Какова амплитуда колебаний этого маятника при резонансе: Страница не найдена

Содержание

Оптика и волны

В случае вынужденных колебаний система колеблется под действием периодической внешней (вынуждающей) силы. За счет работы этой силы компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний зависит от частоты изменения внешней силы (для краткости мы будем называть её «вынуждающей частотой»). Практически наиболее интересным является случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

Резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешнего воздействия, называемой

резонансной частотой системы.

Видео 1.21 Резонансное взаимодействие маятников

Видео 1.22 Камертоны: резонансное поглощение энергии волны

Видео 1.23 Резонанс доски с мотором

Явление резонанса используется для усиления колебаний, например электрических. Однако при конструировании машин и сооружений необходимо учитывать явление резонанса, чтобы предотвратить чаще всего нежелательные, а иногда и разрушительные последствия резонансного увеличения амплитуды вынужденных колебаний.

Для пружинного маятника уравнение вынужденного колебательного движения имеет вид:

 

(1.83)

или

 

(1.84)

где

и    

— вынуждающая частота.

Если рассматривать электрический колебательный контур, то компенсировать потери энергии в контуре можно с помощью подводимой извне периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС или переменного напряжения

 

(1.85)

 

Рис. 1.25. Вынужденные колебания в электромагнитном контуре

Уравнение колебаний в контуре (рис. 1.25) можно записать, используя закон Ома для замкнутой цепи

 

(1.86)

или, с учетом, что

 

 

(1.87)

где

— собственная частота контура,

— коэффициент затухания, a

Таким образом, вынужденные колебания в электрическом контуре описываются тем же самым линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, что и в случае колебаний пружинного маятника. Предположим, что нам известно хотя бы одно решение этого уравнения — некое частное решение . Тогда разность любого другого решения q(t) и этого частного решения

 будет удовлетворять однородному уравнению (с нулем в правой части), которое мы подробно изучили в предыдущем разделе. Поэтому общее решение уравнения (1.87) может быть записано как

 

(1.88)

где

— частота свободных затухающих колебаний.

С течением времени из-за экспоненциального множителя  роль второго слагаемого уменьшается (оно важно на начальной стадии установления колебаний). По прошествии достаточно большого времени, а именно, при

,

им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое. Таким образом, задача исследования установившихся вынужденных колебаний сводится к нахождению хотя бы одного частного решения уравнения (1.87).

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде гармонической функции, частота изменения которой совпадает с частотой вынуждающей силы:

 

(1.89)

Подставим  в виде (1.89) в уравнение (1.87):

 

(1.90)

Так как функции синуса и косинуса линейно независимы, коэффициенты при них в левой части (1.90) должны быть равны нулю:

 

(1.91)

Решение этой системы имеет вид:

 

(1.92)

Решение (1.89) с коэффициентами (1.92) можно записать в стандартном виде:

 

(1.93)

где

 

(1.94)

и

 

(1.95)

При знаке минус в фазе косинуса в выражении (1.93) начальная фаза  имеет простой физический смысл: это отставание по фазе установившегося вынужденного колебания от гармонической вынуждающей «силы» (1.85).

Видео 1.24 Резонансный язычковый частотомер

Видео 1.25 Спектр модулированного колебания

Рассмотрим отклик системы на изменение частоты внешней силы. Под квадратным корнем в выражении для амплитуды стоит квадратичная функция частоты

Эта функция имеет минимум (а значит, амплитуда имеет максимум).

Для нахождения точки минимума дифференцируем функцию  по  и приравниваем производную нулю. В итоге получаем следующие выражения для резонансной частоты

 

(1.96)

и

амплитуды установившихся вынужденных колебаний при резонансе

 

(1.97)

Следует отметить, что при  значение резонансной частоты   практически совпадает с собственной частотой  колебательной системы. Поскольку   стоит в знаменателе выражения для , резонансная амплитуда колебаний растет с уменьшением затухания. На графике 1.26 видно, что чем меньше затухание, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой.

Рис. 1.26. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

При увеличении частоты внешнего воздействия амплитуда стремится к нулю:

Физически это понятно: система обладает некой инерционностью и не успевает следовать за быстрыми изменениями внешнего воздействия. В другом предельном случае малой внешней частоты

мы имеем дело со статическим случаем — действием постоянной внешней силы F0 на пружинный маятник, или подсоединением контура к источнику с постоянным напряжением Um. В этом случае предельное значение амплитуды вынужденных колебаний равно

и не зависит от затухания. Последнее вполне естественно, так как затухание обусловлено действием силы сопротивления, которая пропорциональна скорости и проявляется только при движении системы, а не в статическом пределе. В случае механических колебаний

 

(1.98)

что равно удлинению пружины под действием постоянной силы F0.

В случае электромагнитных колебаний в контуре

 

(1.99)

что равно заряду на конденсаторе при подсоединении его к источнику постоянного напряжения Um.

Найдем отношение резонансной амплитуды к статической при малом затухании, когда :

 

(1.100)

Иными словами, добротность Q характеризует также резонансные свойства колебательной системы: чем больше добротность, тем выше и относительно уже резонансный пик (см. рис. 1.26).

Автоколебательные системы. Параметрический резонанс.

Видео 1.26 Анкерный механизм механических часов

Видео 1.27 Колебания линейки под струёй воды

Видео 1.28 Спираль Роже

Видео 1.29 Параметрический резонанс

 

Дополнительная информация

http://class-fizika.spb.ru/index.php/slaid/193-kol – Много интересных анимаций, видео, слайд-шоу по колебаниям и волнам.

http://www.fxyz.ru/формулы_по_физике/колебания_и_волны – Основные формулы по колебаниям и волнам (см. Также раздел «подтемы» справа вверху)

http://physics-lectures.ru/category/mexanicheski-kolebaniya-i-volny/ – Лекции по колебаниям и волнам

http://www.alleng.ru/d/phys/phys105.htm – Д.В. Сивухин. Электричество, колебания и волны. Учебник.

http://www.ph5s.ru/book_ph_koleb.html  – Ссылки на книги по колебаниям и волнам. Сайт бывшего преподавателя МИФИ А.Н. Варгина.

http://fmclass.ru/math.php?id=485a8e5cc78f8 – Статьи по колебаниям и оптике из журнала «Квант»

http://www.physel.ru/mainmenu-48.html – Полезные материалы по колебаниям и волнам.

http://koi.tspu.ru/waves/index.htm – А.Г.  Парфенов, Электронный мультимедиа-учебник по колебаниям и волнам

http://www.alleng.ru/d/phys/phys126.htm – Савельев, Курс общей физики. Т.1 – Механика, колебания и волны, молекулярная физика.

http://www.alleng.ru/d/phys/phys260.htm – А.Я. Исаков , В.В. Исакова.  Колебательные и волновые процессы, руководство по самостоятельной работе.

http://lib.mexmat.ru/books/6452 – Г.С. Ландсберг.  Элементарный учебник физики. Колебания и волны. Оптика. Атомная и ядерная физика.

http://elkniga.ucoz.ru/ – Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков. Учебник по колебаниям и волнам для углубленного изучения в 11-м классе.

http://repetitor.mathematic.of.by/spravka_fizika.htm#M2 – Основные формулы по механике, в том числе – по колебаниям.

 http://www.alleng.ru/d/phys/phys194.htm – Л.Н. Коршунова. Колебания и волны. Пособия по решению задач.

 http://fizportal.ru/fluctuation-b – Банк задач по колебаниям и волнам с решениями.

http://www.alleng.ru/d/phys/phys127.htm – Савельев, Курс общей физики. Т.2 — Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.

http://ligis.ru/effects/science/238/index.htm – Эффект механического резонанса.

http://schools.keldysh.ru/sch2216/students/spr_resh_zad/wob_wave/wob_wave1.htm – Задачи по колебаниям и волнам с решениями.

http://sgtnd.narod.ru/papers/TASKS.pdf – А.П. Кузнецов, А.Г. Рожнев, Д.И. Трубецков. Линейные колебания и волны. Сборник задач.

http://www.phys.kemsu.ru/viewpage.php?page_id=178 – Задачи по колебаниям и волнам повышенной сложности для старшеклассников.

http://physbook.ru/index.php/PPT._Маятник_Фуко – Маятник Фуко. История, модели.

 

? (Ответ дайте в джоулях.)

Решение задач «Механические колебания

Решение задач «Механические колебания При гармонических колебаниях пружинного маятника координата груза изменяется с течением времени t, как показано на рисунке. Период Т и амплитуда колебаний А равны

Подробнее

Механические колебания

1 Механические колебания Механические колебания — вид движения, при котором положение тела повторяется точно или почти точно за равные промежутки времени. Характеристики колебаний. Период время одного

Подробнее

0,4 0,2 0,5. t,c. t,c -0,2 -0,4

13 Механические колебания 13 Механические колебания 13.1 Уравнение гармонических колебаний 13.1.1 Определить наименьшую разность фаз колебаний маятников, изображенных на рисунке 79. Смещение каждого маятника

Подробнее

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет Физика МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Подробнее

Отложенные задания (30)

Отложенные задания (30) Необходимо экспериментально установить, зависит ли период колебаний пружинного маятника от массы груза. Какую из указанных пар маятников можно использовать для этой цели? 1) А и

Подробнее

КИНЕМАТИКА задания типа В Стр. 1 из 5

КИНЕМТИК задания типа В Стр. 1 из 5 1. Тело начало движение вдоль оси OX из точки x = 0 с начальной скоростью v0х = 10 м/с и с постоянным ускорением a х = 1 м/c 2. Как будут меняться физические величины,

Подробнее

Механические колебания

И. В. Яковлев Материалы по физике MahUs.ru Механические колебания Темы кодификатора ЕГЭ: гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания,

Подробнее

Задания А6 по физике.

Задания А6 по физике 1. В первом опыте груз совершает гармонические колебания по закону, где координата измеряется в см. Во втором опыте период колебаний увеличивают в 2 раза, оставив амплитуду неизменной.

Подробнее

Механические колебания

Механические колебания Гармонические колебания Общие определения Колебаниями называют периодическое или почти периодическое движение или процесс Если колебания происходят при отклонения системы от устойчивого

Подробнее

ID_9518 1/5 neznaika.pro

1 Механика. Изменение физических величин в процессах Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных

Подробнее

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 4

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ 4 1.1. Ускорение свободного падения на Луне равно 1,7 м/с 2. Каким будет период колебаний математического маятника на Луне, если на Земле он равен 1 с? Зависит ли ответ от массы

Подробнее

Механическое колебания и волны.

Механическое колебания и волны. 1.В каком случае возникает вынужденное механическое колебание тела? A) Силы трения в системе должны быть малы. B) При смещении тела из положения равновесия равнодействующая

Подробнее

Банк заданий по физике 10 класс

Банк заданий по физике 1 класс МЕХАНИКА Равномерное и равноускоренное прямолинейное движение 1 На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при его прямолинейном движении по оси x.

Подробнее

Образовательный минимум

триместр предмет физика класс 9т Образовательный минимум Основные понятия Движения тела по вертикали, брошенного под углом к горизонту, горизонтально. Движение по с постоянной по модулю скоростью. Центростремительное

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4 ВАРИАНТ 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 4 ВАРИАНТ 1 1. Амплитуда гармонических колебаний точки А = 5 см, амплитуда скорости max = 7,85 см/c. Вычислить циклическую частоту ω колебаний и максимальное ускорение a max точки. 2.

Подробнее

Гармоническое движение

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Гармоническое движение Перед решением задач листка следует повторить статью «Механические колебания», в которой изложена вся необходимая теория. При гармоническом

Подробнее

Основные законы и формулы

1.5. Механические колебания и волны Основные законы и формулы Колебания, при которых физические величины, которые их описывают (например, отклонение от положения равновесия, скорость, ускорение и т.д.),

Подробнее

Тема 5. Механические колебания и волны.

Тема 5. Механические колебания и волны. 5.1. Гармонические колебания и их характеристики Колебания процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося

Подробнее

Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (

Динамика 1. Брусок массой движется поступательно по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы, направленной под углом к горизонту. Модуль этой силы Коэффициент трения между бруском и плоскостью

Подробнее

Лекция 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Лекция 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. При движении маятника колеблется его центр тяжести. В случае переменного тока колеблются напряжение и

Подробнее

Уравнение колебаний. 2

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Уравнение гармонических колебаний Уравнение колебаний. 2 ẍ + ω 2 x = 0 можно получить, дифференцируя по времени закон сохранения энергии. Покажем это на простейшем

Подробнее

ИДЗ-5 Колебания и волны / Вариант 1.

ИДЗ-5 Колебания и волны / Вариант 1. 1. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T 1 = T 2 = 1,5 с и амплитудами A 1 = A 2 = 4 см. Начальные фазы колебаний ϕ

Подробнее

Занятие 7 Законы сохранения

Занятие 7 Законы сохранения Задача 1 На рисунке изображены графики изменения скоростей двух взаимодействующих тележек разной массы (одна тележка догоняет и толкает другую). Какую информацию о тележках

Подробнее

КР-5 / Вариант 1. 1. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами T 1 = T 2 = 1,5 с и амплитудами A 1 = A 2 = 4 см. Начальные фазы колебаний ϕ 1 = 90 и ϕ 2 = 60.

Подробнее

Гармонические колебания

Гармонические колебания Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющийся во времени. механические колебания электромагнитные электромеханические

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ Ю.И. Тюрин » » 2005 г. КОЛЕБАНИЯ

Подробнее

F в этой системе отсчёта равно

Отложенные задания (88) Мяч, брошенный вертикально вверх со скоростью υ, через некоторое время упал на поверхность Земли. Какой график соответствует зависимости проекции скорости на ось ОХ от времени движения?

Подробнее

Задания А22 по физике

Задания А22 по физике 1. Если подвесить к легкой упругой пружине некоторый груз, то пружина, находясь в равновесии, окажется растянутой на 10 см. Чему будет равен период свободных колебаний этого груза,

Подробнее

Гармонические колебания.

Физика 008 016 1.ДЗ. Колебания и волны 1.01. Гармонические колебания. В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются

Подробнее

2.3.3 Колебания при наличии внешней вынуждающей периодической силы

Идеальный случай.

Пусть на шарик в пружинном маятнике действует периодическая внешняя сила

(1)

В этом случае для смещения шарика вблизи положения равновесия вместо уравнения (1) пункта 2.3.1 получаем

(2)

где .

Нетрудно проверить, что решение уравнения (1) в случае имеет вид [1-3]:

(3)

где

Первое слагаемое в (3) описывает свободные колебания, а второе – так называемые вынужденные колебания с амплитудой . Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний при действии вынуждающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров силы.

В предельном случае точного совпадения частот и система уже не может совершать периодические колебания. Зависимость координаты от времени будет выражаться формулой

(4)

Такое движение можно рассматривать как колебания с линейно нарастающей со временем амплитудой. Явление раскачки колебаний под действием периодической внешней силы называется резонансом.

Следует подчеркнуть, что неограниченный резонансный рост амплитуды вынужденных колебаний есть идеализация системы. Во-первых, когда амплитуда колебаний становится достаточно большой, осциллятор, как правило, перестаёт быть линейным. Во-вторых, при записи уравнения (12) не учитывались силы трения, приводящие к затуханию колебаний. Рассмотрим роль последнего фактора более подробно.

Вынужденные колебания при наличии трения.

Если на осциллятор с трением действует внешняя сила (1), то уравнение таких колебаний имеет вид

(5)

где – коэффициент затухания, определённый в пункте 2.3.2.

Общее решение (5) имеет вид [1–3]

(6)

где – решение уравнения (5) в отсутствие внешней силы (собственные колебания осциллятора (3) – (5) пункта 2.3.2.

Благодаря трению , собственные колебания затухают: при . Поэтому через время колебательная система будет совершать только вынужденные колебания, описываемые вторым слагаемым в (6). Важно отметить, что параметры вынужденных колебаний не зависят от начальных условий. Эти колебания происходят с частотой внешней силы , характеризуются амплитудой и фазовым сдвигом

(7)

(8)

Как следствие из формулы (8), коэффициент связан с производной функции следующим образом:

(9)

Важным отличием от случая вынужденных колебаний осциллятора без трения является наличие сдвига фазы между колебаниями вынуждающей силы и колебаниями осциллятора. При точном совпадении частот, , вне зависимости от величины затухания, сдвиг фазы составляет .

Другим существенным следствием наличия затухания является качественное изменение вида резонансной кривой. На рис. 1 приведена зависимость и для некоторых характерных значений .

Рис. 1б.  Зависимость сдвига фаз (ФЧХ) между колебаниями вынуждающей силы и осциллятора.

Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний (7), определяется формулой

(10)

Этому максимуму соответствует резонансная частота

(11)

при условии, что . Если затухание мало () то максимум резонансной кривой приблизительно совпадает с собственной частотой осциллятора . По мере роста этот максимум смещается в сторону меньших частот (рис. 1а). При максимум амплитуды вынужденных колебаний приходится на частоту . TПо существу это означает исчезновение резонанса. Ранее указывалось, что режим апериодического затухания свободных колебаний возникает лишь при . Следовательно, в интервале вынужденные колебания уже не имеют резонансного характера, а собственные движения осциллятора ещё сохраняют колебательный характер.

Как видно из формулы (7), при слабом затухании амплитуда вынужденных колебаний быстро убывает по мере удаления от резонансной частоты. В частности, она уменьшается в раза при значениях , равных

,  

(12)

Величину принято называть шириной резонанса. При малых эта величина составляет . Тогда добротность, определяемая формулой (8) пункта 2.3.2, связана с шириной резонансной кривой соотношением

(13)

Таким образом, ширина резонансной кривой определяется добротностью и собственной частотой. Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше ширина резонансного пика. Как видно из формулы (13), добротность колебательной системы можно оценить из экспериментальных АЧХ осциллятора и соответственно определить коэффициент затухания.


Выводы.

Литература.

  1. С.Э. Хайкин. Механика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 574 с.
  2. Д. В. Сивухин. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576. с.
  3. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты

Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы.  [c.538]

С дальнейшим ростом частоты изменения вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний начинает уменьшаться. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты 0 изменения вынуждающей силы показана графически на рнс. 150 с помощью амплитудных резонансных кривых. Каждая из них соответствует определенному коэффициенту затухания р(Р1[c.189]


При значениях Р, больших определенного критического значения Ркр. в резонансных кривых появляются участки с вертикальной касательной, и для определенной области значений р возникает неоднозначная зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты воздействия (тип 2). На рис. 3.25 заштрихована область, где резонансные кривые имеют обратный наклон, а ее границы соответствуют вертикальным касательным к резонансным кривым. Амплитуды резонансных кривых, лежащие в заштрихованной области, неустойчивы, и при непрерывном изменении частоты воздействия р для достаточно больших амплитуд внешней силы появляются скачки амплитуды при  [c.117]

На фиг. 10 представлена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущений (при о=1).  [c.201]

Неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждаю-  [c.28]

Проведем краткое исследование движения системы Прежде всего отметим, что вынужденные колебания являются незатухающими простыми гармоническими колебаниями, происходящими с частотой возмущающей силы и По фазе вынужденные колебания отстают от возмущающей снлы на угол ф, величина и знак которого зависят от соотношения между собственной частотой колебания системы шо и частотой возмущающей силы а) Самым существенным является наличие зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы  [c.219]

При малых значениях коэффициента вязкости — ту резонансная частота близка к частоте собственных колебаний системы. На рисунке 25.3 изображен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы (резонансная кривая) при различных значениях коэффициента вязкости р. Острота максимума кривой самым существенным образом зависит от затухания свободных колебаний системы. Для кривых, изображенных на рисунке, р1 > Рг- Для резонансной частоты сдвиг по фазе вынужденных колебаний мало отличается от ф = 90° и вся работа внешней силы затрачивается на преодоление сопротивления движению системы (при установившихся колебаниях). Для частот, сильно отличающихся от частоты собственных колебаний системы, сдвиг фазы не равен 90° и работа внешней силы в отдельные части периода колебаний может быть отрицательной, т. е. система отдает энергию телам, вынуждающим колебания.  [c.220]


Формула (15.4) дает зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты О внешней силы (рис. 15.1). Видно, что >сзо, если О—>0) .  [c.264]

Представив Р = /(р/ы) графически при различных значениях у (рис. 551), получим так называемые резонансные кривые, наглядно иллюстрирующие зависимость амплитуды вынужденных колебаний от соотношения частот (периодов) свободных и вынужденных колебаний при различных демпфирующих характеристиках системы, определяемых значением коэффициента у.  [c.609]

Проследим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от отношения частот p k. Для этого преобразуем выражение. амплитуды вынужденных колебаний  [c.54]

Для установления зависимости амплитуды вынужденных колебаний Ас от частоты изменения возмущающей силы р воспользуемся коэффициентом динамичности ц, введенным в 16. Этот коэффициент представляет собой отношение амплитуды вынужденных колебаний под действием возмущающей силы Q, модуль которой Q = = I + б) , к статическому отклонению точки от начала ко-  [c.58]

Р. с. отдельным атомом (связанным электроном) отличается сильной дисперсией рассеяния. В классич. теории дисперсия объясняется зависимостью амплитуды вынужденных колебаний атомного осциллятора от частоты падающего излучения. Свя-  [c.278]

Зависимость амплитуды Ь (у) установившихся вынужденных колебаний от частоты у вынуждающей силы при различных значениях коэффициента затухания К представлена графически на рисунке 41.1, из которого видно, что все кривые Ь (у) начинаются  [c.227]

Используя метод комплексных амплитуд, найдите решение для вынужденных колебаний линейного гармонического осциллятора без затухания при действии на него внешней гармонической силы. Нарисуйте графики зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.  [c.13]

Проанализируем зависимость характеристик вынужденного колебания от параметров задачи. Частоту вынужденных колебаний, подчеркнем еще раз, задает вынуждающая сила, а их амплитуда и фаза зависят согласно (38.7) и (38.8) как от характеристик вынуждающей силы (Я , П), так и от параметров колебательной системы (т,к,Ь).  [c.127]

Безразмерный коэффициент tj называют коэффициентом динамичности. Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения Хо, и зависит от отношения частот г. График этой зависимости, определяемой равенством (88), показан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком h=0 (другие кривые на рис. 264 дают зависимость т от z при наличии сопротивления).  [c.243]

Изменение амплитуды вынужденных колебаний Л в зависимости от изменения частоты возмущающей силы р характеризуется графиком коэффициента динамичности (рис. 37).  [c.47]

Амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий. Но она не зависит также и от времени, а потому вынужденные колебания с течением времени не угасают. Амплитуда (а следовательно, и напряжения, возникающие в упругих системах) зависит от возмущающей силы, главным образом от частоты р. Чтобы выявить эту зависимость, допустим, что упругая механическая система находится в состоянии равновесия и что на нее действует постоянная сила Н. От действия этой постоянной силы система получит так называемое статическое отклонение  [c.281]

Введем амплитуду вынужденных колебаний Aj = hi k — р ). Тогда в зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах  [c.437]


Главной особенностью вынужденных колебаний при резонансе является зависимость нх амплитуды от времени Лз = / / (2р). Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае увеличивается пропорционально времени. Сдвиг фаз при резонансе, как это следует из (43), равен л/2. Круговая частота вынужденных колебаний при резонансе совпадает с круговой частотой возмущающей силы.  [c.438]

Некоторый интерес может представлять и задача о продольном, изгибе стержня, имеющего нелинейные граничные условия. Приводимые ниже исследования показывают, что хорошо известные ранее типично нелинейные свойства одномассовых систем (зависимость собственной частоты системы от амплитуды колебаний,, многозначность амплитуд вынужденных колебаний, наличие скачков , затягиваний и пр.) расширяются и обобщаются соответствующим образом на системы с распределенными массами. В работе будет показано, что задача о колебании балки и задача о критических режимах валов, имеющих нелинейные граничные условия, являются принципиально различными, тогда как известно, что в линейной постановке они совпадают.  [c.5]

Величина так называемого коэффициента усиления р (или динамичности), представляющего собой отношение амплитуды вынужденных колебаний к статическому прогибу, показана на рис. 106 в зависимости от отношения а частот возмущающей силы и свободных колебаний лопатки, а также в зависимости от величины X, называемой коэффициентом демпфирования или сопротивления этот коэффициент зависит от величины сил сопротивления колебаниям.  [c.108]

Режим ШИМ-П лежит в большом диапазоне изменения несущей частоты от частоты /кь при которой золотник перемещается по предельному треугольнику, и далее до частоты f 2, при которой колебания на золотник не проходят. Вопрос о выборе значения несущей частоты для ШИМ-П решается в каждом конкретном случае отдельно в зависимости от динамики электромеханического преобразователя и скоростной характеристики золотника [зависимости V3 = f h)]. Несущая частота должна быть достаточно большой, чтобы золотник имел амплитуду вынужденных колебаний заметно меньшую, чем амплитуда предельного треугольника при частоте / ь С другой стороны, амплитуда колебаний золотника не должна быть слишком малой, так как при этом уменьшаются преимущества импульсного регулирования и возможны случаи схватывания , при котором золотник из-за наличия нагрузок (трение и гидродинамическая сила) останавливается.  [c.487]

Чаще всего силы сопротивления описываются нелинейными функциями скоростей, однако в практических расчетах эти функции иногда можно линеаризовать, считая сопротивление линейно-вязким. Обычно основанием для линеаризации сил сопротивления служит не столько слабая нелинейность истинных зависимостей (в действительности она может быть сильной), сколько заведомо малое влияние сил сопротивления на некоторые колебательные свойства и процессы. Так, в большинстве случаев для расчета частот свободных колебаний достаточно использовать линеаризованные характеристики сил трения, а иногда даже полностью пренебречь сопротивлениями. Силами трения часто можно пренебрегать и при вычислении амплитуд вынужденных колебаний вдали от резонанса.  [c.15]

График Р в зависимости от отношения частот и параметра затухания п приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при со -> ф 0 Sii P> т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при я О, со Ф, получаем i o Sn P -> [c.160]

Какие колебания называются вынужденными Составьте дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Поясните, как получают решение и каков его физический смысл. Чем определяется амплитуда вынужденных колебаний Нарисуйте графики зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы при двух значениях коэффициента треиия. Что называют резонансом резонансной частотой От чего зависит резонансная частота Будет ли резонансная частота одинакова для одной и той же системы при различных затуханиях Чем определяется сдвиг фазы между смещением и вынуждающей силой Чему равен при резонансе сдвиг фаз между смещением и силой между скоростью и силой Какие системы называются автоколебательными Приведите примеры автоколебательных систем.  [c.354]

Вьшужденные колебания плавающего кольца. Прецессия и радиальные биения вала изменяют толщину жидкостного слоя в щели и создают периодические силы, перемещающие кольцо относительно вала в радиальном направлении. При смещениях, близких к радиальному зазору ho, зависимость гидромеханических сил от перемещений х и у существенно нелинейна, поэтому определение условий бесконтактной работы уплотнения в строгой постановке представляет значительные трудности. Задача существенно упрощается, если рассматривать малые по сравнению с зазором перемещения плавающего кольца, когда гидромеханические силы Р и Ру связаны с перемещениями линейными соотношениями (11.17). В этом случае можно определить резонансные частоты уплотнения и оценить амплитуду вынужденных колебаний кольца относительно вала.  [c.393]

Под действием внешней гармонической силы Р частоты р, приложенной к одному из связанных маятников (рис. 386), оба маятника будут совершать гармонические вынужденные колебания с частотой р. Амплитуды колебаний каждого из маятников, так же как и прн вынужденных колебаниях с одной степенью свободы, будут зависеть от частоты, причем эта зависимость особенно резко выражена при малом затухании. Резонанс колебаний, или колебания обоих маятников с максимальной амплитудой, будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников равна частоте внешней силы. Аналогично для системы из п маятников резонанс будет наблюдаться при /г значениях частоты внешней силы.  [c.468]

Наиболее существенные особенности нелинейных колебательных систем возможность существования нескольких положений равновесия неизохронность свободных колебаний, неоднозначность зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты гармонической вынуждающей силы возникновение супер- и субгармони-  [c.25]


Наиболее важной и интересной является зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы А(П). определяемая формулой (38.7). При 1 = 0 с учетом (36.4) А 0) = рц1к при П->оо 1(П)->0 экстремумы функции /1(П) определяются из условия [c.127]

Решение. Эта задача относится к задачам определения амплитудно-фазовых частотных характеристик. АФЧХ показьтают, как зависит амплитуда вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия и как сдвигается фаза вынужденных колебаний в зависимости от частоты внешних сил [23].  [c.54]

Для вынужденных колебаний в линейной колебательной системе в области резонанса это сразу видно из полученных выше зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от частоты виеншей силы (графики этих зависимостей приведены на рис. 388 и 389). Вследствие сильной зависимости амплитуды и фазы вынужденных колебаний от Частоты, соотношение между амплитудами и фазами разных гармоник в спектре внешней силы н в спектре вынужденных колебаний нарушается и форма вынужденных колебаний может очень существенно отличаться от формы внешней силы. Пример этого был приведен выше для маятника, раскачиваемого толчками, при малом затухании форма вынужденных колебаний будет близка к гармонической.  [c.621]

Эти высшие гармонические компоненты достаточно малы пока система для данной амплитуды колебаний слабо нелинейна, но возрастают по мере роста амплитуды вынужденных колебаний. Если частота одной из возникших за счет нелинейности системы гармонических компонент близка к собственной частоте колебаний системы, то амплитуда этой компоненты может существенно возрасти. В итоге при исходной гармонической вынуждающей силе результирующий колебательный процесс может иметь характер весьма далекий от гармонического с резким увеличением амплитуды тех компонент, частоты которых лежат в резснансной области. При этом, естественно, от вида нелинейных зависимостей (тип нелинейности) существенно зависит возможный характер результирующего процесса.  [c.107]

Нелинейность деформационных свойств резин проявляется и в области резонансных частот гармонического нагружения, близких к собственной частоте колебаний системы. Нелинейность выражается в аномальной (со скачком) зависимости амплитуды перемещения вынужденных колебаний от частоты со (рис. 3.3.8), наблюдаемой вместо симметричных относительно максимума кривых для линейных систем (см. рис. 1.3.5). Обычно нелинейные соотношения сг — 8 выражены кривыми, вогнутыми к оси напряжений а. При увеличении частоты со амплитуда постепенно возрастает по АВ (см. рис. 3.3.8), достигая максимума скачок амплитуды, и при увеличении со экспериментальные данные попадают на кривую EF. При уменьшении частоты со ход кривой не совпадает с полученным при увеличении со, а именно кривая проходит по FED до точки D при Wj, а с дальнейшим умень-гаепие>[ со происходит скачок амплитуды из D в 5 и последующее  [c.162]

Ддя установления зависимости амплитуды вынужденных колебаний Аг от частоты изменения возмущающей сялы р воспользуемся коэффициентом динамичности IJ, введенным в 16. Этот коэффициент представляет собой отношение амп.питуды вынужденных колебаний под действием возмущаюш,еЙ силы О модуль которой Q = Я sin (pt + (5)1, к статическому отклонению тонки от начала  [c.317]

Принцип язычкового частотомера можно использовать для демонстрации полученных нами зависимостей амплитуды и фазы вынужденных колебаний от соотношения между частотами собственных и вынужденных колебаний. Если взять два язычка, один нз которых имеет собственную частоту, точно равную 100 пер сек, а другой имеет частоту, отличающуюся на десятые доли периода, то при возбуждении электромагнита переменным токам в 50 nepj eK ) возбудятся оба язычка (рис. 390). Однако  [c.608]

РЕАКЦИЯ [термоядерная — реакция слияния легких атомных ядер в более тяжелые, происходящие при высоких температурах 10 К фотоядерная- -расщепление атомных ядер гамма-квантами цепная — реакция деления атомных ядер тяжелых элементов под действием нейтронов, в каждом акте которой число нейтронов возрастает, так что может возникнуть самоподдерживающийся процесс деления ядерная — превращение атомных ядер, вызванное их взаимодействием с элементарными частицами, в том числе с гамма-квантами, или друг с другом] РЕВЕРБЕРАЦИЯ — процесс постепенного затухания звука в закрытых помещениях после окончания действия его источника РЕЗОНАНС (есть явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении частоты вынужденной силы к собственной частоте колебаний системы акустический — избирательное поглощение энергии фононоБ определенной частоты в парамагнитных кристаллах, помещенных в постоянное магнитное поле антиферромагнитный — избирательное поглощение энергии электромагнитных волн, проходящих через антиферромагнетик, при определенных значениях частоты и напряженности приложенного к нему магнитного поля гигантский — широкий максимум, которым обладает зависимость сечения ядерных реакций, вызванных налетающей на атомное ядро частицей или гамма-квантом, от энергии возбуждения ядра магнитный — избирательное поглощение энергии проходящих через магнетик электромагнитных волн на определенных частотах, связанное с переориентировкой магнитных моментов частиц вещества параметрический — раскачка колебаний при периодическом изменении параметров тех элементов колебательных систем, в которых сосредоточивается энергия колебаний)  [c.271]

При вынужденных колебаниях во избежание резонанса собственная частота системы не должна совпадать по величине и фазе с вынужденной частотой. Для оценки виброустойчивости системы применяют амплитудно-фазовый частотный метод. Он заключается в сообщении, например, шпинделю станка периодических вынужденных колебаний от генератора колебаний (рис. 217, а) и в записи на осциллограмме при помощи вибродатчика колебаний системы. Они, как правило, отличаются по амплитуде и по фазе от колебаний генератора (рис. 217, в). При периодическом изменении частоты генератора сравнивают амплитуды колебаний на входе. и выходе системы Лвых/ вх и сдвиг колебаний по фазе ср. Затем строят амплитудную Лвых/ вх =/(ю) и фазовую ф =/,((о) характеристики в зависимости от частоты колебаний ю (рис. 217, г). Совмещение амплитудной и фазовой частотных характеристик в иррациональной 1т и реальной Rg координатах позволяют получить амплитудно-фазовую частотную характеристику АФЧХ (рис. 217, д). Радиус-вектор кривой АФЧХ характеризует отношение амплитуд, а угловое положение ф относительно положительного направления оси Re — угол сдвига фаз колебаний. Значение —1 на вещественной оси Re означает совпадение амплитуд колебаний и сдвиг по фазе ф == 180 -Это соответствует резонансу. Для устойчивости упругой системы необходимо, чтобы кривая АФЧХ не охватывала —1 на оси R .  [c.307]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят  [c.16]



Механические, периодические колебания, характеристики: частота, период, фаза, амплитуда, Виды колебаний, резонанс, примеры

Тестирование онлайн

Колебательное движение

Особый вид неравномерного движения — колебательное. Это движение, которое повторяется с течением времени. Механические колебания — это движения, которые повторяются через определенные промежутки времени. Если промежутки времени одинаковые, то такие колебания называются периодическими.

Колебательная система

Это система взаимодействующих тел (минимум два тела), которые способны совершать колебания. Простейшими колебательными системами являются маятники.

Характеристика колебаний

Фаза определяет состояние системы, а именно координату, скорость, ускорение, энергию и др.

Циклическая частота характеризует скорость изменения фазы колебаний.

Начальное состояние колебательной системы характеризует начальная фаза

Амплитуда колебаний A — это наибольшее смещение из положения равновесия

Период T — это промежуток времени, в течение которого точка выполняет одно полное колебание.

Частота колебаний — это число полных колебаний в единицу времени t.

Частота, циклическая частота и период колебаний соотносятся как

Виды колебаний

Колебания, которые происходят в замкнутых системах называются свободными или собственными колебаниями. Колебания, которые происходят под действием внешних сил, называют вынужденными. Встречаются также автоколебания (вынуждаются автоматически).

Если рассматривать колебания согласно изменяющихся характеристик (амплитуда, частота, период и др.), то их можно разделить на гармонические, затухающие, нарастающие (а также пилообразные, прямоугольные, сложные).

При свободных колебаниях в реальных системах всегда происходят потери энергии. Механическая энергия расходуется, например, на совершение работы по преодолению сил сопротивления воздуха. Под влиянием силы трения происходит уменьшение амплитуды колебаний, и через некоторое время колебания прекращаются. Очевидно, что чем больше силы сопротивления движению, тем быстрее прекращаются колебания.

Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания являются незатухающими. Поэтому необходимо восполнять потери энергии за каждый период колебаний. Для этого необходимо воздействовать на колеблющееся тело периодически изменяющейся силой. Вынужденные колебания совершаются с частотой, равной частоте изменения внешней силы.

Вынужденные колебания

Амплитуда вынужденных механических колебаний достигает наибольшего значения в том случае, если частота вынуждающей силы совпадает с частотой колебательной системы. Это явление называется резонансом.

Например, если периодически дергать шнур в такт его собственным колебаниям, то мы заметим увеличение амплитуды его колебаний.

Если влажный палец двигать по краю бокала, то бокал будет издавать звенящие звуки. Хотя это и незаметно, палец движется прерывисто и передает стеклу энергию короткими порциями, заставляя бокал вибрировать

Стенки бокала также начинают вибрировать, если на него направить звуковую волну с частотой, равной его собственной. Если амплитуда станет очень большой, то бокал может даже разбиться. По причине резонанса при пении Ф.И.Шаляпина дрожали (резонировали) хрустальные подвески люстр. Возникновение резонанса можно проследить и в ванной комнате. Если вы будете негромко пропевать звуки разной частоты, то на одной из частот возникнет резонанс.

В музыкальных инструментах роль резонаторов выполняют части их корпусов. Человек также имеет собственный резонатор — это полость рта, усиливающая издаваемые звуки.

Явление резонанса необходимо учитывать на практике. В одних явлениях он может быть полезен, в других — вреден. Резонансные явления могут вызывать необратимые разрушения в различных механических системах, например, неправильно спроектированных мостах. Так, в 1905 году рухнул Египетский мост в Санкт-Петербурге, когда по нему проходил конный эскадрон, а в 1940 — разрушился Такомский мост в США.

Явление резонанса используется, когда с помощью небольшой силы необходимо получить большое увеличение амплитуды колебаний. Например, тяжелый язык большого колокола можно раскачать, действуя сравнительно небольшой силой с частотой, равной собственной частоте колебаний колокола.

Тема №5659 Задания по физике Механические колебания и волны 25 вариантов


Вариант № 1
1. Материальная точка совершает колебания по закону x = Asinωt.
В некоторый момент времени смещение х1 точки от положения
равновесия оказалось равным 5 см. Когда фаза колебания увеличилась
вдвое, смещение х2 стало равным 8 см. Найдите амплитуду А колебаний.
Ответ представьте в сантиметрах и округлить до
десятых.[ 2 2 2
1 1 2 A x x x = − = 2 4 8,3 см ]
2. Чашка пружинных весов массой m1 = 1 кг совершает вертикальные
гармонические колебания с амплитудой А = 0,25 м. Когда чашка
находилась в крайнем нижнем положении, на нее поместили груз массой
m2 = 2,5 кг. В результате колебания прекратились. Определите
первоначальную циклическую частоту ω колебаний чашки.
 [ ( )
1
2 1 m g m A 9,8 c− ω = = ]
3. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1=5 мин уменьшилась в
два раза. За какое время t2, считая от начального момента, амплитуда
уменьшится в восемь раз? [15 мин]
4. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии.
Амплитуда A колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки,
удаленной от источника на х = ¾λ, в момент, когда от начала колебаний
прошло время t=0,9 Т? [5,88 м]
Вариант № 2
1. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной l = 1 м, описывает окружность в
горизонтальной плоскости (конический маятник). Найдите период T обращения
шарика, если маятник находится в лифте, движущемся с ускорением а = 5 м/с
2
,
направленным вниз. Нить составляет с вертикальным направлением угол α = 60°.
 [
cos 2 2 с
l
T
g a
α
= π =

]
2. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,
выражаемых уравнениями: x = A1cosωt; y = A2sin(ωt/2), где А1 = 2 см; А2 = 3 см.
Найдите уравнение траектории y = f(x) движения и постройте её, указав направление
движения. [ 1
2
1
2
3 см
2 4
A x x y A
A
− −
= = ]
3. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен,
прогнулась на h=1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может
возникнуть опасность резонанса? [16 c-1]
4. Две точки находятся на расстоянии ∆х=50 см друг от друга на прямой, вдоль которой
распространяется волна со скоростью ϑ=50 м/с. Период Т колебаний равен 0,05 с.
Найти разность фаз ∆ϕ колебаний в этих точках. [1,26 рад] 
Вариант № 3
1. Найдите циклическую частоту ω гармонических синусоидальных
колебаний частицы, если при отклонениях x1 = 1 см и x2 = 2 см от
положения равновесия ее скорость равна соответственно υ1 = 10 см/c и
υ2 = 6 см/c. [ ( ) ( )
2 2 2 2 1
1 2 2 1 υ υ x x 4,5 с
− ω = − − = ]
2. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина
растянулась на х=9 см. Каков будет период Т колебаний грузика, если его
немного оттянуть вниз и затем отпустить? [0,6 c]
3. За время t=8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в
три раза. Определить коэффициент затухания β. [0,0023 с
-1]
4. Определить разность фаз ∆ϕ колебаний источника волн, находящегося в
упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на х=2 м от источника.
Частота v колебаний равна 5 Гц; волны распространяются со скоростью
ϑ=40 м/с. [1,57 рад]
Вариант № 4
1. Определите, на какое время ∆t будут отставать за сутки (t = 24 ч)
маятниковые часы, выверенные на уровне моря, если их поднять на
высоту h, равную 4 км. [∆t = th/Rз
 = 54 с, где Rз
 – радиус Земли]
2. Тело совершает гармонические колебания частотой ν = 2 Гц и начальной
фазой ϕ0 = π/6. Определите минимальный промежуток времени t, по
истечении которого после начала колебаний кинетическая энергия тела
будет равна потенциальной. [ 0
4
0,02 с
2πν
t
π − ϕ
= = ]
3. Вагон массой т=80 т имеет четыре рессоры. Жесткость пружин каждой
рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости υ вагон начнет сильно
раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина l рельса равна 12,8
м? [10,2 м/с]
4. Волна распространяется в упругой среде со скоростью υ=100 м/с
Наименьшее расстояние ∆х между точками среды, фазы колебаний
которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту v колебаний.
[50 Гц] 
Вариант № 5
1. Путь, равный амплитуде, совершающая гармонические колебания точка
проходит от положения равновесия за четверть периода. Найдите отно-
шение путей, которые проходит точка за первую и вторую половины
этого времени. Начальная фаза колебания равна нулю. Ответ округлите до
десятых. [2,4]
2. Шарик массой m = 0,1 кг совершает
синусоидальные колебания на пружине,
прикрепленной к стене. Жесткость
пружины k = 1000 Н/м. На расстоянии,
равном половине амплитуды колебания от
положения равновесия, установили плиту,
от которой шарик упруго отскакивает. Найдите частоту ν колебаний
шарика в этом случае. [ 3 1
24 с
4
k
v
m

= =
π
]
3. Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин
уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний
∆ . [2,31·10-3]
4. Определить скорость υ распространения волны в упругой среде, если
разность фаз ∆ϕ колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на
∆х=10 см, равна π/3. Частота v колебаний равна 25 Гц. [15 м/с]
Вариант № 6
1. Материальная точка совершает колебания по закону х = А⋅sin(ωt), где х −
в метрах, t – в секундах. При фазе π/6 смещение точки от положения
равновесия равно 1 см. Чему равно смещение точки от положения
равновесия при фазе π/2? [0,02 м]
2. Тело совершает гармонические колебания частотой ν = 2 Гц и с
начальной фазой ϕ0 = π/6. Определите время, по истечении которого
после начала колебаний кинетическая энергия тела будет равна
потенциальной. [ 0
/ 4 0,02 с
2
t
v
π − ϕ
= =
π
]
3. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой ν=1000 Гц.
Определить частоту ν0 собственных колебаний, если резонансная частота
νpeз=998 Гц. [1002 Гц]
4. Наблюдатель, находящийся на расстоянии l=800 м от источника звука,
слышит звук, пришедший по воздуху, на ∆t=1,78 с позднее, чем звук,
пришедший по воде. Найти скорость ϑ звука в воде, если температура Т
воздуха равна 350 К. [1,45 км/с]

2
A
Вариант № 7
4 Материальная точка массой 20 г совершает гармонические колебания.
Найдите ускорение точки в момент времени, когда её смещение от
положения равновесия равно 6 см. Начальная фаза колебаний равна нулю.
Жесткость пружины равна 0,18 Н/м. [0,54 м/с
2
]
4 На горизонтальную мембрану нанесен мелкий песок. Мембрана
совершает колебания с частотой ν = 500 Гц в вертикальной плоскости.
Какова амплитуда А колебаний мембраны, если песчинки подпрыгивают
на высоту h = 3 мм по отношению к положению равновесия мембраны?
[
2 2 2
2 2
8
77 мкм
4
v gh g A
v
π −
= =
π
]
3. Логарифмический декремент затухания ∆ камертона, колеблющегося с
частотой ν = 100 Гц, равен 0,002. Через какой промежуток времени
амплитуда колебаний возбужденного камертона уменьшится в n раз
(n = 100)? Во сколько раз изменится при этом энергия колебаний?
[t = ln n/(∆ν) = 23 c; E0/E = e
2ln n
 = 104
]
4 На расстоянии 1088 м от наблюдателя ударяют молотком по стальному
рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к рельсу, услышал звук на 3 с
раньше, чем он дошел до него по воздуху. Найдите скорость звука в
стали. [5440 м/с]
Вариант № 8
1. Два математических маятника имеют периоды колебаний 3 с и
4 с. Найдите период колебаний математического маятника, длина
которого равна сумме длин указанных маятников. [5 с]
2. Однажды барон Мюнхаузен, путешествуя вдоль Северного полюса,
очутился один на отколовшейся плоской льдине площадью S, равной 5 м
2
.
От огорчения он подпрыгнул, и льдина вместе с ним начала колебаться,
совершая одно колебание в секунду. Это его сразу успокоило: зная
собственную массу m, равную 80 кг, он тут же определил, что льдина
достаточно толстая. Какова толщина d льдины? Сопротивлением воды
при колебаниях пренебречь. [
2 2
в
2
л
4
0,26 м
4
gS m v d
v S
ρ − ⋅ π
= =
π ρ
]
3. Определите, на сколько резонансная частота отличается от частоты ν0=l кГц
собственных колебаний системы, характеризуемой коэффициентом затухания
β=400 с
-1. [4,05 Гц]
4. В некоторой среде распространяется волна. За время, в течение которого
частица среды совершает 150 колебаний, волна распространяется на 110
м. Найдите длину волны, [0,7 м] 
Вариант № 9
1. Материальная точка совершает колебания по закону: x = Asin(ωt). В
некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия х1
оказалось равным 5 см. Когда фаза колебания увеличилась вдвое,
смещение х2 стало равным 8 см. Найдите амплитуду колебаний.
 [ 2 2 2
1 1 2 A x x x = − = 2 4 8,3 см ]
2. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600
г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определите массу
первоначально подвешенного груза. [0,2 кг]
3. Логарифмический декремент колебаний ∆ маятника равен 0,003. Определить
число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы
амплитуда уменьшилась в два раза. [231]
4. Температура Т воздуха у поверхности Земли равна 300 К; при увеличении
высоты она понижается на ∆T=7 мК на каждый метр высоты. За какое
время звук, распространяясь, достигнет высоты h=8 км? [24,3 с]
Вариант № 10
1. Материальная точка массой 10 г, подвешенная на пружине жесткостью 9
Н/м, совершает гармонические косинусоидальные колебания с
амплитудой 10 см. Найдите кинетическую энергию точки в момент
времени, когда смещение точки от положения равновесия равно 8 см.
 [16,2 мДж]
2. Математический маятник длиной l = 10 см
совершает колебания вблизи вертикальной
стенки, в которую на расстоянии l1 = 6,4 см
вбит гвоздь Г (рис. 5.9). Найдите период
колебаний такого маятника.
[T l l l g = π + − = ( 1 ) 0,5 c ]
3. Определить логарифмический декремент колебаний ∆ колебательной системы,
для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты
ν0=10 кГц на ∆ν=2 Гц.[0,089]
4 Скорость υ звука в некотором газе при нормальных условиях равна 308
м/с. Плотность ρ газа равна 1,78 кг/м
3
. Определить отношение Сp/Сv для
данного газа. [1,67]

 Г
 l1 l
Рис. 5.9
Вариант № 11
1. Под действием периодической силы материальная точка массой 10 г
совершает гармонические колебания с периодом 0,2 с и амплитудой 4 см.
Найдите наибольшее значение силы в процессе колебаний. [0,4 Н]
2. К пружине динамометра на F = 4 Н (расстояние x между
нулевым и четвертым делениями равно 10 см) был
подвешен груз массой m = 0,1 кг (рис. 5.10). Если
отвести груз до отметки F1 = 2 Н, а затем отпустить, то к
какому делению x1 будет ближе всего находиться
указатель динамометра через время t, равное 0,3 с.
[
1
1
( )
cos
F mg x F
x t
F mx
−  
= ⋅ =  
 
0,024 м; второе деление]
3. Гиря массой т=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью k=20
Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический
декремент колебаний Θ=0,004. Определить число N полных колебаний,
которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в
n=2 раза. За какое время t произойдет это уменьшение? [173]
4. Определить длину λ бегущей волны, если в стоячей волне расстояние l
между: 1) первой и седьмой пучностями равно 15 см; 2) первым и
четвертым узлом равно 15 cм. [1) 5 см; 2) 10 см]
Вариант № 12
1. От груза, висящего на пружине, жесткость которой равна 50 Н/м, отрывается масса в
50 г. Найдите амплитуду колебаний оставшейся части груза. [1 см]
2. На двух вращающихся в противоположные
стороны валиках лежит горизонтально
доска, как показано на рис. 5.11.
Расстояние l между осями валиков равно
2 м. Коэффициент трения µ между доской
и каждым валиком равен 0,1. В начальный
момент доска была положена так, что ее
центр масс был смещен на некоторое
расстояние x от средней линии ОО.
Покажите, что доска будет совершать гармонические колебания и найдите
циклическую частоту колебаний.
 [ 1
2 1 c g l − ω = µ = ]
3. Период Т0 собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Т
того же маятника стал равным 0,56 с. Определить резонансную частоту ν peз колебаний. [1,75 c-1]
4. Поезд проходит мимо станции со скоростью u=40 м/с. Частота v0 тона гудка
электровоза равна 300 Гц. Определить кажущуюся частоту v тона для человека,
стоящего на платформе, в двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется.
[341 Гц]

0
1
2
3
4
m
Н
Рис. 5.10
О
О
Рис. 5.11 
Вариант № 13
1. Во сколько раз увеличится полная механическая энергия
математического маятника при уменьшении его длины в 4 раза и
увеличении амплитуды колебаний в 3 раза? [36]
2. Амплитуда А результирующего колебания, получающегося при сложении
двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой
частоты, обладающих разностью фаз ϕ = 60°, равна 6 см. Определите
амплитуду А2 второго колебания, если А1 = 5 см.
[
2 2
1 1
2
4 3
1,65 см
2
A A A
A
− + −
= = ]
3. Найдите разность фаз между смещением и вынуждающей силой при
резонансе смещения, если собственная частота колебаний 1 ω0
50c

= и
коэффициент трения β=5,2 с
-1. [tgα=
2
0
2
ω
2.
β
− α=84º]
4 Резонатор и источник звука частотой v0=8 кГц расположены на одной
прямой. Резонатор настроен на длину волны λ=4,2 см и установлен
неподвижно. Источник звука может перемещаться по направляющим
вдоль прямой. С какой скоростью u и в каком направлении должен
двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны
вызвали колебания резонатора? [120 км/ч; 990 Гц]
Вариант № 14
1. Закон движения материальной точки массой m = 100 г имеет вид: х = 0,1⋅sin(2πt + π/4),
где х – в метрах, t – в секундах. Определите в момент t =
T/4:
1) смещение x точки от положения равновесия;
2) скорость v точки;
3) ускорение a точки. [0,07 м; − 0,44 м/с; 2
−2,79 м/с ]
2 Найдите период T вертикальных гармонических колебаний
тела массой m = 1 кг в системе, изображенной на рис. 5.13.
Жесткость пружин k1 = 300 Н/м и k2 = 500 Н/м, масса
пружин пренебрежимо мала.
[
1 2
1 2
( ) 2 0,46 c m k k T
k k
+
= π = ]
3. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г)
совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r=2·10- 2
кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду Aрез, если амплитудное
значение вынуждающей силы F0=10 мН. [0,1 c-1]
4 Смещение точки от положения равновесия, находящейся на расстоянии x = 4 см от
источника колебаний, через промежуток времени T/3 равно половине амплитуды.
Определите (в сантиметрах) длину волны и частоту колебаний (в кГц). Волну считать
поперечной (рис. 6.4) и распространяющейся в стали. [16 см; 31,25 кГц]
k1
k2
m
Рис. 5.13
Вариант № 15
1. Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями 2cos π
2
t
x = и
y t = −cos π . Определите уравнение траектории точки. [
2
2
1]
2
x
+ = y
2. Маленький металлический шарик подвешен на нити между
горизонтальными пластинами плоского конденсатора. Период его
колебаний T в отсутствие зарядов равен 0,628 с. После того, как
конденсатор и шарик были заряжены, период колебаний T1 стал равным
0,314 с. Каков будет период колебания, если изменить знак заряда шарика
на противоположный? [ 2 2
2 1 1 T TT T T = − = 2 0, 44 с ]
3. Тело массой т=5 г совершает затухающие колебания. В течение времени
t=50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент
сопротивления b. [9,16·10-5
кг/с]
4. Поезд движется со скоростью u=120 км/ч. Он дает свисток длительностью
τ0=5 с. Какова будет кажущаяся продолжительность τ свистка для
неподвижного наблюдателя, если: 1) поезд приближается к нему; 2)
удаляется? Принять скорость звука равной 348 м/с. [1) 4,5 с ; 2) 5,5 с]
Вариант № 16
1. Материальная точка массой 20 г, подвешенная на пружине жесткостью
12,5 Н/м, совершает гармонические синусоидальные колебания с
амплитудой 10 см. Найдите модуль скорости точки в момент времени,
когда смещение точки от положения равновесия равно 6 см. [2 м/с]
2. Два одинаковых небольших шарика, имеющих одинаковые заряды
q = 400 нКл, соединены легкой пружиной и находятся на гладкой
горизонтальной поверхности. Шарики колеблются так, что расстояние
между ними изменяется от x1 = 2 см до x2 = 8 см. Найдите жесткость
пружины, если ее длина x0 в свободном состоянии равна 4 см. Пружина не
заряжена и электроизолирована от шариков.
[
2
0 1 2 1 2 0
2
90 Н/м
4 ( 2 )
q
k
x x x x x
= =
πε + −
]
3. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом
сопротивления r=1 г/с. Считая затухание малым, определить амплитудное
значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда Aрез=0,5 см и частота
ν 0 собственных колебаний равна 10 Гц. [0,314 мН]
4. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона
звукового сигнала меняется скачком. Определить относительное
изменение частоты ∆v/v, если скорость и поезда равна 54 км/ч. [0,09] 
Вариант № 17
1. Найдите круговую частоту гармонических колебаний частицы, если на
расстояниях x1 = 1 см и x2 = 2 см от положения равновесия ее скорость,
соответственно, равна: υ1 = 10 с м/c и υ2 = 6 см/c.
 [ 2 2 2 2 1
1 2 2 1 (υ υ ) ( ) 4,5 c x x
− ω = − − = ]
2. Определите амплитуду гармонических колебаний материальной точки,
если её полная энергия равна 0,04 Дж, а действующая на нее сила при
смещении, равном половине амплитуды, равна 2 Н. [0,02 м]
3. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т0 собственных
колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний
∆ = 0,628. [1,005 c]
4 Из пункта А в пункт В дважды был послан звуковой сигнал с частотой 50
Гц, причем во второй раз при температуре воздуха на 20 К выше, чем в
первый. Число длин волн, укладывающихся на расстоянии от А до В, во
второй раз оказалось, как и в первый, целым, но на две меньше.
Определите расстояние между пунктами А и В, если при повышении
температуры на 1 К скорость звука увеличивается на 0,5 м/с. Скорость
звука в первом случае равна 330 м/с. [448,8 м]
Вариант № 18
1. На какой угол отклонили математический маятник, состоящий из
медного шарика диаметром 2 см, если на шарик в этом положении
действует возвращающая сила 0,183 Н? [30º]
2. Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной l = 1 м, описывает
окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Найдите
период T обращения шарика, если маятник находится в лифте,
движущемся с ускорением а = 5 м/с
2
, направленным вниз. Нить с
вертикальным направлением составляет угол α = 60°.
[T l g a = π α − = 2 cos 2 c ( ) ]
3. Найдите отношение амплитуды смещения при резонансе к статическому
смещению при малом β (β<<ω0). [ рез

]
a
Q
a
=
4. Смещение от положения равновесия точки среды, в которой
распространяются синусоидальные колебания, находящейся на
расстоянии 4 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/6,
где Т − период колебаний, равно половине амплитуды. Найдите длину
волны. [0,48 м] 
Вариант № 19
1. За некоторое время маятник совершил 120 колебаний. Когда длину
маятника увеличили на 70 см, маятник за то же время совершил 60
колебаний. Найдите конечную длину маятника. [0,93 м]
2. Тело массой m, подвешенное на невесомой пружине, совершает
вынужденные колебания с амплитудой a и частотой ω. Собственная
частота колебаний равна ω0. Найдите среднюю за период механическую
энергию данного осциллятора. [ ( )
2
2 2
0
4
ma E = ω + ω ]
3. Найти число N полных колебаний системы, в течение которых энергия системы
уменьшилась в n=2 раза. Логарифмический декремент колебаний ∆ = 0,01.
 [35]
4. Широкая трубка, закрытая снизу и расположенная вертикально,
наполнена до краев водой. Над верхним отверстием трубки помещен
звучащий камертон, частота v колебаний которого равна 440 Гц. Через
кран, находящийся внизу, воду медленно выпускают. Когда уровень воды
в трубке понижается на ∆h=19,5 см, звук камертона усиливается.
Определить скорость υ звука в условиях опыта. [343 м/с]
Вариант № 20
1. Шарик массой 1 кг свободно падает с высоты 1 м на вертикально распо-
ложенную пружину, сжимающуюся на величину 10 см под действием
удара шарика. Определите жесткость пружины. [2200 Н/м]
2 Тело массой 1 кг скользит по идеальному
горизонтальному полу и растягивает
пружину, с помощью которой он
прикреплен к стене (рис. 5.14). Найдите
наибольшее ускорение тела, если при
нерастянутой пружине его скорость υ
равна 2 м/с. Жесткость пружины 0,25 Н/м.
[
2
max a k m = = υ 1 м/с ]
3. Найдите добротность осциллятора, у которого а) амплитуда смещения
уменьшается в η = 2 раза через каждые n = 110 колебаний; б) собственная
частота ω0 и время релаксации τ. [а) π
500;
ln η
n
Q = = б) Q= 1
2
1 2 2 ω0
τ − =3000]
4 Волна распространяется в упругой среде со скоростью ϑ=100 м/с
Наименьшее расстояние ∆х между точками среды, фазы колебаний
которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту v колебаний.
 [50 Гц]
0 x
υ
Рис. 5.14
Вариант № 21
1. Уравнение колебаний материальной точки имеет вид:
х = 0,05⋅sin(10πt + π/4), где х – в метрах, t – в секундах. Найдите смещение
точки от положения равновесия и амплитуду скорости в момент t = T/4
[0,04 м; 1,57 м/с]
2. Горизонтальная плита совершает колебания в вертикальном направлении
с амплитудой 0,5 м. Каким может быть наименьший период колебаний,
чтобы лежащий на плите предмет не отделялся от нее? [1,4 с]
3. Найдите добротность осциллятора, у которого: а) амплитуда смещения
уменьшается в η = 2 раза через каждые n = 110 колебаний;
б) собственная частота ω0 и время релаксации τ.
[а) 500;
ln
=
η
π
=
n
Q б) 2 2
0
1
1 3000
2
Q = ω τ − = ]
4. Какова мощность точечного изотропного источника звука, если на
расстоянии 25 м от него интенсивность звука равна 20 мВт/м
2
? [157 Вт]
Вариант № 22
1. На горизонтальной плите лежит груз. Плита двигается вниз-вверх,
совершая гармонические колебания с частотой 1 с
−1
. Найдите
минимальную амплитуду, при которой груз оторвется от плоскости.
[0,25 м]
2. Автомобиль массой 1,5 т при движении по ребристой дороге совершает
гармонические колебания в вертикальном направлении с периодом 0,3 с и
амплитудой 15 см. Определите максимальную силу давления,
действующую на каждую из четырех рессор автомобиля. [29 кН]
3. Осциллятор массой m движется по закону x = asinωt под действием силы
Fx
 = F0cosωt. Найти коэффициент затухания осциллятора. [β=
0
0

F
ma
]
4. Найдите отношение интенсивностей 1
J звуковой и 2
J ультразвуковой
волн, распространяющихся в воздухе, если амплитуды колебаний
одинаковы, а длины волн соответственно равны 0,29 м и 6 см. [0,04] 
Вариант № 23
1. Платформа совершает гармонические колебания в горизонтальном
направлении с частотой 0,25 с
−1
. На платформе лежит груз, коэффициент
трения которого о платформу равен 0,1. Какой может быть максимальная
амплитуда колебания, чтобы груз не скользил по ней? [0,4 м
2. Ареометр массой m = 0,2 кг плавает в жидкости. Если его немного
погрузить в жидкость, а затем отпустить, то он начнет совершать
колебания с периодом T = 3,4 с. Считая колебания ареометра
гармоническими и незатухающими, найдите плотность жидкости, в
которой он плавает. Радиус r вертикальной цилиндрической трубки
ареометра равен 5,0 мм. [ρ = 4πm/(gT2
r
2
) = 869 кг/м
3
]
3. Тело совершает крутильные колебания по закону β
α α0
cosω .
t
e t −
= Найдите:
а) угловую скорость αɺ и угловое ускорение ɺɺα телав момент времени t = 0.
[ α 0
ɺ(0) = −βα ;
2 2 α 0
ɺɺ(0) = − α (β ω )]
4. Из пункта А в пункт В дважды был послан звуковой сигнал частотой
v = 100 Гц, причем во второй раз при температуре воздуха на ∆T = 50 К
выше, чем в первый. Число длин волн, укладывающихся на расстоянии от
А до В, во второй раз оказалось, как и в первый, целым, но на две меньше.
Определите расстояние между пунктами А и В, если при повышении
температуры на 1 К скорость звука увеличивается на ∆υ = 0,5 м/с.
Скорость υ звука в первом случае равна 340 м/с. [99 м]
Вариант № 24
1. Подставка совершает гармонические колебания с периодом 5 с.
Находящееся на подставке тело начинает по ней скользить, когда
амплитуда колебаний достигает величины 0,6 м. Найдите коэффициент
трения между телом и подставкой. [0,1]
2. Шарик массой 50 г подвешен на пружине с коэффициентом жесткости
50 Н/м. Шарик поднимают до такого положения, при котором пружина не
напряжена, и отпускают без толчка. Пренебрегая трением и массой
пружины, найдите амплитуду возникших колебаний. [1 см]
3. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при
частотах ω1 = 400 Гц и ω2 = 600 Гц равны между собой. Найдите частоту,
при которой амплитуда смещения максимальна.
 [ ( )
2 2
рез 1 2 ω = ω + ω = 2 510 Гц ]
4. Отбойный молоток создает уровень интенсивности звука L1 = 110 Дб.
Какой уровень интенсивности возникает от десяти таких одинаковых
источников звука? [120 Дб] 
Вариант № 25
1. Точка совершает колебания по закону x A t = sinω . В некоторый момент
времени смещение точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний
увеличилась вдвое, смещение стало равным 8 см. Найдите амплитуду
колебаний. [8,33 см]
2. Тело массой т=4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало
колебания с периодом T1=0,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что
его ось совпала с осью колебаний тела, период T2 колебаний стал равным
1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти
момент инерции J тела относительно оси колебаний. [6,4·10-2
кг·м
2
]
3. К невесомой пружине подвесили грузик и она растянулась на ∆x = 9,8 см.
С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой
толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент
затухания ∆ = .1,3 [T = 4( )
2 2
+ ∆

π
g
x
]
4. Определить скорость υ распространения волны в упругой среде, если
разность фаз ∆ϕ колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на
∆х = 10 см, равна π/3. Частота v колебаний равна 25 Гц. [15 м/с] 

Подставив формулы (2) и (3) в (1), получим

;

Ответ: = 0,023.

Задача 8. Груз массой т = 0,5 кг, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой k = 50 , помещен в масло. Коэффициент трения в маслеr = 0,5 . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по законуН. 1) При какой частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний будет максимальна? 2) Чему равна максимальная амплитуда? 3) Какова амплитуда вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое больше резонансной?

Дано:Решение

т

Максимальной амплитуда колебаний будет при резонансе, т.е. при условии или, еслито.

Сравним величины и .

Собственная частота колебаний груза на пружине

= 0,5 кг

k = 50

r = 0,5

Н

; с-1.

Коэффициент затухания с-1.

Можно считать и тогдас-1.

Амплитуда вынужденных колебаний

;

при резонансе , тогда

м.

Если то

м.

Ответ: = 10 с-1; = 0,4 м;= 0,013 м.

Задача 9. Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х с периодом Т = 10 с и амплитудой А = 5 см. За какое время, считая от начала движения, она пройдет расстояние равное: 1) половине амплитуды, 2) амплитуде. Задачу решить при условии, что начальная фаза 1) и 2)рад.

Дано: Решение

Т

Уравнение смещения при гармоническом колебании

(1)

  1. Если , то уравнение (1) примет вид

= 10 с

А = 5 см = 0,05 м

?  ?

,

при t = 0 х = А, т.е. точка начинает движение из крайнего положения, скорость точки равна нулю. С течением времени координата уменьшается:

, (2)

по условию, тогда , так как, то, откудаи,с.

Подставляя в уравнение (2) , получим, т.е.. Смещение равно нулю, значит точка находится в положении равновесия

, т.е. и,с.

Таким образом, если материальная точка движется из крайнего положения к положению равновесия, то первую половину амплитуды она проходит с меньшей скоростью, скорость увеличивается и при прохождении положения равновесия достигает максимального значения.

2) Начальная фаза , уравнение (1) принимает вид

, (3)

при t = 0 , т.е. точка начинает движение из положения равновесия. Подставляя в уравнение (3) значение, получим, откуда, следовательно, откудаис.

Подставляя в уравнение (3) значение , получим, откудаследовательно,, откудас.

Итак, если материальная точка движется из положения равновесия, то первую половину амплитуды она проходит быстрее, чем вторую, т.е. скорость уменьшается, и в крайнем положении скорость равна нулю. Двигаясь из любого положения, смещение равное амплитуде, точка проходит за время, равное периода.

Ответ: 1) = 1,67 с,с; 2)= 0,83 с,с.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А = 5 см, если за 1 минуту совершается 150 колебаний, начальная фаза колебаний 450.

Ответ: см.

Задача 2. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? х = Asint.

Ответ: .

Задача 3. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая колебания по уравнению , проходит путь от положения равновесия до максимального смещения?

Ответ: t = 1 с.

Задача 4. Амплитуда гармонического колебания 5 см, период 4 с. Найти максимальные значения скорости и ускорения колеблющейся точки.

Ответ: ;.

Задача 5. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, 3 .10-5 Дж, максимальная сила, действующая на тело, 1,5 .10-3 Н. Написать уравнение движения тела, если период колебаний 2 с и начальная фаза 600.

Ответ: м.

Задача 6. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов времени: 1) с; 2)с; 3)с, гдеТ – период колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю. х = Asint.

Ответ: 1)

Задача 7. Чему равно отношение кинетической энергии точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: 1) , гдеА – амплитуда колебаний? Начальная фаза колебаний равна нулю.

Ответ: 1)

Задача 8. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 3 .10-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на точку действует сила 2,25 .10-5 Н?

Ответ: х = 1,5 .10-2 м.

Задача 9*. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями м им.

Ответ: А = 4,6 .10-2 м, = 0,35 рад.

Задача 10. Написать уравнение результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний, направленных по одной прямой и заданных уравнениями м им.

Ответ: м.

Задача 11. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний = 3 см и= 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если 1) колебания совершаются в одном направлении, 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Ответ: 1) А = 7 см; 2) А = 5 см.

Задача12*. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях м им. Найти траекторию движения точки.

Ответ: . Это окружность радиусом 2 м.

Задача 13. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

Ответ: = 0,0023 с-1.

Задача 14*. Уравнение затухающих колебаний дано в виде м. Найти скорость колеблющейся точки в момент времени: 0,Т, 2 Т, 3 Т, 4 Т.

Ответ: = 7,85;= 2,88;= 1,06;= 0,39;= 0,14.

Задача 15*. Математический маятник длиной 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Логарифмический декремент затухания: 1) = 0,01; 2) = 1.

Ответ: = 120 с;= 1,22 с.

Задача 16*. Математический маятник длиной 0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на 5 см, а при втором (в ту же сторону) на 4 см. Найти время релаксации.

Ответ: = 6,4 с.

Задача 17. Амплитуда колебания математического маятника длиной 1 м за 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания. Сколько полных колебаний сделает при этом маятник?

Ответ: = 0,0023, N = 301.

Задача 18. За время 16,1 с амплитуда колебаний уменьшается в пять раз. Найти коэффициент затухания и время релаксации.

Ответ: = 0,1 с-1, = 10 с.

Задача 19*. Тело массой 10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой 7 см и коэффициентом затухания 1,6 с-1. Начальная фаза равна нулю. На тело подействовала внешняя периодическая сила, под действием которой установились вынужденные колебания, уравнение которых см. Найти: 1) уравнение собственных колебаний, 2) уравнение внешней периодической силы.

Ответ: см;Н.

Задача 20. Материальная точка массой 0,01 кг совершает гармонические колебания по закону синуса с периодом 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная энергия колеблющейся точки Дж. Найти: 1) амплитуду колебаний; 2) наибольшее значение силы, действующей на точку; 3) написать уравнение колебаний.

Ответ: А = 0,045 м, F = 4,44Н,м.

Задача 21. Материальная точка массой т = 5 г совершает гармонические колебания с частотой = 0,5 с-1. Амплитуда колебаний А = 3 см. Найти: 1) скорость точки в момент времени, когда смещение х = 1,5 см; 2) максимальную силу, действующую на точку; 3) полную энергию колеблющейся точки.

Ответ: V = 8,2 .10-2,F = 1,49 .10-3 Н, W = 2,2 .10-5 Дж.

Задача 22. Точка колеблется гармонически. Амплитуда колебаний А = 5 см, циклическая частота = 2 с-1, начальная фаза . Определить ускорение точки в момент, когда ее скоростьV = 8 .

Ответ: а = 0,12 .

Задача 23. Точка совершает гармонические колебания по закону синуса. Наибольшее смещение точки 10 см, наибольшая скорость 20 . Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение точки.

Ответ: х = 0,1 sin 2 t м; а = 0,4 .

Задача 24. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см, скорость V = 0,2 и ускорениеа = 0,8 . Начальная фаза колебаний. Найти: 1) амплитуду; 2) циклическую частоту; 3) период колебаний; 4) фазу колебаний в рассматриваемый момент времени.

Ответ: А = 0,07 м; = 4 с-1; Т = 1,57 с; рад.

Задача 25. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени t смещение точки х = 5 см. При увеличении фазы в два раза смещение точки стало = 8 см. Найти амплитуду колебаний.

Ответ: А = 8,3 см.

Задача 26. Материальная точка массой т = 0,05 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид (м). Найти силу, действующую на точку: 1) в момент, когда фаза колебаний = 300; 2) в положении наибольшего отклонения точки.

Ответ: Н;0,125 Н.

Задача 27. Материальная точка массой т = 0,1 г колеблется согласно уравнению м. Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии точки.

Ответ: Н,Дж.

Задача 28. Материальная точка массой т = 0,01 кг совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. Найти возвращающую силу в моментt = 0,1 с и полную энергию точки.

Ответ: F = 0,747 Н, W = 0,125 Дж.

Задача 29. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид см. В момент, когда на точку действовала возвращающая силаН, точка обладала потенциальной энергиейДж. Найти этот момент времениt и соответствующую ему фазу колебания .

Ответ: t = 0,463 с, = 0,927 рад.

Задача 30. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Ответ: = 15 мин.

Задача 31. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника = 0,003. Сколько полных колебаний должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

Ответ: N = 231.

Задача 32*. Гиря массой т = 0,5 кг подвешена к пружине жесткостью k = 20 и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания = 0,004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза? За какое время t произойдет это уменьшение?

Ответ: N = 173, t = 172 с.

Задача 33. Тело массой т = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени t = 50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Определить коэффициент сопротивления.

Ответ: r = 9,16.

Задача 34. Материальная точка колеблется согласно уравнению , гдеА = 5 см и = с-1. Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу t.

Ответ: 1) t = 4 c; 2) t = рад.

Задача 35. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите полную энергиюЕ этой точки.

Ответ: Е = 15,8 мДж.

Задача 36. Полная энергия Е гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период Т колебаний равен 4 с, а начальная фаза .

Ответ: , м.

Задача 37. Определите отношение кинетической энергии Т точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебаний.

Ответ: .

Задача 38. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия Tmax груза составляет 0,8 Дж.

Ответ: k = 250 .

Задача 39. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А1 = 4 см и А2 = 8 см имеют разность фаз = 45. Определите амплитуду результирующего колебания.

Ответ: А = 11,2 см.

Задача 40. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз 60, равна А = 6 см. Определите амплитуду А2 второго колебания, если А1 = 5 см.

Ответ: А2 = 1,65 см.

Задача 41. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = = 5 см составляет . Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

Ответ: , см.

Задача 42. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями , см и, см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

Ответ: 1) А = 5,54 см; 2) = ; 3), см.

Задача 43. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями и, гдеА, В и — положительные постоянные. Определите уравнение траектории точки, вычертите ее с нанесением масштаба, указав направление ее движения по этой траектории.

Ответ: , по часовой стрелке.

Задача 44. Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания .

Ответ: = 5,7810-3 с-1.

Задача 45. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определите, во сколько раз она уменьшится за 4 мин.

Ответ: .

15.6 Вынужденные колебания | Университетская физика, том 1,

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить вынужденные колебания
  • Перечислить уравнения движения, связанные с вынужденными колебаниями
  • Объясните понятие резонанса и его влияние на амплитуду осциллятора
  • Перечислить характеристики системы, колеблющейся в резонансе

Сядьте как-нибудь перед пианино и спойте на нем короткую громкую ноту, не снимая демпферов со струн ((Рисунок)).Он пропоет вам ту же ноту — струны, имеющие те же частоты, что и ваш голос, резонируют в ответ на силы звуковых волн, которые вы им послали. Это хороший пример того факта, что объекты — в данном случае струны фортепиано — можно заставить колебаться, и колебаться легче всего на их собственной частоте. В этом разделе мы кратко исследуем применение периодической движущей силы, действующей на простой гармонический осциллятор. Движущая сила вводит энергию в систему с определенной частотой, не обязательно такой же, как собственная частота системы.Напомним, что собственная частота — это частота, с которой система будет колебаться, если бы не было движения и демпфирующей силы.

Рисунок 15.28 Вы можете заставить струны пианино вибрировать, просто создавая звуковые волны своим голосом.

Большинство из нас играли с игрушками, в которых использовался предмет, поддерживаемый на резинке, что-то вроде шарика, подвешенного на пальце (рисунок). Представьте, что палец на рисунке — это ваш палец. Сначала вы держите палец ровно, а мяч подпрыгивает вверх и вниз с небольшим демпфированием.Если вы медленно двигаете пальцем вверх и вниз, мяч будет следовать за ним, не подпрыгивая сам по себе. Когда вы увеличиваете частоту, с которой вы двигаете пальцем вверх и вниз, мяч реагирует колебаниями с возрастающей амплитудой. Когда вы ведете мяч с собственной частотой, колебания мяча увеличиваются по амплитуде с каждым колебанием, пока вы им управляете. Явление возбуждения системы с частотой, равной ее собственной частоте, называется резонансом . Говорят, что система, работающая на собственной частоте, резонирует с .По мере того, как частота возбуждения постепенно становится выше, чем резонансная или собственная частота, амплитуда колебаний становится меньше, пока колебания почти не исчезнут, и ваш палец просто перемещается вверх и вниз, практически не влияя на мяч.

Рисунок 15.29 Шарик на резиновой ленте перемещается в ответ на палец, поддерживающий его. Если палец движется с собственной частотой [латекс] {f} _ {0} [/ латекс] мяча на резиновой ленте, то достигается резонанс, и амплитуда колебаний мяча резко возрастает.На более высоких и более низких частотах движения энергия передается к шару менее эффективно, и он отвечает колебаниями с меньшей амплитудой.

Рассмотрим простой эксперимент. Присоедините груз м к пружине в вязкой жидкости, аналогично устройству, описанному в демпфирующем гармоническом осцилляторе. На этот раз вместо фиксации свободного конца пружины прикрепите свободный конец к диску, который приводится в движение двигателем с регулируемой скоростью. Двигатель вращается с угловой частотой вращения [латекс] \ омега [/ латекс].Вращающийся диск обеспечивает систему энергией за счет работы движущей силы [латекс] ({F} _ {\ text {d}} = {F} _ {0} \ text {sin} (\ omega t)) [/латекс]. Экспериментальная установка представлена ​​на (Рисунок).

Рисунок 15.30 Принудительное, затухающее гармоническое движение, создаваемое движением пружины и массы с помощью диска, приводимого в движение двигателем с регулируемой скоростью.

Используя второй закон Ньютона [латекс] ({\ overset {\ to} {F}} _ {\ text {net}} = m \ overset {\ to} {a}), [/ latex] мы можем анализировать движение массы.{2}}. [/ латекс]

Когда осциллятор приводится в действие периодической движущей силой, движение может казаться хаотичным. Движения осциллятора известны как переходные процессы. После затухания переходных процессов осциллятор переходит в установившееся состояние, в котором движение является периодическим. Через некоторое время стационарное решение этого дифференциального уравнения равно

.

[латекс] x (t) = A \ text {cos} (\ omega t + \ varphi). [/ латекс]

Еще раз, это оставлено как упражнение, чтобы доказать, что это уравнение является решением.{2} [/ latex] является положительным и большим, что делает знаменатель большим, и в результате получается малая амплитуда колебаний массы. Когда частота движущей силы приближается к собственной частоте системы, знаменатель становится малым, а амплитуда колебаний становится большой. Максимальная амплитуда достигается, когда частота движущей силы равна собственной частоте системы [латекс] ({A} _ {\ text {max}} = \ frac {{F} _ {0}} {b \ omega} ) [/ латекс].

(рисунок) показан график зависимости амплитуды затухающего гармонического осциллятора от частоты движущей им периодической силы.Каждая из трех кривых на графике представляет различную величину демпфирования. Все три кривые достигают пика в точке, где частота движущей силы равна собственной частоте гармонического осциллятора. Самый высокий пик или самый высокий отклик — для наименьшего количества демпфирования, потому что демпфирующая сила снимает меньше энергии. Обратите внимание, что, поскольку амплитуда растет с уменьшением демпфирования, доведя это до предела, когда нет демпфирования [латекс] (b = 0) [/ латекс], амплитуда становится бесконечной.

Обратите внимание, что движущая сила с малой амплитудой может вызвать отклик с большой амплитудой. Это явление известно как резонанс. Типичный пример резонанса — родители, толкающие маленького ребенка на качелях. Когда ребенок хочет подняться выше, родитель не отступает, а затем, получив разбег, врезается в ребенка, прилагая большую силу за короткий промежуток времени. Вместо этого родитель прикладывает к ребенку небольшие толчки с правильной частотой, и амплитуда качелей ребенка увеличивается.

Рисунок 15.31 Амплитуда гармонического осциллятора как функция частоты движущей силы. Кривые представляют один и тот же генератор с одинаковой собственной частотой, но с разной степенью демпфирования. Резонанс возникает, когда частота возбуждения равна собственной частоте, а наибольший отклик — при наименьшем затухании. Самый узкий ответ также соответствует наименьшему демпфированию.

Интересно отметить, что ширина резонансных кривых, показанных на (Рисунок), зависит от затухания: чем меньше затухание, тем уже резонанс.Следствием этого является то, что если вы хотите, чтобы управляемый генератор резонировал на очень определенной частоте, вам нужно как можно меньше демпфирования. Например, у радио есть схема, которая используется для выбора конкретной радиостанции. В этом случае генератор с принудительным демпфированием состоит из резистора, конденсатора и катушки индуктивности, которые будут рассмотрены позже в этом курсе. Схема «настроена» на выбор конкретной радиостанции. Здесь желательно, чтобы резонансная кривая была очень узкой, чтобы точно определять частоту выбранной радиостанции.Узость графика и возможность выделить определенную частоту известны как качество системы. Качество определяется как разброс угловой частоты или, что то же самое, разброс частоты на половине максимальной амплитуды, деленный на собственную частоту [латекс] (Q = \ frac {\ text {Δ} \ omega} { {\ omega} _ {0}}) [/ latex], как показано на (Рисунок). Для небольшого демпфирования качество примерно равно [латексу] Q \ приблизительно \ frac {2b} {m} [/ latex].

Рисунок 15.32 Качество системы определяется как разброс частот на половину амплитуды, деленный на собственную частоту.

Эти особенности управляемых гармонических генераторов применимы к огромному количеству систем. Например, магнитно-резонансная томография (МРТ) — широко используемый медицинский диагностический инструмент, в котором атомные ядра (в основном ядра водорода или протоны) заставляют резонировать приходящими радиоволнами (порядка 100 МГц). Во всех этих случаях эффективность передачи энергии от движущей силы к генератору лучше всего при резонансе.(Рисунок) показывает фотографию известного примера (моста Tacoma Narrows) деструктивного воздействия возбужденного гармонического колебания. Мост Миллениум в Лондоне был закрыт на короткое время по той же причине, пока проводились проверки. Наблюдения приводят к модификации моста до его открытия.

Рисунок 15.33 В 1940 году обрушился мост Такома-Нэрроуз в штате Вашингтон. Умеренно сильный, переменный поперечный ветер (намного медленнее, чем ветер ураганной силы) заставлял мост колебаться на его резонансной частоте.Демпфирование уменьшилось, когда опорные тросы оторвались и начали скользить по башням, что привело к увеличению амплитуды до тех пор, пока конструкция не разрушилась.

Проверьте свое понимание

В известном фокусе исполнитель поет ноту в сторону хрусталя, пока стекло не разобьется. Объясните, почему этот трюк работает с точки зрения резонанса и собственной частоты.

Показать решение

Исполнитель должен петь ноту, соответствующую собственной частоте стекла.Когда звуковая волна направлена ​​на стекло, стекло резонирует с той же частотой, что и звуковая волна. Когда в систему вводится достаточно энергии, стекло начинает вибрировать и в конечном итоге разбивается.

Сводка

  • Собственная частота системы — это частота, с которой система колеблется, если на нее не действуют движущие или демпфирующие силы.
  • Периодическая сила, управляющая гармоническим осциллятором на его собственной частоте, вызывает резонанс. Говорят, что система резонирует.
  • Чем меньше демпфирование в системе, тем выше амплитуда вынужденных колебаний вблизи резонанса. Чем больше демпфирование у системы, тем более широкий отклик она имеет на изменение частот движения.

Ключевые уравнения

Концептуальные вопросы

Почему солдатам обычно приказывают «шагать шагом» (идти не в ногу) через мост?

Как вы думаете, есть ли в физическом мире гармоническое движение, которое не является затухающим гармоническим движением? Попробуйте составить список из пяти примеров незатухающего гармонического движения и затухающего гармонического движения.Какой список было легче составить?

Показать решение

Все гармоническое движение — это гармоническое движение с затуханием, но затухание может быть незначительным. Это происходит из-за сил трения и сопротивления. Легко привести пять примеров демпфированного движения: (1) Масса, колеблющаяся на подвеске на пружине (в конце концов, останавливается). (2) Амортизаторы в машине (к счастью, они тоже останавливаются). (3) Маятник — это напольные часы (веса добавляются, чтобы добавить энергии колебаниям). (4) Ребенок на качелях (в конце концов приходит в состояние покоя, если не добавляется энергии, толкая ребенка).(5) Мрамор, катящийся в чаше (в конце концов останавливается). Что касается незатухающего движения, то даже масса на пружине в вакууме в конечном итоге остановится из-за внутренних сил в пружине. Демпфирование может быть незначительным, но его нельзя устранить.

Некоторые инженеры используют звук для диагностики проблем с производительностью автомобильных двигателей. Иногда часть двигателя проектируется так, чтобы резонировать с частотой двигателя. Нежелательные колебания могут вызвать шум, который раздражает водителя или может привести к преждевременному выходу детали из строя.В одном случае была обнаружена деталь длиной L , изготовленная из материала массой M . Что можно сделать, чтобы исправить эту проблему?

Проблемы

Сколько энергии должны рассеять амортизаторы автомобиля массой 1200 кг, чтобы погасить отскок, изначально имеющий скорость 0,800 м / с в положении равновесия? Предположим, автомобиль возвращается в исходное вертикальное положение.

Если автомобиль имеет систему подвески с силовой постоянной [латекс] 5.{4} \, \ text {N / m} [/ latex], сколько энергии должны отводить амортизаторы автомобиля, чтобы гасить колебания, начиная с максимального смещения 0,0750 м?

(a) Насколько пружина с силовой константой 40,0 Н / м будет растянута объектом массой 0,500 кг, когда она неподвижно подвешена на пружине? (b) Рассчитайте уменьшение гравитационной потенциальной энергии объекта весом 0,500 кг, когда он спускается на это расстояние. (c) Часть этой гравитационной энергии уходит в пружину. Вычислите энергию, запасенную в пружине на этом участке, и сравните ее с потенциальной энергией гравитации.Объясните, куда может уйти остальная энергия.

Предположим, у вас есть объект весом 0,750 кг на горизонтальной поверхности, соединенный с пружиной, имеющей силовую константу 150 Н / м. Между объектом и поверхностью возникает простое трение со статическим коэффициентом трения [латекс] {\ mu} _ {\ text {s}} = 0,100 [/ latex]. а) Как далеко можно растянуть пружину, не перемещая массу? (b) Если объект приводится в колебание с амплитудой, вдвое превышающей расстояние, указанное в части (a), и кинетический коэффициент трения [латекс] {\ mu} _ {\ text {k}} = 0.{-2} \, \ text {m} [/ latex]

Дополнительные проблемы

Предположим, вы прикрепляете объект массой м к вертикальной пружине, первоначально находящейся в состоянии покоя, и позволяете ему подпрыгивать вверх и вниз. Вы высвобождаете объект из состояния покоя на исходной длине покоя пружины, длине пружины в состоянии равновесия, без прикрепленной массы. Амплитуда движения — это расстояние между положением равновесия пружины без прикрепленной массы и положением равновесия пружины с прикрепленной массой.(а) Покажите, что пружина оказывает восходящее усилие 2,00 мг на объект в его самой нижней точке. (b) Если пружина имеет силовую константу 10,0 Н / м, она подвешена горизонтально, а положение свободного конца пружины отмечено как [латекс] y = 0,00 \, \ text {m} [/ latex] , где новое положение равновесия, если на пружине подвешен объект массой 0,25 кг? (c) Если пружина имеет силовую постоянную 10,0 М / м и объект массой 0,25 кг приводится в движение, как описано, найдите амплитуду колебаний.(d) Найдите максимальную скорость.

Дайвер на трамплине проходит SHM. Ее масса 55,0 кг, период движения 0,800 с. Следующий дайвер — мужчина, период простых гармонических колебаний которого составляет 1,05 с. Какова его масса, если масса доски ничтожно мала?

Предположим, что доска для прыжков в воду, на которой никого нет, подпрыгивает вверх и вниз в SHM с частотой 4,00 Гц. Доска имеет полезную массу 10,0 кг. Какова частота ГИМ у дайвера массой 75,0 кг на доске?

Устройство, изображенное на следующем рисунке, развлекает младенцев, не позволяя им блуждать.Ребенок подпрыгивает в ремне безопасности, подвешенном к дверной коробке с помощью пружины. а) Если пружина тянется на 0,250 м, поддерживая ребенка весом 8,0 кг, какова ее постоянная сила? б) Сколько времени на один полный прыжок этого ребенка? (c) Какова максимальная скорость ребенка, если амплитуда его прыжка составляет 0,200 м?

Рисунок 15.34 (предоставлено Лизой Доенерт)

Показать решение

а. 314 Н / м; б. 1,00 с; c. 1,25 м / с

Гирю помещают на горизонтальный стол без трения.На стол кладут пружину [латекс] (k = 100 \, \ text {N / m}) [/ latex], которую можно растягивать или сжимать. К одному концу пружины прикрепляется груз весом 5 кг, другой конец прикрепляется к стене. Положение равновесия отмечено нулем. Студент перемещает массу в [латекс] x = 4.0 \ text {cm} [/ latex] и отпускает ее из состояния покоя. Масса колеблется в SHM. (а) Определите уравнения движения. (b) Найдите положение, скорость и ускорение массы в момент времени [latex] t = 3.00 \, \ text {s} \ text {.{\ text {2}} [/ latex], если он точно держит время на Земле? То есть найдите время (в часах), за которое часовая стрелка часов совершает один оборот на Луне.

Если часы с маятниковым приводом показывают 5,00 с / день, какое дробное изменение длины маятника необходимо сделать, чтобы он шел точно по времени?

Показать решение

Длина должна увеличиться на 0,0116%.

Объект массой 2,00 кг висит в неподвижном состоянии на веревке длиной 1,00 м, прикрепленной к потолку. 100-граммовая гиря стреляет со скоростью 20 м / с на 2.00 кг, а масса 100,00 г идеально упруго сталкивается с массой 2,00 кг. Напишите уравнение движения висящей массы после столкновения. Предположим, что сопротивление воздуха незначительно.

Объект массой 2,00 кг висит в неподвижном состоянии на веревке длиной 1,00 м, прикрепленной к потолку. Объект весом 100 г выстреливается со скоростью 20 м / с по объекту весом 2,00 кг, и два объекта сталкиваются и слипаются в совершенно неупругом столкновении. Напишите уравнение движения системы после столкновения.{-1} т) [/ латекс]

Предположим, что маятник, используемый для привода напольных часов, имеет длину [латекс] {L} _ {0} = 1,00 \, \ text {m} [/ latex] и массу M при температуре [латекс] T = 20.00 \ text {°} \ text {C} \ text {.} [/ Latex] Его можно смоделировать как физический маятник, как стержень, колеблющийся вокруг одного конца. На какой процент изменится период, если температура увеличится на [латекс] 10 \ text {°} \ text {C}? [/ latex] Предположим, что длина стержня изменяется линейно с температурой, где [latex] L = {L} _ {0} (1+ \ alpha \ text {Δ} T) [/ latex] и стержень сделан из латунь [латекс] (\ alpha = 18 \, × \, {10} ^ {- 6} \ text {°} {\ text {C}} ^ {- 1}).[/ латекс]

Блок массой 2,00 кг покоится на столе без трения. Пружина с жесткостью пружины 100 Н / м крепится к стене и к блоку. Второй блок весом 0,50 кг помещается поверх первого блока. Блок весом 2,00 кг осторожно перемещают в положение [латекс] x = + A [/ латекс] и снимают с места. Между двумя блоками коэффициент трения составляет 0,45. а) Каков период колебаний? (b) Какова наибольшая амплитуда движения, при которой блоки могут колебаться без 0.{5} \, \ text {kg} [/ latex] на пружинах с регулируемыми силовыми постоянными. Его функция заключается в гашении ветровых колебаний здания за счет колебаний с той же частотой, что и здание, — движущая сила передается на объект, который колеблется, а не на все здание. (а) Какая эффективная постоянная силы должна быть у пружин, чтобы заставить объект колебаться с периодом 2,00 с? (б) Какая энергия сохраняется в пружинах при смещении на 2,00 м от положения равновесия?

Показать решение

а.{4} \, \ text {N / m} [/ латекс]

Глоссарий

резонанс
Колебания большой амплитуды в системе, создаваемые движущей силой малой амплитуды, частота которой равна собственной частоте

вынужденных колебаний и резонанса | Физика

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Наблюдайте за резонансом ракетки на струне.
  • Наблюдать за амплитудой затухающего гармонического осциллятора.

Рис. 1. Вы можете вызвать вибрацию струн пианино, просто создав звуковые волны своим голосом. (Источник: Мэтт Биллингс, Flickr)

Сядьте как-нибудь перед пианино и спойте на нем короткую громкую ноту с отключенными демпферами. Он пропоет вам ту же ноту — струны, имеющие те же частоты, что и ваш голос, резонируют в ответ на силы звуковых волн, которые вы им послали. Ваш голос и струны пианино — хороший пример того факта, что объекты — в данном случае струны пианино — можно заставить колебаться, но лучше всего они колеблются на своей собственной частоте.В этом разделе мы кратко рассмотрим применение периодической движущей силы , действующей на простой гармонический осциллятор. Движущая сила вводит энергию в систему с определенной частотой, не обязательно такой же, как собственная частота системы. Собственная частота — это частота, с которой система будет колебаться, если бы не было движения и демпфирующей силы.

Большинство из нас играли с игрушками, в которых использовался предмет, поддерживаемый на резинке, что-то вроде шарика, подвешенного на пальце на Рисунке 2.Представьте, что палец на рисунке — это ваш палец. Сначала вы держите палец ровно, а мяч подпрыгивает вверх и вниз с небольшим демпфированием. Если вы медленно двигаете пальцем вверх и вниз, мяч будет следовать за ним, не подпрыгивая сам по себе. Когда вы увеличиваете частоту, с которой вы двигаете пальцем вверх и вниз, мяч будет колебаться с возрастающей амплитудой. Когда вы ведете мяч с собственной частотой, колебания мяча увеличиваются по амплитуде с каждым колебанием, пока вы им управляете.Явление возбуждения системы с частотой, равной ее собственной частоте, называется резонансом . Говорят, что система, работающая на собственной частоте, резонирует с . По мере того, как частота возбуждения постепенно становится выше, чем резонансная или собственная частота, амплитуда колебаний становится меньше, пока колебания почти не исчезнут, и ваш палец будет просто перемещаться вверх и вниз, практически не влияя на мяч.

Рис. 2. Шарик на резиновой ленте перемещается в ответ на палец, поддерживающий его.Если палец движется с собственной частотой f0 мяча на резиновой ленте, то достигается резонанс, и амплитуда колебаний мяча резко возрастает. На более высоких и более низких частотах движения энергия передается к шару менее эффективно, и он отвечает колебаниями с меньшей амплитудой.

На рис. 3 показан график зависимости амплитуды затухающего гармонического осциллятора от частоты движущей им периодической силы. На графике есть три кривые, каждая из которых представляет разную величину демпфирования.Все три кривые достигают пика в точке, где частота движущей силы равна собственной частоте гармонического осциллятора. Самый высокий пик или самый высокий отклик — для наименьшего количества демпфирования, потому что демпфирующая сила снимает меньше энергии.

Рис. 3. Амплитуда гармонического осциллятора как функция частоты движущей силы. Кривые представляют один и тот же генератор с одинаковой собственной частотой, но с разной степенью демпфирования. Резонанс возникает, когда частота возбуждения равна собственной частоте, а наибольший отклик — при наименьшем затухании.Самый узкий ответ также соответствует наименьшему демпфированию.

Интересно, что ширина резонансных кривых, показанных на рисунке 3, зависит от затухания: чем меньше затухание, тем уже резонанс. Суть в том, что если вы хотите, чтобы управляемый генератор резонировал на очень определенной частоте, вам нужно как можно меньше демпфирования. Небольшое демпфирование характерно для струн фортепиано и многих других музыкальных инструментов. И наоборот, если вам нужны колебания малой амплитуды, например, в системе подвески автомобиля, вам нужно сильное демпфирование.Сильное демпфирование снижает амплитуду, но компромисс заключается в том, что система реагирует на большем количестве частот.

Эти особенности управляемых гармонических генераторов применимы к огромному количеству систем. Например, когда вы настраиваете радио, вы настраиваете его резонансную частоту так, чтобы оно колебалось только на радиовещательной (движущей) частоте желаемой радиостанции. Чем более избирательно радио различает станции, тем меньше его демпфирование. Магнитно-резонансная томография (МРТ) — широко используемый медицинский диагностический инструмент, в котором атомные ядра (в основном ядра водорода) заставляют резонировать приходящими радиоволнами (порядка 100 МГц).Ребенок на качелях приводится в движение родителями на собственной частоте качелей для достижения максимальной амплитуды. Во всех этих случаях эффективность передачи энергии от движущей силы к генератору лучше всего при резонансе.

Рис. 4. В 1940 году обрушился мост через Такома в штате Вашингтон. Сильный поперечный ветер приводил мост к колебаниям на его резонансной частоте. Демпфирование уменьшалось, когда опорные тросы разрывались и начинали скользить по опорам, что увеличивало амплитуду до разрушения конструкции (кредит: PRI’s Studio 360, через Flickr)

Неровности и гравийные дороги доказывают, что даже система подвески автомобиля не застрахована от резонанса.Несмотря на тщательно спроектированные амортизаторы, которые обычно преобразуют механическую энергию в тепловую почти так же быстро, как она приходит, лежачие полицейские по-прежнему вызывают колебания большой амплитуды. На гравийных дорогах с рифленым покрытием вы, возможно, заметили, что если вы едете с «неправильной» скоростью, неровности очень заметны, тогда как на других скоростях неровности вообще могут быть не ощутимы. На рисунке 4 показана фотография известного примера (моста Tacoma Narrows Bridge) деструктивного воздействия возбужденного гармонического колебания.Мост Миллениум в Лондоне был закрыт на короткое время по той же причине, пока проводились проверки.

В нашем организме грудная полость является ярким примером системы, находящейся в резонансе. Диафрагма и грудная стенка вызывают колебания грудной полости, в результате чего легкие раздуваются и сдуваются. Система критически демпфирована, и мышечная диафрагма колеблется с резонансным значением для системы, что делает ее высокоэффективной.

Проверьте свое понимание

В известном фокусе исполнитель поет ноту в сторону хрусталя, пока стекло не разобьется.Объясните, почему этот трюк работает с точки зрения резонанса и собственной частоты.

Решение

Исполнитель должен петь ноту, соответствующую собственной частоте стекла. Когда звуковая волна направлена ​​на стекло, стекло резонирует с той же частотой, что и звуковая волна. Когда в систему вводится достаточно энергии, стекло начинает вибрировать и в конечном итоге разбивается.

Сводка раздела

  • Собственная частота системы — это частота, с которой система будет колебаться, если на нее не действуют движущие или демпфирующие силы.
  • Периодическая сила, управляющая гармоническим осциллятором на его собственной частоте, вызывает резонанс. Говорят, что система резонирует.
  • Чем меньше демпфирование в системе, тем выше амплитуда вынужденных колебаний вблизи резонанса. Чем больше демпфирование у системы, тем более широкий отклик она имеет на изменение частот движения.

Концептуальные вопросы

  1. Почему солдатам обычно приказывают «шагать шагом» (идти не в ногу) через мост?

Задачи и упражнения

  1. Сколько энергии должны рассеять амортизаторы автомобиля массой 1200 кг, чтобы погасить отскок, изначально имеющий скорость 0.800 м / с в положении равновесия? Предположим, автомобиль возвращается в исходное вертикальное положение.
  2. Если у автомобиля есть система подвески с силовой константой 5,00 × 10 4 Н / м, сколько энергии должны отводить амортизаторы автомобиля, чтобы гасить колебания, начиная с максимального смещения 0,0750 м?
  3. (a) Насколько пружина с силовой константой 40,0 Н / м будет растянута объектом массой 0,500 кг, когда она неподвижно подвешена на пружине? (б) Рассчитайте уменьшение гравитационной потенциальной энергии 0.Объект весом 500 кг, когда он спускается на это расстояние. (c) Часть этой гравитационной энергии уходит в пружину. Вычислите энергию, запасенную в пружине на этом участке, и сравните ее с потенциальной энергией гравитации. Объясните, куда может уйти остальная энергия.
  4. Предположим, у вас есть объект весом 0,750 кг на горизонтальной поверхности, соединенный с пружиной, имеющей силовую постоянную 150 Н / м. Между объектом и поверхностью существует простое трение со статическим коэффициентом трения μ s = 0.100. а) Как далеко можно растянуть пружину без перемещения груза? (b) Если объект приводится в колебание с амплитудой, вдвое превышающей расстояние, указанное в части (a), и кинетический коэффициент трения составляет μ k = 0,0850, какое общее расстояние он проходит до остановки? Предположим, что он начинается с максимальной амплитуды.
  5. Инженерное приложение. Подвесной мост колеблется с постоянной эффективной силы 1,00 × 10 8 Н / м. (а) Сколько энергии нужно, чтобы заставить его колебаться с амплитудой 0.100 м? (b) Если солдаты маршируют по мосту с частотой, равной собственной частоте моста, и каждую секунду передают 1,00 × 10 4 Дж энергии, сколько времени потребуется, чтобы колебания моста достигли амплитуды от 0,100 м до 0,500 м. .

Глоссарий

собственная частота: частота, с которой система будет колебаться, если бы не было движения и демпфирующих сил

резонанс: явление возбуждения системы с частотой, равной собственной частоте системы

резонируют: система работает на собственной частоте

Избранные решения проблем и упражнения

1.384 Дж

3. (а). 0,123 м; (б). −0,600 Дж; (c). 0,300 Дж. Остальная энергия может уйти в тепло из-за трения и других демпфирующих сил.

5. (а) 5.00 × 10 5 Дж; (б) 1,20 × 10 3 с

Принудительные колебания — обзор

15.3.2.2 Системы с несколькими степенями свободы

Рассмотрим систему, моделируемую массами Н, , пружинами Н, и амортизаторами Н, . Его вынужденные колебания под действием внешних сил N, , P i ( t ) будут управляться линейными уравнениями N типа, показанного в формуле.(15.20):

(15.20) {m1v¨ + c1v̇1 + k11v1 + k12v2 + ⋯ + k1NvN = P1 (t) m2v¨2 + c2v̇2 + k21v1 + k22v2 + ⋯ + k2NvN = P2 (t)… mNv¨N + cNv̇N + cNv̇N + cNv̇N + cNvN + cNvN + c2v2 + k21v1 + k22v2 + + k2NvN = P2 (t) … kN1v1 + kN2v2 + ⋯ + kNNvN = PN (t)

, где k ij — это коэффициенты влияния жесткости и, следовательно, представляет силу на узле i , возникающую в результате единичного смещения узла. j , при этом остальные узлы полностью закреплены.

Будет понятно, что уравнение. (15.20) поддается матричной записи.Расширенные обозначения используются здесь для большей прозрачности. Уравнение (15.20) для более простого случая незатухающей системы принимает следующий вид:

(15.21) [A] {v¨} + [C] {v} = {P}

, где A и C — масса и матрицы жесткости, соответственно, как симметричные, так и определенные положительные.

Члены, содержащие жесткости, как правило, автоматически вычисляются обычными вычислительными программами, или они могут быть оценены по теореме Кастильяно, согласно которой, учитывая потенциальную упругую энергию, E , как функцию v i , это

(15.22) Fi = ∂E∂vi

, где F i — члены жесткости уравнения i -го.

Для простых систем, например, в многоэтажном здании, коэффициенты влияния жесткости рассчитываются непосредственно из жесткости различных этажей. Особенно просто каркасное многоэтажное здание, фермы которого можно считать жесткими по сравнению с колоннами (рис. 15.15). Здесь силы реакции на пол отличны от нуля только для единичного смещения непосредственно соседних этажей (т.т.е. коэффициенты k ij с i и j , разными для более чем одной единицы, равны нулю).

Рисунок 15.15. Здание с жесткими балками.

Первый шаг для решения уравнения. (15.20) является решением связанной системы однородных уравнений в случае нулевого демпфирования:

(15.23) {m1v¨1 + k11v1 + k12v2 + ⋯ + k1NvN = 0m2v¨2 + k21v1 + k22v2 + ⋯ + k2NvN = 0 … MNv¨N + kN1v1 + kN2v2 + ⋯ + kNNvN = 0

Предполагая

(15.24) vi = Visinωt

и

(15,25) {v} = {ϕ} sin (ωt)

Ур. (15.23) имеет неидентично нулевые решения только для N значений пульсации ω (собственных значений), которые можно получить, подставив уравнение. (15.24) в уравнении. (15.23) и вычисляя корни N ассоциированного определителя:

(15.26) | −ω2m1 + k11k12 …… k1N …………………… kN1 …… −ω2mN + kNN |

(15,27) [C] −ω2 [A] ‖ = 0

В соответствии с каждым собственным значением ω i , уравнение.(15.23) может быть решено для получения решений N , V 1 , V 2 ,…, V N , но для постоянной умножения (как для любого набора N однородных уравнений с N неизвестных).

Каждый набор V i идентифицирует режим вибрации конструкции, определяемый

(15.28) Φ1, n, Φ2, n,…, ΦN, n = nthmode.

Моды удовлетворяют соотношениям ортогональности:

(15.29) i = 1NMiΦinΦim = 0; m ≠ n

и

(15.30) ∑j = 1N (∑i = 1Nkj, iΦin) Φjim = 0; m ≠ n

Физически соотношения ортогональности выражают тот факт, что силы инерции или силы упругости каждой моды в целом не работают для смещений другой моды.

Решения общего уравнения [Ур. (15.20)] может быть найден путем наложения смещения каждой моды как линейной комбинации смещений узла в соответствии с режимами N [ Y n ( t ) называется обобщенным координата режима n ]

(15.31) vi (t) = ∑i = 1NΦinYn (t)

(15.32) [x] = | ϕ1 (1) ϕ1 (2) ϕ1 (n) ϕn (n) |

(15,33) {v} = | X | {Y}

Подставляя уравнение. (15.31) в уравнение. (15.20), и с использованием соотношений ортогональности получается набор из N разделенных уравнений [в действительности, только если матрица смещения удовлетворяет определенным условиям (Castellani et al., 2000)]

(15.34) Y¨n + 2ξnωnẎn + ωn2Yn = Pn * (t) Mn *

, где

(15,35) ωn2 = Kn * Mn *

(15,36) Mn * = ∑m1Φin2 (обобщенный массовый режим)

(15.37) Kn * = Φin∑jki, jΦjn (обобщенная жесткость режима)

и

(15,38) Pn * (t) = ∑ΦinPi (t) (обобщенная сила режима)

В случае сейсмического возбуждения это равно

(15.39) Pi (t) = — miv¨g (t)

где v¨g (t) — смещение грунта.

Следовательно,

(15.40) Pn * (t) = — v¨g (t) ∑miΦin

(если возбуждение происходит только в одном направлении, суммирование в уравнении (15.40) включает только члены, относящиеся к этому направлению ) и уравнение. (15.34) становится

(15.41) Y¨n + 2ξnωnẎn + ωn2Y = −v¨g (t) (∑miΦin∑miΦin2)

Члены P n (= ΣmiΦin / ΣmiΦin2) являются коэффициентами или факторами модального участия, которые физически представляют меру работы, выполняемой базовым возбуждением конструкции в режиме n , и, следовательно, меру того, насколько базовое ускорение способно привести конструкцию в вибрацию в соответствии с тем же режимом.

Чтобы судить, достаточно ли количества режимов, рассмотренных в анализе, существует критерий, основанный именно на коэффициентах модального участия.Сумма их квадратов значений, нормированных на Mn *, для каждого направления возбуждения равна общей массе системы M . Критерий утверждает, что для каждого направления возбуждения сумма масс, которые участвуют в j -й моде, заданной как

(15.42) Mj = (∑imiΦij) 2∑imiΦij2Pj2Mj *

, должна быть равна не менее 90% от общей массы системы M = Σ m i . Следовательно, должно быть верно, что Σ j M j > 0.9 M для каждого направления вибрации.

Сравнение ур. (15.41) с аналогичным уравнением [Eq. (15.10)] для системы с одной степенью свободы можно наблюдать полное соответствие членов и, следовательно, уравнение. (15.41) будет иметь такой же вид решения, то есть

(15.43) Yn (t) = — ∑i = 1Nmiϕi, n∑i = 1Nmiϕi, n21ωn∫01e − ξωn (t − τ) v¨g ( t) sinωn (t − τ) dτ

Максимальные значения обобщенных координат моды n и их производных во время землетрясения могут быть получены по спектрам реакции землетрясения для систем с одной степенью свободы, т. е.

(15.44) Yn, max = ∑i = 1Nmiϕi, n∑i = 1Nmiϕi, n2Sd

(15.45) Y¨n, max = ωn2Yn, max

Максимальные значения перемещений и сил узла i будет

(15.46) vi, n; max = ϕi, nYn, max = ϕi, n − ∑i = 1Nmiϕi, n∑i = 1Nmiϕi, n2Sd

(15.47) Fi, n; max = mivi, n; max = miωn2vi, n; max

Чтобы получить значения перемещений, сил и т. используются различные режимы (или другие комбинированные методы).Например, для получения v i :

(15.48) vi = (∑Nvi, n2) 0,5

Таким образом получается хорошая оценка требуемых количеств, поскольку она широко контролируемые, за исключением очень близких друг к другу собственных частот.

Полное руководство по сочетанию модальных значений можно получить из стандартного плана проверки NRC и из специального нормативного руководства USNRC 1.92.

Вышеупомянутые методы основаны на модальном анализе и, следовательно, на предыдущем определении частот и режимов вибрации и последующем вычислении реакции различных режимов на пространственно-временную историю (временная история ускорения грунта) или к дизайнерскому спектру.Эти методы наиболее распространены и действительны в большинстве случаев. Некоторые особые ситуации (например, наличие заметных нелинейностей) требуют прямого интегрирования уравнений движения, обычно выполняемого шаг за шагом.

Простой маятник

Простой маятник

Малоугловая аппроксимация и простое гармоническое движение

При условии малых углов частота и период маятника не зависят от начальной амплитуды углового смещения.Все простые маятники должны иметь одинаковый период независимо от их начального угла (и независимо от их массы). Это простое приближение показано в видеоролике в формате mpeg (48 кБ) слева. Все три маятника совершают одно полное колебание за одно и то же время.
Период для простого маятника не зависит от массы или начального углового смещения, а зависит только от длины L струны и значения напряженности гравитационного поля g , согласно Фильм mpeg слева (39.5 kB) изображены две маятники разной длины.
  • Сколько полных колебаний совершает более короткий (синий) маятник за время одного полного колебания более длинного (черного) маятника?
  • На основании этой информации и определения периода простого маятника, каково соотношение длин двух маятников?

Реальный (нелинейный) маятник

Когда амплитуда углового смещения маятника настолько велика, что приближение малого угла больше не выполняется, тогда уравнение движения должно оставаться в своей нелинейной форме. .Это дифференциальное уравнение не имеет решения в замкнутой форме и должно решаться численно с помощью компьютера. Mathematica очень легко численно решает это дифференциальное уравнение с помощью встроенной функции NDSolve [].
Малая начальная амплитуда
Приближение малых углов справедливо для начальных угловых смещений около 20 ° или меньше. В видеоролике в формате mpeg (0,132 МБ) слева показаны два маятника: черный маятник предполагает линейное малоугловое приближение простого гармонического движения, серый маятник (спрятанный за черным) показывает численное решение фактического нелинейного дифференциального уравнения движения.При малых начальных угловых перемещениях ошибка в приближении малых углов проявляется только после нескольких колебаний.
Большая начальная амплитуда
Когда начальное угловое смещение достаточно велико, что приближение малых углов больше не действует, ошибка между простым гармоническим решением и фактическим решением становится очевидной почти сразу и растет с течением времени. В перемещении mpeg (0,226 МБ) слева темно-синий маятник представляет собой простое приближение, а голубой маятник (изначально скрытый за темно-синим) показывает численное решение нелинейного дифференциального уравнения движения.

Вернуться на страницу демонстрации вибрации и волн

Простое гармоническое движение и резонанс

Движение, которое повторяется в регулярном порядке снова и снова, называется периодическим движением. Как мы поймем, периодическое движение имеет решающее значение для создания музыкальных произведений. тонов.Однако, чтобы начать наш анализ, мы рассмотрим самый основной тип периодических движение называется простым гармоническим движением. Простое гармоническое движение происходит в бесчисленном множестве разные формы в повседневном мире; например, человек подпрыгивает на конце трамплин для прыжков в воду, ребенок на качелях или крутая машина вашего кузена (вы знаете ту, что без толчков), который отскакивает от дороги, как ло-райдер, каждый раз, когда вы наезжаете на кочку.

Физикам нравится простое гармоническое движение (давайте начнем сокращать его SHM), потому что каждое пример SHM основан на том же физическом принципе, и все примеры SHM имеют такое же очень простое математическое описание.

Каков физический принцип? SHM возникает около положения равновесия, когда на массу действует линейная восстанавливающая сила.Линейная восстанавливающая сила — это сила, которая становится все больше по мере отклонения от положения равновесия. Самый лучший Пример этого — пружина. Чем больше вы растягиваете пружину, тем больше прилагается усилие. чтобы вернуть пружине исходную форму.

Какова простая математическая форма движения SHM? Смещение колеблющегося масса изменяется синусоидально (эй, большое слово!) как функция времени.[синусоидальное означает как функция синуса. Вы помните функции синуса и косинуса из своих триггерных классов не так ли?]. Мы не будем слишком много делать с формулой, но вот она:

у = А грех (2пф т)

Что вам нужно знать, так это значение символов в формуле и уметь для идентификации этих параметров в различных примерах SHM.Ниже анимированное изображение это показывает, как смещение простого гармонического осциллятора изменяется со временем. Предупреждение! Я сделал изображение сам, и я не аниматор Уолта Диснея. Предполагается для представления массы на резинке или пружине, а график справа отображает положение y как функция времени t вдоль оси x.

Вот определения параметров, относящихся к SHM:

Амплитуда, А.

Амплитуда колебаний — это максимальное расстояние, на котором колеблющийся объект уходит от положения равновесия. Эта последняя фраза очень важна. Много люди делают ошибку, принимая размах амплитуды синусоидальных колебаний. Неа! это всего лишь расстояние от центра до одной крайности. Итак, на рисунке выше амплитуда колебаний равна 1 (то есть расстояние от положения равновесия от 0 до крайнего предела движения в 1 на графике).

Частота, ф

Частота колебаний — это количество колебаний в секунду. Помнить колебание — это один полный цикл генератора.

Период, т.

Период — это время, за которое осциллятор выполняет один цикл. Так не должно быть большая натяжка, чтобы понять, что частота и период связаны (на самом деле они просто разные способы выражения одной и той же информации).

ф = 1 / т

Ключевой особенностью SHM является то, что период или частота движения не зависят от от амплитуды колебаний. Другими словами, устанавливаю ли я гирю на пружину колеблющиеся с колебаниями большой амплитуды или колебаниями малой амплитуды, период СТМ остается неизменным и зависит только от физической структуры осциллятор.С практической точки зрения этот эффект был использован для создания первого точные часы. Маятник совершает одно колебание за одно и то же время, даже если амплитуда колебаний со временем спадает. Срок не меняется.

Резонанс

Резонанс — еще одно важное понятие в акустике.Мы будем много говорить о резонансе. более подробно в классе, но вот простое описание повседневной простой гармоники осцилляторная система — ребенок на качелях. Для любой длины цепи качелей есть соответствующий собственный период колебаний. (Удивительно, но период колебания не зависит от массы человека, сидящего на качелях.) мы толкаем человека в качели мы инстинктивно даем ему энергию в точном соответствии с естественной частота колебаний, потому что мы даем толчок только тогда, когда колебание проходит только максимальная амплитуда и удаляясь от нас.Хотя мы только раскачиваемся при малых толчках амплитуда колебаний качелей быстро растет. Нам говорят управлять генератором на его резонансной частоте. Если бы мы вместо этого решили подтолкнуть качели на гораздо более высокой частоте, которые мы бы продвигали во множестве разных точки в цикле свинга. Иногда качели двигались в сторону пока мы отталкиваемся, мы противодействуем росту амплитуды качелей.В конечном итоге такое же количество небольших толчков равного размера просто заставит качели двигаться хаотично в небольшой области вокруг равновесия позиция. Это резкое неустойчивое движение, конечно же, действительно может спровоцировать качели! В конечном итоге, если мы введем даже небольшое количество энергии в генератор SHM при его собственной частоте колебаний результатом являются колебания большой амплитуды.

Демпфирование

Демпфирование — это термин, используемый для описания потери энергии с каждым циклом простого гармонический осциллятор. Простой гармонический осциллятор начинается с определенного количества энергии, например, когда мы сжимаем или растягиваем пружину, прикрепленную к массе. В идеальном простом гармоническом осцилляторе эта энергия навсегда останется неизменной. Обратите внимание, что энергия преобразуется между кинетической энергией (энергия, связанная с движущимся масса) и потенциальная энергия (энергия, хранящаяся в неподвижной форме, например, сохраненная в растянутой или сжатой пружине). В реальном мире механическая энергия простой гармонический осциллятор всегда теряется из-за сопротивления воздуха или трения в подшипнике или в пружине. Для слабозатухающего простого гармонического осциллятора дробь потери энергии в каждом цикле невелико и проявляется в небольшом уменьшении амплитуды на каждом последующем колебании.Однако, как мы уже говорили выше, период не меняется. даже в этом слегка приглушенном корпусе.

Проблемы

  1. Маятник совершает 30 полных колебаний за 20 секунд — каков период одного колебания? Какая частота маятника? Какие единицы частоты?

  2. Точка на колеблющейся гитарной струне колеблется простым гармоническим образом.Если вместо этого период колеблющейся струны увеличивался по мере того, как амплитуда колебаний утихла, каковы были бы музыкальные последствия? В частности, будет ли подача нота поднимается, опускается или остается такой же, когда звук затухает?

  3. Простой генератор гармоник имеет собственную частоту 440 Гц.Если силы с следующие периоды управляют осциллятором, который будет производить самую большую амплитуду колебания?

    (а) 0,005 с (б) 0,00227 с (в) 0,00144 с

  4. Частотный диапазон человеческого слуха составляет от 50 Гц до примерно 20 кГц.Каков период колебаний на этих двух крайних частотах? Какие единицы периода? Какие единицы частоты?

  5. Оцените частоту простого гармонического осциллятора в моем не очень профессиональном анимация выше. Используйте часы, чтобы рассчитать время. Не обращайте внимания на числа на оси вдоль оси Нижний.

  6. Собственная частота резонатора Гельмгольца (как у винной бутылки, которую мы исследовали в класс) задается уравнением
    f = v / a / Vl


    где v = 344 м / с — скорость звука, a — площадь отверстия, l — длина шеи, а V — объем окруженного воздуха.

    1. Для определенного корпуса акустической гитары закрытый объем воздуха составляет 0,04 м3, площадь проема 2,5 х 10-3 м2, длина горловины 5 х 10-3 м. Что такое собственная частота этого резонатора Гельмгольца?

    2. Вы хотите увеличить частоту резонанса Гельмгольца для гитары.Как могли бы вы лучше всего выполнить эту задачу?

    3. Электроника, установленная внутри корпуса гитары, уменьшает объем воздуха, поступающего из оригинал 0,04 м3. Приводит ли это уменьшение объема к увеличению или уменьшению в резонансной частоте Гельмгольца?

  7. Какой длины нужно, чтобы маятник имел период 1 с? Помните

    T = 2π √ л / г

    , где g = 9.8 мс-2.

  8. Определите словами термины резонанс, демпфирование, период и частота.

  9. Для слабо затухающего простого гармонического осциллятора, которая из следующих величин изменение со временем

    1. период (б) частота (в) амплитуда (г) запасенная энергия.

  10. Объясните словами, что подразумевается под линейной восстанавливающей силой.
  11. Период нагрузки на пружину определяется уравнением

    T = 2π √ M / K

    Пружина имеет жесткость пружины K = 100 Н / м.Когда неизвестная масса M присоединяется к Пружина системы массирования будет колебаться с частотой 5 Гц. Что такое значение неизвестной массы?

ответов

  1. Период T = 0.66 с. Частота f = 1,5 Гц.
  2. Период увеличения означает уменьшение частоты (и, следовательно, высоты тона).
  3. Собственная частота f = 440 Гц, таким образом, собственный период = 1 / f = 0,00227 с.
  4. Снова T = 1 / f, поэтому для f = 50 Гц T = 0,02 с и для f = 20000 T = 5 x 10-5 с.
  5. Я насчитал 20 колебаний за 31 секунду.T = 31/20 = 1,55 с. f = 1 / T = 0,65 Гц.
  6. (a) 194 Гц (b) Увеличьте площадь отверстия или уменьшите объем, или длина шеи меньше. Наконец, вы можете играть в комнате, наполненной гелием, в которой скорость звука V больше! Однако не забудьте надеть акваланг. (c) Увеличение.
  7. 0,25 м
  8. Резонанс: вибрация большой амплитуды, возникающая при включении осциллятора. на собственной частоте колебаний.
    1. Демпфирование: мера потери энергии за цикл генератора.
    2. Период: время завершения одного колебания.
    3. Частота: количество колебаний в секунду.
  9. (c) и (d) меняются со временем.
  10. Линейная восстанавливающая сила — это сила, действующая в направлении возврата система к ее равновесной конфигурации. Размер силы увеличивается прямо пропорционально расстоянию от положения равновесия.
  11. Из f = 5 Гц мы знаем, что T = 1 / f = 0,2 с. Теперь у нас есть все числа в данном уравнении поэтому мы можем решить, чтобы определить, что M = 0.1 кг.

2.3.3 Колебания при наличии внешней периодической движущей силы

Идеальный корпус.

Пусть внешняя периодическая сила действует на шарик пружинного маятника:

(1)

В этом случае смещение шара из положения равновесия определяется вместо уравнения (2) в главе 2.3.2 по следующей формуле:

(2)

куда .

Решение уравнения (1) при легко записывается как [ 1-3 ]:

(3)

где

Первое слагаемое в (3) описывает свободные колебания, а второе — так называемые вынужденные колебания с амплитудой . Таким образом, при действии движущей силы амплитуда и начальная фаза колебаний зависят не только от начальных условий, но и от силовых параметров.

В крайнем случае частоты а также По совпадению, система не может испытывать периодических колебаний. Координата эволюция во времени будет описываться следующей формулой:

(4)

Такое движение можно рассматривать как колебание, амплитуда которого линейно увеличивается со временем. Явление неограниченного роста амплитуды колебаний под действием периодической внешней силы называется явлением резонанса .

Следует подчеркнуть, что резонансный рост амплитуды вынужденных колебаний неограниченно является идеализацией системы. Во-первых, когда амплитуда колебаний становится достаточно большой, осциллятор, как правило, перестает быть линейным. Во-вторых, при определении уравнения (12) не учитывались силы трения, гасящие колебания. Поэтому последний фактор стоит рассмотреть более подробно.

Вынужденные колебания при наличии трения.

Если движущая сила (1) действует на осциллятор с трением, уравнение движения записывается как:

(5)

куда — коэффициент демпфирования, определенный в , глава 2.3.2 .

Общее решение (5) гласит [ 1-3 ]

(6)

куда — решение уравнения (5) при отсутствии внешней силы (собственные затухающие колебания осциллятора (3) — (5) в , глава 2.3,2 .

Из-за трения условие соблюдаются и собственные колебания затухают: в . Поэтому со временем в системе будут присутствовать только вынужденные колебания, которые описываются вторым слагаемым в (6). Важно понимать, что параметры вынужденных колебаний не зависят от пусковых условий. Параметры этих колебаний: частота равна частоте движущей силы. , амплитуда а также фазовый сдвиг:

(7)

(8)

Как следует из формулы (8), множитель зависит от функции производная следующим образом:

(9)

Рассматриваемый случай отличается от случая вынужденного осциллятора без трения по фазовому сдвигу. между движущей силой и колебаниями.Если частота нагнетания равна собственной частоте, т.е. , фазовый сдвиг равен независимо от степени демпфирования.

Еще одним достаточным следствием затухания является качественное изменение формы резонансной кривой. На рис. 1 показаны отношения и для некоторых характерных значений .

Рис. 1б. Фаза переключение между движущей силой и колебаниями в зависимости от частоты движения (PFC).

Верхняя граница амплитуды вынужденных колебаний (7) определяется выражением

(10)

Соответствующая резонансная частота составляет:

(11)

исходя из предположения . В случае светового затухания ( ) резонансная частота примерно равна собственной частоте генератора . В качестве увеличивается, эта частота смещается в сторону меньших значений (см. рис.1 а ). В , максимум амплитуды вынужденных колебаний соответствует частоте . Фактически это означает, что резонанс исчезает. Ранее указывалось, что режим апериодического затухания свободных колебаний имеет место только в том случае, если . Следовательно, в диапазоне , вынужденные колебания перестают носить резонансный характер, а движение осциллятора остается колебательным.

Как видно из формулы (7), при затухании света амплитуда вынужденных колебаний быстро спадает при удалении частоты от резонансной.В частности, уменьшается раз в следующие ценности:

,

(12)

Количество называется резонансной шириной. На малых его величина . Тогда добротность, определяемая формулой (8) в , глава 2.3.2 , связана с резонансной шириной как:

(13)

Таким образом, ширина резонанса определяется добротностью и собственной частотой. Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше ширина резонансного пика.Как следует из формулы (13), добротность колебательной системы, а также коэффициент демпфирования можно оценить по экспериментальной амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) генератора.


Резюме.

Список литературы.

  1. S.E. Хикин. Механика. — М .: ОГИЗ, 1947. — 574 с.
  2. .
  3. Д.В. Сивухин. Механика. — М .: Наука, 1989. — 576 с.
  4. .
  5. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, конструкции.- М .: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 496 с.
  6. .

Исследование маятников — Science NetLinks

Бен Островский, Маятник Фуко, CC-BY-2.0 через Wikimedia Commons

Назначение

Для понимания взаимосвязи между гравитационными силами и массой объектов, изменениями скорости и направления объектов, а также расстоянием между объектами.


Контекст

Этот урок помогает учащимся понять концепции, связанные с действием гравитационных сил на объекты, путем изучения движения маятников.

Все во вселенной воздействует гравитационными силами на все остальное, хотя эффекты легко заметны только тогда, когда задействована хотя бы одна очень большая масса (например, звезда или планета). Гравитация — это сила, стоящая за падением дождя, сила рек, пульсация приливов; он притягивает материю планет и звезд к их центрам, чтобы сформировать сферы, удерживает планеты на орбите и собирает космическую пыль, образуя звезды.

Считается, что гравитационные силы связаны с гравитационным полем, которое воздействует на пространство вокруг любой массы.Сила поля вокруг объекта пропорциональна его массе и уменьшается по мере удаления от его центра. Например, сила притяжения Земли на человека будет зависеть от того, находится ли человек, скажем, на пляже или далеко в космосе. Изображение космонавта, плывущего в космосе, иллюстрирует эту точку зрения.

Учащиеся уже должны знать, что гравитация Земли притягивает к себе любой объект, не касаясь его. ( Benchmarks for Science Literacy , p. 94.) Отношения между силой и движением теперь могут быть развиты более полно, и можно уделить внимание сложной идее инерции.«У студентов нет проблем с верой в то, что объект в состоянии покоя остается таким, если на него не действует сила. Сложное представление состоит в том, что движущийся объект будет продолжать двигаться, не ослабевая, если на него не действует сила». ( Benchmarks for Science Literacy , p. 90.) Студентам кажется, что вещи вокруг них замедляются сами по себе, если их постоянно не толкать или тянуть. Чем больше у учащихся опыта в наблюдении за эффектом уменьшения трения, тем легче им будет представить себе случай равного нулю трения.

Галилео Галилей был одним из ученых, изучавших гравитационные силы. В конце 1500-х годов Галилей начал изучать поведение падающих тел, широко используя маятники в своих экспериментах для исследования характеристик движения. В то время практически все ученые по-прежнему придерживались мнения Аристотеля о том, что скорость падения пропорциональна весу тела. Галилей показал ошибочность этого вывода на основании того факта, что сопротивление воздуха замедляло падение легких объектов.Галилей смог объединить наблюдение, эксперимент и теорию, чтобы доказать свою гипотезу.

С помощью легко проверяемых экспериментов или демонстраций можно показать, что период (качание) маятника не зависит от его массы. Вместо этого это зависит от длины маятника. Это предполагает, что объекты падают со скоростью, не зависящей от массы. Чем больше величина неуравновешенной силы, тем быстрее изменяется скорость или направление движения данного объекта; чем массивнее объект, тем менее быстро его скорость или направление меняется в ответ на любую заданную силу.

На этом уроке учащиеся изучат веб-сайты с имитацией маятников, где они смогут изменять длину и угол наклона боба и наблюдать за его действием. Затем они построят и протестируют свои собственные системы управляемого падения или маятники для дальнейшего наблюдения и проверки этих теорий.

Подробнее

Мотивация

Задайте студентам следующие вопросы, чтобы получить представление об их текущих знаниях и восприятии маятников.Вам предоставлены ответы на эти вопросы, но пока не ожидайте и не ведите студентов к этим ответам. На этом этапе просто соберите и хорошо запишите текущие идеи студентов; У студентов будет возможность уточнить их после изучения веб-сайта, которое будет показано ниже.

Вопросы, которые нужно задать:

  • Как бы вы определили маятник?
    (Маятник в общих чертах определяется как что-то, свисающее с фиксированной точки, которое при оттягивании и отпускании может свободно качаться вниз под действием силы тяжести, а затем наружу и вверх из-за своей инерции или тенденции оставаться в движении.)
  • Как работает маятник? Какие части у маятника?
    (Простой маятник состоит из массы (называемой бобом), прикрепленной к концу тонкого шнура, который прикреплен к фиксированной точке. Когда масса тянется вверх и отпускается, сила тяжести ускоряет ее обратно до Исходное положение. Импульс, создаваемый ускорением свободного падения, заставляет массу затем качаться в противоположном направлении до высоты, равной исходному положению. Эта сила известна как инерция.)
  • Какой период у маятника?
    (Точка — это одно качание маятника вперед и назад.)
  • Какая частота у маятника?
    (Частота — это количество колебаний вперед и назад за определенный промежуток времени.)
  • Какие переменные влияют на скорость качания маятника?
    (Студенты могут придумать разные ответы, но на этом уроке они будут тестировать следующие четыре:
    • Длина маятника -Изменение длины маятника при сохранении постоянных других факторов изменяет длину периода маятника.Более длинные маятники колеблются с меньшей частотой, чем более короткие маятники, и, следовательно, имеют более длительный период.
    • Начальный угол маятника -Изменение начального угла маятника (как далеко вы его оттянете, чтобы запустить) имеет очень незначительное влияние на частоту.
    • Масса стержня на конце маятника -Изменение массы стержня маятника не влияет на частоту маятника.
    • Сила тяжести — Это ускоряет маятник вниз.Импульс, создаваемый ускорением свободного падения, заставляет массу качаться в противоположном направлении на высоту, равную исходному положению.)

Многие студенты считают, что изменение любой из переменных (длины струны, массы или места, где мы отпускаем маятник) изменит частоту маятника. Прежде чем продолжить, дайте им возможность обсудить и обсудить свои ответы.

  • Где вы видите маятники в повседневной жизни? Чем они полезны?
    (Маятники можно найти в качелях, напольных часах, качелях бейсбольной биты и цирковой трапеции.Маятники полезны для хронометража, потому что изменение длины маятника может изменить частоту.)

После обсуждения предложите учащимся изучить следующие веб-сайты:

После того, как учащиеся изучили эти сайты, просмотрите вместе с ними их список ответов на начальные вопросы о маятниках, уточняя его с учетом текущей информации, основанной на изучении учащимися веб-сайтов. Когда вы просматриваете их ответы на вопрос: «Какие переменные влияют на скорость качания маятника?» не забудьте включить в обсуждение длину, массу, угол и силу тяжести маятника.

Подробнее

Развитие

Начните эту часть урока с того, что скажите студентам, что они будут изучать веб-сайты, чтобы узнать больше о том, как маятники помогают нам узнать о силах гравитации. Во второй части урока студенты будут работать в группах, чтобы построить свои собственные маятники и проверить то, что они наблюдали на веб-сайтах.

Попросите учащихся провести демонстрацию под названием «Маятниковая лаборатория». С помощью этой лабораторной работы студенты могут поиграть с одним или двумя маятниками и узнать, как период простого маятника зависит от длины струны, массы качания маятника и амплитуды качания.

Убедитесь, что они понимают, как проводить эксперимент, сообщив им следующее:

С помощью этой демонстрации вы можете наблюдать, как ведут себя один или два маятника, подвешенных на жестких струнах. Вы можете нажать на боб (объект на конце веревки) и перетащить маятник в исходное положение. Кроме того, вы можете настроить длину и массу маятника, отрегулировав элементы управления в зеленом поле в правой части страницы. Находясь в движении, вы можете приостановить маятник, нажав кнопку «пауза / воспроизведение».Маятник можно вернуть в новое исходное положение, нажав кнопку «Сброс». Вы также можете измерить период, выбрав опцию «таймер фотозатвора» в зеленом поле.

Отметьте, что программа измеряет период или одно колебание маятника вперед и назад.

Спросите студентов:

  • Как изменение длины боба влияет на период?
    (Чем короче длина боба, тем короче будет период.)
  • Как изменение начальной точки или угла влияет на период?
    (Чем меньше угол, тем короче будет период.)
  • Как получить самый короткий период?
    (Уменьшите длину и уменьшите угол.)
  • Как получить самый длительный период?
    (Увеличьте длину и увеличьте угол.)
  • Объясните, почему маятник продолжает двигаться, не останавливаясь и не замедляясь после того, как он приводится в движение.
    (Согласно закону инерции движущееся тело будет продолжать движение, если на него не будет действовать сила.)

Студенты также могут запустить демонстрацию маятника под названием «Незатухающий и неприведенный маятник», которую можно найти на веб-сайте The Pendulum Lab.

Объясните учащимся особенности этой демонстрации:

В этой демонстрации вы можете изменять длину маятника и ускорение свободного падения, вводя числовые значения или перемещая ползунок. Кроме того, вы можете нажать на боб и перетащить маятник в исходное положение. Эта демонстрация позволяет измерить период колебаний маятника.

Для участия в этой демонстрации учащиеся должны выполнить следующие шаги:

  1. Нажмите кнопку «Старт» секундомера как раз в тот момент, когда маятник проходит самую глубокую точку.
  2. Считайте «один», когда он снова пройдет через самую глубокую точку (идя с той же стороны).
  3. Повторяем счет до «десяти». В этот момент следует остановить секундомер. Разделив время на дисплее на десять, получим период колебаний.

Учащиеся также могут измерить частоту маятника или количество возвратно-поступательных движений, которые он совершает за определенный промежуток времени. Подсчитав количество возвратно-поступательных движений за 30 секунд, учащиеся могут напрямую измерить частоту.

Спросите студентов:

  • Что подразумевается под периодом колебаний?
    (Это способ измерения качания маятника вперед и назад.)
  • Как изменение длины боба влияет на период колебаний?
    (Чем больше длина боба, тем больше будет период колебаний.)
  • Что подразумевается под ускорением свободного падения? Всегда ли на Земле ускорение свободного падения одинаково?
    (Ускорение свободного падения — это сила тяжести, действующая на объект.Сила тяжести на Земле всегда будет одинаковой. Сила тяжести на других планетах будет отличаться от силы тяжести Земли.)
  • Как изменение ускорения свободного падения влияет на период колебаний?
    (Увеличение ускорения свободного падения увеличивает период колебаний.)
  • Как изменение начальной точки или угла влияет на период колебаний?
    (Увеличение угла увеличивает период колебаний.)
  • Что произойдет, если запустить маятник в перевернутом положении на 180 градусов?
    (Маятник не двигается.)

На этом этапе ученики должны понять, что гравитационные силы заставляют маятник двигаться. Они также должны понимать, что изменение длины боба или изменение начальной точки повлияет на расстояние падения маятника; и, следовательно, влияют на его период и частоту.


Построение маятника / Проверка падения
Теперь, когда учащиеся имеют представление о переменных, которые влияют на период и частоту маятника, они могут создать свой собственный маятник для проверки этих концепций.

Раздайте каждому ученику экземпляр «Исследуя маятники», который включает прогнозы, материалы, процедуру, таблицу данных и вопросы для анализа.

Разделите учащихся на совместные группы по два или три человека для совместной работы над выполнением этого задания. Как указано, учащиеся сначала будут делать прогнозы, а затем строить и тестировать системы контролируемого падения или маятники, используя перечисленные материалы и следуя указаниям в рабочем листе.

Эта система контролируемого падения представляет собой груз (боб), подвешенный на веревке за фиксированную точку, так что он может свободно качаться под действием силы тяжести.Если боб толкается или тянется в сторону, он не может двигаться только горизонтально, а должен двигаться по окружности, радиус которой равен длине поддерживающей струны. Он должен двигаться как вверх, так и в сторону. Если сейчас отпустить боб, он упадет, потому что сила тяжести тянет его назад. Он не может упасть прямо вниз, но должен следовать по круговой траектории, определяемой его опорой. Это «управляемое падение»: путь всегда один и тот же, его можно воспроизводить раз за разом, а вариации настройки могут использоваться для проверки их влияния на поведение при падении.

Примечание. Убедитесь, что группы понимают, что, изменяя значение только одной переменной за раз (масса, начальный угол или длина), они могут определить влияние, которое она оказывает на скорость качания маятника. Кроме того, учащиеся должны быть уверены, что измерения со всеми переменными воспроизводимы, чтобы они были уверены в своем ответе и были убеждены в нем.

После того, как учащиеся завершат эксперименты, обсудите их первоначальные прогнозы в листе действий и сравните их с их выводами, основанными на данных и результатах тестов.

Студенты должны были прийти к следующим выводам:

  • Более тяжелые и легкие массы падают с одинаковой скоростью.
  • Увеличение угла или амплитуды увеличивает расстояние падения боба; и, следовательно, частота или количество колебаний вперед и назад в установленный период времени будет меньше.
  • Увеличение длины шнура, к которому прикреплен боб, увеличивает радиус круга, по которому движется боб; и, следовательно, частота или количество колебаний вперед и назад в установленный период времени будет меньше.

Старшие ученики, вероятно, должны узнать, как направленная вниз сила тяжести на боб разделяется на составляющую, касательную к окружности, по которой он движется, и составляющую, перпендикулярную касательной (совпадающую с линией, образованной поддерживающей струной), и направленную в сторону. от поддержки. Тангенциальная сила перемещает боб по дуге, а перпендикулярная сила точно уравновешивается натянутой струной.

Теперь, основываясь на этих наблюдениях, определите, какие выводы студенты могут сделать о природе гравитации. (Студенты должны сделать вывод, что гравитационная сила, действующая на объект, изменяет его скорость или направление движения, или и то, и другое. Если сила действует в направлении одного центра, путь объекта может изгибаться по орбите вокруг центра.)

Подробнее

Оценка

Оцените понимание учащихся, предложив им изучить урок «Маятники на Луне», который можно найти на веб-сайте DiscoverySchool.com. Студенты должны щелкнуть ссылку «Лунный маятник в Интернете», которая находится в разделе урока «Процедура».Это упражнение имитирует гравитационную силу на Луне. Студенты должны экспериментировать в течение примерно 5-10 минут, изменяя массу, длину и угол, чтобы наблюдать, как это влияет на маятник.

Попросите учащихся изменять только одну переменную за раз. Затем задайте студентам следующие вопросы:

  • Как получить самый быстрый замах?
    (Уменьшите длину струны и уменьшите угол.)
  • Как получить самый длинный свинг?
    (Увеличьте длину струны и увеличьте угол.)
  • Опишите своими словами взаимосвязь между массой, длиной струны и углом.
    (Масса не влияет на качание маятника. Чем длиннее струна, тем дальше маятник падает, и, следовательно, чем длиннее период или колебания маятника вперед и назад. Чем больше амплитуда или угол, тем больше чем дальше опускается маятник, и, следовательно, тем длиннее период.)
  • Как сила тяжести на Луне сравнивается с силой тяжести на Земле? Как вы думаете, какое влияние на маятник окажет разница в гравитационных силах?
    (Сила тяжести на Луне меньше, чем на Земле.Поскольку сила тяжести на Луне меньше, маятник будет вращаться медленнее при той же длине и угле, и его частота будет меньше.)

Расширения

Сделайте связанные резонансные маятники
Этот эксперимент демонстрирует, что два маятника, подвешенные к общей опоре, будут качаться вперед и назад в интригующих моделях, если опора позволяет движению одного маятника влиять на движение другого. Инструкции по проведению этого эксперимента можно найти на сайте Exploratorium.


Измерение времени спада
Когда Галилей изучал медицину в Пизанском университете, он заметил кое-что интересное в периодах маятника. Однажды в церкви он наблюдал, как люстра раскачивается взад и вперед, что казалось устойчивым узором качелей. Он рассчитал время каждого колебания и обнаружил, что каждый период имеет одинаковую продолжительность (одинаковое количество времени). В предыдущем упражнении ученики измеряли периоды своих маятников с помощью цифровых часов или секундомеров.У Галилея не было этих инструментов, поэтому он использовал свой пульс. В этом упражнении ученики будут измерять периоды своих маятников, используя свои импульсы, и сравнивать свои результаты с результатами, полученными на часах.

Покажите учащимся, как определять пульс, нажимая двумя пальцами на артерию рядом с запястьем. Прежде чем делать это, убедитесь, что учащиеся находятся в состоянии покоя в течение нескольких минут, чтобы они могли получить стабильную частоту пульса. Работая в группах, попросите одного ученика привести маятник в движение, в то время как другой измеряет удары пульса, которые происходят во время пяти полных качелей, а затем десяти полных поворотов.Учащиеся должны воспроизвести расстояния, которые они использовали в предыдущем эксперименте «Проверка падения», для амплитуды и длины веревки. Запишите количество ударов пульса. Повторите эту процедуру с разными учащимися, измеряя частоту их пульса. Затем попросите учащихся измерить и записать пять полных движений и десять полных движений с помощью секундомера или цифровых часов.

Поделитесь результатами каждой группы со всем классом. Как сравнить измерения пульса с измерением на часах? Каковы преимущества использования секундомера или цифровых часов перед подсчетом ударов пульса в качестве метода измерения времени?


Отправьте нам отзыв об этом уроке>

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.