Комплексное сопротивление – 2.4.2. Комплекс полного сопротивления и комплекс полной проводимости. Законы Кирхгофа в комплексной форме — groupnk.ru — Группа НК — комплексные поставки электрооборудования в Москве и регионах

Содержание

Электрический импеданс — Википедия

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние^[1]) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Это понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году^[2]^[3].

Резистор — пассивный элемент, обладающий чисто активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения и является пассивным элементом, поскольку не содержит внутренних источников энергии. Если к его концам приложить некоторое напряжение U (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток I. Если через резистор пропустить электрический ток I (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения

U. Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения U, к току I (см. закон Ома для участка цепи):

R=UI.{\displaystyle R={\frac {U}{I}}.}

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

U=0;{\displaystyle U=0;}

R=UI=0I=0;{\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {0}{I}}=0;}

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение U, то при любом значении U, ток через конденсатор будет нулевым:

I=0;{\displaystyle I=0;}

R=UI=U0=∞.{\displaystyle R={\frac {U}{I}}={\frac {U}{0}}=\infty .}

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «

электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитывается и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Импедансом z^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;} называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время t в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

z^(jω)=u^(jω,t)i^(jω,t)=U(ω)ej(ωt+ϕu(ω))I(ω)ej(ωt+ϕi(ω))=U(ω)ejϕu(ω)I(ω)ejϕi(ω)=U^(jω)I^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;={\frac {{\hat {u}}(j\omega ,t)\;}{{\hat {i}}(j\omega ,t)\;}}={\frac {U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}{I(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{i}(\omega ))}}}={\frac {U(\omega )e^{j\phi _{u}(\omega )}}{I(\omega )e^{j\phi _{i}(\omega )}}}={\frac {{\hat {U}}(j\omega )\;}{{\hat {I}}(j\omega )\;}}}

(1)

Здесь:

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как f(jω){\displaystyle f(j\omega )}, а не f(ω){\displaystyle f(\omega )}. Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида ejωt{\displaystyle e^{j\omega t}}. Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: U˙(jω){\displaystyle {\dot {U}}(j\omega )\;} чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Алгебраическая форма[править | править код]

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом z^(jω){\displaystyle {\hat {z}}(j\omega )\;} можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением ℜ(z^(jω)){\displaystyle \Re ({\hat {z}}(j\omega ))} и чисто реактивный элемент с импедансом ℑ(z^(jω)){\displaystyle \Im ({\hat {z}}(j\omega ))}

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма[править | править код]

$\Im ({\hat z}(j\omega ))$

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени t, поскольку при вычислении импеданса множитель ejωt{\displaystyle e^{j\omega t}} в (1) не сокращается.

Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщенный импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа[править | править код]

Импедансы, определённые через комплексную частоту jω{\displaystyle j\omega }, позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщенный импеданс — функции комплексной переменной s=σ+jω{\displaystyle s=\sigma +j\omega } и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причем в таких вычислениях возбуждающий сигнал fin(t){\displaystyle f_{in}(t)} из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление Ft(s){\displaystyle F_{t}(s)} через прямое преобразование Лапласа:

Ft(s)=∫0∞fin(t)e−stdt.{\displaystyle F_{t}(s)=\int _{0}^{\infty }f_{in}(t)e^{-st}\,dt.}

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы H(s){\displaystyle H(s)}:

Ft,H(s)=H(s) Ft(s).{\displaystyle F_{t,H}(s)=H(s)\ F_{t}(s).}

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	R{\displaystyle R\,}
Катушка индуктивности	sL{\displaystyle sL\,}
Конденсатор	1sC{\displaystyle {\frac {1}{sC}}\,}

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет R+sL{\displaystyle R+sL}.

