Стратегия

Решение

1. Игнорируя знак минус и используя величины, из уравнения 14.10 имеем L = εdI / dt = 20 мВ5.0A / 0.10s = 4.0 × 10−2H. L = εdI / dt = 20mV5.0A / 0.10s = 4.0 × 10−2H.
2. Из уравнения 14.9, поток определяется в терминах тока как Φm = LI / N, Φm = LI / N, поэтому Φm = (4,0 · 10−2H) (5,0A) 50 витков = 4,0 · 10−3Wb. Φm = (4,0 · 10−2H) (5,0A) 50 витков = 4,0 · 10−3Wb.

Значение

Проверьте свое понимание 14,2

Проверьте свое понимание Ток течет через катушку индуктивности на рис. 14.8 от B к A вместо A к B , как показано. Увеличивается или уменьшается ток, чтобы создать ЭДС, показанную на диаграмме (а)? На диаграмме (б)?

Проверьте свое понимание 14.3

Проверьте свое понимание Изменяющийся ток индуцирует ЭДС 10 В на катушке индуктивности 0,25 Гн. С какой скоростью меняется ток?

Хороший подход к расчету самоиндукции катушки индуктивности состоит из следующих шагов:

Стратегия решения проблем

Самоиндуктивность

1. Предположим, что через катушку индуктивности протекает ток I .
2. Определите магнитное поле B → B →, создаваемое током.Если есть соответствующая симметрия, вы можете сделать это с помощью закона Ампера.
3. Получить магнитный поток, Фм.Фм.
4. При известном потоке самоиндукция может быть найдена из уравнения 14.9, L = NΦm / IL = NΦm / I.

Чтобы продемонстрировать эту процедуру, мы теперь вычисляем самоиндуктивности двух катушек индуктивности.

Цилиндрический соленоид

Рассмотрим длинный цилиндрический соленоид длиной l , площадью поперечного сечения A, и N, витков провода.Мы предполагаем, что длина соленоида настолько больше, чем его диаметр, что мы можем принять магнитное поле равным B = μ0nIB = μ0nI по всей внутренней части соленоида, то есть мы игнорируем концевые эффекты в соленоиде. При токе –, протекающем через катушки, магнитное поле, создаваемое внутри соленоида, составляет

14.11

, поэтому магнитный поток на один виток равен

14,12

Используя уравнение 14.9, находим для самоиндукции соленоида

14,13

Если n = N / ln = N / l — количество витков на единицу длины соленоида, мы можем записать уравнение 14.13 как

14,14

где V = AlV = Al — объем соленоида. Обратите внимание, что самоиндукция длинного соленоида зависит только от его физических свойств (таких как количество витков провода на единицу длины и объема), а не от магнитного поля или тока.Это верно для индукторов в целом.

Прямоугольный тороид

Тороид прямоугольного сечения показан на рисунке 14.10. Внутренний и внешний радиусы тороида равны R1 и R2, а hR1 и R2, а h — высота тороида. Применяя закон Ампера таким же образом, как в примере 13.8 для тороида с круглым поперечным сечением, мы обнаруживаем, что магнитное поле внутри прямоугольного тороида также равно

14.15

, где r — расстояние от центральной оси тороида.Поскольку поле внутри тороида изменяется, мы должны вычислить поток путем интегрирования по поперечному сечению тороида. Используя бесконечно малый элемент площади поперечного сечения da = hdrda = hdr, показанный на рисунке 14.10, получаем

14,16

Фигура 14.10 Расчет самоиндукции прямоугольного тороида.

Теперь из уравнения 14.16 для самоиндукции прямоугольного тороида получаем

14,17

Как и ожидалось, самоиндукция — постоянная величина, определяемая только физическими свойствами тороида.

Проверьте свое понимание 14,4

Проверьте свое понимание (a) Вычислите самоиндукцию соленоида, который плотно намотан проводом диаметром 0,10 см, имеет площадь поперечного сечения 0,90 см 20,90 см2 и длину 40 см. (b) Если ток через соленоид равномерно уменьшается с 10 до 0 А в 0.10 с, какая ЭДС наводится между концами соленоида?

Проверьте свое понимание 14,5

Проверьте свое понимание (a) Каков магнитный поток через один виток соленоида самоиндукции 8,0 × 10–5H8,0 × 10–5H, когда через него протекает ток 3,0 А? Предположим, что соленоид имеет 1000 витков и намотан из проволоки диаметром 1,0 мм. (б) Какова площадь поперечного сечения соленоида?

Индуктивность — College Physics

Катушки индуктивности

Индукция — это процесс, при котором ЭДС индуцируется изменением магнитного потока.До сих пор было обсуждено множество примеров, некоторые из которых более эффективны, чем другие. Трансформаторы, например, спроектированы так, чтобы быть особенно эффективными при наведении желаемого напряжения и тока с очень небольшими потерями энергии в другие формы. Есть ли полезная физическая величина, связанная с тем, насколько «эффективно» данное устройство? Ответ — да, и эта физическая величина называется индуктивностью.

Взаимная индуктивность — это влияние закона индукции Фарадея для одного устройства на другое, например, первичная катушка, при передаче энергии вторичной обмотке в трансформаторе.См. (Рисунок), где простые катушки индуцируют ЭДС друг в друге.

Во многих случаях, когда геометрия устройств фиксирована, магнитный поток изменяется за счет изменения тока. Поэтому мы концентрируемся на скорости изменения тока как на причине индукции.Изменение тока в одном устройстве, катушка 1 на рисунке, вызывает в другом. Мы выражаем это в форме уравнения как

, где определяется как взаимная индуктивность между двумя устройствами. Знак минус является выражением закона Ленца. Чем больше взаимная индуктивность, тем эффективнее связь. Например, катушки на (Рисунок) имеют меньшие размеры по сравнению с катушками трансформатора на (Рисунок). Единицы измерения are, который назван генри (H) в честь Джозефа Генри. То есть, .

Природа здесь симметрична.Если мы изменим ток в катушке 2, мы индуцируем в катушке 1 ток, равный

где то же, что и для обратного процесса. Трансформаторы работают в обратном направлении с такой же эффективностью или взаимной индуктивностью .

Большая взаимная индуктивность может быть желательной, а может и нежелательной. Мы хотим, чтобы трансформатор имел большую взаимную индуктивность. Но такой прибор, как электрическая сушилка для белья, может вызвать опасную ЭДС на корпусе, если взаимная индуктивность между его катушками и корпусом велика.Один из способов уменьшить взаимную индуктивность состоит в том, чтобы намотать катушки противотоком для подавления создаваемого магнитного поля. (См. (Рисунок).)

Нагревательные катушки электрической сушилки для одежды могут быть намотаны в противоположную сторону, так что их магнитные поля нейтрализуют друг друга, что значительно снижает взаимную индуктивность по отношению к корпусу сушилки.

Самоиндуктивность, действие закона индукции Фарадея устройства на самого себя, также существует. Когда, например, увеличивается ток через катушку, магнитное поле и магнитный поток также увеличиваются, вызывая противоэдс, как того требует закон Ленца.И наоборот, если ток уменьшается, индуцируется ЭДС, которая препятствует уменьшению. Большинство устройств имеют фиксированную геометрию, поэтому изменение магнитного потока полностью связано с изменением тока через устройство. Индуцированная ЭДС связана с физической геометрией устройства и скоростью изменения тока. Выдается

, где — самоиндукция устройства. Устройство, которое демонстрирует значительную самоиндукцию, называется индуктором и обозначено символом на (Рисунок).

Знак минус является выражением закона Ленца, означающего, что ЭДС препятствует изменению тока.Единицами самоиндукции является генри (Гн), как и для взаимной индуктивности. Чем больше самоиндукция устройства, тем сильнее оно сопротивляется любому изменению тока через него. Например, большая катушка с множеством витков и железным сердечником имеет большой размер и не позволит току быстро меняться. Чтобы избежать этого эффекта, необходимо добиться небольшого сопротивления, например, за счет встречной намотки катушек, как показано на (Рисунок).

A 1 Гн — это большая катушка индуктивности. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим устройство, через которое протекает ток 10 А.Что произойдет, если мы попытаемся быстро отключить ток, возможно, всего за 1,0 мс? ЭДС, заданная параметром, будет противодействовать изменению. Таким образом, будет индуцирована ЭДС, заданная . Положительный знак означает, что это большое напряжение направлено в том же направлении, что и ток, но противодействует его уменьшению. Такие большие ЭДС могут вызвать дуги, повредить коммутационное оборудование, и поэтому может потребоваться более медленное изменение тока.

Есть применение для такого большого наведенного напряжения. Во вспышках камеры используются батарея, два индуктора, которые работают как трансформатор, и система переключения или генератор для создания больших напряжений.(Помните, что нам нужно изменяющееся магнитное поле, вызванное изменяющимся током, чтобы вызвать напряжение в другой катушке.) Система генератора будет делать это много раз, когда напряжение батареи повышается до более чем тысячи вольт. (Вы можете услышать пронзительный вой от трансформатора, когда конденсатор заряжается.) Конденсатор сохраняет высокое напряжение для последующего использования для питания вспышки. (См. (Рисунок).)

Благодаря быстрому переключению катушки индуктивности можно использовать батареи 1,5 В для индукции ЭДС в несколько тысяч вольт.Это напряжение можно использовать для хранения заряда в конденсаторе для последующего использования, например, в насадке для вспышки камеры.

Можно произвести расчеты для индуктора, учитывая его геометрию (размер и форму) и зная создаваемое магнитное поле. В большинстве случаев это сложно из-за сложности создаваемого поля. Итак, в этом тексте индуктивность — это обычно заданная величина. Единственным исключением является соленоид, потому что он имеет очень однородное поле внутри, почти нулевое поле снаружи и простую форму.Поучительно вывести уравнение для его индуктивности. Начнем с того, что наведенная ЭДС определяется законом индукции Фарадея как и, согласно определению самоиндукции, как . Приравнивая эти доходности к

Решение для дает

Это уравнение для самоиндукции устройства всегда верно. Это означает, что самоиндукция зависит от того, насколько эффективен ток для создания магнитного потока; чем эффективнее, тем больше /.

Давайте воспользуемся этим последним уравнением, чтобы найти выражение для индуктивности соленоида.Поскольку площадь соленоида фиксирована, изменение магнитного потока составляет. Чтобы найти, отметим, что магнитное поле соленоида равно. (Здесь, где — количество катушек, а — длина соленоида.) Меняется только ток, так что. Подстановка в дает

Это упрощается до

Это самоиндукция соленоида, имеющего площадь поперечного сечения и длину. Обратите внимание, что индуктивность зависит только от физических характеристик соленоида, в соответствии с его определением.

Расчет самоиндукции соленоида среднего размера

Рассчитайте самоиндукцию соленоида длиной 10,0 см и диаметром 4,00 см, который имеет 200 катушек.

Стратегия

Это прямое приложение, поскольку все величины в уравнении, кроме.

Решение

Используйте следующее выражение для самоиндукции соленоида:

Площадь поперечного сечения в этом примере равна 200, а длина равна 0.100 м. Мы знаем проницаемость свободного пространства. Подставляя их в выражение для дает

Обсуждение

Этот соленоид среднего размера. Его индуктивность около миллигенри также считается умеренной.

Одно из распространенных применений индуктивности используется в светофорах, которые могут определить, когда автомобили ждут на перекрестке. Электрическая цепь с индуктором размещается на дороге под местом остановки ожидающей машины. Кузов автомобиля увеличивает индуктивность, и схема изменяется, посылая сигнал на светофор, чтобы изменить цвет.Точно так же металлоискатели, используемые для безопасности аэропортов, используют ту же технику. Катушка или индуктор в корпусе металлоискателя действует как передатчик и как приемник. Импульсный сигнал в катушке передатчика вызывает сигнал в приемнике. На самоиндукцию цепи влияет любой металлический предмет на пути. Такие детекторы могут быть настроены на чувствительность, а также могут указывать приблизительное местонахождение обнаруженного на человеке металла. (Но они не смогут обнаружить пластиковую взрывчатку, подобную той, которая была обнаружена на «бомбардировщике в нижнем белье.») См. (Рисунок).

Знакомые ворота безопасности в аэропорту могут не только обнаруживать металлы, но и указывать их приблизительную высоту над полом. (Источник: Alexbuirds, Wikimedia Commons)

где — самоиндукция катушки индуктивности, а — скорость изменения тока через нее. Знак минус указывает на то, что ЭДС противодействует изменению тока, как того требует закон Ленца. Единицей самоиндукции и взаимной индуктивности является генри (H), где. Самоиндукция индуктора пропорциональна тому, насколько поток изменяется с Текущий.Для поворотной катушки индуктивности

, где — количество витков в соленоиде, — площадь его поперечного сечения, — длина и — проницаемость свободного пространства. Энергия, запасенная в катушке индуктивности, составляет

% PDF -1,3 % 3511 0 obj> эндобдж xref 3511 93 0000000016 00000 н. 0000003939 00000 н. 0000002204 00000 н. 0000004198 00000 п. 0000004588 00000 н. 0000004895 00000 н. 0000005042 00000 н. 0000005184 00000 п. 0000005331 00000 п. 0000005473 00000 п. 0000005615 00000 н. 0000005757 00000 н. 0000005904 00000 н. 0000006046 00000 н. 0000006188 00000 п. 0000006330 00000 н. 0000006476 00000 н. 0000006617 00000 н. 0000006759 00000 н. 0000006901 00000 н. 0000007048 00000 н. 0000007194 00000 н. 0000007340 00000 п. 0000007487 00000 н. 0000007629 00000 н. 0000007776 00000 н. 0000007918 00000 п. 0000008065 00000 н. 0000008207 00000 н. 0000008349 00000 п. 0000008496 00000 н. 0000008637 00000 н. 0000008779 00000 н. 0000008921 00000 п. 0000009063 00000 н. 0000009205 00000 н. 0000009345 00000 п. 0000009490 00000 н. 0000009959 00000 н. 0000010530 00000 п. 0000010771 00000 п. 0000010849 00000 п. 0000011096 00000 п. 0000011658 00000 п. 0000012003 00000 п. 0000012041 00000 п. 0000012264 00000 п. 0000012780 00000 п. 0000013996 00000 н. 0000014535 00000 п. 0000014752 00000 п. 0000015344 00000 п. 0000015814 00000 п. 0000016451 00000 п. 0000016948 00000 н. 0000017090 00000 п. 0000017136 00000 п. 0000017614 00000 п. 0000018116 00000 п. 0000051274 00000 п. 0000053945 00000 п. 0000053999 00000 п. 0000054053 00000 п. 0000054107 00000 п. 0000054161 00000 п. 0000054215 00000 п. 0000054269 00000 п. 0000054323 00000 п. 0000054377 00000 п. 0000054431 00000 п. 0000054485 00000 п. 0000054539 00000 п. 0000054593 00000 п. 0000054647 00000 п. 0000054701 00000 п. 0000054755 00000 п. 0000054810 00000 п. 0000054865 00000 п. 0000054920 00000 н. 0000054975 00000 п. 0000055030 00000 п. 0000055085 00000 п. 0000055140 00000 п. 0000055195 00000 п. 0000055250 00000 п. 0000055305 00000 п. 0000055360 00000 п. 0000055415 00000 п. 0000055470 00000 п. 0000055525 00000 п. 0000055580 00000 п. 0000055635 00000 п. 0000003697 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 3513 0 obj> поток x ڼ V {LSg? m7iU, \ uFJt @ ˣZn͒p -! «NYh4 šd٢}} j ߾ |; [

23.9 Индуктивность — Физика в колледже, главы 1-17

Индукция — это процесс, при котором ЭДС индуцируется изменением магнитного потока. До сих пор было обсуждено множество примеров, некоторые из которых более эффективны, чем другие. Трансформаторы, например, спроектированы так, чтобы быть особенно эффективными при наведении желаемого напряжения и тока с очень небольшими потерями энергии в другие формы. Есть ли полезная физическая величина, связанная с тем, насколько «эффективно» данное устройство? Ответ — да, и эта физическая величина называется индуктивностью.

Взаимная индуктивность — это влияние закона индукции Фарадея для одного устройства на другое, например, первичная катушка, при передаче энергии вторичной обмотке в трансформаторе. См. [Ссылка], где простые катушки индуцируют ЭДС друг в друге.

Во многих случаях, когда геометрия устройств фиксирована, магнитный поток изменяется за счет изменения тока. Поэтому мы концентрируемся на скорости изменения тока, ΔI / ΔtΔI / Δt размер 12 {ΔI} {}, как на причине индукции. Изменение тока I1I1 размером 12 {I rSub {размер 8 {1}}} {} в одном устройстве, катушка 1 на рисунке, вызывает ЭДС 2-го размера 12 {«ЭДС» rSub {размер 8 {2}}} { } в другом. Мы выражаем это в форме уравнения как

ЭДС2 = −MΔI1Δt, ЭДС2 = −MΔI1Δt, размер 12 {«ЭДС» rSub {размер 8 {2}} = — M {{ΔI rSub {размер 8 {1}}} больше {Δt}}} {}

, где размер MM 12 {M} {} определяется как взаимная индуктивность между двумя устройствами.Знак минус является выражением закона Ленца. Чем больше взаимная индуктивность MM размером 12 {M} {}, тем эффективнее связь. Например, катушки в [link] имеют небольшой размер MM 12 {M} {} по сравнению с катушками трансформатора в [link]. Единицы измерения для MM размера 12 {M} {}: (В⋅с) / A = Ом⋅с (В⋅с) / A = Ом⋅с размер 12 {(В cdot s) «/ A» =% OMEGA cdot s } {}, которого назвали генри (H) в честь Джозефа Генри. То есть 1 H = 1Ω⋅s1 H = 1Ω⋅s размер 12 {1`H = 1`% OMEGA cdot s} {}.

