K формула – Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении axbx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле Dk− ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x+ 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.


Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.


Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = 3− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x+ 6x − 

16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b− 4ac), в формуле Dk− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.


Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x− 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле Dk

− ac

Dk− ac = (−3)− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и


Пример 3. Решить квадратное уравнение x− 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−5)− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2


Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2

k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:


Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение axbx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении axbx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax+ 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k− ac.

В выражении 4(k− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения

k− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Dk− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении axbx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо

b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k− ac)

Но ранее было сказано, что выражение k− ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Понравился урок?

Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.
  

Формула №1:

         —b ± √D
x
=  ————,  где
D = b2 – 4ac.
             2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D1
x = ———
,   где D1 = k2ac
            
a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D1       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 — 4ac

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 — 4x + 2 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3, b = -4, c = 2

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D < 0

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 — 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -6, c = 9

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ: 3.

Пример 3.

x2 — 4x — 5 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1, b = -4, c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,   x2 = (4 — 6) : 2 = -1

Ответ: 5, -1.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x — переменная,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта

Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

Словарь химических формул — это… Что такое Словарь химических формул?

Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
D2O оксид дейтерия 7732-20-0
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
LaCl3 Хлорид лантана (III) 10099-58-8
LaPO4 Фосфат лантана (III) 14913-14-5
Li(AlSi2O6) Кеатит
LiBr Бромид лития 7550-35-8
LiBrO3 Бромат лития
LiCN Цианид лития
LiC2H5O Этилат лития
LiF фторид лития 7789-24-4
LiHSO4 Гидросульфат лития
LiIO3 Иодат лития
LiNO3 Нитрат лития
LiTaO3 Танталат лития
Li2CrO4 Хромат лития
Li2Cr2O7 Дихромат лития
Li2MoO4 Ортомолибдат лития 13568-40-6
Li2NbO3 Метаниобат лития
Li2SO4 Сульфат лития 10377-48-7
Li2SeO3 Селенит лития
Li2SeO4 Селенат лития
Li2SiO3 Метасиликат лития 10102-24-6
Li2SiO4 Ортосиликат лития
Li2TeO3 Теллурит лития
Li2TeO4 Теллурат лития
Li2TiO3 Метатитанат лития 12031-82-2
Li2WO4 Ортовольфрамат лития 13568-45-1
Li2ZrO3 Метацирконат лития
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
PH3 phosphine 7803-51-2
POCl3 phosphoryl chloride 10025-87-3
PO43− phosphate ion
P2I4 phosphorus(II) iodide
P2O74− pyrophosphate ion
P2S3 phosphorus(III) sulfide
P2Se3 phosphorus(III) selenide
P2Se5 phosphorus(V) selenide
P2Te3 phosphorus(III) telluride
P3N5 phosphorus(V) nitride 12136-91-3
P4O10 tetraphosphorus decaoxide 16752-60-6
Pb(CH3COO)2·3H2O ацетат свинца — тригидрат
PbCO3 lead carbonate
cerussite
Pb(C2H5)4 tetraethyllead
PbC2O4 lead oxalate
PbCrO4 lead chromate
PbF2 lead fluoride 7783-46-2
Pb(IO3)2 lead iodate
PbI2 lead(II) iodide 10101-63-0
Pb(NO3)2 lead(II) nitrate
lead dinitrate
plumbous nitrate
Pb(N3)2 lead azide
PbO lead(II) oxide
litharge
1317-36-8
Pb(OH)2 plumbous hydroxide
Pb(OH)4 plumbic hydroxide
plumbic acid
Pb(OH)62− plumbate ion
PbO2 lead(IV) oxide
lead dioxide
1309-60-0
PbS сульфид свинца
галенит
1314-87-0
PbSO4 сульфат свинца(II) 7446-14-2
Pb3(SbO4)2 lead antimonate
PtBr2 platinum(II) bromide
PtBr4 platinum(IV) bromide
PtCl2 platinum(II) chloride
PtCl4 platinum(IV) chloride
PtI2 platinum(II) iodide
PtI4 platinum(IV) iodide
[Pt(NH2CH2CH2NH2)3]Br4 tris(ethylenediamine)platinum(IV) bromide
[Pt(NH3)2(H2O)2Cl2]Br2 diamminediaquadichloroplatinum(VI) bromide
PtO2 platinum(IV) oxide 50417-46-4
PtS2 platinum(IV) sulfide
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
RbAl(SO4)2·12H2O rubidium aluminum sulfate — dodecahydrate
RbBr rubidium bromide 7789-39-1
RbC2H3O2 rubidium acetate
RbCl rubidium chloride 7791-11-9
RbClO4 rubidium perchlorate
RbF rubidium fluoride 13446-74-7
RbNO3 rubidium nitrate 13126-12-0
RbO2 rubidium superoxide
Rb2C2O4 rubidium oxalate
Rb2CrO4 rubidium chromate
Rb2PO4 rubidium orthophosphate
Rb2SeO3 rubidium selenite
Rb2SeO4 rubidium selenate
Rb3C6H5O7·H2O rubidium citrate — monohydrate
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
SCN thiocyanate
SF4 sulfur tetrafluoride
SF6 sulfur hexafluoride 2551-62-4
SOF2 thionyl difluoride 7783-42-8
SO2 sulfur dioxide 7446-09-5
SO2Cl2 sulfuryl chloride 7791-25-5
SO2F2 sulfuryl difluoride 2699-79-8
SO2OOH peroxymonosulfurous acid (aqueous)
SO3 sulfur trioxide 7446-11-9
SO32− sulfite ion
SO42− sulfate ion
S2Br2 sulfur(II) bromide 71677-14-0
S2O32− thiosulfate ion
S2O72− disulfate ion
SbBr3 antimony(III) bromide 7789-61-9
SbCl3 antimony(III) chloride 10025-91-9
SbCl5 antimony(V) chloride 7647-18-9
SbI3 antimony(III) iodide 7790-44-5
SbPO4 antimony(III) phosphate
Sb2OS2 antimony oxysulfide
kermesite
Sb2O3 antimony(III) oxide 1309-64-4
Sb2O5 antimony(V) oxide
Sb2S3 antimony(III) sulfide 1345-04-6
Sb2Se3 antimony(III) selenide 1315-05-5
Sb2Se5 antimony(V) selenide
Sb2Te3 antimony(III) telluride
Sc2O3 scandium oxide
scandia
SeBr4 selenium(IV) bromide
SeCl selenium(I) chloride
SeCl4 selenium(IV) chloride 10026-03-6
SeOCl2 selenium(IV) oxychloride 7791-23-3
SeOF2 selenyl difluoride
SeO2 selenium(IV) oxide 7446-08-4
SeO42− selenate ion
SeTe selenium(IV) telluride 12067-42-4
SiBr4 silicon(IV) bromide 7789-66-4
SiC карбид кремния 409-21-2
SiCl4 silicon(IV) chloride 10026-04-7
SiH4 силан 7803-62-5
SiI4 silicon(IV) iodide 13465-84-4
SiO2 диоксид кремния
silica
кварц
7631-86-9
SiO44− silicate ion
Si2O76− disilicate ion
Si3N4 silicon nitride 12033-89-5
Si6O1812− cyclosilicate ion
SnBrCl3 tin(IV) bromotrichloride
SnBr2 tin(II) bromide 10031-24-0
SnBr2Cl2 tin(IV) dibromodichloride
SnBr3Cl tin(IV) tribromochloride 14779-73-8
SnBr4 tin(IV) bromide 7789-67-5
SnCl2 tin(II) chloride 7772-99-8
SnCl2I2 tin(IV) dichlorodiiodide
SnCl4 tin(IV) chloride 7646-78-8
Sn(CrO4)2 tin(IV) chromate
SnI4 tin(IV) iodide 7790-47-8
SnO2 tin(IV) oxide 18282-10-5
SnO32− stannate ion
SnS tin(II) sulfide 1314-95-0
SnS2 tin(IV) sulfide
Sn(SO4)2·2H2O tin(IV) sulfate — dihydrate
SnSe tin(II) selenide 1315-06-6
SnSe2 tin(IV) selenide
SnTe tin(II) telluride 12040-02-7
SnTe4 tin(IV) telluride
Sn(VO3)2 tin(II) metavanadate
Sn3Sb4 tin(IV) antimonide
SrBr2 strontium bromide 10476-81-0
SrBr2·6H2O strontium bromide — hexahydrate
SrCO3 strontium carbonate
SrC2O4 strontium oxalate
SrF2 strontium fluoride 7783-48-4
SrI2 strontium iodide 10476-86-5
SrI2·6H2O strontium iodide — hexahydrate
Sr(MnO4)2 strontium permanganate
SrMoO4 strontium orthomolybdate 13470-04-7
Sr(NbO3)2 strontium metaniobate
SrO strontium oxide 1314-11-0
SrSeO3 strontium selenite
SrSeO4 strontium selenate
SrTeO3 strontium tellurite
SrTeO4 strontium tellurate
SrTiO3 титанат стронция
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
T2O оксид трития
tritiated water
14940-65-9
TaBr3 бромид тантала (III)
TaBr5 бромид тантала (V)
TaCl5 Хлорид тантала(V) 7721-01-9
TaI5 Иодид тантана(V)
TaO3 tantalate ion
TcO4 pertechnetate ion
TeBr2 tellurium(II) bromide
TeBr4 tellurium(IV) bromide
TeCl2 tellurium(II) chloride
TeCl4 tellurium(IV) chloride 10026-07-0
TeI2 tellurium(II) iodide
TeI4 tellurium(IV) iodide
TeO2 tellurium(IV) oxide 7446-07-3
TeO4 tellurate ion
TeY yttrium telluride 12187-04-1
Th(CO3)2 thorium carbonate 19024-62-5
Th(NO3)4 thorium nitrate 13823-29-5
TiBr4 titanium(IV) bromide 7789-68-6
TiCl2I2 titanium(IV) dichlorodiiodide
TiCl3I titanium(IV) trichloroiodide
TiCl4 titanium tetrachloride 7550-45-0
TiO2 оксид титана (IV)
рутил
1317-70-0
TiO32− titanate ion
TlBr thallium(I) bromide 7789-40-4
TlBr3 thallium(III) bromide
Tl(CHO2) thallium(I) formate
TlC2H3O2 thallium(I) acetate 563-68-8
Tl(C3H3O4) thallium(I) malonate
TlCl thallium(I) chloride 7791-12-0
TlCl3 thallium(III) chloride
TlF thallium(I) fluoride 7789-27-7
TlI thallium(I) iodide 7790-30-9
TlIO3 thallium(I) iodate
TlI3 thallium(III) iodide
TiI4 titanium(IV) iodide 7720-83-4
TiO(NO3)2 · xH2O titanium(IV) oxynitrate — hydrate
TlNO3 thallium(I) nitrate 10102-45-1
TlOH thallium(I) hydroxide
TlPF6 thallium(I) hexafluorophosphate 60969-19-9
TlSCN thallium thiocyanate
Tl2MoO4 thallium(I) orthomolybdate
Tl2SeO3 thallium(I) selenite
Tl2TeO3 thallium(I) tellurite
Tl2WO4 thallium(I) orthotungstate
Tl3As thallium(I) arsenide
Химическая формула Название соединения Номер по классификатору CAS
Zn(AlO2)2 алюминат цинка
Zn(AsO2)2 арсенит цинка 10326-24-6
ZnBr2 бромид цинка 7699-45-8
Zn(CN)2 цианид цинка 557-21-1
ZnCO3 карбонат цинка 3486-35-9
Zn(C8H15O2)2 каприлат цинка 557-09-5
Zn(ClO3)2 хлорат цинка 10361-95-2
ZnCl2 хлорид цинка 7646-85-7
ZnCr2O4 хромит цинка 12018-19-8
ZnF2 фторид цинка 7783-49-5
Zn(IO3)2 иодат цинка 7790-37-6
ZnI2 иодид цинка 10139-47-6
ZnMoO4 ортомолибдат цинка
Zn(NO2)2 нитрит цинка 10102-02-0
Zn(NO3)2 нитрат цинка 7779-88-6
Zn(NbO3)2 метаниобат цинка
ZnO оксид цинка 1314-13-2
ZnO2 пероксид цинка 1314-22-3
Zn(OH)2 гидроксид цинка 20427-58-1
Zn(OH)42− zincate ion
ZnS сульфид цинка
сфалерит
1314-98-3
Zn(SCN)2 тиоцианат цинка 557-42-6
ZnSO4 сульфат цинка 7733-02-0
ZnSb антимонид цинка 12039-35-9
ZnSe селенид цинка 1315-09-9
ZnSeO3 селенит цинка
ZnSnO3 станнат цинка
Zn(TaO3)2 метатанталат цинка
ZnTe теллурид цинка 1315-11-3
ZnTeO3 теллурит цинка
ZnTeO4 теллурат цинка
ZnTiO3 метатитанат цинка
Zn(VO3)2 метаванадат цинка
ZnWO4 zinc orthotungstate
ZnZrO3 метацирконат цинка
Zn2P2O7 пирофосфат цинка 7446-26-6
Zn2SiO4 ортосиликат цинка 13597-65-4
Zn3(AsO4)2 арсенат цинка 13464-44-3
Zn3As2 арсенид цинка
Zn3N2 нитрид цинка 1313-49-1
Zn3P2 фосфид цинка 1314-84-7
Zn3(PO4)2 фосфат цинка 7779-90-0
Zn3Sb2 антимонид цинка
ZrB2 борид циркония 12045-64-6
ZrBr4 бромид циркония 13777-25-8
ZrC карбид циркония 12020-14-3
ZrCl4 тетрахлорид циркония 10026-11-6
ZrF4 фторид циркония 7783-64-4
ZrI4 иодид циркония 13986-26-0
ZrN нитрид циркония 25658-42-8
Zr(OH)4 гидроксид циркония 14475-63-9
ZrO2 диоксид циркония
бадделеит
1314-23-4
ZrO32− цирконат-ион
ZrP2 фосфид циркония 12037-80-8
ZrS2 сульфид циркония 12039-15-5
ZrSi2 силицид циркония
(ди)силицид циркония[1]
12039-90-6
ZrSiO4 ортосиликат циркония
циркон
10101-52-7
Zr3(PO4)4 фосфат циркония

Математический феномен: формула, которая описывает всё

Чем ещё удивит математика? Вот как выглядит формула всего, и вот как это использовать в личных целях. Алгоритм с иллюстрациями.

Феноменальное неравенство

Посмотрите на одно занимательное число. Это классика. Возможно, вам знакомая.

48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619347047088099284506447
69865524364849997247024915119110411605739177407856919754326571855442057210445735883681829
82375413963433822519945219165128434833290513119319995350241375876523926487461339490687013
05622958132194811136853395355652908500238750928568926945559742815463865107300491067230589
33586052544096664351265349363643957125565695936815184334857605266940161251266951421550539
55451915378545752575659074054015792900176596796548006442782913148854825991472124850635268
6630476300

Через минуту поймёте, почему этот цифровой ряд вызывает чертовское любопытство. Он связан с одним фантастическим неравенством.

Формулу – в студию:

где ⌊ ⌋ – пол вещественного числа – округление до целой части в меньшую сторону, а mod — оператор остатка от деления.

Возьмите координатные оси x и y и для каждой точки в плоскости подставьте координаты x и y, тогда эта формула скажет, нужно ли окрашивать позицию. Неравенство показывает, какую часть пространства заполнить цветом.

Если вы построите диаграмму, то получите это:

Разве не поразительно, что график формулы выглядит как изображение её само́й?

Самореферентная формула Таппера правомерно занимает место в списке причудливых вещей математики. Впервые Джефф Таппер опубликовал её в 2001 году на конференции SIGGRAPH, когда демонстрировал собственную разработку – программу для рисования графиков GrafEq.

У внимательных в голове наверняка проскользнул вопрос: что за магическое k по оси y? С x область понятна – от 0 до 106. На самом деле, k – то длинное число. То есть, по оси y мы забрались за облака. Когда абстрагируетесь от верхних и нижних значений и рассмотрите маленькую область от k до k + 17, вы увидите неравенство, по которому создали график.

Но потрясает в формуле Таппера не образование собственного изображения, а построение всего. Пройдитесь вдоль оси y, и увидите, как это неравенство сформирует каждый возможный рисунок из чёрных и белых пикселей размерами 106 на 17. Значит, изображения в рамках такого формата найдёте в определённых местах на графике. Не только формулу Таппера, но и всевозможные другие.

Например, мы отыскали такое значение числа k, при котором в формуле вместо символов остатка от деления появились смайлики:

А также приготовили вариант с Пакманом, поедающим формулу, и приведением:

Формула всего в действии

Настало время узнать, как из желаемой картинки получить заветное число.

В первую очередь возьмите изображение в пиксельном виде формата 106 на 17. Покажем на примере логотипа Библиотеки программиста:

Начинайте с левого нижнего угла и двигайтесь вверх. Если пиксель чёрный, то записывайте 1, в противном случае – 0. Когда подойдёте к концу первого столбца, переходите ко второму. Направление прежнее – снизу вверх.

На рассматриваемой картинке вначале будет масса нулей. В конечном счёте получим такое длинное двоичное число:

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111100000000000110011000
000000001000010000000000011001100000000000111110000000000000000000000000000000000000000000000
111111000000000000000100000000000000000100000000000000000000000000000111100000000000011001100
000000000100001000000000001000010000000000011001100000000000011110000000000000000000000000001
001111000000000110110011000000001001000010000000011011001100000000011111111000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000001111111111111000111111111111111001111111111111110011
111111111111100111111111111111001111000000001110011110111111111100111111111111111001111000000
101110011111111111111100111111111111111001111000000001110011110011001111100111101111011111001
111001100111110011110000011111100111111111111111001111111111111110011111111111111100011111111
11111

Переведите результат в десятичную систему счисления и умножьте на 17. Поздравляем, вы получили значение k.

Для логотипа Библиотеки:

275920946718088023480723936896165056360565819683866987796214204083704967426367028838171010577
240995701759158859651200376151267820757234464431427249106688058522782455726480988406439648562
620760834048362915566450772662232356183743837870137689132679620381296484548019451375155482604
298164929327123340746339483037052696814767795015822491105174814111467113651849715266381480786
0373249589248

Осталось построить график.

С помощью этой формулы декодируют растровые изображения, зашифрованные в константе k. Так что смело воспроизводите картинки. Чтобы получить изображение, инвертируйте последовательность шагов алгоритма.

Бонус

С хардкором закончили. А что делать, когда нет желания провести выходные за переводом изображения в двоичное число? Используйте готовый инструмент, и эта процедура займёт минуту. Там вы загружаете изображение нужного формата или рисуете по клеточкам онлайн.

Источник

Какие картинки вам захотелось построить с помощью этой формулы?

формула p-k — с русского на английский

  • Формула 1 — Логотип Формулы 1. Категория Одноместная Страна или регион Международная Дебют 1950[1] Пилоты 20 Команды 10 Констру …   Википедия

  • Формула 2 — Нынешний логотип Формулы 2. Категория Одноместная Страна или регион …   Википедия

  • Формула — (от лат. formula  форма, правило, предписание): Математическая формула Формула в Microsoft Excel Химическая формула Эпическая формула Физическая формула Зубная формула Формула цветка Магическая формула Формула технических видов… …   Википедия

  • ФОРМУЛА — (лат. formula, от forma). 1) точное определение какого нибудь понятия или закона. 2) математический закон, выраженный алгебраическими знаками. 3) в химии: условные обозначения химическ. соединений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • ФОРМУЛА — ФОРМУЛА, формулы, жен. (от лат. formula, букв. уменьш. от forma). 1. Общее краткое и точное выражение (мысли, закона), определение (книжн.). « …У нас уже осуществлена в основном первая фаза коммунизма, социализм. Основным принципом этой фазы… …   Толковый словарь Ушакова

  • формула — См …   Словарь синонимов

  • Формула 51 — (Formula 51) The 51st State (51 й штат) …   Википедия

  • формула — ы, ж. formule f. &LT; , лат. formula. 1. Рецепт. СИЗ: формула 1727. 2. Общее краткое определение какого л. положения, закона, отношения и т. п., приложимое к частным случаям. БАС 1. Конечно, когда все было зажато, не так было видно, но ведь с… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Формула-4 — автогоночный чемпионат для молодых пилотов от 14 до 22 лет. В основном выступают гонщики до 17 18 лет, которые выступают на болидах с открытыми колёсами, в которых установлен двигатель Renault K4M 1598cc, мотор с объёмом до 1600 куб. см.… …   Википедия

  • Формула 17 — 17歲的天空 …   Википедия

  • Формула 1 — (Ивано Франковск,Украина) Категория отеля: Адрес: ул. Коновальця 433, Ивано Франковск, 76 …   Каталог отелей

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.