Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле D₁ = k² − ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x² + 6x − 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении k = 5.

---

Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении k = 6.

---

Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении k = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x² + 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении k = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = 3² − 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x² + 6x − 

16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b² − 4ac), в формуле D₁ = k² − ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.

---

Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x² − 6x + 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть k = −3. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² 

− ac

D₁ = k² − ac = (−3)² − 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

---

Пример 3. Решить квадратное уравнение x² − 10x − 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть k = −5. Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

D₁ = k² − ac = (−5)² − 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2

---

Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2

k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле D₁ = k² − ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:

---

Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax² + 2kx + c = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b² − 4ac = (2k)² − 4ac = 4k² − 4ac = 4(k² − ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k² − ac.

В выражении 4(k² − ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения

k² − ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k² − ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D₁

D₁ = k² − ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо

b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k² − ac)

Но ранее было сказано, что выражение k² − ac обозначается через D₁. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

---

Понравился урок?

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         —b ± √D
x =  ————,  где D = b² – 4ac.
             2a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x² + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b² – 4ac = 7² – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x₁ = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x₂ = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x₁ = – —,    x₂ = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D₁
x = ————,   где D₁ = k² – ac
             a

Пример. Решим уравнение 5x² – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k² – ac = (-8)² – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D₁       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x₁ = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x₂ = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x₁ = 3; x₂ = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b² — 4ac

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x² — 4x + 2 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3, b = -4, c = 2

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D < 0

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x² — 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -6, c = 9

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-6)² — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ: 3.

Пример 3.

x² — 4x — 5 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -5

Найдём дискриминант:

D = b² — 4ac = (-4)² — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Уравнение имеет два корня:

x₁ = (4 + 6) : 2 = 5,   x₂ = (4 — 6) : 2 = -1

Ответ: 5, -1.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x — переменная,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: 

Формула дискриминанта:

.

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

• D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
• D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
• D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х².

Словарь химических формул — это… Что такое Словарь химических формул?

Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
D2O	оксид дейтерия	7732-20-0
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
LaCl3	Хлорид лантана (III)	10099-58-8
LaPO4	Фосфат лантана (III)	14913-14-5
Li(AlSi2O6)	Кеатит
LiBr	Бромид лития	7550-35-8
LiBrO3	Бромат лития
LiCN	Цианид лития
LiC2H5O	Этилат лития
LiF	фторид лития	7789-24-4
LiHSO4	Гидросульфат лития
LiIO3	Иодат лития
LiNO3	Нитрат лития
LiTaO3	Танталат лития
Li2CrO4	Хромат лития
Li2Cr2O7	Дихромат лития
Li2MoO4	Ортомолибдат лития	13568-40-6
Li2NbO3	Метаниобат лития
Li2SO4	Сульфат лития	10377-48-7
Li2SeO3	Селенит лития
Li2SeO4	Селенат лития
Li2SiO3	Метасиликат лития	10102-24-6
Li2SiO4	Ортосиликат лития
Li2TeO3	Теллурит лития
Li2TeO4	Теллурат лития
Li2TiO3	Метатитанат лития	12031-82-2
Li2WO4	Ортовольфрамат лития	13568-45-1
Li2ZrO3	Метацирконат лития
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
PH3	phosphine	7803-51-2
POCl3	phosphoryl chloride	10025-87-3
PO43−	phosphate ion
P2I4	phosphorus(II) iodide
P2O74−	pyrophosphate ion
P2S3	phosphorus(III) sulfide
P2Se3	phosphorus(III) selenide
P2Se5	phosphorus(V) selenide
P2Te3	phosphorus(III) telluride
P3N5	phosphorus(V) nitride	12136-91-3
P4O10	tetraphosphorus decaoxide	16752-60-6
Pb(CH3COO)2·3H2O	ацетат свинца — тригидрат
PbCO3	lead carbonate cerussite
Pb(C2H5)4	tetraethyllead
PbC2O4	lead oxalate
PbCrO4	lead chromate
PbF2	lead fluoride	7783-46-2
Pb(IO3)2	lead iodate
PbI2	lead(II) iodide	10101-63-0
Pb(NO3)2	lead(II) nitrate lead dinitrate plumbous nitrate
Pb(N3)2	lead azide
PbO	lead(II) oxide litharge	1317-36-8
Pb(OH)2	plumbous hydroxide
Pb(OH)4	plumbic hydroxide plumbic acid
Pb(OH)62−	plumbate ion
PbO2	lead(IV) oxide lead dioxide	1309-60-0
PbS	сульфид свинца галенит	1314-87-0
PbSO4	сульфат свинца(II)	7446-14-2
Pb3(SbO4)2	lead antimonate
PtBr2	platinum(II) bromide
PtBr4	platinum(IV) bromide
PtCl2	platinum(II) chloride
PtCl4	platinum(IV) chloride
PtI2	platinum(II) iodide
PtI4	platinum(IV) iodide
[Pt(NH2CH2CH2NH2)3]Br4	tris(ethylenediamine)platinum(IV) bromide
[Pt(NH3)2(H2O)2Cl2]Br2	diamminediaquadichloroplatinum(VI) bromide
PtO2	platinum(IV) oxide	50417-46-4
PtS2	platinum(IV) sulfide
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
RbAl(SO4)2·12H2O	rubidium aluminum sulfate — dodecahydrate
RbBr	rubidium bromide	7789-39-1
RbC2H3O2	rubidium acetate
RbCl	rubidium chloride	7791-11-9
RbClO4	rubidium perchlorate
RbF	rubidium fluoride	13446-74-7
RbNO3	rubidium nitrate	13126-12-0
RbO2	rubidium superoxide
Rb2C2O4	rubidium oxalate
Rb2CrO4	rubidium chromate
Rb2PO4	rubidium orthophosphate
Rb2SeO3	rubidium selenite
Rb2SeO4	rubidium selenate
Rb3C6H5O7·H2O	rubidium citrate — monohydrate
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
SCN−	thiocyanate
SF4	sulfur tetrafluoride
SF6	sulfur hexafluoride	2551-62-4
SOF2	thionyl difluoride	7783-42-8
SO2	sulfur dioxide	7446-09-5
SO2Cl2	sulfuryl chloride	7791-25-5
SO2F2	sulfuryl difluoride	2699-79-8
SO2OOH−	peroxymonosulfurous acid (aqueous)
SO3	sulfur trioxide	7446-11-9
SO32−	sulfite ion
SO42−	sulfate ion
S2Br2	sulfur(II) bromide	71677-14-0
S2O32−	thiosulfate ion
S2O72−	disulfate ion
SbBr3	antimony(III) bromide	7789-61-9
SbCl3	antimony(III) chloride	10025-91-9
SbCl5	antimony(V) chloride	7647-18-9
SbI3	antimony(III) iodide	7790-44-5
SbPO4	antimony(III) phosphate
Sb2OS2	antimony oxysulfide kermesite
Sb2O3	antimony(III) oxide	1309-64-4
Sb2O5	antimony(V) oxide
Sb2S3	antimony(III) sulfide	1345-04-6
Sb2Se3	antimony(III) selenide	1315-05-5
Sb2Se5	antimony(V) selenide
Sb2Te3	antimony(III) telluride
Sc2O3	scandium oxide scandia
SeBr4	selenium(IV) bromide
SeCl	selenium(I) chloride
SeCl4	selenium(IV) chloride	10026-03-6
SeOCl2	selenium(IV) oxychloride	7791-23-3
SeOF2	selenyl difluoride
SeO2	selenium(IV) oxide	7446-08-4
SeO42−	selenate ion
SeTe	selenium(IV) telluride	12067-42-4
SiBr4	silicon(IV) bromide	7789-66-4
SiC	карбид кремния	409-21-2
SiCl4	silicon(IV) chloride	10026-04-7
SiH4	силан	7803-62-5
SiI4	silicon(IV) iodide	13465-84-4
SiO2	диоксид кремния silica кварц	7631-86-9
SiO44−	silicate ion
Si2O76−	disilicate ion
Si3N4	silicon nitride	12033-89-5
Si6O1812−	cyclosilicate ion
SnBrCl3	tin(IV) bromotrichloride
SnBr2	tin(II) bromide	10031-24-0
SnBr2Cl2	tin(IV) dibromodichloride
SnBr3Cl	tin(IV) tribromochloride	14779-73-8
SnBr4	tin(IV) bromide	7789-67-5
SnCl2	tin(II) chloride	7772-99-8