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

fF,H(t)=L−1[H(s) Ft(s)]=12πi∫σ1−j⋅∞σ1+j⋅∞estH(s) Ft(s)ds,{\displaystyle f_{F,H}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H(s)\ F_{t}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}H(s)\ F_{t}(s)\,ds,}

где σ1 {\displaystyle \sigma _{1}\ } — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

$\sigma _{1}\$ Пассивный RС-фильтр нижних частот 1-го порядка

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи HRC(s){\displaystyle H_{RC}(s)} такого делителя:

HRC(s)=1/sCR+1/sC=1sRC+1=1sT+1,{\displaystyle H_{RC}(s)={\frac {1/sC}{R+1/sC}}={\frac {1}{sRC+1}}={\frac {1}{sT+1}},}

где обозначено T=RC{\displaystyle T=RC} — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал можно выразить через функцию Хевисайда h(t){\displaystyle h(t)}:

Uin(t)=U0 h(t),{\displaystyle U_{in}(t)=U_{0}\ h(t),}

где U0{\displaystyle U_{0}} — амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

Fin(s)=L[U0 h(t)]=∫0∞e−stU0h(t)dt=U0/s.{\displaystyle F_{in}(s)={\mathcal {L}}[U_{0}\ h(t)]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-st}\,U_{0}\,h(t)\,dt=U_{0}/s.}

Uout(t)=L−1[HRC(s) Fin(s)]=12πi∫σ1−j⋅∞σ1+j⋅∞est1sT+1⋅U0sds=U0(1−e−t/T).{\displaystyle U_{out}(t)={\mathcal {L}}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)]={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\sigma _{1}-j\cdot \infty }^{\sigma _{1}+j\cdot \infty }e^{st}{\frac {1}{sT+1}}\cdot {\frac {U_{0}}{s}}\,ds=U_{0}(1-e^{-t/T}).}

Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии (UC=0{\displaystyle U_{C}=0} при t=0{\displaystyle t=0}), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчета цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.

Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Идеальные элементы[править | править код]

Резистор[править | править код]

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению R и не зависит от частоты:

zR=R{\displaystyle z_{R}=R}

(2)

Конденсатор[править | править код]

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

i(t)=CdUdt.{\displaystyle i(t)=C{\frac {dU}{dt}}.}

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

u^(jω,t)=U(ω)ej(ωt+ϕu(ω)){\displaystyle {\hat {u}}(j\omega ,t)=U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}}

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

i^(jω,t)=Cddt(U(ω)ej(ωt+ϕu(ω)))=jωCU(ω)ej(ωt+ϕu(ω)).{\displaystyle {\hat {i}}(j\omega ,t)=C{\frac {d}{dt}}\left(U(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}\right)=j\omega CU(\omega )e^{j(\omega t+\phi _{u}(\omega ))}.}

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

z^C(jω)=1jωC=−jωC.{\displaystyle {\hat {z}}_{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}.}

(6)

Катушка индуктивности[править | править код]

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

z^L(jω)=jωL.{\displaystyle {\hat {z}}_{L}(j\omega )\;=j\omega L.}

(7)

Общий случай[править | править код]

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

Z^(jω) =R+1jωC+jωL=R−jωC+jωL=R+j(−1ωC+ωL).{\displaystyle {\hat {Z}}(j\omega )\ =R+{\frac {1}{j\omega C}}+j\omega L=R-{\frac {j}{\omega C}}+j\omega L=R+j\left(-{\frac {1}{\omega C}}+\omega L\right).}

(8)

Экспериментальное измерение импеданса[править | править код]

Прямое измерение импеданса требует измерения амплитуд синусоидальных напряжения и тока изучаемого двухполюсника, и одновременного измерения сдвига фазы между ними.

Импеданс также часто измеряют компенсационными методами с помощью мостов переменного тока, подобными мосту Уитстона для постоянного тока, при таких измерениях мост балансируют изменением эталонных реактивного и активного элементов, по величине реактивного и активного сопротивления эталонных элементов, требуемого для балансировки моста, определяется измеряемый импеданс.

В силовых устройствах измерение импеданса может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.

Измерение импеданса устройств и линий передач является практической задачей в радиотехнике и других областях.

