| Техническая информация тут | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Таблицы численных значений. (Таблица квадратов, кубов, синусов ….) + Таблицы Брадиса / / Таблица косинусов. Косинусы углов от 0° — 360°. Углы с шагом в 1°. Таблица значений косинусов углов. Поделиться:
|
определения, формулы, примеры, угол поворота
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функцийСинус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координа
Тригонометрические тождества — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения).
Основные тригонометрические формулы[править | править код]
- Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
- Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на cos2α{\displaystyle \cos ^{2}\alpha } и sin2α{\displaystyle \sin ^{2}\alpha } соответственно.
- Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.
Замечание[править | править код]
Есть и другие тригонометрические функции.
Формулы сложения и вычитания аргументов[править | править код]
| № | Формулы сложения и вычитания аргументов |
|---|---|
| 2.1 | sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } |
| 2.2 | cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } |
| 2.3 | tg(α±β)=tgα±tgβ1∓tgαtgβ{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}} |
| 2.4 | ctg(α±β)=ctgαctgβ∓1ctgβ±ctgα{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}} |
Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).
Вывод формул для sin(α+β), cos(α+β){\displaystyle \sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )}Формулы двойного угла и половинного угла[править | править код]
Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:
Примечания
для формулы tg2α{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha }:
- α≠π4+π2n,n∈Z,{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,}
- α≠π2+πn,n∈Z,{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,}
для формулы ctg2α{\displaystyle \operatorname {ctg} 2\alpha }: α≠π2+πn,n∈Z.{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .}
Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:
| № | Формулы половинного угла |
|---|---|
| 3.5 | sinα2=±1−cosα2{\displaystyle \sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}} |
| 3.6 | cosα2=±1+cosα2{\displaystyle \cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}} |
| 3.7 | tgα2=±1−cosα1+cosα=sinα1+cosα=1−cosαsinα{\displaystyle \operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }} |
Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:
| № | Формулы тройного угла |
|---|---|
| 4.1 | sin3α=3sinα−4sin3α{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha } |
| 4.2 | cos3α=4cos3α−3cosα{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha } |
| 4.3 | tg3α=3tgα−tg3α1−3tg2α{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}} |
| 4.4 | ctg3α=3ctgα−ctg3α1−3ctg2α{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}} |
Примечания
для формулы tg3α{\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha }: α≠π6+π3n,n∈Z{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z} }
для формулы ctg3α{\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha }: α≠π3n+πn,n∈Z{\displaystyle \alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z} };
Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):
| № | Произведение |
|---|---|
| 5.9 | sin2αcos2α=1−cos4α8{\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}} |
| 5.10 | sin3αcos3α=3sin2α−sin6α32{\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}} |
| 5.11 | sin4αcos4α=3−4cos4α+cos8α128{\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}} |
| 5.12 | sin5αcos5α=10sin2α−5sin6α+sin10α512{\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}} |
Формулы преобразования произведения функций[править | править код]
| № | Формулы преобразования произведений функций |
|---|---|
| 6.1 | sinαsinβ=cos(α−β)−cos(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}} |
| 6.2 | sinαcosβ=sin(α−β)+sin(α+β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}} |
| 6.3 | cosαcosβ=cos(α−β)+cos(α+β)2{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}} |
Вывод формул преобразования произведений функций
Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:
- sin(α+β)+sin(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ−cosαsinβ={\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =}
- =2sinαcosβ{\displaystyle =2\sin \alpha \cos \beta }.
То есть:
- sinαcosβ=sin(α+β)+sin(α−β)2{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}} — формула (6.2).
Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.
Формулы преобразования суммы функций[править | править код]
Вывод формул преобразования суммы функций
Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :α +β +γ =360∘{\displaystyle \alpha \ +\beta \ +\gamma \ =360^{\circ }} :
- sinα+sinβ+sinγ=4sinα2 sinβ2 sinγ2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\ \sin {\frac {\beta }{2}}\ \sin {\frac {\gamma }{2}}}
Тригонометрия для чайников. Урок1. Тригонометрия с нуля
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sinα=Противолежащий катетгипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cosα=Прилежащий катетгипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tgα=Противолежащий катетПрилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctgα=Прилежащий катетПротиволежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:
sin∠A=CBAB
cos∠A=ACAB
tg∠A=sin∠Acos∠A=CBAC
ctg∠A=cos∠Asin∠A=ACCB
sin∠B=ACAB
cos∠B=BCAB
tg∠B=sin∠Bcos∠B=ACCB
ctg∠B=cos∠Bsin∠B=CBAC
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках (−1;0) и (1;0), ось y в точках (0;−1) и (0;1)
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами (1;0), – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠SOA, обозначим его за α. Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠SOA=α=∪SA.
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).
Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.
Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:
cosα=OBOA=OB1=OB
sinα=ABOA=AB1=AB
Поскольку OCAB – прямоугольник, AB=CO.
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90°:
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x.Косинус тупого угла отрицательный.
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0° до 180°. Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x. (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0°,30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°,180°. Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.
Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.
Пример:
cos150°=−32
sin150°=12
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.
sin2α+cos2α=1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике OAB:
AB2+OB2=OA2
sin2α+cos2α=R2
sin2α+cos2α=1
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinα | 0 | 12 | 22 | 32 | 1 |
| cosα | 1 | 32 | 22 | 12 | 0 |
| tgα | 0 | 33 | 1 | 3 | нет |
| ctgα | нет | 3 | 1 | 33 | 0 |
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin180°=sin(180°−0°)=sin0°
sin150°=sin(180°−30°)=sin30°
sin135°=sin(180°−45°)=sin45°
sin120°=sin(180°−60°)=sin60°
cos180°=cos(180°−0°)=−cos0°
cos150°=cos(180°−30°)=−cos30°
cos135°=cos(180°−45°)=−cos45°
cos120°=cos(180°−60°)=−cos60°
Рассмотрим тупой угол β:
Для произвольного тупого угла β=180°−α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin(180°−α)=sinα
cos(180°−α)=−cosα
tg(180°−α)=−tgα
ctg(180°−α)=−ctgα
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
asin∠A=bsin∠B=csin∠C
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a2=b2+c2−2bc⋅cos∠A
b2=a2+c2−2ac⋅cos∠B
c2=a2+b2−2ab⋅cos∠C
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Скачать домашнее задание к уроку 1.
Синус sin x косинус cos x
Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение синуса и косинуса
|BD| — длина дуги окружности с центром в точке A.
α — угол, выраженный в радианах.
- Синус (sin α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.
- Косинус (cos α)
- – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.
Принятые обозначения
;
;
.
;
;
.
График функции синус, y = sin x
График функции косинус, y = cos x
Свойства синуса и косинуса
Периодичность
Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.
Четность
Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.
Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание
Функции синус и косинус непрерывны на своей области определения, то есть для всех x (см. доказательство непрерывности). Их основные свойства представлены в таблице (n — целое).
| y = sin x | y = cos x | |
| Область определения и непрерывность | – ∞ < x < + ∞ | – ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | –1 ≤ y ≤ 1 | –1 ≤ y ≤ 1 |
| Возрастание | ||
| Убывание | ||
| Максимумы, y = 1 | ||
| Минимумы, y = –1 | ||
| Нули, y = 0 | ||
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Основные формулы
Сумма квадратов синуса и косинуса
Формулы синуса и косинуса от суммы и разности
Формулы произведения синусов и косинусов
Формулы суммы и разности
Выражение синуса через косинус
Далее мы полагаем, что – целое число.
;
;
;
.
Выражение косинуса через синус
;
;
;
.
Выражение через тангенс
; .
При , имеем:
; .
При :
; .
Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов
В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные переменные
;
Формула Эйлера
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; . Вывод формул > > >
Производные n-го порядка:
; .
Интегралы
;
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>
Разложения в ряды
{ –∞ < x < +∞ }
{ –∞ < x < +∞ }
Секанс, косеканс
Обратные функции
Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.
Арксинус, arcsin
Арккосинус, arccos
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено:
Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса
В этой статье будут рассмотрены три основных свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Первое свойство — знак функции в зависимости от того, какой четверти единичной окружности приналдежит угол α. Второе свойство — периодичность. Согласно этому свойству, тигонометрическая функция не меняет значения при изменении угла на целое число оборотов. Третье свойсто определяет, как меняются значения функций sin, cos, tg, ctg при противоположных углах α и -α.
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Часто в математическом тексте или в контексте задачи можно встретить фразу: «угол первой, второй, третьей или четвертой координатной четверти». Что это такое?
Обратимся к единичной окружности. Она разделена на четыре четверти. Отметим на окружности начальную точку A0(1, 0) и, поворачивая ее вокруг точки O на угол α, попадем в точку A1(x, y). В зависимости от того, в какой четверти будет лежать точка A1(x, y), угол α будет называться углом первой, второй, третьей и четвертой четвети соответственно.
Для наглядности приведем иллюстрацию.
Угол α=30° лежит в первой четверти. Угол -210° является углом второй четверти. Угол 585° — угол третьей четверти. Угол -45° — это угол четвертой четверти.
При этом углы ±90°, ±180°, ±270°, ±360° не принадлежат ни одной четверти, так как лежат на координатных осях.
Теперь рассмотрим знаки, которые принимают синус, косинус, тангенс и котангенс в зависимости от того, в какой четверти лежит угол.
Чтобы определить знаки синуса по четвертям, вспомним опредение. Синус — это ордината точки A1(x, y). Из рисунка видно, что в первой и второй четвертях она положительна, а в третьей и четверной — отрицательна.
Косинус — это абсцисса точки A1(x, y). В соответсии с этим, определяем знаки косинуса на окружности. Косинус положителен в первой и четвертой четвертях, а отрицателен во второй и третьей четверти.
| | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества. / / Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения Поделиться:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||