Природа здесь симметрична. Если мы изменим ток I2I2 размером 12 {I rSub {размер 8 {2}}} {} в катушке 2, мы индуцируем ЭДС 1 размера 12 {«ЭДС» rSub {размер 8 {1}}} {} в катушке 1, что дает

ЭДС1 = −MΔI2Δt, ЭДС1 = −MΔI2Δt, размер 12 {«ЭДС» rSub {размер 8 {1}} = — M {{ΔI rSub {размер 8 {2}}} больше {Δt}}} {}

, где размер MM 12 {M} {} такой же, как и для обратного процесса.Трансформаторы работают в обратном направлении с такой же эффективностью или взаимной индуктивностью MM размером 12 {M} {} .

Большая взаимная индуктивность MM размером 12 {M} {} может быть, а может и не быть желательной. Мы хотим, чтобы трансформатор имел большую взаимную индуктивность. Но такой прибор, как электрическая сушилка для белья, может вызвать опасную ЭДС на корпусе, если взаимная индуктивность между его катушками и корпусом велика. Один из способов уменьшить взаимную индуктивность MM размера 12 {M} {} состоит в том, чтобы намотать катушки против ветра, чтобы нейтрализовать создаваемое магнитное поле.(См. [Ссылку].)

Самоиндуктивность, действие закона индукции Фарадея устройства на самого себя, также существует. Когда, например, увеличивается ток через катушку, магнитное поле и магнитный поток также увеличиваются, вызывая противоэдс, как того требует закон Ленца. И наоборот, если ток уменьшается, индуцируется ЭДС, которая препятствует уменьшению.Большинство устройств имеют фиксированную геометрию, и поэтому изменение магнитного потока полностью связано с изменением тока ΔIΔI размером 12 {ΔI} {} через устройство. Индуцированная ЭДС связана с физической геометрией устройства и скоростью изменения тока. Выдается

ЭДС = −LΔIΔt, ЭДС = −LΔIΔt, размер 12 {«ЭДС» = — L {{ΔI} сверх {Δt}}} {}

, где LL размер 12 {L} {} — это собственная индуктивность устройства. Устройство, которое демонстрирует значительную самоиндукцию, называется индуктором и обозначено символом в [ссылка].Знак минус является выражением закона Ленца, означающего, что ЭДС препятствует изменению тока. Единицами самоиндукции является генри (Гн), как и для взаимной индуктивности. Чем больше самоиндукция LL, размер 12 {L} {} устройства, тем сильнее оно сопротивляется любому изменению тока через него. Например, большая катушка с множеством витков и железным сердечником имеет большой размер LL 12 {L} {} и не позволяет току быстро изменяться. Чтобы избежать этого эффекта, необходимо добиться небольшого размера LL 12 {L} {}, например, за счет встречной намотки катушек, как в [ссылка].

A 1 Гн — это большая катушка индуктивности. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим устройство с L = 1,0 HL = 1,0 H размером 12 {L = 1 “.” 0`H} {}, через который протекает ток 10 А. Что произойдет, если мы попытаемся быстро отключить ток, возможно, всего за 1,0 мс? ЭДС, заданная как emf = −L (ΔI / Δt) emf = −L (ΔI / Δt) размер 12 {«emf» = — L (ΔI / Δt)} {}, будет препятствовать изменению. Таким образом, ЭДС будет индуцирована равной ЭДС = −L (ΔI / Δt) = (1.0 H) [(10 A) / (1.0 мс)] = 10,000 Vemf = −L (ΔI / Δt) = (1.0 H) [(10 A) / (1,0 мс)] = 10 000 В.Положительный знак означает, что это большое напряжение направлено в том же направлении, что и ток, но противодействует его уменьшению. Такие большие ЭДС могут вызвать дуги, повредить коммутационное оборудование, и поэтому может потребоваться более медленное изменение тока.

Есть применение для такого большого наведенного напряжения. Во вспышках камеры используются батарея, два индуктора, которые работают как трансформатор, и система переключения или генератор для создания больших напряжений. (Помните, что нам нужно изменяющееся магнитное поле, вызванное изменяющимся током, чтобы вызвать напряжение в другой катушке.) Система генератора будет делать это много раз, когда напряжение батареи повышается до более чем тысячи вольт. (Вы можете услышать пронзительный вой от трансформатора, когда конденсатор заряжается.) Конденсатор сохраняет высокое напряжение для последующего использования для питания вспышки. (См. [Ссылку].)

Можно рассчитать LL размер 12 {L} {} для катушки индуктивности, учитывая ее геометрию (размер и форму) и зная создаваемое ею магнитное поле. В большинстве случаев это сложно из-за сложности создаваемого поля. Таким образом, в этом тексте индуктивность LL размером 12 {L} {} обычно является заданной величиной. Единственным исключением является соленоид, потому что он имеет очень однородное поле внутри, почти нулевое поле снаружи и простую форму. Поучительно вывести уравнение для его индуктивности.Начнем с того, что наведенная ЭДС определяется законом индукции Фарадея как ЭДС = −N (ΔΦ / Δt) ЭДС = −N (ΔΦ / Δt) размер 12 {«ЭДС» = — N (ΔΦ / Δt)} {} и, по определению самоиндуктивности, как ЭДС = −L (ΔI / Δt) ЭДС = −L (ΔI / Δt) размер 12 {«ЭДС» = — L (ΔI / Δt)} {}. Приравнивая эти доходности к

эдс = −NΔΦΔt = −LΔIΔt.emf = −NΔΦΔt = −LΔIΔt. размер 12 {«ЭДС» = — N {{ΔΦ} над {Δt}} = — L {{ΔI} над {Δt}}} {}

Решение для размера LL 12 {L} {} дает

L = NΔΦΔI.L = NΔΦΔI. размер 12 {L = N {{ΔΦ} более {ΔI}}} {}

Это уравнение для самоиндукции LL устройства размером 12 {L} {} всегда верно.Это означает, что величина собственной индуктивности LL 12 {L} {} зависит от того, насколько эффективен ток для создания магнитного потока; чем эффективнее, тем больше ΔΦΔΦ размер 12 {ΔΦ} {} / ΔIΔI размер 12 {ΔI} {}.

Давайте воспользуемся этим последним уравнением, чтобы найти выражение для индуктивности соленоида. Поскольку площадь AA соленоида фиксирована, изменение магнитного потока составляет

ΔΦ = Δ (BA) = AΔBΔΦ = Δ (BA) = AΔB.

Чтобы найти
ΔBΔB, отметим, что магнитное поле соленоида определяется выражением B = μ0nI = μ0NIℓB = μ0nI = μ0NIℓ размер 12 {B = μ rSub {размер 8 {0}} итал «nI» = μ rSub {размер 8 {0}} {{ital «NI»} over {ℓ}}} {}.(Здесь n = N / ℓn = N / ℓ размер 12 {n = N / ℓ} {}, где
NN — количество катушек, а
ℓℓ — длина соленоида.) Меняется только ток, так что ΔΦ = AΔB = μ0NAΔIℓΔΦ = AΔB = μ0NAΔIℓ размер 12 {ΔΦ = AΔB = μ rSub {size 8 {0}} ital «NA» {{ΔI} over {ℓ}}} {}. Подставляя
ΔΦΔΦ в L = NΔΦΔIL = NΔΦΔI, размер 12 {L = N {{ΔΦ} над {ΔI}}} {} дает

L = NΔΦΔI = Nμ0NAΔIℓΔI.L = NΔΦΔI = Nμ0NAΔIℓΔI. размер 12 {L = N {{ΔΦ} больше {ΔI}} = N {{μ rSub {размер 8 {0}} итал «NA» {{ΔI} больше {ℓ}}} больше {ΔI}}} {}

Это упрощается до

L = μ0N2Aℓ (соленоид).L = μ0N2Aℓ (соленоид). размер 12 {L = {{μ rSub {размер 8 {0}} N rSup {размер 8 {2}} A} больше {ℓ}}} {}

Это самоиндукция соленоида с площадью поперечного сечения AA и длиной
. Обратите внимание, что индуктивность зависит только от физических характеристик соленоида, в соответствии с его определением.

Расчет самоиндукции соленоида среднего размера

Рассчитайте самоиндукцию соленоида длиной 10,0 см и диаметром 4,00 см, который имеет 200 катушек.

Стратегия

Это простое применение L = μ0N2AℓL = μ0N2Aℓ размера 12 {L = {{μ rSub {размер 8 {0}} N rSup {размер 8 {2}} A} над {ℓ}}} {}, поскольку все величины в уравнении, за исключением размера LL 12 {L} {}, известны.

Решение

Используйте следующее выражение для самоиндукции соленоида:

L = μ0N2Aℓ.L = μ0N2Aℓ. размер 12 {L = {{μ rSub {размер 8 {0}} N rSup {размер 8 {2}} A} больше {ℓ}}} {}

Площадь поперечного сечения в этом примере A = πr2 = (3.14…) (0,0200 м) 2 = 1,26 × 10−3м2A = πr2 = (3,14…) (0,0200 м) 2 = 1,26 × 10−3м2 размер 12 {A = πr rSup {размер 8 {2}} = (3 “ . »« 14 »«. »«. »«. ») (0«. »« 0200 »` m) rSup {size 8 {2}} = 1 «.» «26» умножить на «10» rSup {размер 8 {- 3}} `m rSup {размер 8 {2}}} {}, NN принимается равным 200, а длина ℓℓ равна 0,100 м. Мы знаем, что проницаемость свободного пространства равна μ0 = 4π × 10−7T⋅m / Aμ0 = 4π × 10−7T⋅m / A. Подставляя их в выражение для
LL, получаем

L = (4π × 10−7 Тм / А) (200) 2 (1,26 × 10−3 м2) 0,100 м = 0,632 мГн. L = (4π × 10−7 Тм / А) (200) 2 (1.26 × 10−3 м2) 0,100 м = 0,632 мГн.

Обсуждение

Этот соленоид среднего размера. Его индуктивность около миллигенри также считается умеренной.

Одно из распространенных применений индуктивности используется в светофорах, которые могут определить, когда автомобили ждут на перекрестке. Электрическая цепь с индуктором размещается на дороге под местом остановки ожидающей машины. Кузов автомобиля увеличивает индуктивность, и схема изменяется, посылая сигнал на светофор, чтобы изменить цвет.Точно так же металлоискатели, используемые для безопасности аэропортов, используют ту же технику. Катушка или индуктор в корпусе металлоискателя действует как передатчик и как приемник. Импульсный сигнал в катушке передатчика вызывает сигнал в приемнике. На самоиндукцию цепи влияет любой металлический предмет на пути. Такие детекторы могут быть настроены на чувствительность, а также могут указывать приблизительное местонахождение обнаруженного на человеке металла. (Но они не смогут обнаружить пластиковую взрывчатку, подобную той, которая была обнаружена на «бомбардировщике в нижнем белье.») См. [Ссылка].

[PDF] RUPHYS (MPCIZEWSKI15079) Мои курсы Настройки курса Университетская физика с современной физикой, 13e Young / Freedman

1 Вы вошли как Джоли Чизевски, инструктор Помогите Выйти RUPHYS (MPCIZEWSKI15079) Мои курсы Настройки курса Университет …

RUPHYS2272014 Мои курсы

Выйти

(MPCIZEWSKI15079)

Настройки курса

Главная страница курса

Помощь

Назначения

Ресурсы для инструкторов Библиотека успеваемости

eText

h21 Индуктивность и индуктивности (30.1-3)

[Edit]

Обзор

Просмотр для печати с ответами

Сводный вид

Диагностика

Область исследования

h21 Индуктивность и индуктивности (30.1-3) Срок сдачи: 23:59 в понедельник, ноябрь 17, 2014 Вы не получите баллов за выполненные задания после истечения срока выполнения задания. Политика классификации

Взаимная индуктивность двойного соленоида Описание: Рассмотрение расчета взаимной индуктивности для двойного соленоида. Цель обучения: узнать о взаимной индуктивности на примере длинного соленоида с двумя обмотками.Чтобы проиллюстрировать расчет взаимной индуктивности, полезно рассмотреть конкретный пример двух соленоидов, намотанных на общий цилиндр. Возьмем цилиндр, имеющий радиус ρ и длину L. Предположим, что соленоид намного длиннее своего радиуса, так что его поле можно определить по закону Ампера на всей его длине:

∮ B⃗ (r) ⃗ ⋅ dl ⃗ = µ0 I encl.

Рассмотрим поле, возникающее от соленоида 1, имеющего n 1 витков на единицу длины.Магнитное поле соленоида 1 проходит (в данном случае целиком) через соленоид 2, который имеет n 2 витков на единицу длины. Любое изменение магнитного потока из-за поля, создаваемого соленоидом 1, индуцирует ЭДС в соленоиде 2 в соответствии с законом индукции Фарадея ∮ E⃗ (r) ⃗ ⋅ dl ⃗ = — dtd ΦM (t).

Часть A Рассмотрим сначала создание магнитного поля током I 1 (t) в соленоиде 1. Внутри соленоида (достаточно далеко от его концов), какова величина B 1 (t) магнитного поля, обусловленного этот ток?

B 1 (t)

I 1 (t)

Выразите B 1 (t) через I 1 (t), переменные, указанные во введении, и соответствующие константы.ОТВЕТ:

B 1 (t) = Обратите внимание, что это поле не зависит от радиального положения (расстояния от оси симметрии) для точек внутри соленоида.

Часть B Каков поток Φ 1 (t), создаваемый магнитным полем соленоида 1 за один виток соленоида 2? Выразите Φ 1 (t) через B 1 (t), величины, указанные во введении, и любые необходимые константы.

Подсказка 1. Определение потока

= ∮ B⃗ ⋅ dA⃗. Когда поле постоянное и перпендикулярно поперечному сечению, это просто величина поля, умноженная на площадь.Какова в данном случае площадь А? Определение магнитного потока: Φ M

Выразите A через ρ и другие константы. ОТВЕТ:

A =

ОТВЕТ:

Φ1 (t) =

Часть C Теперь найдите электродвижущую силу E2 (t), индуцированную во всем соленоиде 2 изменением тока в соленоиде 1. Помните, что оба соленоида имеют длину L. Выразите свой ответ в терминах dI 1 (t) / dt, n 1, n 2, других параметров, указанных во введении, и любых соответствующих констант.

Подсказка 1. Найдите поток от I 1 (t) В Части B вы нашли поток через один виток соленоида 2, Φ 1 (t). Теперь выразите Φ 1 (t) через I 1 (t), n 1, другие величины, указанные во введении, и различные константы, такие как µ0.

ОТВЕТ:

Φ1 (t) =

Совет 2. ЭДС для всего соленоида Суммарная ЭДС для многооборотного соленоида может быть довольно большой (это принцип трансформаторов, которые могут вырабатывать киловольты). Выразите полную ЭДС через соленоид 2, E2 (t), через Φ 1 (t), dΦ 1 (t) / dt и другие величины, указанные во введении.ОТВЕТ:

E2 (t) =

Подсказка 3. Собираем все вместе Вы выяснили три вещи: 1. магнитное поле от I 1 (t) 2. поток от этого поля 3. ЭДС для всего второй соленоид Соедините их вместе, и вы получите ответ! ОТВЕТ:

E2 (t) =

Часть D Это общее взаимодействие резюмируется с использованием символа M 21 для обозначения взаимной индуктивности между двумя обмотками. Основываясь на ваших двух предыдущих ответах, какая из следующих формул, по вашему мнению, является правильной? ОТВЕТ:

E2 (t) = −M 21 I 1 (t) d dt

E2 (t) = −M 21 I1 (t)

E2 (t) = −M 21

I1 (t)

I 1 (t) =

E2 (t)

d dt −M 21 dtd

I 1 (t) = −M21 E2 (t)

Взаимная индуктивность показывает, что изменение тока в соленоиде 1 вызывает электродвижущая сила (ЭДС) в соленоиде 2.Когда двойной соленоид рассматривается как элемент схемы, эта электродвижущая сила добавляется в петлевой закон Кирхгофа. Константа пропорциональности — это взаимная индуктивность, обозначенная M 21. Отрицательное значение d I (t) происходит от отрицательного знака в законе Фарадея и отражает знак в уравнении E2 (t) = −M 21 dt 1 Правило Ленца: изменяющееся магнитное поле из-за соленоида 1 будет индуцировать ток в соленоиде 2. ; этот индуцированный ток сам будет генерировать магнитное поле внутри соленоида 2, так что изменения индуцированного магнитного поля противодействуют изменениям магнитного поля соленоида 1.

Часть E Используя формулу для взаимной индуктивности E 2 (t)

= −M 21

d dt

I1 (t), найдите M21.

