Интерполяционные формулы Ньютона — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi+1−xi=h=const{\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h=\mathrm {const} }, то есть xi=x0+ih{\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih}, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.
Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона[править | править код]
В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:
Pn(x)=∑m=0nCxm∑k=0m(−1)m−kCmkf(k){\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}
где Cxm{\displaystyle C_{x}^{m}} — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Прямая интерполяционная формула Ньютона[править | править код]
Прямая (или первая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: Pn(x)=y0+qΔy0+q(q−1)2!Δ2y0+…+q(q−1)…(q−n+1)n!Δny0,{\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},} где q=x−x0h,yi=fi{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}},\;y_{i}=f_{i}}, а выражения вида Δky0{\displaystyle \Delta ^{k}y_{0}} — конечные разности.
Обратная интерполяционная формула Ньютона[править | править код]
Обратная (или вторая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: Pn(x)=yn+qΔyn−1+q(q+1)2!Δ2yn−2+…+q(q+1)…(q+n−1)n!Δny0,{\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},} где q=x−xnh{\displaystyle q={\frac {x-x_{n}}{h}}}
Интерполяционные формулы Ньютона
Часто интерполирование
ведется для функций, заданных равномерными
сетками, т.е. шаг таблицы постоянен. Ограничимся рассмотрением
интерполяционных формул Ньютона для
этого случая.
Введем понятие конечных разностей.
Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом:
x | y | …. | ||||
x0 x1 x2 x3 x4 … xn | y0 y1 y2 y3 y4 … yn | …. | …. | …. | ….. ….. | …… |
Разности между значениями функции в соседних узлах называются конечными разностями первого порядка:
.
Из конечных разностей первого порядка можно получить конечные разности второго порядка:
– это разность между двумя соседними разностями первого порядка.
Здесь
и
.
(Индекс «разности»
идет по младшему индексу: ).
Теперь определим конечные разности третьего порядка:
.
Разностей последующего порядка на одну меньше, чем предыдущего. Имея
Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции. Выразим конечные разности второго и третьего порядка через значения функции:
т.е.
Для конечных разностей третьего порядка:
т.е.
Существует формула
,
где .
Найдем с помощью
этой формулы, например :
,
что мы и получали выше.
Первая интерполяционная формула Ньютона
Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
Это многочлен n-ой степени. Согласно условию интерполяции должно быть:
.
Отсюда
.
,
т.е.
.
Отсюда
.
Далее,
,
отсюда

Т.е.
.
Аналогично, из
того, что найдем
.
Вообще,
Конечная разность нулевого порядка, по определению, есть само значение функции:
Искомый многочлен примет вид:
Введем вместо переменной xпеременнуюt:
………………………….
тогда
Это перваяинтерполяционная формула Ньютона.
Она применяется, когда точка x, в которой необходимо найти приближенное значение функции, находится в начале отрезка интерполяции (рис. 2):
Рис. 2
Значение функции
в точке x0и
точках правее нее используются для
нахождения конечных разностейи т.д. Поэтому точек в таблице, правее
той, которую мы взяли заx0,
должно быть достаточно, чтобы построить
полином нужной степени. Используются
точки «впереди»x,
поэтому первую интерполяционную формулу
Ньютона называют формулой для
интерполирования «вперед».
Вторая интерполяционная формула Ньютона
Когда xближе к концу отрезка интерполяции, формула интегрирования «вперед» может не позволить построить полином нужной степениn – может не хватить узлов для расчета конечных разностей вплоть доn-го порядка (впереди слишком мало узлов). В этом случае лучше использовать узлы слева от точкиx. Для этого используется формула интерполирования «назад» – вторая интерполяционная формула Ньютона (рис. 3).
Рис. 3
Интерполяционный полином будем искать в виде:
Из условий
интерполирования ,
отсюда
.
,
отсюда
,
т.е.
.
Аналогично, из
условия можно получить, что
.
Вообще,
,
и полином будет
Введем переменную ,
тогда
……………………………….
тогда
Это вторая интерполяционная формула Ньютона, «назад».
