1 и 2 закон кирхгофа формулы: Законы Кирхгофа, формула и определение первого и второго законов Кирхгофа

Содержание

Законы Кирхгофа, формула и определение первого и второго законов Кирхгофа

электрика, сигнализация, видеонаблюдение, контроль доступа (СКУД), инженерно технические системы (ИТС)

Законы Кирхгофа (более корректно — правила Киргхгофа) применяются при расчете сложных (разветвленных) электрических цепей. Предлагаю рассмотреть их по очереди и начать, естественно, с первого.

Определение и формула первого закона Кирхгофа, который гласит: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю, иллюстрируются рисунком 1.

Здесь:

  • I i — ток в узле,
  • n — число проводников, сходящихся в узле,
  • токи, втекающие в узел (I1, In) считаются положительными,
  • вытекающие токи (I2, I3) — отрицательными.

В таком виде этот закон звучит и выглядит, наверное, очень академично, поэтому предлагаю все несколько упростить.

Нарисуем разветвленную электрическую цепь в более привычном виде (рис.

2) и дадим такую формулировку:

Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла.

Для этого случая формула первого закона Кирхгофа примет вид: I= I1+I2+…+In, что для повседневных вычислений гораздо удобнее.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Второй закон Кирхгофа определяет зависимость между падениями напряжений и ЭДС в замкнутых контурах и имеет следующий вид (рис.3) и определение:

алгебраическая сумма (с учетом знака) падений напряжений на всех ветвях любого замкнутого контура цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура.

При отсутствии в контуре ЭДС сумма падений напряжений равна 0.

Теперь несколько пояснений по практическому применению этого правила Кирхгофа:

Поскольку, алгебраическая сумма требует учета знака следует выбрать направление обхода контура ( на рис.3 — по часовой стреклке), токи и напряжения, совпадающие с этим направлением считать положительными, иные — отрицательными.

При затруднении в определении направления тока, возьмите произвольное, если в результате вычислений получите результат со знаком «-«, поменяйте выбранное направление на противоположенное.

Для нашего примера можно записать:
U1+U3-U2=0
U4+U5-U

3=0

кроме того, руководствуясь первым правилом Кирхгофа :
Iвх — I1 — I2 = 0
I1 — I3 — I4=0
I4 — I5=0
I2 + I3 + I5 — Iвых=0,

получаем систему из 6 уравнений, полностью описывающую рассматриваемую электрическую цепь.

© 2012-2021 г. Все права защищены.

Представленные на сайте материалы имеют информационный характер и не могут быть использованы в качестве руководящих и нормативных документов


Первый закон Кирхгофа: определение, формулы, физический смысл

Первый закон Кирхгофа основан на принципе непрерывности и применим к узлу электроцепи.

Первый закон Кирхгофа определяет взаимосвязь между суммой токов, сходящихся в одном узле, и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма величин токов Ik, сходящихся в любой точке (узле) электроцепи, равна нулю в любой момент времени

∑ Ik = 0,

при этом k — количество ветвей, сходящихся в узле цепи;

Ik – мгновенная величина тока для k-й ветви.

Физически Первый закона Кирхгофа означает: движение электрических зарядов осуществляется таким образом, что ни в одном из участков цепи он не имеет тенденцию к накоплению.

Отсюда, вытекает еще одна формулировка закона: в любом узле электроцепи сумма токов направленных к узлу оказывается равной сумме токов, направленных от этого узла, или:

∑ Ik = ∑ Im,

при этом k — количество ветвей, втекающих в узел;

m- — количество ветвей, вытекающих из узла.

Узлом электрической цепи принято называть точку подключения 3-х и более ветвей. ток принимается со знаком «+», если он втекает в узел, и со знаком «-», если вытекает.

К примеру, рассмотрим баланс токов на примере схемы:

I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0, либо

I1 + I2 + I3 = I4 + I5.

Очевидным фактом, является то, что формулировка формы записи может иметь различный характер. Существенным является лишь принимаемая договоренность о знаке токов: нельзя использовать разнонаправленное направление в пределах одной электрической цепи для одного или нескольких узлов.

Направление тока для каждой цепи определяют произвольно. При этом нет необходимости стремиться, чтобы для всех узлов использовались токи различных направлений. Также может иметь место ситуация, что в каком-то узле все токи будут направлены от узла или к нему, что тем самым нарушает принцип непрерывности. Но в такой ситуации в процессе определения значений токов один или несколько будут отрицательными, что будет служить признаком об их протекании в противоположном направлении от принятого.

При расчете разветвленных электроцепей используются второй закон Кирхгофа. Они были сформулированы в 1945г. великим физиком 19 в. Густавом Робертом Кирхгофом.

Первый и второй законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью

первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

 

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I1

— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

I1 = I2 + I3  (1)

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

I1 — I2 — I3 = 0   (2)

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

E1— Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2   (3)

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

I = I1 + I2,

так как I1 и I2 втекают в узел А, а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

E1-E2 = Ur1 – Ur2 или E1-E2 = I1*r1 – I2*r2

Для внутреннего левого контура:

E1 = Ur1 + UR или E1 = I1*r1 + I*R

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

I = I1 + I2;

E1-E2 = I1*r1 – I2*r2;

E1 = I1*r1 + I*R.

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

I = I1 + I2;

7 = 0,1I1 – 0,1I2;

12 = 0,1I1 +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I

2

I2=I — I1;

I2 = I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

I — I1= I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

12 = 0,1I1 + 2(2I1 – 70).

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

12 + 140= 4,1I1

I1=152/4,1

I1=37,073 (А)

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

I1=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

I2=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I2 вытекает из узла А.

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

 Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

Второй закон Кирхгофа — Основы электроники

Второй закон Кирхгофа или закон напряжений Кирхгофа формулируется так: полная ЭДС, действующая в замкнутом контуре, равна сумме падений напряжения на всех резисторах в этом контуре.

Рассмотрим схему на рисунке. 1, состоящую из одного контура.

Здесь полная ЭДС Е1 + Е2, действующая внутри контура, равна сумме падений напряжения на резисторах R1 и R2:

E1 + E2 = UR1 + UR2

Если изменить полярность Е2 на противоположную (рис. 2), то она будет иметь то же направление (против часовой стрелки), что и UR1 и UR2

E1— Е2 = UR1 + UR2 или E1 = Е2 + UR1 + UR2

Рассмотрим схему, имеющую несколько контуров (рис. 3).

Для кон­тура ABEF можно записать

E1= UR1 + UR2,

а для контура ACDF

E12 = UR1 + UR3

Обходя контур BCDE, видим, что ЭДС Е2 имеет то же направление (про­тив часовой стрелки), что и UR3:

Е2 + UR3 = UR2

В цепи с одним контуром второй закон Кирхгофа является частным случаем закона Ома.

ДРУГИЕ СТАТЬИ ПО ТЕМЕ:

Первый и второй законы Кирхгофа — статья в интернет-журнале ЭЛЕКТРОН, где подробно с примерами расчетов и моделирования на компьютере изложены эти основопологающие законы элеектротехники.

Видеоурок по расчету цепей с помощью первого и второго закона Кирхгофа.

 

Хотите подробностей? Посмотрите это видео, поясняющее второй закон Кирхгофа:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

 

Добавить комментарий

Первый и второй законы Кирхгофа

Автор Alexey На чтение 4 мин. Просмотров 1.3k. Опубликовано Обновлено

Немецкий ученый Густав Кирхгоф – один из величайших физиков всех времен, написавший целую кучу работ по электричеству.

Эти работы получили признание среди передовых ученых девятнадцатого века и стали основой для работ множества других ученых, а также дальнейшего развития науки и техники. Он был человеком который посвятил всю свою жизнь науке и несомненно сделал наш мир чуточку лучше.

В теории, законы Ома устанавливают взаимосвязь между силой, напряжением и сопротивлению тока для простых замкнутых одноконтурных цепей.

Но на практике чаще всего используются гораздо более сложные, разветвленные цепи, в систему которых может входить несколько контуров и узлов, в которые сходятся проходящие по другим ответвлениям электротоки и их невозможно описать по стандартным правилам для расчета комбинаций параллельных и последовательных цепей. Правило Кирхгофа делает возможным определение силы и напряжения тока в таких цепях.

Общие понятия и описание первого закона Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа показывает связь токов и узлов электрической цепи. Формула связи очень проста. Это правило гласит, что сумма токов всех ветвей, которые сходятся в один узел электроцепи, равняется нулю (речь идёт об алгебраических значениях).

При этом накопление электрических зарядов в одной точке замкнутой электроцепи невозможно.
При суммировании токов принято брать положительный знак, если электроток идёт по направлению к узлу, и отрицательный знак, если ток идёт в противоположную от узла сторону. Для описания понятной аналогии для этого случая, уместны сравнения с течениями воды в соединенных между собой трубопроводах.

Пример вышеописанной формулы первого закона:

Общие понятия и описание второго закона Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа описывает алгебраическую зависимость между электродинамической силой и напряжением в замкнутой электроцепи. В любом замкнутом контуре сумма электродинамической силы равна сумме падания напряжения на сопротивлениях, относящихся к данному контуру.

Для написания формул, определяющих второй закон Кирхгофа, берут положительное значение электродинамической силы и падение напряжений, если направление на относящихся к ним отрезках контура совпадает с произвольным направлением обхода контура. А если же направление электродинамической силы и токов противоположны выбранному направлению, то эти электродинамические силы и падение напряжений берут отрицательными:

Алгоритм определения знака величины электродинамической силы и падения напряжений:

  1. Выбираем направление обхода контурных цепей. Тут возможны несколько вариантов: либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
  2. Произвольным образом выбираем направление движения токов протекающих через элементы контурных цепей.
  3. И наконец, расставляем знаки для электродинамической силы и падения напряжений (не забывая о совпадении или несовпадении направления электродинамической силы с направлением движения обхода контура)

Пример вышеописанной формулы второго закона :

Второй закон Кирхгофа работает не зависимо от количества источников питания и нагрузок, а также независимо от места их расположения в контуре схемы. Полезно будет собрать рассмотренные схемы и выполнить соответствующие измерения с помощью мультиметра.

Законы Кирхгофа действуют как для постоянного, так и для переменного тока.

Еще статьи по данной теме

Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа

Ultimate Electronics: практическое проектирование и анализ схем


Как написать фундаментальные уравнения, описывающие структуру любой схемы из первых принципов. Читать 14 мин

В предыдущем разделе, посвященном последовательным и параллельным резисторам, мы выработали много интуитивного представления о том, как думать о токе и напряжении в цепи. (Если вы не читали этот раздел, вернитесь и сделайте это сейчас.)

Специальные правила комбинации резисторов для последовательно включенных и параллельных резисторов не распространяются на другие элементы схемы. Однако есть два основных принципа, которые можно обобщить:

  1. Два последовательно соединенных компонента будут иметь одинаковый ток через . Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Текущим законом Кирхгофа .
  2. Два параллельно включенных компонента будут иметь одинаковое напряжение на . Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Законом о напряжении Кирхгофа .

Эти два закона Кирхгофа станут нашей основой для написания уравнений, описывающих, как ток и напряжение ведут себя в любой электронной схеме .

В этом разделе нас интересует только то, как написать этих уравнений. В других разделах, включая раздел «Системы уравнений» из предыдущей главы, мы обсудим, как решить этих уравнений после того, как они были написаны.


Текущий закон Кирхгофа — это заявление о сохранении заряда: то, что входит, должно выходить на каждом соединении (узле) в коммутационной сети.

Согласно модели с сосредоточенными элементами, заряд не может храниться ни в одном узле схемы, поэтому, если заряд вытекает из одного элемента в узле A, то же количество тока должно мгновенно течь на вывод подключенного элемента в узле A.

В качестве интуиции, почему это должно быть правдой, помните, что электроны не могут никуда входить в систему или выходить из нее (нет никаких «утечек»), и электроны не могут нигде «скапливаться», потому что они отталкиваются друг от друга.

Это похоже на гидравлическую аналогию с потоком воды в трубопроводной сети: на любом стыке труб имеется 2 или более соединений, и любая поступающая вода должна уходить!

Направление тока тоже важно: мы должны определить токи с помощью входящих или исходящих стрелок и тщательно их пометить.(Мы обсудим это подробнее в следующем разделе, Маркировка напряжений, токов и узлов.)

Рассмотрим схему сети с тремя узлами и четырьмя элементами:

В схеме выше у нас есть три узла. Мы можем записать Текущий закон Кирхгофа как на каждые из трех узлов.

Математически один способ записать это в каждом узле:

∑i = 0

Это говорит о том, что все токи в узле равны нулю.

Мы должны отслеживать и использовать положительный знак , если ток течет в узел , и отрицательный знак , если ток течет из .

В приведенном выше примере, проходя через каждый узел, уравнения KCL:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

Другой способ сформулировать действующий закон Кирхгофа:

ini = ∑outi

В приведенном выше примере три уравнения будут следующими:

i1 = i2Node Ai2 + i4 = i3Node Bi3 = i1 + i4Node C

В этой формулировке мы говорим, что сумма токов в узле равна сумме токов из этого узла.

Это математически идентично первому способу определения KCL, потому что эти токи просто имеют отрицательный знак.

Будьте осторожны при выборе направления! Не имеет особого значения, какое направление вы выберете для маркировки каждого потока, но абсолютно важно, чтобы оно было последовательным; ток в один узел течет из другого.

Мы можем записать KCL на каждом узле схемы. Узел — это просто место, где элементы соединяются.

Обратите внимание, что узлы могут быть больше, чем кажется на первый взгляд: мы можем назвать узлы A, B, C и ссылаться на эти имена в нескольких местах на схеме, даже если между ними нет явно проведенных проводов.Кроме того, наземный узел является частным случаем именованного узла и также повсюду соединен вместе.

Мы можем написать уравнения KCL, ничего не зная о компонентах; он только определяет топологию (форму) того, как вещи соединяются друг с другом.

Вот немного более сложный пример с 5 узлами и 7 ребрами. Обратите внимание, что мы помечаем все узлы, а затем помечаем все токи и их направления:

Вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи до нуля:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 − i4 = 0 Узел Bi3 − i5 − i6 = 0 Узел Ci4 + i5 − i7 = 0 Узел Di6 + i7 − i1 = 0 Узел E

И, для полноты, вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи, равные всем выходным токам:

i1 = i2Node Ai2 = i3 + i4Node Bi3 = i5 + i6Node Ci4 + i5 = i7Node Di6 + i7 = i1Node E

Эти две системы уравнений алгебраически одинаковы.Присмотритесь к тому, что имеет для вас больше смысла, и понаблюдайте, как вы можете преобразовать одно в другое.

В следующем разделе мы поговорим о маркировке токов, чтобы они были согласованы по направлению и знаку — обычная ловушка для новичков.

Как мы уже указывали в статьях «Линейные и нелинейные» и «Системы уравнений», полезно развить некоторую интуицию в линейной алгебре. Вышеупомянутая серия уравнений KCL для примера с пятью узлами может быть записана как:

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−10000001−1−10000010−1−10000110−1−1000011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣i1i2i3i4i5i6i7⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ = 0

Сама по себе это еще не решаемая система уравнений, однако она вносит большой вклад в общую систему уравнений, составляющих решаемую схему.


Из действующего закона Кирхгофа нет исключений — по определению.

Обратите внимание, что в то время как электроны внутри проводников будут отталкиваться друг от друга, в случае изолятора электроны могут «застрять» — статический заряд. Статический заряд может накапливаться внутри и внутри цепи; однако, вместо того, чтобы рассматривать KCL как нарушенный, этот эффект лучше всего моделировать, добавляя емкости в рассматриваемых узлах.


Если у нас есть n узлов в нашей схеме, мы можем написать n Уравнения KCL — по одному на каждый узел.

Однако эти уравнения не будут линейно независимыми . (Чтобы узнать о линейной независимости и о том, почему она так важна, см. «Системы уравнений».)

Рассмотрим эту простую схему с двумя узлами:

Мы можем записать KCL в узле A:

i1 − i2 + i3 = 0

И теперь мы можем записать KCL в узле B:

−i1 + i2 − i3 = 0

Должно быть очевидно, что на самом деле это одно и то же уравнение, записанное дважды; мы только что умножили одно из них на -1.

Запись дважды (по одному на узел) фактически не добавляла никакой информации. Второе уравнение не добавляло никаких новых ограничений, которые еще не были включены в первое уравнение.

Это потому, что каждое ребро на графике добавляет текущий член в уравнение KCL одного узла и вычитает этот текущий член из другого уравнения KCL. Мы дважды учитываем входящие и исходящие потоки везде, даже если весь заряд сохраняется, что приводит к этому бесполезному дополнительному уравнению.

Это также относится и к более сложным примерам.Снова рассмотрим пример с тремя узлами, который мы рассмотрели выше:

Мы можем записать KCL на каждом узле, как мы делали выше:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

В этом немного более сложном случае менее «очевидно», что они не являются линейно независимыми, но это все же верно. Чтобы убедиться в этом, сложите уравнение №1 и уравнение №2, затем умножьте его на -1, и вы получите уравнение №3.

Это обычная ловушка для начинающих решать проблемы, поэтому следите за ней.

На практике решением является не писать уравнение KCL для узла, выбранного в качестве наземного узла . Мы поговорим об этом подробнее в следующем разделе.


Закон Кирхгофа о напряжении можно сформулировать несколькими разными способами с тем же основным смыслом.

Мы уже обсуждали в разделе «Напряжение и ток», как напряжение всегда является разницей в двух точках . Даже когда мы определяем узел заземления для удобства, мы все равно смотрим на разницу напряжений относительно этого произвольно определенного заземления.

Первый способ сформулировать закон Кирхгофа по напряжению состоит в том, что общая разница напряжений между двумя точками A и B одинакова, независимо от того, какой путь вы выберете.

Это все равно, что сказать, что разница между человеком ростом 5 футов и человеком ростом 6 футов всегда будет составлять 1 фут. Неважно, если мы:

  1. Поместите двух людей спиной к спине и измерьте разницу от макушки одной головы до другой, или
  2. Измерьте расстояние от головы до пят и выполните вычитание, или
  3. Измерьте их оба от потолка и сделайте вычитание,
  4. Попросите обоих встать на коробку, измерить от нижней части коробки и выполнить вычитание.

Во всех четырех случаях мы получаем разницу в высоте в 1 фут.

Давайте поместим этих двух людей в комнату и скажем, что плоскость x-y — это пол, а ось z направлена ​​к потолку.

А теперь представьте себе, что все четыре способа измерения представляют собой разные пути в пространстве между точками A (верхняя часть головы первого человека) и B (верхняя часть головы второго человека). Мы собираемся пройти по кривой каждого пути и сложить только расстояние по оси Z по вертикали, отслеживая положительное и отрицательное, когда мы идем по этим четырем путям.Мы всегда получаем разницу в 1 фут, независимо от того, какой путь мы выберем между A и B.

Мы можем игнорировать движение в других направлениях, потому что имеет значение только разница в высоте. (И точно так же для напряжений имеют значение только электрические поля , параллельные пути .)

Это может показаться простым, но на самом деле это все, что касается Закона Кирхгофа о напряжении.

Существует второй распространенный способ определения KVL: сумма напряжений на любом контуре равна нулю.Цикл определяется как любой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке.

Чтобы применить к нашей аналогии с высотой, теперь говорится, что если вы начнете с вершины головы человека ростом 5 футов и сделаете любую петлю в пространстве, и вы сложите изменения высоты (ось z) по мере продвижения , вы получите ноль, когда вернетесь в исходную точку.

Утверждения «каждый цикл суммируется до нуля» и «каждый путь между A и B имеет одинаковую разницу напряжений» математически идентичны, потому что вы всегда можете выбрать путь от A до некоторой точки Q, а затем добавить любой путь обратно от Q обратно к A, чтобы сделать петлю.

Если вы изучали многомерное исчисление, это версия линейного интеграла в векторном поле — в данном случае электрическом поле — и существует потенциальная функция (само напряжение), поэтому линейный интеграл не зависит от пути, и электрическое поле — это градиент потенциальной функции. (Мы обсуждали это более подробно в разделе «Электроны в состоянии покоя».)

Мы только что говорили об измерении роста людей, но какое это имеет отношение к электронике?

Ну, точно так же, как высота является способом измерения гравитационной потенциальной энергии массы в гравитационном поле , аналогично напряжение является способом измерения электрической потенциальной энергии заряда в электрическом поле .

Допустим, у нас есть высота A (выше) и высота B (ниже) и несколько маленьких стальных шарикоподшипников. Слева мы построили ящик, который принимает шары с высоты B и поднимает их на высоту A. Справа шары, выходящие из ящика, спускаются по пандусу с высоким коэффициентом трения, где они скатываются вниз и в конце концов останавливаются внизу, на высоте B. Оттуда они возвращаются в ящик слева, чтобы продолжить свой цикл.

Если мы сопоставим массы с зарядами, а высоту — с напряжениями, мы только что описали что-то вроде этой очень простой схемы с одним источником напряжения и одним резистором:

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что разница напряжений между двумя точками, которые мы обозначили A и B, одинакова, независимо от того, идем ли мы по пути через источник напряжения или по пути через резистор.Вот несколько взаимозаменяемых определений в математических терминах:

vAB = ндс A по отношению к B

vAB = ∑ любой путь от B до Av

vAB = vB → A, измеренное через источник напряжения = vB → A, измеренное через резистор

vAB = v1 = v2

Обратите особое внимание на знаки и определения направлений пути. Мы рассмотрим эти вопросы более подробно в следующем разделе.

Ящик слева похож на источник напряжения: он берет шарикоподшипники (заряжает) и перемещает их из состояния с более низкой потенциальной энергией в более высокое.

Пандус справа похож на резистор: он переводит шарикоподшипники (заряды) из состояния с высокой потенциальной энергией обратно в более низкое, рассеивая эту энергию в виде тепла по пути.

Закон Кирхгофа о напряжении говорит нам, что потенциальная энергия (на единицу заряда), получаемая при «повышении» источника напряжения, равна потенциальной энергии (на единицу заряда), теряемой при «понижении» резистора. Вот способ сформулировать это предложение в виде петли: вы видите, что шарикоподшипники (заряды) образуют полную петлю.

Мы могли бы сделать петлевую версию KVL, сказав:

vBB = 0

vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + vA → B, измеренное через резистор

vBB = vB → A измеряется через источник напряжения + (- vB → A измеряется через резистор)

vBB = v1 + (- v2)

0 = v1 − v2

v1 = v2

Если это помогает вам понять, еще одна причина, по которой закон Кирхгофа должен выполняться, заключается в сохранении энергии: если бы это было не так, то заряд мог бы следовать по контуру, проходить через несколько компонентов и возвращаться обратно. откуда это началось, и набрались потенциальной энергии! Это было бы идеально для вечных двигателей, но не для законов термодинамики.

Обратите внимание, что закон Кирхгофа по напряжению определяется суммированием разностей напряжений . Как обсуждалось ранее в разделе «Напряжение и ток», все напряжения являются относительными, но иногда мы (для удобства) определяем землю, которая является нашим v = 0. ссылка. В нашем примере измерения роста это все равно, что сказать, что не имеет значения, скажем ли мы z = 0. на полу, или z = 0 на пупке более короткого человека. Это произвольно. Несмотря ни на что, складываемые нами различия по оси Z будут одинаковыми.


Самое интересное в законе напряжения Кирхгофа заключается в том, что мы только что так сильно аргументировали, почему он «очевидно» истинен…

Однако вы можете удивиться, узнав, что в физике, лежащей в основе уравнений Максвелла, KVL на самом деле является ложным ! Закон индукции Фарадея:

∮ → E⋅ → dl = −dΦBdt

Это говорит о том, что индуцированное в петле напряжение равно скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную петлей.Таким образом, напряжение вокруг контура равно нулю , только если через этот контур не проходит изменяющийся во времени магнитный поток.

Мы упоминали об этой проблеме при обсуждении покоящихся электронов. Подводя итог: наша модель сосредоточенных элементов требует, чтобы мы предполагали, что закон напряжения Кирхгофа выполняется, но иногда мы вносим некоторые корректировки.

Например, каждая катушка индуктивности и трансформатор обычно имеют изменяющийся во времени магнитный поток, но мы просто включаем их в модель самого элемента схемы.Напряжение катушки индуктивности на самом деле такое же, как и правый член в законе Фарадея, но вместо того, чтобы рассматривать его как корректировку KVL, мы рассматриваем его как сам источник напряжения.

Однако, если есть внешних, изменяющихся во времени магнитных полей, нам, возможно, придется побеспокоиться о них. Это может стать источником помех в электронике. Это причина, по которой большие электронные системы с контурами внутри могут быть проблемой, и одна из причин, почему контуры заземления также являются проблемой: они образуют большую поверхность для изменяющегося во времени магнитного потока, вызывающего паразитные напряжения в нашей системе.Однако мы обычно можем смоделировать этот эффект как дополнительный источник напряжения, если захотим.

А пока вы должны предположить, что закон напряжения Кирхгофа верен в вашем исследовании электроники. Просто сохраните эту деталь на тот случай, если вы начнете работать с изменяющимися во времени магнитными полями позже!


Сейчас мы находимся в той точке, где мы начинаем собирать воедино многие элементы, которые мы построили в предыдущих разделах:

  • Модель сосредоточенных элементов и «Термодинамика, энергия и равновесие» обеспечивают концептуальную основу высокого уровня для рассмотрения систем, включая схемы.
  • Системы уравнений предоставляет инструменты, чтобы знать, когда и как мы можем решить множество одновременных ограничений.
  • Электроны в состоянии покоя дает нам понимание электрических сил, полей и потенциалов (напряжений).
  • «Электроны в движении» помогает нам задуматься о том, как эти силы заставляют заряды двигаться и создавать токи.
  • Напряжение и ток — основные переменные потенциальной энергии и расхода в электрических цепях.
  • Последовательные и параллельные резисторы
  • дают нам интуитивное представление о том, как ведут себя напряжение и ток, когда мы объединяем несколько элементов.
  • И, наконец, Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа о токе (этот раздел) формализует эту интуицию и позволяет нам описывать ограничения на напряжение и ток в архитектуре любой схемной сети.

Следующие части головоломки состоят в том, чтобы объединить уравнения KCL и KVL с конкретными уравнениями элементов схемы (например, закон Ома), при этом тщательно пометив все токи и напряжения, а затем решив эти полные системы уравнений, чтобы понять, как эти ограничения и компоненты взаимодействуют, чтобы произвести определенное поведение схемы.


В следующем разделе «Обозначение напряжений, токов и узлов» мы обсудим, как правильно маркировать имена и направления всех напряжений и токов в цепи, что необходимо для создания согласованного набора уравнений схемы.


Роббинс, Майкл Ф. Ultimate Electronics: Практическое проектирование и анализ схем. CircuitLab, Inc., 2021, ultimateelectronicsbook.com. Доступно. (Авторское право © CircuitLab, Inc., 2021)

6.3 Правила Кирхгофа — Введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

По окончании раздела вы сможете:
  • Государственное правило Кирхгофа
  • Государственное правило петли Кирхгофа
  • Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах.В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , ​​которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы и включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления.То же самое и с резисторами и. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с помощью уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , ​​в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

(рисунок 6.3.1)

Рисунок 6.3.1 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединения.Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

ПРАВИЛА КИРХГОФА


  • Первое правило Кирхгофа — правило перехода . Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения:

    (6.3.1)

  • Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:

    (6.3.2)

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, сопровождаемые советами по решению проблем по их применению и работающим примером, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок 6.3.2). Как указывалось ранее, соединение или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

(рисунок 6.3.2)

Рисунок 6.3.2 Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Хотя это и является чрезмерным упрощением, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, объем воды, поступающей в разветвление, должен был равняться объему воды, вытекающей из разветвления.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны между собой.В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рисунке 6.3.3.

(рисунок 6.3.3)

Рисунок 6.3.3 Простая петля без стыков. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки,, и служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Петля обозначена как петля, и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению, а падение потенциала на резисторе вычитается. От точки до потенциальный перепад вычитается. От до вычитается потенциальный перепад. От пунктов до ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 6.3.4 показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор.Падение потенциала , ​​или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

(рисунок 6.3.4)

Рисунок 6.3.4 График напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.


Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа
  1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами. Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
  2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что хотя бы один ток направлен на соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.
  3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
  4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
  5. Примените правило цикла.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

(рисунок 6.3.5)

Рисунок 6.3.5 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до. (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала. (c) При перемещении источника напряжения от отрицательного вывода к положительному, добавьте падение потенциала.(d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному току, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение и соединение. Точки,, и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения есть, а уравнение для соединения есть.Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

(рисунок 6.3.6)

Рисунок 6.3.6 На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение и соединение, но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы.Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

(рисунок 6.3.7)

Рисунок 6.3.7 Панели (a) — (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы. На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на Рисунке 6.3.8 (a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

(рисунок 6.3.8)

Рисунок 6.3.8 (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте схему, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки. В этой схеме точки и каждая имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9 (б). Junction показывает это, а Junction это показывает. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction, ее можно не принимать во внимание. Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

(рисунок 6.3.9)

Рис. 6.3.9 (a) Эта схема имеет два соединения, помеченных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли.На рисунке 6.3.10 контур включает источник напряжения, резисторы и. Цикл начинается с точки, затем проходит через точки, и, а затем возвращается к точке. Вторая петля, петля, начинается в точке и включает резисторы и источник напряжения.

(рисунок 6.3.10)

Рисунок 6.3.10 Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.При перемещении от точки к точке резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При перемещении от точки к точке источник напряжения пересекается от отрицательной клеммы к положительной, поэтому добавляется. Между точками и нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, проверяем цикл. Мы начинаем с точки и переходим к точке, пересекаясь в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем и в том же направлении, что и ток, и вычитаем падения потенциала и. Обратите внимание, что через резисторы и ток одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока. Сначала добавьте уравнение. (1) раз к формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока. Сложив семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) приводит к, или. Используя уравнение.(4) приводит к. Наконец, уравнение. (1) дает. Один из способов проверить соответствие решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Питание от второго источника напряжения есть и нет.

ПРИМЕР 6.3.1


Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке 6.3.11.

(рисунок 6.3.11)

Рисунок 6.3.11 Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения. Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.
Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.На рисунке обозначены токи, и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены сквозными буквами. В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на. Второе уравнение петли можно упростить, разделив обе части на.

Результатов:

Значение

Методом проверки расчетов является вычисление мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, подаваемой источниками напряжения:

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.6


При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, всегда ли источник напряжения обеспечивает питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

ПРИМЕР 6.3.2


Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке 6.3.12.

(рисунок 6.3.12)

Рисунок 6.3.12 Эта схема состоит из трех последовательно соединенных резисторов и двух батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.
Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки к точке. Рассмотрим цикл и воспользуйтесь рисунком 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5, батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет мощность.

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.7


При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a к точке b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно.Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

(рисунок 6.3.13)

Рисунок 6.3.13 (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения.Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

.

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах, чтобы обеспечить фонарик.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для аккумуляторов, подключенных последовательно, напряжение на зажимах равно

.

(6.3.3)

, где эквивалентное сопротивление.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

(рисунок 6.3.14)

Рисунок 6.3.14 Две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

(рисунок 6.3.15)

Рисунок 6.3.15 (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен значком), соединенные параллельно, которые создают одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15 (b). В точке и есть две петли и узел.

Расчет тока через нагрузочный резистор дает, где. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для аккумуляторов, включенных параллельно, напряжение на зажимах равно

.

(6.3.4)

, где эквивалентное сопротивление.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи; они производят полную ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления.Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки. Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Солнечные батареи

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, — это комбинация солнечных элементов , ​​соединенных как последовательными, так и параллельными соединениями, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство отдельных ячеек имеют выходное напряжение около, в то время как выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы производят ток на единицу площади примерно равной площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модулях для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно — как батареи, о которых говорилось ранее. Матрица или модуль солнечных элементов обычно состоит из промежуточных элементов и элементов с выходной мощностью до.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока (dc). Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Для большинства бытовых приборов требуется напряжение переменного тока.

Кандела Цитаты

Лицензионный контент CC, особая атрибуция

  • Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected] Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected] Лицензия : CC BY: Attribution

Радио Эда — Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа

Закона Ома достаточно для решения последовательных и параллельных цепей, но более сложные схемы, такие как мосты и Т-образные сети, не могут быть решены одним только законом Ома.В 1845 году физик Густав Кирхгоф сформулировал пару законов, касающихся сохранения тока и энергии в электрической цепи. Эти два закона вместе называются законом Кирхгофа или законом цепи Кирхгофа. Закон Кирхгофа применяется к цепям постоянного тока и, в некоторых ограниченных обстоятельствах, к цепям переменного тока .

Прежде чем углубляться в закон Кирхгофа, нам нужно определить несколько вещей:

Узел
Соединение, в котором встречаются два или более компонентов.
Главный узел
Большой хонкинский узел, где встречаются три или более компонентов.
Ветвь
Любой путь в цепи, имеющий узел на каждом конце и содержащий по крайней мере один компонент (например, резистор или батарею), но не содержащий других узлов.
Цикл
Замкнутый путь в цепи, где ни один компонент не встречается более одного раза.
Сетка
Простой путь в цепи без ответвлений.

1.Действующий закон Кирхгофа

Текущий закон Кирхгофа — это утверждение принципа сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из любой точки цепи, должна равняться нулю. Это означает, что если вы сложите все токи, текущие в точку, и сравните это значение с суммой всех токов, исходящих из этой точки, эти два значения должны быть равны.

На рисунке 6 ниже значения I 1 и I 2 , входящие в точку N , должны равняться значению I 3 , выходящему из N .Если I 1 равно 5 амперам, а I 2 равно 3 амперам, то значение I 3 должно равняться 8 амперам. Я 1 + Я 2 — Я 3 = 0.

2. Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении также называется законом сохранения энергии. В замкнутом контуре внутри контура алгебраическая сумма всех напряжений внутри контура должна равняться нулю.

На рисунке 7 ниже все напряжения должны быть равны нулю.Чтобы проверить это, выберите произвольную точку на цепи (например, точку A) и произвольное направление (против часовой стрелки). Из точки А двигайтесь по петле против часовой стрелки. Мы впервые встречаем V 1 . Поскольку мы встретили положительный вывод V 1 перед отрицательным выводом, мы записываем напряжение как положительное число. Продолжая движение против часовой стрелки, мы встречаем резистор R 2 . Сначала мы достигли отрицательной клеммы R 2 , поэтому мы записываем падение напряжения на R 2 как отрицательное число.Далее идет резистор R 1 (еще одно отрицательное падение напряжения). Наконец, мы возвращаемся в точку А, с которой начали. Уравнение закона напряжения Кирхгофа будет следующим: V 1 — V R2 — V R1 = 0.

Если бы мы двигались от точки A по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, окончательное уравнение было бы следующим: V R1 + V R2 — V 1 = 0. Как видите, абсолютная величина каждого напряжения равна одинаково независимо от направления вокруг петли.Только полярность (положительная или отрицательная) отличается в зависимости от выбранного вами направления.

Методы анализа цепей с использованием закона Кирхгофа

Существует три основных метода решения схем с использованием закона Кирхгофа:

Пример: Решить цепь методом токов ответвления

Метод ветвящихся токов может быть немного длинным и утомительным, но он служит для достаточно хорошей иллюстрации закона Кирхгофа. Как только вы поймете метод ветвления тока, два других метода станут простыми.

Для схемы на рисунке 8 ниже мы хотим определить ток и напряжение на каждом резисторе. Поскольку есть источники напряжения в двух разных ветвях, одного закона Ома недостаточно для решения этой проблемы. Мы должны использовать закон Кирхгофа.

Поскольку мы не знаем кумулятивного эффекта двух источников напряжения, мы не можем быть уверены в направлении тока в каждой ветви. Нам нужно будет сделать обоснованное предположение. Если это окажется неверным, ничего страшного & dash; результаты уравнения укажут на нашу ошибку.

Предположим, что ток I 1 течет от отрицательного вывода источника напряжения V 1 к резистору R 1 , затем к узлу A . Точно так же ток I 2 течет от отрицательного вывода источника напряжения V 2 к резистору R 2 , затем к узлу A . От узла A ток I 3 протекает через резистор R 3 , пока не достигнет узла B . Здесь ток делится и возвращается к двум источникам напряжения.

Использование действующего закона Кирхгофа

В схеме на фигуре 8 есть два основных узла, обозначенных A и B . В узле A два тока, I 1 и I 2 , входят, в то время как один ток, I 3 , выходит из узла. Из текущего закона Кирхгофа мы выводим уравнение I 1 + I 2 - I 3 = 0 .

Аналогично, в узле B один ток, I 3 , входит в узел, а два тока, I 1 и I 2 , уходят.Это дает нам: I 3 - I 1 - I 2 = 0 . Мы можем использовать любое уравнение, чтобы выразить взаимосвязь между I 1 , I 2 и I 3 как I 3 = I 1 + I 2 . Мы будем называть это уравнение текущим уравнением для целей обсуждения.

Использование закона Кирхгофа о напряжении

Чтобы вывести уравнения для падения напряжения на каждом резисторе, нам нужно сначала определить несколько контуров.На рисунке 8 есть две внутренние петли плюс внешняя петля, которая повторяет окружность схемы. Оказывается, нам нужны только два уравнения цикла, поэтому мы проигнорируем этот внешний цикл.

Первый внутренний цикл выходит из V 1 , перемещается через R 1 к узлу A , затем через R 3 к узлу B перед возвращением к V 1 . Мы назовем этот цикл 1. Второй внутренний цикл покидает V 2 , путешествуя через R 2 к узлу A .Отсюда он перемещается через R 3 к узлу B , а затем возвращается к V 2 . Это будет контур 2. С этими контурами мы теперь можем использовать закон напряжения Кирхгофа, чтобы сформулировать уравнения для напряжений.

Чтобы сформулировать уравнение контура для контура 1, мы начинаем с узла B и перемещаемся по контуру в предполагаемом направлении потока тока I 1 (по часовой стрелке). Наше уравнение принимает следующий вид:
V 1 - V R1 - V R3 = 0 .

Чтобы сформулировать уравнение контура 2, мы начинаем с узла B и перемещаемся против часовой стрелки (предполагаемое направление тока), что дает нам:
V 2 - V R2 - V R3 = 0 .

Следующий шаг — сформулировать уравнения падения напряжения:

V R1 = I 1 R 1
V R2 = I 2 60

2 R 2 = I 3 R 3

Теперь мы можем переписать уравнения контура, используя уравнения падения напряжения, известные значения компонентов и упрощение.Примечание: мы также можем использовать текущее уравнение ( I 3 = I 1 + I 2 ), сформулированное выше, чтобы заменить I 1 + I 2 на I 3 , исключив переменную. Мы также исключим символы вольт и ом для ясности.

Петля 1:

V 1 - V R1 - V R3 = 0
V 1 - I 1 R1 3 R 3 = 0
130-20 I 1 -10 I 3 = 0
13-2 I 1 - 908 = 0
13-2 I 1 - ( I 1 + I 2 ) = 0
3 I 1 90 I851 + = 13

Петля 2:

V 2 - V R2 - V R3 = 0
V 2 - I 2 907 907 907 907 907 907 3 R 3 = 0
20-5 I 2 -10 I 3 = 0
4- I 2 9085 I 907 - 2 908 = 0
4- I 2 - 2 ( I 1 + I 2 ) = 0
2 I 1 9085 I + 3 2 = 4

Теперь у нас есть решаемая задача, состоящая из двух упрощенных петлевых уравнений с двумя переменными.Вот почему нам не понадобилось упомянутое ранее уравнение внешнего цикла. Если вы помните свою алгебру, вы можете манипулировать одним или обоими уравнениями цикла, чтобы при их сложении одна переменная была исключена. Мы сделаем это более длинным путем, переписав уравнение цикла 1 для решения для I 2 следующим образом:
I 2 = 13-3 I 1 .

Теперь замените это значение на I 2 в уравнении цикла 2, чтобы получить:
2 I 1 + 3 (13-3 I 1 ) = 4
2 I 1 + 39-9 I 1 = 4
7 I 1 = 35
I 1 = 5 ампер

Зная I 1 , теперь мы можем решить уравнение цикла 1 для I 2 .
I 2 = 13 - 3 I 1 = 13 - 3 (5) = -2 А

Теперь, со значениями для I 1 и I 2 , мы можем использовать текущее уравнение, полученное выше, чтобы решить для I 3 .
I 3 = I 1 + I 2 = 5 ампер + (-2) ампер = 3 ампер

Теперь мы знаем все токи ответвления, а как насчет этих падений напряжения?
В R1 = I 1 R 1 = 5 × 20 = 100 вольт
В R2 = 48 I 2 = 48 I 2 = -2 × 5 = -10 В
В R3 = I 3 R 3 = 3 × 10 = 30 В

Наконец, что насчет отрицательного тока для I 2 и отрицательного напряжения для В R2 ? Что ж, отрицательные знаки означают, что наше первоначальное предположение о направлении I 2 было неверным.На самом деле ток идет в обратном направлении. Наше неверное предположение также привело к обратной полярности падения напряжения В, , R2, , . Величины правильные, просто измените направление I 2 , и вы получите окончательное решение!

Правила Кирхгофа и резисторы, включенные последовательно и параллельно

Правила Кирхгофа

Электронные устройства содержат схемы, состоящие из многих элементов. Ток «течет» через элементы, и когда в цепи присутствует источник напряжения, на этих элементах будет разница напряжений.Для цепи постоянного тока (что означает, что ток не изменяется со временем), напряжение и ток в любом месте в цепи могут быть рассчитаны с использованием правил Кирхгофа.

Внутри цепи есть точки, которые мы будем называть «соединениями». Это точки, где встречаются три или более проводящих линий. Если мы думаем о токе, протекающем по цепи в определенном направлении, это места, где ток разделяется или объединяется с током из другой линии. Соединения также иногда называют «узлами» или «точками ветвления».

Правило соединения Кирхгофа — это то, как ток разделяется и объединяется в точках соединения в цепи с несколькими путями. Это следствие сохранения заряда. Сумма токов, протекающих через переход, равна сумме токов, протекающих из перехода. Другими словами, сумма всех токов в соединении должна быть равна нулю,

Любая полная цепь должна содержать одну или несколько «петель». Петли — это замкнутые токопроводящие дорожки. Ток не может протекать через проводник, не являющийся частью замкнутого контура.

Правило петли Кирхгофа определяет, как падает напряжение на любом участке цепи. Это следствие сохранения энергии. Сумма разностей потенциалов вокруг любого контура должна быть равна нулю,

Используя эти правила и формулу, связывающую напряжение, ток и сопротивление: V = IR, можно найти ток в любой точке цепи, и разность потенциалов на любом компоненте в цепи. Чтобы проанализировать схему, используйте два правила Кирхгофа, чтобы создать такое же количество уравнений, как и неизвестные переменные.Каждая сумма напряжений вокруг контура или сумма токов на переходе и на выходе представляет собой новое уравнение.

Последовательные и параллельные резисторы

Комбинации нескольких резисторов можно упростить, найдя эквивалентное сопротивление. Эквивалентное сопротивление — это величина одного резистора, который может заменить всю комбинацию. Эквивалентное сопротивление группы резисторов можно найти с помощью формул, выведенных с использованием правил Кирхгофа. Эти формулы могут упростить анализ схемы.Единицей измерения сопротивления является Ом, который обозначается греческой буквой Ω («омега»).

Когда несколько элементов схемы подключаются последовательно, через все они проходят единый путь тока, они подключаются последовательно. Полная разность потенциалов ряда резисторов равна сумме падений напряжения на каждом элементе. Если V 1 , V 2 и т. Д. — это падения напряжения на последовательно соединенных резисторах, а V — полное падение напряжения,

Ток через каждый из этих элементов одинаков, и поэтому используйте формула V = IR,

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно включенных резисторов равно сумме,

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно соединенных резисторов равно сумме их отдельных сопротивления.

Когда несколько элементов схемы подключены в параллельные пути тока, так что напряжение на каждом из них одинаково, они подключаются параллельно. Согласно действующему правилу Кирхгофа, в соединении на одном конце параллельных путей ток в соединении должен быть равен току на выходе из соединения. Таким образом, общий ток разделяется между параллельными путями. Если I — это полный ток, а I 1 , I 2 и т. Д. — токи через отдельные пути,

Напряжение на каждом из этих элементов одинаково, поэтому используется формула V = IR,

Эквивалентное сопротивление ряда резисторов, включенных параллельно, можно найти с помощью обратной величины сопротивления 1 / R.Обратное эквивалентное сопротивление равно сумме обратных величин каждого сопротивления,

Измерение тока и напряжения

С помощью электрического устройства можно измерить ток или напряжение в различных частях цепи. Устройство известно как гальванометр Д’Арсонваля, хотя для простоты мы будем называть его просто «измерителем». Он состоит из катушки из тонкой проволоки, установленной на стержне, помещенной в магнитное поле и прикрепленной к пружине.Когда в катушке есть электрический ток, магнитное поле оказывает на катушку крутящий момент, и оно растягивает пружину. Возвратный момент пружины пропорционален току в катушке. Если катушка подчиняется закону Ома, ток пропорционален разности потенциалов (напряжению) между выводами катушки. В зависимости от конфигурации и калибровки измерителя его можно использовать для измерения тока, напряжения или сопротивления.

Измеритель, сконфигурированный для измерения тока, называется амперметром.Он измеряет ток, проходящий через него. Если он включен последовательно в ответвление цепи с другими компонентами схемы, он может измерять ток, проходящий через эту ветвь и компоненты. На принципиальных схемах амперметр может быть представлен в виде буквы «A» внутри круга, соединенной последовательно с другими компонентами.

Настоящие амперметры имеют небольшое внутреннее сопротивление, хотя чем ниже это внутреннее сопротивление, тем точнее будет амперметр. Если резистор подключен параллельно амперметру, амперметр можно использовать для измерения токов, которые в противном случае были бы за пределами шкалы.Этот резистор называется «шунтирующим резистором», и в коммерческих амперметрах может быть несколько, между которыми пользователь может переключаться, чтобы обеспечить диапазон шкал измерения.

Измеритель, сконфигурированный для измерения напряжения, называется вольтметром. Вольтметр измеряет разность потенциалов между любыми двумя точками цепи. Для этого он должен быть подключен между этими двумя точками параллельно любым элементам цепи между этими точками. Идеальный вольтметр не позволит току в цепи протекать через него, так как это изменит схему, которая измеряется.Это означает, что идеальный вольтметр должен иметь бесконечное сопротивление. Настоящие вольтметры должны иметь конечное сопротивление, хотя значение может быть очень большим, чтобы уменьшить ток, проходящий через измеритель. На принципиальных схемах вольтметр может быть представлен буквой «V» внутри круга параллельно другим компонентам.

Как решать сложные схемы с помощью…

Кирхгофа. .Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Другими словами, если вы посмотрите на любую петлю, которая идет полностью по всему периметру, любое увеличение напряжения по всей петле будет смещено с равным уменьшением напряжения. Визуально это можно увидеть на изображении ниже.

Используя эту концепцию, так же, как мы можем использовать узловой анализ с KCL, мы можем использовать анализ сетки из-за KVL. Хотя сетка — это, по сути, любой цикл в цепи, для анализа сетки нам нужно будет определить сетки, которые не охватывают никакие другие сетки.

Вы можете видеть, что если мы сделаем цикл вокруг «внешней части» всей схемы, технически это будет сетка, потому что цикл может быть завершен. Однако для анализа нам нужно разбить его на три разных сетки. Итак, давайте рассмотрим шаги, как решить схему с помощью анализа сетки, прежде чем переходить к нескольким примерам.

Есть 5 шагов, которые мы рекомендуем, и, как мы делали с шагами KCL / узлового анализа, два шага — успокоиться и отступить, убедившись, что все интуитивно понятно.

  1. Не торопитесь, подышите и оцените проблему. Запишите, какая информация вам была предоставлена, и какие у вас есть интуитивные идеи.
  2. Назначьте токи сетки всем сеткам. Каждой сетке должен быть назначен один ток. Вам нужно выбрать, в каком направлении течет ваш ток — это наполовину произвольно, потому что, пока вы правильно рассчитываете, это не имеет значения. Но в большинстве случаев люди принимают направление тока по часовой стрелке.
  3. Примените KVL к каждой из ячеек, используя закон Ома, чтобы показать напряжения в единицах тока.
  4. Решите одновременные уравнения (как мы это делали с KCL), чтобы найти фактические значения.
  5. Проверка работоспособности. Найдите минутку, чтобы проанализировать, что вы сделали, и посмотрите, имеют ли цифры смысл и внутренне согласованы.

Сейчас мы рассмотрим несколько примеров, и, честно говоря, после этих примеров единственными реальными дополнениями и изменениями будут сложности, которые усложняют математические вычисления. Концептуально задачи не должны становиться намного сложнее, но математика может стать значительно сложнее.Пожалуйста, не теряйтесь в математике. Если числа начинают терять свои числа, не забудьте выпустить воздух и вспомнить, что вы делаете и что пытаетесь сделать.


Пример 1

Простой пример — 1 сетка.

Начнем здесь! Это простая схема, настолько простая, что мы можем решить эту проблему с помощью уже известных инструментов. Но я хочу начать с простого, чтобы мы могли сосредоточиться на концепциях и шагах. Итак, давай сделаем это.

Шаг 1. Подведем итоги схемы.Очевидно, у него только одна петля, и у нас есть источник напряжения и два резистора. Нам даны значения источника напряжения и обоих резисторов, поэтому все, что нам нужно, это узнать ток в контуре и падение напряжения на резисторах. И как только мы находим одно, мы можем быстро использовать закон Ома, чтобы получить другое. Это будет легко.

Шаг 2: На шаге 1 мы уже заметили, что будет только одна сетка, поэтому давайте нарисуем нашу текущую сетку, зададим ей направление и дадим имя.Мы пойдем по часовой стрелке и назовем его i 1 . Я обычно небрежен и не различаю i 1 и I 1 , но в этом случае мы будем использовать строчную букву «i». Это будет важно в следующих примерах. И мы знаем, что, поскольку у нас есть одна сетка, будет только одно уравнение.

Шаг 3. Давайте создадим наши уравнения на основе KVL. Это первый шаг, требующий математических вычислений. Итак, с помощью KVL давайте разберемся с нашим уравнением.

Есть два взгляда на это, которые могут вызвать неописуемую путаницу.Я объясню различия, и если вы будете последовательны в каждом уравнении (даже не обязательно в каждой проблеме, но, черт возьми, зачем вам без надобности запутывать себя?), Тогда все будет хорошо.

В первом варианте, когда мы обходим контур, мы видим, что мы увеличиваем на 5 В на источнике напряжения, а затем падаем на R 1 и R 2 , давая нам наши положительные 5 вольт, а затем наши два негативы. Для меня это более интуитивно понятно, потому что вы повышаете напряжение на источнике напряжения так, как мы определили поток тока, и вы понижаете напряжение на резисторах по мере прохождения через них тока.Однако очень часто люди изучают его вторым способом.

Во втором варианте вы просто используете знак напряжения на той стороне вашей ветви, в которую входит ток. В случае источника напряжения, поскольку мы движемся по часовой стрелке, ток сначала видит отрицательный знак, так что это минус. По мере того, как напряжение на резисторах падает с положительного на отрицательный, ток сначала видит положительный знак на резисторах, поэтому вы добавляете их. Если это для вас более интуитивно понятно — воспользуйтесь! Ни один из этих вариантов не является неправильным, вы видите, что вы получаете те же уравнения (просто умножьте обе стороны на -1), но убедитесь, что вы согласны с каждым уравнением.Пожалуйста.

Шаг 4: Поскольку неизвестных нет, мы можем просто подставить значения для R 1 и R 2 и узнать, что такое i 1 .

А теперь мы можем найти напряжения на R 1 и R 2 .

Шаг 5: Проверка работоспособности! Обратите внимание, что V 1 + V 2 в основном равно 5V (ошибки округления!), Что означает, что напряжение, которое падает на двух резисторах, совпадает с увеличением напряжения от источника напряжения.

Давайте немного усложним ситуацию.


Пример 2

Шаг 1: Что мы здесь имеем? Похоже, у нас есть две сетки, которые имеют общий резистор посередине, R 3 . Опять же, у нас есть все значения источников напряжения и резисторов, поэтому мы должны иметь возможность получить фактические значения для тока и напряжения через эти резисторы. Даже без каких-либо значений мы могли бы провести анализ и показать взаимосвязи, но мне немного приятнее прийти к числовому ответу.Нам действительно нужно знать, как обращаться с R 3 , но мы позаботимся об этом на шаге 3.

Шаг 2: Давайте определим сетки. Мы заставим обе токовые петли течь по часовой стрелке и назовем левую i 1 , а правую i 2 . Обратите внимание, что это все еще строчные буквы. И на этот раз это имеет значение, потому что у нас также есть ток через резистор R 1 , который равен I 1 (обратите внимание на букву «I» с большой буквы), ток через резистор R 2 , то есть I 2 , а затем через R 3 , то есть I 3 .Заглавные буквы — это то, как различать токи сетки (i 1 и i 2 ) и токи ответвления (I 1 , I 2 и I 3 ).

Шаг 3: Создайте уравнения для сеток. Это будет довольно просто, но нам нужно знать, что делать с напряжением на R 3 . Давайте на самом деле составим уравнение для i 1 , а затем немного поговорим о нем.

Итак, глядя на это уравнение, вы, вероятно, задаетесь вопросом, почему в нашем уравнении для тока сетки i 1 есть i 2 .Помните, что каждая секция относится к напряжению. Мы увеличиваем на 10В, что несложно. Мы понижаем напряжение на R 1 , которое равно i 1 * R 2 , все еще довольно просто. Но падение напряжения на R 3 — это величина тока, текущего вниз, как i 1 , минус величина тока, текущего вверх, как i 2 , умноженная на R 3 .

В нашем направлении по часовой стрелке мы заявили, что i 2 течет вверх по через R 3 .Очевидно, что на самом деле ток течет только в одну сторону, но мы не знаем, в какую сторону прямо сейчас, и математически мы сказали, что есть оба тока, протекающие через R 3 , поскольку i 1 и текущие через R 3 как i 2 . Уловка здесь в том, что если бы мы определили i 2 в противоположном (против часовой стрелки) направлении, нам пришлось бы добавить к току i 2 к i 1 , чтобы вычислить падение напряжения на R 3 .

Итак, сделайте паузу, остановитесь на секунду, убедитесь, что вы понимаете, почему мы создали уравнение, которое мы сделали для тока первой сетки. Затем посмотрите, что вы получите для второго тока сетки, прежде чем проверять, что мы получим. Однако вам придется контролировать свои глаза, потому что ответ находится прямо под этим текстом.

Это то, что у вас есть? Помните, что с нашим определением, что ток течет по часовой стрелке, напряжение падает, когда мы идем от земли через R 3 , и все еще падает, когда мы идем через R 2 , прежде чем подойти к источнику напряжения, который, поскольку мы Определив это направление по часовой стрелке, мы получаем отрицательные 5 вольт.Именно здесь невероятно важно понимать, что происходит интуитивно — если вы слишком увязнетесь в математике, не зная, что происходит, вы будете составлять и решать неправильные уравнения! Поверьте мне — я говорю на основе очень болезненного опыта.

Итак, теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные. Мы можем либо решить эту проблему с помощью подстановки, либо подготовившись к некоторой линейной алгебре. Сделаем замену.

Введите значения резисторов.

Упростим первое уравнение.

Перед заменой i 1 немного упростите второе уравнение.

Пример 3 (Суперсетки)

С KCL, если бы у нас был источник напряжения, который не был напрямую подключен к опорной земле, мы бы создали суперузел, а затем, как часть процесса, нам нужно было бы сделать немного КВЛ, чтобы закончить анализ. С KVL, если у нас есть текущий источник, который используется двумя сетками, мы должны относиться к нему аналогичным образом. Мы избавляемся от текущего источника и всего, что связано с ним последовательно.Затем мы рассматриваем оставшуюся часть как одну большую суперсетку.

После создания этой сетки мы создаем уравнение для ее описания. В этом случае мы получаем:

Теперь у нас есть уравнение для суперсетки, но у нас есть два неизвестных и только одно уравнение. Итак, давайте снова подключим источник тока к любым элементам, которые были последовательно с ним, и проведем KCL в узле, где они подключаются к большей цепи. Как только это будет сделано, мы используем KCL в этом узле, чтобы создать второе уравнение.

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные! Давайте представим это в формате, необходимом для выполнения некоторой линейной алгебры, и посмотрим, что у нас получится.

Итак, наши два уравнения:

Которые мы помещаем в программу решения линейных уравнений, чтобы получить:

Поскольку я склонен к математическим ошибкам, я предпочитаю метод линейных уравнений, поскольку он обычно быстрее и менее вероятно, что я ошибаюсь. вверх это. В случае супер-сетки это не обычная проблема, поскольку, если вы не имеете дело с транзисторами или схемой уровня CMOS, источники тока не очень типичны. Однако это хороший инструмент на случай, если он возникнет, и поможет нам лучше понять взаимосвязь между физическими схемами и математическими представлениями.


Резюме

Это наш краткий обзор закона напряжения Кирхгофа и того, как он приводит к анализу сетки. Вы заметите, что иногда мы использовали анализ сетки и KVL как синонимы. Хотя технически это не то же самое, очень часто можно услышать, как их используют таким образом. В зависимости от того, где вы находитесь и с кем учились, вы можете обнаружить некоторые другие различия в подходах, соглашениях об именах и даже в предположениях относительно направления. Однако, несмотря на эти внешние различия, весь анализ сетки сводится к нахождению напряжения на различных элементах сетки.Если вы последовательны и хорошо понимаете, что делаете, вы сможете получить ответ, который ищете.

Руководство для начинающих по законам Кирхгофа

В этом руководстве мы узнаем о законах Кирхгофа. Закон Кирхгофа или KCL и Закон напряжения Кирхгофа или KVL — два очень важных математических равенства в анализе электрических цепей.

Введение

Многие электрические схемы имеют сложную природу, и вычисления, необходимые для нахождения неизвестных величин в таких схемах, с использованием простого закона Ома и методов упрощения последовательной / параллельной комбинации невозможны.Поэтому для упрощения этих схем используются законы Кирхгофа.

Эти законы являются фундаментальными аналитическими инструментами, которые используются для нахождения решений для напряжений и токов в электрической цепи, будь то переменный или постоянный ток. Элементы в электрической цепи соединяются множеством возможных способов, поэтому для определения параметров в электрической цепи эти законы очень полезны.

Прежде чем узнать больше о законе Кирхгофа, мы должны рассмотреть некоторые термины, относящиеся к электрическим цепям.

Узел : Узел или соединение — это точка в цепи, в которой соединены два или более электрических элемента. Это определяет уровень напряжения с опорным узлом в цепи.

Ветвь : Непрерывный проводящий путь между двумя соединениями, который содержит электрический элемент в цепи, называется ветвью.

Петля : В электрической цепи петля — это независимый замкнутый путь в цепи, который следует за последовательностью ветвей таким образом, что он должен начинаться и заканчиваться одним и тем же узлом и не должен касаться какого-либо другого соединения или узла. больше чем единожды.

Сетка: Сетка в электрической цепи — это петля, не содержащая никаких других петель внутри.

Вернуться к началу

Законы Кирхгофа

В 1847 году немецкий физик Густав Роберт Кирхгоф разработал эти законы для описания зависимости напряжения и тока в электрической цепи. Это следующие законы: закон Кирхгофа по напряжению (KVL) и закон Кирхгофа по току (KCL).

Вернуться к началу

Текущий закон Кирхгофа (KCL)

Это также называется законом сохранения заряда, потому что заряд или ток не могут быть созданы или разрушены на стыке или узле.Он утверждает, что алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Таким образом, ток, поступающий в узел, должен быть равен сумме тока, выходящего из узла.

На приведенном выше рисунке токи I1 и I2 входят в узел, а токи I3 и I4 уходят из узла. Применяя KCL в узле, предположим, что входящие токи положительны, а выходящие токи отрицательны, мы можем записать как

I1 + I2 + (-I3) + (-I4) = 0
I1 + I2 = I3 + I4

В начало

Пример проблемы KCL

Рассмотрим рисунок ниже, на котором мы должны определить токи IAB , и Ix с помощью KCL.

Применяя закон Кирхгофа в точке A, мы получаем

IAB = 0,5 — 0,3

IAB = 0,2 ампер

Аналогичным образом, применяя KCL в точке B, мы получаем

IAB = 0,1 + Ix

0,2 = 0,1 + Ix

Ix = 0,2 — 0,1 = 0,1 А

Вернуться к началу

Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

Закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е. сумма напряжений источника равна сумме падений напряжения в цепи.Если ток течет от более высокого потенциала к более низкому в элементе, мы рассматриваем это как падение напряжения.

Если ток течет от более низкого потенциала к более высокому, мы рассматриваем это как повышение напряжения. Таким образом, энергия, рассеиваемая током, должна быть равна энергии, отдаваемой источником питания в электрической цепи.

Рассмотрим схему выше, в которой направление тока берется по часовой стрелке. Различные падения напряжения в приведенной выше схеме: V1 — положительное, IR1 — отрицательное (падение напряжения), IR2 — отрицательное (падение напряжения), V2 — отрицательное, IR3 — отрицательное (падение напряжения), IR4 — отрицательное (падение напряжения). , V3 положительный, IR5 отрицательный и V4 отрицательный.Применяя KVL, получаем

V1 + (-IR1) + (-IR2) + (-V2) + (-IR3) + (-IR4) + V3 + (-IR5) + (-V4) = 0

V1 — IR1 — IR2 — V2 — IR3 — IR4 + V3 — IR5 — V4 = 0

V1 — V2 + V3 — V4 = IR1 + IR2 + IR3 + IR4 + IR5

Следовательно, KVL также известен как закон сохранения. электрической энергии, потому что сумма падений напряжения (произведение сопротивления и тока) равна сумме источников напряжения в замкнутом пути.

В начало

Пример закона Кирхгофа по напряжению

1.Давайте рассмотрим одноконтурную схему, показанную ниже, и примем направление потока тока как замкнутый путь DEABCD. В этой схеме, используя KVL, мы должны найти напряжение V1.

Применяя KVL к этому замкнутому контуру, мы можем записать как

VED + VAE + VBA + VCB + VDC = 0

Где

Напряжение точки E относительно точки D, VED = -50 В

Напряжение точки D относительно точки C, В = -50 В

Напряжение точки A относительно точки E.VAE = I * R

VAE = 500 м * 200

VAE = 100 V

Аналогично Напряжение в точке C относительно контакта B, VCB = 350 м * 100

VCB = 35V

Рассмотрим напряжение в точке A с учетом в точку B, VAB = V1

VBA = -V1

Затем, используя KVL

-50 + 100 — V1 + 35-50 = 0

V1 = 35 Вольт

2. Рассмотрим нижеприведенную типичную двухконтурную схему где нам нужно найти токи I1 и I2, применяя законы Кирхгофа.

Внутри схемы есть два контура, и рассмотрите пути контура, как показано на рисунке.

Применяя KVL к этим циклам, мы получаем

Для первого цикла

2 (I1 + I2) + 4I1 — 28 = 0

6I1 + 2I2 = 28 ——— (1)

Для второй цикл,

-2 (I1 + I2) — 1I2 + 7 = 0
-2I1 — 3I2 = -7 ——– (2)

Решая приведенные выше уравнения 1 и 2, мы получаем

I1 = 5A и I2 = -1 A

В начало

Пример проблемы с законами Кирхгофа

Теперь давайте воспользуемся законами Кирхгофа по току и напряжению, чтобы найти падение тока и напряжения в приведенной ниже схеме.Подобно описанной выше задаче, эта схема также содержит два контура и два соединения. Учитывайте текущее направление, указанное на рисунке.

Применим закон Кирхгофа по току на обоих переходах, тогда мы получим

На переходе 1 I = I1 + I2

На переходе 2 I1 + I2 = I

Применим закон напряжения Кирхгофа к обоим контурам, затем мы получить

В первом цикле

1,5 В — 100 I1 = 0

I1 = 1,5 / 100

= 0,015 А

Во втором цикле

100 (I1- I2) — 9 В — 200I2 = 0

100I1 — 300I2 = 9

Подставив значение I1 в приведенное выше уравнение, тогда

1.5 — 300I2 = 9

— 300I2 = 7,5

I2 = -0,025

Тогда ток на переходе I = I1 + I2

I = 0,015 — 0,025

I = — 0,01

К началу

Применение законов Кирхгофа

  • Используя эти законы, мы можем найти неизвестные сопротивления, напряжения и токи (как направление, так и значение).
  • В методе ответвлений определение токов через каждую ветвь, переносимых путем применения KCL на каждом переходе и KVL в каждом контуре цепи.
  • В методе тока контура определение тока через каждый независимый контур осуществляется путем применения KVL для каждого контура и подсчета всех токов в любом элементе контура.
  • Используется в узловом методе определения напряжений и токов.
  • Эти законы можно применить для анализа любой схемы, независимо от ее состава и структуры.

Вернуться к началу

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа были опубликованы в 1845 году немецким физиком Густавом Кирхгофом.Когда законы Кирхгофа сочетаются с законом Ома, мы можем рассчитывать напряжение и ток для сложных цепей.

Электрический потенциал в цепях

Электрический потенциал примерно представляет собой концентрацию энергии в цепи. Потенциал быстро распространяется до однородного значения по непрерывному участку провода. Это похоже на то, как вода в чашке остается на той же высоте, потому что она распространяется против силы тяжести.

Разница в электрическом потенциале называется напряжением.

Электрический потенциал постоянен, пока не достигнет элемента схемы.
На резисторе падает потенциал, поэтому напряжение отрицательное.
В аккумуляторе потенциал увеличивается, поэтому напряжение положительное.

4 V2 V Пример: На приведенной выше диаграмме потенциал, выделенный красным, равен 4 В. Потенциал, выделенный серым цветом, равен 2 В. Какова разность потенциалов на резисторе? решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 2 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -2 \, \ mathrm {V} $$
Какое напряжение на резисторе? решение

Напряжение означает разность потенциалов.Они одинаковые.

$$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 2 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -2 \, \ mathrm {V} $$ 0 В1,50 В Пример: Какое напряжение обеспечивает аккумулятор? Раствор

Потенциал подскакивает от 0 до 1,5 В. Аккумулятор добавляет в цепь 1,5 вольта.

1,50 В0,70 В0,0020 A Пример: Используйте закон Ома для расчета сопротивления на диаграмме выше. решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 0.70 \, \ mathrm {V} -1.50 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -0.80 \, \ mathrm {V} $$
$$ \ Delta V = IR $$ $$ R = \ frac {\ Delta V} {I} $$ $$ R = \ frac {0.80} {0.0020} $$ $$ R = 400 \, \ Omega $$ 5.5 V9.0 V Пример: Когда провод разветвляется, потенциал одинаков для непрерывного участка. Используйте потенциал, чтобы найти разность потенциалов или напряжение на каждом резисторе. решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 5.5 \, \ mathrm {V} -9 \, \ mathrm {V} $$ 5.5 V9.0 VΔV = -3.5 VΔV = -3,5 VΔV = -3,5 V

Ток направлен влево, потому что потенциал падает справа налево, а резисторы всегда уменьшают напряжение.

0 В1,5 В 400 Ом 200 Ом 100 Ом Вопрос: В каком направлении течет ток? ответ

Течение направлено влево. Ток — это поток заряда, а заряд перетекает от высокого потенциала к низкому.


Вопрос: Какой путь имеет наибольший ток? Почему? ответ

Резистор 100 Ом имеет наибольший ток

Все три цепи имеют одинаковое напряжение, поэтому единственная разница заключается в сопротивлении.Сопротивление затрудняет прохождение тока. Самый низкий резистор будет иметь самый высокий ток.


Пример: Рассчитайте ток на каждом резисторе. решение $$ \ Delta V = IR $$ $$ I = \ frac {\ Delta V} {R} $$ $$ I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {400 \, \ Omega} \ quad \ enspace \ quad I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {200 \, \ Omega} \ quad \ enspace \ quad I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {100 \, \ Omega} $$ $$ I = 0,00375 \, \ mathrm {A} \ quad \ quad I = 0,0075 \, \ mathrm {A} \ quad \ quad I = 0.015 \, \ mathrm {A} $$ $$ I = 3,75 \, \ mathrm {mA} \ quad \ quad I = 7,5 \, \ mathrm {mA} \ quad \ quad I = 15 \, \ mathrm {mA} $$ 0.0 V6.0 V6.0 V6.0 V2.0 V2.0 V Пример: Электрический потенциал для каждого непрерывного участка провода показан на принципиальной схеме выше. Используйте потенциал, чтобы найти разность потенциалов или напряжение на каждом элементе цепи. решение

Вычтите потенциал до и после каждого элемента, чтобы найти разность потенциалов на каждом элементе.

$$ V_f-V_i = \ Delta V $$ $$ 2 \, \ mathrm {V} -6 \, \ mathrm {V} = -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ 0 \, \ mathrm {V} -2 \, \ mathrm {V} = -2 \, \ mathrm {V} $$ $$ 6 \, \ mathrm {V} -0 \, \ mathrm {V} = 6 \, \ mathrm {V} $$ 0,0 В6,0 В6,0 В6,0 В2,0 В2,0 В + 6,0 В-4,0 В-4,0 В-2,0 В

Вы могли заметить, что общее напряжение для любого пути, по которому может пройти ток, в сумме равно нулю. Это важный принцип.

$$ + 6 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} -2 \, \ mathrm {V} = 0 $$

Закон Кирхгофа: напряжение

Если возможно, чтобы ток проходил по цепи через контур, полное изменение потенциала равно нулю.В противном случае потенциал продолжал бы расти.

V1V2V3V4

Для любого замкнутого контура сумма всех напряжений равна нулю.

\ (V \) = разность потенциалов, напряжение [В, вольт]

Закон Кирхгофа о напряжении является следствием сохранения энергии. Напряжение — это электрическая потенциальная энергия на заряд. По мере прохождения тока по цепи общая энергия не меняется.

1,51 В-0,55 В-0,33 В =? Пример: Какое падение напряжения на резисторе показано на схеме? подсказка

Суммарное напряжение для любого контура должно быть равно нулю.

$$ V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0 $$ решение $$ V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0 $$ $$ 1.51-0.55-0.33-V_ {4} = 0 $$ $$ V_ {4} = -0,63 \, \ mathrm {V} $$ V =? 6 кОм 20 кОм 5 кОм 0,194 мА Пример: Используйте закон Ома, чтобы найти напряжение для каждого резистора. решение

Все элементы в серии имеют одинаковый ток

$$ V = IR $$ $$ V = (0,000194) (6000) $$ $$ V = 1.164 \, \ mathrm {V} $$
$$ V = IR $$ $$ V = (0,000194) (20000) $$ $$ V = 3.88 \, \ mathrm {V} $$
$$ V = IR $$ $$ V = (0.000194) (5000) $$ $$ V = 0,97 \, \ mathrm {V} $$
Используйте напряжения резистора, чтобы рассчитать напряжение в батарее. раствор V =? -1,164 В-3,88 В-0,97 В $$ \ sum V = 0 $$ $$ V_ {bat} + V_1 + V_2 + V_3 = 0 $$ $$ V_ {bat} = -V_1-V_2-V_3 $$ $$ V_ {bat} = 1,164 + 3,88 + 0,97 $$ $$ V_ {4} = 6.014 \, \ mathrm {V} $$ > 9,0 VR =? 3,4 В3,4 В0,5 мА Пример: Найдите недостающее сопротивление. решение

Только одно падение 3,4 В в каждом шлейфе.

$$ \ sum V = 0 $$ $$ 9 — 3.4 — V = 0 $$ $$ V = 5.6 \, \ mathrm {V} $$
$$ V = IR $$ $$ R = \ frac {V} {I} $$ $$ R = \ frac {5.6} {0.0005} $$ $$ R = 11200 \, \ Omega $$

Закон Кирхгофа: действующий

Текущий закон Кирхгофа верен, потому что заряд сохраняется. Общий заряд не может увеличиваться или уменьшаться.

В любой точке цепи общий входящий заряд равен общему выходящему заряду.

\ (I_ {in} \) = заряд вводится точка в секунду [A, амперы]
\ (I_ {out} \) = заряд на выходе точка в секунду [A, амперы]

Участки цепи, которые не разветвляются, будут иметь одинаковый ток повсюду.

2 A2 AI =? Пример: Если трехходовая разветвление имеет два провода с входом 2 А каждый. Сколько тока в 3-м проводе? решение $$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 2 \, \ mathrm {A} + 2 \, \ mathrm {A} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 4 \, \ mathrm {A} = I _ {\ text {out}} $$ I = 10 мА I =? 166 Ом 166 Ом Пример: Ток 10 мА перед двумя резисторами 166 Ом. Какой ток после резисторов? решение I = 10 мА I = 10 мА

Полный ток, входящий в часть цепи, должен равняться полному току на выходе.Если цепь не разветвляется, она будет иметь одинаковый ток во всех точках. Ток не меняется на резисторах и батареях.

I =? 20 мА40 мА55 мА Пример: Найдите ток до того, как цепь разделится на 3 ветви. решение

нет необходимости преобразовывать единицы только для сложения и вычитания

$$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ I _ {\ text {in}} = 20 \, \ mathrm {mA} + 40 \, \ mathrm {mA} + 55 \, \ mathrm {mA} $$ $$ I _ {\ text {in}} = 115 \, \ mathrm {mA} $$ 450 мА 450 мА 115 мА I =? 120 мА Пример: Найдите ток в верхней ветви.решение $$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 450 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} + 115 \, \ mathrm {mA} + 120 \, \ mathrm {mA} $$ $$ 450 \, \ mathrm {mA} — 115 \, \ mathrm {mA} — 120 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} $$ $$ 215 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} $$ Резисторы

серии

Электрические компоненты относятся к серии и , ​​когда они соединены одним путем, так что весь заряд проходит через одни и те же компоненты.

Общее эквивалентное сопротивление резисторов в серии — это сумма резисторов.

R1R2R3R4Req \ (R_ {n} \) = Один резистор в серии [Ом, Ом]
\ (R_ {eq} \) = Эквивалентное сопротивление. Сопротивление одного резистора, который может заменить несколько резисторов. [Ом, Ом] Последовательное добавление резисторов увеличивает общее сопротивление. 120 Ом 150 Ом 200 Ом 100 Ом Пример: Вы можете последовательно заменить резисторы одним эквивалентным резистором. Какой резистор мог заменить эти четыре резистора? решение 570 Ом $$ R_ {экв} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 $$ $$ R_ {eq} = 120 \, \ Omega + 150 \, \ Omega + 200 \, \ Omega + 100 \, \ Omega $$ $$ R_ {eq} = 570 \, \ Omega $$

Параллельные резисторы

Электрические компоненты находятся в параллели , ​​когда путь разветвляется, и заряды идут разными путями.Уравнение для параллельной замены резисторов немного сложнее.

Значение, обратное полному эквивалентному сопротивлению для параллельных резисторов, равно сумме обратных сопротивлений каждого сопротивления.

R1R2R3Req

$$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3} } + \ cdots $$

\ (R_ {n} \) = Один параллельный резистор [Ом, Ом]
\ (R_ {eq} \) = Эквивалентное сопротивление. Сопротивление одного резистора, который может заменить несколько резисторов [Ом, Ом] Добавление резисторов параллельно снижает общее сопротивление.Это имеет смысл, если вы думаете о каждом параллельном резисторе как о возможном пути прохождения тока. Чем больше путей, тем больше ток и меньше общее сопротивление.

Пример: Какое эквивалентное сопротивление для пяти резисторов по 100 Ом, включенных параллельно друг другу? решение $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3}} + \ frac {1} {R_ {4}} + \ frac {1} {R_ {5}} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {5} {100} $$ $$ R_ {eq} = \ frac {100} {5} $$ $$ R_ {eq} = 20 \, \ Omega $$

400 Ом 200 Ом 100 Ом Пример: Найдите эквивалентное сопротивление для трех вышеуказанных резисторов.раствор 57,14 Ом $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3}} $ $ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ frac {1} {200} + \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ left (\ frac {2} {2} \ right) \ frac {1} {200} + \ left (\ frac {4} {4} \ right) \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ frac {2} {400} + \ frac {4} {400} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {7} {400} $$ $$ R_ {eq} = \ frac {400} {7} $$ $$ R_ {eq} = 57,14 \, \ Omega $$ 30 кОм R2 =? Пример: Эквивалентное сопротивление для указанной выше цепи составляет 10 кОм.Используйте эту информацию, чтобы найти недостающее сопротивление. решение $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {1} {10} = \ frac {1} {30} + \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {1} {10} — \ frac {1} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {3} {30} — \ frac {1} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {2} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ 15 \, \ mathrm {k} \ Omega = R_ {2} $$ 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом Пример: Определите группы резисторов, включенных последовательно или параллельно. Объедините их, чтобы сжать схему, пока вы не уменьшите схему до одного резистора.
(начните последовательно с выделенных резисторов.) 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 200 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 66,6 Ом 266,6 Ом $$ \ text {Эквивалентное сопротивление} = 266,6 \, \ Omega $$

Решение сложных схем

6.0 VR1600 Ом R2800 Ом R3900 Ом R4500 Ом

Как решить схему с последовательными и параллельными элементами? Один из способов — упростить схему путем последовательной или параллельной замены резисторов одним эквивалентным резистором.

нахождение сопротивления по упрощенной схеме

Мы можем начать с объединения двух параллельных резисторов.{-1} $$ $$ R_ {eq} = 420 \, \ Omega $$ 6.0 VR1600 ΩReq420 ΩR4500 Ω

Затем мы можем объединить 3 резистора последовательно.

$$ R_ {eq} = 600 + 420 + 500 $$ R_ {eq} = 1520 \, \ Omega $$ 6.0 VReq1520 Ом с использованием законов Кирхгофа для восстановления полной схемы

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что полное положительное напряжение должно равняться отрицательному. Это говорит о том, что падение напряжения на резисторе такое же, как и на батарее.

$$ V_ {bat} + V_1 = 0 $$ $$ 6.0 \, \ mathrm {V} + V_1 = 0 $$ $$ V_1 = -6.0 \, \ mathrm {V} $$ 6.0 VReq1520 Ω-6.0 V

Мы можем найти ток через резистор с помощью закона Ома.

$$ V = IR $$ $$ I = \ frac {V} {R} $$ $$ I = \ frac {6.0 \, \ mathrm {V}} {1530 \, \ Omega} $$ $$ I = 0,0039 \, \ mathrm {A} $$ 6.0 VReq0.0039 A1523 Ω-6.0 V

Этот ток может быть приложен к любому элементу схемы последовательно с Req. Если мы расширим схему до состояния, когда все они были включены последовательно, мы узнаем ток для всех резисторов.

6.0 VR1600 Ω0.0039 AReq420 Ω0.0039 AR4500 Ω0.0039 A

Мы можем использовать закон Ома, чтобы найти напряжения.

$$ V = IR_1 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (600 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.3 \, \ mathrm {V} $$

$$ V = IR_4 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (500 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.0 \, \ mathrm {V} $$

$$ V = IR_ {eq} $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (420 \, \ Omega) $$ $$ V = 1,7 \, \ mathrm {V} $$ 6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 VReq420 Ω0.0039 A-1.7 VR4500 Ω0.0039 A-2.0 V

Параллельно подключенные резисторы имеют одинаковое напряжение, но не одинаковый ток.Давайте вернемся к нашей полноразмерной схеме и введем напряжение.

6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 VR2800 Ω-1.7 VR3900 Ω-1.7 VR4500 Ω0.0039 A-2.0 V

Мы можем использовать закон Ома для R2 и R3, чтобы найти ток.

$$ I = \ frac {V} {R_2} $$ $$ I = \ frac {1.7} {800} $$ $$ I = 0,0021 \, \ mathrm {A} $$

$$ I = \ frac {V} {R_3} $$ $$ I = \ frac {1.7} {900} $$ $$ I = 0,0019 \, \ mathrm {A} $$

6,0 VR1600 Ом 0,0039 A-2,3 VR2800 Ом-1,7 В 0,0021 AR3900 Ом-1.7 V0.0019 AR4500 Ω0.0039 A-2.0 V решение для рассеиваемой мощности

Мы можем рассчитать мощность, рассеиваемую каждым элементом.

$$ \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,3) $$ $$ P = 0,0090 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R4)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,0) $$ $$ P = 0,0078 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R2)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0021) (1,7) $$ $$ P = 0,0036 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R3)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0.0019) (1.7) $$ $$ P = 0,0032 \, \ mathrm {W} $$

6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 V0.0090 WR2800 Ω-1.7 V0.0021 A0.0036 WR3900 Ω-1.7 V0.0019 A0.0032 WR4500 Ω0.0039 A-2.0 V0.0078 W проверка нашей работы

Это была долгая проблема. Проверим нашу работу. Суммарное напряжение должно равняться нулю, если считать резисторы, включенные параллельно, за единицу.

$$ V_1 + V_4 + V_ {eq} + V_ {bat} = 0 $$ $$ — 2.3-2.0-1.7 + 6.0 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$

Мощность от аккумулятора должна равняться сумме мощности, потерянной в резисторах.

$$ P_ {bat} = IV $$ $$ P_ {bat} = (0,0039) (6.0) $$ $$ P_ {bat} = 0,023 \, \ mathrm {W} $$
$$ P_ {res} = 0.0090 \, \ mathrm {W} +0.0078 \, \ mathrm {W} +0.0036 \, \ mathrm {W} +0.0032 \, \ mathrm {W} $$ $$ P_ {res} = 0,023 \, \ mathrm {W} $$

Выглядит хорошо!

V =? 80 кОм 3,0 В90 кОм 90 кОм 30 кОм Пример: Найдите напряжение аккумулятора. стратегия

Замените три резистора параллельно одним эквивалентным резистором. Эквивалентный резистор будет иметь то же напряжение, что и все резисторы, включенные параллельно, из-за закона Кирхгофа для напряжения.

Используйте закон Ома, чтобы найти ток через эквивалентный резистор. Это будет тот же ток, который протекает через резистор 30 кОм. Тогда мы сможем найти напряжение на этом резисторе по закону Ома.

Напряжение батареи равно сумме напряжений на каждом резисторе из-за закона напряжения Кирхгофа.

решение $$ \ frac {1} {R _ {\ mathrm {eq}}} = \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} $$ $$ \ frac {1} {R _ {\ mathrm {eq}}} = \ frac {1} {80} + \ frac {1} {90} + \ frac {1} {90} $$ $$ R _ {\ mathrm {eq}} = {\ color {# e30} 28.8 \, \ mathrm {k} \ Omega} $$

Напряжение одинаково параллельно. Эквивалентное сопротивление составляет 3,0 В, потому что резистор 80 кОм имеет 3,0 В.

$$ V = I R _ {\ mathrm {eq}} $$ $$ I = \ frac {V} {R _ {\ mathrm {eq}}} $$ $$ I = \ frac {3.0 \, \ mathrm {A}} {28 \, 800 \, \ Omega} $$ $$ I = 0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *