Постоянная времени RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U — напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = — t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e^-t/RC * e^Const.
Решение примет вид:

U = e^-t/RC * Const.

Здесь Const — константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e^-t/RC.

Экспонента — функция exp(x) = e^x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…

---

Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U, в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U_C и определится выражением:

Тогда напряжение U_C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U_C = U(1 — e^-t/RC)

При t = RC, напряжение на конденсаторе составит U_C = U(1 — e^-1) = U(1 — 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 — 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 — 1/e

3)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 — 1/e⁵)*100% ≈ 99% значения U.

---

Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R, тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U_C = Ue^-t/τ = U/e^t/τ.

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e³)*100% ≈ 5% от значения

U.
За время 5τ до (1/e⁵)*100% ≈ 1% значения U.

Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.

---

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

16.6. Зарядка конденсатора через резистор

Рассмотрим расчётную схему последовательного соединения активного со­противления и ёмкости, которые подключаются к источнику постоянной э.д.с. (рис.16.8).

Найдём закон изменения напряжения на ёмкости в послекоммутационный период. Запишем для расчётной схемы уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

(16.40)

Учитывая, что напряжение на активном сопротивлении

,

(16.41)

где τ = rC – постоянная времени цепи, с

,

то получим дифференциальное уравнение:

.

(16.42)

Переходное напряжение на конденсаторе

.

(16.43)

Находим свободное напряжение на конденсаторе:

Принуждённое напряжение на конденсаторе

.

(16.45)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

.

(16.46)

Находим постоянную интегрирования из начальных условий: в момент ком­мутации согласно второму закона коммутации напряжение на конденсаторе равно нулю, т.е. при

t = 0 u_C (0) = 0, таким образом, уравнение (16.46) для этого момента времени запишется так:

,

откуда

;
.	(16.47)

Покажем это на графике (рис.16.9).

Переходный ток в цепи

.

(16.48)

Из уравнения (16.48) видно, что в момент коммутации ток изменяется скач­ком от нуля до значения

и затем постепенно уменьшается.

Переходное напряжение на активном сопротивлении

.

(16.49)

Так же как и ток, напряжение на активном сопротивлении тоже изменяется скачком от нуля до значения Е, а затем постепенно уменьшается.

Рассмотрим энергетическую сторону процесса зарядки конденсатора. Энер­гия, которая поступает от источника

ли

,

т.е.

.

(16.50)

Таким образом, при любых значениях

r и С половина энергии, полученной от источника за время переходного периода, перейдёт в теплоту на активном сопро­тивлении, а вторая половина накопится в электрическом поле конденсатора.

16.7. Разрядка конденсатора через резистор

Пусть теперь конденсатор, заряженный до напряжения Е, в момент коммута­ции замыкается на активное сопротивление (рис.16.10). Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе в послекоммутационный период.

Для послекоммутационной цепи справедливы уравнения:

;
,

или

;
.	(16.51)

В данном случае переходное напряжение на конденсаторе не имеет принуж­дённой составляющей, т.е.

, поскольку .

Поэтому получим:

Найдём постоянную интегрирования из начальных условий: в момент ком­мутации по второму закону коммутации напряжение на конденсаторе равноЕ, т.е. при t = 0 u_C(0) = Е и тогда уравнение (16.52) запишется так:

,

в результате получим (рис.16.11):

.

(16.53)

Найдём ток в цепи:

.

(16.54)

Напряжение на активном сопротивлении

.

(16.55)

С энергетической точки зрения процесс разрядки конденсатора характеризу­ется переходом энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора, в теп­лоту:

.

(16.56)

как узнать время разрядки конденсатора?

Если конденсатор разряжается через резистор, то постоянная заряда — R*C, где R — сопротивление резистора (омы) , а C — ёмкость конденсатора (фарады, НЕ МИКРОфарады! НЕ ПИКО фарады! Именно просто фарады. Если конденсатор 10пФ, то в формулу подставляем 0,00000000001, если 4,7 мкФ — 0,0000047 и т. д.) . Результат получаем в секундах. За это время напряжение на конденсаторе уменьшается в e раз (примерно 2,7 раза) . Для полной разрядки (чтобы напрядение упало в десятки раз) нужно чтобы прошло три постоянные разряда, т. е. 3*R*C секунд.

Чисто математически оно бесконечно, если Вы, конечно, имеете ввиду разряд конденсатора на нагрузку. Заряд от времени там убывает по экспоненте (извините неохота вспоминать, а думать — тем более) . А вот если речь идет о колебательном контуре, то время разрядки конденсатора в нем равно четверти периода, который равен 2*пи*корень (емкость*индуктивность).

В бытовой технике (для простоты будем вести речь о фильтровых конденсаторах в цепях питания ) они почти всегда остаются подключенными к тем цепям, которые они питают совместно с выпрямителями. В 99 случаях из 100 они через 25 — 30 сек. разряжаются до безопасного (40-50В) напряжения. Другое дело, когда после выключения аппаратуры конд. отцепляются. Саморазряд у хор. конд. небольшой, т. е сопротивление изоляции диэлектрика, через что может разрядиться конд. очень велико, тогда время разрядки измеряется часами.

Конденсатор

Конденсатор – электронный компонент, предназначенный для накопления электрического заряда. Способность конденсатора накапливать электрический заряд зависит от его главной характеристики – емкости. Емкость конденсатора (С) определяется как соотношение количества электрического заряда (Q) к напряжению (U).

Емкость конденсатора измеряется в фарадах (F) – единицах, названых в честь британского ученого физика Майкла Фарадея. Емкость в один фарад (1F) равняется количеству заряда в один кулон (1C), создающему напряжение на конденсаторе в один вольт (1V). Вспомним, что один кулон (1С) равняется величине заряда, прошедшего через проводник за одну секунду (1sec) при силе тока в один ампер (1A).

Однако кулон, это очень большое количество заряда относительно того, сколько способно хранить большинство конденсаторов. По этой причине, для измерения емкости обычно используют микрофарады (µF или uF), нанофарады (nF) и пикофарады (pF).

• 1nF = 0.000000001 = 10^-9 F

• 1pF = 0.000000000001 = 10^-12 F

Плоский конденсатор

Существует множество типов конденсаторов различной формы и внутреннего устройства. Рассмотрим самый простой и принципиальный — плоский конденсатор. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин проводника (обкладок), электрически изолированных друг от друга воздухом, или специальным диэлектрическим материалом (например бумага, стекло или слюда).

Заряд конденсатора. Ток

По своему предназначению конденсатор напоминает батарейку, однако все же он сильно отличается по принципу работы, максимальной емкости, а также скорости зарядки/разрядки.

Рассмотрим принцип работы плоского конденсатора. Если подключить к нему источник питания, на одной пластине проводника начнут собираться отрицательно заряженные частицы в виде электронов, на другой – положительно заряженные частицы в виде ионов. Поскольку между обкладками находиться диэлектрик, заряженные частицы не могут «перескочить» на противоположную сторону конденсатора. Тем не менее, электроны передвигаются от источника питания — до пластины конденсатора. Поэтому в цепи идет электрический ток.

В самом начале включения конденсатора в цепь, на его обкладках больше всего свободного места. Следовательно, начальный ток в этот момент встречает меньше всего сопротивления и является максимальным. По мере заполнения конденсатора заряженными частицами ток постепенно падает, пока не закончится свободное место на обкладках и ток совсем не прекратится.

Время между состояниями «пустого» конденсатора с максимальным значением тока, и «полного» конденсатора с минимальным значением тока (т.е. его отсутствием), называют переходным периодом заряда конденсатора.

Заряд конденсатора. Напряжение

В самом начале переходного периода зарядки, напряжение между обкладками конденсатора равняется нулю. Как только на обкладках начинают появляться заряженные частицы, между разноименными зарядами возникает напряжение. Причиной этому является диэлектрик между пластинами, который «мешает» стремящимся друг к другу зарядам с противоположным знаком перейти на другую сторону конденсатора.

На начальном этапе зарядки, напряжение быстро растет, потому что большой ток очень быстро увеличивает количество заряженных частиц на обкладках. Чем больше заряжается конденсатор, тем меньше ток, и тeм медленнее растет напряжение. В конце переходного периода, напряжение на конденсаторе полностью прекратит рост, и будет равняться напряжению на источнике питания.

Как видно на графике, сила тока конденсатора напрямую зависит от изменения напряжения.

Формула для нахождения тока конденсатора во время переходного периода:

• Ic — ток конденсатора

• C — Емкость конденсатора

• ΔVc/Δt – Изменение напряжения на конденсаторе за отрезок времени

Разряд конденсатора

После того как конденсатор зарядился, отключим источник питания и подключим нагрузку R. Так как конденсатор уже заряжен, он сам превратился в источник питания. Нагрузка R образовала проход между пластинами. Отрицательно заряженные электроны, накопленные на одной пластине, согласно силе притяжения между разноименными зарядами, двинутся в сторону положительно заряженных ионов на другой пластине.

В момент подключения R, напряжение на конденсаторе то же, что и после окончания переходного периода зарядки. Начальный ток по закону Ома будет равняться напряжению на обкладках, разделенном на сопротивление нагрузки.

Как только в цепи пойдет ток, конденсатор начнет разряжаться. По мере потери заряда, напряжение начнет падать. Следовательно, ток тоже упадет. По мере понижения значений напряжения и тока, будет снижаться их скорость падения.

Время зарядки и разрядки конденсатора зависит от двух параметров – емкости конденсатора C и общего сопротивления в цепи R. Чем больше емкость конденсатора, тем большее количество заряда должно пройти по цепи, и тем больше времени потребует процесс зарядки/разрядки ( ток определяется как количество заряда, прошедшего по проводнику за единицу времени). Чем больше сопротивление R, тем меньше ток. Соответственно, больше времени потребуется на зарядку.

Продукт RC (сопротивление, умноженное на емкость) формирует временную константу τ (тау). За один τ конденсатор заряжается или разряжается на 63%. За пять τ конденсатор заряжается или разряжается полностью.

Для наглядности подставим значения: конденсатор емкостью в 20 микрофарад, сопротивление в 1 килоом и источник питания в 10В. Процесс заряда будет выглядеть следующим образом:

Устройство конденсатора. От чего зависит емкость?

Емкость плоского конденсатора зависит от трех основных факторов:

• Площадь пластин — A

• Расстояние между пластинами – d

• Относительная диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами — ɛ

Площадь пластин

Чем больше площадь пластин конденсатора, тем больше заряженых частиц могут на них разместится, и тем больше емкость.

Расстояние между пластинами

Емкость конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между пластинами. Для того чтобы объяснить природу влияния этого фактора, необходимо вспомнить механику взаимодействия зарядов в пространстве (электростатику).

Если конденсатор не находится в электрической цепи, то на заряженные частицы, расположенные на его пластинах влияют две силы. Первая — это сила отталкивания между одноименными зарядами соседних частиц на одной пластине. Вторая – это сила притяжения разноименных зарядов между частицами, находящимися на противоположных пластинах. Получается, что чем ближе друг к другу находятся пластины, тем больше суммарная сила притяжения зарядов с противоположным знаком, и тем больше заряда может разместится на одной пластине.

Относительная диэлектрическая проницаемость

Не менее значимым фактором, влияющим на емкость конденсатора, является такое свойство материала между обкладками как относительная диэлектрическая проницаемость ɛ. Это безразмерная физическая величина, которая показывает во сколько раз сила взаимодействия двух свободных зарядов в диэлектрике меньше, чем в вакууме.

Материалы с более высокой диэлектрической проницаемостью позволяют обеспечить большую емкость. Объясняется это эффектом поляризации – смещением электронов атомов диэлектрика в сторону положительно заряженной пластины конденсатора.

Поляризация создает внутренне электрическое поле диэлектрика, которое ослабляет общую разность потенциала (напряжения) конденсатора. Напряжение U препятствует притоку заряда Q на конденсатор. Следовательно, понижение напряжения способствует размещению на конденсаторе большего количества электрического заряда.

Ниже приведены примеры значений диэлектрической проницаемости для некоторых изоляционных материалов, используемых в конденсаторах.

• Бумага – от 2.5 до 3.5

• Стекло – от 3 до 10

• Слюда – от 5 до 7

• Порошки оксидов металлов – от 6 до 20

Номинальное напряжение

Второй по значимости характеристикой после емкости является максимальное номинальное напряжение конденсатора. Данный параметр обозначает максимальное напряжение, которое может выдержать конденсатор. Превышение этого значения приводит к «пробиванию» изолятора между пластинами и короткому замыканию. Номинальное напряжение зависит от материала изолятора и его толщины (расстояния между обкладками).

Следует отметить, что при работе с переменным напряжением нужно учитывать именно пиковое значение (наибольшее мгновенное значение напряжения за период). Например, если эффективное напряжение источника питания будет 50В, то его пиковое значение будет свыше 70В. Соответственно необходимо использовать конденсатор с номинальным напряжением более 70В. Однако на практике, рекомендуется использовать конденсатор с номинальным напряжением не менее в два раза превышающим максимально возможное напряжение, которое будет к нему приложено.

Ток утечки

Также при работе конденсатора учитывается такой параметр как ток утечки. Поскольку в реальной жизни диэлектрик между пластинами все же пропускает маленький ток, это приводит к потере со временем начального заряда конденсатора.