Измерения импеданса обычно проводятся на одной частоте, но если требуется определить зависимость импеданса от частоты, то измерения проводят на нескольких частотах в нужном диапазоне частот.

Активная и реактивная составляющие импеданса обычно выражают в омах, но могут использоваться связанные с импедансом величины, например, в радиотехнике, линиях передачи, коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения имеют бо́льшее удобство.

Сопротивление устройства можно рассчитать путем деления комплексных напряжения и тока. Полное сопротивление устройства рассчитывается путем подачи синусоидального напряжения на устройство последовательно с эталонным резистором и измерения напряжений на резисторе и на самом устройстве. Выполнение этого измерения на нескольких частотах тестирующего сигнала обеспечивает определение фазового сдвига и величины импеданса^[5].

Измерение отклика исследуемой цепи на импульсный тестирующий сигнал можно использовать в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для измерения импеданса различных электрических устройств^[5].

LCR-измеритель (индуктивность L, емкость C и сопротивление R) или измеритель иммитанса — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента. Из этих значений можно рассчитать полное сопротивление на любой частоте.

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье или преобразования Фурье и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал или применять преобразование Лапласа.

Комплексные сопротивления и проводимости

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают .

где R, X и z – активное, реактивное и полное сопротивления цепи.

С другой стороны:

Тогда полное сопротивление z получим из соотношений:

В случае последовательного соединения элементов R,L,C комплексное сопротивление запишется в виде:

Отношение комплексного тока к комплексному напряжению называют комплексной проводимостью цепи и обозначают :

где –активная, реактивная и полная проводимости цепи.

Поскольку комплексная проводимость есть величина обратная комплексному сопротивлению, то:

Пусть:

;

Тогда: .

С другой стороны: .

Тогда полную проводимость у получим из соотношений:

В случае параллельного соединения элементов

G,L,C комплексная проводимость запишется в виде:

Очевидно, что .

Перевод комплексных величин в показательную форму:

3 + j2

1. Находим модуль: .

2. Находим аргумент: .

Окончательно:

3 − j2

1. Находим модуль: .

2. Находим аргумент: .

Окончательно: .

Перевод показательных величин в комплексную форму:

;

Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Законы электрических цепей переменного тока в комплексной форме имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока, с заменой соответствующих постоянных величин комплексными: ,,,,

Закон Ома в комплексной форме имеют вид: .

Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учитывается как связь между действующими значениями тока и напряжения, так и сдвиг фаз между ними.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу: .

Второй закон Кирхгофа применительно к контуру:

Возможность использовать соотношения для цепей постоянного тока справедлива и для эквивалентных преобразований.

При последовательном соединении комплексное сопротивление всей цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений отдельных ее участков: .

При параллельном соединении комплексная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей отдельных ее участков:

При смешанном соединении:

Расчет сложных цепей переменного тока комплексным методом осуществляется с помощью тех же методов, что и цепей постоянного тока при замене соответствующих величин их комплексными аналогами.

Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей

В качестве комплексной мощности понимают произведение комплексного напряжения на сопряженную комплексную величину тока. В результате чего, получаем комплексную мощность:

Вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности

Р, а мнимая часть Q (без j) реактивной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности

Баланс мощности:

1. Сумма комплексных мощностей для всех ветвей электрической цепи равна 0.

, откуда .

Такое равенство возможно только в том случае, если

2. Поскольку в каждой цепи есть источники и приемники, то

Источники ЭДС и токов можно разделить:

Действительно, мощность, потребляемую приемником, мы можем представить как:

С другой стороны,

и для мощности источников

Следовательно, и.

Резонансные явления в электрических цепях. Частотные характеристики.

Ранее было доказано, что действующее значение силы тока в R, L,C цепочке определяет соотношение:

Так как индуктивное и емкостное сопротивления зависят от частоты (), то сила тока вR, L,C также будет зависеть от частоты источника питания. Из приведенного выражения следует, что ток будет максимален при:

где −резонансная частота контура.