SnCl2I2	tin(IV) dichlorodiiodide
SnCl4	tin(IV) chloride	7646-78-8
Sn(CrO4)2	tin(IV) chromate
SnI4	tin(IV) iodide	7790-47-8
SnO2	tin(IV) oxide	18282-10-5
SnO32−	stannate ion
SnS	tin(II) sulfide	1314-95-0
SnS2	tin(IV) sulfide
Sn(SO4)2·2H2O	tin(IV) sulfate — dihydrate
SnSe	tin(II) selenide	1315-06-6
SnSe2	tin(IV) selenide
SnTe	tin(II) telluride	12040-02-7
SnTe4	tin(IV) telluride
Sn(VO3)2	tin(II) metavanadate
Sn3Sb4	tin(IV) antimonide
SrBr2	strontium bromide	10476-81-0
SrBr2·6H2O	strontium bromide — hexahydrate
SrCO3	strontium carbonate
SrC2O4	strontium oxalate
SrF2	strontium fluoride	7783-48-4
SrI2	strontium iodide	10476-86-5
SrI2·6H2O	strontium iodide — hexahydrate
Sr(MnO4)2	strontium permanganate
SrMoO4	strontium orthomolybdate	13470-04-7
Sr(NbO3)2	strontium metaniobate
SrO	strontium oxide	1314-11-0
SrSeO3	strontium selenite
SrSeO4	strontium selenate
SrTeO3	strontium tellurite
SrTeO4	strontium tellurate
SrTiO3	титанат стронция
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
T2O	оксид трития tritiated water	14940-65-9
TaBr3	бромид тантала (III)
TaBr5	бромид тантала (V)
TaCl5	Хлорид тантала(V)	7721-01-9
TaI5	Иодид тантана(V)
TaO3−	tantalate ion
TcO4−	pertechnetate ion
TeBr2	tellurium(II) bromide
TeBr4	tellurium(IV) bromide
TeCl2	tellurium(II) chloride
TeCl4	tellurium(IV) chloride	10026-07-0
TeI2	tellurium(II) iodide
TeI4	tellurium(IV) iodide
TeO2	tellurium(IV) oxide	7446-07-3
TeO4−	tellurate ion
TeY	yttrium telluride	12187-04-1
Th(CO3)2	thorium carbonate	19024-62-5
Th(NO3)4	thorium nitrate	13823-29-5
TiBr4	titanium(IV) bromide	7789-68-6
TiCl2I2	titanium(IV) dichlorodiiodide
TiCl3I	titanium(IV) trichloroiodide
TiCl4	titanium tetrachloride	7550-45-0
TiO2	оксид титана (IV) рутил	1317-70-0
TiO32−	titanate ion
TlBr	thallium(I) bromide	7789-40-4
TlBr3	thallium(III) bromide
Tl(CHO2)	thallium(I) formate
TlC2H3O2	thallium(I) acetate	563-68-8
Tl(C3H3O4)	thallium(I) malonate
TlCl	thallium(I) chloride	7791-12-0
TlCl3	thallium(III) chloride
TlF	thallium(I) fluoride	7789-27-7
TlI	thallium(I) iodide	7790-30-9
TlIO3	thallium(I) iodate
TlI3	thallium(III) iodide
TiI4	titanium(IV) iodide	7720-83-4
TiO(NO3)2 · xH2O	titanium(IV) oxynitrate — hydrate
TlNO3	thallium(I) nitrate	10102-45-1
TlOH	thallium(I) hydroxide
TlPF6	thallium(I) hexafluorophosphate	60969-19-9
TlSCN	thallium thiocyanate
Tl2MoO4	thallium(I) orthomolybdate
Tl2SeO3	thallium(I) selenite
Tl2TeO3	thallium(I) tellurite
Tl2WO4	thallium(I) orthotungstate
Tl3As	thallium(I) arsenide
Химическая формула	Название соединения	Номер по классификатору CAS
Zn(AlO2)2	алюминат цинка
Zn(AsO2)2	арсенит цинка	10326-24-6
ZnBr2	бромид цинка	7699-45-8
Zn(CN)2	цианид цинка	557-21-1
ZnCO3	карбонат цинка	3486-35-9
Zn(C8H15O2)2	каприлат цинка	557-09-5
Zn(ClO3)2	хлорат цинка	10361-95-2
ZnCl2	хлорид цинка	7646-85-7
ZnCr2O4	хромит цинка	12018-19-8
ZnF2	фторид цинка	7783-49-5
Zn(IO3)2	иодат цинка	7790-37-6
ZnI2	иодид цинка	10139-47-6
ZnMoO4	ортомолибдат цинка
Zn(NO2)2	нитрит цинка	10102-02-0
Zn(NO3)2	нитрат цинка	7779-88-6
Zn(NbO3)2	метаниобат цинка
ZnO	оксид цинка	1314-13-2
ZnO2	пероксид цинка	1314-22-3
Zn(OH)2	гидроксид цинка	20427-58-1
Zn(OH)42−	zincate ion
ZnS	сульфид цинка сфалерит	1314-98-3
Zn(SCN)2	тиоцианат цинка	557-42-6
ZnSO4	сульфат цинка	7733-02-0
ZnSb	антимонид цинка	12039-35-9
ZnSe	селенид цинка	1315-09-9
ZnSeO3	селенит цинка
ZnSnO3	станнат цинка
Zn(TaO3)2	метатанталат цинка
ZnTe	теллурид цинка	1315-11-3
ZnTeO3	теллурит цинка
ZnTeO4	теллурат цинка
ZnTiO3	метатитанат цинка
Zn(VO3)2	метаванадат цинка
ZnWO4	zinc orthotungstate
ZnZrO3	метацирконат цинка
Zn2P2O7	пирофосфат цинка	7446-26-6
Zn2SiO4	ортосиликат цинка	13597-65-4
Zn3(AsO4)2	арсенат цинка	13464-44-3
Zn3As2	арсенид цинка
Zn3N2	нитрид цинка	1313-49-1
Zn3P2	фосфид цинка	1314-84-7
Zn3(PO4)2	фосфат цинка	7779-90-0
Zn3Sb2	антимонид цинка
ZrB2	борид циркония	12045-64-6
ZrBr4	бромид циркония	13777-25-8
ZrC	карбид циркония	12020-14-3
ZrCl4	тетрахлорид циркония	10026-11-6
ZrF4	фторид циркония	7783-64-4
ZrI4	иодид циркония	13986-26-0
ZrN	нитрид циркония	25658-42-8
Zr(OH)4	гидроксид циркония	14475-63-9
ZrO2	диоксид циркония бадделеит	1314-23-4
ZrO32−	цирконат-ион
ZrP2	фосфид циркония	12037-80-8
ZrS2	сульфид циркония	12039-15-5
ZrSi2	силицид циркония (ди)силицид циркония[1]	12039-90-6
ZrSiO4	ортосиликат циркония циркон	10101-52-7
Zr3(PO4)4	фосфат циркония

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Чем ещё удивит математика? Вот как выглядит формула всего, и вот как это использовать в личных целях. Алгоритм с иллюстрациями.

Феноменальное неравенство

Посмотрите на одно занимательное число. Это классика. Возможно, вам знакомая.

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619347047088099284506447
69865524364849997247024915119110411605739177407856919754326571855442057210445735883681829
82375413963433822519945219165128434833290513119319995350241375876523926487461339490687013
05622958132194811136853395355652908500238750928568926945559742815463865107300491067230589
33586052544096664351265349363643957125565695936815184334857605266940161251266951421550539
55451915378545752575659074054015792900176596796548006442782913148854825991472124850635268
6630476300

Через минуту поймёте, почему этот цифровой ряд вызывает чертовское любопытство. Он связан с одним фантастическим неравенством.

Формулу – в студию:

где ⌊ ⌋ – пол вещественного числа – округление до целой части в меньшую сторону, а mod — оператор остатка от деления.

Возьмите координатные оси x и y и для каждой точки в плоскости подставьте координаты x и y, тогда эта формула скажет, нужно ли окрашивать позицию. Неравенство показывает, какую часть пространства заполнить цветом.

Если вы построите диаграмму, то получите это:

Разве не поразительно, что график формулы выглядит как изображение её само́й?

Самореферентная формула Таппера правомерно занимает место в списке причудливых вещей математики. Впервые Джефф Таппер опубликовал её в 2001 году на конференции SIGGRAPH, когда демонстрировал собственную разработку – программу для рисования графиков GrafEq.

У внимательных в голове наверняка проскользнул вопрос: что за магическое k по оси y? С x область понятна – от 0 до 106. На самом деле, k – то длинное число. То есть, по оси y мы забрались за облака. Когда абстрагируетесь от верхних и нижних значений и рассмотрите маленькую область от k до k + 17, вы увидите неравенство, по которому создали график.

Но потрясает в формуле Таппера не образование собственного изображения, а построение всего. Пройдитесь вдоль оси y, и увидите, как это неравенство сформирует каждый возможный рисунок из чёрных и белых пикселей размерами 106 на 17. Значит, изображения в рамках такого формата найдёте в определённых местах на графике. Не только формулу Таппера, но и всевозможные другие.

