Как найти скорость при движении по окружности: Движение по окружности – Равномерное движение по окружности. Скорость, ускорение

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах. 

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело. 

∆l=R∆φ

Если угол поворота мал, то ∆l≈∆s.

Проиллюстрируем сказанное:

Движение по окружности

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω, то есть скорости изменения угла поворота. 

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆φ к промежутку времени ∆t, за которое оно произошло. ∆t→0.

ω=∆φ∆t, ∆t→0.

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду (радс).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

ω=vR

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру. 

an=∆v→∆t, ∆t→0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

an=v2R=ω2R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v→ за малый промежуток времени ∆t. ∆v→=vB→-vA→.

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a→=∆v→∆t, ∆t→0

Взглянем на рисунок:

Нормальное ускорение

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что OA

Равномерное движение по окружности. Скорость, ускорение

 

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: движение по окружности с постоянной по модулю скоростью, центростремительное ускорение.

Равномерное движение по окружности — это достаточно простой пример движения с вектором ускорения, зависящим от времени.

Пусть точка вращается по окружности радиуса . Скорость точки постоянна по модулю и равна . Скорость называется линейной скоростью точки.

Период обращения — это время одного полного оборота. Для периода имеем очевидную формулу:

. (1)

Частота обращения — это величина, обратная периоду:

.

Частота показывает, сколько полных оборотов точка совершает за секунду. Измеряется частота в об/с (обороты в секунду).

Пусть, например, . Это означает, что за время точка совершает один полный

оборот. Частота при этом получается равна: об/с; за секунду точка совершает 10 полных оборотов.

 

Угловая скорость.

 

Рассмотрим равномерное вращение точки в декартовой системе координат. Поместим начало координат в центре окружности (рис. 1).

\nu = 1/0,1 = 10
Рис. 1. Равномерное движение по окружности

 

Пусть — начальное положение точки; иными словами, при точка имела координаты . Пусть за время точка повернулась на угол и заняла положение .

Отношение угла поворота ко времени называется угловой скоростью вращения точки:

. (2)

Угол , как правило, измеряется в радианах, поэтому угловая скорость измеряется в рад/с. За время, равное периоду вращения, точка поворачивается на угол . Поэтому

. (3)

Сопоставляя формулы (1) и (3), получаем связь линейной и угловой скоростей:

. (4)

 

Закон движения.

 

Найдём теперь зависимость координат вращающейся точки от времени. Видим из рис. 1, что

.

Но из формулы (2) имеем: . Следовательно,

. (5)

Формулы (5) являются решением основной задачи механики для равномерного движения точки по окружности.

 

Центростремительное ускорение.

 

Теперь нас интересует ускорение вращающейся точки. Его можно найти, дважды продифференцировав соотношения (5):

С учётом формул (5) имеем:

(6)

Полученные формулы (6) можно записать в виде одного векторного равенства:

(7)

где — радиус-вектор вращающейся точки.

Мы видим, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, т. е. к центру окружности (см. рис. 1). Поэтому ускорение точки, равномерно движущейся по окружности, называется центростремительным.

Кроме того, из формулы (7) мы получаем выражение для модуля центростремительного ускорения:

(8)

Выразим угловую скорость из (4)

и подставим в (8). Получим ещё одну формулу для центростремительного ускорения:

.

 

Движение по окружности, теория и онлайн калькуляторы

Значимым частным случаем перемещения материальной точки по заданной траектории служит движение по окружности. Местоположение точки на окружности можно задавать не при помощи расстояния от некоторой начальной точки (допустим A), а с помощью угла $\varphi $, который образуют радиусы, которые провели из центра окружности (O) к рассматриваемой частице (точка M) и из О в точку начала отсчета (A) (рис.1).

Скорость при движении по окружности

При движении по окружности вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($\omega $), которая характеризует быстроту изменения угла $\varphi $:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(1\right).\]

Определим, какова связь между линейной и угловой скоростями. Длину дуги АМ ($s$) (рис.1) можно найти как:

\[s=R\varphi \left(2\right),\]

тогда изменение длины дуги за время$\ \Delta t$ равно$\ \Delta s$:

\[\Delta s=R\Delta \varphi \ \left(3\right).\]

Найдем отношение $\frac{\Delta s}{\Delta t}$, разделив обе части выражения (3) на $\Delta t$:

\[\frac{\Delta s}{\Delta t}=R\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ \left(4\right).\]

Перейдем к пределу в правой и левой частях равенства (4) при $\Delta t\to 0$, получим:

\[{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\ }=R{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ }\to v=R\omega \left(5\right).\]

Ускорение материальной точки при движении по окружности

При движении по окружности (как при любом неравномерном криволинейном движении) ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (${\overline{a}}_{\tau }$), которое направлено по касательной к траектории движения точки и характеризующее быстроту изменения модуля скорости $v$ и центростремительной ускорение (${\overline{a}}_n$), направленное к центру кривизны траектории, определяющее быстроту изменения направления скорости.

Величина нормальной (центростремительной) компоненты ускорения вычисляется при помощи формулы:

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(6\right).\]

При равномерном перемещении по окружности величина центростремительного ускорения постоянна ($a_n=const).\ $Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.

Тангенциальное ускорение при движении по окружности вычисляют, как и при любом криволинейном движении:

\[{\overline{a}}_{\tau }=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(7\right).\]

Период и частота — характеристики равномерного движения по окружности

Равномерное движение по окружности можно характеризовать при помощи такой физической величины как период обращения ($T$), который определяют как время совершения материальной точкой полного оборота. Используют и частоту ($\nu$) обращения, которую определяют как величину обратную периоду, рав

Трение и движение по окружности

В этой статье собраны задачи, затрагивающие одновременно как тему “сила трения”, так и тему “движение по окружности”, придется вспомнить, что такое центробежная сила и как рассчитывается нормальное ускорение.

Задача 1. На горизонтальной дороге автомобиль делает поворот радиусом 16 м. Какова наибольшая скорость, которую может развить автомобиль, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения колес о дорогу равен 0,4? Во сколько раз изменится эта скорость зимой, когда коэффициент трения станет меньше в 4 раза?

К задаче 1

Чтобы автомобиль не занесло, необходимо чтобы сила трения была не меньше, чем центробежная сила. Поэтому

   

   

Приравняем:

   

Откуда скорость:

   

   

Если коэффициент трения уменьшится вчетверо, скорость придется уменьшить вдвое: м/с.

Ответ: м/с, м/с.

 

Задача 2. Горизонтально расположенный диск проигрывателя вращается с частотой 78 об/мин. На него поместили небольшой предмет. Расстояние от оси вращения до предмета составляет 7 см. На этом расстоянии предмет удерживается на диске. Каков коэффициент трения между предметом и диском?

Необходимо, чтобы сила трения была не меньше, чем центробежная сила. Поэтому

   

   

Приравняем:

   

   

   

Зная частоту вращения, определим коэффициент трения:

   

Ответ: .

 

Задача 3. Определите, какого радиуса круг может описать велосипедист, если он едет со скоростью 25 км/ч, а предельный угол наклона велосипедиста к земле равен ?

К задаче 3

Чтобы велосипедиста не занесло, необходимо чтобы сила трения была не меньше, чем центробежная сила. Но колесо наклонено под углом , поэтому введем систему координат  (ось – горизонтальна, ось – направлена вертикально вверх):

   

   

Следовательно, так как по определению , то

   

Теперь определим радиус из условия равенства силы трения и центробежной силы:

   

Приравняем:

   

   

Ответ: 8,5 м

 

Задача 4. Описывая окружность радиусом 30 м, конькобежец наклонился в сторону поворота на угол к горизонту. С какой скоростью двигался конькобежец? Каков коэффициент трения коньков о лед?

Введем систему координат и разложим силу реакции опоры на проекции на оси:

   

   

Найдем силу реакции опоры:

   

Найдем :

   

Теперь определим скорость:

   

   

   

   

Определим коэффициент трения:

   

   

Ответ: м/с, .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *