Ньютонов потенциал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ньюто́новым потенциа́лом называют функцию, заданную в R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} и определяемую как свертка обобщенной функции, называемой в теории потенциала плотностью, с функцией |x|⁻¹:

V=1|x|∗ρ.{\displaystyle V={\frac {1}{|x|}}*\rho .}

Потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона: ΔV=−4πρ.

Если ρ — интегрируемая функция на некоторой области G и ρ(x)=0, x∈R3∖G¯{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}}. то ньютонов потенциал, называемый объемным потенциалом можно выразить через интеграл

V(x)=∭Gρ(y)|x−y|dy{\displaystyle V(x)=\iiint \limits _{G}{\frac {\rho (y)}{|x-y|}}dy}

О гладкости потенциала можно сказать следующее. Если ρ ∈ C(G), то V(x) ∈ C¹(ℝ³) и ΔV(x) = 0 при x ∈ R3∖G¯{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}}}.

Вместо области G теперь рассматривается ограниченная кусочно-гладкая поверхность с нормалью n, μ — непрерывная функция на S. Ньютоновым потенциалом простого слоя называется свёртка

V(0)=1|x|∗μδS{\displaystyle V^{(0)}={\frac {1}{|x|}}*\mu \delta _{S}}

или в интегральном виде:

V(0)(x)=∬Sμ(y)|x−y|dSy,{\displaystyle V^{(0)}(x)=\iint \limits _{S}{\frac {\mu (y)}{|x-y|}}dS_{y},}

Потенциал простого слоя гармоничен вне области S, является непрерывным всюду в ℝ³ и в бесконечно удаленной точке стремится к нулю. Кроме того, если S — поверхность Ляпунова, то на ней наблюдается разрыв нормальной производной потенциала простого слоя:

∂V(0)∂n|+=−2πμ(S)+∂V(0)∂n|S,{\displaystyle {\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{+}=-2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},}

∂V(0)∂n|−=2πμ(S)+∂V(0)∂n|S,{\displaystyle {\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{-}=2\pi \mu (S)+{\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{S},}

где индексы «+» и «-» обозначают соответственно внешнюю и внутреннюю производные на S.

В случае постоянной плотности μ и поверхности Ляпунова потенциал простого слоя равен:

V(0)(x)={4πμR2|x|, |x|⩾R,4πμR, |x|<R.{\displaystyle V^{(0)}(x)={\begin{cases}4\pi \mu {\frac {R^{2}}{|x|}},\ |x|\geqslant R,\\4\pi \mu R,\ |x|<R.\end{cases}}}

Полностью аналогично потенциалу простого слоя вводится ньютоновский потенциал двойного слоя:

V(1)(x)=−1|x|∗∂∂n(νδS)=∬Sν(y)∂∂ny1|x−y|dSy=∬Sμcos⁡φ|x−y|2dSy,{\displaystyle V^{(1)}(x)=-{\frac {1}{|x|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\iint \limits _{S}\nu (y){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} _{y}}}{\frac {1}{|x-y|}}dS_{y}=\iint \limits _{S}\mu {\frac {\cos \varphi }{|x-y|^{2}}}dS_{y},}

где φ — угол между нормалью к поверхности S в точке y и радиус-вектором, направленном из точки x в точку y.

Потенциал двойного слоя непрерывен в замыкании области, ограничиваемой поверхностью S, непрерывен вне этой области и непрерывен на самой поверхности S, если она является поверхностью Ляпунова, однако при переходе через поверхность S он претерпевает разрыв:

V+(1)(S)=2πν(S)+V(1)(S),{\displaystyle V_{+}^{(1)}(S)=2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S),}

V−(1)(S)=−2πν(S)+V(1)(S).{\displaystyle V_{-}^{(1)}(S)=-2\pi \nu (S)+V^{(1)}(S).}

На бесконечности потенциал двойного слоя стремится к нулю.

В случае постоянной плотности ν и поверхности Ляпунова потенциал двойного слоя равен:

V(1)(x)={0, x∈R3∖G¯,−2πν, x∈S,−4πν, x∈G.{\displaystyle V^{(1)}(x)={\begin{cases}0,\ x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus {\overline {G}},\\-2\pi \nu ,\ x\in S,\\-4\pi \nu ,\ x\in G.\end{cases}}}

Физический смысл ньютоновских потенциалов[править | править код]

Так как потенциал V удовлетворяет уравнению Пуассона, он может быть создан массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью ρ. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают потенциал простого слоя; если же на поверхности сосредоточены диполи, то это потенциал двойного слоя.

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.

Потенциал в Большой советской энциклопедии

Большой термодинамический потенциал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Большой термодинамический потенциал (потенциал Ландау) — термодинамический потенциал, используемый для описания систем с переменным числом частиц (большого канонического ансамбля). Был введён Гиббсом и обозначен им как Ω{\displaystyle \Omega }, поэтому иногда также называется омега-потенциалом.

Ω=U−TS−μN=F−μN{\displaystyle \Omega =U-TS-\mu N=F-\mu N},

где F{\displaystyle F} — свободная энергия Гельмгольца, μ{\displaystyle \mu } — химический потенциал, N{\displaystyle N} — число частиц, P{\displaystyle P} — давление, V{\displaystyle V} — объём, T{\displaystyle T} — температура, S{\displaystyle S} — энтропия.

Отсюда его дифференциал равен

dΩ=−SdT−PdV−Ndμ{\displaystyle d\Omega =-SdT-PdV-Nd\mu }.

Поэтому большой термодинамический потенциал записывают как функцию

Ω=Ω(T,V,μ){\displaystyle \Omega =\Omega (T,V,\mu )}.

Можно показать, что в случае однородных систем, то есть при аддитивности внутренней энергии

U(αS,αV,αN)=αU(S,V,N){\displaystyle U(\alpha S,\alpha V,\alpha N)=\alpha U(S,V,N)},

для большого термодинамического потенциала справедливо выражение

Ω=−pV{\displaystyle \Omega =-pV}.

Для этого нужно подставить в выражение для dΩ{\displaystyle d\Omega } уравнение уравнение Гиббса — Дюгема.

Большой термодинамический потенциал и термодинамическое равновесие[править | править код]

Можно показать, что для системы с фиксированными (извне) объёмом, температурой и химическим потенциалом (но переменным числом частиц) точка термодинамического равновесия является точкой минимума большого термодинамического потенциала.

Логарифмический потенциал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Логарифми́ческим потенциа́лом

называют функцию, определённую в ℝ² как свертка обобщённой функции ρ с функцией -ln|z|:

V=−ρln⁡|z|.{\displaystyle V=-\rho \ln |z|.}

Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона ΔV = −2πρ. По аналогии с ньютоновым потенциалом можно рассматривать три частных случая логарифмического потенциала.

Физический смысл логарифмических потенциалов заключается в том, что они соответствуют потенциалу, создаваемому зарядами (или массами) в двумерной электростатике (или двумерной ньютоновской гравитации), распределенными с (двумерной) плотностью ρ. С точки зрения обычной трехмерной электростатики, речь идет об электростатическом потенциале, создаваемом распределением зарядов, обладающим трансляционной симметрией по одной из пространственных осей (по оси, ортогональной к плоскости, декартовы координаты на которой есть компоненты вектора

z — или его действительная и мнимая часть, если считать z комплексным числом), иными словами, распределением зарядов, не зависящим от третьей координаты, постоянным по ней (потенциал заряженной нити).

V(z)=∬Gρ(ζ)ln⁡1|z−ζ|dξdη,ζ=ξ+iη.{\displaystyle V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta ,\qquad \zeta =\xi +i\eta .}

Если ρ(z)∈C(G¯){\displaystyle \rho (z)\in C({\overline {G}})}, то сам потенциал V(z)∈C1(R2){\displaystyle V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R2∖G{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus G} и

V(z)=ln⁡1|z|∬Gρ(ζ)dξdη+O(1|z|), |z|→∞.{\displaystyle V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}

• Здесь, как это часто делается, подразумевается представление R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} как комплексной плоскости; впрочем, в рамках определений это несущественно, и в этом смысле здесь можно всюду заменить комплексные переменные ζ, z{\displaystyle \zeta ,\ z} просто на двумерные векторы, а модуль комплексного числа — на евклидову норму в R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, а если ρ{\displaystyle \rho } также комплексно, можно рассматривать отдельно его действительную и мнимую части.

Логарифмический потенциал простого слоя[править | править код]

V(0)(z)=μδSln⁡1|z|=∫Sμ(ζ)ln⁡1|z−ζ|dSζ.{\displaystyle V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.}

Если μ(z)∈C(S){\displaystyle \mu (z)\in C(S)}, то сам потенциал V(0)(z)∈C(R2){\displaystyle V^{(0)}(z)\in C(\mathbb {R} ^{2})} гармоничен в R2∖S{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus S} и

V(0)(z)=ln⁡1|z|∫Sμ(ζ)dSζ+O(1|z|), |z|→∞.{\displaystyle V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta )dS_{\zeta }+O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то потенциал имеет производные, причем на самой кривой наблюдается их разрыв:

(∂V(0)∂n)|+=−πμ(z)+∂V(0)(z)∂n,{\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }},}

(∂V(0)∂n)|−=πμ(z)+∂V(0)(z)∂n.{\displaystyle \left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right){\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z)+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} }}.}

Логарифмический потенциал двойного слоя[править | править код]

V(1)(z)=−ln⁡1|z|∗∂∂n(νδS)=∫Sν(ζ)∂∂n(ln⁡1|z−ζ|)dSζ=∫Sν(ζ)cos⁡φ|z−ζ|dSζ,{\displaystyle V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}}dS_{\zeta },}

где φ — угол между нормалью в точке ζ и радиус-вектором, проведённым в эту точку из точки z.

Если ν(z)∈C(S){\displaystyle \nu (z)\in C(S)}, то сам потенциал V(1)(z){\displaystyle V^{(1)}(z)} гармоничен в R2∖G{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus G} и

V(1)(z)=O(1|z|), |z|→∞.{\displaystyle V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .}

Если S — кривая Ляпунова, то:

V(1)∈C(G¯)∩C(S)∩C(R2∖G){\displaystyle V^{(1)}\in C({\overline {G}})\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)}

и

V+(1)(z)=πν(z)+V(1)(z),{\displaystyle V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),}

V−(1)(z)=−πν(z)+V(1)(z).{\displaystyle V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).}

Если, к тому же, плотность — постоянная величина, потенциал равен

V(1)={−2πν, z∈G,−πν, z∈S,0, z∈R2∖G¯.{\displaystyle V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\ z\in S,\\0,\ z\in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}}

Комплексный потенциал — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Комплексный потенциал — функция двух переменных x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}, использующаяся в гидродинамике для описания плоского стационарного безвихревого движения несжимаемой жидкости вида f(z)=u(x,y)+iv(x,y){\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}. Действительная часть u(x,y){\displaystyle u(x,y)} называется потенциальной функцией, мнимая часть v(x,y){\displaystyle v(x,y)} называется функцией тока. Линии u(x,y)=const{\displaystyle u(x,y)={\rm {const}}} называются эквипотенциальными линиями, или линиями уровня. Линии v(x,y)=const{\displaystyle v(x,y)={\rm {const}}} называются линиями тока. Каждая частица жидкости движется по линии тока. Величина скорости течения жидкости равна модулю производной комплексного потенциала V=|f′(z)|{\displaystyle V=|f'(z)|}. Направление скорости течения жидкости образует с положительным направлением оси Ox{\displaystyle Ox} угол φ=−arg⁡f′(z){\displaystyle \varphi =-\arg f'(z)}. Пользуясь условиями Коши-Римана, можно из уравнения эквипотенциальных линий восстановить вид комплексного потенциала.

• Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.. — 2-е. — М., 1981.

Модель погружённого атома — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В вычислительной химии модель погружённого атома (англ. embedded atom model, EAM^[1][2]) используется для приближенного описания энергии взаимодействия между двумя атомами. Энергия — это функция F{\displaystyle F} от суммы функций ρ(rij){\displaystyle \rho (r_{ij})}, зависящих от расстояния между рассматриваемым i-м атомом и его j-ми соседями. Функция ρ{\displaystyle \rho } в оригинальной модели Мюррея Доу (англ. Murray Daw) и Майка Баскеса (англ. Mike Baskes) представляет электронную плотность. Модель связана с теорией приближения сильной связи, известной также как модель Финниса-Синклера (Finnis-Sinclair model).

В моделировании потенциальная энергия i{\displaystyle i}-го атома определяется так^[3]

Ei=Fα(∑i≠jρα(rij))+12∑i≠jϕαβ(rij){\displaystyle E_{i}=F_{\alpha }\left(\sum _{i\neq j}\rho _{\alpha }(r_{ij})\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}\phi _{\alpha \beta }(r_{ij})},

где rij{\displaystyle r_{ij}}  — расстояние между i{\displaystyle i}-м и j{\displaystyle j}-м атомами, ϕαβ{\displaystyle \phi _{\alpha \beta }}  — функция парного потенциала, ρα{\displaystyle \rho _{\alpha }}  — вклад в плотность заряда электронов от j{\displaystyle j}-го атома в месте расположения i{\displaystyle i}-го атома и F{\displaystyle F}  — это функция «погружения», которая представляет энергию, необходимую для помещения i{\displaystyle i}-го атома типа α{\displaystyle \alpha } в электронное облако.

Метод EAM является многочастичным потенциалом и, поскольку плотность электронного облака — это сумма вклада от большого количества атомов, на практике для уменьшения сложности и, соответственно, времени расчетов, часто ограничивают количество соседей так называемым «радиусом обрезания».

Для применения метода к простым однокомпонентным системам атомов нужно задать три скалярные функции: функцию погружения, функцию парного взаимодействия и функцию распределения плотности электронного облака. Для бинарных сплавов необходимо уже 7 функций: три функции парного взаимодействия (A-A, B-B, A-B), две функции погружения и две функции распределения плотности электронных облаков. Обычно эти функции доступны в табличном виде и интерполируются кубическими сплайнами.