XXIV. Охрана труда при работах в зоне влияния электрического и магнитного полей / КонсультантПлюс

XXIV. Охрана труда при работах в зоне влияния

электрического и магнитного полей

24.1. В ОРУ и на ВЛ напряжением 330 кВ и выше должна быть обеспечена защита работающих от биологически активного электрического поля, способного оказывать отрицательное воздействие на организм человека и вызывать появление электрических разрядов при прикосновении к заземленным или изолированным от земли электропроводящим объектам.

24.2. В электроустановках всех напряжений должна быть обеспечена защита работающих от биологически активного магнитного поля, способного оказывать отрицательное воздействие на организм человека.

24.3. Биологически активными являются электрическое и магнитное поля, напряженность которых превышает допустимое значение.

24.4. Предельно допустимый уровень напряженности воздействующего электрического поля (ЭП) составляет 25 кВ/м. Пребывание в ЭП с уровнем напряженности, превышающим 25 кВ/м, без применения индивидуальных средств защиты не разрешается.

При уровнях напряженности ЭП свыше 20 до 25 кВ/м время пребывания персонала в ЭП не должно превышать 10 мин.

При уровне напряженности ЭП свыше 5 до 20 кВ/м допустимое время пребывания персонала рассчитывается по формуле:

T = 50 / E — 2,

где:

E — уровень напряженности воздействующего ЭП, кВ/м;

T — допустимое время пребывания персонала, час.

При уровне напряженности ЭП, не превышающем 5 кВ/м, пребывание персонала в ЭП разрешается в течение всего рабочего дня (8 ч).

Допустимое время пребывания в электрическом поле имеет право быть реализовано одноразово или по частям в течение рабочего дня. В остальное рабочее время необходимо использовать средства защиты от электромагнитного поля или находиться в ЭП напряженностью до 5 кВ/м.

24.5. Допустимая напряженность (H) или индукция (B) магнитного поля для условий общего (на все тело) и локального (на конечности) воздействия в зависимости от продолжительности пребывания в магнитном поле определяется в соответствии с таблицей N 3.

Открыть полный текст документа

13.8. Примеры применения теоремы Гаусса

1. Напряженность электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью.

Пусть сферическая поверхность радиуса R (рис. 13.7) несет на себе равномерно распределенный заряд q, т.е. поверхностная плотность заряда в любой точке сферы будет одинакова.

1. Заключим нашу сферическую поверхность в симметричную поверхность S с радиусом r>R. Поток вектора напряженности через поверхность S будет равен

   По теореме Гаусса

   Следовательно

   (13.8)

   Сравнивая это соотношение с формулой для напряженности поля точечного заряда, можно прийти к выводу, что напряженность поля вне заряженной сферы такова, как если бы весь заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

2. Для точек, находящихся на поверхности заряженной сферы радиуса R, по аналогии с вышеприведенным уравнением, можно написать

   (13. 9)

3. Проведем через точку В, находящуюся внутри заряженной сферической поверхности, сферу S радиусом г<R. Внутри сферы S зарядов нет, т.к. все они расположены на внешней сферической поверхности, т.е. Следовательно, по теореме Гаусса, и напряженность электростатического поля внутри полой равномерно заряженной сферы будет равна нулю. Зависимость напряженности поля заряженной сферы от расстояния r приведена на рис. 13.8.

2. Электростатическое поле шара.

Пусть имеем шар радиуса R, равномерно заряженный с объемной плотностью .

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R), его поле аналогично полю точечного заряда , расположенного в центре шара. Тогда вне шара

(13.10)

а на его поверхности (r=R)

(13.11)

В точке В, лежащей внутри шара на расстояний r от его центра (r>R), поле определяется лишь зарядом , заключенным внутри сферы радиусом r.

Поток вектора напряженности через эту сферу равен

с другой стороны, в соответствии с теоремой Гаусса

Из сопоставления последних выражений следует

(13.12)

где- диэлектрическая проницаемость внутри шара. Зависимость напряженности поля, создаваемого заряженной сферой, от расстояния до центра шара приведена на (рис.13.10)

3. Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити (или цилиндра).

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность радиуса R заряжена с постоянной линейной плотностью .

Проведем коаксиальную цилиндрическую поверхность радиуса Поток вектора напряженности через эту поверхность

По теореме Гаусса

Из последних двух выражений определяем напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной нитью:

(13.13)

4. Напряженность поля, создаваемого, бесконечной равномерно заряженной плоскостью.

Пусть плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен σ. Из законов симметрии следует, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то поля по обе стороны плоскости должны быть одинаковы. Ограничим часть заряженной плоскости воображаемым цилиндрическим ящиком, таким образом, чтобы ящик рассекался пополам и его образующие были перпендикулярны, а два основания, имеющие площадь S каждое, параллельны заряженной плоскости (рис 1.10).

Суммарный поток вектора; напряженности равен вектору , умноженному на площадь S первого основания, плюс поток вектора через противоположное основание. Поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают. Таким образом, С другой стороны по теореме Гаусса

Следовательно

но тогда напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости будет равна

(13. 14)

В это выражение не входят координаты, следовательно электростатическое поле будет однородным, а напряженность его в любой точке поля одинакова.

5. Напряженность поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными разноименно с одинаковыми плотностями.

Как видно из рисунка 13.13, напряженность поля между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов и , равны сумме напряженностей полей, создаваемых пластинами, т.е.

Таким образом,

(13.15)

Вне пластины векторы от каждой из них направлены в противоположные стороны и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность поля в пространстве, окружающем пластины, будет равна нулю Е=0.

описание, определение единицы измерения, стандартная формула

В природе существует много интересных явлений, которые обычные люди до сих пор полностью не понимают. К этой категории можно отнести напряжённость электрического поля. Несмотря на то что характеристики этого явления определяются довольно просто, воспользоваться им можно далеко не всегда. Это направление больше носит теоретический характер, из-за чего учёные делают основной упор на получение выгоды в краткосрочной перспективе.

Краткое описание

Увидеть невооружённым взглядом электрическое поле (ЭП) невозможно: его можно обнаружить в процессе воздействия на заряженные тела. Удивительно, но прямого касания может и не быть, так как должна присутствовать силовая природа. Ведь всем известно, что наэлектризованные волосы будут притягиваться к другим предметам. Многочисленные исследования смогли доказать, что аналогичный принцип действия имеют гравитационные поля. Этот феномен был впервые описан в законе Кулона.

Стандартная формула электрического поля выглядит так: F = d₁ d₂ / 4 π q q₀ r ².

Расшифровка:

• d₁ и d₂ — параметры разрядов в кулонах.
• q ₀ — этим символом может обозначаться только электрическая постоянная.
• q — показатель диэлектрической проницаемости.
• F — сила взаимодействия разных зарядов (может измеряться в ньютонах).
• r — расстояние между двумя рассматриваемыми объектами в метрах.

Благодаря формуле напряжённости электростатического поля можно определить тот факт, что чем дальше находиться от центра, тем меньше будет ощущаться его воздействие. Графически его можно изобразить в виде силовых линий. Итоговое их расположение напрямую зависит от геометрических параметров носителя.

На сегодняшний день специалисты научились выделять несколько разновидностей полей:

1. Специфические неоднородное. Рассматривается поле вокруг шарообразного или же точечного заряда. Все силовые линии расходятся только в том случае, если этот параметр имеет положительное значение.
2. Однородное поле. Все силовые линии располагаются исключительно параллельно друг другу. Эксперты утверждают, что идеальным является тот вариант, когда заряженные пластины бесконечны.

Индуцированные электрическим зарядом силовые линии относятся к замкнутому типу. Иная ситуация наблюдается только у вихревого поля, сформированного вокруг меняющегося магнитного потока.

Ключевые особенности

ЭП представлено особым видом материи, которая встречается вокруг заряженных элементарных частиц (протоны и электроны). Специалисты не один десяток лет занимаются изучением такого интересного явления. Им удалось доказать, что именно через ЭП передаётся влияние одного неподвижного заряда к другому. Итоговое воздействие происходит в строгом соответствии с известным во всём мире законом Кулона.

Так как в промежутке этого расстояния нет плотных тел, можно утверждать о существовании определённого невидимого поля. А так как оно связано со специфическими явлениями, то его начали называть электрическим. Такие поля существуют вокруг всех предметов, только из-за их невидимости и скомпенсированности взаимодействия друг на друга создаётся впечатление, что они проявляются.

Базовые параметры

Изобразить формулу напряжённости можно при помощи как математических закономерностей, так и графических приёмов. Последние характеристики относятся к векторной категории, имеющей определённое направление. Все эти нюансы крайне важны, так как во время решения практических задач часто приходится оперировать не стандартным модулем величины, а специфической проекцией вектора на заранее выбранную ось.

К основным свойствам ЭП можно отнести следующие факты:

• Оно может как притягивать, так и отталкивать.
• Невидимость для невооружённого глаза (итоговое определение осуществляется через поведение пробного электрического заряда).
• Всегда присутствует вокруг заряженных частиц, чего нельзя сказать о магнитном поле.
• Имеет векторное направление.
• Взаимодействует исключительно с ЭП.
• Отличается свойствами неоднородности и концентрации (напряжённость).

Электрическое поле можно определить при помощи обычного точного заряда. Если он будет направлен в интересующую точку пространства, то можно выяснить — присутствует ли в этом месте ЭП. Такой метод определения считается наиболее простым и понятным. Интенсивность излучаемого ЭП используется как обозначение напряжённости.

Влияющие на один и тот же заряд силы будут отличаться друг от друга по направлению и размеру в разных измеряемых точках.

Стоит отметить, что закон Кулона не адаптирован под современные требования. Для одной точки поля сила F будет прямо пропорциональна величине точечного заряда. На фоне этого эксперты провели множество исследований. Теперь принято считать силовой характеристикой единицы измерения напряжённости «Е». Этот параметр является векторной величиной. Найти напряжённость электрического поля можно в Ньютонах на Кулон.

Отдельно стоит учесть, что если ЭП образуется сразу несколькими зарядами, то общая напряжённость в определённой точке находится как общая геометрическая сумма.

Изучение потенциала

Именно этот параметр считается распространённой характеристикой ЭП. Потенциал выступает в роли накопленной ценной энергии, используемой для перемещения различных зарядов. В итоге потенциал может весь израсходоваться, из-за чего его показатель будет равен нулю.

Процесс накопления происходит в обратном порядке. В качестве яркого примера можно использовать всё тот же заряд, но находящийся вне ЭП. Только когда определённая сила перемещает его внутрь и постепенно двигает там, появляется необходимый потенциал.

Если человек только столкнулся с этой отраслью и хочет в ней разобраться, то ему лучше представить обычную пружину. В спокойном состоянии у неё отсутствует какой-либо потенциал, из-за чего она может расцениваться только как небольшой металлический предмет. Но как только человек начнёт её постепенно сдавливать, будет образовываться потенциал. Если быстро отпустить пружину, то она мгновенно выпрямится и при этом сдвинет со своего пути все посторонние предметы.

Этот пример ярко демонстрирует то, что уровень потенциала всегда будет соответствовать приложенным усилиям на перемещение заряда. В современной науке этот показатель можно измерить в вольтах.

Сферы применения

Стандартные характеристики ЭП обязательно включают в себя два свойства, которые активно применяются человечеством. Они могут образовывать универсальные ионы, а погруженные в определённую жидкость электроды позволяют без каких-либо усилий разделять их по функциям. Эксперты доказали, что универсальной и доступность электрических полей активно используется в различных отраслях:

• Очистка. В этой отрасли активно используется система качественного разделения разных жидкостей. Эта функция высоко ценится в очистных сооружениях. Ведь та вода, в которой содержится большое количество различного мусора, очень вредна для человека. При этом с такой жидкостью очень сложно что-то сделать, так как далеко не все фильтры могут справиться с проблемой. Именно в такой ситуации на помощь приходят ЭП. Они разделяют воду, за счёт чего отделяются загрязнения. Благодаря этому можно пользоваться быстрым и доступным способом очистки.
• Медицина. Квалифицированные доктора практически ежедневно используют систему воздействия на поражённые ткани пациента направленными ионами. За счёт этого улучшается регенерация органа, убиваются микробы и очищается рана. К тому же уникальные характеристики и свойства ЭП позволяют им работать с большей частотой. Такой эффект широко востребован в медицине, так как за короткий промежуток времени можно повысить температуру некоторых отдельных частей тела, за счет чего восстанавливается кровоток, а также улучшается общее самочувствие пациента.
• Химия. Без электрических полей просто невозможна нормальная работа некоторых отраслей промышленности, где нужно разделять разные жидкости. Такая наука активно используется в стандартных лабораторных условиях, но чаще всего её можно встретить в сфере массовой добычи нефти. Большой спрос спровоцирован тем, что природный материал часто содержит загрязняющие частицы, избавиться от которых традиционным способом весьма проблематично. Более экономичным является применение ЭП. Они позволяют быстро разделить нефть, убрав весь ненужный мусор, облегчив дальнейшую обработку.

Конечно, существует множество других вариантов применения формулы напряжённости электрического поля.

К примеру: эксперты могут применять такое явление в качестве беспроводной системы передачи тока к разным приборам. Но в большинстве случае все такие разработки носят экспериментальный и теоретический характер.

Закон Кулона

В этом случае силовая характеристика электрического поля работает для точечного заряда, находящегося на расстоянии определённого радиуса от него. Если же взять этот показатель по стандартному модулю, то в итоге получится кулоновское поле.

Направление вектора напрямую зависит от имеющегося знака заряда. Если он плюсовой, то ЭП будет «передвигаться» по радиусу. В противном случае сам вектор будет направлен в сторону заряда.

Чтобы разобраться в ключевых особенностях закона, можно изучить основные рисунки и диаграммы, где изображены силовые линии. В учебниках основные характеристики ЭП объясняются довольно сложно. Если же для изучения этой темы использовать специализированную литературу, тогда нужно учесть, что при построении рисунков силовых линий их итоговая густота является пропорциональной модулю вектора напряжённости. Это своего рода подсказка от экспертов, которая может помочь во время экзамена или просто для контроля знаний.

Принцип воздействия

Свойства ЭП чаще всего постоянны и однообразны. Для планеты свойственен свой защитный фон, который на живые организмы практически никак не влияет. Незначительные проявления становятся заметными для человека только во время сильной грозы. В такой ситуации может даже казаться, что воздух дрожит от напряжения. Но для большинства людей это не представляет никакой угрозы.

Индустрия технологий не стоит на месте, благодаря чему специалисты изготавливают всё больше различных агрегатов, каждый из которых способен генерировать собственное ЭП. Показатель существенно превышает естественный фон, который составляет 0.5 кВ/м. Конечно, такая особенность не осталась незамеченной со стороны экспертов. В результате многочисленных проб они вывели максимально допустимое напряжение, которое не создаёт ограничений для человека. Его размер составляет 27 кВ/м.

Даже если включить сразу все бытовые устройства, максимальный показатель не будет превышен. Взрослый человек может получить небольшой процент негативного воздействия только при длительном нахождении возле высоковольтных проводов. В такой среде напряжение очень большое, из-за чего долго стоять или же работать на таком участке категорически запрещено. Специалисты, которые вынуждены по служебным обстоятельствам находиться в окружении таких ЭП, должны успевать выполнить все работы максимум за полтора часа.

Внедрение в технику

Современные масштабы ЭП нашли весьма интересное применение в современном мире. Специалистами был разработан способ беспроводной передачи сигнала от основного источника до потребителя, хотя ещё до недавнего времени всё носило экспериментальный и теоретический характер.

На сегодняшний день уже имеется эффективная реализация технологии зарядки смартфонов без использования гибкого кабеля. Конечно, этот вариант пока не позволяет передавать энергию на дальние расстояния, но все функции находятся в стадии совершенствования.

Стоит отметить, что изучением электрического поля занималось уже много людей. Огромный след в истории оставил известный во всём мире сербский изобретатель Николай Тесла. Благодаря приложенным усилиям ему удалось достичь больших успехов, но не в плане энергетической эффективности.

Ускорение заряда электрическим полем.

Методические материалы

Цифровой ресурс может использоваться для обучения в рамках программы средней школы (базового и профильного уровней).

Компьютерная модель–задача. Пользователю предлагаются пять пар изображений, содержащих информацию о движении заряженных частиц и электрических полях. Требуется установить соответствие между электрическим полем и ускорением, которое поле может сообщить заряду.

Краткая теория

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к значению этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора в каждой точке пространства совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд.

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим.

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор направлен по радиусу от заряда, если Q < 0, то вектор направлен к заряду.

В предлагаемой задаче для расчета напряженности можно применить формулу напряженность поля в конденсаторах:

Здесь U – напряжение между обкладками конденсатора, d – расстояние между обкладками.

Сила, с которой поле действует на заряд, вычисляется по формуле F = Eq. При этом согласно второму закону Ньютона получаем выражение для напряженности поля при известных заряде, массе и ускорении: E = ma / q.

Работа с моделью

Для решения задачи требуется рассчитать для каждой из пяти изображенных систем напряженность в указанных точках и расположить схемы, соответствующие системам, в порядке возрастания напряженности. Зная напряженность каждого изображенного поля, можно для четырех зарядов посчитать напряженность поля по массе, ускорению и значению заряда и определить, какое из приведенных полей сообщает данное ускорение, для пятого заряда поле можно определить методом исключения.

Пользователь имеет возможность перемещать с помощью курсора мышки рисунки в соответствующие позиции. При нажатии на кнопку анализируется результат, после чего можно либо обновить экран для нового решения, либо посмотреть правильное решение данного задания.

Рекомендации по применению модели

Данная модель может быть применена в качестве интерактивной задачи на уроках повторения, решения задач в 10 классе по теме «Напряженность электрического поля», «Движение заряженной частицы в электростатическом поле».

Пример планирования урока с использованием модели

Тема «Напряженность электрического поля. Решение задач»

Цель урока: повторить понятие напряженности электрического поля; второго закона Ньютона; отработать решение задач.

№ п/п Этапы урока Время, мин Приемы и методы 1 Организационный момент 2 2 Проверка домашнего задания по теме «Напряженность электрического поля» 15 Индивидуальный опрос 3 Решение задач по теме «Напряженность электрического поля» 25 Решение задач на доске, самостоятельное решение задач с использованием интерактивной модели «Одномерное движение заряда в произвольных полях» 4 Объяснение домашнего задания 3

Таблица 1.

Примеры вопросов и заданий

1.

Две частицы массой m каждая с одинаковыми электрическими зарядами q находились в вакууме на расстоянии r в состоянии покоя друг относительно друга. Какой будет максимальная скорость относительного движения частиц при их удалении друг от друга под действием электростатических сил отталкивания при отсутствии других сил?

Напряжённость электрического поля — это… Что такое Напряжённость электрического поля?

Напряжённость электри́ческого по́ля — векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы действующей на неподвижный^[1]пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда :

.

Из этого определения видно, почему напряженность электрического поля иногда называется силовой характеристикой электрического поля (действительно, всё отличие от вектора силы, действующей на заряженную частицу, только в постоянном^[2] множителе).

В каждой точке пространства в данный момент времени существует свое значение вектора (вообще говоря — разное^[3] в разных точках пространства), таким образом, — это векторное поле. Формально это выражается в записи

представляющей напряженность электрического поля как функцию пространственных координат (и времени, т.к. может меняться со временем). Это поле вместе с полем вектора магнитной индукции представляет собой электромагнитное поле^[4], и законы, которым оно подчиняется, есть предмет электродинамики.

Напряжённость электрического поля в СИ измеряется в вольтах на метр [В/м] или в ньютонах на кулон.

Напряжённость электрического поля в классической электродинамике

Из сказанного выше ясно, что напряженность электрического поля — одна из основных фундаментальных величин классической электродинамики. В этой области физики можно назвать сопоставимыми с ней по значению только вектор магнитной индукции (вместе с вектором напряженности электрического поля образующий тензор электромагнитного поля) и электрический заряд. С некоторой точки зрения столь же важными представляются потенциалы электромагнитного поля (образующие вместе единый электромагнитный потенциал).

Приведем краткий обзор основных контекстов классической электродинамики в отношении напряженности электрического поля.

Сила, с которой действует электромагнитное поле на заряженные частицы

Полная сила, с которой электромагнитное поле (включающее вообще говоря электрическую и магнитную составляющие) действует на заряженную частицу, выражается формулой силы Лоренца:

где q — электрический заряд частицы, — ее скорость, — вектор магнитной индукции (основная характеристика магнитного поля), косым крестом обозначено векторное произведение. Формула приведена в единицах СИ.

Как видим, эта формула полностью согласуется с определением напряженности электрического поля, данном в начале статьи, но является более общей, т.к. включает в себя также действие на заряженную частицу (если та движется) со стороны магнитного поля.

В этой формуле частица предполагается точечной. Однако эта формула позволяет рассчитать и силы, действующие со стороны электромагнитного поля на тела любой формы с любым распределением зарядов и токов — надо только воспользоваться обычным для физики приемом разбиения сложного тела на маленькие (математически — бесконечно маленькие) части, каждая из которых может считаться точечной и таким образом входящей в область применимости формулы.

Остальные формулы, применяемые для расчета электромагнитных сил (такие, как, например, формула силы Ампера) можно считать следствиями^[5] фундаментальной формулы силы Лоренца, частными случаями ее применения итп.

Однако для того, чтобы эта формула была применена (даже в самых простых случаях, таких, как расчет силы взаимодействия двух точечных зарядов), необходимо знать (уметь рассчитывать) и чему посвящены следующие параграфы.

Уравнения Максвелла

Достаточным вместе с формулой силы Лоренца теоретическим фундаментом классической электродинамики являются уравнения электромагнитного поля, называемые уравнениями Максвелла. Их стандартная традиционная форма представляет собой четыре уравнения, в три из которых входит вектор напряженности электрического поля:

Здесь — плотность заряда, — плотность тока, — универсальные константы (уравнения здесь записаны в единицах СИ).

Здесь приведена наиболее фундаментальная и простая форма уравнений Максвелла — так называемые «уравнения для вакуума» (хотя, вопреки названию, они вполне применимы и для описания поведения электромагнитного поля в среде). Подробно о других формах записи уравнений Максвелла — см. основную статью.

Этих четырех уравнений вместе с пятым — уравнением силы Лоренца — в принципе достаточно, чтобы полностью описать классическую (то есть не квантовую) электродинамику, то есть они представляют ее полные законы. Для решения конкретных реальных задач с их помощью необходимы еще уравнения движения «материальных частиц» (в классической механике это законы Ньютона), а также зачастую дополнительная информация о конкретных свойствах физических тел и сред, участвующих в рассмотрении (их упругости, электропроводности, поляризуемости итд итп), а также о других силах, участвующих в задаче (например, о гравитации), однако вся эта информация уже не входит в рамки электродинамики как таковой, хотя и оказывается зачастую необходимой для построения замкнутой системы уравнений, позволяющих решить ту или иную конкретную задачу в целом.

«Материальные уравнения»

Такими дополнительными формулами или уравнениями (обычно не точными, а приближенными, зачастую всего лишь эмпирическими), которые не входят непосредственно в область электродинамики, но поневоле используются в ней ради решения конкретных практических задач, называемыми «материальными уравнениями», являются, в частности:

• Закон Ома,
• Закон поляризации
• в разных случаях многие другие формулы и соотношения.

Связь с потенциалами

Связь напряженности электрического поля с потенциалами в общем случае такова:

где — скалярный и векторный потенциалы. Приведем здесь для полноты картины и соответствующее выражение для вектора магнитной индукции:

В частном случае стационарных (не меняющихся со временем) полей, первое уравнение упрощается до:

Это выражение для связи электростатического поля с электростатическим потенциалом.

Электростатика

Важным с практической и с теоретической точек зрения частным случаем в электродинамике является тот случай, когда заряженные тела неподвижны (например, если исследуется состояние равновесия) или скорость их движения достаточно мала чтобы можно было приближенно воспользоваться теми способами расчета, которые справедливы для неподвижных тел. Этим частным случаем занимается раздел электродинамики, называемый электростатикой.

Как мы уже заметили выше, напряженность электрического поля в этом случае выражается через скалярный потенциал как

или

то есть электростатическое поле оказывается потенциальным полем. ( в этом случае — случае электростатики — принято называть электростатическим потенциалом).

• Также и обратно

Уравнения поля (уравнения Максвелла) при этом также сильно упрощаются (уравнения с магнитным полем можно исключить, а в уравнение с дивергенцией можно подставить ) и сводятся к уравнению Пуассона:

а в областях, свободных от заряженных частиц — к уравнению Лапласа:

Учитывая линейность этих уравнений, а следовательно применимость к ним принципа суперпозиции, достаточно найти поле одного точечного единичного заряда, чтобы потом найти потенциал или напряженность поля, создаваемого любым распределением зарядов (суммируя решения для точечного заряда).

Теорема Гаусса

Очень полезной в электростатике оказывается теорема Гаусса, содержание которой сводится к интегральной форме единственного нетривиального для электростатики уравнения Максвелла:

где интегрирование производится по любой замкнутой поверхности S (вычисляя поток через эту поверхность), Q — полный (суммарный) заряд внутри этой поверхности.

Эта теорема дает крайне простой и удобный способ расчета напряженности электрического поля в случае, когда источники имеют достаточно высокую симметрию, а именно сферическую, цилиндрическую или зеркальную+трансляционную. В частности, таким способом легко находится поле точечного заряда, сферы, цилиндра, плоскости.

Напряжённость электрического поля точечного заряда

В единицах СИ

Для точечного заряда в электростатике верен закона Кулона

или

.

.

Исторически закон Кулона был открыт первым, хотя с теоретической точки зрения уравнения Максвелла более фундаментальны. С этой точки зрения он является их следствием. Получить этот результат проще всего исходя из теоремы Гаусса, учитывая сферическую симметрию задачи: выбрать поверхность S в виде сферы с центром в точечном заряде, учесть, что направление будет очевидно радиальным, а модуль этого вектора одинаков везде на выбранной сфере (так что E можно вынести за знак интеграла), и тогда, учитывая формулу для площади сферы радиуса r: , имеем:

откуда сразу получаем ответ для E.

Ответ для получается тогда интегрированием E:

Для системы СГС

Формулы и их вывод аналогичны, отличие от СИ лишь в константах.

Напряженность электрического поля произвольного распределения зарядов

По принципу суперпозиции для напряженности поля совокупности дискретных источников имеем:

где каждое

Подставив, получаем:

Для непрерывного распределения аналогично:

где V — область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, — радиус-вектор точки, для которой считаем , — радиус-вектор источника, пробегающий все точки области V при интегрировании, dV — элемент объема. Можно подставить x,y,z вместо , вместо , вместо dV.

Системы единиц

В системе СГС напряжённость электрического поля измеряется в СГСЭ единицах, в системе СИ — в ньютонах на кулон или в вольтах на метр (русское В/м, международное V/m).

Литература

Примечания

1. ↑ На движущийся заряд действует также магнитное поле, если, конечно, оно имеется (не равно нулю), поэтому в определение напряженности электрического поля вносится условие неподвижности пробного заряда; при условии гарантированного отсутствия магнитного поля неподвижность пробного заряда перестает быть обязательной, однако требование отсутствия магнитного поля в общем случае невозможно (а возможно только в частных классах задач).
2. ↑ Для любой частицы ее электрический заряд постоянен. Измениться он может только если от частицы что-то заряженное отделится или если к ней что-то заряженное присоединится.
3. ↑ Хотя иногда его значения могут оказываться и одинаковыми в разных точках пространства; если одинаков всюду в пространстве (или какой-то области пространства), говорят об однородном электрическом поле — это всего лишь частный случай электрического поля, хотя и наиболее простой; притом что в реальности электрическое поле может быть однородным лишь приближенно, то есть различия в разных точках пространства есть, но иногда они небольшие и ими можно пренебречь в рамках некоторого приближения.
4. ↑ Электромагнитное поле может быть выражено и по-другому, например через электромагнитный потенциал или в несколько иной математической записи (прячущей вектор напряженности электрического поля вместе с вектором магнитной индукции внутрь тензора электромагнитного поля), однако все эти способы записи тесно связаны между собой, таким образом, утверждение о том, что поле — одна из основных составляющих электромагнитного поля не утрачивает смысла.
5. ↑ Хотя исторически многие из них были открыты раньше.

См. также

Напряженность электрического поля — формулы и определение с примерами

Напряженность электрического поля:

Действие различных электрических полей па тело с электрическим зарядом может быть разным. Сила, характеризующая ото действие, будет зависеть не только от заряда данного тела, но и от характеристик поля. Но в каждом отдельном случае для данной точки поля она будет пропорциональна значению электрического заряда тела. Установлено, что отношение силы

где сила, действующая на заряд; Q — значение «пробного» заряда.

В электрическом поле другого тела или даже (в некоторых случаях) данного поля это отношение будет другим. Величина, равная отношению силы к значению «пробного» заряда, характеризует силовое действие поля в каждом конкретном случае и называется напряженностью поля:

Напряженность электрического поля — это физическая величина, являющаяся силовой характеристикой электрического поля и равная отношению силы, действующей на заряженное тело, к значению этого заряда.

Напряженность является векторной величиной, определяющей значение силы, действующей на заряженное тело, и ее направление.

При измерении напряженности электрического поля применяют единицу, которая называется «ньютон на кулон    — »    или    «вольт па метр — »).    Напряженность  в ()    имеет поле, в исследуемой точке которого па тело с зарядом 1 Кл действует сила 1 Н.

Из определения напряженности следует и способ прямого измерения напряженности электрического поля: зная значение электрического заряда некоторого тела, необходимо измерить силу, действующую в поле на это тело.

Пример:

Легкий шарик массой 0,4 г подвешен на нити и имеет положительный электрический заряд 4,9^. 10^-9 Кл. После внесения шарика в электрическое ноли нить подвеса отклонилась от вертикали на угол 7°. Какова напряженность ноля?

Решение:

При отсутствии электрического поля на шарик действуют только сила тяжести и сила упругости. Поэтому нить подвеса имеет вертикальное положение (рис. 1.3).

Pиc. 1.3. На шарик действуют сила тяжести и сила натяжения нити

В электрическом поле (рис. 1.4) на шарик будет действовать еще и сила электрического взаимодействия.

Pиc. 1.4. Заряженный шарик отталкивается от одноименно заряженного шара

Из условия известно, что следствием этого будет отклонение нити на угол 7° от вертикали (на рис. 1.5 этот угол показан значительно большим для наглядности). По рисунку можно установить, что F = mgtga, а напряженность Произведя расчеты, получим

Рис. 15. Силы действующие на заряженный шарик в электрическом поле

Благодаря достижениям современной электронной техники созданы специальные приборы для измерения напряженности электрического поля. Они позволяют производить прямые измерения напряженности, когда результаты измерения выводятся непосредственно на шкалу прибора (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Лабораторный измеритель напряженности электрического поля

Непосредственное измерение напряженности электрического поля позволяет заблаговременно рассчитывать силу, действующую на данное тело:

Если в различных точках поля па заряженное тело действуют одинаковые силы, то такое поле называют однородным.

Если в различных точках поля на заряженное тело действуют не одинаковые силы, то такое поле называют неоднородным.

Формула натяжения | Проблемы с решенными примерами

На атомном уровне, когда атомы или молекулы отделяются друг от друга и получают потенциальную энергию с сохраняющейся восстанавливающей силой, восстанавливающая сила может создавать напряжение. Каждый конец струны или стержня при таком натяжении может тянуть за объект, к которому он прикреплен, чтобы вернуть струну / стержень к ее расслабленной длине.

Натяжение можно легко объяснить в случае подвешивания тел на цепи, тросе, веревке и т. Д.Он обозначается буквой T (иногда также обозначается Ft).

Если такое подвешенное тело движется вертикально с ускорением a, то;

T = W ± ma

Где W — вес тела, а m — масса тела

Случай (i) Если тело движется вверх, с ускорением a, натяжение; T = W + ma

Случай (ii) Если тело движется вниз с ускорением a, натяжение; T = W — ma

Случай (iii) Если тело просто подвешено (не движется), напряжение; Т = W.

Случай (iv) Если тело движется вверх или вниз с постоянной скоростью, напряжение; T = W

Вес объекта W = мг.

Следовательно, формула натяжения может быть изменена как:

T = m (g ± a)

Где m = масса тела, g = ускорение свободного падения, a = ускорение движущегося тела.

Поскольку натяжение — это сила, ее единицей СИ является ньютон (Н).

Пример:

Легкая и нерастяжимая веревка поддерживает тело массой 15 кг, свисающее с ее нижнего конца.Если верхний конец тетивы надежно прикреплен к крючку на крыше, каково же натяжение тетивы?

Решение:

Поскольку тело не движется, а просто подвешено, натяжение струны будет равно весу тела. m = 15 кг

T = W = mg = 15 × 9,8 = 147 Н

Пример:

Обезьяна массой 10 кг поднимается по легкой вертикальной веревке, подвешенной к крюку с ускорением 2 м / с2. . Найдите натяжение струны (возьмите g = 10 м / с2)

Решение:

м = 10 кг, g = 10 м / с2, a = 2 м / с2

По мере того, как обезьяна движется вверх с При ускорении натяжение тетивы будет равно кажущемуся весу обезьяны.

то есть, T = m (g + a) = 10 (10 + 2) = 120 N

Вопрос:

Если M1 = 4 кг и M2 = 6 кг на следующем рисунке, то T2 равно:

Варианты:

(a) 98 N

(b) 39,2 N

(c) 58,8 N

(d) 19,6 N

Ответ: (c)

Определение, концепции, уравнение , Решенные примеры

Формула напряжения: Все мы были в парках и центрах отдыха.Часто для нас бывает много качелей. Мы можем сидеть на сиденье, раскачиваться взад и вперед, наслаждаясь легким ветерком. Когда мы сидим и катимся на качелях, какая сила действует вдоль канатов и эффективно уравновешивает наш вес? Ответ — сила натяжения! Давайте узнаем больше об этой силе и ее формуле.

Что такое сила натяжения?

На латыни слово «натяжение» означает «растягивать». Сила натяжения — это сила, которая действует по длине гибкой среды, такой как веревка, кабель или цепь.Мы знаем, что сила может быть толкающей или тянущей. В физике мы имеем дело с несколькими видами сил, такими как вес, нормальная сила, тяга, трение и т. Д. Сила, основанная на том, как она действует и передает, может быть либо контактной, либо бесконтактной. Сила натяжения — это сила контакта. Его переносят по гибкой среде.

Обычно известная как сила «пара действие-реакция», натяжение действует на каждый элемент гибкой среды. Если мы рассмотрим любое поперечное сечение каната, то часть каната на одной стороне поперечного сечения приложит силу воздействия к части каната на другой стороне поперечного сечения.Точно так же вторая часть веревки оказывает противодействие первой части. Следовательно, в любом поперечном сечении мы можем видеть силу натяжения, действующую в обоих направлениях. В конечных точках веревка будет прикладывать силу натяжения к соединенному с ней объекту по направлению к себе (тянущая сила), а объект будет прикладывать силу реакции к веревке по направлению к себе. Направления этих сил по длине веревки.

Факты о силе натяжения

1. Натяжение: толкание или тяга: часто видно, что мы не можем эффективно толкать веревки, но когда дело доходит до натяжения предметов, веревки или подобные тросы очень эффективны.Это потому, что натяжение — это сила тяги, а не сила толчка. Когда мы пытаемся подтолкнуть объект с помощью веревки, он ослабнет и, таким образом, потеряет свое натяжение. Натяжение действует только тогда, когда веревка натянута. Это распространенная ошибка, которую делают люди при рисовании силы натяжения в FBD. Сила натяжения не может давить на тело; его можно использовать только для того, чтобы тянуть его.
2. Сухожилия: В нашем теле есть мышцы, называемые «сухожилиями». Эти мышцы гибкие и переносят силы на другие части тела, параллельные поперечной длине мышц.Напряжение, передаваемое между этими сухожилиями, переносит силу по длине частей нашего тела.
3. Мы знаем, что когда мы разрываем молекулы на молекулярном уровне в объекте, эти молекулы получают потенциальную энергию. Благодаря этому в молекулах создается восстанавливающая сила, и эта восстанавливающая сила создает напряжение. В случае гибких сред, таких как веревки, тросы или струны, эта сила натяжения пытается вернуть молекулы в их исходное положение и восстановить исходную длину среды.Обычно мы представляем силу натяжения как \ (T \) или \ (F_T \).
4. Сила, возникающая из-за натяжения безмассовой веревки, соединяющей два объекта, будет одинаковой для обоих объектов.
5. Натяжение действует вдоль направления тяги на объект и по длине данной веревки.
6. Поскольку напряжение действует в обоих направлениях на все элементы в любой заданной точке гибкой среды, работа, выполняемая натяжением, является положительной с одной стороны и отрицательной с другой. Таким образом, чистая работа, выполняемая натяжением любого элемента гибкой среды, всегда равна нулю.

Формула растяжения

Рассчитаем результат силы натяжения для объекта, подвешенного на безмассовой веревке, как показано на рисунке ниже:

Вес объекта будет действовать вниз, в то время как сила натяжения веревки будет пытаться подтянуть массу вверх. Пусть \ (m \) — масса, \ (W \) — вес объекта, \ (g \) — ускорение свободного падения, \ (a \) — ускорение объекта и \ (T \ ) — сила натяжения, то в зависимости от состояния движения объекта возможны три случая:
а.Когда объект находится в состоянии покоя: сила натяжения уравновесит вес объекта, таким образом:
\ (Т = W \)
\ (Т = мг \)
б. Когда объект движется вниз с ускорением: согласно второму закону движения Ньютона, результирующая сила, действующая на объект, равна его массе, умноженной на его ускорение. Поскольку объект ускоряется вниз, вес должен превышать натяжение. Следовательно,
\ (W — T = ma \)
\ (мг — Т = ма \)
\ (∴ Т = мг — ма \)
c. Когда объект движется вверх с ускорением: поскольку объект ускоряется вверх, вес должен быть меньше напряжения.{-2}] \).

Как рассчитать силу натяжения?

Исходя из нашего понимания силы натяжения, можно утверждать, что не существует специальной формулы для расчета силы натяжения, прилагаемой к веревке или кабелю. Мы вычисляем силу натяжения так же, как вычисляем нормальную силу, то есть по второму закону движения Ньютона. Определите все силы, действующие на данное тело, и используйте их для расчета натяжения. Для этого выполните следующие действия:
Шаг-1: Нарисуйте диаграмму свободного тела тела, на которое действуют силы.2 \)
Натяжение троса будет равно кажущемуся весу обезьяны, таким образом:
\ (T = mg + ma \)
\ (T = 10 (10 + 2) \)
\ (T = 120 \, \ rm {N} \)

Сводка

Сила натяжения — это сила, действующая по длине гибкого материала, такого как веревка, трос или цепь. Сила натяжения — это сила контакта. Его переносят по гибкой среде. Обычно известная как сила «пара действие-реакция», натяжение действует на каждый элемент гибкой среды.Если мы рассмотрим любое поперечное сечение каната, то часть каната на одной стороне поперечного сечения приложит силу воздействия к части каната на другой стороне поперечного сечения.

Часто задаваемые вопросы по формуле натяжения

Q.1. Что такое сила натяжения?
Ответ: Сила натяжения, действующая в осевом направлении веревкой или кабелем по всей длине, известна как сила натяжения.

Q.2. Напряжение — это контактная или неконтактная сила?
Ответ: В веревке действует натяжение, когда поверхность находится в непосредственном контакте с веревкой.Таким образом, это контактная сила.

Q.3. Влияет ли гравитация на силу натяжения?
Ответ: Сила натяжения возникает из-за электромагнитных сил, возникающих в веревке, когда она натянута. Он не зависит от силы тяжести. Веревка под натяжением тянет за два своих конца соединенные ею предметы. Величина натяжения зависит от силы, с которой тянут соединенные с ним предметы. Следовательно, если сила, оказываемая объектами, вызвана гравитацией, сила натяжения косвенно зависит от силы тяжести.2 \).
Ответ: Натяжение уравновесит вес двух масс.
Вес двух блоков \ (W = mg + mg = 2mg = 40 \, \ rm {N} \)
Таким образом, натяжение веревки \ (T = W = 40 \, \ rm {N } \).

Мы надеемся, что эта подробная статья о формуле натяжения поможет вам в вашей подготовке. Если вы застряли, дайте нам знать в разделе комментариев ниже, и мы свяжемся с вами в ближайшее время.

209 просмотров

Поверхностное натяжение: определение, причины, измерение и формула — видео и стенограмма урока

Измерение поверхностного натяжения

Общая формула для измерения поверхностного натяжения: гамма равна силе, деленной на длину.

Гамма представляет собой поверхностное натяжение, F представляет силу, а d представляет длину, вдоль которой ощущается сила. Единицы измерения поверхностного натяжения — ньютоны на метр (Н / м) или дин на сантиметр (дин / см).

Следует отметить, что с увеличением температуры поверхностное натяжение воды уменьшается. По этой причине горячая вода намного лучше очищает одежду, чем холодная. Более низкое поверхностное натяжение горячей воды позволяет ей больше взаимодействовать с почвой в одежде, чем холодной.Как указывалось ранее, высокое поверхностное натяжение воды связано с диполями, обнаруженными в молекулах воды. Это дипольное взаимодействие уменьшается с ростом температуры, потому что молекулы движутся быстрее.

Примеры

Итак, давайте посмотрим на воду. Если мы знаем, что поверхностное натяжение воды при 25 градусах Цельсия составляет 72 мН / м, какое усилие может выдержать 5-сантиметровая поверхность перед разрушением? Когда мы переписываем уравнение поверхностного натяжения, мы видим, что сила равна гамма * длине.5 см равно 0,05 м.

F = 72 мН / м * 0,05 м

F = 3,6 мН

Если единственным ускорением является сила тяжести (9,8 м / с2), мы можем определить, какую массу эта 5-сантиметровая область воды может удерживать перед поверхностью напряжение сломается.

Преобразование мН в Н: 3,6 мН = 0,0036 Н.

Сила равна массе, умноженной на ускорение (F = m * a). Ньютоны эквивалентны кг * м / с2. Итак, масса равна Силе, деленной на ускорение:

м = F / a

м = 0.0036N / 9,8 м / с2 = 0,0036 кг * м / с2 / 9,8 м / с2 = 0,0004 кг

Пять см воды могут выдержать 0,0004 кг веса без нарушения поверхностного натяжения.

Давайте теперь посмотрим, какой длины нам потребуется, чтобы выдержать вес обычного человека на воде. Давайте возьмем человека весом 90 кг при ускорении свободного падения. Во-первых, нам нужно определить силу, которая будет действовать при ускорении свободного падения:

F = m * a

F = 90 кг * 9,8 м / с2 = 882 N

Затем мы можем использовать эту силу в поверхностном натяжении. уравнение.Когда мы переписываем уравнение, мы видим, что расстояние равно силе, деленной на поверхностное натяжение.

d = 882 Н / 0,072 Н / м = 12 250 м.

Это более 7,5 миль!

Итак, как мы вообще можем плавать по воде? Как вообще заставить лодку плавать? В обоих этих случаях весь вес не сосредоточен на одной точке в воде. Вот почему вы можете плавать по воде лежа, но не свернувшись клубочком. В положении лежа вы распределяете свой вес по большей площади, но, свернувшись калачиком, вес сосредоточен больше в одной точке.

Резюме урока

Поверхностное натяжение — это сцепление между молекулами на поверхности жидкости, которое делает ее прочной. Он измеряется в Н / м или дин / см. Формула поверхностного натяжения:

Вода имеет одно из самых сильных поверхностных натяжений, известных из-за наличия диполей. Это также причина того, что поверхностное натяжение воды уменьшается при повышении температуры.

Задачи двух тел

В блоке законов Ньютона была введена тема задач двух тел.Была обсуждена пара стратегий решения проблем, которые были применены для решения трех примеров проблем. Такие проблемы с двумя телами обычно включают решение для ускорения объектов и силы, действующей между объектами. Одна из стратегий решения задач двух тел включает использование системного анализа для определения ускорения в сочетании с анализом отдельного объекта для определения силы, передаваемой между объектами. Вторая стратегия заключалась в использовании анализа двух отдельных объектов с целью разработки системы из двух уравнений для решения двух неизвестных величин.При необходимости найдите время, чтобы просмотреть страницу о решении задач двух тел. Эта страница будет основываться на уроках, извлеченных ранее в разделе «Законы Ньютона».

В этом уроке мы проанализируем задачи о двух телах, в которых объекты движутся в разных направлениях. В этих задачах два объекта связаны цепочкой, которая передает силу одного объекта другому. Струна наматывается на шкив, который изменяет направление приложения силы без изменения величины.В качестве иллюстрации того, как работает шкив, рассмотрим схему справа. Объект A связан с объектом B строкой. Веревка наматывается на шкив в конце стола. Объект A подвешен в воздухе, а объект B лежит на столе. В этой ситуации объект А упадет вниз под действием силы тяжести, потянув вниз один конец струны, к которой он подсоединен. Согласно закону действия-противодействия Ньютона, этот нижний конец струны будет тянуть вверх на объект А.Противоположный конец нити соединен с объектом B. Этот конец нити тянет вправо за объект B. Таким образом, нить, соединяющая два объекта, тянет оба объекта с одинаковой силой, но в разных направлениях. Трос тянет вверх на объект A и вправо на объект B. Шкив изменил направление приложения силы.

Проблемы, связанные с двумя объектами, соединяющими струнами и шкивами, характеризуются объектами, которые движутся (или даже ускоряются) в разных направлениях.Они движутся или ускоряются с одинаковой скоростью, но в разных направлениях. Таким образом, при решении таких задач становится важным выбрать другую систему отсчета и систему осей для каждого объекта. Следует обратить внимание на такой выбор системы осей, чтобы оба объекта ускорялись вдоль оси в положительном направлении. С осями, правильно определенными для каждого отдельного объекта, можно построить диаграмму свободного тела. Затем к каждой диаграмме можно применить законы Ньютона, чтобы получить систему из двух уравнений для решения двух неизвестных.Этот процесс решения проблем будет продемонстрирован на трех различных примерах задач.

Пример задачи 1

Масса 200,0 грамма (m ₁ ) и масса 50,0 грамма (m ₂ ) соединены веревкой. Струна натягивается на шкив. Определите ускорение масс и натяжение струны.

Как это часто бывает, в этом примере проблема запрашивает информацию о двух неизвестных — ускорении объектов и силе, действующей между объектами.В такой ситуации, как эта, когда два объекта подвешены на шкиве, более массивный объект будет ускоряться вниз, а наименее массивный объект будет ускоряться вверх. Величина ускорения будет одинаковой для каждого объекта. Система координат, выбранная для m ₁ , имеет положительную ось y, направленную вниз; система координат, выбранная для m ₂ , имеет положительную ось y, направленную вверх. При таком выборе осей направление ускорения будет положительным для каждого объекта.Диаграммы свободного тела для каждой индивидуальной массы показаны ниже. Каждый объект испытывает нисходящую силу тяжести, рассчитываемую как m ₁ • g и m ₂ • g соответственно. Каждый объект также испытывает восходящую силу натяжения, которая притягивает два объекта друг к другу.

Уравнение второго закона

Ньютона (F _net = m • a) можно применить к обеим диаграммам, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных. F _net будет выражаться как сила в направлении ускорения минус сила, которая ему противодействует.Таким образом, для массы 200,0 грамм F _net записывается как 1,960 N — F _{десятки} . Для массы 50,0 грамм F _net записывается как F _tens — 0,490 N. Уравнения 1 и 2 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к массам 200,0 и 50,0 граммов. (Обратите внимание, что значения массы преобразуются в стандартные килограммы перед использованием в уравнениях. Также обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

1.960 — F _{десятков} = 0,2000 • a

F _{десятков} — 0,490 = 0,0500 • a

С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 2 можно переформулировать, чтобы получить выражение для F _{десятков} , записанное в терминах ускорения.

F _{десятков} = 0,0500 • a + 0,490

Это выражение для F _{десятков} теперь можно подставить в уравнение 1, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

1,96 — (0,0500 • a + 0,490) = 0,2000 • a
1,96 — 0,0500 • a — 0,490 = 0,2000 • a
1,47 = 0,2500 •
a = 1,47 / 0,2500 = 5,88 м / с ²

Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 1, его значение можно подставить в уравнение 3, чтобы определить натяжение.

F _{десятков} = 0.0500 • (5,88) + 0,490
F _{десятков} = 0,784 N

Проанализированную здесь шкивную систему иногда называют машиной Атвуда. Подход к решению проблем — это стандартный подход, который будет использоваться на этой странице для решения двух неизвестных. Он будет повторен в примере проблемы 2, чтобы решить то, что обычно называют модифицированной машинной проблемой Этвуда.

Пример задачи 2

Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.20-граммовый подвесной груз (m ₂ ) прикреплен к 250-граммовому планеру с воздушным гусеничным ходом (m ₁ ). Определите ускорение системы и натяжение струны.

Как и в примере проблемы 1, эта система должна быть сначала проанализирована концептуально, чтобы определить направление ускорения двух объектов. Это позволит назначить оси координат для каждого объекта. Поскольку ничто не толкает m ₁ влево, мы можем предположить, что он будет ускоряться вправо из-за натяжения струны.Висящая масса (m ₂ ) будет явно ускоряться вниз под действием силы тяжести. Таким образом, система координат выбрана для m ₂ имеет положительную ось y, направленную вниз; система координат, выбранная для m ₁ , имеет положительную ось x, направленную вправо. При таком выборе осей направление ускорения будет положительным для каждого объекта.

Диаграмма свободного тела для каждой индивидуальной массы показана ниже. На каждый объект действует направленная вниз сила тяжести (F _grav ), рассчитываемая как m ₁ • g и m ₂ • g соответственно.Планер (m ₁ ) испытывает восходящую опорную силу (воздух толкает его вверх), чтобы уравновесить силу тяжести. Планер также испытывает горизонтальную силу — силу натяжения (F _{десятки} ) вправо. Висящая масса (m ₂ ) испытывает восходящую силу натяжения (F _{десятки} ), которая оказывает некоторое сопротивление нисходящей силе тяжести.

Уравнение второго закона

Ньютона (F _net = m • a) можно применить к обеим диаграммам свободного тела, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных.F _net будет выражаться как сила в направлении ускорения за вычетом любой силы, которая ему противодействует. Для параплана весом 250,0 грамм (0,250 кг) F _net — это просто неуравновешенная сила натяжения (F _{десятки} ). Для подвешенной массы 20,0 грамм (0,020 кг) F _net записывается как 0,196 N — F _{десятков} . Уравнения 4 и 5 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к 250,0-граммовому планеру и 20,0-граммовой висящей массе. (Обратите внимание, что значения массы преобразуются в стандартные килограммы перед использованием в уравнениях.Также обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

F _{десятков} = 0,2500 • a

0,196 — F _{десятки} = 0,0200 • a

С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 4 выражает значение F _{десятков} в единицах ускорения. Это выражение для F _tens можно подставить в уравнение 5, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

0,196 — 0,2500 • a = 0,0200 • a
0,196 = 0,2700 •
a = .196 / .2700 = 0,72593 м / с ²
а = ~ 0,726 м / с ²

Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 5, его значение можно подставить в уравнение 4, чтобы определить натяжение.

F _{десятков} = 0,2500 • (0.72593) = 0,18148
F _{десятков} = ~ 0,181 Н

Система шкивов, проанализированная в примере задачи 2, иногда упоминается как модифицированная машина Атвуда. Анализ немного сложнее, чем машина Атвуда в примере задачи 1. Последний пример задачи будет представлять собой случай модифицированной машины Атвуда с поверхностью, наклоненной, как показано ниже. Подход к решению проблем будет таким же.

Пример задачи 3

Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.Ящик 2,50×10 ³ кг (m ₁ ) стоит на наклонной плоскости и соединен кабелем с массой 4,00×10 ³ кг (m ₂ ). Эта вторая масса (m ₂ ) подвешена на шкиве. Угол наклона 30,0 °, поверхность не имеет трения. Определите ускорение системы и натяжение троса.

Как и предыдущая задача, первая задача включает анализ ситуации, чтобы определить, в каком направлении объекты будут ускоряться.Такой анализ позволит присвоить каждому объекту систему координатных осей. В этом случае висящая масса (m ₂ ) могла ускоряться вверх или вниз. Направление его ускорения зависит от сравнения его веса (силы тяжести) с противоположной силой, действующей на другую массу (m ₁ ). Масса на наклонной плоскости сталкивается с тремя силами — силой тяжести, нормальной силой и силой натяжения. Сила тяжести направлена ​​вниз (как обычно) и рассчитывается как m ₁ • g.Нормальная сила направлена ​​перпендикулярно поверхности (как обычно). Сила натяжения направлена ​​вверх и вправо — параллельно наклонной плоскости и в той же ориентации, что и струна, обеспечивающая эту силу. Как обсуждалось на предыдущей странице, объекты, размещенные на наклонных плоскостях, анализируются путем разделения силы тяжести на две составляющие. Один компонент направлен параллельно плоскости (и вниз под этим углом), а другой компонент направлен перпендикулярно плоскости (и вверх под этим углом).Это параллельный компонент силы тяжести, который пытается увести m ₁ вниз по наклонной плоскости. Как упоминалось ранее, этот компонент может быть вычислен путем умножения веса объекта (m ₁ • g) на синус угла наклона (30 °). Значение для F _parallel равно

.

F _{параллельно} = m ₁ • g • синус (θ) = (2500 кг) • (9,8 Н / кг) • синус (30 °)
F _{параллельно} = 12250 N

Этот параллельный компонент силы тяжести пытается тянуть m ₁ вниз по наклонной плоскости.Поскольку m ₁ прикреплен тросом к m ₂ , подвесная масса будет тянуться вместе с ним. Однако есть противоположное действие силы тяжести, тянущее m ₂ вниз; это противоположное действие, если оно будет доминирующим, перетащит объект m ₁ вверх по наклонной плоскости. Сила тяжести на _{м 2} составляет

F _grav-2 = m ₂ • g = (4000 кг) • (9,8 Н / кг) = 39200 Н

Эта сила тяжести на m ₂ является доминирующей силой.Таким образом, m ₁ будет ускоряться вверх по наклонной плоскости, а m ₂ будет ускоряться вниз. Оси координат назначаются соответственно так, чтобы каждый объект имел положительное ускорение.

На схемах ниже показаны эти оси координат и силы, действующие на два объекта. Три силы на m ₁ уже обсуждались. На схеме показаны два компонента F _grav . Как упоминалось на предыдущей странице, перпендикулярная составляющая силы тяжести рассчитывается как

.

F _{перпендикуляр} = m ₁ • g • cosθ = (2500 кг) • (9.8 Н / кг) • cos (30 °)
F _{перпендикуляр} = 21218 Н

Нормальная сила (F _норма ), действующая на m ₁ , уравновешивает F _{перпендикуляр} , так что нет ускорения, перпендикулярного наклонной плоскости. Значение F _norm также составляет 21218 Н. Висящая масса (m ₂ ) испытывает только две силы — силу тяжести вниз и силу натяжения вверх.

Теперь уравнение второго закона Ньютона (F _net = m • a) можно применить к обеим диаграммам свободного тела, чтобы написать два уравнения для двух неизвестных.Нетто F выражается как сила в направлении ускорения за вычетом всех противодействующих ей. Для груза массой 2500 кг на уклоне (m ₁ ) F _net — это просто сила натяжения (F _{десятки} ) минус параллельная составляющая силы тяжести. Для подвешенной массы 4000 кг (м ₂ ) F _net — это сила тяжести (39200 Н) за вычетом силы натяжения (F _{десятки} ). Уравнения 6 и 7 являются результатом применения уравнения второго закона Ньютона к m ₁ и m ₂ .(Обратите внимание, что единицы измерения были опущены, чтобы уравнения читались более четко.)

F _{десятков} — 12250 = 2500 • a

39200 — F _{десятков} = 4000 • a

С этого момента несколько шагов по алгебре приведут к ответам на проблему. Уравнение 6 можно переформулировать, чтобы получить выражение для F _{десятков} , выраженное в единицах ускорения.

F _{десятков} = 2500 • a + 12250

Это выражение для F _{десятков} можно подставить в уравнение 7, чтобы преобразовать его в уравнение с одним неизвестным.Это уравнение и последующие шаги алгебры, приводящие к значению ускорения, показаны ниже.

39200 — (2500 • a + 12250) = 4000 • a
39200 — 2500 • a — 12250 = 4000 • a
26950 = 6500 •
a = 26950/6500 = 4,1462 м / с ²
а = ~ 4,15 м / с ²

Теперь, когда ускорение было найдено из уравнения 7, его значение можно подставить в уравнение 8, чтобы определить силу натяжения (F _{десятки} ).

F _{десятков} = 2500 • a + 12250 = 2500 • (4,1462) + 12250 = 22615 N
F _{десятков} = ~ 2,26 x 10 ⁴ N

Проблемы с двумя телами, подобные этим трем примерам задач, могут быть довольно сложной задачей. Системный подход, применяемый к каждой проблеме, упрощает анализ. Хорошее концептуальное понимание, приверженность использованию диаграмм свободного тела и твердое понимание второго закона Ньютона — вот основные составляющие успеха.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего симулятора машины Этвуда. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Тренажер позволяет исследовать двухмассовые системы, ускоряемые подвешенной массой.

Проверьте свое понимание

1. Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа. 100,0-граммовая подвешенная масса (m2) прикрепляется к 325,0-граммовой массе (m1), покоящейся на столе. Коэффициент трения между 325,0-граммовой массой и столом составляет 0,215. Определите ускорение системы и натяжение струны.

2. Рассмотрим ситуацию с двумя телами справа.Ящик 3,50×10 ³ кг (m ₁ ) стоит на наклонной плоскости и соединен кабелем с массой 1,00×10 ³ кг (m ₂ ). Эта вторая масса (m ₂ ) подвешена на шкиве. Угол наклона составляет 30,0 °, а поверхность имеет коэффициент трения 0,210. Определите ускорение системы и натяжение троса.

Законы движения Ньютона

Теперь, когда мы, , знаем Законы движения Ньютона, как нам применить их? Как они могут позволить нам предсказать движение? объекта, если мы знаем все силы, действующие на него? Как может они позволяют нам предсказать сил на объект, если мы знаем его движение?

Сказать, что остальная часть этого конечно, просто ищет хитрые способы применить

F = м a

---

Пример 1: Представьте, что ящик тянут по трение меньше пол (хотя такой пол очень трудно найти , он все равно Помогите нам понять концепцию и , мы можем вернуться к этому ситуация позже, после с учетом трения, и решить ее более реалистично).

Представьте ящик, который тянут по горизонтали, трение меньше пол. Вокруг него привязана веревка и мужчина тянет трос с силой Т. Т — натяжение в веревка. Что происходит с ящиком?

Прежде чем мы сможем применить Второй закон Ньютона,

F = м a

мы должны найти чистую силу — вектор сумму , все сил — действующие на объект.В добавок к сила T , действующая на веревку, какие другие силы действуют на объект ?

Как обсуждалось в классе, в Механике мы можем ограничить внимание к «контактным» силам и «гравитации». Это означает гравитацию тянет вниз на этом ящике с силой, равной его весу, Вт . Но пол поддерживает обрешетку. Этаж отвечает толкать вверх на ящик с силой, которую мы называем нормой сила .«Нормальный» означает «перпендикулярный». Мы назовем эту силу n ; вы также можете встретить его с надписью N или Ф _N .

Эти силы показаны на «диаграмме свободного тела» выше. Мы нарисовали в все силы, действующие на объект. Чистая сила — это вектор сумма этих сил.

F _net = F = T + n + w

где, греческое заглавное «сигма» означает «сумма».Помни, хотя, векторная запись всегда элегантная сокращенная запись. Когда пишем

F _net = F = T + n + w

мы действительно написали

F _{net, x} = F _x = T _x + n _x + w _х

и

F _{net, y} = F _y = T _y + n _y + w _y

Что это за x- и y-составляющие сил T, n, и w ? Для этого первого простого примера мы можем найти — по осмотр — что эти компоненты

Т _х = Т

T _y = 0

n _x = 0

n _y = n

ширина _x = 0

w _y = — w

Теперь мы готовы применить

F = м a

Но сначала это должно быть записано в терминах компонентов,

F _x = F _{сеть, x} = F _x = m a _x

F _x = F _{net, x} = F _x = T _x + n _x + w _x = T = m а _x

T = м _x

a _x = т / м

Ящик имеет горизонтальное ускорение , равное напряжение Т, деленное на m, массу обрешетки.Что насчет силы в вертикальном направлении?

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

F _y = F _{net, y} = F _y = T _y + n _y + w _y = n — w = m a _y

н — ш = м а _л

Поскольку мы знаем, что ящик не ускоряется в направлении оси Y — не отрывается от пола и не зарывается в пол — мы знаем, что _y = 0, поэтому

п = ш

Направляющая вверх нормальная сила, прилагаемая полом к ​​ящику, в в этой ситуации, равна весу, сила, направленная вниз сила тяжести.

---

Пример 2: Какие силы действуют на книгу, если вы нажимаете вниз на нем с силой F , пока он сидит на гладком, горизонтальный стол, как показано на рисунке ниже?

Втянуть все силы. Это называется «свободное тело». диаграмму «. В этом курсе механики мы ограничимся «контактные силы» и сила тяжести. Контактные силы, для в этом случае будет «нормальная» сила — перпендикулярная сила — вызвано таблицей — обозначено на схеме n — и сила F , приложенная рукой.Гравитация проявляет силу вниз, назвал вес и обозначил w . Как и в в предыдущем примере мы можем сразу написать

F = м a

, но это действительно элегантное сокращение для

F _x = F _{сеть, x} = F _x = m _x

и

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

В этом примере, хотя ничего не происходит по горизонтали направление. Всего сил только вертикаль компонентов, так что все, что у нас действительно есть, это

F _y = F _{net, y} = F _y = m a _y

Считая положительным, имеем

F _y = F _{net, y} = F _y = п — ш — F

Поскольку книга лежит на столе, мы знаем, что она не ускоряется так что _y = 0. Это означает

п — ш — F = 0

п = ш + ж

Мы можем использовать законы Ньютона для определения значения нормального сила n.

---

Эта же идея и техника могут быть использованы немного по-другому. ситуация

Пример 3: Рассмотрим лампу, висящую на цепи. Что такое натяжение в цепи?

Как всегда, начнем с «диаграммы свободного тела». Напряжение Т воздействует на лампу вверх , в то время как сила тяжести тянет вниз с усилием Вт , вес лампы. Чистая сила представляет собой векторную сумму этих двух сил.Лампа не ускоряет , поэтому сила вверх должна равняется силе вниз . По величине это означает

Т = ш

---

Напряжение: Напряжение составляет величин силы осуществляется цепью, веревкой или веревкой. Направление этого сила зависит от остальной ситуации и объекта, который мы концентрируемся на данный момент. Если мы сосредоточимся на цепи, показанной ниже, направленная вниз сила T ‘ — это сила воздействует на цепь лампой при восходящей силе Т » сила, действующая на цепь со стороны потолка.Здесь нет замена хороших диаграмм свободного тела.

---

Пример 4: Рассмотрим светофор, подвешенный на шнурах, как показано на рисунке ниже. Какое напряжение в каждом из этих шнуры?

Tension T ₃ — это легко, поэтому рассмотрим первое. В качестве мы видели в двух предыдущих примерах; это напряжение в Вертикальный шнур, поддерживающий вес, как раз равен весу. В На диаграмме ниже мы нарисовали силы, действующие на светофор.Единственные силы, действующие на светофор: w , груз, действующий вниз, и T ₃ , восходящая сила из-за вертикального троса. Т ₃ — это напряжение в этом кабеле. Ясно

Т ₃ = ш

Но что насчет напряжений в двух других кабелях, T ₂ и Т ₁ ? Чтобы найти их, мы должны посмотреть на перекресток где соединяются три кабеля. Этот перекресток находится в равновесие так

F нетто = 0

F _нетто = F = Т ₁ + Т ₂ + Т ₃ = 0

Однако мы должны помнить, что этот единственный вектор уравнение — элегантное сокращенное обозначение двух скалярных чисел . уравнения,

F _{net, x} = F _x = T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

F _{net, y} = F _y = T _{1 y} + T _{2 y} + T _{3 y} = 0

Итак, мы должны разложить все эти силы на их x- и y-компоненты,

T _1x = — T ₁ cos 37 ^o = — 0.8 T ₁

T _1y = T ₁ sin 37 ^o = 0,6 Т ₁

T _2x = T ₂ cos 53 ^o = 0,6 Т ₂

T _2y = T ₂ sin 53 ^o = 0,8 Т ₂

T _3x = 0

T _{3 года} = — T ₃ = — w

знаков — это важных! Теперь мы можем вернуться к уравнения компонентов и решите для натяжения T ₁ и Т ₂ .

F _{net, x} = F _x = T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

T _{1 x} + T _{2 x} + T _{3 x} = 0

— 0,8 т. ₁ + 0,6 т. ₂ + 0 = 0

T ₁ = 0,75 T ₂

F _{net, y} = F _y = T _{1 y} + T _{2 y} + T _{3 y} = 0

T _{1 год} + T _{2 года} + T _{3 года} = 0

0.6 T ₁ + 0,8 T ₂ 2 — w = 0

0,6 T ₁ + 0,8 T ₂ = w

0,6 (0,75 T ₂ ) + 0,8 T ₂ = w

1,25 T ₂ = w

T ₂ = 0,8 w

T ₁ = 0,75 (0,8 ширины)

T ₁ = 0,6 w

---

Теперь мы расширяем наши приложения и смотрим на Atwoods. Машина

Пример 5 : Рассмотрим машину Атвудса, показанную здесь, с масс m ₁ и m ₂ .Они прикреплены легкий шнур поверх шкива, как показано на рисунке. Какое ускорение системы?

	Можно сказать «ускорение системы» для масс 1 и 2 будут иметь такое же ускорение , так как они прикреплены шнурком. Если m 2 > m 1 и Этвуды машина выпущена из покоя, масса m 1 будет разгон до при массе m 2 ускоряет вниз стойку.Собственно, это будет их ускорения независимо от того, выпущена ли система из состояния покоя или движется. Вероятно, это будет легче визуализировать, если вы представьте, что система выходит из состояния покоя. Как мы можем применить F = m a ? Применим F = m a к массам, по одному на время.
Посмотрите на меньшую массу, м 1 .Какие силы, действующие на эту массу? Натяжение струны создает силу вверх в то время как гравитация действует с силой вниз на . Мы ожидаем этого масса, чтобы иметь ускорение от до . Там нет горизонтальных сил. Возьмем до как положительный . F net = F = T — w 1 = m 1 a F сеть = F = T — m 1 g = m 1 a T — м 1 г = м 1 a Это одно уравнение имеет два неизвестных — напряжение T и ускорение a.Так что нам нужно еще Информация .
Мы получаем эту дополнительную информацию, просматривая силы, действующие на более тяжелую массу, m 2 , и применяя Второй закон Ньютона, F = m a , чтобы эта масса. Горизонтальных сил нет. Натяжение струны создает силу вверх в то время как гравитация действует с силой вниз на .Мы ожидаем этого масса, чтобы иметь ускорение a, равное вниз . Мы можно назвать вниз «положительным» для этой массы или мы можем назвать до «положительным», а затем мы ожидаем эта масса должна иметь ускорение — a. Любой выбор Это хорошо. На этот раз выберем вниз как «положительный». F net = F = w 2 — T = m 2 a F сеть = F = m 2 g — T = m 2 a м 2 г — T = м 2 a Конечно, это одно уравнение также имеет два неизвестные — напряжение Т и ускорение а.

Но теперь у нас есть два уравнений с двумя неизвестными и этого достаточно. Мы можем найти напряжение T в первое уравнение,

Т — м ₁ г = м ₁ а

T = m ₁ g + m ₁ a

, а затем подставьте это во второе уравнение

м ₂ г — T = м ₂ а

м ₂ г — (м ₁ г + м ₁ а) = м ₂ а

м ₂ г — м ₁ г — м ₁ a = м ₂ а

м ₂ г — м ₁ г = м ₁ a + м ₂ а

(м ₂ — м ₁ ) г = (м ₁ + м ₂ ) а

(м ₁ + м ₂ ) a = (м ₂ — м ₁ ) г

a = (m ₂ — m ₁ ) г / (m ₁ + м ₂ )

---

Пример 6: Теперь давайте рассмотрим наклонную машину Атвудса.Массы m ₁ и m ₂ связаны струной который проходит через шкив, а масса m ₂ сидит на гладком наклонная плоскость. Помните, что «гладкий» — это просто кодовое слово для «без трения»; мы скоро перейдем к трениям. Этот склонный Здесь схематически изображена машина Этвудса:

Теперь мы хотим применить Второй закон Ньютона, F = m а . Второй закон Ньютона описывает влияние сил на один объект. Поэтому мы должны изолировать все силы от массы m ₁ и нанести его.Затем мы изолируем все силы от массы m ₂ и снова нанести. Это требует хорошего свободного тела диаграммы.

Висящая масса m1 воздействует только на две силы; веревка тянет вверх с силой, которую мы обозначаем T, в то время как гравитация тянет вниз с силой мы маркируем w:

Мы ожидаем, что ускорение будет восходящим, и нарисовали его. рядом с диаграммой свободного тела. Как всегда, теперь мы готовы подать заявку F = m a этим силам, действующим на этот объект.

F _net = F = T — м ₁ г = м ₁ а

T — м ₁ г = м ₁ a

Как мы уже могли ожидать, это одно уравнение имеет два неизвестные — напряжение Т и ускорение а — так что надо смотреть в другом месте для получения дополнительной информации. Конечно, где смотреть находится в другой массе.

Тщательно постройте диаграмму свободного тела, показывающую все силы действующая на массу m ₂ .Действуют трех сил. на эту массу — струна действует с силой Т , (без трения) наклонная плоскость оказывает «нормальную» силу н , и сила тяжести тянет вниз с силой w ₁ = m ₁ г. Чтобы найти чистую силу , мы должны решить эти векторы на их компоненты. Поскольку ускорение будет быть по направлению плоскости, мы выбрали это направление как ось абсцисс.

Обратите внимание, что угол в эта диаграмма отсчитывается от оси ординат . Это означает вес имеет составляющие

w _x = m ₂ g sin

w _y = — m ₂ g cos

А у нас

п _х = 0

n _y = n

и

T _x = — T

T _y = 0

Убедитесь, что вы понимаете знаки и синусы! Не продолжай пока вам не будут понятны все эти составляющие!

Теперь мы можем применить Второй закон Ньютона к этой массе:

F = м a

F = F _нетто = T + n + w = m a

F _x = F _{сеть, x} = F _x = m ₂ a _x

F _x = T _x + n _x + w _x = m ₂ a _x

— Т _{+ 0 + м 2 г грех = m 2 a x = m 2 a}

, где мы использовали

_х = а

, поскольку ускорение происходит только в положительном направлении оси x.

— Т + м ₂ г син = м ₂ а

Это предоставляет всю информацию, которая нам нужна для решения T и a. Как и раньше, мы можем решить одно из этих уравнений относительно T и подставьте это в другое уравнение и решите относительно a.

T = m ₂ г sin — м ₂ а

[м ₂ г sin — m ₂ a] — m ₁ g = m ₁ a

m ₁ a + m ₂ a = m ₂ g sin — м ₁ г

(m ₁ + m ₂ ) a = (m ₂ sin — м ₁ ) г

a = (m ₂ sin — м ₁ ) г / (м ₁ + м ₂ )

А как насчет y-компонентов сил, действующих на массу? м ₂ , на наклонной плоскости?

F _y = F _{net, y} = F _y = m ₂ a _y

F _y = T _y + n _y + w _y = m ₂ a _y = 0

, где мы использовали

a _y = o

, поскольку ускорение происходит только в положительном направлении оси x и нет ускорения перпендикулярно плоскости.

T _y + n _y + w _y = 0

0 + n — м ₂ г cos = 0

n = m ₂ g cos

Из y-составляющих сил на массу m ₂ , мы можно решить для нормальной силы. Это будет важно, когда мы принять во внимание трение .

---

Пример 7: Два блока масс m ₁ и м ₂ размещены в контакте друг с другом на гладкой, горизонтальная плоскость, как показано здесь.Постоянная горизонтальная сила F применяется к m ₁ . Какое ускорение каждая масса?

В каком-то смысле мы можем (почти) решить этот пример интуитивно — в нашей голове. Сила F приложена к объекту массой m = м ₁ + м ₂ . Значит, его ускорение должно быть

а = Ф / м

или

а = F / (м ₁ + м ₂ )

Это правильный ответ! Но разве в этом больше ничего нет? вопрос? Простые вопросы — интуитивно очевидные — делают замечательные шаблоны или примеры для более сложных задач.

Посмотрите все силы на _{м 1} . Сделайте хорошее свободное тело диаграмма сил, действующих на м ₁ .

Конечно, внешняя сила F толкает вправо на масса m ₁ . Гравитация тянет вниз с силой w ₁ = m ₁ g и самолет отвечает нормальной силой н ₁ . Но другой масса — m ₂ — действует на массу m ₁ .Эта сила обозначена P ‘ и указывает налево. Мы можем применить Второй закон Ньютона к силам y-компоненты и найти, что n ₁ = w ₁ 1. Но теперь есть дополнительный и неизвестная сила в x-компоненте Второго закона Ньютона,

F _{1, сетка} = F — P ‘= m ₁ a

Нам нужно на больше информации , поэтому мы переходим к другой массе, м ₂

Первая масса m1 воздействует на эту массу, m2, с силой P .Применяя y-компонент F = m a , мы легко найти

n ₂ = w ₂

Для x-компонентов, только сила , действующая на m2, равна P так

F _{2, сеть} = P = m ₂ a

Однако из Третьего закона Ньютона F ₁₂ = — F ₂₁ , мы знаем, что P = P ‘, поэтому

F — P ‘= m ₁ а

F — м ₂ a = m ₁ a

F = m ₁ a + m ₂ a

F = (m ₁ + m ₂ ) a

a = F / (м ₁ + м ₂ )

Это тот же ответ, который мы так быстро нашли ранее, но это может предоставить шаблон для использования в более сложных ситуациях.

---

Пример 8: Этот конкретный пример сформулирован в терминах весит рыб в ускоряющем элеваторе. Это тоже весело представить себе вес в ускоряющем лифте. Когда лифт разгоняется до палат? Когда лифт разогнаться вниз подопечных?

Силы, действующие на рыбу, показаны в свободном теле. диаграмма. T — это напряжение на шкале. Это ценность весы читают.Мы можем назвать это видимым весом рыба. Чистое усилие на рыбу

. F _сеть = T — w

или

F _нетто = T — мг

Чистая сила ( всегда! ) равна массе, умноженной на ускорение. Эта рыба движется вместе с лифтом. В этом На диаграмме мы взяли ускорение от до , поэтому положительный.

F _net = T — m g = m a

T = m g + m a

Т = м (г + а)

В то время как лифт ускоряет вверх по направлению к , кажущийся вес рыбы на больше ее истинного веса, мг.

Что происходит, когда лифт ускоряется с вниз по палате?

Силы, действующие на рыбу, снова показаны в свободном теле. диаграмма,

F _сеть = T — w

или

F _нетто = T — мг

Чистая сила ( всегда! ) равна массе, умноженной на ускорение. Эта рыба движется вместе с лифтом. Сейчас ускорение должно быть до , то есть отрицательное значение .

F _net = T — m g = m (- a)

T = м г — м а

Т = м (г — а)

В то время как лифт ускоряется на вниз по стойке , кажущийся вес рыбы на меньше ее истинного веса, мг.

Попробуйте сами на элеваторе — не взвешивая рыбу, ставим обращая внимание на собственный вес кажущийся !

c) 2002 год, Дуг Дэвис; все права защищены

Capstan Equation — обзор

5.1 Трение и текстура поверхности контактных поверхностей пряжи

В этом разделе обсуждаются контактные поверхности пряжи. Контактные поверхности пряжи в процессе текстурирования при вытяжке должны создавать низкое контактное трение пряжи, чтобы минимизировать повреждение нити и, в идеале, не препятствовать передаче скрутки в зоне текстурирования. Более того, профили натяжения пряжи в подзонах процесса текстурирования, то есть от шпулярника сырьевого материала POY до намотки пакетов, подвержены влиянию трения и являются точками рассмотрения для гарантии того, что рабочие окна для технических характеристик процесса не ограничены.Свойства трения при рисовании текстур действительно требовательны, и на них также влияют несоответствия в настройках пути потока. Некоторые примеры обсуждаются ниже.

Пути нитей шпулярника состоят из филаментной пряжи, обычно POY, которая испытывает колебания натяжения из-за их точек разворота ветра во время «перемотки» при размотке. Кроме того, поскольку диаметры упаковки POY становятся меньше во время ветра, скорость вращения разматываемой нити становится выше, и происходит постепенное изменение характеристик баллона.Поскольку и среднее, и пиковое натяжения растут с уменьшением диаметра упаковки, натяжения увеличиваются кумулятивно непосредственно перед входной подачей в зону текстурирования из-за каждого контакта с поверхностью и угла намотки в соответствии с уравнением оси:

[5.1] tbta = eμθ

где: tb = выходное натяжение

ta = входное натяжение

μ = коэффициент трения

θ — угол контакта (радианы) на цилиндрической поверхности.

Натяжение пряжи в шпулярнике увеличивается с увеличением скорости процесса. Высокие углы наматывания шпулярника и / или высокий коэффициент трения из-за выбора керамических направляющих поверхностей более низкого качества могут привести к высоким пиковым напряжениям перед входной подачей, которые могут передаваться через входной зазор подачи (проскальзывание) или, если достаточно высокое , приводят к прерывистому холодному волочению пряжи. В таких случаях консистенция поглощения красителя текстурированной пряжей может проявляться в виде дефектов получаемой текстильной ткани.

Финишная обработка пряжи питателя POY (обычно порядка 0.3–0,5% по весу) при прядении, содержит смазку, антистатический состав и эмульгатор. ¹ При прохождении пряжи через текстурирующий нагреватель улетучивается процент отделочного материала. Проблемы с дымом смазки, влияющие на загрязнение воздуха и конденсацию на более холодных деталях машины, должны быть сведены к минимуму, поскольку они могут изменить фрикционные характеристики пряжи, особенно на охлаждающих дорожках. Более того, любые смолистые или углеродистые отложения, образующиеся в результате прядения на дорожках нагревателя в результате деградации или конденсации, могут отрицательно повлиять на качество текстурированной пряжи и производительность процесса.Как правило, отделка прядением должна обеспечивать низкое трение пряжи о керамику, а также низкое трение между нитями. Высокое трение пряжи на контактных поверхностях на путях резьбы узла до и после скручивания может привести к образованию снега, повреждению поверхности нитей и разрыву нитей. Высокое трение между нитями может вызывать плохую миграцию нитей при скручивании на входе в нагреватель, что приводит к характеристикам петлевой извитости, более низким значениям извитости, а иногда и к склонности к задиранию нитей как в пачке текстурированной пряжи при разветвлении, так и при последующем производстве ткани.

Контактные поверхности (направляющая нагревателя, керамические направляющие, охлаждающие направляющие) и силы реакции пряжи из-за различных профилей станка, типов и диаметров керамических направляющих различаются в зависимости от типа станка и производителя. Обработка поверхности должна быть особенно тщательно выбрана для зон пути прохождения нити в зависимости от того, находится ли пряжа в скрученном или плоском состоянии.

Во время начала текстурирования высокоскоростной контакт пряжи ощущается на некоторых поверхностях траектории движения нити зоны текстурирования, когда пряжа находится в плоском состоянии.Впоследствии эти поверхности подвергаются скрученной нити во время обработки. Однако оптимальная обработка поверхности неодинакова для обоих состояний пряжи; полированные направляющие поверхности, необходимые для низкого трения на скрученной нити, вызывают высокие силы трения на плоской нити, что приводит к трудностям оператора, обрыву пряжи и низкой эффективности запуска в положениях машины.

Обычно на текстурированную пряжу наносят смазку (конусное масло) для получения низкого уровня трения при последующей обработке.Свойства конусных масел важны для облегчения разветвления текстурированной пряжи, наряду с низким статическим электричеством и трением при последующей переработке. Обычно на текстурированную пряжу наносится примерно 1,5–2,5% мас. Конусообразного масла. По мере того, как скорости текстурирования увеличивались, увеличивались и скорости движения пакета ветром, и, как следствие, конусные масла были прогрессивно разработаны, чтобы обеспечить «низкие характеристики строповки», чтобы уменьшить загрязнение воздуха и скользкие условия под ногами для операторов.

Компоненты машины, которые контактируют с пряжей, должны быть установлены равномерно по всей машине, особенно в зоне текстурирования, чтобы углы наматывания пряжи и поверхностные контактные силы оставались одинаковыми. На установках текстурирования при вытяжке особенно часто пренебрегают настройками холодных гусениц, что приводит к несогласованности взаимного расположения в значениях обжима, плохой прочности пряжи на растяжение, обрыву нитей и быстрому износу холодной поверхности гусеницы (рисунки 5.1 и 5.2).

5.1. Крутой перекос гусеницы с пряжей, идущей по выходному краю гусеницы.

Рисунок 5.2. Разрыв нити из-за контакта с холодным краем гусеницы.

При текстурировании ложной крутки режим трения можно рассматривать как граничный или гидродинамический, в зависимости от динамического состояния пряжи и ее контактной поверхности (рис. 5.3). На режим трения в значительной степени влияют скорость, вязкость смазки и давление пряжи. Для условий гидродинамического трения можно предположить, что нить отделена пленкой смазки, по которой она скользит. Для граничного трения можно предположить, что пряжа имеет прямой контакт с поверхностью.В общем, можно ожидать, что гидродинамические условия будут применяться при высоких скоростях обработки при условии, что пики шероховатости поверхности не проникают через слой смазки. ² На пути прохождения нитки шпулярника натяжение нити и силы реакции (давление) на направляющие имеют тенденцию быть относительно низкими. Также можно предположить, что вязкость смазочного материала (низкая температура) находится на относительно высоком уровне. Более грубые направляющие поверхности, как правило, используются для уменьшения коэффициента трения и, следовательно, уменьшения натяжения пряжи перед вводом в соответствии с тенденцией граничного режима.

5.3. Режимы трения в зависимости от скорости пряжи, вязкости смазки и контактного давления пряжи. ²

Однако для крученой пряжи на выходе из нагревателя конденсат смазочного материала имеет тенденцию образовываться на направляющих поверхностях; остаточная вязкость смазочного материала может быть низкой (высокая температура), давление пряжи из-за контакта отдельных волокон относительно высокое, а скорость поверхности пряжи выше из-за степени вытяжки и скорости кручения. Полированные направляющие поверхности улучшают передачу закрутки нагревателю, предлагая гидродинамический режим работы.Более шероховатые направляющие поверхности вызывают абразивное повреждение волокон, что приводит к снижению прочности пряжи на растяжение, образованию обрывов волокон и образованию снега. Это особенно актуально для траекторий загнутых ниток в зоне текстурирования, например Профильные станки Barmag M или Rieter-Scragg B. Перенос скручивания по направляющим поверхностям действительно был предметом многочисленных исследований в эпоху траектории гофрированной нити. ^3–5

Текстильные направляющие в основном изготавливаются из оксида алюминия или диоксида титана (оксида титана).Направляющие из диоксида титана, как правило, имеют более мелкозернистую структуру и вызывают меньшую склонность к абразивному повреждению нити (т.е. зерна с меньшей вероятностью проникают через защитные пленки смазки). Они особенно бережно воздействуют на пряжу в зоне разворота между нагревателем и охлаждающей дорожкой в ​​зонах складчатого текстурирования, где силы реакции пряжи на направляющие велики. Однако они подвержены абразивному износу из-за низкой твердости материала (рис. 5.4). Оксид алюминия имеет тенденцию заменять направляющие из диоксида титана в определенных местах на пути резьбы.Совершенствование методов полировки керамической поверхности и развитие состава материалов обеспечили его использование в качестве подходящей замены.

5.4. Свидетельства абразивного износа крученой пряжи, проходящей по керамической направляющей из диоксида титана.

Список формул поверхностного натяжения | Важные формулы поверхностного натяжения

1. Поверхностное натяжение

Свободная поверхность жидкости ведет себя как растянутая мембрана. Сила на единицу длины в перпендикулярном направлении на воображаемой линии, проведенной на поверхности жидкости, называется поверхностным натяжением, она также равна работе, совершаемой для увеличения площади поверхности жидкости на единицу.
T = \ (\ frac {F} {\ ell} = \ frac {\ Delta W} {\ Delta A} \) Н / м или Дж / м ²

2. Плотность поверхностной энергии

E = \ (\ frac {\ Delta \ mathrm {W}} {\ Delta \ mathrm {A}} \) = T

3. Форма мениска

• F _a = \ (\ frac {F_ {c}} {\ sqrt {2}} \); Плоскость, θ = 90 ° Без изменений
• F _a <\ (\ frac {F_ {c}} {\ sqrt {2}} \); Выпуклый, θ> 90 ° Отвод
• F _a > \ (\ frac {F_ {c}} {\ sqrt {2}} \); Вогнутая, θ <90 ° Подъем уровня

4.Подъем или падение жидкости в капилляре

h = \ (\ frac {2 \ mathrm {T} \ cos \ theta} {\ mathrm {rdg}} \)
Если капилляр наклонен под углом Φ к вертикали, h будет постоянным, но длина столба жидкости
l = \ (\ frac {\ mathrm {h}} {\ cos \ phi} \)
h ∝ \ (\ frac {1} {r} \)
или h ₁ r ₁ = h ₂ r ₂ (закон Юрина)
Если радиус капилляра равен r, а радиус кривизны мениска равен R, то-
r = R cos θ

5.Избыточное давление из-за поверхностного натяжения

В капле p = \ (\ frac {2 \ mathrm {T}} {\ mathrm {r}} \)
В пузыре в воздухе p = \ (\ frac {4 \ mathrm {T}} {\ mathrm {r}} \)
В воздушном пузыре в жидкости
p = \ (\ frac {2 \ mathrm {T}} {\ mathrm {r}} \)
Если поверхность изогнута в двух направлениях,
P = T \ (\ left (\ frac {1} {r_ {1}} + \ frac {1} {r_ {2}} \ right) \)

6. Радиус кривизны общей поверхности двух соприкасающихся пузырьков

r = \ (\ frac {r_ {1} r_ {2}} {r_ {2} -r_ {1}} \)

7.{3}} \)
Увеличение площади ΔA = 4π (nr ² — R ² ), W = 4πTR ³ \ (\ left (\ frac {1} {r} — \ frac {1} {R} \ right) \)
Падение температуры Δθ = \ (\ frac {3 \ mathrm {T}} {\ mathrm {Jsd}} \ left (\ frac {1} {\ mathrm {r}} — \ frac {1} {\ mathrm {R}} \ right) \)

10.