Выразите взаимную индуктивность M21 через n 1, n 2, величины, указанные во введении, и соответствующие физические константы. ОТВЕТ:

M21 =

Часть F Неудивительно, что если ток проходит через соленоид 2, он индуцирует напряжение в соленоиде 1. Взаимная индуктивность в этом случае обозначается M12, взаимная индуктивность для напряжения, индуцированного в соленоиде 1. от тока в соленоиде 2.Что такое М12? Выразите взаимную индуктивность через n 1, n 2, величины, указанные во введении, и соответствующие физические константы.

Совет 1. Новая симметрия Эта задача имеет новый тип симметрии: обозначение соленоидов как 1 и 2 произвольно. Если мы изменим маркировку соленоидов, единственное изменение будет заключаться в том, чтобы поменять местами n 1 и n 2, количество витков на длину двух соленоидов. Следовательно, решение можно получить, просто сделав эту замену в своем ответе на часть E.ОТВЕТ:

M12 = Этот результат, что M12 равен M21, отражает взаимозаменяемость двух катушек и применяется, даже если катушки соединены лишь частично (например, если одна катушка намотана на гораздо больший цилиндр или если только часть потока большей катушки перехватывается меньшей катушкой). По этой причине индексы обычно опускаются: между двумя катушками существует только одна взаимная индуктивность, обозначенная буквой M: ЭДС генерируется в одной катушке за счет изменения тока в другой катушке.

± Основные свойства индукторов Описание: ± Включает математическое исправление. Практикуйтесь в определении единиц индуктивности (предполагается, что это новая концепция) и некоторых основных концептуальных вопросах об индукторах. Цель обучения: понять единицы индуктивности, потенциальную энергию, запасенную в катушке индуктивности, и некоторые последствия наличия индуктивности в цепи. После батарей, резисторов и конденсаторов наиболее распространенными элементами в схемах являются индукторы. Индукторы обычно выглядят как туго намотанные катушки из тонкой проволоки.В отличие от конденсаторов, которые вызывают физический разрыв цепи между пластинами конденсатора, провод катушки индуктивности обеспечивает непрерывный непрерывный путь, по которому может течь ток. Когда ток в цепи постоянный, индуктор действует по существу как короткое замыкание (то есть путь с нулевым сопротивлением). На самом деле, в обмотках индуктора всегда присутствует по крайней мере небольшое сопротивление — факт, которым обычно пренебрегают во вводных обсуждениях. Напомним, что ток, протекающий по проводу, создает магнитное поле в непосредственной близости от провода.Если провод свернут в бухту, например, в соленоиде или индукторе, магнитное поле будет самым сильным внутри катушки, параллельной ее оси. Магнитное поле, связанное с током, протекающим через катушку индуктивности, требует времени для создания и времени для устранения при отключении тока. При изменении тока в катушке индуктивности генерируется ЭДС, согласно закону Фарадея, которая препятствует изменению тока. Таким образом, индукторы обеспечивают электрическую инерцию цепи за счет уменьшения скорости изменения тока.Индуктивность обычно обозначается буквой L и измеряется в единицах системы СИ — генри (также пишется генри и обозначается сокращенно H), названной в честь Джозефа Генри, современника Майкла Фарадея. ЭДС E, создаваемая в катушке с индуктивностью L, согласно закону Фарадея равна

E = −L ∆I. ∆t

Здесь ∆I / ∆t характеризует скорость, с которой ток I через индуктор изменяется со временем t.

Часть A На основании уравнения, приведенного во введении, каковы единицы индуктивности L в единицах E, t и I (соответственно вольты V, секунды s и амперы A)? ОТВЕТ:

1 H = 1 (V s ⋅ A)

1 H = 1 (V⋅s) A

1 H = 1 (VA s) 1 H = 1 (s⋅A) V

1 1 H = 1 (V⋅s⋅A)

Часть B Какая ЭДС вырабатывается, если вафельница рисует 2.5 ампер и индуктивность 560 миллигенри, внезапно отключается, поэтому ток падает практически до нуля за 0,015 секунды?

Выразите свой ответ в вольтах с двумя значащими цифрами. ОТВЕТ: 93

В

Повышенное напряжение длится недолго, но иногда оно может быть достаточно большим, чтобы вызвать потенциально опасную искру. Мораль: будьте очень осторожны при размыкании переключателей, по которым идет ток, особенно если они являются частью индуктивной цепи!

Электрическая потенциальная энергия U накапливается внутри индуктора в виде магнитного поля, когда через индуктор протекает ток.В терминах тока I и индуктивности L запасенная электрическая потенциальная энергия определяется выражением

U =

1 2

LI 2.

Часть C Какое из следующих изменений увеличило бы потенциальную энергию, запасенную в катушке индуктивности, в 5 раз? Проверить все, что относится. ОТВЕТ: увеличение индуктивности в 5 раз; оставляя ток неизменным, оставляя неизменной индуктивность; увеличение тока в 5 раз без изменения индуктивности; увеличение тока в √5 раз, уменьшение индуктивности в 5 раз; увеличение тока в 5 раз, увеличение индуктивности в 5 раз; уменьшение тока в 5 раз

Как показано уравнением во введении к этой части, ток, протекающий через индуктор, связан с количеством электрической потенциальной энергии, хранящейся в индукторе.Если ток отображается как функция времени, наклон кривой указывает скорость, с которой потенциальная энергия в индукторе увеличивается или уменьшается. Скорость, с которой энергия изменяется с течением времени, называется мощностью. Энергия не может быть доставлена ​​к катушке индуктивности бесконечно быстро и не может быть мгновенно рассеяна в виде тепла или света другими элементами схемы. Таким образом, власть никогда не может быть бесконечной. Это означает, что кривая зависимости тока от времени должна быть непрерывной. График является прерывистым, если он содержит точку, в которой ток перескакивает от одного значения к другому, не принимая все значения между ними.Когда это происходит, наклон кривой в этом месте бесконечен, что в данном случае означает бесконечную мощность.

Часть D Какие из графиков показывают, как ток через индуктивность может изменяться с течением времени? Введите числа, соответствующие правильным ответам, в алфавитном порядке. Не используйте запятые. Например, если вы считаете, что правильными являются только графики C и D, введите CD.

ОТВЕТ: ABC

Все реальные схемы, даже те, в которых специально не используются индукторы, имеют хотя бы небольшую индуктивность, так же как настоящие индукторы имеют небольшое сопротивление в их обмотках.Анализ схем в учебниках часто предполагает идеальные батареи, резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности и, следовательно, игнорирует такие тонкие детали реальных схем.

Упражнение 30.5 Описание: Два тороидальных соленоида намотаны вокруг одной и той же формы, так что магнитное поле одного проходит через витки другого. У соленоида 1 N_1 оборотов, а у соленоида 2 — N_2 оборотов. Когда ток в соленоиде 1 равен i_1, средний поток через каждый … Два тороидальных соленоида намотаны вокруг одной и той же формы, так что магнитное поле одного проходит через витки другого.Соленоид 1 имеет 680 витков, а соленоид 2 — 410 витков. Когда ток в соленоиде 1 составляет 6,50 А, средний поток через каждый виток соленоида 2 составляет 3,50 × 10–2 Вт.

Часть A Какова взаимная индуктивность пары соленоидов? ОТВЕТ:

M =

= 2,21

H

Часть B Когда ток в соленоиде 2 составляет 2,60 А, каков средний поток через каждый виток соленоида 1? ОТВЕТ:

Φ =

= 8,44 × 10−3

Wb

Самоиндуктивность соленоида Описание: идет через расчет самоиндукции для одиночного соленоида с некоторым обсуждением в конце.Цель обучения: узнать о самоиндукции на примере длинного соленоида. Чтобы объяснить самоиндукцию, полезно рассмотреть конкретный пример длинного соленоида, как показано на рисунке. Этот соленоид имеет только одну обмотку, поэтому ЭДС, индуцированная его изменяющимся током, появляется на самом соленоиде. Это контрастирует с взаимной индуктивностью, когда это напряжение появляется на второй катушке, намотанной на том же цилиндре, что и первая. Предположим, что соленоид имеет радиус R, длину Z по оси z и намотан с n витками на единицу длины, так что общее количество витков равно nZ.Предположим, что соленоид намного длиннее своего радиуса. При изменении тока через соленоид результирующий магнитный поток через соленоид также изменится, и электродвижущая сила будет генерироваться на соленоиде в соответствии с законом индукции Фарадея: ∮ E⃗ ⋅ dl ⃗ = — dtd ΦM (t). Закон Фарадея подразумевает следующее соотношение между самоиндуцированной ЭДС через соленоид и током, проходящим через него dI (t): E (t) = −L. dt «Направление ЭДС» определяется по отношению к направлению потока положительного тока и представляет собой направление индуцированного электрического поля в катушке индуктивности.Это также направление, в котором будет течь «обратный ток», который пытается создать индуктор.

Часть A Предположим, что ток в соленоиде равен I (t). Какое магнитное поле

B (t) внутри соленоида, но далеко от его концов, возникает из-за этого тока? Выразите свой ответ в терминах I (t), величин, указанных во введении, и соответствующих констант (например,

µ0). ОТВЕТ:

B (t) = Обратите внимание, что это поле не зависит от радиального положения (расстояния от оси симметрии) до тех пор, пока оно измеряется в точке внутри соленоида.

Часть B Каков магнитный поток Φ 1 (t) за один оборот соленоида? Выразите свой ответ в терминах магнитного поля B (t), величин, указанных во введении, и любых необходимых констант. ОТВЕТ:

Φ1 (t) = Также принято:

Часть C Предположим, что ток изменяется со временем, так что dI (t) / dt

≠ 0. Найдите электродвижущую силу E, индуцированную через весь соленоид

из-за к изменению тока через весь соленоид. Выразите свой ответ в терминах dI (t) / dt, n, Z и R.

Подсказка 1. Найдите поток через ток. В Части B вы нашли поток Φ 1 (t) через один оборот соленоида. Теперь найдите поток Φ total (t) через весь соленоид. Выразите свой ответ через I (t), другие величины, указанные во введении, и различные константы, такие как µ0. ОТВЕТ:

Φtotal (t) =

Совет 2. Найдите ЭДС для всего соленоида. Теперь у вас есть выражение для магнитного потока, который проходит через соленоид. Исходя из этого, вы сможете получить выражение для ЭДС в соленоиде.Предположим, что полный магнитный поток через соленоид равен Φ total (t). Какова электродвижущая сила E, создаваемая в соленоиде изменяющимся магнитным потоком

Φtotal (t)? Выразите свой ответ через dΦ total (t) / dt и ее производную, а также другие переменные, указанные во введении. ОТВЕТ:

E =

Подсказка 3. Собираем вместе Вы выяснили три вещи: 1. магнитное поле от I (t); 2. поток от этого поля; 3. ЭДС всего соленоида. Соедините их вместе, и вы получите ответ! ОТВЕТ:

E =

Часть D. Самоиндукция L связана с самоиндуктивной ЭДС E (t) уравнением E (t)

= −LdI (t) / dt.Найдите L для длинного соленоида

. (Подсказка: самоиндуктивность L всегда будет положительной величиной.) Выразите самоиндуктивность через количество витков на длину n, физические размеры R и Z и соответствующие константы. ОТВЕТ:

L = Это определение индуктивности идентично другому определению, которое вы, возможно, встретили: Φ M

= LI, где

ΦM — магнитный поток, обусловленный током I в индукторе. Чтобы увидеть соответствие, вы должны дифференцировать обе части этого уравнения относительно времени и использовать закон Фарадея, т.е.е.,

dΦ M dt

= −E.

Теперь рассмотрим индуктор как элемент схемы. Поскольку теперь мы рассматриваем катушку индуктивности как элемент схемы, мы должны обсудить напряжение на ней, а не ЭДС внутри нее. Важным моментом является то, что предполагается, что индуктор не имеет сопротивления. Это означает, что чистое электрическое поле внутри него должно быть нулевым, когда он включен в цепь. В противном случае ток

⃗

в нем станет бесконечным. Это означает, что индуцированное электрическое поле E n накапливает заряды на индукторе

⃗

→

и вокруг него таким образом, чтобы создать почти равное и противоположное электрическое поле E c, такое что E c

⃗

→ + E n → 0! Петлевой закон Кирхгофа

определяет напряжения только в терминах полей, создаваемых зарядами (например, E c), а не полей, создаваемых изменением магнитных полей

⃗

(например, E n).Поэтому, если мы хотим продолжать использовать закон петель Кирхгофа, мы должны продолжать последовательно использовать это определение B ⃗ ⃗. То есть мы должны определить только напряжение V AB = V A — V B = + ∫ A E c ⋅ dl (обратите внимание, что интеграл идет от A к B, а не от B к A, отсюда положительный знак). Итак, наконец, → → BB dI (t) V AB = ∫ A E⃗ c ⋅ dl ⃗ = ∫ A −E⃗ n ⋅ dl ⃗ = −E = + L dt, где мы использовали E c + E n = 0 и определение E.

Часть E

I (t)

Какое из следующих утверждений верно относительно катушки индуктивности на рисунке во введении к задаче, где I (t) — ток через провод?

Подсказка 1.Основная формула индуктивности Самоиндуктивность L связана с напряжением V

= V A — V B на катушке индуктивности посредством уравнения

V (t) = LdI (t) / dt. Обратите внимание, что в отличие от ЭДС, он не имеет знака минус. ОТВЕТ: Если I (t) положительно, напряжение на конце A обязательно будет больше, чем на конце B. Если dI (t) / dt положительно, напряжение на конце A обязательно будет больше, чем на конце B. Если I (t) положительный, напряжение на конце A обязательно будет меньше, чем на конце B.Если dI (t) / dt положительно, напряжение на конце A обязательно будет меньше, чем на конце B.

Часть F Теперь рассмотрим влияние, которое приложение дополнительного напряжения к катушке индуктивности окажет на ток I (t). уже протекает через него (представьте, что напряжение приложено к концу A, а конец B заземлен). Какое из следующих утверждений верно?

Подсказка 1. Основная формула индуктивности Собственная индуктивность L связана с напряжением V

= V A — V B на катушке индуктивности посредством уравнения

V (t) = LdI (t) / dt.Обратите внимание, что в отличие от ЭДС, он не имеет знака минус. Однако при применении правил Кирхгофа и прохождении через катушку индуктивности в направлении тока будет член −LdI (t) / dt, точно так же, как при обходе резистора возникает член −IR. ОТВЕТ: Если V положительно, то Если V Если V Если V Если V Если V

I (t) обязательно будет положительным, а dI (t) / dt будет отрицательным. положительно, то I (t) обязательно будет отрицательным, а dI (t) / dt будет отрицательным. положительно, то I (t) может быть положительным или отрицательным, тогда как dI (t) / dt обязательно будет отрицательным.положительно, то I (t) обязательно будет положительным, а dI (t) / dt будет положительным. положительно, то I (t) может быть положительным или отрицательным, тогда как dI (t) / dt обязательно будет положительным. положительно, то I (t) обязательно будет отрицательным, а dI (t) / dt будет положительным.

Обратите внимание, что когда вы применяете правила Кирхгофа и перемещаете катушку индуктивности в направлении протекания тока, вас интересует V BA = V B — V A = −LdI (t) / dt, точно так же, как обход резистора дает член −IR. Подводя итог: когда индуктор находится в цепи и ток изменяется, изменяющееся магнитное поле в индукторе создает электрическое поле.Это поле противодействует изменению тока, но в то же время накапливает заряд, создавая еще одно электрическое поле. Чистый эффект этих электрических полей состоит в том, что ток изменяется, но не резко. «Направление ЭДС» относится к направлению первого индуцированного электрического поля.

Задача 30.8 Описание: Тороидальный соленоид имеет площадь поперечного сечения A, средний радиус r и N витков. Пространство внутри обмоток заполнено ферромагнитным материалом с относительной проницаемостью каппа.(а) Рассчитайте индуктивность соленоида. (Вы … Тороидальный соленоид имеет площадь поперечного сечения 0,410 см 2, средний радиус 12,1 см и 1880 витков. Пространство внутри обмоток заполнено ферромагнитным материалом с относительной проницаемостью 550.

Часть A Рассчитайте индуктивность соленоида. (Вы можете игнорировать изменение магнитного поля в поперечном сечении тороида.) 2

Используйте 1,26 × 10−6N / A для проницаемости свободного пространства. ОТВЕТ: = 0.132 H

Часть B Если материал удален изнутри соленоида и заменен воздухом, какова индуктивность соленоида? ОТВЕТ: = 2,40 × 10−4 H

Самоиндуктивность коаксиального кабеля Описание: Найдите самоиндуктивность на единицу длины коаксиального кабеля. Коаксиальный кабель состоит из чередующихся коаксиальных цилиндров из проводящего и изоляционного материала. Коаксиальные кабели являются основным типом кабелей, используемых в индустрии кабельного телевидения, а также широко используются для компьютерных сетей, таких как Ethernet, из-за их превосходной способности передавать большие объемы электрического сигнала с минимальными искажениями.Однако, как и все другие виды кабелей, коаксиальные кабели также обладают некоторой самоиндукцией, которая имеет нежелательные эффекты, такие как искажение и нагрев.

Часть A Рассмотрим длинный коаксиальный кабель, состоящий из двух коаксиальных цилиндрических проводников, по которым проходят равные токи I в противоположных направлениях (см. Рисунок). Внутренний цилиндр представляет собой небольшой твердый проводник радиуса a. Внешний цилиндр представляет собой тонкостенный проводник внешнего радиуса b, электрически изолированный от внутреннего проводника. Рассчитайте самоиндуктивность на единицу длины L этого коаксиального кабеля.(L — это индуктивность l части кабеля, а l — длина этой части.) Из-за так называемого «скин-эффекта» ток I течет по (внешней) поверхности внутреннего проводящего цилиндра и обратно. по внешней поверхности внешнего проводящего цилиндра. Однако вы можете проигнорировать толщину внешнего цилиндра. Выразите свой ответ в терминах некоторых или всех переменных I, a, b и µ0, проницаемости свободного пространства.

Подсказка 1. Как подойти к проблеме. Собственную индуктивность кабеля можно определить, если известны как ток, так и магнитный поток, проходящий через кабель.Используя закон Ампера, вы можете рассчитать магнитное поле, создаваемое кабелем; вы обнаружите, что в области между двумя проводниками существует магнитное поле. Таким образом, рассчитайте магнитный поток на единицу длины через область между двумя цилиндрами. Поскольку ток в кабеле задан, теперь у вас должно быть достаточно информации для расчета самоиндукции кабеля.

Подсказка 2. Найдите магнитное поле внутри внутреннего цилиндра. Рассмотрим внутренний проводящий цилиндр. По внешней поверхности он проводит ток I.Какова величина магнитного поля B 1 на расстоянии r от оси цилиндра в области внутри цилиндра? Выразите свой ответ в терминах некоторых или всех переменных I, r и µ0 — проницаемости свободного пространства.

Подсказка 1. Закон Ампера

⃗

Закон Ампера гласит, что линейный интеграл магнитного поля B, вычисленный вокруг любого замкнутого пути, равен

→ ∮ B⃗ ⋅ dl = µ0 I encl, где µ0 — проницаемость свободное пространство, а I encl — чистый ток через область, ограниченную траекторией.Лучше всего использовать круг с центром на оси цилиндров, потому что магнитное поле будет касаться петли во всех точках, что упрощает вычисление скалярного произведения. ОТВЕТ:

B1 = 0

Подсказка 3. Найдите магнитное поле между цилиндрами. Теперь рассмотрим оба проводящих цилиндра, каждый из которых несет равные токи I в противоположных направлениях. Найти величину магнитного поля B 2 на расстоянии r от оси кабеля в области между двумя цилиндрами. Выразите свой ответ в терминах некоторых или всех переменных I, r и µ0 — проницаемости свободного пространства.

Подсказка 1. Закон Ампера

⃗

Закон Ампера гласит, что линейный интеграл магнитного поля B, вычисленный вокруг любого замкнутого пути, равен

→ ∮ B⃗ ⋅ dl = µ0 I encl, где µ0 — проницаемость свободное пространство, а I encl — чистый ток через область, ограниченную траекторией. Лучше всего использовать круг с центром на оси цилиндров, потому что магнитное поле будет касаться петли во всех точках, что упрощает вычисление скалярного произведения.ОТВЕТ:

B2 =

Между проводящими цилиндрами магнитное поле идентично тому, которое создавалось бы проводом, по которому проходит ток I, расположенным вдоль оси цилиндров.

Подсказка 4. Найдите магнитное поле вне кабеля Наконец, найдите величину магнитного поля B 3 на расстоянии r от оси кабеля в области за пределами кабеля. Снова предположим, что ток I течет по поверхности внутреннего цилиндра и течет обратно по поверхности внешнего цилиндра.Выразите свой ответ в терминах некоторых или всех переменных I, r и µ0 — проницаемости свободного пространства.

Подсказка 1. Закон Ампера

⃗

Закон Ампера гласит, что линейный интеграл магнитного поля B, вычисленный вокруг любого замкнутого пути, равен

→ ∮ B⃗ ⋅ dl = µ0 I encl, где µ0 — проницаемость свободное пространство, а I encl — чистый ток через область, ограниченную

путем. Лучше всего использовать круг с центром на оси цилиндров, потому что магнитное поле будет касаться петли во всех точках, что упрощает вычисление скалярного произведения.ОТВЕТ:

B3 = 0 Поля встречных токов компенсируют друг друга.

Подсказка 5. Найдите магнитный поток в кабеле ΦB в кабеле, обусловленный токами I. Пусть a будет радиусом внутреннего l радиуса внешнего цилиндра.

Найдите магнитный поток на единицу длины цилиндра и b

Выразите свой ответ в терминах некоторых или всех переменных I, a, b и µ0, проницаемости свободного пространства.

Подсказка 1. Как подойти к проблеме Магнитное поле коаксиального кабеля существует только в области между двумя цилиндрами.Следовательно, вам необходимо рассчитать магнитный поток на единицу длины через этот участок кабеля. Для этого подумайте о направлении магнитного поля (используя правило правой руки) и о том, какой элемент площади использовать.

Совет 2. Как рассчитать магнитный поток

⃗

Учитывая конечную площадь A в магнитном поле B, магнитный поток Φ B через площадь определяется следующим интегралом, вычисленным по площади:

ΦB = ∫ B⃗ ⋅ dA⃗, →

, где dA — бесконечно малый элемент площади.Магнитное поле, создаваемое кабелем, существует только в области между цилиндрами и перпендикулярно любой плоскости, содержащей ось кабеля. Поэтому для расчета магнитного потока удобнее всего выбрать элемент площади длиной l, параллельной оси кабеля, и шириной dr, лежащей в плоскости, содержащей ось. На рисунке ниже показан такой элемент площади с поперечным сечением кабеля, параллельным изображенной оси кабеля. Такой элемент площади перпендикулярен магнитному полю, что упрощает скалярное произведение.

ОТВЕТ: ΦB = l

Подсказка 6. Формула для самоиндукции Собственная индуктивность L цепи, по которой проходит ток i, определяется выражением ΦB, i, где Φ B — магнитный поток, проходящий через замкнутый контур цепи.

L =

ОТВЕТ: L = l

Емкость на единицу длины

2πϵ 0 C L такого коаксиального кабеля составляет. Таким образом, произведение l l ln ab

⋅

C l

= µ o ⋅ ϵ0 =

1, c2

, где c — скорость света в вакууме! Как вы могли догадаться, это не совпадение, а результат, который в целом справедлив для таких систем.

Упражнение 30.18 Описание: заполненный воздухом тороидальный соленоид имеет N витков провода, средний радиус r и площадь поперечного сечения A. (a) Если ток равен I, рассчитайте магнитное поле в соленоиде. (b) Рассчитайте самоиндукцию соленоида. (c) Рассчитайте …

c

2

Тороидальный соленоид, заполненный воздухом, имеет 390 витков провода, средний радиус 15,0 см и площадь поперечного сечения 4,20 см 2.

Часть A Если ток 5,60 А, рассчитайте магнитное поле в соленоиде.ОТВЕТ:

B =

= 2,91 × 10−3

T

Часть B Рассчитайте самоиндуктивность соленоида. ОТВЕТ:

L =

= 8,52 × 10-5

H

Часть C Рассчитайте энергию, запасенную в магнитном поле. ОТВЕТ:

U =

= 1,34 × 10-3

Дж

Часть D Рассчитайте плотность энергии в магнитном поле. ОТВЕТ:

u =

= 3,37

Дж / м 3

Часть E Найдите ответ для части D, разделив свой ответ на часть C на объем соленоида.ОТВЕТ:

= 3,37

u =

Дж / м 3

Упражнение 30.20 Описание: Было предложено использовать большие индукторы в качестве накопителей энергии. а) Сколько электрической энергии преобразуется в световую и тепловую энергию лампочки мощностью P за один день? (b) Если количество энергии, рассчитанное в части (a), сохраняется … Было предложено использовать большие индукторы в качестве устройств хранения энергии.

Часть A Сколько электрической энергии преобразуется в световую и тепловую энергию лампочкой мощностью 210 Вт за один день? ОТВЕТ:

U =

= 1.81 × 107

Дж

Часть B Если количество энергии, вычисленное в части (а), хранится в катушке индуктивности с током 85,0 А, какова индуктивность? ОТВЕТ:

L =

= 5020

H

Авторские права © 2014 Pearson. Все права защищены. Официальное уведомление

Политика конфиденциальности

Разрешения

Поддержка

Проблемы индуктивности и решения для AP Physics

В этом руководстве по решенным задачам решаются некоторые из наиболее важных примеров и проблем самоиндукции, которые относятся к уровню C физики AP.{-4}} = 256,5 \] Взяв квадратный корень из обеих частей, получаем количество витков соленоида $ N = 16 $.

(b) Изменяющийся ток вызывает самоиндуцированную ЭДС в соленоиде, величина которой определяется формулой \ [\ mathcal {E} _L = -L \ frac {di} {dt} \], где отрицательное значение означает направление ЭДС. Подставляя известные значения выше и решая для $ di / dt $, мы получаем \ begin {align *} \ mathcal {E} _L & = — L \ frac {di} {dt} \\ \\ -12,5 & = — 0,285 \, \ frac {di} {dt} \\ \\ \ Rightarrow \ frac {di} {dt} & = +43.{2} (20)} {20} = 0.314 \, {\ rm m} \] Таким образом, соленоид имеет длину $ 31.4 \, {\ rm cm} $.

Задача (4): соленоид с $ 100 $ витками имеет длину $ 25 \, {\ rm cm} $ и радиус петли $ 10 \, {\ rm cm} $. Ток в нем постоянно меняется от $ 30 \, {\ rm A} $ до нуля в $ 0.02 \, {\ rm s} $. Какова самоиндуцированная ЭДС соленоида?

Решение : изменяющийся ток связан с изменением магнитного потока с использованием определения самоиндукции как $ \ Delta \ Phi = L \ Delta i $, где $ \ Phi $ — полный магнитный поток, проходящий через катушку с проволокой. имеющий $ N $ витков, который связан с потоком через каждый виток как $ \ Phi = N \ phi $.{2})} {0,25} = 1,5 \, {\ rm mH} \]

Задача (5): В тот момент, когда скорость изменения тока через идеальную катушку индуктивности увеличивается как $ 0,064 \, {\ rm A / s} $, величина самоиндуцированной ЭДС составляет $ 0,016 \, {\ rm V} $.
(а) Какова индуктивность катушки индуктивности?
(b) Пусть этот индуктор представляет собой соленоид с оборотом $ 400. Сколько магнитного потока проходит через каждый его виток при токе $ 0,720 \, {\ rm A} $?

Решение : изменяющийся во времени ток через соленоид создает ЭДС, которая связана друг с другом по следующей формуле \ [\ mathcal {E} _L = -L \ frac {di} {dt} \] Где минус Знак указывает направление самоиндуцированной ЭДС по закону Ленца.{-Rt / L} \ right) \], поэтому в момент $ t = 0 $ ток равен нулю.

С другой стороны, определение индуктивности как $ N \ Delta \ phi = L \ Delta i $ связывает разницу в магнитном потоке через каждый виток $ \ phi $ с разностью токов. Мы можем использовать это определение, чтобы найти поток через каждый виток $ N $ -виткового соленоида. \ begin {align *} N \ Delta \ phi & = L \ Delta i \\ N (\ phi_2- \ phi_1) & = L (i_2-i_1) \\ (400) (\ phi_2-0) & = (0,25) (0.72-0) \\ \ Rightarrow \ phi_2 & = 0.45 \, {\ rm mWb} \ end {align *} В приведенном выше примере $ \ phi_1 $ и $ i_1 $ являются потоком и током в момент времени $ t = 0 $, когда в цепи нет тока, как и магнитного потока.

Проблема (6): В катушке с оборотом $ 500 $ ток меняется от $ 2 \, {\ rm A} $ до $ 2.05 \, {\ rm A} $ в интервале времени $ \ Delta t $. За это время поток меняется от $ 5000 \, {\ rm \ mu Wb} $ до $ 5025 \, {\ rm \ mu Wb} $. Какая у катушки Генри самоиндукция?

Решение . Вспомните, что при изменении магнитного потока в цепи создается электродвижущая сила, ЭДС $ \ mathcal {E} $ как \ [\ mathcal {E} = — \ frac {d \ Phi} {dt} \]
С другой стороны, скорость изменения потока связана со скоростью изменения тока с использованием определения самоиндукции $ \ Phi = LI $.Таким образом, на этот раз индуцированная ЭДС записывается как \ [\ mathcal {E} = — \ frac {d \ Phi} {di} = — L \ frac {di} {dt} \]

Если интервал времени не бесконечно мал, мы имеем \ [\ mathcal {E} = — \ frac {\ Delta \ Phi} {\ Delta i} = — L \, \ frac {\ Delta i} {\ Delta t} \ ] Подставляя известные значения в формулу выше, мы получаем \ begin {align *} — \ frac {\ Delta \ Phi} {\ Delta i} & = — L \ frac {\ Delta i} {\ Delta t} \\ \ \ \ frac {5025-5000} {\ Delta t} & = L \ frac {2.05-2} {\ Delta t} \\ \\ 25 & = L \ times 0,05 \\ \\ \ Rightarrow L & = 500 \ quad { \ rm H} \ end {align *}

Задача (7): В данный момент времени ток и наведенная ЭДС в катушке индуктивности показаны ниже.
(а) Ток увеличивается или уменьшается?
(b) Если наведенная ЭДС составляет $ 25 \, {\ rm V} $ и скорость изменения тока $ 10 \, {\ rm kA / s} $, то найдите индуктивность индуктора.

Решение : Согласно закону Фарадея , самоиндуцированная ЭДС определяется формулой \ [\ mathcal {E} _L = -L \ frac {di} {dt} \], где $ L $ — самоиндукция. {3} \ right) \\ \\ \ Rightarrow L & = 2.5 \ quad {\ rm mH} \ end {align *}

Задача (8): На рисунке ниже изображен график зависимости тока от времени для катушки индуктивности $ 4 \, {\ rm H} $. Какова величина наведенной ЭДС в следующие промежутки времени?
(a) $ 0 \ leq t \ leq 2 $
(b) $ 2 \ leq t \ leq 5 $
(c) $ 5 \ leq t \ leq 6 $

Решение : Когда ток в катушке индуктивности изменяется, магнитный поток также изменяется. Следовательно, согласно закону Фарадея, индуцированная ЭДС получается как $ \ mathcal {E} = — L \ frac {\ Delta i} {\ Delta t} $, где отрицательная величина обусловлена ​​законом Ленца.{-3}} = — 5000 \, {\ rm A / s} \] Следовательно, индуцированная ЭДС равна \ [\ mathcal {E} = (- 4) \ times (-5000) = 20 \, {\ rm kV} \]
Как вы можете видеть, ток и индуцированная ЭДС имеют противоположные направления только во временном интервале $ [0,2] $ и имеют одинаковое направление в другие моменты времени, что и ожидается из закона Ленца.

Задача (9): Ток в длинном соленоиде с индуктивностью $ L = 0,5 \, {\ rm H} $ изменяется как $ I (t) = 0,2 \ sin (500t) $. Найти максимальное значение наведенной ЭДС в соленоиде.

Решение : Переменный ток создает ЭДС в катушке индуктивности (соленоиде или катушке с проводом) с самоиндукцией $ L $, как показано ниже \ [\ mathcal {E} _L = -L \ frac {di} {dt} \ ] Таким образом, самоиндуцированная ЭДС в соленоиде равна \ begin {align *} \ mathcal {E} _L & = — (0.5) \, \ frac {d} {dt} \ left (0.2 \ sin (500t) \ right ) \\ \\ & = — (0.5) (0.2) (500) \ cos (500t) \\ \\ & = — 50 \ cos (500t) \ end {align *} Напомним из тригонометрии, что максимальное значение косинуса функция равна $ 1 $, поэтому максимальное значение индуцированной ЭДС составляет $ \ mathcal {E} _L = -50 \, {\ rm V} $.

Отрицательный показывает направление наведенной ЭДС.

Задача (10): На рисунке ниже показан идеальный индуктор с нулевым сопротивлением $ 0,260 \, {\ rm H} $. Уменьшающийся ток проходит через него с постоянной скоростью $ di / dt = -0,0180 $ в указанном направлении.
(a) Найдите эдс индуктивности индуктивности индуктивности.
(b) Какая из точек a и b имеет более высокий потенциал?

Решение : Согласно закону Фарадея, самоиндуцированная ЭДС индуктора с индуктивностью $ L $ определяется как \ [\ mathcal {E} _L = -L \ frac {di} {dt} \], где минус Знак указывает направление ЭДС.

(a) Подставляя известные значения в приведенную выше формулу, мы получаем \ [\ mathcal {E} _L = — (0,260) (- 0,0180) = + 4,68 \, {\ rm mV} \]

(b) В приведенной выше формуле направление наведенной ЭДС зависит от того, увеличивается или уменьшается ток через катушку индуктивности.

Уменьшающийся ток, $ di / dt <0 $, индуцирует ЭДС в том же направлении, что и ток, чтобы предотвратить дальнейшее уменьшение тока в соответствии с законом Ленца.

В этом случае индуктор действует как батарея со следующей полярностью.

Следовательно, как видно из рисунка выше, точка $ a $ имеет более высокий потенциал.

Автор: Али Немати
Дата публикации: 24.03.2021

Различные типы индукторов с символами и приложениями