Метод свертки электрической цепи: 3. Расчет электрических цепей постоянного тока методом свертывания – Т.2. Теоремы и методы расчета сложных резистивных цепей

Содержание

Т.2. Теоремы и методы расчета сложных резистивных цепей

1. Основные определения

Узлом электрической цепи (схемы) называется точка, в которой сходятся не менее трех ветвей.

Ветвью электрической цепи (схемы) называется участок, состоящий из последова­тельно включенных элементов, расположенных между двумя смеж­ными узлами.

Сложной называется электрическая цепь (схема), содержащая не менее двух узлов, не менее трех ветвей и не менее двух источников энергии в разных ветвях.

В сложной электрической цепи наблюдаются одновременно в той или иной мере раз­но­родные физические процессы, а именно, процесс генерирова­ния электрической энергии, процесс преобразования электрической энергии в другие виды и процесс обмена энергией между магнитным полем, электриче­ским полем и источниками энергии. В общем случае для отобра­жения этих фи­зических процессов схема замещения цепи должна содержать кроме источни­ков энергии (E, J) все разнородные схемные элементы (R, L, C

). Математически фи­зические процессы в такой схеме можно описать системой дифференциаль­ных уравнений, составлен­ных для схемы замещения по законам Кирхгофа.

В стационарном режиме (в режиме постоянного тока) напряжение на ка­тушке равно нулю (), что соответствует короткому замыканию этого элемента, а при посто­янном напряжении ток в конденсаторе равен нулю (), что соответствует разрыву ветви с этим элементом. Следова­тельно, на установившийся режим постоянного тока схем­ные элементыLиCне оказывают влияния и могут быть исключены из схемы замещения (участки сLзакорочены, а ветви сCудалены). Цепи постоянного тока представляются эк­ви­валентными схемами, содержащими только по­стоянные источники энергии

E, Jи резистив­ные элементыR. Такие схемы получили назва­ние резистивных или постоянного тока. Уста­новившийся режим постоянного или перемен­ного тока в таких схемах описывается систе­мой линейных алгебраических уравне­ний, со­ставленных по законам Кирхгофа.

В настоящей главе будут рассматриваться только резистивные цепи в режиме посто­ян­ного тока. В последующем рассмотренные в данной главе тео­ремы и методы расчета бу­дут распространены на цепи переменного тока в ус­тановившемся синусоидальном режиме.

2. Метод преобразования (свертки) схемы

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (EилиJ), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле­ментуRЭ ( рис. 7).

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про­водится в не­сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы по закону Ома определяется ток источника: . Токи в ос­тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об­ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова­тельного преобразования (свертки) схемы.

При применении данного метода возможны следующие виды преобразо­ваний.

1) Последовательное преобразованиезаключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис.8).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

2) Параллельное преобразованиесостоит в замене нескольких элемен­тов, вклю­чен­ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

Для двух элементов: и

3) Взаимное преобразование схем звездатреугольник(рис. 4) возни­кает при свертке сложных схем.

Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I1,I2,I3), на­пряжений (U12,U23, U31) и входных сопротивлений (R12,R23,R31) и соответственно входных проводимостей (G12,G23,G31).

Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

(1)

(2)

(3)

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:

, по аналогии: ,.

Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ­вольной вер­шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):

(4)

(5)

(6)

Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:

, по аналогии: ,

.

В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле­ния , получим:

; ;.

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви­валентных схем составляет:.

4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу­ществляется со­гласно теореме об эквивалентном генераторе.

Напряжение холостого хода Uxx=EЭ определяется по методу двух уз­лов:

.

Эквивалентное входное сопротивление находится методом свертки схемы:

.

5) Перенос источника ЭДС через узел схемы: источник ЭДС Е можно перенести че­рез узел во все ветви, отходящие от узла (рис. 13а, б.).

6) Привязка источника тока

к произвольному узлу согласно схеме (рис. 14а, б):

7) Взаимное преобразование схем с источником напряжения и с источ­ником тока согласно схеме (рис. 15а, б):

I

Схемы эквивалентны при равенстве для обеих напряжений U и токов I на на­грузке:

.

Сравнивая левые и правые части равенства, получим соотношения между парамет­рами эквивалентных схем:

.

Лекции / Лекции (1 семестр) / LAB1_2

Лабораторная работа №1

Исследование цепей постоянного тока

Цель работы: Исследование свойств линейных цепей при постоянном воздействии.

Продолжительность работы: 4 часа

Приборы, используемые в работе: Для получения характеристик цепей при гармоническом воздействии в Electronic Workbench можно использовать четыре типа приборов: вольтметр, амперметр, омметр и осциллограф.

Задания к лабораторной работе

1. Метод наложения (суперпозиции)

Суть метода : ток в r-ой ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из э.д.с. схемы в отдельности. При расчете цепей данным методом поступают следующим образом : поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из э.д.с., мысленно удаляя остальные из схемы (источники э.д.с. закорачиваются, ветви с источниками тока разрываются) , и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

.

2. Метод свертки-развертки

Суть метода : при последовательном соединении резисторов их сопротивления складываются R=R1+R2, при параллельном — складываются их проводимости Y=Y1+Y2 (Y1=1/R1,Y2=1/R2). Источники э.д.с. с последовательно соединенными резисторами, заменяются на источники тока с параллельно соединенными резисторами согласно формулам:

Iрез.=E/R , Rрез.=R.

Верны и обратные преобразования,:

Ерез.=I*R , Rрез.=R.

3.Метод взаимности совместно с методом наложения

Суть метода : если необходимо рассчитать ток IS в какой-то ветви схемы содержащей несколько источников э.д.с. (Е1,Е2,…и тд.),необходимо ,включить в эту ветвь схемы источник э.д.с. Е (обычно Е=1В), при этом Е1,Е2,…- закорачиваются а, I1,I2,…-заземляются. Считаются токи от Е (любым способом) в ветвях , где стояли Е1,Е2,..

Получим I(E1),I(E2),…I(En) ,то ток I равен :

IS=E1*I(E1)/E + E2*I(E2)/E+…+En*I(En)/E

(для упрощения формулы можно принять Е=1В).

4.Mетод двух узлов

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод узловых потенциалов носящий в этом частном случае название метода двух узлов.

Под методом двух узлов понимают метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.

5. Метод эквивалентного генератора

Суть метода: По отношению к выделенной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, э.д.с. которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника.

Задания к лабораторной работе

Задание 1.

Домашняя подготовка

1. Рассчитать цепи методом наложения для своего варианта.

(определить ток Iнал )

Варианты заданий :

2. Рассчитать цепи методом свертки-развертки для

своего варианта. (определить ток Iсв )

Варианты заданий :

3. Рассчитать цепи методом взаимности совместно с методом

наложения для своего варианта. (определить ток IS )

Варианты заданий :

4. Рассчитать цепи методом двух узлов для своего варианта.

(определить VNODE)

Варианты заданий :

5. Рассчитать цепи методом эквивалентного генератора

для своего варианта.(определить VOPEN,REKV).

Варианты заданий :

Примечание: результаты занести в табл1.

Задание 2.

Лабораторное задание

1.Собрать на рабочем поле WORKBENCH cхемы из домашнего задания и сверить ответы с домашними расчетами.

2.Результаты занести в табл.1

табл.1

Iнал,

mA

Iсв,

mA

IS,

mA

VNODE,

V

VOPEN,V

REKV,

Om

Расчет

Экспер.

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте основные методы расчета линейных цепей при постоянном воздействии.

2. В чем состоит упрощение расчетов , при использовании описанных выше методов.

Список литературы:

1.Бессонов Л.Ф. Теоретические основы электротехники:

Высшая школа ,1984. сс. 19 — 40.

13

2.5. Методы преобразования электрических цепей

Некоторые методы преобразования электрических цепей, были рассмотрены ранее. Например, последовательно соединенные n резистивных элементов ветви электрической цепи (рис. 2.79), заменяются одним эквивалентным сопротивлением:

и .

Рисунок 2.79 – Последовательное соединение резистивных элементов

Последовательно соединенные n источников ЭДС ветви электрической цепи (рис. 2.80), заменяются одним эквивалентным ЭДС, равным алгебраической сумме ЭДС источников входящих в соединение:

.

Рисунок 2.80 – Последовательное соединение ЭДС

Параллельно соединенные n резистивных элементов электрической цепи, представленной на рисунке 2.81, заменяются одним эквивалентным сопротивлением.

Для данного преобразования справедливы следующее соотношение:

.

Рисунок 2.81 – Параллельное соединение резистивных элементов

Параллельно соединенные n источников тока электрической цепи (рис. 2.82), заменяются одним эквивалентным источником тока, равным алгебраической сумме токов источников тока, входящих в соединение:

.

Рисунок 2.82 – Параллельное соединение источников тока

Вышеуказанные преобразования дают возможность рассчитывать разветвленные электрические цепи цепочного вида с одним источником питания.

2.5.1. Расчет разветвленных цепей цепочного типа

В основе метода расчета подобных цепей используются методы преобразования последовательно и параллельно соединенных элементов, а также закон Ома.

Пример 2.22. Рассмотрим расчет разветвленной цепи цепочного типа на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.83, с параметрами: E=200 B, r1 = 8 Ом, r2/= 5 Ом, r2//= 15 Ом, r3 =8 Ом, r4 = 10 Ом, r5 = 20 Ом, r6 = 30 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи, проверить найденные значения токов, составив баланс мощностей.

Рисунок 2.83 – Расчетная схема электрической цепи

1. Определяем входное сопротивление всей цепи.

1.1. На первом этапе последовательно соединенные сопротивления изаменяем эквивалентным сопротивлением, а также параллельно соединенныеизаменяем эквивалентным сопротивлением:

Ом, Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.84.

Рисунок 2.84 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Последовательно соединенные сопротивления , и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.85.

Рисунок 2.85 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Параллельно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.86.

Рисунок 2.86 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Определяем входное сопротивление всей цепи:

Ом.

  1. Определяем токи в ветвях. С этой целью используем закон Ома.

2.1. Ток А.

2.2. Определяем токи ,и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение(рис. 2.85).

2.2.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.86, следует

В, или

В.

2.2.2. Тогда токи в ветвях:

А;

А, или

А.

2.3. Определяем токи и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение( рис. 2.83).

2.3.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.84, следует

В, или

В.

2.3.2. Тогда токи в ветвях:

А;

А, или

А.

3. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

3.1. Мощность, генерируемая источником питания:

Вт.

3.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

3.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и непревышает 0,5%.

Пример 2.23. Рассмотрим расчет разветвленной цепи цепочного типа на примере электрической цепи, изображенной на рисунке 2.87, с параметрами: E=21 B, r1 =100 Ом, r2=200 Ом, r3 =50 Ом, r4 =150 Ом, r5 =75 Ом, r6 =300 Ом. Требуется определить токи во всех ветвях электрической цепи, проверить найденные значения токов, составив баланс мощностей.

Рисунок 2.87 – Расчетная схема электрической цепи

1. Определяем входное сопротивление всей цепи.

1.1. На первом этапе параллельно соединенные сопротивления изаменяем эквивалентным сопротивлением, а также параллельно соединенныеизаменяем эквивалентным сопротивлением:

Ом, Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.88.

Рисунок 2.88 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Последовательно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.89.

Рисунок 2.89 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Параллельно соединенные сопротивления и заменяем эквивалентным сопротивлением :

Ом.

В результате схема имеет вид, представленный на рисунке 2.90.

Рисунок 2.90 – Преобразованная электрическая цепь

    1. Определяем входное сопротивление всей цепи:

Ом.

  1. Определяем токи в ветвях. С этой целью используем закон Ома.

2.1. Ток мА.

2.2. Определяем токи ,и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение.

2.2.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.90, следует

В, или

В.

2.2.2. Тогда токи в ветвях:

мА;

мА,

мА, или

мА.

2.3. Определяем токи и . Для их определения необходимо предварительно определить напряжение(рис. 2.87).

2.3.1. Из схемы, приведенной на рисунке 2.88, следует

В, или

В.

2.3.2. Тогда токи в ветвях:

мА;

мА, или

мА.

3. Проверяем решение, составив баланс мощностей.

3.1. Мощность, генерируемая источником питания:

Вт.

3.2. Мощность, потребляемая приемниками:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность, потребляемая приемниками:

Вт.

3.3. Из сравнения генерируемой мощности источником и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислении и непревышает 0,5%.

Метод преобразования (свертки) схемы

 

Если схема электрической цепи содержит только один источник энергии (E или J), то пассивная часть схемы может быть преобразована (свернута) к одному эквивалентному эле­менту RЭ( рис. 7).

 

 
 

 

 

Свертка схемы начинается с самых удаленных от источника ветвей, про­водится в не­сколько этапов до достижения полной свертки. После полной свертки схемы по закону Ома определяется ток источника: . Токи в ос­тальных элементах исходной схемы находятся в процессе об­ратной развертки схемы. Такой метод расчета токов получил название метода последова­тельного преобразования (свертки) схемы.

При применении данного метода возможны следующие виды преобразо­ваний.

1) Последовательное преобразование заключается в замене нескольких элементов, включенных последовательно, одним эквивалентным (рис. 8).

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

 
 

 

2) Параллельное преобразование состоит в замене нескольких элемен­тов, вклю­чен­ных параллельно, одним эквивалентным (рис. 9).

 

 
 

 

Несложно доказать, что справедливы следующие соотношения:

и

Для двух элементов: и

3) Взаимное преобразование схем звезда-треугольник (рис. 4) возни­кает при свертке сложных схем.

Условием эквивалентности двух схем являются равенства для них токов (I1, I2, I3), на­пряжений (U12, U23, U31) и входных сопротивлений (R12, R23, R31) и соответственно входных проводимостей ( G12, G23, G31).

Приравняем входные сопротивления для обеих схем со стороны двух произвольных ветвей при отключенной третей (рис. 10):

 

(1)

(2)

(3)

 

 
 

 

Сложим почленно уравнения (1) и (3) и вычтем из суммы уравнение (2), получим:

, по аналогии: , .

Приравняем входные проводимости для обеих схем со стороны произ­вольной вер­шины и двух других вершин, замкнутых накоротко (рис. 11):

(4)

(5)

(6)

 

Сложим почленно уравнения (4) и (5) и вычтем уравнение (6), получим:

, по аналогии: , .

В последних уравнениях заменим проводимости на соответствующие им сопротивле­ния , получим:

; ; .

При наличии полной симметрии соотношение между параметрами экви­валентных схем составляет: .

4) Замена параллельных ветвей эквивалентной ветвью (рис. 12) осу­ществляется со­гласно теореме об эквивалентном генераторе.

 
 

 

 

Напряжение холостого хода Uxx=EЭ определяется по методу двух уз­лов:

.

Эквивалентное входное сопротивление находится методом свертки схемы:

.

 

5) Перенос источника ЭДС через узел схемы: источник ЭДС Е можно перенести че­рез узел во все ветви, отходящие от узла (рис. 13а, б.).

 

 

6) Привязка источника токак произвольному узлу согласно схеме(рис. 14а, б):

 

 
 

 

 

7) Взаимное преобразование схемс источником напряжения и систоч­ником тока согласно схеме(рис. 15а, б):

 

 
 

 

 

Схемы эквивалентны при равенстве для обеих напряжений U и токов I на на­грузке:

.

Сравнивая левые и правые части равенства, получим соотношения между парамет­рами эквивалентных схем:

.

 



Дата добавления: 2016-10-18; просмотров: 2051;


Похожие статьи:

принцип эквивалентности, преобразование схем. Методы анализа сложных электрических цепей

В основе методов преобразования электрических схем лежит принцип эквивалентности, согласно которому токи и напряжения в ветвях схемы не затронутых преобразованием остаются неизменными.

Последовательное соединение элементов:

1. Последовательное соединение резистивных элементов:

2.Последовательное соединение индуктивных элементов:

3.Последовательное

ёмкостных элементов:

Параллельное соединение элементов:

1.Параллельное соединение резистивных элементов:

2.Параллельное соединение индуктивных элементов:

3.Параллельное соединение ёмкостных элементов:

4.Смешанное соединение резистивных элементов:

Преобразование из «звезды» в «треугольник» и обратно

Для сопротивлений из «звезды» в

Для проводимостей из «звезды» в «треугольник»

Для сопротивлений из «треугольника» в «звезду»

Для проводимостей из «треугольника» в «звезду»

Методы анализа сложных электрических цепей

постоянного тока: применение законов Кирхгофа, метод контурных токов. Уравнение баланса электрической мощности.

Анализ электрических цепей с одним источником энергии проводится двумя методами: методом эквивалентного преобразования (свертывания схемы) и

методом пропорциональных величин.

При методе свертывания схемы определяется входное или эквивалентное сопротивление путем преобразования сопротивлений: параллельного соединения в последовательное и обратно, треугольника в звезду и обратно и т.д., что упрощает отдельные участки схемы и приводит к одному эквивалентному (входному) сопротивлению относительно зажимов источников питания. В результате схема упрощается и расчет такой схемы можно произвести , используя закон Ома.

К методом анализа сложных цепей относятся:

1.Метод, основанный на применении законов Кирхгофа.

2.Метод контурных токов.

3.Метод узловых потенциалов.

4.Метод наложения.

5.Метод эквивалентного генератора.

Классическим методом расчета электрических цепей с несколькими источниками является непосредственное применение законов Кирхгофа.

При расчете электрических цепей с применением законов Кирхгофа необходимо:

1.Выбрать положительное направление токов во всех ветвях схемы;

2.Выбрать положительное направление обхода контура;

3.Составить уравнения по законам Кирхгофа;

по первому закону Кирхгофа составить nу-1 уравнение, по второму закону Кирхгофа составить nв –nу +1. Общее число уравнений равно числу ветвей в схеме;

4. Полученную систему уравнений решают относительно

для нахождения токов ветвей для на рисунке:

имеет четыре узла и шесть

 

I1

I4

I6

0,

 

 

 

уравнений

по законам

 

 

I2

 

I3

I4

0,

 

 

 

вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3 I5 I6

0,

 

 

 

 

I

R I

R I

R 0,

 

 

3

 

3

4

 

4

6

6

 

I R I

R I

R E ,

 

1

 

1

5

 

5

6

6

1

I2

R2 I3 R3 I5 R5 E2.

 

Имеем систему из шести уравнений с шестью неизвестными. Выразив токи I1, I2, I5 через I4, I6,I3, получим:

I1 I4 I6,

I2 I3 I4,

I5 I6 I3,

I3 R3 I4 R4 I6 R6 0,

I4 I6 R1 I6 I3 R5 I6 R6 E1,

I3 I4 R2 I3 R3 I6 I3 R5 E2.

Решая данную систему уравнений, можно найти токи ветвей.

Число совместно решаемых уравнений равно числу ветвей схемы (числу неизвестных токов ветвей), поэтому его применение не всегда целесообразно.

В качестве переменных в методе контурных токов принимаются контурные токи.

В схеме выделяют независимые контуры. В каждом контуре произвольно выбирают направление контурных токов. За контурные токи удобно принять токи внешних ветвей схемы, которые входят только в данный контур.

Уравнения составляются на основе второго закона Кирхгофа, выражая токи ветвей через контурные токи.

пишем второй закон Кирхгофа:

I4R4 I6R6 I3R3 0,

I6R6 I1R1 I5R5 E1,

I3R3 I5R5 I2R2 E2.

Выразим токи ветвей через контурные:

I11 I4,I22 I1 , I33 I2 ,I6 I11 I22,I3 I33 I11,I5 I33 I22.

После преобразования получим следующую систему уравнений:

I11 R3 R4 R6 I22 R6 I33 R3 0,

I11 R6 I22 R1 R5 R6 I33R5 E1 ,

I11 R3 I22 R5 I33 R3 R2 R5 E2 .

Решив систему уравнений относительно контурных токов, находятся токи ветвей. Правильность решения по методу контурных токов осуществляется на основании второго закона Кирхгофа.

Уравнение баланса электрической мощности.

Баланс мощностей – алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемыхn n потребителямиn .

Ek Ik Uk Jk Ik2 Rk

n

k 1

k 1

k 1

алгебраическая сумма мощностей, генерируемая

Где Ek I-k

источниками э.д.с.;

 

 

k 1

 

 

 

n

k 1 Uk J-k алгебраическая сумма мощностей, генерируемая

источниками тока;

n

I 2 R

k 1 k k- суммарная мощность, потребляемая потребителями в

цепи.

Эти суммы алгебраические. Источник может как вырабатывать, так и потреблять электрическую энергию (заряд аккумулятора).

Если направления ЭДС и тока через источник ЭДС совпадают, мощность источника записывают в уравнении баланса мощностей с положительным знаком. Он работает в режиме генератора. При противоположных направлениях ЭДС и тока мощность в уравнении баланса учитывают с отрицательным знаком (режим потребителя).

Определение знака мощности источника тока поясняет, на котором показана разметка зажимов источника тока, вырабатывающего (а) или потребляющего (б) электрическую энергию. Ток и напряжение U направлены в сторону уменьшения потенциала, что и позволяет разметить зажимы источника.

Мощность потребителей (нагрузок) Эта сумма арифметическая.

Погрешность расчета не должна превышать (1–3) %.

Методы расчета электрических цепей постоянного тока

48

2. Электрические цепи постоянного тока

I закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю:

X

I = 0

II закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма падений напряжений в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС в этом же контуре:

XX

I R = E

Методы расчёта электрических цепей постоянного и переменного тока, с точки зрения электротехники, абсолютно аналогичны, однако, математически расчёт цепей переменного тока значительно более сложен, в связи с применением в расчётах комплексных чисел, поэтому рассмотрение методов расчёта мы проведём на примере цепей постоянного тока.

Основная задача расчета электрических цепей –– определить токи и мощности в различных элементах цепи, а также напряжения на отдельных участках.

Исходными данными,обычно, являются значения ЭДС и напряжений, имеющихся в схеме и параметры (сопротивления), либо характеристики (номинальные мощность и напряжение) элементов цепи.

Режим работы источников. По результатам расчета цепи можно определить режим работы источников:

режим источника –– ток в источнике и падение напряжения на нём (или его ЭДС) совпадают по направлению;

режим нагрузки–– ток в источнике и падение напряжения на нём (или его ЭДС) противоположны по направлению.

2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

49

Баланс мощностей. Умножив левую и правую часть уравнения по второму закону Кирхгофа на ток получим:

X I 2R = X EI ,

таким образом, в любом замкнутом контуре алгебраическая (т. е. с учётом знака) сумма мощностей источников ЭДС равна сумме мощностей потребляемых всеми сопротивлениями. Это условие называется баланс мощностей и применяется для проверки правильности расчетов электрических цепей.

2.3.1.Метод эквивалентных преобразований (эквивалентного сопротивления)

Идея метода

Идея метода состоит в замене сложной электрической цепи (или её участка) эквивалентной, которая не изменяет режим работы остальной части цепи.

Порядок расчёта

Расчёт, обычно, ведётся для цепей с одним источником питания и начинается с элементов, наиболее удалённых от источника или точек соединения рассматриваемого участка с остальной цепью.

1.Проведём последовательную замену элементов электрической цепи эквивалентными. Преобразования производятся по правилам, рассмотренным в § 1.4 на стр. 34. Целью преобразований является построение цепи, содержащей два эквивалентных элемента –– источник электрической энергии и сопротивление.

2.Находим ток в эквивалентной цепи и, проводя обратное преобразование эквивалентной цепи в исходную, токи в ветвях.

Пример расчёта

Найдём токи в электрической цепи, приведённой на рис. 2.1, сопротивления резисторов и приложенное к цепи напряжение известны.

50

2. Электрические цепи постоянного тока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Метод эквивалентных преобразований

Преобразования начнём с наиболее удалённых от источника питания элементов R4 и R5 (рис. 2.2, а). Эти элементы соединены параллельно, следовательно проводимость эквивалентного элемента будет равна сумме проводимостей (см. § 1.4.2 на стр. 35):

G45 = G4 + G5

1

 

1

1

R45 =

R4R5

 

=

 

+

 

 

R45

R4

R5

R4 + R5

После замены элементов R4 и R5 на эквивалентный элемент с сопротивлением R45 схема примет вид, привидённый на рис. 2.2, б.

На следующем шаге мы видим, что элементы R3 и R45 соединены последовательно, следовательно эквивалентный им элемент будет иметь сопротивление (см. § 1.4.1 на стр. 34):

R345 = R3 + R45,

после чего мы получим схему, приведённую на рис. 2.2, в. Элементы R2 и R345 соединены параллельно:

R2345 =

R2R345

,

 

 

R2 + R345

полученная эквивалентная схема приведена на рис. 2.2, г.

 

2.3. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

51

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.2. Расчёт методом эквивалентных преобразований

Элементы R1 и R2345 соединены последовательно:

Rэ = R1 + R2345,

итоговая эквивалентная схема на приведена рис. 2.2, д. Рассчитаем токи в ветвях.

Ток, протекающий в цепи (рис. 2.2, д), будет равен:

I = U . Rэ

Так как элементы R1 и R2345 включены последовательно а их сумма равна Rэ, то (рис. 2.2, г):

I = I1 = I2345.

Зная ток I2345, мы можем можем рассчитать напряжение Ucd :

Метод наложения — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод наложения — метод расчёта электрических цепей, основанный на предположении, что электрический ток в каждой из ветвей электрической цепи при всех включённых генераторах равен сумме токов в этой же ветви, полученных при включении каждого из генераторов по очереди и отключении остальных генераторов (только в линейных цепях).

Метод наложения используется как для расчёта цепей постоянного тока, так и для расчёта цепей переменного тока.

Найти ток I1{\displaystyle I_{1}} методом наложения в цепи, показанной на рисунке. E1=100B{\displaystyle E_{1}=100B}, E2=50B{\displaystyle E_{2}=50B}, R1=R2=R3=10{\displaystyle R_{1}=R_{2}=R_{3}=10} Ом{\displaystyle {\text{Ом}}}.

Пример метода наложения

При отключённом генераторе 2 ток I1′{\displaystyle I_{1}’} найдём по формуле:

I1′=E1R1+R2R3R2+R3=10010+10⋅1010+10=6,67A{\displaystyle I_{1}’={\frac {E_{1}}{R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}}}={\frac {100}{10+{\frac {10\cdot 10}{10+10}}}}=6,67A}.

При отключённом источнике 1 ток I2″{\displaystyle I_{2}»} будет

I2″=E2R2+R1R3R1+R3=5010+10⋅1010+10=3,34A{\displaystyle I_{2}»={\frac {E_{2}}{R_{2}+{\frac {R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{3}}}}}={\frac {50}{10+{\frac {10\cdot 10}{10+10}}}}=3,34A},

а ток I1″{\displaystyle I_{1}»} будет

I1″=−I2″2=−3,342=−1,67A{\displaystyle I_{1}»=-{\frac {I_{2}»}{2}}=-{\frac {3,34}{2}}=-1,67A}.

Тогда ток I1{\displaystyle I_{1}} при обоих включённых источниках будет равен сумме токов I1′{\displaystyle I_{1}’} и I1″{\displaystyle I_{1}»}:

I1=I1′+I1″=6,67−1,67=5A{\displaystyle I_{1}=I_{1}’+I_{1}»=6,67-1,67=5A}.

В задаче за положительные направления токов I1′{\displaystyle I_{1}’} и I1″{\displaystyle I_{1}»} приняты направления, совпадающие с направлением, показанным на рисунке для тока I1{\displaystyle I_{1}}. То же самое для тока I2″{\displaystyle I_{2}»}

  • Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — М.: Гардарики, 2002. — 638 с. — ISBN 5-8297-0026-3.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о