Интерполяционные формулы Ньютона
Московский государственный университет приборостроения и информатики Сергиево-Посадский филиал
Реферат на тему:
Интерполяционные формулы Ньютона
Выполнила: Бревчик Таисия Юрьевна
Студентка 2 курса группы ЭФ-2
2014
Содержание
1.Введение
2. Первая интерполяционная формула Ньютона
3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Заключение
Список литературы
Введение
Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию.
Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.
Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов».
К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.
Рассмотрим систему
несовпадающих точек () из некоторой области
.
Пусть значения функции
известны только в этих точках:
Задача интерполяции
состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что
Точки называют узлами интерполяции, а их
совокупность — интерполяционной сеткой.
Пары называют точками данных или базовыми
точками.
Разность между
«соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он
может быть как переменным, так и
постоянным.
Функцию — интерполирующей функцией или
интерполянтом.
1. Первая интерполяционная формула Ньютона
1. Описание задачи. Пусть для функции заданы значения
для равноотстоящих значений независимой
переменной:
,
,
где
— шаг интерполяции. Требуется
подобрать полином
степени не выше
,
принимающий в точках
значения
,
.
(1)
Условия (1)
эквивалентны тому, что при .
Интерполяционный полином Ньютона имеет вид:
.
(2)
Легко видеть, что
полином (2) полностью удовлетворяет
требованиям поставленной задачи.
Действительно, во-первых, степень
полинома не выше
,
во-вторых,
и
,
.
Заметим, что при формула (2) превращается в ряд Тейлора
для функции
:
.
Для практического
использования интерполяционную формулу
Ньютона (2) обычно записывают в несколько
преобразованном виде. Для этого введём
новую переменную по формуле
;
тогда получим:
,
(3)
где представляет собой число шагов,
необходимых для достижения точки
,
исходя из точки
.
Это и есть окончательный вид интерполяционной
формулы Ньютона.
Формулу (3) выгодно
использовать для интерполирования
функции в окрестности начального значения
, где
мало по абсолютной величине.
Если дана
неограниченная таблица значений функции ,
то число
в интерполяционной формуле (3) может
быть любым. Практически в этом случае
число
выбирают так, чтобы разность
была постоянной с заданной степенью
точности. За начальное значение
можно принимать любое табличное значение
аргумента
.
Если таблица
значений функции конечна, то число ограничено, а именно:
не может быть больше числа значений
функции
,
уменьшенного на единицу.
Заметим, что при применении первой интерполяционной формулы Ньютона удобно пользоваться горизонтальной таблицей разностей, так как тогда нужные значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.
2. Пример.
Приняв шаг ,
построить интерполяционный полином
Ньютона для функции
,
заданной таблицей
1 | 1,05 | 1,1 | 1,15 | 1,2 | 1,25 | 1,3 | |
-3 | -3,685 | -4,445 | -5,285 | -6,207 | -7,218 | -8,321 |
Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).
Так как разности
третьего порядка практически постоянны,
то в формуле (3) полагаем .
Приняв
,
,
будем иметь:
,
или
,
где .
Это и есть искомый интерполяционный
полином Ньютона.
Таблица 1
1 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 1,3 | -3 -3,685 -4,445 -5,285 -6,207 -7,218 -8,321 | 0,685 0,76 0,84 0,922 1,011 1,103 | -0,075 -0,08 -0,082 -0,089 -0,092 | 0,005 0,002 0,007 0,003 |
Полученный полином
дает возможность прогнозирования.
Достаточную точность получаем при
решении интерполяционной задачи,
например, .Точность
падает при решении экстраполяционной
задачи, например,
.
2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи узлов таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Описание задачи. Пусть имеем последовательность значений функции
,
для равноотстоящих
значений аргумента ,
где
— шаг интерполяции. Построим полином
следующего вида:
,
или, используя обобщённую степень, получаем:
.
(1)
Тогда, при выполнении
равенства ,
,
получим
,
.
Подставим эти значения в формулу (1). Тогда, окончательно, вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:
.
(2)
Введём более
удобную запись формулы (2). Пусть ,
тогда
,
и т. д.
Подставив эти значения в формулу (2), получим:
.
(3)
Это и есть обычный
вид второй интерполяционной формулы
Ньютона. Для приближённого вычисления
значений функции полагают:
.
Как первая, так и
вторая интерполяционные формулы Ньютона
могут быть использованы для экстраполирования
функции, т. е. для нахождения значений
функции для значений аргументов
,
лежащих вне пределов таблицы.
Если и
близко к
,
то выгодно применять первую интерполяционную
формулу Ньютона, причём тогда
.
Если же
и
близко к
,
то удобнее пользоваться второй
интерполяционной формулой Ньютона,
причём
.
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот, — для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.
Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирования в узком смысле слова.
Пример. Приняв шаг ,
построить интерполяционный полином
Ньютона для функции
,
заданной таблицей
0,5 | 0,55 | 0,6 | 0,65 | 0,7 | 0,75 | 0,8 | |
0,875 | 0,7088 | 0,5361 | 0,3572 | 0,173 | -0,0156 | -0,2081 |
Решение.
Составляем таблицу разностей (таблица
1). Так как разности третьего порядка
практически постоянны, то в формуле (3)
полагаем .
Приняв
,
,
будем иметь:
,
или
,
где .
Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона.
Таблица 1
0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 | 0,875 0,7088 0,5361 0,3572 0,173 -0,0156 -0,20 | -0,1662 -0,1727 -0,1789 -0,1842 -0,1886 -0,1925 | -0,0065 -0,0062 -0,0053 -0,0044 -0,0039 | 0,0003 0,0009 0,0009 0,0005 |
Заключение
интерполяция ньютон экстраполирование формула
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во «Наукова думка». Киев. 1986.
2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во «Лаборатория базовых знаний». 2003.
3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во «Радио и связь». Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во «Мир». Москва. 1980.
Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, вставлена таблица конечных разностей 3.1. Будем искать интерполяционный многочлен в виде:
(x)=
+
+ a2
+ … +
…
(3.2)
Это многочлен п-й степени. Значения коэффициентов a0, a1 …, аn найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая х=х0 из (3.2)находим у0=Рп(х0) =а0 , откуда а0 = у0. Далее, придавая х значения х1 и х2, последовательно получаем:
y1 = (x1)=
+
,
откуда
;
y2 = (x2)=
+
,
т.е.
,
или
=
2
откуда
Далее,
проведя аналогичные выкладки, можно
получить:
в
общем случае выражение для ak будет
иметь вид: (3.3)
Подставим теперь (3.3) в выражение для многочлена (3.2):
(x)=y0 +
+
+…+
…
(3.4)
Практически
эта формула применяется в несколько
ином виде. Положим = t, т.е. x= x0 + ht.
Тогда:
=
= t – 1,
=
= t – 2, и
т.д.
Окончательно имеем:
(x)=
(x0 +th)=y0 + t
+
(3.5)
Формула (3.5) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. Первую интерполяционную формулу Ньютона называют по этой причине формулой для интерполирования вперед. За начальное значение х0 можно принимать любое табличное значение аргумента х.
3.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона
Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становиться невыгодно. В этом случае применяется формула для интерполирования назад – вторая интерполяционная формула Ньютона, которая отыскивается в виде:
(x)=
+ a2
+ … +
(3.5)
Как
и для первой формулы Ньютона,
коэффициенты a0, a1 ,
…an находятся из условия совпадения
значений функции и интерполяционного
многочлена в узлах: (3.6)
Подставляя
(3.6) в (3.5) и переходя к переменной t = , получим
окончательный
вид второй интерполяционной формулы
Ньютона:
(x)=
(xn +
th)=yn +t∆yn-1 +
Итерационный метод интерполяции (по Эйткену)
Особенности метода.
Он позволяет определить значение функции y=f(x) в заданной точке х на сегменте [а, b], если исходный интерполяционный многочлен Уijk, определяется парами величин (хi, уj), (xj, yj), (хk, уk)…, отвечающих узлам интерполяции i,j, k… Таким образом, в отличие от рассмотренных ранее методов интерполяции здесь не требуется описывать аналитически интерполяционный многочлен для интерполяции его значения в заданной точке х.
Расчетные соотношения.
В основу расчета положены интерполяционные многочлены возрастающих степеней, формируемые по итерационной схеме для следующих межузловых отрезков:
между нулевым и первым узлом
,
(2.22)
где х — абсцисса искомой точки; x0 и y0— пара величин, отвечающая нулевой точке; x1 и y1 — то же для точки 1;
между первым и вторым узлом
,
(2.23)
между нулевым и вторым узлом
,
(2.24)
между нулевым и k-м узлом
,
(2.25)
1.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона

Пример 1.3.2-1.Пусть функцияy = f(x) задана таблично:
xi |
| 1 | 1.2 | 1.4 | 1.6 | 1.8 |
| ||||||
y i |
| 0 | -0.16 | -0.24 | -0.24 | -0.16 |
|
Требуется с использованием формулы Лагранжа вычислить значение f(x) в
точке x = 1.45.
Перенумеруем узлы:
x0 | = 1.4 | y0 | =-0.24 |
x1 | = 1.6 | y1 | = -0.24 |
x2 | = 1.2 | y2 | = -0.16 |
х3 | = 1.8 | y3 | = -0.16 |
x4 | = 1.0 | y4 | = 0.0 . |
Для приближенного вычисления значения функции воспользуемся формулами линейной и квадратичной интерполяции:
При n + 1 = 2 используем узлы x0 и x1
|
| L = (1.45 −1.6) | (−0.24) + (1.45 −1.4) (−0.24) = −0.24 . |
| |||||
|
| 1 | (1.4 −1.6) |
| (1.6 −1.4) |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |||
|
| При n +1 = 3используем узлы x0 , x1 иx2 |
|
|
| ||||
L2 | = | (1.45 −1.6)(1.45 −1.2) (−0.24) + | (1.45 | −1.4)(1.45 −1.2) (−0.24) + | (1.45 | −1.4)(1.45 −1.6) | (−0.16) =−0.2475. | ||
|
| (1.4 −1.6)(1/ 4 −1.2) |
| (1.6 | −1.4)(1.6 −1.2) | (1.2 | −1.4)(1.2 −1.6) |
|
Для оценки погрешности используем соотношение
R1(x) =| L2 −L1 |= 0.031875.
Если полученная величина соответствует заданной погрешности (например,ε=0.1), то вычисления прекращают. Если ε<Rn, то количество узлов увеличивают.Вычисления
повторяют до тех пор, пока не выполнится условие Rn≤ε.
Если, в соответствии с условиями поставленной задачи, требуется найти значения функции не в одной, а в нескольких точках, то рекомендуется провести преобразования формулы и получить многочлен в явном виде (Пример 1.3.1-1).
Если в формуле были использованы все точки, заданные таблицей, то оценить погрешность не представляется возможным.
Рассмотрим случаи, когда интерполируемая функция y=f(x) задается в равноотстоящих узлах так, что xi = x0 +ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0, 1, …, n.
В этом случае для нахождения интерполяционного многочлена могут применяться формулы Ньютона, которые используют конечные разности.
1.3.3.1. Конечные разности
Конечной разностью первого порядка называется разность ∆yi=yi+1-yi,где yi+1= f(xi+h) | ||
и yi = f(xi). Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах,i = 0, 1, 2, …, n, конечные | ||
разности первого порядка могут быть вычислены в точках | 0, 1, 2,…, n-1: | Страница 39 |
Тема 1.3.Интерполяцияфункций |
|

∆y0 = y1 − y0,
∆y1 = y2 − y1,
…………………..
∆yn−1 = yn − yn−1.
Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:
∆2 y0 = ∆y1 − ∆y0 ;
∆2 y1 = ∆y2 − ∆y1;
……………………..
∆2 yn−2 = ∆yn−1 − ∆yn−2.
Отметим, что любые конечные разности можно вычислить через значения функции в узлах интерполяции, например:
∆2y | 0 | = ∆y | 1 | −∆y | 0 | = (y | 2 | − y | ) −(y | − y | 0 | ) = y | 2 | −2y | 1 | + y | 0 | . | (1.3.3-1) | |
|
|
|
| 1 |
| 1 |
|
|
|
|
|
| ||||||||
Для |
| конечной | разности | k-го |
| порядка | в | узле с | номером iсправедлива |
формула,позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:
∆k yi = ∆k−1yi+1 −∆k−1yi .
Следует отметить, что по величине конечных разностей можно сделать вывод о степени интерполяционного полинома, описывающего таблично заданную функцию. Если для таблицы с равноотстоящими узлами конечные разностиk-го порядка постоянны или соизмеримы с заданной погрешностью, то функцию можно представить многочленом k-й степени.
Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для многочлена y=x2-3x+2. Таблица 1.3.3-1
| x |
|
| y |
|
| ∆y |
|
| ∆2y |
|
| ∆3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| 1.0 |
|
| 0 |
|
| -0.16 |
|
| 0.08 |
|
| 0 |
|
| 1.2 |
|
| -0.16 |
|
| -0.08 |
|
| 0.08 |
|
| 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| 1.4 |
|
| -0.24 |
|
| 0 |
|
| 0.08 |
|
|
|
|
1.6 |
| -0.24 |
| 0.08 |
|
|
|
|
|
|
| |||
1.8 |
| -0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном примере конечные разности третьего порядка равны нулю, а все конечные разности второго порядка равны 0.08. Это говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно представить многочленом второй степени.
Введя понятие конечных разностей, рассмотрим еще две формы записей интерполяционных полиномов.
1.3.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах xi , i = 0, 1, 2, …, n, с
шагомh. Требуется найти интерполяционный многочлен Pn(x)степени не выше n, | ||
удовлетворяющий условию: |
|
|
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …, n . | (1.3.3-2) | Страница 40 |
Тема 1.3.Интерполяцияфункций |
|

Будем искать интерполяционный многочлен вида:
Pn(x) =a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+ …+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1), |
| (1.3.3-3) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| где аi, i =0,1,2,…,n–неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Для нахождения коэффициентов формулы Ньютона аi | будем подставлять в (1.3.3-3) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (1.3.3-2). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пусть х = x0, тогда, согласно (1.3.3-2), Pn(x0) =y0 = a0. Следовательно, a0=y0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пустьх = x1, |
| тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
| Pn(x1) = y1 |
| = a0+a1(x1-x0) = y0 +a1(x1-x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (1.3.3-4) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Из равенства (1.3.3-4) следует, чтоa | = | y1 − y0 | = ∆y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
| x1 − x0 |
|
|
| h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
| Теперь пусть х = х2 , тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| + ∆y0 2h |
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| P (x | 2 | ) = y | 2 | = a | 0 | +a (x | 2 | -x | 0 | ) +a | (x | 2 | -x | 0 | )(x | 2 | -x | ) = y | 0 |
| +a | 2 | 2h3. |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
| h |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||
| Выражая неизвестный коэффициент, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ∆2y |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| a | 2 |
| = |
| y | 2 | −2∆y | 0 | − y | 0 |
|
| = | y | 2 | −2(y | 1 | − y | 0 | ) − y | 0 | = | y | 2 | −2y | 1 | + y | 0 |
| = | 0 . |
|
| |||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
| ||||||||||||||||
| Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
номером i: |
| ∆iy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
| ai |
| = |
| 0i | , |
|
| i = 0,1,…,n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| i! h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| Подставив найденные значения коэффициентов в (1.3.3-4), получим первую | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционную формулу Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
P (x) = y |
|
| + |
| ∆y | 0 | (x − x |
|
| ) + | ∆2y | 0 | (x − x |
| )(x − x ) + | … + | ∆ny | 0 | (x − x |
| )…(x − x |
| ).(1.3.3-5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
| 0 |
|
|
| 1!h |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 2!h3 |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
| n!hn |
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
|
| n−1 |
| |||||||||||||
| Воспользуемся этой формулой, как одной из возможных форм записи | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционного многочлена второй степени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| P (x) = y |
| + | ∆y | 0 |
| (x − x |
|
| ) | + |
| ∆2y | 0 | (x − x |
| )(x − x ).(1.3.3-6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
|
| 1!h |
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
| 2!h3 |
|
|
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
| Тогда для вычисления значения функции, заданной табл. 1.3.3-1, при х = 1.45: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| P( |
|
| 1.45)= -0.24 + |
|
|
| 0 |
| ( |
| 1.45 -1.4)+ |
| 0.08 ( |
|
| 1.45 -1.4) ( 1.45 -1.6)= -0.2475. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1× 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2 × 0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х0близко к точке интерполяции (интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе узлов. Запись интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.
| Введя обозначение: q = | x − x0 |
| , x = x0 +qh и проведя несложные преобразования | |||||||||||
|
| h | |||||||||||||
|
|
|
| x − x0 −h |
|
|
|
|
|
|
|
| |||
вида: | x − x1 | = | = q −1; |
|
| x − x2 |
| = q −2;…..; | x − xn | = q −n +1,приведем (1.3.3-5) к виду: | |||||
h |
|
| h |
| h | ||||||||||
|
|
| h |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
P (x) =P (x | 0 | +hq) = y | 0 | +∆y | q + ∆2y0 q(q −1) +… + ∆ny0 q(q −1)…(q −n +1). (1.3. 3-7) | ||||||||||
n | n |
|
| 0 |
| 2! |
| n! |
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Страница 41 | |||||
Тема 1.3.Интерполяцияфункций |
|
|
|
|
|
|

Это второй вид записи формулы Ньютона для интерполирования вперед. Она применяется для интерполяции f(x) в окрестностях начального значения х0, где q – достаточно мало по абсолютной величине.
Если n=1, то из (1.3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции
P1(x) = y0 + ∆y0q.
Если n=2, то получаем формулу квадратичной (или параболической)
интерполяции
P2 (x) = y0 + ∆y0q + ∆2y0 q(q2−1).
Схема алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона приведена на рис. 1.3.3-1.
| 1 |
|
| m=1, n-k |
|
| S=a(k,2) |
|
|
| Вычисление значений |
| J=3, m+2 | полиномов степени от |
| 1 до m | |
|
| и |
| S1=a(k, j) | определение значений |
|
| |
|
| полинома |
| i=1, j-2 |
|
S1=S1(q+1-i) / j |
| |
| S=S+S1 |
|
| P(m)=S |
|
| Вывод | Вывод значений |
| P(m) | полиномов |
Нет | |S1|<E |
|
|
| |
| Да |
|
| Конец |
|
Рис. 1.3.3-1. Схема алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона | Страница 42 |
Тема 1.3.Интерполяцияфункций |
6.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона

Рассмотрим случаи, когда интерполируемая функцияy=f(x) задается в равноотстоящих узлах так, что xi = x0 + ih, где h – шаг интерполяции, а i = 0, 1, …, n.
В этом случае для нахождения интерполяционного многочлена могут применяться формулы Ньютона, которые используют конечные разности.
6.3.3.1. Конечные разности
Конечной | разностью первого порядка называется | разностьDyi = yi+1-yi, где |
yi+1= f(xi+h) и yi | = f(xi). Для функции, заданной таблично в (n+1) узлах, i = 0, 1, 2, …, n, | |
конечные разности первого порядка могут быть вычислены в точках | 0, 1, 2,…, n-1: |
Dy 0 = y1 — y 0 ,
Dy1 = y 2 — y1,
…………………..
Dy n -1 = y n — y n -1.
Используя конечные разности первого порядка, можно получить конечные разности второго порядка:
D 2 y 0 = D y 1 | — D y 0 ; |
D 2 y 1 = D y 2 | — D y 1 ; |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D 2 y n — 2 = D y n — 1 — D y n — 2 .
Отметим, что любые конечные разности можно вычислить через значения функции в узлах интерполяции, например:
D2 y0 = Dy1 — Dy0 = (y2 — y1 ) — (y1 — y0 ) = y2 — 2y1 + y0. | (6.3.3-1) |
Для конечной разности k-го порядка в узле с номеромi справедлива формула, позволяющая вычислять конечные разности с помощью таблицы конечных разностей:
Dk yi = Dk-1yi+1 — Dk-1yi .
Следует отметить, что по величине конечных разностей можно сделать вывод о степени интерполяционного полинома, описывающего таблично заданную функцию. Если
для таблицы с равноотстоящими узлами конечные разностиk-го порядка постоянны или соизмеримы с заданной погрешностью, то функцию можно представить многочленомk-й степени.
Рассмотрим, например, таблицу конечных разностей для многочлена y=x2- 3x+2.
Таблица 6.3.3-1
| x | y | Dy | D2y | D3y |
|
| 1.0 | 0 | -0.16 | 0.08 | 0 |
|
| 1.2 | -0.16 | -0.08 | 0.08 | 0 |
|
| 1.4 | -0.24 | 0 | 0.08 |
| Страница 48 |
Тема 6.3. Интерполяция функций |
|
|

1.8-0.16
Вданном примере конечные разности третьего порядка равны нулю, а все конечные разности второго порядка равны 0.08. Это говорит о том, что функцию, заданную таблично, можно представить многочленом второй степени.
Введя понятие конечных разностей, рассмотрим еще две формы записе интерполяционных полиномов.
6.3.3.2.Первая интерполяционная формула Ньютона
Пусть функция y = f(x) задана в n+1 равноотстоящих узлах xi , i = 0, 1, 2, …, n, с
шагом h. Требуется найти интерполяционный многочленPn(x) степени не вышеn, удовлетворяющий условию:
Pn(xi) = yi, i =0, 1, 2, …, n . | (6.3.3-2) |
Будем искать интерполяционный многочлен вида: |
|
Pn(x) =a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + …+ an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1), | (6.3.3-3) |
где аi, i =0,1,2,…,n–неизвестные коэффициенты, не зависящие от узлов интерполяции.
Для нахождения коэффициентов формулы Ньютонааi | будем подставлять в(6.3.3-3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения х, совпадающие с узлами интерполяции, требуя выполнения условия (6.3.3-2). | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть х = x0, тогда, согласно (6.3.3-2), | Pn(x0) = y0 = a0. Следовательно, a0 = y0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть х = x1, |
|
| тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||
Pn(x1) = y1 = a0 + a1(x1-x0) = y0 + a1(x1-x0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (6.3.3-4) |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из равенства (6.3.3-4) следует, что |
| a = | y1 — y0 | = | Dy0 | . |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
| x1 — x0 |
|
|
|
| h |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
Теперь пусть х = х2 , тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ) = y |
| = a |
| + a (x |
|
|
|
| ) + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ) = y |
|
| + |
| Dy0 | 2h + a |
| 2 |
| |||||||||||||||||||
P (x | 2 | 2 | 0 | 2 | -x | 0 | (x | 2 | -x | 0 | )(x | 2 | -x | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 2 | 2h . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
| 2 |
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| h |
|
|
|
| ||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
Выражая неизвестный коэффициент, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
| = |
| y | 2 | — 2Dy | 0 | — y | 0 | = | y | 2 | — 2(y | 1 | — y | 0 | ) — y | 0 |
| = | y | 2 | — 2y | 1 |
| + y | 0 |
|
| = | D2y | 0 | . |
| |||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2h3 |
|
| ||||||||||||||
Продолжая подстановку, можно получить выражение для любого коэффициента с | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
номером i: |
| Diy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
ai | = |
| 0 | , |
|
| i = 0,1,…,n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
|
|
|
| i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||
|
|
|
| i!×h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
Подставив |
|
| найденные |
| значения |
|
|
| коэффициентов | (6.в3.3-4), получим первую | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интерполяционную формулу Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Страница 49 |
| |||||||||||||||||||||||||
Тема 6.3. Интерполяция функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

для интерполирования .впередОна начального значениях0, где q –
P (x) = y |
| + | Dy | 0 |
| (x — x |
| ) + | D2 y | 0 |
| (x — x |
| )(x — x | ) +… + | Dny | 0 | (x — x |
| )…(x — x |
| ). (6.3.3-5) |
| |
| 1!h |
|
| 2!h3 |
|
| n!hn |
|
|
| ||||||||||||||
n | 0 |
|
|
| 0 |
|
|
| 0 | 1 |
|
| 0 |
| n-1 |
|
|
| ||||||
Воспользуемся |
|
| этой | формулой, как | одной |
| из |
| возможных | форм | зап | |||||||||||||
интерполяционного многочлена второй степени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||
P (x) = y |
| + | Dy | 0 |
| (x — x |
| ) + | D2 y | 0 |
| (x — x |
| )(x — x | ). |
|
|
|
|
|
|
| (6.3.3-6) |
|
| 1!h |
|
| 2!h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
2 | 0 |
|
|
| 0 |
|
|
| 0 | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
Тогда для вычисления значения функции, заданной табл. 6.3.3-1, при х = 1.45: |
|
P( 1.45) = -0.24 + | 0 ( | 1.45 — 1.4)+ | 0.08 ( | 1.45 — 1.4) ( 1.45 — 1.6)= -0.2475. |
2 | 1Ч0.2 | 2 Ч0.04 | ||
|
Отметим, что при использовании первой интерполяционной формулы Ньютона целесообразно выбирать х0 близко к точке интерполяции(интерполяция вперед). Это обеспечивает более высокую точность при фиксированном числе. Записьузлов интерполяционного многочлена в виде первой формулы Ньютона позволяет учитывать дополнительные узлы в правой части таблицы, уточняя ранее полученный результат, без пересчета остальных слагаемых.
| Введя обозначение: | q = | x — x0 | , |
| x = x0 + qh и проведя несложные преобразования | ||||||||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| h |
|
|
|
|
|
| |||
вида: | x — x1 | = | x — x0 — h | = q -1; |
| x — x2 | = q — 2;…..; | x — xn | = q — n +1, приведем (6.3.3-5) к виду: | |||||||||||
h |
|
|
|
|
| |||||||||||||||
|
| h |
|
|
|
|
|
| h |
| h |
| ||||||||
| P (x) = P (x | 0 | + hq) = y | 0 | + Dy | q + | D2y0 | q(q -1) +… + | Dny0 | q(q -1)…(q — n +1). | (6.3. 3-7) | |||||||||
|
|
| ||||||||||||||||||
| n |
| n |
|
|
| 0 | 2! |
|
| n! |
| ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это второй вид записи формулы Ньютона применяется для интерполяции f(x) в окрестностях достаточно мало по абсолютной величине.
Если n=1, то из (6.3.3-6) получаем формулу линейной интерполяции
P1(x) = y0 + Dy0q. |
|
|
Если n=2, то | получаем | формулуквадратичной (или параболической) |
интерполяции |
|
|
P2 (x) = y0 + Dy0q + D2 y0 q(q -1) . 2
Схема алгоритма интерполяции по первой формуле Ньютона приведена рис. 6.3.3-1.
Тема 6.3. Интерполяция функций | Страница 50 |
Интерполяционные формулы Ньютона — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.
Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что xi+1−xi=h=const{\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h=\mathrm {const} }, то есть xi=x0+ih{\displaystyle x_{i}=x_{0}+ih}, то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.
Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона
В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:
Pn(x)=∑m=0nCxm∑k=0m(−1)m−kCmkf(k){\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k}\,C_{m}^{k}\,f(k)}
где Cxm{\displaystyle C_{x}^{m}} — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.
Прямая интерполяционная формула Ньютона
Прямая (или первая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: Pn(x)=y0+qΔy0+q(q−1)2!Δ2y0+…+q(q−1)…(q−n+1)n!Δny0,{\displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},} где q=x−x0h,yi=fi{\displaystyle q={\frac {x-x_{0}}{h}},\;y_{i}=f_{i}}, а выражения вида Δky0{\displaystyle \Delta ^{k}y_{0}} — конечные разности.
Обратная интерполяционная формула Ньютона
Обратная (или вторая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: Pn(x)=yn+qΔyn−1+q(q+1)2!Δ2yn−2+…+q(q+1)…(q+n−1)n!Δny0,{\displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},} где q=x−xnh{\displaystyle q={\frac {x-x_{n}}{h}}}