Например, мы отыскали такое значение числа k, при котором в формуле вместо символов остатка от деления появились смайлики:

А также приготовили вариант с Пакманом, поедающим формулу, и приведением:

Формула всего в действии

Настало время узнать, как из желаемой картинки получить заветное число.

В первую очередь возьмите изображение в пиксельном виде формата 106 на 17. Покажем на примере логотипа Библиотеки программиста:

Начинайте с левого нижнего угла и двигайтесь вверх. Если пиксель чёрный, то записывайте 1, в противном случае – 0. Когда подойдёте к концу первого столбца, переходите ко второму. Направление прежнее – снизу вверх.

На рассматриваемой картинке вначале будет масса нулей. В конечном счёте получим такое длинное двоичное число:

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111100000000000110011000
000000001000010000000000011001100000000000111110000000000000000000000000000000000000000000000
111111000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000000111100000000000011001100
000000000100001000000000001000010000000000011001100000000000011110000000000000000000000000001
001111000000000110110011000000001001000010000000011011001100000000011111111000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000001111111111111000111111111111111001111111111111110011
111111111111100111111111111111001111000000001110011110111111111100111111111111111001111000000
101110011111111111111100111111111111111001111000000001110011110011001111100111101111011111001
111001100111110011110000011111100111111111111111001111111111111110011111111111111100011111111
11111

Переведите результат в десятичную систему счисления и умножьте на 17. Поздравляем, вы получили значение k.

Для логотипа Библиотеки:

275920946718088023480723936896165056360565819683866987796214204083704967426367028838171010577
240995701759158859651200376151267820757234464431427249106688058522782455726480988406439648562
620760834048362915566450772662232356183743837870137689132679620381296484548019451375155482604
298164929327123340746339483037052696814767795015822491105174814111467113651849715266381480786
0373249589248

Осталось построить график.

С помощью этой формулы декодируют растровые изображения, зашифрованные в константе k. Так что смело воспроизводите картинки. Чтобы получить изображение, инвертируйте последовательность шагов алгоритма.

Бонус

С хардкором закончили. А что делать, когда нет желания провести выходные за переводом изображения в двоичное число? Используйте готовый инструмент, и эта процедура займёт минуту. Там вы загружаете изображение нужного формата или рисуете по клеточкам онлайн.

Источник

Какие картинки вам захотелось построить с помощью этой формулы?

формула p-k — с русского на английский

Формула 1 — Логотип Формулы 1. Категория Одноместная Страна или регион Международная Дебют 1950[1] Пилоты 20 Команды 10 Констру …   Википедия

Формула 2 — Нынешний логотип Формулы 2. Категория Одноместная Страна или регион …   Википедия

Формула — (от лат. formula  форма, правило, предписание): Математическая формула Формула в Microsoft Excel Химическая формула Эпическая формула Физическая формула Зубная формула Формула цветка Магическая формула Формула технических видов… …   Википедия

ФОРМУЛА — (лат. formula, от forma). 1) точное определение какого нибудь понятия или закона. 2) математический закон, выраженный алгебраическими знаками. 3) в химии: условные обозначения химическ. соединений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

ФОРМУЛА — ФОРМУЛА, формулы, жен. (от лат. formula, букв. уменьш. от forma). 1. Общее краткое и точное выражение (мысли, закона), определение (книжн.). « …У нас уже осуществлена в основном первая фаза коммунизма, социализм. Основным принципом этой фазы… …   Толковый словарь Ушакова

формула — См …   Словарь синонимов

Формула 51 — (Formula 51) The 51st State (51 й штат) …   Википедия

формула — ы, ж. formule f. &LT; , лат. formula. 1. Рецепт. СИЗ: формула 1727. 2. Общее краткое определение какого л. положения, закона, отношения и т. п., приложимое к частным случаям. БАС 1. Конечно, когда все было зажато, не так было видно, но ведь с… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

Формула-4 — автогоночный чемпионат для молодых пилотов от 14 до 22 лет. В основном выступают гонщики до 17 18 лет, которые выступают на болидах с открытыми колёсами, в которых установлен двигатель Renault K4M 1598cc, мотор с объёмом до 1600 куб. см.… …   Википедия

Формула 17 — 17歲的天空 …   Википедия

Формула 1 — (Ивано Франковск,Украина) Категория отеля: Адрес: ул. Коновальця 433, Ивано Франковск, 76 …   Каталог отелей