Равномерное движение тела по окружности – FIZI4KA

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ​\( T \)​ — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ​\( [\,T\,] \)​ = 1 с.

Частота обращения ​\( (n) \)​ — число полных оборотов тела за одну секунду: ​\( n=N/t \)​. Единица частоты обращения — \( [\,n\,] \) = 1 с^-1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ​\( n=1/T \)​.

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ​\( t \)​ переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ​\( \varphi \)​.

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ​\( \omega \)​ — физическая величина, равная отношению угла поворота \( \varphi \) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ​\( \omega=\varphi/t \)​. Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ​\( [\,\omega\,] \)​ = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ​\( 2\pi \)​. Поэтому ​\( \omega=2\pi/T \)​.

Линейная скорость тела ​\( v \)​ — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ​\( \vec{v}=l/t \)​. За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ​\( \vec{v}=2\pi\!R/T \)​. Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ​\( v=\omega R \)​.

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ​\( \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{t} \)​ и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ​\( a=\frac{v^2}{R} \)​. Так как ​\( v=\omega R \)​, то ​\( a=\omega^2R \)​.

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ​\( R_1 \)​ от центра вращающегося колеса, равна ​\( v_1 \)​. Чему равна скорость ​\( v_2 \)​ точки 2, находящейся от центра на расстоянии ​\( R_2=4R_1 \)​?

1) ​\( v_2=v_1 \)​
2) ​\( v_2=2v_1 \)​
3) ​\( v_2=0,25v_1 \)​
4) ​\( v_2=4v_1 \)​

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ​\( T=2\pi\!Rv \)​
2) \( T=2\pi\!R/v \)​
3) \( T=2\pi v \)​
4) \( T=2\pi/v \)​

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ​\( \omega=a^2R \)​
2) \( \omega=vR^2 \)​
3) \( \omega=vR \)
4) \( \omega=v/R \)​

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10^-4 с
4) 5·10^-6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ​\( 1/T \)​
2) ​\( v^2/R \)​
3) ​\( v/R \)​
4) ​\( \omega R \)​
5) ​\( 1/n \)​

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

Ответы

Равномерное движение тела по окружности

5 (100%) 1 vote

Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость.

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a_r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение (нормальное ускорение) a_n или а_ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.

Модуль центростремительного ускорения равен

a_ЦС=v² / R

Где v – линейная скорость, R – радиус окружности

Рис. 1.22. Движение тела по окружности.

Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус, проведённый из центра окружности до точки, в которой в этот момент находится движущееся тело. Угол поворота измеряется в радианах. Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу окружности (рис. 1.23). То есть если l = R, то

1 радиан= l / R

Так как длина окружности равна

l = 2πR

то

360^о = 2πR / R = 2π рад.

Следовательно

1 рад. = 57,2958^о = 57^о18’

Угловая скорость

равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:

ω = φ / t

Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]. Модуль линейной скорости определяется отношением длины пройденного пути l к промежутку времени t:

v= l / t

Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности. При движении точки длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением

l = Rφ

где R – радиус окружности.

Тогда в случае равномерного движения точки линейная и угловая скорости связаны соотношением:

v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω

Рис. 1.23. Радиан.

Период обращения – это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения – это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.

n = 1 / T

За один период угол поворота φ точки равен 2π рад, поэтому 2π = ωT, откуда

T = 2π / ω

То есть угловая скорость равна

ω = 2π / T = 2πn

Центростремительное ускорение можно выразить через период Т и частоту обращения n:

a_ЦС = (4π²R) / T² = 4π²Rn²

Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение и их связь с линейными характеристиками движения

Движение по окружности – частный случай криволинейного движения. Скорость тела в любой точке криволинейной траектории направлена по касательной к ней (рис.2.1). Скорость как вектор при этом может изменяться и по модулю (величине) и по направлению. Если модуль скорости

остается неизменным, то говорят оравномерном криволинейном движении.

Пусть тело движется по окружности с постоянной по величине скоростью из точки 1 в точку 2.

Рис.2.1

При этом тело пройдет путь, равный длине дуги ℓ₁₂между точками 1 и 2 за времяt. За это же времяtрадиус- векторR, проведенный из центра окружности 0 к точке, повернется на угол Δφ.

Вектор скорости в точке 2 отличается от вектора скорости в точке 1 по направлениюна величину ΔV:

;

Для характеристики изменения вектора скорости на величину δv введем ускорение :

(2.4)

Вектор в любой точке траектории направлен по радиусуRкцентруокружности перпендикулярно к вектору скоростиV₂. Поэтому ускорение, характеризующее при криволинейном движении изменение скорости

по направлению, называютцентростремительным или нормальным. Таким образом, движение точки по окружности с постоянной по модулю скоростью являетсяускоренным.

Если скорость изменяется не только по направлению, но и по модулю (величине), то кроме нормального ускорениявводят еще икасательное (тангенциальное) ускорение, которое характеризует изменение скорости по величине:

или

Направлен вектор по касательной в любой точке траектории (т.е. совпадает с направлением вектора). Угол между векторамии

равен 90⁰.

Полное ускорение точки, движущейся по криволинейной траектории, определяется как векторная сумма (рис.2.1.).

.

Модуль вектора .

Угловая скорость и угловое ускорение

При движении материальной точки по окружностирадиус-векторR, проведенный из центра окружности О к точке, поворачивается на угол Δφ (рис.2.1). Для характеристики вращения вводятся понятия угловой скорости ω и углового ускорения ε.

Угол φ можно измерять в радианах. 1 радравен углу, который опирается на дугу ℓ, равную радиусуRокружности, т.е.

илиℓ₁₂ = Rφ(2.5.)

Продифференцируем уравнение (2.5.)

(2.6.)

Величина dℓ/dt=V_мгн. Величину ω =dφ/dtназываютугловой скоростью(измеряется в рад/с). Получим связь между линейной и угловой скоростями:

V = ωR, (2.7)

Величина ω векторная. Направление вектораопределяетсяправилом винта (буравчика): оно совпадает с направлением перемещения винта, ориентированного вдоль оси вращения точки или тела и вращаемого в направлении поворота тела (рис.2.2), т.е.

.

Рис.2.2

Угловым ускорениемназывается векторная величина производная от угловой скорости (мгновенное угловое ускорение)

, (2.8.)

Вектор совпадает с осью вращения и направлен в туже сторону, что и вектор

, если вращение ускоренное, и в противоположную, если вращение замедленное.

Число оборотов n тела в единицу времени называют частотой вращения.

Время Т одного полного оборота тела называют периодом вращения. При этом R опишет угол Δφ=2π радиан

n=1/T

С учетом сказанного

, (2.9)

Уравнение (2.8) можно записать следующим образом:

(2.10)

Тогда тангенциальная составляющая ускорения

а_=R(2.11)

Нормальное ускорение а_nможно выразить следующим образом:

с учетом (2.7) и (2.9)

(2.12)

Тогда полное ускорение .

Для вращательного движения с постоянным угловым ускорением можно записать уравнение кинематики по аналогии с уравнением (2.1) – (2.3) для поступательного движения:

,

.

Криволинейное движение. Равномерное движение точки по окружности.

Криволинейное движение.
При криволинейном движении вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения. Любое криволинейное движение можно представить в виде суммы прямолинейных движений и движений по окружностям разных радиусов.Скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Вектор ускорения направлен под углом к вектору скорости.
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПО ОКРУЖНОСТИ.
Равномерное движение точки по окружности — движение точки с постоянной по модулю скоростью (v=const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, т.к. скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она изменяется. Значит равномерное движение по окружности – ускоренное движение! Точка совершает перемещение с постоянной по модулю скоростью, следовательно:. В этом случае скорость точки называется линейной скоростью (ℓ–длина дуги). Вектор линейной скорости направлен по касательной к окружности в данной точке.
Можно характеризовать изменение положения тела с помощью углового перемещения (угла поворота) φ. Возьмем несколько концентрических окружностей и построим для всех центральный угол φ так, чтобы радиусы этих окружностей, образующие угол, накладывались друг на друга. Из рисунка видно, что одному и тому же углу φ соответствуют у одной окружности дуга ℓ и радиус r, а у другой – дуга L и радиус R. За меру угла можно принять отношение длины дуги к радиусу:. Единица измерения угла в этом случае наз. радианом(сокращение – рад).
Центральный угол равен одному радиану, если длина дуги равна радиусу окружности. Если точка совершила полный оборот, то длина дуги равна длине окружности. Следовательно:  — полный оборот точки соответствует 2π радиан. Для перевода единиц составим пропорцию: . Следовательно:
Равномерное движение точки по окружности – это движение, при котором точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые угловые перемещения (поворачивается на одинаковые углы). Если характеризовать движение углом поворота, то удобно ввести угловую скорость: — угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается точка при равномерном движении по окружности за единицу времени. Единица измерения в СИ  — рад/с.
Можно сказать, что равномерным движением по окружности наз. движение  с постоянной угловой скоростью. Линейная и угловая скорости связаны между собой: , т.е. .
К важным характеристикам вращательного движения относятся частота и период. Период— физическая величина, показывающая, чему равно время, за которое точка совершает один полный оборот. Если обозначить N – число оборотов, а Т – период, то: . Единица измерения в СИ – с. Т.к. за период точка поворачивается на угол 2π, то . Частота – количество оборотов, которое совершила точка за единицу времени: .   Единица измерения в СИ – Гц (герц). Частота равна одному герцу, если за 1 секунду точка совершает один полный оборот (1Гц=1с-1). Частота и период – взаимно обратные величины: . Следовательно: .

Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость и угловое ускорение. Равномерное и равноускоренное вращательные движения. Связь между линейными и угловыми величинами.

В физике кругово́е движе́ние — это вращение по кругу, т. е. это круговой путь по круговой орбите. Оно может быть равномерным (с постоянной угловой скоростью) или неравномерным (с переменной угловой скоростью). Вращение трёхмерного тела вокруг неподвижной оси включает в себя круговое движение каждой его части. Мы можем говорить о круговом движении объекта только если можем пренебречь его размерами, так что мы имеем движение массивной точки на плоскости. Например, центр масс тела может совершать круговое движение.

Круговое движение является ускоренным, даже если происходит с постоянной угловой скоростью, потому что вектор скорости объекта постоянно меняет направление. Такое изменение направления скорости вызывает ускорение движущегося объекта центростремительной силой, которая толкает движущийся объект по направлению к центру круговой орбиты. Без этого ускорения объект будет двигаться прямолинейно в соответствии с законами Ньютона.

Для движения по кругу радиуса R длина окружности будет C = 2π R. Если период вращения есть T, то

угловая скорость вращения ω будет равна:

Скорость движения объекта равна

Угол поворота θ за время t равен:

Ускорение, вызванное изменением направления скорости, можно найти, если заметить, что скорость совершает полное изменение направление за то же самое время T, за которое объект делает один оборот. Тогда вектор скорости проходит путь длиной 2π v каждые T секунд, или: и направлено радиально к центру.

Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями: aτ = αR, где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/сек2 .

Углова́я ско́рость — векторная величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени: а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли, просто «вручную» подсчитывая число оборотов за единицу времени.

При равномерном движении точки по окружности её траекторией является дуга. Точка движется с постоянной угловой скоростью , а зависимость угла поворота точки от времени является линейной: φ = φ0 + ωt, где — ф0 начальное значение угла поворота. Эта же формула определяет угол поворота абсолютно твёрдого тела при его равномерном вращении вокруг неподвижной оси, то есть при вращении с постоянной угловой скоростью . Важной характеристикой данного типа движения является линейная скорость материальной точки Нужно помнить, что равномерное движение по окружности — движение равноускоренное. Хотя модуль линейной скорости и не меняется, но меняется направление вектора линейной скорости (из-за нормального ускорения) .

Равномерное движение по окружности, формулы и примеры

Равномерное движение тела по окружности — это частный и наиболее простой случай криволинейного движения. Хотя при таком движении модуль скорости остается постоянным, это движение с ускорением, которое является следствием изменения направления вектора скорости.

В окружающем нас мире мы часто сталкиваемся с подобным движением — при любом вращении твердого тела вокруг некоторой закрепленной оси все точки этого тела движутся по окружностям.

Основные характеристики и формулы

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса (рис.1). Начало декартовой системы координат поместим в центр окружности. Тогда положение точки на окружности однозначно определяется углом поворота между осью и радиус-вектором точки.

Рис.1. Равномерное движение тела по окружности

Условились положительным считать направление вращения против часовой стрелки.

Декартовые координаты точки однозначно определяются углом поворота точки:

   

При движении точки по окружности ее координата, то есть угол поворота , изменяется или становится функцией времени. Поэтому закон движения в этом случае — это зависимость угла поворота от времени: .

Единицей измерения угла поворота в системе СИ является радиан.

Период вращения — это время, за которое точка совершает один полный оборот по окружности, т.е. поворачивается на угол .

Частота вращения — это число полных оборотов, совершаемых точкой при равномерном движении по окружности, в единицу времени:

   

В системе СИ частота измеряется в

Частота и период связаны между собой формулой:

   

Примеры решения задач

Урок 05. Лекция 05. Равномерное движение по окружности

Равномерное движение по окружности

Криволинейное движение – движение, траекторией которого является кривая линия. Любой участок криволинейного движения приближённо можно представить в виде дуги окружности. Поэтому движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью является простейшим видом криволинейного движения.

Траектория движения – окружность. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности. Величина скорости постоянная, направление скорости всё время меняется.

Ускорение при движении по окружности называют центростремительным. Оно всегда, в каждой точке траектории, направлено к центру окружности. Центростремительное ускорение не меняет модуля скорости, но изменяет направление скорости.

 Величины, характеризующие движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Число полных оборотов за время t. Обозначается N.

N=t/T или N=tν

Период обращения Т  – время одного полного оборота (время, за которое тело совершает один полный оботот, т.е. поворачивается на угол 2π. Единица измерения — секунда [с].

T=t/N      T=1/ν         

Частота v (греческая буква «ню») – число полных оборотов за 1 с. Единица измерения герц [Гц]

ν=N/t      ν=1/T 

Линейная скорость υ показывает, какой путь проходит тела за 1 секунду.

При движении тела по окружности одной из характеристик движения является угловое перемещние или угол поворота. 

S — линейное перемещение

φ — угловое перемещение

Единица угла поворота — рад (радиан). 

1 радиан — это угол, опирающийся на дугу окружности, равную её радиусу.

Угловая скорость ω тела в данной точке круговой траектории — это физическая величина, которая определяется углом поворота за удиницу времени. Она показывает на какой угол поворачивается тело за 1 секунду. Угловая скорость характеризует скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения.

Угловая скорость определяется по формуле:

ω=ΔφΔ/t    или    ω=φ/t

Δφ — угол поворота материальной точки за время Δt, угловое перемещение

Δt — промежуток времени, за которое это угловое перемещение было совершено.

Угловая скорость измеряется в рад/с.

 

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR

Центростремительное ускорение:

Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями: