Разрядка конденсатора через резистор

Данный элемент используется как фильтр переменного тока, так как при большой ёмкости конденсатора сопротивление последнего подавляет его низкие частоты, а при малой высокие.

В постоянном токе конденсатор используется как сглаживающий элемент, так как в момент заряда пропускает ток, а в момент завершения заряда и далее нет, и по мере заполнения его ёмкости ток так же плавно перестаёт течь.

Ёмкость считается самым важным элементом в конденсаторе и измеряется в Фарадах.

1 Фарад (ф) = 1 000 000 Микрофарад (мкФ)
1 мкФ = 1 000 000 Пикофарад (пФ)

Вторым по важности параметром конденсаторов, после ёмкости, является его рабочее напряжение . Превышение этого параметра может привести к выходу конденсатора из строя, поэтому при построении реальных схем принято применять конденсаторы с удвоенным значением рабочего напряжения.

Для увеличения значений ёмкости или рабочего напряжения используют приём объединения конденсаторов в батареи. При последовательном соединении двух однотипных конденсаторов рабочее напряжение удваивается, а суммарная ёмкость уменьшается в два раза. При параллельном соединении двух однотипных конденсаторов рабочее напряжение остаётся прежним, а суммарная ёмкость увеличивается в два раза.

Третьим по важности параметром конденсаторов является температурный коэффициент изменения ёмкости (ТКЕ). Он даёт представление об изменении ёмкости в условиях изменения температур.

При подключении конденсатора к источнику постоянного тока под действием электрического поля на нижнюю обкладку движутся электроны. В следствии, явления электростатической индукции с верхней обкладки конденсатора заряды уходят к положительному выводу источника питания и в цепи возникает ток – ток заряда, по мере накопления зарядов в конденсаторе, растёт напряжение, а ток заряда уменьшается, и так, – конденсатор подключённый к источнику тока, заряжается до U

ист

Конденсатор в цепи постоянного тока

​

Кратковременный ток в цепи называется ток заряда, а так как он существует короткое время, то говорят, конденсатор постоянный ток не пропускает.

Считается что конденсатор заряжается если напряжение на нём составляет 0,63 от U_ист и это происходит за время равное Τ

Ес

– ЭДС ёмкости
Τ заряда – постоянная времени заряда конденсатора в секундах
Одна секунда – 1с = 103мс = 106мкс = 1012нс
R_зар – сопротивление в Омах
С – ёмкость в Фарадах

График заряда конденсатора

Работа конденсатора в цепи постоянного тока

Считается, что конденсатор разрядится если напряжение на нём составляет 0,37 от напряжения источника и это происходит за время Τ разряда.

Присоединим цепь, состоящую из незаряженного конденсатора емкостью С и резистора с сопротивлением R, к источнику питания с постоянным напряжением U (рис. 16-4).

Так как в момент включения конденсатор еще не заряжен, то напряжение на нем Поэтому в цепи в начальный момент времени падение напряжения на сопротивлении R равно U и возникает ток, сила которого

Рис. 16-4. Зарядка конденсатора.

Прохождение тока i сопровождается постепенным накоплением заряда Q на конденсаторе, на нем появляется напряжение и падение напряжения на сопротивлении R уменьшается:

как и следует из второго закона Кирхгофа. Следовательно, сила тока

уменьшается, уменьшается и скорость накопления заряда Q, так как ток в цепи

С течением времени конденсатор продолжает заряжаться, но заряд Q и напряжение на нем растут все медленнее (рис. 16-5), а сила тока в цепи постепенно уменьшается пропорционально разности – напряжений

Рис. 16-5. График изменения тока и напряжения при зарядке конденсатора.

Через достаточно большой интервал времени (теоретически бесконечно большой) напряжение на конденсаторе достигает величины, равной напряжению источника питания, а ток становится равным нулю — процесс зарядки конденсатора заканчивается.

Практически принято считать, что процесс зарядки закончился, когда ток уменьшился до 1% — начального значения или, – что то же, когда напряжение на конденсаторе достигло 99% напряжения источника питания

Процесс зарядки конденсатора тем продолжительней, чем больше сопротивление цепи R, ограничивающее силу тока, и чем больше емкость конденсатора С, так как при большой емкости должен накопиться больший заряд. Скорость протекания процесса характеризуют постоянной времени цепи

чем больше , тем медленнее процесс.

Постоянная времени цепи имеет размерность времени, так как

Через интервал времени с момента включения цепи, равный , напряжение на конденсаторе достигает примерно 63% напряжения источника питания, а через интервал процесс зарядки конденсатора можно считать закончившимся.

Напряжение на конденсаторе при зарядке

т. е. оно равно разности постоянного напряжения источника питания и свободного напряжения убывающего с течением времени по закону показательной функции от значения U до нуля (рис. 16-5).

Зарядный ток конденсатора

Ток от начального значения постепенно уменьшается по закону показательной функции (рис. 16-5).

б) Разряд конденсатора

Рассмотрим теперь процесс разряда конденсатора С, который был заряжен от источника питания до напряжения U через резистор с сопротивлением R (рис. 16-6, Где переключатель переводится из положения 1 в положение 2).

Рис. 16-6. Разряд конденсатора на резистор.

Рис. 16-7. График изменения тока и напряжения при разрядке конденсатора.

В начальный момент, в цепи возникнет ток и конденсатор начнет разряжаться, а напряжение на нем уменьшаться. По мере уменьшения напряжения будет уменьшаться и ток в цепи (рис. 16-7). Через интервал времени напряжение на конденсаторе и ток цепи уменьшатся при мерно до 1% начальных значений и процесс разряда конденсатора можно считать закончившимся.

Напряжение на конденсаторе при разряде

т. е. уменьшается по закону показательной функции (рис. 16-7).

Разрядный ток конденсатора

т. е. он, так же как и напряжение, уменьшается по тому же закону (рис. 6-7).

Вся энергия, запасенная при зарядке конденсатора в его электрическом поле, при разряде выделяется в виде тепла в сопротивлении R.

Электрическое поле заряженного конденсатора, отсоединенного от источника питания, не может долго сохраняться неизменным, так как диэлектрик конденсатора и изоляция между его зажимами обладают некоторой проводимостью.

Разряд конденсатора, обусловленный несовершенством диэлектрика и изоляции, называется саморазрядом. Постоянная времени при саморазряде конденсатора не зависит от формы обкладок и расстояния между ними.

Процессы зарядки и разряда конденсатора называются переходными процессами.

Разряд предварительно заряженного конденсатора через активное сопротивление (через резистор) является простейшим переходным процессом.

Пусть конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения U. В момент t=0 замыкается ключ К и конденсатор начинает разряжаться через активное сопротивление

R. Так как здесь внешнего воздействия нет, то в цепи будет только свободный процесс.

Выбрав направление обхода, запишем для этой цепи второе уравнение Кирхгофа:

А так как для конденсатора ток i здесь является разрядным, то , и тогда, (2)

или ,

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид (проинтегрировать самостоятельно; однако, решение уравнения такого типа надо знать):

,

где А – коэффициент, определяемый начальным условием, т.е. − напряжением на конденсаторев первый момент после замыкания ключа К. Так как, по условию, до замыкания напряжение , а напряжение на конденсаторе скачком измениться не может (это привело бы к тому, что, тогда как в уравнении (2)

и_С – конечно), то

(это второе правило коммутации).

Это даёт: А=U, и, следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе убывает в е раз:

2,7.

Реально время переходного процесса оценивается примерно в 3τ, когда напряжение уменьшается в е 3 = 20 раз, или когда до установившегося значения осталось лишь 1/20 = 5 % от исходного напряжения U.

Пример. Пусть С=1 мкФ, R=1 кОм. Тогда время переходного процесса Δt_перх.=3τ=3RC=3 мс.

Теперь легко получить закон убывания тока в цепи:

.

Видно, что он точно такой же, как и закон убывания напряжения.

3.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RC

Рассмотрим теперь процесс заряда конденсатора через активное сопротивление R от генератора с постоянным напряжением U.

Пусть в момент t=0 замыкается ключ К. Тогда второе уравнение Кирхгофа для выбранного направления обхода контура будет таким:

,

, (4)

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного. Частное решение легко угадывается: и_{С частн.}

=U (оно проверяется простой подстановкой). Тогда

.

.

.

3.3. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RL

Процессы при коммутациях в цепи RL описываются такими же дифференциальными уравнениями, как и (2) или (4), поэтому подробнее остановимся лишь на некоторых специфических особенностях.

Второе уравнение Кирхгофа:

, или: .

Или: , (5)

где −постоянная времени цепи RL.

Общее решение неоднородного уравнения (5): i = i_однор.+i_частн.=.

Начальное условие:i(+0) = i(−0)=0 (ток через индуктивность скачком измениться не может, так как это противоречило бы уравнению (5)). Отсюда А=−U/R, и тогда

. (6)

Замечание 1. При R=0 (подключение напряжения U к идеальной индуктивности) уравнение (5) принимает вид: , откуда, т.е. ток в катушке линейно и бесконечно растёт (наклонный пунктир на рисунке). Это следует и из (6) при разложении экспоненты в ряд Тейлора по малому параметру (t/τ): .

Замечание 2. Если скачки тока через индуктивности и скачки напряжения на ёмкости запрещены, то скачки напряжения на катушке и тока на конденсаторе не противоречат уравнениям Кирхгофа.

3.1. Разряд конденсатора через активное сопротивление

Разряд предварительно заряженного конденсатора через активное сопротивление (через резистор) является простейшим переходным процессом.

Пусть конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения U. В момент t=0 замыкается ключ К и конденсатор начинает разряжаться через активное сопротивление R. Так как здесь внешнего воздействия нет, то в цепи будет только свободный процесс.

Выбрав направление обхода, запишем для этой цепи второе уравнение Кирхгофа:

u_R−u_C=0,

или

iR−u_C=0. (1)

А так как для конденсатора ток i здесь является разрядным, то , и тогда, (2)

или ,

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого однородного уравнения имеет вид (проинтегрировать самостоятельно; однако, решение уравнения такого типа надо знать):

,

где А – коэффициент, определяемый начальным условием, т.е. − напряжением на конденсаторев первый момент после замыкания ключа К. Так как, по условию, до замыкания напряжение , а напряжение на конденсаторе скачком измениться не может (это привело бы к тому, что, тогда как в уравнении (2)и_С – конечно), то

(это второе правило коммутации).

Это даёт: А=U, и, следовательно,

. (3)

Отсюда видно, что τ – это время, за которое напряжение на конденсаторе убывает в е раз:

2,7.

Реально время переходного процесса оценивается примерно в 3τ, когда напряжение уменьшается в е³ = 20 раз, или когда до установившегося значения осталось лишь 1/20 = 5 % от исходного напряжения U.

Пример. Пусть С=1 мкФ, R=1 кОм. Тогда время переходного процесса Δt_перх.=3τ=3RC=3 мс.

Теперь легко получить закон убывания тока в цепи:

.

Видно, что он точно такой же, как и закон убывания напряжения.

3.2. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RC

Рассмотрим теперь процесс заряда конденсатора через активное сопротивление R от генератора с постоянным напряжением U.

Пусть в момент t=0 замыкается ключ К. Тогда второе уравнение Кирхгофа для выбранного направления обхода контура будет таким:

,

или, так как i = C (du_C /dt),

, (4)

где −постоянная времени RC-цепочки.

Общее решение этого неоднородного уравнения равно сумме его частного решения и общего решения соответствующего однородного. Частное решение легко угадывается: и_{С частн.}=U (оно проверяется простой подстановкой). Тогда

.

Коэффициент А определяется из начального условия: и_С(+0)=и_С(−0)=0. Это даёт: А=−U; и тогда

.

Ток заряда

.

3.3. Включение постоянного напряжения

в последовательную цепь RL

Процессы при коммутациях в цепи RL описываются такими же дифференциальными уравнениями, как и (2) или (4), поэтому подробнее остановимся лишь на некоторых специфических особенностях.

Второе уравнение Кирхгофа:

, или: .

Или: , (5)

где −постоянная времени цепи RL.

Общее решение неоднородного уравнения (5): i = i_однор.+i_частн.=.

Начальное условие:i(+0) = i(−0)=0 (ток через индуктивность скачком измениться не может, так как это противоречило бы уравнению (5)). Отсюда А=−U/R, и тогда

. (6)

Замечание 1. При R=0 (подключение напряжения U к идеальной индуктивности) уравнение (5) принимает вид: , откуда, т.е. ток в катушке линейно и бесконечно растёт (наклонный пунктир на рисунке). Это следует и из (6) при разложении экспоненты в ряд Тейлора по малому параметру (t/τ): .

Замечание 2. Если скачки тока через индуктивности и скачки напряжения на ёмкости запрещены, то скачки напряжения на катушке и тока на конденсаторе не противоречат уравнениям Кирхгофа.

Разряд конденсатора через резистор

При напряжении источника равном нулю  и , имеем

ток течет в направлении встречно показанному на рисунке.

Напряжение на емкости изменяется непрерывно, а ток в начальный момент  делает скачок.

П.п. заканчивается за время .

 

 

Включение цепи с   на синусоидальную э.д.с.

       Установившееся значение напряжения на емкости: , где .

Тогда , пусть при ,

т.е. конденсатор был разряжен, тогда:

Напряжение на емкости: .

Ток: ,

при  свободная составляющая тока равна нулю  и процесс будет сразу установившимся.

Переходный процесс в цепи .

       При подключении э.д.с.  к цепи  переходный процесс описывается уравнением:

1.  

2. Решение найдем классическим методом:

3. Принужденный режим. Пусть на входе схемы действует постоянная эдс .
В принужденном режиме ток равен нулю, т.к. постоянный ток через ёмкость не протекает.

4. Свободный режим.

4.1 Составим характеристическое уравнение:  или в приведенном виде , с корнями: ,
где   — резонансная частота. Тогда свободный ток равен и переходный ток .

4.2 Постоянные интегрирования определим из начальных условий .

      

                   .

Начальные условия.

Независимые начальные условия:

Ток  по первому закону коммутации. Напряжение на конденсаторе – по второму.

Пусть конденсатор до коммутации был заряжен до .

Затем зависимые начальные условия:  найдем из исходного уравнения (1)
для .  подставляя это выражение в систему уравнений получаем:

      

       И окончательно ток:      .

 

 

В зависимости от соотношения параметров r , L , C возможны три варианта вида корней, а следовательно, и виды переходного процесса, рассмотрим их.

1. , т.е.  — апериодический процесс.

В этом случае  и  — отрицательные действительные величины [согласно (2)].
Если  соответствует верхнему знаку в ( ), то , и кривая  уменьшается медленнее, чем , определяя общую длительность п.п.

Ток п.п. определяется по формуле (3).

 

 

2. ,   (критический случай).

В этом случае корни характеристического уравнения одинаковы:  [согласно (2)]. Выражение (3) даст неопределенность типа 0/0. Ток, с учетом что , определим  по формуле .
Для получим .
Значит , и при  имеем .
Откуда ток п.п. .
Вид кривой аналогичен приведенной выше.

 

3. , т.е.   (колебательный характер).

корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные: , где   — угловая частота свободных или собственных колебаний в цепи

, а период этих колебаний.

Ток в цепи определим из выражения

т.е. при , где  — критическое сопротивление, в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания с огибающими .

 

Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно, причем эти колебания сопровождаются потерей энергии в резистивных сопротивлениях.
При  ордината огибающей в  меньше начального значения, поэтому величину
 считаем постоянной времени колебательного контура.

Функции  — имеют одинаковый множитель затухания.
При  кривая  начинается с нуля.

Чем меньше  по сравнению с  тем медленнее затухают кривые и тем ближе  к .

В пределе, при ,  колебания не затухают вообще.

 

 

При коротком замыкании цепи , т.е. при  и

Ток в цепи обусловлен разрядом емкости. Принужденные значение напряжения на емкости и тока в цепи равны нулю, а свободные составляющие аналогичны приведенным выше.

Включение цепи  на синусоидальное напряжение.

В этом случае напряжения и токи принужденного режима также имеют синусоидальный характер и на них накладываются напряжения и токи свободного режима, затухающие как сумма затухающих экспонент.

Постоянная времени RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt), а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R, где U — напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = — t/RC + Const.
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e^-t/RC * e^Const.
Решение примет вид:

U = e^-t/RC * Const.

Здесь Const — константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e^-t/RC.

Экспонента — функция exp(x) = e^x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828…

---

Постоянная времени

τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U, в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U_C и определится выражением:

Тогда напряжение U_C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U_C = U(1 — e^-t/RC)

При t = RC, напряжение на конденсаторе составит U_C = U(1 — e^-1) = U(1 — 1/e) .
Время, численно равное произведению RC, называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ.

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 — 1/e)*100% ≈ 63,2% значения U.
За время 3τ напряжение составит (1 — 1/e³)*100% ≈ 95% значения U.
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 — 1/e⁵)*100% ≈ 99% значения U.

---

Если к конденсатору емкостью C, заряженному до напряжения U, параллельно подключить резистор сопротивлением R, тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U_C = Ue^-t/τ = U/e^t/τ.

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e, что составит 1/e*100% ≈ 36.8% значения U.
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e³)*100% ≈ 5% от значения U.
За время 5τ до (1/e⁵)*100% ≈ 1% значения U.

Параметр τ широко применяется при расчётах RC-фильтров различных электронных цепей и узлов.

---

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Разряд конденсатора с выделением тепла

Переходные процессы – сложная тема, сложная даже для студентов, тем более – для школьников. Помните: постоянный ток не протекает через конденсатор. Напряжение на конденсаторе определяется его подключением: если параллельно резистору – то напряжение такое же, как на резисторе, если последовательно с источником – то конденсатор зарядится до ЭДС источника, после чего ток исчезнет. Если дать конденсатору возможность разрядиться – то энергия, запасенная в нем, превратится в тепло на резисторе.

Задача 1. Источник постоянного тока с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом подсоединен к параллельно соединенным резисторам Ом, Ом и конденсатору. Определите емкость конденсатора С, если энергия электрического поля конденсатора равна мкДж.

К задаче 1

Определить емкость легко из энергии конденсатора, только надо знать напряжение:

   

Объединим резисторы в один:

   

Ток в неразветвленной части цепи равен

   

Напряжение на внутреннем сопротивлении тогда равно

   

Тогда на резисторах и конденсаторе напряжение

   

Емкость равна

   

Ответ: мкФ.
Задача 2. Источник постоянного напряжения с ЭДС 100 В подключен через резистор к конденсатору переменной емкости, расстояние между пластинами которого можно изменять (см. рис.). Пластины медленно раздвинули. Какая работа была совершена против сил притяжения пластин, если за время движения пластин на резисторе выделилось количество теплоты 10 мкДж и заряд конденсатора изменился на 1 мкКл?

К задаче 2

У конденсатора была энергия до того, как пластины раздвинули – пусть . И после тоже была – пусть . В процессе раздвижения пластин совершили работу (которую надо найти), и, так как заряд уменьшился (а он именно уменьшился, так как напряжение осталось тем же), то источник тоже совершил работу. Поэтому закон сохранения энергии запишется так:

   

   

   

Заряд на конденсаторе сначала: , потом – . Тогда изменение заряда равно

   

Работа источника

   

Тогда наш закон сохранения можно переписать:

   

   

Ответ: 60 мкДж

Задача 3. Заряженный конденсатор мкФ включен в последовательную цепь из резистора Ом, незаряженного конденсатора мкФ и разомкнутого ключа К (см. рис.). После замыкания ключа в цепи выделяется количество теплоты  мДж. Чему равно первоначальное напряжение на конденсаторе ?

К задаче 3

Первоначально на конденсаторе есть заряд:

   

После замыкания ключа заряд разделится:

   

Но напряжение на конденсаторах одно и то же:

   

   

Тогда

   

Откуда:

   

   

Энергия до замыкания, запасенная в конденсаторе , сохраняется:

   

   

   

   

   

   

   

Ответ:

Задача 4. В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ К замкнут. ЭДС батарейки В, сопротивление резистора Ом, заряд конденсатора 2 мкКл. После размыкания ключа К в результате разряда конденсатора на резисторе выделяется количество теплоты 20 мкДж. Найдите внутреннее сопротивление батарейки .

К задаче 4

Сначала на конденсаторе напряжение такое же, как на резисторе (потому что они включены параллельно):

   

Определим ток. Он замыкается в контуре , потому что постоянный ток не течет через конденсатор:

   

Тогда напряжение на резисторе и конденсаторе:

   

С другой стороны, когда ключ разомкнется, вся энергия, запасенная в конденсаторе, рассеется в виде тепла через резистор:

   

То есть

   

Приравняем:

   

   

А внутреннее сопротивление равно

   

Ответ:

Заряд и разряд конденсатора

Конденсатор – это элемент электрической цепи, который способен накапливать электрический заряд. Важной особенностью конденсатора является его свойство не только накапливать, но и отдавать заряд, причем практически мгновенно.

Согласно второму закону коммутации напряжение на конденсаторе не может измениться скачком. Эта особенность активно используется в различных фильтрах, стабилизаторах, интегрирующих цепях, колебательных контурах и тд.

В том, что напряжение не может измениться мгновенно, можно убедиться из формулы

Если бы напряжение в момент коммутации изменилось скачком, это означало бы, что скорость изменения du/dt = ∞, чего в природе быть не может, так как потребовался бы источник бесконечной мощности.

Процесс заряда конденсатора

На схеме представлена RC – цепь (интегрирующая), запитанная от постоянного источника питания. При замыкании ключа в положение 1 происходит заряд конденсатора. Ток проходит по цепи: “плюс” источника – резистор – конденсатор — “минус” источника.

Напряжение на обкладках конденсатора изменяется по экспоненциальному закону. Ток, протекающий через конденсатор, также изменяется по экспоненте. Причем эти изменения взаимообратны, чем больше напряжение, тем меньше ток, протекающий через конденсатор. Когда напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника, процесс заряда прекратится, и ток в цепи перестанет течь.

Теперь, если мы переключим ключ в положение 2, то ток потечет в обратную сторону, а именно по цепи: конденсатор – резистор – “минус” источника. Таким образом, конденсатор разрядится. Процесс будет носить также экспоненциальный характер.

Важной характеристикой данной цепи является произведение RC, которую еще называют постоянной времени τ. За время τ конденсатор заряжается или разряжается на 63%. За 5 τ конденсатор отдает или принимает заряд полностью.

От теории перейдем к практике. Возьмем конденсатор на 0,47 мкФ и резистор номиналом 10 КОм.

Рассчитаем примерное время, за которое должен зарядиться конденсатор.

Теперь соберем данную схему в multisim и попробуем промоделировать

Собранная схема, запитана от батареи 12 В. Меняя положение переключателя S1, мы сначала заряжаем, а затем разряжаем конденсатор через сопротивление R = 10 КОм. Для того чтобы увидеть наглядно работу схемы посмотрите видео ниже.

 

 

Просмотров: 9524

Зарядка и разрядка конденсатора через резистивный делитель. Переходные процессы в RC-цепи | Репетитор IT mentor

Что такое RC-цепь?

Если соединить резистор и конденсатор, то получится электрическая цепь, которая является пожалуй одна из самых полезных и универсальных. Её можно рассматривать как делитель напряжения с одним из плеч, обладающих ёмкостным сопротивлением переменному току.

Резистор — его задача ограничивать ток. Это статичный элемент, чье сопротивление не меняется, про тепловые погрешности сейчас не говорим — они не слишком велики. Ток через резистор определяется законом ома — I = U/R, где U напряжение на выводах резистора, R — его сопротивление.

Конденсатор — более интересная вещь. У него есть интересное свойство — когда он разряжен то ведет себя почти как короткое замыкание — ток через него течет без ограничений, устремляясь в бесконечность. А напряжение на нем стремится к нулю. Когда же он заряжен, то становится как обрыв и ток через него течь перестает, а напряжение на нем становится равным заряжающему источнику. Получается интересная зависимость — есть ток, нет напряжения, есть напряжение — нет тока.

Чтобы визуализировать себе этот процесс, представьте воздушный шарик, который наполняется водой. Поток воды — это ток. Давление воды на упругие стенки — эквивалент напряжения. Теперь, когда шарик пуст — вода втекает свободно, большой ток, а давления еще почти нет — напряжение мало. Потом, когда шарик наполнится и начнет сопротивляться давлению, за счет упругости стенок, то скорость потока замедлится, а потом и вовсе остановится — силы сравнялись, конденсатор зарядился. Есть напряжение натянутых стенок, но нет тока!

Теперь, если снять или уменьшить внешнее давление, убрать источник питания, то вода под действием упругости хлынет обратно. Также и ток из конденсатора потечет обратно если цепь будет замкнута, а напряжение источника ниже чем напряжение в конденсаторе.

Емкость конденсатора. Что это?

Теоретически, в любой идеальный конденсатор можно закачать заряд бесконечного размера. Просто наш шарик сильней растянется и стенки создадут большее давление, бесконечно большое давление. А что же тогда насчет Фарад, что пишут на боку конденсатора в качестве показателя емкости? А это всего лишь зависимость напряжения от заряда (q = CU). У конденсатора малой емкости рост напряжения от заряда будет выше.

Представьте два стакана с бесконечно высокими стенками. Один узкий, как пробирка, другой широкий, как тазик. Уровень воды в них — это напряжение. Площадь дна — емкость. И в тот и в другой можно залить один и тот же литр воды — равный заряд. Но в пробирке уровень подскочит на несколько метров, А в тазике будет плескаться у самого дна. Также и в конденсаторах с малой и большой емкостью. Залить то можно сколько угодно, но напряжение будет разным.

Плюс в реале у конденсаторов есть пробивное напряжение, после которого он перестает быть конденсатором, а превращается в годный проводник 🙂

А как быстро заряжается конденсатор?

В идеальных условиях, когда у нас бесконечно мощный источник напряжения с нулевым внутренним сопротивлением, идеальные сверхпроводящие провода и абсолютно безупречный конденсатор — этот процесс будет происходить мгновенно, с временем равным 0, равно как и разряд. Но в реальности всегда существуют сопротивления, явные — вроде банального резистора или неявные, такие как сопротивление проводов или внутреннее сопротивление источника напряжения. В этом случае скорость заряда конденсатора будет зависить от сопротивлений в цепи и емкости конденсатора, а сам заряд будет идти по экспоненциальному закону.

А у этого закона есть пара характерных величин:

• Т — постоянная времени, это время при котором величина достигнет 63% от своего максимума. 63% тут взялись не случайно, тут прямая завязка на такую формулу VALUET=max—1/e*max.
• 3T — а при троекратной постоянной значение достигнет 95% своего максимума.

Постоянная времени для RC цепи Т=R*C.

Чем меньше сопротивление и меньше емкость, тем быстрей конденсатор заряжается. Если сопротивление равно нулю, то и время заряда равно нулю.

Рассчитаем за сколько зарядится на 95% конденсатор емкостью 1uF через резистор в 1кОм:
T= C*R = 10-6 * 103 = 0.001c
3T = 0.003c — через такое время напряжение на конденсаторе достигнет 95% от напряжения источника.

Разряд пойдет по тому же закону, только вверх ногами. Т.е. через Т-времени в на конденсаторе останется всего лишь 100% — 63% = 37% от первоначального напряжения, а через 3T и того меньше — жалкие 5%.

Ну с подачей и снятием напряжения все ясно. А если напряжение подали, а потом еще ступенчато подняли, а разряжали также ступеньками? Ситуация тут практически не изменится — поднялось напряжение, конденсатор дозарядился до него по тому же закону, с той же постоянной времени — через время 3Т его напряжение будет на 95% от нового максимума. Чуть понизилось — подразрядился и через время 3Т напряжение на нем будет на 5% выше нового минимума.

Можно сделать для этого пример в мультисиме рандомный генератор ступечнатого сигнала и подать на интегрирующую RC цепочку:

Обратите внимание, что и заряд и разряд, вне зависимости от высоты ступеньки, всегда одной длительности.

А до какой величины конденсатор можно зарядить?

В теории до бесконечности, этакий шарик с бесконечно тянущимися стенками. В реале же шарик рано или поздно лопнет, а конденсатор пробьет и закоротит. Вот поэтому у всех конденсаторов есть важный параметр — предельное напряжение. На электролитах его часто пишут сбоку, а на керамических его надо смотреть в справочниках. Но там оно обычно от 50 вольт. В общем, выбирая конденсатор надо следить, чтобы его предельное напряжение было не ниже того которое в цепи. При расчете конденсатора на переменное напряжение следует выбирать предельное напряжение в 1.4 раза выше. Т.к. на переменном напряжении указывают действующее значение, а мгновенное значение в своем максимуме превышает его в 1.4 раза.

Что следует из вышеперечисленного?

Если на конденсатор подать постоянное напряжение, то он просто зарядится и все. На этом веселье закончится.

А если подать переменное? То очевидно, что он будет то заряжаться, то разряжаться, а в цепи будет туда и обратно гулять ток.

Выходит, несмотря на физический обрыв цепи между обкладками, через конденсатор легко протекает переменный ток, а вот постоянному слабо.

Что нам это дает? А то что конденсатор может служить своего рода сепаратором, для разделения переменного тока и постоянного на соответствующие составляющие.

Любой изменяющийся во времени сигнал можно представить как сумму двух составляющих — переменной и постоянной.

Например, у классической синусоиды есть только переменная часть, а постоянная равна нулю. У постоянного же тока наоборот. А если у нас сдвинутая синусоида? Или постоянная с помехами?

Переменная и постоянная составляющие сигнала легко разделяются!
Чуть выше я тебе показал как конденсатор дозаряжается и подразряжается при изменениях напряжения. Так что переменная составляющая сквозь кондер пройдет на ура, т.к. только она заставляет конденсатор активно менять свой заряд. Постоянная же как была так и останется и застрянет на конденсаторе.

Но чтобы конденсатор эффективно разделял переменную составляющую от постоянной частота переменной составляющей должна быть не ниже чем 1/T

Возможны два вида включения RC цепочки:
Интегрирующая и дифференцирующая. Они же фильтр низких частот и фильтр высоких частот.

Фильтр низких частот без изменений пропускает постоянную составляющую (т.к. ее частота равна нулю, ниже некуда) и подавляет все что выше чем 1/T. Постоянная составляющая проходит напрямую, а переменная составляющая через конденсатор гасится на землю.
Такой фильтр еще называют интегрирующей цепочкой потому, что сигнал на выходе как бы интегрируется. Что такое интеграл? Площадь под кривой! Вот тут она и получается на выходе.

Как здесь вычисляется постоянная составляющая? А с виду и не скажешь, но надо помнить, что любой периодически сигнал раскладывается в ряд Фурье, превращаясь в сумму из постоянной составляющей и пачки синусоид разной частоты и амплитуды.

Фильтр высоких частот работает наоборот. Он не пускает постоянную составляющую (т.к. ее частота слишком низка — 0) — ведь конденсатор для нее равносилен обрыву, а вот переменная пролазит через конденсатор без проблем.

А дифференцирующей цепью ее называют потому, что на выходе у нас получается дифференциал входной функции, который есть не что иное как скорость изменения этой функции.

• На участке 1 происходит заряд конденсатора, а значит через него идет ток и на резисторе будет падение напряжения.
• На участке 2 происходит резкое увеличение скорости заряда, а значит и ток резко возрастет, а за ним и падение напряжения на резисторе.
• На участке 3 конденсатор просто удерживает уже имеющийся потенциал. Ток через него не идет, а значит на резисторе напряжение тоже равно нулю.
• Ну и на 4м участке конденсатор начал разряжаться, т.к. входной сигнал стал ниже чем его напряжение. Ток пошел в обратную сторону и на резисторе уже отрицательное падение напряжения.

А если подать на вход прямоугольный импульс, с очень крутыми фронтами и сделать емкость конденсатора помельче, то увидим вот такие иголки:

Вверху идет осциллограма того что на входе, внизу то что на выходе дифференциальной цепи. Тут мощные всплески на фронтах. Оно и понятно, в этом месте функция меняется резко, а значит производная (скорость изменения) этой функции велика, на пологих участках сигнал константа и его производная, скорость изменения, равна нулю — на графике ноль.

А если загнать в дифференциатор пилу, то на выходе получим прямоугольник:

Правильно — производная от линейной функции есть константа, наклон этой функции определяет знак константы.

Теперь давайте отвлечемся от теории и рассмотрим задачу, которую могут встретить на экзамене по ТОЭ первокурсники или второкурсники.

В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные: ЭДС источника равна 24 В, величина сопротивления каждого резистора равна 10 Ом. Ключ К замыкают на длительное время, за которое конденсатор успевает полностью зарядиться, а затем размыкают. Какой ток будет течь через сопротивление, подключенное параллельно конденсатору в момент времени, когда на конденсаторе энергия уменьшится в 9 раз?

Прикрепляю разбор данной задачи…

Что нужно для решения подобных задач?
1. Необходимо знать и уметь применять закон Ома для любого участка цепи, а также законы Кирхгофа для токов и напряжений.
2. Иметь представления о переходных процессах и установившихся режимах.
3. Понимать что такое ток зарядки конденсатора и тот факт, что заряженный конденсатор представляет собой разрыв цепи (в идеале), а разряженный конденсатор — обычный проводник.
4. Помнить связь между емкость, напряжением и сопротивлением. Помнить связь между током и зарядом.
5. Желательно уметь решать дифференциальные уравнения. А значит вам понадобятся навыки интегрирования и дифференцирования. Ибо без понимания решения ДУ вы не запомните всех функций-решений для каждой вариации задачи.
6. Разбираться в математике на уровне: решать уравнения, выражать неизвестные, логарифмировать, знать свойства экспоненты и логарифма.

Еще больше подобных разборов в моей группе в vk: Репетитор IT mentor

Спасибо, что дочитали до конца 🙂 Если вам нравятся такие разборы, и вы хотите видеть их чаще, то оставьте обратную связь (лайки, комментарии)

Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:
Репетитор IT mentor в VK

Репетитор IT mentor в Instagram

Physics.Math.Code в контакте (VK)

Physics.Math.Code в telegram

Physics.Math.Code в YouTube

Цепи постоянного тока

, содержащие резисторы и конденсаторы

1. Устройство синхронизации в системе стеклоочистителей прерывистого действия автомобиля основано на постоянной времени RC и использует конденсатор емкостью 0,500 мкФ и переменный резистор. В каком диапазоне R должно изменяться для достижения постоянных времени от 2,00 до 15,0 с?

2. Кардиостимулятор срабатывает 72 раза в минуту, каждый раз, когда конденсатор емкостью 25,0 нФ заряжается (батареей, включенной последовательно с резистором) до 0,632 от его полного напряжения.В чем ценность сопротивления?

3. Продолжительность фотографической вспышки связана с постоянной времени RC , которая составляет 0,100 мкс для определенной камеры. (а) Если сопротивление импульсной лампы составляет 0,0400 Ом во время разряда, каков размер конденсатора, обеспечивающего его энергию? (б) Какова постоянная времени зарядки конденсатора, если сопротивление зарядки составляет 800 кОм?

4. Конденсаторы емкостью 2,00 и 7,50 мкФ могут быть подключены последовательно или параллельно, как и конденсатор емкостью 25 мкФ.0- и резистор 100 кОм. Вычислите четыре постоянные времени RC , которые можно получить при последовательном соединении полученной емкости и сопротивления.

5. После двух постоянных времени, какой процент конечного напряжения, ЭДС, находится на первоначально незаряженном конденсаторе C , заряженном через сопротивление R ?

6. Резистор 500 Ом, незаряженный конденсатор 1,50 мкФ и ЭДС 6,16 В соединены последовательно. а) Каков начальный ток? (b) Какова постоянная времени RC ? (c) Каков ток через одну постоянную времени? (d) Какое будет напряжение на конденсаторе после одной постоянной времени?

7.Дефибриллятор сердца, используемый на пациенте, имеет постоянную времени RC 10,0 мс из-за сопротивления пациента и емкости дефибриллятора. (a) Если дефибриллятор имеет емкость 8,00 мкФ, каково сопротивление пути, проходящего через пациента? (Вы можете пренебречь емкостью пациента и сопротивлением дефибриллятора.) (B) Если начальное напряжение составляет 12,0 кВ, сколько времени потребуется, чтобы упасть до 6,00 × 10 ² В?

8. У монитора ЭКГ постоянная времени RC должна быть меньше 1.00 × 10 ² мкс, чтобы иметь возможность измерять изменения напряжения за небольшие промежутки времени. (а) Если сопротивление цепи (в основном из-за сопротивления груди пациента) составляет 1,00 кОм, какова максимальная емкость цепи? (б) Будет ли сложно на практике ограничить емкость до значения, меньшего, чем значение, указанное в (а)?

9. На рис. 7 показано, как истекающий резистор используется для разряда конденсатора после отключения электронного устройства, что позволяет человеку работать с электроникой с меньшим риском поражения электрическим током.а) Что такое постоянная времени? (b) Сколько времени потребуется, чтобы снизить напряжение на конденсаторе до 0,250% (5% от 5%) от его полного значения после начала разряда? (c) Если конденсатор заряжен до напряжения В ₀ через сопротивление 100 Ом, рассчитайте время, необходимое для повышения до 0,865 В ₀ (это примерно две постоянные времени).

Рисунок 7.

10. Используя точную экспоненциальную обработку, найдите, сколько времени требуется, чтобы разрядить конденсатор емкостью 250 мкФ через резистор 500 Ом до 1.00% от исходного напряжения.

11. Используя точную экспоненциальную обработку, найдите, сколько времени требуется для зарядки первоначально незаряженного конденсатора 100 пФ через резистор 75,0 МОм до 90,0% от его конечного напряжения.

12. Integrated Concepts Если вы хотите сфотографировать пулю, летящую со скоростью 500 м / с, то очень короткая вспышка света, производимая разрядом RC через импульсную лампу, может ограничить размытие. Предполагая, что перемещение 1,00 мм за одну постоянную RC является приемлемым, и учитывая, что вспышка приводится в действие конденсатором емкостью 600 мкФ, каково сопротивление в импульсной лампе?

13. Integrated Concepts Мигающая лампа в рождественской серьге основана на разряде конденсатора RC через его сопротивление. Эффективная продолжительность вспышки составляет 0,250 с, в течение которых она дает в среднем 0,500 Вт при среднем 3,00 В. а) Какую энергию она рассеивает? б) Сколько заряда проходит через лампу? (c) Найдите емкость. (г) Какое сопротивление лампы?

14. Integrated Concepts Конденсатор емкостью 160 мкФ, заряженный до 450 В, разряжается через 31.Резистор 2 кОм. (а) Найдите постоянную времени. (b) Рассчитайте повышение температуры резистора, учитывая, что его масса составляет 2,50 г, а его удельная теплоемкость [латекс] 1,67 \ frac {\ text {кДж}} {\ text {кг} \ cdotº \ text {C}} \\ [/ latex], учитывая, что большая часть тепловой энергии сохраняется за короткое время разряда. (c) Рассчитайте новое сопротивление, предполагая, что это чистый углерод. (d) Кажется ли это изменение сопротивления значительным?

15. Необоснованные результаты (a) Рассчитайте емкость, необходимую для получения постоянной времени RC , равной 1.00 × 10 ³ с резистором 0,100 Ом. б) Что неразумного в этом результате? (c) Какие допущения ответственны?

16. Создай свою проблему Рассмотрим вспышку фотоаппарата. Постройте задачу, в которой вы вычисляете размер конденсатора, который накапливает энергию для лампы-вспышки. Среди факторов, которые необходимо учитывать, — это напряжение, приложенное к конденсатору, энергия, необходимая для вспышки, и соответствующий заряд, необходимый для конденсатора, сопротивление импульсной лампы во время разряда и желаемая постоянная времени RC .

17. Создайте свою проблему Рассмотрим перезаряжаемый литиевый элемент, который будет использоваться для питания видеокамеры. Постройте задачу, в которой вы вычисляете внутреннее сопротивление элемента во время нормальной работы. Кроме того, рассчитайте минимальное выходное напряжение зарядного устройства, которое будет использоваться для зарядки литиевого элемента. Среди факторов, которые следует учитывать, — ЭДС и полезное напряжение на клеммах литиевого элемента, а также ток, который он должен обеспечивать в видеокамере.

Зачем конденсаторам нужен резистор для разряда? — Онлайн-компоненты.com

Конденсаторы — это устройства накопления энергии, эта энергия сохраняется в виде электрического поля, которое создается между пластинами конденсатора.

Первоначально эта энергия подается в конденсатор с использованием источника напряжения, и этот процесс называется зарядкой, разрядка — это процесс извлечения ранее накопленной энергии из конденсатора, называется разрядкой конденсатора.

Энергия, запасенная в конденсаторе, выражается как [1] ​​

E = ½ CV ²

Где

E = Накопленная энергия

C = емкость

В = Напряжение

Когда конденсатор подключен к источнику напряжения (V), положительные и отрицательные заряды начинают накапливаться на пластинах конденсатора, и во время процесса через цепь течет ток из-за движения электронов, этот ток называется зарядным током.Эта зарядка конденсатора никогда не бывает мгновенной, для завершения процесса зарядки требуется определенное время (T).

Однако, чтобы зарядить конденсатор, если он напрямую подключен к источнику напряжения, он будет пытаться зарядить мгновенно, и для этого бесконечного зарядного тока есть поток, и мы знаем, что источники напряжения могут обеспечивать только конечное количество тока. Непосредственная зарядка конденсатора может вызвать повреждение конденсатора или источника из-за перегорания.

Практически всегда в цепи присутствует некоторое сопротивление, которое может быть связано с выводами конденсатора или проводом, соединяющим конденсатор с цепью зарядки.Таким образом, всегда существует RC-цепь, ограничивающая ток, и для зарядки конденсатора требуется некоторое конечное время. Это время называется постоянной времени RC (T = RC). В RC-цепи конденсаторы полностью заряжаются после 5Тл.

Теперь предположим, что у нас есть полностью заряженный конденсатор, этот конденсатор можно рассматривать как батарею. Что произойдет, если закоротить анод и катод батареи? Согласно закону Ома через цепь будет протекать бесконечное количество тока, что представляет собой угрозу безопасности.

Разрядка конденсатора — это, по сути, протекание тока через конденсатор. Большие конденсаторы, в которых хранится большое количество энергии, могут быть потенциально опасными и могут стать причиной травм или даже смерти в некоторых случаях при неправильном обращении.

Когда клеммы больших конденсаторов закорочены, это вызовет протекание бесконечного количества тока, и конденсатор попытается мгновенно разрядиться, что может вызвать искру или возгорание. Поскольку сопротивление присутствует в каждом проводе или выводе цепи, в цепи всегда будет присутствовать некоторое количество сопротивления, которое замедлит процесс разряда, и только конечное количество тока будет течь в цепь разряда.

Правильно подготовленная разрядная цепь RC позволит конденсатору полностью разрядиться после 5Тл. По вышеупомянутым причинам рекомендуется иметь резистор в цепи разряда, в противном случае сохраняется вероятность получения травмы в результате несчастного случая.

5.19: Зарядка конденсатора через резистор

На этот раз заряд конденсатора увеличивается, поэтому ток на выходе равен \ (+ \ точка Q \).

\ (\ text {РИСУНОК V.25} \)

Таким образом,

\ [V- \ dot QR- \ frac {Q} {C} = 0 \ label {5.{-t / (RC)} \ right). \ label {5.19.3} \]

Таким образом, заряд конденсатора асимптотически приближается к своему окончательному значению \ (CV \), достигая 63% (1 — e ^-1 ) окончательного значения во времени \ (RC \) и половины окончательного значения во времени \ (RC \ ln 2 = 0,6931 \, RC \).

Разность потенциалов на пластинах увеличивается с той же скоростью. Разница потенциалов не может измениться мгновенно в любой цепи, содержащей емкость.

Как ток меняется со временем? Это находится путем дифференцирования уравнения \ ref {5.{-t / (RC)}. \]

Это говорит о том, что ток мгновенно возрастает от нуля до \ (V / R \), как только переключатель замкнут, а затем он спадает экспоненциально с постоянной времени \ (RC \) до нуля. Это реально возможно? В принципе это возможно, если индуктивность (см. Главу 12) цепи равна нулю. Но индуктивность любой замкнутой цепи не может быть точно равна нулю, а схема, изображенная без какой-либо индуктивности, недостижима ни в одной реальной цепи, и поэтому в реальной цепи не будет мгновенного изменения тока.2, \]

так что все хорошо. Энергия, теряемая аккумулятором, распределяется поровну между \ (R \) и \ (C \) .

Неоновая лампа

Вот способ заставить неоновую лампу периодически мигать.

На Рисунке \ (V. \) 25 \ (\ frac {1} {2} \) (извините за дробь — я подсунул фигуру в последнюю очередь!), Вещь, которая выглядит как счастливое лицо на справа — газоразрядная трубка; точка внутри указывает на то, что внутри не полный вакуум, но внутри есть немного газа.

\ (\ text {РИСУНОК V.25} \ frac {1} {2} \)

Он разряжается, когда разность потенциалов на электродах превышает определенный порог. Когда к трубке прикладывается электрическое поле, электроны и положительные ионы ускоряются, но вскоре замедляются из-за столкновений. Но если поле достаточно велико, электроны и ионы будут иметь достаточно энергии при столкновении, чтобы ионизировать атомы, с которыми они сталкиваются, поэтому произойдет каскадный разряд. Разность потенциалов экспоненциально возрастает во временной шкале \ (RC \), пока не достигнет порогового значения, и неоновая трубка внезапно разряжается.Затем все начинается сначала.

Аналогичная проблема с индуктором описана в главе 10, раздел 10.12.

Интегрирующие и дифференцирующие схемы

Теперь мы посмотрим, что произойдет, если мы подключим последовательно резистор и конденсатор к источнику напряжения, изменяющемуся во времени, и покажем, что, при соблюдении некоторых условий , разность потенциалов на конденсаторе — это интеграл по времени от входного напряжения, а разность потенциалов на резисторе — это производная по времени входного напряжения.{-1} = 0,632 \) этого значения во времени \ (RC \). Обратите внимание, что когда \ (t << RC \), ток будет большим, а заряд в конденсаторе будет небольшим. Большая часть падения потенциала в цепи будет на резисторе и относительно небольшая - на конденсаторе. Однако по прошествии длительного времени ток станет низким, а заряд будет высоким, так что большая часть падения потенциала будет приходиться на конденсатор и сравнительно небольшое - на резистор. Потенциал перепадов на R и C будет равен одновременно

\ [t = RC \ ln 2 = 0.693RC. \]

Предположим, что вместо подключения \ (R \) и \ (C \) к батарее постоянной ЭДС, мы подключаем ее к источнику, напряжение которого изменяется со временем, \ (V (t) \) . Как заряд в \ (C \) будет меняться со временем?

Соответствующим уравнением является \ (V = IR + Q / C \), в котором \ (I, \, Q \ text {и} V \) — все функции времени.

Поскольку \ (I = \ dot Q \), дифференциальное уравнение, показывающее, как \ (Q \) изменяется со временем, составляет

\ [\ dfrac {dQ} {dt} + \ dfrac {1} {RC} Q = \ dfrac {V} {R} \ label {5.{\ dfrac {t} {RC}} \, dt \ right) \\ & = \ dfrac {dV} {dt} — \ dfrac {1} {RC} (V-V_C) = \ dfrac {dV} {dt } — \ dfrac {V_R} {RC} \\ \ end {align} \ label {5.19.22} \]

Если постоянная времени мала, так что \ (\ dfrac {dV_R} {dt} \ ll <\ dfrac {V_R} {RC} \), это становится

\ [V_R = RC \ dfrac {dV} {dR}, \ label {5.20.23} \]

, так что напряжение на \ (R \) \ (RC \) умноженное на производную входного напряжения по времени \ (V. \). Таким образом, мы имеем дифференцирующую цепь .

Обратите внимание, что в интегрирующей схеме схема должна иметь большую постоянную времени (большие \ (R \) и \ (C \)), а временные изменения \ (V \) составляют быстрые по сравнению с \ (RC \).Выходное напряжение на \ (C \) тогда равно \ (\ dfrac {1} {RC} \ int V \, dt \). В дифференцирующей схеме схема должна иметь малую временную константу , а временные изменения в \ (V \) равны медленным по сравнению с \ (RC \). Выходное напряжение на \ (R \) тогда равно \ (\ dfrac {dV} {dR} \).

10.6: RC Circuits — Physics LibreTexts

При использовании камеры со вспышкой зарядка конденсатора, питающего вспышку, занимает несколько секунд. Световая вспышка разряжает конденсатор за крошечные доли секунды.Почему зарядка занимает больше времени, чем разрядка? Этот вопрос и несколько других явлений, связанных с зарядкой и разрядкой конденсаторов, обсуждаются в этом модуле.

Цепи сопротивления и емкости

Цепь RC — это цепь, содержащая сопротивление и емкость. Как показано в разделе «Емкость», конденсатор — это электрический компонент, который накапливает электрический заряд, накапливая энергию в электрическом поле.

На рисунке \ (\ PageIndex {1a} \) показана простая схема RC , в которой используется источник постоянного напряжения \ (ε \), резистор \ (R \), конденсатор \ (C \), и двухпозиционный переключатель.Схема позволяет конденсатору заряжаться или разряжаться в зависимости от положения переключателя. Когда переключатель перемещается в положение \ ( A \) , конденсатор заряжается, в результате получается схема, показанная на рисунке \ (\ PageIndex {1b} \). Когда переключатель перемещается в положение B , конденсатор разряжается через резистор.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Схема RC с двухполюсным переключателем, который можно использовать для зарядки и разрядки конденсатора. (b) Когда переключатель перемещается в положение A , схема сводится к простому последовательному соединению источника напряжения, резистора, конденсатора и переключателя.(c) Когда переключатель перемещается в положение B , схема сводится к простому последовательному соединению резистора, конденсатора и переключателя. Источник напряжения снимается с цепи.

Зарядка конденсатора

Мы можем использовать правило петли Кирхгофа, чтобы понять заряд конденсатора. Это приводит к уравнению \ (\ epsilon — V_R — V_C = 0 \). Это уравнение можно использовать для моделирования заряда как функции времени при зарядке конденсатора. Емкость определяется как \ (C = q / V \), поэтому напряжение на конденсаторе равно \ (V_C = \ frac {q} {C} \). {- t / \ tau } \).{-t / \ tau}) \).

Разрядка конденсатора

Когда переключатель на рисунке \ (\ PageIndex {3a} \) перемещается в положение B , схема сокращается до схемы в части (c), и заряженному конденсатору позволяют разрядиться через резистор. График зависимости заряда конденсатора от времени показан на рисунке \ (\ PageIndex {3a} \). Использование правила петли Кирхгофа для анализа цепи при разряде конденсатора приводит к уравнению \ (- V_R -V_C = 0 \), которое упрощается до \ (IR + \ frac {q} {C} = 0 \).{-t / \ tau}. \]

Отрицательный знак показывает, что ток течет в направлении, противоположном току, наблюдаемому при зарядке конденсатора. На рисунке \ (\ PageIndex {3b} \) показан пример графика зависимости заряда от времени и тока от времени. График зависимости разности напряжений на конденсаторе и разницы напряжений на резисторе от времени показан на рисунках \ (\ PageIndex {3c} \) и \ (\ PageIndex {3d} \). Обратите внимание, что величины заряда, тока и напряжения экспоненциально уменьшаются, приближаясь к нулю с увеличением времени.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (a) Заряд конденсатора в зависимости от времени, когда конденсатор разряжается. (б) Ток через резистор в зависимости от времени. (c) Разность напряжений на конденсаторе. (d) Разность напряжений на резисторе.

Теперь мы можем объяснить, почему вспышка камеры , упомянутая в начале этого раздела, требует гораздо больше времени для зарядки, чем для разрядки: сопротивление во время зарядки значительно больше, чем во время разрядки. Внутреннее сопротивление батареи составляет большую часть сопротивления во время зарядки.По мере старения аккумулятора возрастающее внутреннее сопротивление делает процесс зарядки еще медленнее.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): Осциллятор релаксации

Одним из применений схемы RC является релаксационный генератор, как показано ниже. Релаксационный генератор состоит из источника напряжения, резистора, конденсатора и неоновой лампы. Неоновая лампа действует как разомкнутая цепь (бесконечное сопротивление), пока разность потенциалов на неоновой лампе не достигнет определенного напряжения.При таком напряжении лампа действует как короткое замыкание (нулевое сопротивление), и конденсатор разряжается через неоновую лампу и производит свет. В показанном релаксационном генераторе источник напряжения заряжает конденсатор до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет 80 В. Когда это происходит, неон в лампе выходит из строя и позволяет конденсатору разряжаться через лампу, создавая яркую вспышку. После того, как конденсатор полностью разрядится через неоновую лампу, он снова начинает заряжаться, и процесс повторяется.{-t / \ tau}) = ln \ left (1 — \ frac {V_C (t)} {\ epsilon} \ right), \]

\ [t = — \ tau ln \ left (1 — \ frac {V_C (t)} {\ epsilon} \ right) = -5,05 \, s \ cdot ln \ left (1 — \ frac {80 \, V } {100 \, V} \ right) = 8.13 \, s. \]

Значение

Одним из применений генератора релаксации является управление световыми индикаторами, которые мигают с частотой, определяемой значениями для R и C . В этом примере неоновая лампа будет мигать каждые 8,13 секунды с частотой \ (f = \ frac {1} {T} = \ frac {1} {8.13 \, s} = 0,55 \, Гц \). Осциллятор релаксации имеет много других практических применений. Он часто используется в электронных схемах, где неоновая лампа заменяется транзистором или устройством, известным как туннельный диод. Описание транзистора и туннельного диода выходит за рамки этой главы, но вы можете рассматривать их как переключатели, управляемые напряжением. Обычно это разомкнутые переключатели, но при подаче правильного напряжения переключатель замыкается и проводит ток. «Выключатель» можно использовать для включения другой цепи, включения света или запуска небольшого двигателя.Осциллятор релаксации может быть использован для того, чтобы заставить мигать поворотники вашего автомобиля или ваш мобильный телефон вибрировать.

Цепи RC находят множество применений. Их можно эффективно использовать в качестве таймеров для таких приложений, как стеклоочистители прерывистого действия, кардиостимуляторы и стробоскопы. В некоторых моделях стеклоочистителей прерывистого действия используется переменный резистор для регулировки интервала между движениями стеклоочистителя. Увеличение сопротивления увеличивает постоянную времени RC , что увеличивает время между срабатываниями дворников.

Еще одно приложение — кардиостимулятор . Частота сердечных сокращений обычно контролируется электрическими сигналами, которые заставляют сердечные мышцы сокращаться и перекачивать кровь. Если сердечный ритм ненормален (сердцебиение слишком высокое или слишком низкое), для исправления этого нарушения можно использовать кардиостимуляторы. У кардиостимуляторов есть датчики, которые обнаруживают движение тела и дыхание, чтобы увеличить частоту сердечных сокращений во время физических нагрузок, таким образом удовлетворяя повышенную потребность в крови и кислороде, а временная схема RC может использоваться для контроля времени между сигналами напряжения, подаваемыми на сердце.

Забегая вперед к изучению цепей переменного тока (цепей переменного тока), переменные напряжения изменяются как синусоидальные функции с определенными частотами. Ученые часто регистрируют периодические изменения напряжения или электрических сигналов. Эти сигналы напряжения могут исходить от музыки, записанной с помощью микрофона, или от атмосферных данных, собранных радаром. Иногда эти сигналы могут содержать нежелательные частоты, известные как «шум». RC Фильтры могут использоваться для фильтрации нежелательных частот.

В области изучения электроники популярное устройство, известное как таймер 555, выдает синхронизированные импульсы напряжения. Время между импульсами контролируется схемой RC . Это лишь некоторые из бесчисленных применений схем RC .

Пример \ (\ PageIndex {2} \): прерывистые работы дворников

Осциллятор релаксации используется для управления парой дворников. Релаксационный генератор состоит из конденсатора емкостью 10,00 мФ и переменного резистора (10,00 кОм), известного как реостат.Ручка, подключенная к переменному резистору, позволяет регулировать сопротивление от \ (0.00 \, \ Omega \) до \ (10.00 \, k \ Omega \). Выход конденсатора используется для управления переключателем, управляемым напряжением. Переключатель обычно разомкнут, но когда выходное напряжение достигает 10,00 В, переключатель замыкается, запитывая электродвигатель и разряжая конденсатор. Двигатель заставляет дворники один раз подметать лобовое стекло, и конденсатор снова начинает заряжаться. На какое сопротивление нужно регулировать реостат при периоде работы щеток стеклоочистителя 10.3 \, \ Omega) ln \ left (1 — \ frac {10 \, V} {12 \, V} \ right) = 179,18 \, s = 2,98 \, мин. \]

Схема RC имеет тысячи применений и очень важна для изучения. Его можно не только использовать для измерения времени в цепях, но и для фильтрации нежелательных частот в цепи и в источниках питания, например в вашем компьютере, чтобы преобразовать переменное напряжение в постоянное.

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами.Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

Зарядка и разрядка конденсатора от постоянного тока. источник — Конденсаторы — Высшая физика. Редакция

Показанная схема используется для исследования заряда и разряда конденсатора. Источник имеет незначительное внутреннее сопротивление.

Конденсатор изначально не заряжен. Когда переключатель перемещается в положение \ (1 \), электроны перемещаются от отрицательного вывода источника питания к нижней пластине конденсатора.Этому движению заряда противодействует резистор \ (R \), поэтому начальный ток в цепи равен \ (I = \ frac {E} {R} \)

Зарядка

Во время зарядки конденсатора:

• зарядный ток уменьшается от начального значения \ (\ frac {E} {R} \) до нуля
• разность потенциалов на пластинах конденсатора увеличивается от нуля до максимального значения \ (E \), когда конденсатор полностью заряжен
• все время сумма разности потенциалов на конденсаторе и разности потенциалов на резисторе равна ЭДС источника питания
• разности потенциалов на резисторе (определяется как \ ({V_R} = IR \ )) уменьшается от начального значения \ (E \) до нуля, когда конденсатор полностью заряжен

Когда переключатель перемещается в положение \ (2 \), электроны перемещаются от нижней пластины через резистор к верхней пластине. конденсатора.

Движение электронов через амперметр противоположно направлению зарядки.

Разрядка

Во время разряда конденсатора:

• ток разряда уменьшается с начального значения \ (- \ frac {E} {R} \) до нуля
• разность потенциалов на обкладках конденсатора уменьшается с \ (E \) до нуля, когда конденсатор полностью разряжен
• , разность потенциалов на конденсаторе всегда равна разности потенциалов на резисторе
• разности потенциалов на резисторе (задается как \ ({V_R} = IR \)) уменьшается от начального значения \ (E \) до нуля, когда конденсатор полностью разряжен

Зарядка и разрядка конденсатора

DC-Circuits> Зарядка и разрядка конденсатора

Конденсатор — это пассивное устройство, которое накапливает энергию в своем электрическом поле и при необходимости возвращает энергию в цепь.Конденсатор состоит из двух проводящих пластин, разделенных изоляционным материалом или диэлектриком. Рисунок 1 и Рисунок 2 представляют собой базовую структуру и схематический символ конденсатора соответственно.

Рисунок 1: Базовая структура конденсатора

Рисунок 2: Схематическое обозначение конденсатора

Когда конденсатор подключен к цепи с источником постоянного тока (DC), в определенных условиях происходят два процесса, которые называются «зарядка» и «разрядка» конденсатора.

На рисунке 3 конденсатор подключен к источнику постоянного тока, и ток течет по цепи. Обе пластины получают одинаковые и противоположные заряды, и во время зарядки конденсатора создается возрастающая разность потенциалов, v _c . Как только напряжение на выводах конденсатора, v _c , становится равным напряжению источника питания, v _c = V, конденсатор полностью заряжен и ток перестает протекать по цепи, фаза зарядки завершается.

Рисунок 3: Конденсатор заряжается

Конденсатор эквивалентен разомкнутой цепи для постоянного тока, R = ∞, потому что после завершения фазы зарядки через него больше не течет ток. Напряжение v _c на конденсаторе не может резко измениться.

Когда конденсатор отключен от источника питания, конденсатор разряжается через резистор R _D , и напряжение между пластинами постепенно падает до нуля, v _c = 0, рисунок 4.

Рисунок 4: Конденсатор разряжается

На рисунках 3 и 4 сопротивления R _C и R _D влияют на скорость заряда и скорость разряда конденсатора соответственно.

Произведение сопротивления R и емкости C называется постоянной времени τ, которая характеризует скорость зарядки и разрядки конденсатора, рис. 5.

Рисунок 5: Напряжение v _c и ток iC во время фазы зарядки и фазы разрядки

Чем меньше сопротивление или емкость, тем меньше постоянная времени, тем быстрее происходит зарядка и разрядка конденсатора, и наоборот.

Конденсаторы встречаются практически во всех электронных схемах. Их можно использовать как быструю батарею. Например, конденсатор — это хранилище энергии в блоке фотовспышки, которое быстро высвобождает энергию в течение короткого периода вспышки.

DC-Circuits> Зарядка и разрядка конденсатора

RC схем — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

• Опишите процесс зарядки конденсатора
• Опишите процесс разрядки конденсатора
• Перечислите некоторые применения RC-цепей

При использовании камеры со вспышкой зарядка конденсатора, питающего вспышку, занимает несколько секунд.Световая вспышка разряжает конденсатор за крошечные доли секунды. Почему зарядка занимает больше времени, чем разрядка? Этот вопрос и несколько других явлений, связанных с зарядкой и разрядкой конденсаторов, обсуждаются в этом модуле.

Цепи с сопротивлением и емкостью

Цепь RC — это цепь, содержащая сопротивление и емкость. Как показано в разделе «Емкость», конденсатор — это электрический компонент, который накапливает электрический заряд, накапливая энергию в электрическом поле.

(Рисунок) (а) показана простая схема RC , в которой используется источник постоянного напряжения (постоянного тока), резистор R , конденсатор C и двухпозиционный переключатель. Схема позволяет конденсатору заряжаться или разряжаться в зависимости от положения переключателя. Когда переключатель перемещается в положение A , конденсатор заряжается, в результате чего возникает цепь в части (b). Когда переключатель перемещается в положение B , конденсатор разряжается через резистор.

(a) Схема RC с двухполюсным переключателем, который можно использовать для зарядки и разрядки конденсатора. (b) Когда переключатель перемещается в положение A , схема сводится к простому последовательному соединению источника напряжения, резистора, конденсатора и переключателя. (c) Когда переключатель перемещается в положение B , схема сводится к простому последовательному соединению резистора, конденсатора и переключателя. Источник напряжения снимается с цепи.

Зарядка конденсатора

Мы можем использовать правило петли Кирхгофа, чтобы понять заряд конденсатора. Это приводит к уравнению. Это уравнение можно использовать для моделирования заряда как функции времени при зарядке конденсатора. Емкость определяется как напряжение на конденсаторе. По закону Ома падение потенциала на резисторе равно

Это дифференциальное уравнение можно проинтегрировать, чтобы найти уравнение для заряда конденсатора как функции времени.

Пусть, тогда Результат

В результате упрощения получается уравнение для заряда зарядного конденсатора как функции времени:

График зависимости заряда конденсатора от времени показан на (Рисунок) (а). Во-первых, обратите внимание, что по мере приближения времени к бесконечности экспонента стремится к нулю, поэтому заряд приближается к максимальному и имеет единицы кулонов. Единицы измерения RC — секунды, единицы времени. Эта величина известна как постоянная времени:

.

В момент времени заряд равен максимальному.Обратите внимание, что изменение скорости заряда во времени представляет собой наклон в точке графика зависимости заряда от времени. Наклон графика велик во времени и приближается к нулю с увеличением времени.

По мере увеличения заряда конденсатора ток через резистор уменьшается, как показано на (Рисунок) (b). Ток через резистор можно найти, взяв производную заряда по времени.

В момент тока через резистор. Когда время приближается к бесконечности, ток приближается к нулю.В момент времени ток через резистор равен

.

(a) Заряд конденсатора в зависимости от времени при зарядке конденсатора. (б) