаторы различаются по номинальному значению и точности, с которой выдерживается на производстве это значение. Чем больше точность, тем более пустой номинальный ряд.

П ри последовательном включении конденсаторов общая емкость системы равна:

C=C₁C₂/(C₁+C₂)

Для параллельного включения конденсаторов справедлива формула:

C=C₁+C₂

С течением времени при протекании тока в одном направлении q и U_c увеличиваются независимо от значения тока.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

В приведенной схеме Е=100 В; Вычислить токи, напряжения и мощности для всех участков цепи, а также мощность источника.

Задача 3.

Определить токи в сопротивлениях (схема прежняя), если ток источника составляет 0,6 А.

Задача 4.

К двум узлам электрической цепи присоединены три ветви. В средней ветви последовательно соединены источник энергии с э.д.с. Е=60 В и внутренним сопротивлением Ом и два сопротивления Ом и Ом. Одна крайняя ветвь имеет три последовательно включенных сопротивления: Ом, Ом и Ом. Другая крайняя ветвь состоит из одного сопротивления Ом. Составить схему. Определить все токи, а также напряжения на выходе источника и между узловыми точками.

Задача 5.

Электрическая цепь состоит из трех ветвей. В средней ветви включены источник питания с э.д.с. Е=120 В и внутренним сопротивлением Ом и последовательно с ним сопротивление Ом. В одной крайней ветви включены последовательно сопротивления Ом и Ом, в другой крайней ветви – два параллельно соединенных сопротивления Ом и Ом и последовательно с ними сопротивление Ом. Составить схему и вычислить все токи, а также мощности: развиваемую источником, отдаваемую во внешнюю цепь и теряемую на внутреннем сопротивлении. Выполнить проверку расчетов по законам Кирхгофа.

Расчет электрических цепей методом эквивалентных сопротивлений (метод свертывания цепи)

Метод эквивалентных сопротивлений применяется для расчета таких электрических цепей, в которых имеются пассивные элементы, включенные между собой последовательно, параллельно или по смешанной схеме. Метод заключается в последовательной замене отдельных групп сопротивлений одним эквивалентным до получения самой простой схемы (см. рис. 13г). Затем определяется каждый ток в цепи.

Рисунок 13. Метод свертывания цепи

Определение эквивалентных сопротивлений

Обратимся к схеме, приведенной на рисунке 13а. Сопротивления и соединены последовательно. Поэтому . Эти два сопротивления можно заменить одним (эквивалентным) , тогда схема упростится (рисунок 13б).

Сопротивления и включены параллельно и их можно тоже заменить одним эквивалентным:.

Тогда схема еще упростится ( рисунок 13в).

В схеме на рисунке 13в сопротивления , и включены последовательно и могут быть заменены одним эквивалентным . Схема еще более упростится (рисунок 13г).

Подобными преобразованиями схему смешанного соединения пассивных элементов с одним источником энергии в большинстве случаев можно привести к простейшей схеме (рисунок 13г). В более сложных схемах методом эквивалентных сопротивлений достигается упрощение, которое значительно облегчает дальнейший расчет.

Определение токов

Определение начинается с простейшей схемы (рисунок 13г).

По закону Ома: т.к. ; .

Зная легко найти и . .

Задача 1

= 20 Ом , =30 Ом, = 12 Ом, = 8 Ом, = 1,5 Ом, = 160 В, = 0,5 Ом. Определить токи во всех элементах схемы и КПД источника (рисунок 13а).

Задача 2

Ток = 3 А. Величины сопротивления те же. Определить ЭДС и мощность источника (рисунок 13а).

6. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом свертывания

      В соответствии с методом свертывания, отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению, включенному к зажимам источника. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним, эквивалентным по сопротивлению. Определяют ток в упрощенной схеме, затем возвращаются к исходной схеме и определяют в ней токи.          Рассмотрим  схему Пусть известны величины сопротивлений R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, ЭДС Е. Необходимо определить токи в ветвях схемы.

        Сопротивления R₄ и R₅ соединены последовательно, а сопротивление R₆ — параллельно с ними, поэтому их эквивалентное сопротивление

       После проведенных преобразований схема принимает вид, показанный на рис. 3.2, а эквивалентное сопротивление всей цепи

        Ток I₁ в неразветвленной части схемы определяется по формуле:

        Найдем токи I₂ и I₃ в схеме на рис. 3.2 по формулам:

        I₃ = I₁ — I₂ — формула получается из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа:

I₁ — I₂ — I₃ = 0.       Переходим к исходной схеме и определим токи в ней по формулам:

       I₆ = I₃ — I₄ (в соответствии с первым законом Кирхгофа I₃ — I₄ — I₆ =0).

7. Расчет электрических цепей постоянного тока с одним источником методом подобия или методом пропорциональных величин

       Возьмем электрическую схему на рис. 3.1, зададимся произвольным значением тока в сопротивлении R₆, наиболее удаленном от источника питания. По заданному току и сопротивлению R₆ определим напряжение . Далее определим:

,   ,

,   ,

;   .

       Находим значение ЭДС

.

       Найденное значение ЭДС отличается от заданной величины ЭДС   Е.        Вычислим коэффициент подобия. Умножим на него полученные при расчете значения токов и напряжений, находим действительные значения токов цепи.

8. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа        

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.       В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.  Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:           Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой.        Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n — 1.          Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.Недостающее  количество  уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.        Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме.        Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

Портал ТОЭ — Лекции — Теоретические основы электротехники

2.1 Метод свёртывания. Метод подобия (пропорциональных величин)

Расчёт цепей обычно заключается в определении токов ветвей при известных параметрах источников и приёмников энергии. Методы свёртывания и подобия применимы лишь для самых простых цепей с одним источником.

2.1.1 Метод свёртывания

Метод заключается в определении входного сопротивления относительно зажимов источника, которым называется эквивалентное сопротивление, которое будучи подключённым к зажимам источника вместо пассивной цепи, не изменяет ток источника.

После расчёта эквивалентного сопротивления Z_экв (с использованием правил параграфа 1.8) по закону Ома определяется ток источника (при учёте внутреннего сопротивления источника используется закон Ома для полной цепи):

А затем этот ток распределяется по отдельным ветвям по формуле разброса токов:

2.1.2 Метод подобия

Согласно этому методу в самой удалённой от источника ветви схемы произвольно задаются некоторым значением тока, например, 1 А. Далее, продвигаясь от конца схемы к началу, определяются токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы с помощью закона Ома. В конечном итоге определяется значение напряжения источника, которое может отличаться от заданного значения. Например, _зад∕_расч= K. Тогда в K раз нужно изменить все расчётные токи и напряжения.

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (СВЕРТЫВАНИЯ) ЦЕПЕЙ — Мегаобучалка

Вопросы к экзамену по дисциплине «Электротехника»

Для студентов заочного отделения

Линейная цепь постоянного тока и ее элементы.

Источники энергии постоянного тока, их схемы замещения и характеристики.

Приемники энергии постоянного тока, их схемы включения и преобразования.

Условные передачи максимальной мощности от источника к приемнику.

Законы Ома и Кирхгофа. Баланс мощностей.

Методы расчета простых цепей постоянного тока.

Расчет сложной цепи постоянного тока с применением законов Кирхгофа.

Метод контурных токов.

Метод узлового напряжения.

Метод наложения токов.

Метод эквивалентного генератора.

Потенциальная диаграмма.

Цепь постоянного тока с нелинейными элементами.

Графический расчет нелинейной цепи постоянного тока.

Линейная цепь синусоидального тока.

Изображение синусоидальных токов, э.д.с. и напряжений.

Неразветвленная цепь синусоидального тока с идеальным резистором.

Цепь синусоидального тока с идеальной индуктивной катушкой.

Цепь синусоидального тока с идеальным конденсатором.

Цепь синусоидального тока с последовательным включением R-L-C –элементов.

Цепь синусоидального тока с параллельным включением ветвей, содержащих

R-L-C- элементы.

Повышение коэффициента мощности в однофазной цепи синусоидального тока.

23. Линейные трехфазные цепи. (Общие сведения о приемниках и источниках).

24. Трехфазная цепь по схеме звезда-звезда.

25. Трехфазная цепь по схеме звезда-треугольник.

26. Мощность трехфазной цепи.

27. Измерение активной мощности трехфазной цепи.

28. Магнитная цепь с постоянной МДС (основные сведения).

29. Законы Ома и Кирхгофа для магнитной цепи с постоянной МДС.

30. Расчет магнитной цепи с постоянной МДС.

31. Магнитная цепь с переменной МДС (основные сведения).

32. Уравнение электрического состояния, схема замещения и векторная диаграмма магнитной цепи переменной МДС.

33. Вольт-амперная характеристика магнитной цепи с переменной МДС.

34. Устройство и принципы действия однофазного простейшего трансформатора.

35. Уравнения электрического состояния, схемы замещения и векторные диаграммы однофазного трансформатора при работе на холостом ходу, короткое замыкание и под нагрузкой.

36. Внешняя характеристика и КПД однофазного трансформатора.

37. Устройство и принципы действия трехфазной асинхронной машины.

38. Магнитное поле трехфазной асинхронной машины.

39. Механические свойства трехфазного асинхронного двигателя (АД)

40. Регулирование частоты вращения ротора АД.

41. Пуск в ход АД.

42. Электромагнитное торможение АД.

43. Устройство и принцип действия машины постоянного тока.

44. Способы возбуждения машин постоянного тока.

45. Двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (ЭДС обмотки якоря, электромагнитный момент, реакция якоря).

46. Механическая характеристика двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (ДТП НВ).

47. Регулирование скорости вращения ДТП НВ.

48. Электромагнитное торможение ДПТ НВ.

49. Устройство и принцип действия синхронной машины.

50. Синхронный двигатель и его механическая характеристика.

 

 

Анализ установившихся режимов в линейных электрических цепях постоянного тока

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЦЕПЕЙ

Резисторы соединены последовательно, если по ним течет один и тот же ток. Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных резисторов, равно сумме их сопротивлений:

. (1.1)

Резисторы соединены параллельно, если они подключены к одной и той же паре узлов. Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных резисторов, определяется из выражения:

(1.2)

В частном случае параллельного соединения двух резисторов эквивалентное сопротивление находится по формуле:

. (1.3)

Если параллельно соединены n одинаковых резисторов, то их эквивалентное сопротивление в n раз меньше одного из них:

.

Преобразование треугольника резисторов в эквивалентную звезду и наоборот проводится по следующей схеме и формулам:

(1.4)

(1.5)

ПРИМЕР 1.1.1

Дано: Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом; Ом.

Определить: .

Решение: Заменим треугольники авс и dfg эквивалентными звездами.

Ом; Ом;

Ом; Ом;

Ом; Ом.

 

Резисторы R13, R4, R67 и R23, R5, R68 соединены последовательно, поэтому Ом; Ом.

Резисторы R9 и R10 параллельны, следовательно, Ом.

Входное сопротивление цепи Ом.

 

ПРИМЕР 1.1.2

Дано: Ом.

Определить: .

Решение: Если в ветви, соединяющей два узла, сопротивление отсутствует, то потенциалы этих узлов одинаковы , при , .

Такие узлы целесообразно обозначать одинаковыми буквами или цифрами и схему перечертить так, чтобы каждый узел на ней изображался только один раз.

Решение: Узлы 1 и 3 соединены проводом, сопротивление которого равно нулю. Потенциалы этих узлов одинаковы, поэтому обозначим их буквой а. Аналогично, узлы 2 и 4 обозначим буквой в. Перечертим схему.

Резисторы R1, R2, R3 параллельны, их эквивалентное сопротивление Ом.

 

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (СВЕРТЫВАНИЯ) ЦЕПЕЙ

При наличии в цепи только одного источника э.д.с. внешнюю по отношению к источнику, часть электрической цепи можно в большинстве случаев рассматривать как смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов. Расчет таких цепей проводят путем преобразования цепи до эквивалентного сопротивления. Определяют ток в ветви с источником э.д.с., а затем, используя закон Ома, рассчитывают токи в остальных ветвях.