В том случае, когда в цепи наблюдаетсяявление резонанса.

На этой резонансной частоте , а, следовательно, в цепи действует чисто активное сопротивлениеR, поэтому напряжение и ток при резонансе совпадают по фазе.

Частоты, при которых наблюдается явление резонанса, называются резонансными частотами.

Покажем зависимость I (ω) для фиксированных значениях напряжения U, индуктивности L и емкости С при двух различных значения R:

Резонансными называют электрические цепи, в которых могут возникать явления резонанса напряжения или тока.

Комплексное сопротивление — это… Что такое Комплексное сопротивление?

Комплексное сопротивление

Реактивное сопротивление — электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии электрическому или магнитному полю (и обратно).

Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса:

Z = R + iX, где Z — импеданс, R — величина активного сопротивления, X — величина реактивного сопротивления, i — мнимая единица.

В зависимости от величины X какого-либо элемента электрической цепи, говорят о трёх случаях:

Величина реактивного сопротивления может быть выражена через величины индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

$X = X_L + X_C \,$

Индуктивное сопротивление (X_L) обусловлено возникновением ЭДС самоиндукции. Электрический ток создает магнитное поле. Изменение тока, и как следствие изменение магнитного поля, вызывает ЭДС самоиндукции, которая препятствует изменению тока. Величина индуктивного сопротивления зависит от индуктивности элемента и частоты протекающего тока:

$X_L = \omega L = 2\pi f L \,\!$

Ёмкостное сопротивление (X_C). Величина ёмкостного сопротивления зависит от ёмкости элемента С и также частоты протекающего тока:

$X_C = -\frac {1} {\omega C} = -\frac {1} {2\pi f C} \,$

См. также

Активное сопротивлние

Wikimedia Foundation. 2010.

Комплексное соединение
Комплексные вещества

Смотреть что такое «Комплексное сопротивление» в других словарях:

комплексное сопротивление — Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения на выводах пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему значению синусоидального электрического тока в … Справочник технического переводчика
КОМПЛЕКСНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ — то же, что импеданс. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 … Физическая энциклопедия
комплексное сопротивление — kompleksinė varža statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. complex resistance vok. komplexer Widerstand, m rus. комплексное сопротивление, n pranc. résistance complexe, f … Fizikos terminų žodynas
комплексное сопротивление обмотки — Импеданс измерительной обмотки, сочлененной с проводящим контролируемым изделием. [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное пособие). Москва 2003 г.] Тематики виды… … Справочник технического переводчика
комплексное сопротивление электрической цепи — Комплексная величина, равная отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи … Политехнический терминологический толковый словарь
Сопротивление — Сопротивление: В Викисловаре есть статья «сопротивление» Электрическое сопротивление физическая величина, характеризующая свойства проводника препятствовать прохождению электрического тока. Сопротивление разговорное название резистора … Википедия
комплексное полное сопротивление — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN vector impedance … Справочник технического переводчика
сопротивление — 3.93 сопротивление (resistance): Способность конструкции или части конструкции противостоять действию нагрузок. Источник: ГОСТ Р 54382 2011: Нефтяная и газовая промышленность. Подводные трубопроводные системы. Общие технические требования … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
комплексное (электрическое) сопротивление — 154 комплексное (электрическое) сопротивление Комплексная величина, равная отношению комплексного действующего значения синусоидального электрического напряжения на выводах пассивной электрической цепи или ее элемента к комплексному действующему… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
сопротивление короткого замыкания четырехполюсника — 199 сопротивление короткого замыкания четырехполюсника Комплексное или операторное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары выводов, когда другая пара замкнута накоротко Источник: ГОСТ Р 52002 2003: Электротехника. Термины… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Комплексные сопротивления.

При анализе и расчете цепей синусоидального тока особенный интерес представляет сопоставление по амплитуде и начальной фазе тока и напряжения одного и того же пассивного участка электрической цепи. В самом удобном и компактном виде это сопоставление осуществляется с помощью комплексных чисел.

Введем понятие комплексного сопротивления,которое определяется отношением комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока:

. (26)

Комплексное число дает информацию как о соотношении амплитуди, так и о сдвиге фаз между напряжением и током. Действительно,

где Z – модуль, a – аргумент комплексного сопротивления.

Модуль комплексного сопротивления Z, называемый полным сопротивлением, равен отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока:

. (27)

Аргумент комплексного сопротивления равен разности начальных фаз напряжения и тока:

. (28)

Комплексное сопротивление можно выразить также через комплексные действующие значения напряжения и тока:

. (29)

Отметим, что обозначение комплексного сопротивления отличается от обозначения комплексных токов и напряжений – вместо точки над буквой символ комплексного сопротивления имеет черту снизу. Это различие объясняется тем, что сам комплекс не служит изображением синусоидальной функции, а является комплексным числом, с помощью которого сопоставляются комплексные изображения напряжения и тока.

Соотношения

, (30)

аналогичные по форме записи закону Ома для цепи постоянного тока, называют законом Ома в комплексной форме соответственно для амплитудных и действующих значений.

Рисунок 9 Комплексные обозначения на схеме замещения.

Обозначение комплексного сопротивления на схемах замещения приведено на рисунке 9.

Электрическая цепь сR- элементом.

Определим ток R- элемента, схема замещения которого показана на рисунке 10а, если он подключен к источнику синусоидального напряжения.

Рисунок 10

Для записи уравнения электрического состояния цепи синусоидального тока предварительно необходимо, так же как и в цепях постоянного тока, выбрать положительные направления тока и напряжения. Тот факт, что ток и напряжение в цепях синусоидального тока в течение периода изменяют свое направление на противоположное, не лишает смысла наличие стрелок положительных направлений: истинное направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в моменты времени, когда , и противоположно стрелке, если. На участках электрической цепи, содержащих пассивные элементы, положительные направления тока и напряжения, так же как и в цепях постоянного тока, выбирают совпадающими.

Мгновенные значения тока и напряжения R- элемента, стрелки положительных направлений которых показаны на рисунке 10а, связаны законом Ома:. Следовательно, при заданном синусоидальном напряжении источника ток в резистивном элементе будет также синусоидальным:

(31)

Из (31) следует, что ток и напряжение в рассматриваемом случае имеют одинаковую частоту и совпадают по фазе, а соотношение между амплитудными значениями определяется законом Ома:

; (32)

. (33)

Поделив правую и левую части (32) на , можно записать закон Ома для действующих значений напряжения и тока:

. (34)

Соотношение между напряжением и током R- элемента можно записать и в комплексной форме. Еслии, то комплексное сопротивлениеили, т.е., следовательно,

. (35)

Комплексное сопротивление резистивного элемента является положительным действительным числом, равным значению активного сопротивления R. Соотношения (35) называют законом Ома соответственно для комплексных амплитуд и комплексных действующих значений напряжения и тока.

На рисунке 10б построена векторная диаграмма цепи рисунка 10а – вектор тока в R- элементе совпадает по фазе с вектором напряжения.

Рассмотрим энергетические процессы в цепи с R- элементом. Работу, совершаемую в электрической цепи, будем характеризовать скоростью поступления энергии, т.е. мгновенной мощностью. В любой момент времени истинные направления тока и напряжения совпадают и, следовательно, мгновенная мощность всегда положительна, т. е. R- элемент потребляет электрическую энергию от источника и необратимо преобразует ее в другие виды энергии. Скорость поступления энергии в течение периода не остается постоянной:

(36)

Мощность колеблется с угловой частотой в пределах отдо.

Энергетический процесс принято характеризовать средним значением мощности за период, которое называют активной мощностью и обозначают буквой Р:

. (37)

С учётом (34) полученное выражение преобразуется к виду

. (38)

Активная мощность характеризует работу, совершаемую в электрической цепи за период, т. е. определяет электрическую энергию W, необратимо преобразовавшуюся в другие виды энергии:

. (39)

Таким образом, ток с действующим значением по совершаемой им работе эквивалентен постоянному току, имеющему то же значение.

Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)

Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:

. (1.6)

где Z –модуль комплексного сопротивления, φ=ψ_u — ψ_i – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления; R — активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z=(R²+X²)^1/2, а φ_z(ω)=ψ_u—ψ_i=arctg(X/R).

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи: Z=R – активное (резистивное) сопротивление; Z=R+jX — активно-индуктивное сопротивление; Z=R – j X — активно-емкостное

— комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ.

Для облегчения построения векторных диаграмм на вращающейся плоскости необходимо запомнить следующие основные положения:

а) В цепи с активным сопротивлениемток и напряжение совпадают по фазе.

б) В идеализированной цепи только с индуктивным сопротивлением без потерь напряжение по фазе опережает ток на угол, равный 90 градусов

в) В цепи с чисто емкостным сопротивлением без потерь ток опережает по фазе напряжение на угол +90 градусов.

Рис.2.1.Мнемоническая схема, поясняющая возможные повороты радиусов-векторов при различном включении r-L-Cэлементов.

При построении векторных диаграмм надо начинать построение с вектора напряжения или тока общего для всей анализируемой цепи. В частности при последовательном включение элементов цепи надо начинать с построения вектора тока, протекающего через все элементы цепи. При параллельном включении элементов цепи построение векторной диаграммы надо начинать с вектора общего приложенного напряжения, а затем строить вектора токов, протекающих через каждую из ветвей электрической цепи. Возможные сдвиги фаз векторов напряжения в электрических цепях, состоящих из различных комбинаций r-L-C элементов, приведены на мнемонической схеме (см. рис.2.1.).

Радиус–вектора на схеме и ниже выделяются жирным шрифтом или точками (черточками) над ними.

Расчет цепей методом комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е.х(t) =X_mcos(₀t – _x) X_m=X_me^–^j^^x.

Z_R=R

Z_C=1/(jC)

Z_L=jL

Рис. 4.27

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождениюкомплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е.Y_m = Y_m e^–^j^^y.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Y_m=Y_m e ^–^j^^y  y(t) =Y_m cos(₀t – _y).

Пример 1. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, схема которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны:U_m=1 В, ω =1 с^-1 , φ _u=90⁰ , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

Представим воздействие в комплексной форме:

Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

, ,,

, ,

, .

Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L-элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 135⁰, значит, во временной области это напряжение можно записать так:

Пример 2. Задана эквивалентная схема цепи синусоидального тока (рис. 10) и ее параметры.

Выполнить следующие действия:

Рассчитать токи в ветвях и напряжения на элементах схемы;
Составить и проверить баланс полных, активных и реактивных мощностей;
Построить векторную диаграмму токов для узла а.

Расчет проводим символическим методом в следующем порядке:

1. Рассчитываем сопротивление всех элементов схемы (учитываем, что )

2. Представляем ЭДС источника в виде комплекса действующего значения. Определяем комплексные сопротивления и проводимости ветвей

3. Рассчитываем токи в ветвях методом двух узлов. Задаем произвольно положительное направление токов в ветвях и положительное направление узлового напряжения. Используя основную формулу метода, рассчитываем узловое напряжение

Определяем токи в ветвях, используя обобщенный закон Ома

Проверяем корректность промежуточных расчетов, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а

Комплексная абсолютная погрешность расчета составляет

Определяем ее модуль

Рассчитываем относительную погрешность определения токов

Поскольку , расчет токов корректен. Первый пункт задания выполнен.

4. Составляем и проверяем баланс мощностей

Рассчитываем полную комплексную мощность, развиваемую источником, а также его активную и реактивную мощность. При этом используем закон Джоуля – Ленца в комплексной форме записи

Определяем суммарную активную и реактивную мощность на приемниках. При этом также используем закон Джоуля – Ленца

;

Рассчитываем суммарную полную комплексную мощность на приемниках

Проверяем корректность расчета, рассчитав модуль относительной погрешности определения полных мощностей

Расчет проведен корректно. Второй пункт задания выполнен.

5. Строим векторную диаграмму токов на комплексной плоскости, используя их действительные () и мнимые () составляющие. Задаемся масштабом по току, делим указанные составляющие токов на масштаб и откладываем получающиеся отрезки в сантиметрах вдоль осей комплексной плоскости (с учетом знаков составляющих).

Рис. 11.

Результаты построения (рис. 11) наглядно иллюстрируют корректность проведенных расчетов. Итак, третий пункт и все задание выполнены.

При выполнении задания №2 можно также воспользоваться рекомендуемой литературой [2, 3, 4].

Пример 6. Для цепи, изображенной на рис. 1 требуется:

Определить комплексным методом действующие значения напряжений и токов на всех участках цепи.
Определить активные, реактивные и полные мощности каждого участка цепи и всей цепи.
Составить баланс активных и реактивных мощностей и оценить погрешность расчета.
Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рис. 1

Исходные данные: U = 127 В , r1 = 15 Ом , C1 = 60 мкФ, r2 = 10 Ом , L2 = 80 мГн, r3 = 15 Ом , C3 = 90 мкФ. Частота питающего напряжения 50 Гц.

Лекция 1.3. Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

1.Комплексное сопротивление

Введение комплексного представления токов и напряжений требует определить и сопротивление элементов электрических цепей в комплексной форме — Z.

Хороши известно, что сопротивление резистора определяется как отношение напряжения на резисторе к току, протекающему через него. Если напряжение и ток представлены в комплексной форме, то

Но на предыдущей лекции было установлено, что . Поэтому

(3.1)

Таким образом видим, что комплексное сопротивление резистора выражается только действительным числом. Оно не вносит фазовых искажений между токами и напряжением. Чтобы подчеркнуть этот факт такое сопротивление часто называют активным.

Комплексное сопротивление емкости определяется отношением

. (3.2)

Видим, что комплексное сопротивление емкости переменному току выражается мнимым числом. Мнимая единица -jфизически определяет сдвиг фаз между током и напряжением на 90^о. Это хорошо согласуется с ее максимальным значением

Поэтому на емкости напряжение отстает от тока на 90^о. Это означает, что сначала растет ток, протекающий через конденсатор, затем, с некоторым отставанием увеличивается заряд и напряжение.

Коэффициент 1/определяет величину сопротивления в Омах. Он обратно пропорционален частоте, называется емкостным сопротивлением и обозначается Х_С, т.е.

. (3.3)

Комплексное сопротивление индуктивности определяется отношением

. (3.4)

И в этом случае сопротивление выражается мнимым числом. Но так как это число положительное, то это означает, что на индуктивности напряжение опережает ток на 90^о.

Коэффициент Lопределяет величину сопротивления в Омах. Он пропорционален частоте, называется индуктивным сопротивлением и обозначается Х_L, т.е.

. (3.5)

Чтобы подчеркнуть тот факт, что сопротивления емкости и индуктивности выражаются мнимыми числами, их называют реактивными сопротивлениями, а конденсатор и индуктивность — реактивными элементами цепи.

Определим теперь комплексное сопротивление электрической цепи, содержащей активные и реактивне элементы, например последовательно включенные R,Lи С элементы (рис.3.1). Такая цепь представляет замкнутый контур, поэтому для нее справедлив второй закон Кирхгофа

. (3.6)

В последнем выражении проведем замену символов мгновенных напряжений и ЭДС на их комплексные изображения по правилам, определенным в лекции 1.2. Такой прием получил название символического метода. Так как ток протекающий через все элементы последовательной цепи одинаков, то (3.6) приходит к виду

Преобразуем это выражение к виду

По определению выражение в правой части последнего равенства есть ни что иное, как комплексное сопротивление цепи рис.3.1, т.е.

(3.7)

где R- действительная часть или активное сопротивление цепи.

— мнимая часть или реактивное сопротивление цепи.

Выражение (3.7) представляет комплексное сопротивление в алгебраической форме. Соотношения между составляющими комплексного сопротивления находятся в полном соответствии с соотношениями для комплексного представления тока. Но для большей наглядности вводится понятие треугольника сопротивления (рис.3.2).

Втреугольнике — гипотенуза определяется модулем комплексного сопротивленияZ, причем

(3.8)

Противолежащий катет — реактивным сопротивлением X, причем

(3.9)

Уголопределяет сдвиг фаз между током и напряжением, который вносится комплексным сопротивлением цепи, причем

(3.10)

Учитывая выражения (3.8) (3.11) легко перейти от алгебраической к тригонометрической форме комплексного сопротивления

Z (3.12)

aприменив формулу Эйлера получить показательную форму

Z (3.13)

Теперь можно записать закон Ома для участка цепи без источника ЭДС в комплексном изображении

(3.14)

Выражение (3.14) показывает, что в цепях переменного тока модуль тока определяется отношением модуля напряжения (его амплитудного значения) к модулю комплексного сопротивления, а фаза тока определяется разностью фаз напряжения и комплексного сопротивления. Отсюда вытекает еще одно полезное для практики выражение

. (3.15)

3. Рассчитываем комплексные сопротивления фаз приемника

По закону Ома определяем фазные токи

5. Рассчитываем линейные токи, используя первый закон Кирхгофа

6. Определяем полные комплексные, полные активные и реактивные мощности каждой фазы и эти же мощности на всем трехфазном приемнике

При этом

Без специальной проверки видно, что баланс мощностей подтверждается. Следовательно расчеты проведены корректно.

7. Строим векторную диаграмму токов, напряжений и ЭДС. Задаемся масштабами по току и по напряжению:

Рис. 13.

Третий пункт и все задание выполнены.

При выполнении задания №3 можно воспользоваться рекомендуемой литературой [2, 3, 6,7].

Пример 2 . Расчет трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой (звезда)

К трехфазному источнику подключена цепь (рис. 1). Значения линейного напряжения, активных, индуктивных и емкостных сопротивлений приемников приведены ниже. Требуется:

Определить фазные и линейные токи для заданной схемы соединения, а также ток в нейтральном проводе для схемы «звезда».
Определить активную и реактивную мощности, потребляемые цепью.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Исходные данные: UЛ = 220 В, XC1 = 10 Ом, R2 = 9 Ом, XL2 = 13 Ом, XL3 = 8 Ом Рис. 1Решение

1. Определим фазные напряжения для данной схемы типа «звезда»:

2. Определим комплексные эквивалентные сопротивления каждой фазы:

(Ом) (Ом)(Ом)

3. Определим фазные токи (для соединения типа «звезда» фазные токи равны линейным):

(А) (А)(А)

4. Определим комплекс действующего значения тока в нейтральном проводе:

5. Определим активную мощность

(Вт)

6. Определим реактивную мощность.

(вар)

7. Построим векторную диаграмму

Пример 3. Расчет трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой (треугольник) К трехфазному источнику подключен несимметричный трехфазный приемник (рис. 1). Значения линейного напряжения, активных, индуктивных и емкостных сопротивлений приемников приведены ниже. Требуется:

Определить фазные и линейные токи для заданной схемы соединения, а также ток в нейтральном проводе для схемы «звезда».
Определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью.
Построить векторную диаграмму напряжений и токов.

Исходные данные: UЛ = 220 В, R1 = 25 Ом, XC = 18 Ом, XL = 28 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 30 Ом.

Рис. 1 Решение.

1. Определим фазные напряжения для данной схемы типа «треугольник»:

2. Определим комплексные эквивалентные сопротивления каждой фазы:

(Ом) (Ом)(Ом)

3. Определим фазные токи:

4. Определим комплексы действующих значений линейных токов:

(A) (A)(A)

5. Определим активную мощность цепи:

(Вт)

6. Определим реактивную мощность цепи: