• Государственное правило Кирхгофа
• Государственное правило петли Кирхгофа
• Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах.В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , ​​которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы и включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления.То же самое и с резисторами и. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с помощью уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , ​​в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

(рисунок 6.3.1)

ПРАВИЛА КИРХГОФА

• Первое правило Кирхгофа — правило перехода . Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения:
  

  (6.3.1)

• Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:
  

  (6.3.2)

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, сопровождаемые советами по решению проблем по их применению и работающим примером, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок 6.3.2). Как указывалось ранее, соединение или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

(рисунок 6.3.2)

Хотя это и является чрезмерным упрощением, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, объем воды, поступающей в разветвление, должен был равняться объему воды, вытекающей из разветвления.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны между собой.В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рисунке 6.3.3.

(рисунок 6.3.3)

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки,, и служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Петля обозначена как петля, и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению, а падение потенциала на резисторе вычитается. От точки до потенциальный перепад вычитается. От до вычитается потенциальный перепад. От пунктов до ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 6.3.4 показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор.Падение потенциала , ​​или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

(рисунок 6.3.4)

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами. Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что хотя бы один ток направлен на соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.
3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
5. Примените правило цикла.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

(рисунок 6.3.5)

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному току, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение и соединение. Точки,, и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения есть, а уравнение для соединения есть.Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

(рисунок 6.3.6)

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы.Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

(рисунок 6.3.7)

Рассмотрим схему на Рисунке 6.3.8 (a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

(рисунок 6.3.8)

Далее определяем перекрестки. В этой схеме точки и каждая имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9 (б). Junction показывает это, а Junction это показывает. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction, ее можно не принимать во внимание. Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

(рисунок 6.3.9)

Далее нам нужно выбрать петли.На рисунке 6.3.10 контур включает источник напряжения, резисторы и. Цикл начинается с точки, затем проходит через точки, и, а затем возвращается к точке. Вторая петля, петля, начинается в точке и включает резисторы и источник напряжения.

(рисунок 6.3.10)

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.При перемещении от точки к точке резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При перемещении от точки к точке источник напряжения пересекается от отрицательной клеммы к положительной, поэтому добавляется. Между точками и нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, проверяем цикл. Мы начинаем с точки и переходим к точке, пересекаясь в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем и в том же направлении, что и ток, и вычитаем падения потенциала и. Обратите внимание, что через резисторы и ток одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока. Сначала добавьте уравнение. (1) раз к формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока. Сложив семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) приводит к, или. Используя уравнение.(4) приводит к. Наконец, уравнение. (1) дает. Один из способов проверить соответствие решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Питание от второго источника напряжения есть и нет.

ПРИМЕР 6.3.1

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке 6.3.11.

(рисунок 6.3.11)

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.На рисунке обозначены токи, и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены сквозными буквами. В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на. Второе уравнение петли можно упростить, разделив обе части на.

Результатов:

Значение

Методом проверки расчетов является вычисление мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, подаваемой источниками напряжения:

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.6

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, всегда ли источник напряжения обеспечивает питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

ПРИМЕР 6.3.2

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке 6.3.12.

(рисунок 6.3.12)

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки к точке. Рассмотрим цикл и воспользуйтесь рисунком 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5, батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет мощность.

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.7

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a к точке b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно.Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

(рисунок 6.3.13)

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения.Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах, чтобы обеспечить фонарик.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для аккумуляторов, подключенных последовательно, напряжение на зажимах равно

(6.3.3)

, где эквивалентное сопротивление.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

(рисунок 6.3.14)

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

(рисунок 6.3.15)

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15 (b). В точке и есть две петли и узел.

Расчет тока через нагрузочный резистор дает, где. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для аккумуляторов, включенных параллельно, напряжение на зажимах равно

(6.3.4)

, где эквивалентное сопротивление.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи; они производят полную ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления.Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки. Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Солнечные батареи

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, — это комбинация солнечных элементов , ​​соединенных как последовательными, так и параллельными соединениями, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство отдельных ячеек имеют выходное напряжение около, в то время как выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы производят ток на единицу площади примерно равной площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модулях для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно — как батареи, о которых говорилось ранее. Матрица или модуль солнечных элементов обычно состоит из промежуточных элементов и элементов с выходной мощностью до.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока (dc). Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Для большинства бытовых приборов требуется напряжение переменного тока.

Кандела Цитаты

Лицензионный контент CC, особая атрибуция

• Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected]. Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected]. Лицензия : CC BY: Attribution

Радио Эда — Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа

Закона Ома достаточно для решения последовательных и параллельных цепей, но более сложные схемы, такие как мосты и Т-образные сети, не могут быть решены одним только законом Ома.В 1845 году физик Густав Кирхгоф сформулировал пару законов, касающихся сохранения тока и энергии в электрической цепи. Эти два закона вместе называются законом Кирхгофа или законом цепи Кирхгофа. Закон Кирхгофа применяется к цепям постоянного тока и, в некоторых ограниченных обстоятельствах, к цепям переменного тока .

Прежде чем углубляться в закон Кирхгофа, нам нужно определить несколько вещей:

Узел

Соединение, в котором встречаются два или более компонентов.

Главный узел

Большой хонкинский узел, где встречаются три или более компонентов.

Ветвь

Любой путь в цепи, имеющий узел на каждом конце и содержащий по крайней мере один компонент (например, резистор или батарею), но не содержащий других узлов.

Цикл

Замкнутый путь в цепи, где ни один компонент не встречается более одного раза.

Сетка

Простой путь в цепи без ответвлений.

1.Действующий закон Кирхгофа

Текущий закон Кирхгофа — это утверждение принципа сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из любой точки цепи, должна равняться нулю. Это означает, что если вы сложите все токи, текущие в точку, и сравните это значение с суммой всех токов, исходящих из этой точки, эти два значения должны быть равны.

На рисунке 6 ниже значения I ₁ и I ₂ , входящие в точку N , должны равняться значению I ₃ , выходящему из N .Если I ₁ равно 5 амперам, а I ₂ равно 3 амперам, то значение I ₃ должно равняться 8 амперам. Я ₁ + Я ₂ — Я ₃ = 0.

2. Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении также называется законом сохранения энергии. В замкнутом контуре внутри контура алгебраическая сумма всех напряжений внутри контура должна равняться нулю.

На рисунке 7 ниже все напряжения должны быть равны нулю.Чтобы проверить это, выберите произвольную точку на цепи (например, точку A) и произвольное направление (против часовой стрелки). Из точки А двигайтесь по петле против часовой стрелки. Мы впервые встречаем V ₁ . Поскольку мы встретили положительный вывод V ₁ перед отрицательным выводом, мы записываем напряжение как положительное число. Продолжая движение против часовой стрелки, мы встречаем резистор R ₂ . Сначала мы достигли отрицательной клеммы R ₂ , поэтому мы записываем падение напряжения на R ₂ как отрицательное число.Далее идет резистор R ₁ (еще одно отрицательное падение напряжения). Наконец, мы возвращаемся в точку А, с которой начали. Уравнение закона напряжения Кирхгофа будет следующим: V ₁ — V _R2 — V _R1 = 0.

Если бы мы двигались от точки A по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, окончательное уравнение было бы следующим: V _R1 + V _R2 — V ₁ = 0. Как видите, абсолютная величина каждого напряжения равна одинаково независимо от направления вокруг петли.Только полярность (положительная или отрицательная) отличается в зависимости от выбранного вами направления.

Методы анализа цепей с использованием закона Кирхгофа

Существует три основных метода решения схем с использованием закона Кирхгофа:

Пример: Решить цепь методом токов ответвления

Метод ветвящихся токов может быть немного длинным и утомительным, но он служит для достаточно хорошей иллюстрации закона Кирхгофа. Как только вы поймете метод ветвления тока, два других метода станут простыми.

Для схемы на рисунке 8 ниже мы хотим определить ток и напряжение на каждом резисторе. Поскольку есть источники напряжения в двух разных ветвях, одного закона Ома недостаточно для решения этой проблемы. Мы должны использовать закон Кирхгофа.

Поскольку мы не знаем кумулятивного эффекта двух источников напряжения, мы не можем быть уверены в направлении тока в каждой ветви. Нам нужно будет сделать обоснованное предположение. Если это окажется неверным, ничего страшного & dash; результаты уравнения укажут на нашу ошибку.

Предположим, что ток I ₁ течет от отрицательного вывода источника напряжения V ₁ к резистору R ₁ , затем к узлу A . Точно так же ток I ₂ течет от отрицательного вывода источника напряжения V ₂ к резистору R ₂ , затем к узлу A . От узла A ток I ₃ протекает через резистор R ₃ , пока не достигнет узла B . Здесь ток делится и возвращается к двум источникам напряжения.

Использование действующего закона Кирхгофа

В схеме на фигуре 8 есть два основных узла, обозначенных A и B . В узле A два тока, I ₁ и I ₂ , входят, в то время как один ток, I ₃ , выходит из узла. Из текущего закона Кирхгофа мы выводим уравнение I 1 + I 2 - I 3 = 0 .

Аналогично, в узле B один ток, I ₃ , входит в узел, а два тока, I ₁ и I ₂ , уходят.Это дает нам: I 3 - I 1 - I 2 = 0 . Мы можем использовать любое уравнение, чтобы выразить взаимосвязь между I ₁ , I ₂ и I ₃ как I 3 = I 1 + I 2 . Мы будем называть это уравнение текущим уравнением для целей обсуждения.

Использование закона Кирхгофа о напряжении

Чтобы вывести уравнения для падения напряжения на каждом резисторе, нам нужно сначала определить несколько контуров.На рисунке 8 есть две внутренние петли плюс внешняя петля, которая повторяет окружность схемы. Оказывается, нам нужны только два уравнения цикла, поэтому мы проигнорируем этот внешний цикл.

Первый внутренний цикл выходит из V ₁ , перемещается через R ₁ к узлу A , затем через R ₃ к узлу B перед возвращением к V ₁ . Мы назовем этот цикл 1. Второй внутренний цикл покидает V ₂ , путешествуя через R ₂ к узлу A .Отсюда он перемещается через R ₃ к узлу B , а затем возвращается к V ₂ . Это будет контур 2. С этими контурами мы теперь можем использовать закон напряжения Кирхгофа, чтобы сформулировать уравнения для напряжений.

Чтобы сформулировать уравнение контура для контура 1, мы начинаем с узла B и перемещаемся по контуру в предполагаемом направлении потока тока I ₁ (по часовой стрелке). Наше уравнение принимает следующий вид:
V 1 - V R1 - V R3 = 0 .

Чтобы сформулировать уравнение контура 2, мы начинаем с узла B и перемещаемся против часовой стрелки (предполагаемое направление тока), что дает нам:
V 2 - V R2 - V R3 = 0 .

Следующий шаг — сформулировать уравнения падения напряжения:

V R1 = I 1 R 1
V R2 = I 2 60

2 R 2 = I 3 R 3

Теперь мы можем переписать уравнения контура, используя уравнения падения напряжения, известные значения компонентов и упрощение.Примечание: мы также можем использовать текущее уравнение ( I 3 = I 1 + I 2 ), сформулированное выше, чтобы заменить I 1 + I 2 на I 3 , исключив переменную. Мы также исключим символы вольт и ом для ясности.

Петля 1:

V 1 - V R1 - V R3 = 0
V 1 - I 1 R1 3 R 3 = 0
130-20 I 1 -10 I 3 = 0
13-2 I 1 - 908 = 0
13-2 I 1 - ( I 1 + I 2 ) = 0
3 I 1 90 I851 + = 13

Петля 2:

V 2 - V R2 - V R3 = 0
V 2 - I 2 907 907 907 907 907 907 3 R 3 = 0
20-5 I 2 -10 I 3 = 0
4- I 2 9085 I 907 - 2 908 = 0
4- I 2 - 2 ( I 1 + I 2 ) = 0
2 I 1 9085 I + 3 2 = 4

Теперь у нас есть решаемая задача, состоящая из двух упрощенных петлевых уравнений с двумя переменными.Вот почему нам не понадобилось упомянутое ранее уравнение внешнего цикла. Если вы помните свою алгебру, вы можете манипулировать одним или обоими уравнениями цикла, чтобы при их сложении одна переменная была исключена. Мы сделаем это более длинным путем, переписав уравнение цикла 1 для решения для I ₂ следующим образом:
I 2 = 13-3 I 1 .

Теперь замените это значение на I ₂ в уравнении цикла 2, чтобы получить:
2 I 1 + 3 (13-3 I 1 ) = 4
2 I 1 + 39-9 I 1 = 4
7 I 1 = 35
I 1 = 5 ампер

Зная I ₁ , теперь мы можем решить уравнение цикла 1 для I ₂ .
I 2 = 13 - 3 I 1 = 13 - 3 (5) = -2 А

Теперь, со значениями для I ₁ и I ₂ , мы можем использовать текущее уравнение, полученное выше, чтобы решить для I ₃ .
I 3 = I 1 + I 2 = 5 ампер + (-2) ампер = 3 ампер

Теперь мы знаем все токи ответвления, а как насчет этих падений напряжения?
В R1 = I 1 R 1 = 5 × 20 = 100 вольт
В R2 =48 I 2 =48 I 2 = -2 × 5 = -10 В
В R3 = I 3 R 3 = 3 × 10 = 30 В

Наконец, что насчет отрицательного тока для I ₂ и отрицательного напряжения для В _R2 ? Что ж, отрицательные знаки означают, что наше первоначальное предположение о направлении I ₂ было неверным.На самом деле ток идет в обратном направлении. Наше неверное предположение также привело к обратной полярности падения напряжения В, _{, R2,} , . Величины правильные, просто измените направление I ₂ , и вы получите окончательное решение!

Правила Кирхгофа и резисторы, включенные последовательно и параллельно

Электронные устройства содержат схемы, состоящие из многих элементов. Ток «течет» через элементы, и когда в цепи присутствует источник напряжения, на этих элементах будет разница напряжений.Для цепи постоянного тока (что означает, что ток не изменяется со временем), напряжение и ток в любом месте в цепи могут быть рассчитаны с использованием правил Кирхгофа.

Внутри цепи есть точки, которые мы будем называть «соединениями». Это точки, где встречаются три или более проводящих линий. Если мы думаем о токе, протекающем по цепи в определенном направлении, это места, где ток разделяется или объединяется с током из другой линии. Соединения также иногда называют «узлами» или «точками ветвления».

Правило соединения Кирхгофа — это то, как ток разделяется и объединяется в точках соединения в цепи с несколькими путями. Это следствие сохранения заряда. Сумма токов, протекающих через переход, равна сумме токов, протекающих из перехода. Другими словами, сумма всех токов в соединении должна быть равна нулю,

Любая полная цепь должна содержать одну или несколько «петель». Петли — это замкнутые токопроводящие дорожки. Ток не может протекать через проводник, не являющийся частью замкнутого контура.

Правило петли Кирхгофа определяет, как падает напряжение на любом участке цепи. Это следствие сохранения энергии. Сумма разностей потенциалов вокруг любого контура должна быть равна нулю,

Используя эти правила и формулу, связывающую напряжение, ток и сопротивление: V = IR, можно найти ток в любой точке цепи, и разность потенциалов на любом компоненте в цепи. Чтобы проанализировать схему, используйте два правила Кирхгофа, чтобы создать такое же количество уравнений, как и неизвестные переменные.Каждая сумма напряжений вокруг контура или сумма токов на переходе и на выходе представляет собой новое уравнение.

Последовательные и параллельные резисторы

Комбинации нескольких резисторов можно упростить, найдя эквивалентное сопротивление. Эквивалентное сопротивление — это величина одного резистора, который может заменить всю комбинацию. Эквивалентное сопротивление группы резисторов можно найти с помощью формул, выведенных с использованием правил Кирхгофа. Эти формулы могут упростить анализ схемы.Единицей измерения сопротивления является Ом, который обозначается греческой буквой Ω («омега»).

Когда несколько элементов схемы подключаются последовательно, через все они проходят единый путь тока, они подключаются последовательно. Полная разность потенциалов ряда резисторов равна сумме падений напряжения на каждом элементе. Если V ₁ , V ₂ и т. Д. — это падения напряжения на последовательно соединенных резисторах, а V — полное падение напряжения,

Ток через каждый из этих элементов одинаков, и поэтому используйте формула V = IR,

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно включенных резисторов равно сумме,

Эквивалентное сопротивление ряда последовательно соединенных резисторов равно сумме их отдельных сопротивления.

Когда несколько элементов схемы подключены в параллельные пути тока, так что напряжение на каждом из них одинаково, они подключаются параллельно. Согласно действующему правилу Кирхгофа, в соединении на одном конце параллельных путей ток в соединении должен быть равен току на выходе из соединения. Таким образом, общий ток разделяется между параллельными путями. Если I — это полный ток, а I ₁ , I ₂ и т. Д. — токи через отдельные пути,

Напряжение на каждом из этих элементов одинаково, поэтому используется формула V = IR,

Эквивалентное сопротивление ряда резисторов, включенных параллельно, можно найти с помощью обратной величины сопротивления 1 / R.Обратное эквивалентное сопротивление равно сумме обратных величин каждого сопротивления,

Измерение тока и напряжения

С помощью электрического устройства можно измерить ток или напряжение в различных частях цепи. Устройство известно как гальванометр Д’Арсонваля, хотя для простоты мы будем называть его просто «измерителем». Он состоит из катушки из тонкой проволоки, установленной на стержне, помещенной в магнитное поле и прикрепленной к пружине.Когда в катушке есть электрический ток, магнитное поле оказывает на катушку крутящий момент, и оно растягивает пружину. Возвратный момент пружины пропорционален току в катушке. Если катушка подчиняется закону Ома, ток пропорционален разности потенциалов (напряжению) между выводами катушки. В зависимости от конфигурации и калибровки измерителя его можно использовать для измерения тока, напряжения или сопротивления.

Измеритель, сконфигурированный для измерения тока, называется амперметром.Он измеряет ток, проходящий через него. Если он включен последовательно в ответвление цепи с другими компонентами схемы, он может измерять ток, проходящий через эту ветвь и компоненты. На принципиальных схемах амперметр может быть представлен в виде буквы «A» внутри круга, соединенной последовательно с другими компонентами.

Настоящие амперметры имеют небольшое внутреннее сопротивление, хотя чем ниже это внутреннее сопротивление, тем точнее будет амперметр. Если резистор подключен параллельно амперметру, амперметр можно использовать для измерения токов, которые в противном случае были бы за пределами шкалы.Этот резистор называется «шунтирующим резистором», и в коммерческих амперметрах может быть несколько, между которыми пользователь может переключаться, чтобы обеспечить диапазон шкал измерения.

Измеритель, сконфигурированный для измерения напряжения, называется вольтметром. Вольтметр измеряет разность потенциалов между любыми двумя точками цепи. Для этого он должен быть подключен между этими двумя точками параллельно любым элементам цепи между этими точками. Идеальный вольтметр не позволит току в цепи протекать через него, так как это изменит схему, которая измеряется.Это означает, что идеальный вольтметр должен иметь бесконечное сопротивление. Настоящие вольтметры должны иметь конечное сопротивление, хотя значение может быть очень большим, чтобы уменьшить ток, проходящий через измеритель. На принципиальных схемах вольтметр может быть представлен буквой «V» внутри круга параллельно другим компонентам.

Как решать сложные схемы с помощью…

Кирхгофа. .Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю. Другими словами, если вы посмотрите на любую петлю, которая идет полностью по всему периметру, любое увеличение напряжения по всей петле будет смещено с равным уменьшением напряжения. Визуально это можно увидеть на изображении ниже.

Используя эту концепцию, так же, как мы можем использовать узловой анализ с KCL, мы можем использовать анализ сетки из-за KVL. Хотя сетка — это, по сути, любой цикл в цепи, для анализа сетки нам нужно будет определить сетки, которые не охватывают никакие другие сетки.

Вы можете видеть, что если мы сделаем цикл вокруг «внешней части» всей схемы, технически это будет сетка, потому что цикл может быть завершен. Однако для анализа нам нужно разбить его на три разных сетки. Итак, давайте рассмотрим шаги, как решить схему с помощью анализа сетки, прежде чем переходить к нескольким примерам.

Есть 5 шагов, которые мы рекомендуем, и, как мы делали с шагами KCL / узлового анализа, два шага — успокоиться и отступить, убедившись, что все интуитивно понятно.

1. Не торопитесь, подышите и оцените проблему. Запишите, какая информация вам была предоставлена, и какие у вас есть интуитивные идеи.
2. Назначьте токи сетки всем сеткам. Каждой сетке должен быть назначен один ток. Вам нужно выбрать, в каком направлении течет ваш ток — это наполовину произвольно, потому что, пока вы правильно рассчитываете, это не имеет значения. Но в большинстве случаев люди принимают направление тока по часовой стрелке.
3. Примените KVL к каждой из ячеек, используя закон Ома, чтобы показать напряжения в единицах тока.
4. Решите одновременные уравнения (как мы это делали с KCL), чтобы найти фактические значения.
5. Проверка работоспособности. Найдите минутку, чтобы проанализировать, что вы сделали, и посмотрите, имеют ли цифры смысл и внутренне согласованы.

Сейчас мы рассмотрим несколько примеров, и, честно говоря, после этих примеров единственными реальными дополнениями и изменениями будут сложности, которые усложняют математические вычисления. Концептуально задачи не должны становиться намного сложнее, но математика может стать значительно сложнее.Пожалуйста, не теряйтесь в математике. Если числа начинают терять свои числа, не забудьте выпустить воздух и вспомнить, что вы делаете и что пытаетесь сделать.

Пример 1

Простой пример — 1 сетка.

Начнем здесь! Это простая схема, настолько простая, что мы можем решить эту проблему с помощью уже известных инструментов. Но я хочу начать с простого, чтобы мы могли сосредоточиться на концепциях и шагах. Итак, давай сделаем это.

Шаг 1. Подведем итоги схемы.Очевидно, у него только одна петля, и у нас есть источник напряжения и два резистора. Нам даны значения источника напряжения и обоих резисторов, поэтому все, что нам нужно, это узнать ток в контуре и падение напряжения на резисторах. И как только мы находим одно, мы можем быстро использовать закон Ома, чтобы получить другое. Это будет легко.

Шаг 2: На шаге 1 мы уже заметили, что будет только одна сетка, поэтому давайте нарисуем нашу текущую сетку, зададим ей направление и дадим имя.Мы пойдем по часовой стрелке и назовем его i ₁ . Я обычно небрежен и не различаю i ₁ и I ₁ , но в этом случае мы будем использовать строчную букву «i». Это будет важно в следующих примерах. И мы знаем, что, поскольку у нас есть одна сетка, будет только одно уравнение.

Шаг 3. Давайте создадим наши уравнения на основе KVL. Это первый шаг, требующий математических вычислений. Итак, с помощью KVL давайте разберемся с нашим уравнением.

Есть два взгляда на это, которые могут вызвать неописуемую путаницу.Я объясню различия, и если вы будете последовательны в каждом уравнении (даже не обязательно в каждой проблеме, но, черт возьми, зачем вам без надобности запутывать себя?), Тогда все будет хорошо.

В первом варианте, когда мы обходим контур, мы видим, что мы увеличиваем на 5 В на источнике напряжения, а затем падаем на R ₁ и R ₂ , давая нам наши положительные 5 вольт, а затем наши два негативы. Для меня это более интуитивно понятно, потому что вы повышаете напряжение на источнике напряжения так, как мы определили поток тока, и вы понижаете напряжение на резисторах по мере прохождения через них тока.Однако очень часто люди изучают его вторым способом.

Во втором варианте вы просто используете знак напряжения на той стороне вашей ветви, в которую входит ток. В случае источника напряжения, поскольку мы движемся по часовой стрелке, ток сначала видит отрицательный знак, так что это минус. По мере того, как напряжение на резисторах падает с положительного на отрицательный, ток сначала видит положительный знак на резисторах, поэтому вы добавляете их. Если это для вас более интуитивно понятно — воспользуйтесь! Ни один из этих вариантов не является неправильным, вы видите, что вы получаете те же уравнения (просто умножьте обе стороны на -1), но убедитесь, что вы согласны с каждым уравнением.Пожалуйста.

Шаг 4: Поскольку неизвестных нет, мы можем просто подставить значения для R ₁ и R ₂ и узнать, что такое i ₁ .

А теперь мы можем найти напряжения на R ₁ и R ₂ .

Шаг 5: Проверка работоспособности! Обратите внимание, что V ₁ + V ₂ в основном равно 5V (ошибки округления!), Что означает, что напряжение, которое падает на двух резисторах, совпадает с увеличением напряжения от источника напряжения.

Давайте немного усложним ситуацию.

Пример 2

Шаг 1: Что мы здесь имеем? Похоже, у нас есть две сетки, которые имеют общий резистор посередине, R ₃ . Опять же, у нас есть все значения источников напряжения и резисторов, поэтому мы должны иметь возможность получить фактические значения для тока и напряжения через эти резисторы. Даже без каких-либо значений мы могли бы провести анализ и показать взаимосвязи, но мне немного приятнее прийти к числовому ответу.Нам действительно нужно знать, как обращаться с R ₃ , но мы позаботимся об этом на шаге 3.

Шаг 2: Давайте определим сетки. Мы заставим обе токовые петли течь по часовой стрелке и назовем левую i ₁ , а правую i ₂ . Обратите внимание, что это все еще строчные буквы. И на этот раз это имеет значение, потому что у нас также есть ток через резистор R ₁ , который равен I ₁ (обратите внимание на букву «I» с большой буквы), ток через резистор R ₂ , то есть I ₂ , а затем через R ₃ , то есть I ₃ .Заглавные буквы — это то, как различать токи сетки (i ₁ и i ₂ ) и токи ответвления (I ₁ , I ₂ и I ₃ ).

Шаг 3: Создайте уравнения для сеток. Это будет довольно просто, но нам нужно знать, что делать с напряжением на R ₃ . Давайте на самом деле составим уравнение для i ₁ , а затем немного поговорим о нем.

Итак, глядя на это уравнение, вы, вероятно, задаетесь вопросом, почему в нашем уравнении для тока сетки i ₁ есть i ₂ .Помните, что каждая секция относится к напряжению. Мы увеличиваем на 10В, что несложно. Мы понижаем напряжение на R ₁ , которое равно i ₁ * R ₂ , все еще довольно просто. Но падение напряжения на R ₃ — это величина тока, текущего вниз, как i ₁ , минус величина тока, текущего вверх, как i ₂ , умноженная на R ₃ .

В нашем направлении по часовой стрелке мы заявили, что i ₂ течет вверх по через R ₃ .Очевидно, что на самом деле ток течет только в одну сторону, но мы не знаем, в какую сторону прямо сейчас, и математически мы сказали, что есть оба тока, протекающие через R ₃ , поскольку i ₁ и текущие через R ₃ как i ₂ . Уловка здесь в том, что если бы мы определили i ₂ в противоположном (против часовой стрелки) направлении, нам пришлось бы добавить к току i ₂ к i ₁ , чтобы вычислить падение напряжения на R ₃ .

Итак, сделайте паузу, остановитесь на секунду, убедитесь, что вы понимаете, почему мы создали уравнение, которое мы сделали для тока первой сетки. Затем посмотрите, что вы получите для второго тока сетки, прежде чем проверять, что мы получим. Однако вам придется контролировать свои глаза, потому что ответ находится прямо под этим текстом.

Это то, что у вас есть? Помните, что с нашим определением, что ток течет по часовой стрелке, напряжение падает, когда мы идем от земли через R ₃ , и все еще падает, когда мы идем через R ₂ , прежде чем подойти к источнику напряжения, который, поскольку мы Определив это направление по часовой стрелке, мы получаем отрицательные 5 вольт.Именно здесь невероятно важно понимать, что происходит интуитивно — если вы слишком увязнетесь в математике, не зная, что происходит, вы будете составлять и решать неправильные уравнения! Поверьте мне — я говорю на основе очень болезненного опыта.

Итак, теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные. Мы можем либо решить эту проблему с помощью подстановки, либо подготовившись к некоторой линейной алгебре. Сделаем замену.

Введите значения резисторов.

Упростим первое уравнение.

Перед заменой i ₁ немного упростите второе уравнение.

Пример 3 (Суперсетки)

С KCL, если бы у нас был источник напряжения, который не был напрямую подключен к опорной земле, мы бы создали суперузел, а затем, как часть процесса, нам нужно было бы сделать немного КВЛ, чтобы закончить анализ. С KVL, если у нас есть текущий источник, который используется двумя сетками, мы должны относиться к нему аналогичным образом. Мы избавляемся от текущего источника и всего, что связано с ним последовательно.Затем мы рассматриваем оставшуюся часть как одну большую суперсетку.

После создания этой сетки мы создаем уравнение для ее описания. В этом случае мы получаем:

Теперь у нас есть уравнение для суперсетки, но у нас есть два неизвестных и только одно уравнение. Итак, давайте снова подключим источник тока к любым элементам, которые были последовательно с ним, и проведем KCL в узле, где они подключаются к большей цепи. Как только это будет сделано, мы используем KCL в этом узле, чтобы создать второе уравнение.

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестные! Давайте представим это в формате, необходимом для выполнения некоторой линейной алгебры, и посмотрим, что у нас получится.

Итак, наши два уравнения:

Которые мы помещаем в программу решения линейных уравнений, чтобы получить:

Поскольку я склонен к математическим ошибкам, я предпочитаю метод линейных уравнений, поскольку он обычно быстрее и менее вероятно, что я ошибаюсь. вверх это. В случае супер-сетки это не обычная проблема, поскольку, если вы не имеете дело с транзисторами или схемой уровня CMOS, источники тока не очень типичны. Однако это хороший инструмент на случай, если он возникнет, и поможет нам лучше понять взаимосвязь между физическими схемами и математическими представлениями.

Резюме

Это наш краткий обзор закона напряжения Кирхгофа и того, как он приводит к анализу сетки. Вы заметите, что иногда мы использовали анализ сетки и KVL как синонимы. Хотя технически это не то же самое, очень часто можно услышать, как их используют таким образом. В зависимости от того, где вы находитесь и с кем учились, вы можете обнаружить некоторые другие различия в подходах, соглашениях об именах и даже в предположениях относительно направления. Однако, несмотря на эти внешние различия, весь анализ сетки сводится к нахождению напряжения на различных элементах сетки.Если вы последовательны и хорошо понимаете, что делаете, вы сможете получить ответ, который ищете.

Руководство для начинающих по законам Кирхгофа

В этом руководстве мы узнаем о законах Кирхгофа. Закон Кирхгофа или KCL и Закон напряжения Кирхгофа или KVL — два очень важных математических равенства в анализе электрических цепей.

Введение

Многие электрические схемы имеют сложную природу, и вычисления, необходимые для нахождения неизвестных величин в таких схемах, с использованием простого закона Ома и методов упрощения последовательной / параллельной комбинации невозможны.Поэтому для упрощения этих схем используются законы Кирхгофа.

Эти законы являются фундаментальными аналитическими инструментами, которые используются для нахождения решений для напряжений и токов в электрической цепи, будь то переменный или постоянный ток. Элементы в электрической цепи соединяются множеством возможных способов, поэтому для определения параметров в электрической цепи эти законы очень полезны.

Прежде чем узнать больше о законе Кирхгофа, мы должны рассмотреть некоторые термины, относящиеся к электрическим цепям.

Узел : Узел или соединение — это точка в цепи, в которой соединены два или более электрических элемента. Это определяет уровень напряжения с опорным узлом в цепи.

Ветвь : Непрерывный проводящий путь между двумя соединениями, который содержит электрический элемент в цепи, называется ветвью.

Петля : В электрической цепи петля — это независимый замкнутый путь в цепи, который следует за последовательностью ветвей таким образом, что он должен начинаться и заканчиваться одним и тем же узлом и не должен касаться какого-либо другого соединения или узла. больше чем единожды.

Сетка: Сетка в электрической цепи — это петля, не содержащая никаких других петель внутри.

Вернуться к началу

Законы Кирхгофа

В 1847 году немецкий физик Густав Роберт Кирхгоф разработал эти законы для описания зависимости напряжения и тока в электрической цепи. Это следующие законы: закон Кирхгофа по напряжению (KVL) и закон Кирхгофа по току (KCL).

Вернуться к началу

Текущий закон Кирхгофа (KCL)

Это также называется законом сохранения заряда, потому что заряд или ток не могут быть созданы или разрушены на стыке или узле.Он утверждает, что алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Таким образом, ток, поступающий в узел, должен быть равен сумме тока, выходящего из узла.

На приведенном выше рисунке токи I1 и I2 входят в узел, а токи I3 и I4 уходят из узла. Применяя KCL в узле, предположим, что входящие токи положительны, а выходящие токи отрицательны, мы можем записать как

I1 + I2 + (-I3) + (-I4) = 0
I1 + I2 = I3 + I4

В начало

Пример проблемы KCL

Рассмотрим рисунок ниже, на котором мы должны определить токи IAB _, и Ix с помощью KCL.

Применяя закон Кирхгофа в точке A, мы получаем

IAB = 0,5 — 0,3

IAB = 0,2 ампер

Аналогичным образом, применяя KCL в точке B, мы получаем

IAB = 0,1 + Ix

0,2 = 0,1 + Ix

Ix = 0,2 — 0,1 = 0,1 А

Вернуться к началу

Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

Закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т.е. сумма напряжений источника равна сумме падений напряжения в цепи.Если ток течет от более высокого потенциала к более низкому в элементе, мы рассматриваем это как падение напряжения.

Если ток течет от более низкого потенциала к более высокому, мы рассматриваем это как повышение напряжения. Таким образом, энергия, рассеиваемая током, должна быть равна энергии, отдаваемой источником питания в электрической цепи.

Рассмотрим схему выше, в которой направление тока берется по часовой стрелке. Различные падения напряжения в приведенной выше схеме: V1 — положительное, IR1 — отрицательное (падение напряжения), IR2 — отрицательное (падение напряжения), V2 — отрицательное, IR3 — отрицательное (падение напряжения), IR4 — отрицательное (падение напряжения). , V3 положительный, IR5 отрицательный и V4 отрицательный.Применяя KVL, получаем

V1 + (-IR1) + (-IR2) + (-V2) + (-IR3) + (-IR4) + V3 + (-IR5) + (-V4) = 0

V1 — IR1 — IR2 — V2 — IR3 — IR4 + V3 — IR5 — V4 = 0

V1 — V2 + V3 — V4 = IR1 + IR2 + IR3 + IR4 + IR5

Следовательно, KVL также известен как закон сохранения. электрической энергии, потому что сумма падений напряжения (произведение сопротивления и тока) равна сумме источников напряжения в замкнутом пути.

В начало

Пример закона Кирхгофа по напряжению

1.Давайте рассмотрим одноконтурную схему, показанную ниже, и примем направление потока тока как замкнутый путь DEABCD. В этой схеме, используя KVL, мы должны найти напряжение V1.

Применяя KVL к этому замкнутому контуру, мы можем записать как

VED + VAE + VBA + VCB + VDC = 0

Где

Напряжение точки E относительно точки D, VED = -50 В

Напряжение точки D относительно точки C, В = -50 В

Напряжение точки A относительно точки E.VAE = I * R

VAE = 500 м * 200

VAE = 100 V

Аналогично Напряжение в точке C относительно контакта B, VCB = 350 м * 100

VCB = 35V

Рассмотрим напряжение в точке A с учетом в точку B, VAB = V1

VBA = -V1

Затем, используя KVL

-50 + 100 — V1 + 35-50 = 0

V1 = 35 Вольт

2. Рассмотрим нижеприведенную типичную двухконтурную схему где нам нужно найти токи I1 и I2, применяя законы Кирхгофа.

Внутри схемы есть два контура, и рассмотрите пути контура, как показано на рисунке.

Применяя KVL к этим циклам, мы получаем

Для первого цикла

2 (I1 + I2) + 4I1 — 28 = 0

6I1 + 2I2 = 28 ——— (1)

Для второй цикл,

-2 (I1 + I2) — 1I2 + 7 = 0
-2I1 — 3I2 = -7 ——– (2)

Решая приведенные выше уравнения 1 и 2, мы получаем

I1 = 5A и I2 = -1 A

В начало

Пример проблемы с законами Кирхгофа

Теперь давайте воспользуемся законами Кирхгофа по току и напряжению, чтобы найти падение тока и напряжения в приведенной ниже схеме.Подобно описанной выше задаче, эта схема также содержит два контура и два соединения. Учитывайте текущее направление, указанное на рисунке.

Применим закон Кирхгофа по току на обоих переходах, тогда мы получим

На переходе 1 I = I1 + I2

На переходе 2 I1 + I2 = I

Применим закон напряжения Кирхгофа к обоим контурам, затем мы получить

В первом цикле

1,5 В — 100 I1 = 0

I1 = 1,5 / 100

= 0,015 А

Во втором цикле

100 (I1- I2) — 9 В — 200I2 = 0

100I1 — 300I2 = 9

Подставив значение I1 в приведенное выше уравнение, тогда

1.5 — 300I2 = 9

— 300I2 = 7,5

I2 = -0,025

Тогда ток на переходе I = I1 + I2

I = 0,015 — 0,025

I = — 0,01

К началу

Применение законов Кирхгофа

• Используя эти законы, мы можем найти неизвестные сопротивления, напряжения и токи (как направление, так и значение).
• В методе ответвлений определение токов через каждую ветвь, переносимых путем применения KCL на каждом переходе и KVL в каждом контуре цепи.
• В методе тока контура определение тока через каждый независимый контур осуществляется путем применения KVL для каждого контура и подсчета всех токов в любом элементе контура.
• Используется в узловом методе определения напряжений и токов.
• Эти законы можно применить для анализа любой схемы, независимо от ее состава и структуры.

Вернуться к началу

Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа были опубликованы в 1845 году немецким физиком Густавом Кирхгофом.Когда законы Кирхгофа сочетаются с законом Ома, мы можем рассчитывать напряжение и ток для сложных цепей.

Электрический потенциал в цепях

Электрический потенциал примерно представляет собой концентрацию энергии в цепи. Потенциал быстро распространяется до однородного значения по непрерывному участку провода. Это похоже на то, как вода в чашке остается на той же высоте, потому что она распространяется против силы тяжести.

Разница в электрическом потенциале называется напряжением.

Электрический потенциал постоянен, пока не достигнет элемента схемы.
На резисторе падает потенциал, поэтому напряжение отрицательное.
В аккумуляторе потенциал увеличивается, поэтому напряжение положительное.

Напряжение означает разность потенциалов.Они одинаковые.

Потенциал подскакивает от 0 до 1,5 В. Аккумулятор добавляет в цепь 1,5 вольта.

Ток направлен влево, потому что потенциал падает справа налево, а резисторы всегда уменьшают напряжение.

Течение направлено влево. Ток — это поток заряда, а заряд перетекает от высокого потенциала к низкому.

Резистор 100 Ом имеет наибольший ток

Все три цепи имеют одинаковое напряжение, поэтому единственная разница заключается в сопротивлении.Сопротивление затрудняет прохождение тока. Самый низкий резистор будет иметь самый высокий ток.

Вычтите потенциал до и после каждого элемента, чтобы найти разность потенциалов на каждом элементе.

Вы могли заметить, что общее напряжение для любого пути, по которому может пройти ток, в сумме равно нулю. Это важный принцип.

Закон Кирхгофа: напряжение

Если возможно, чтобы ток проходил по цепи через контур, полное изменение потенциала равно нулю.В противном случае потенциал продолжал бы расти.

Для любого замкнутого контура сумма всех напряжений равна нулю.

Закон Кирхгофа о напряжении является следствием сохранения энергии. Напряжение — это электрическая потенциальная энергия на заряд. По мере прохождения тока по цепи общая энергия не меняется.

Суммарное напряжение для любого контура должно быть равно нулю.

Все элементы в серии имеют одинаковый ток

Только одно падение 3,4 В в каждом шлейфе.

Закон Кирхгофа: действующий

Текущий закон Кирхгофа верен, потому что заряд сохраняется. Общий заряд не может увеличиваться или уменьшаться.

В любой точке цепи общий входящий заряд равен общему выходящему заряду.

Участки цепи, которые не разветвляются, будут иметь одинаковый ток повсюду.

Полный ток, входящий в часть цепи, должен равняться полному току на выходе.Если цепь не разветвляется, она будет иметь одинаковый ток во всех точках. Ток не меняется на резисторах и батареях.

нет необходимости преобразовывать единицы только для сложения и вычитания

серии

Электрические компоненты относятся к серии и , ​​когда они соединены одним путем, так что весь заряд проходит через одни и те же компоненты.

Общее эквивалентное сопротивление резисторов в серии — это сумма резисторов.

Параллельные резисторы

Электрические компоненты находятся в параллели , ​​когда путь разветвляется, и заряды идут разными путями.Уравнение для параллельной замены резисторов немного сложнее.

Значение, обратное полному эквивалентному сопротивлению для параллельных резисторов, равно сумме обратных сопротивлений каждого сопротивления.

$$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3} } + \ cdots $$

Пример: Какое эквивалентное сопротивление для пяти резисторов по 100 Ом, включенных параллельно друг другу? решение $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3}} + \ frac {1} {R_ {4}} + \ frac {1} {R_ {5}} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {5} {100} $$ $$ R_ {eq} = \ frac {100} {5} $$ $$ R_ {eq} = 20 \, \ Omega $$

Решение сложных схем

Как решить схему с последовательными и параллельными элементами? Один из способов — упростить схему путем последовательной или параллельной замены резисторов одним эквивалентным резистором.

Мы можем начать с объединения двух параллельных резисторов.{-1} $$ $$ R_ {eq} = 420 \, \ Omega $$ 6.0 VR1600 ΩReq420 ΩR4500 Ω

Затем мы можем объединить 3 резистора последовательно.

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что полное положительное напряжение должно равняться отрицательному. Это говорит о том, что падение напряжения на резисторе такое же, как и на батарее.

Мы можем найти ток через резистор с помощью закона Ома.

Этот ток может быть приложен к любому элементу схемы последовательно с Req. Если мы расширим схему до состояния, когда все они были включены последовательно, мы узнаем ток для всех резисторов.

Мы можем использовать закон Ома, чтобы найти напряжения.

$$ V = IR_1 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (600 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.3 \, \ mathrm {V} $$

$$ V = IR_4 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (500 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.0 \, \ mathrm {V} $$

Параллельно подключенные резисторы имеют одинаковое напряжение, но не одинаковый ток.Давайте вернемся к нашей полноразмерной схеме и введем напряжение.

Мы можем использовать закон Ома для R2 и R3, чтобы найти ток.

$$ I = \ frac {V} {R_2} $$ $$ I = \ frac {1.7} {800} $$ $$ I = 0,0021 \, \ mathrm {A} $$

$$ I = \ frac {V} {R_3} $$ $$ I = \ frac {1.7} {900} $$ $$ I = 0,0019 \, \ mathrm {A} $$

Мы можем рассчитать мощность, рассеиваемую каждым элементом.

$$ \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,3) $$ $$ P = 0,0090 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R4)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,0) $$ $$ P = 0,0078 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R2)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0021) (1,7) $$ $$ P = 0,0036 \, \ mathrm {W} $$

$$ \ text {\ color {# f06} {(R3)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0.0019) (1.7) $$ $$ P = 0,0032 \, \ mathrm {W} $$

Это была долгая проблема. Проверим нашу работу. Суммарное напряжение должно равняться нулю, если считать резисторы, включенные параллельно, за единицу.

Мощность от аккумулятора должна равняться сумме мощности, потерянной в резисторах.

Выглядит хорошо!

Замените три резистора параллельно одним эквивалентным резистором. Эквивалентный резистор будет иметь то же напряжение, что и все резисторы, включенные параллельно, из-за закона Кирхгофа для напряжения.

Используйте закон Ома, чтобы найти ток через эквивалентный резистор. Это будет тот же ток, который протекает через резистор 30 кОм. Тогда мы сможем найти напряжение на этом резисторе по закону Ома.

Напряжение батареи равно сумме напряжений на каждом резисторе из-за закона напряжения Кирхгофа.

Напряжение одинаково параллельно. Эквивалентное сопротивление составляет 3,0 В, потому что резистор 80 кОм имеет 3,0 В.

$$ V = I R _ {\ mathrm {eq}} $$ $$ I = \ frac {V} {R _ {\ mathrm {eq}}} $$ $$ I = \ frac {3.0 \, \ mathrm {A}} {28 \, 800 \, \ Omega} $$ $$ I = 0.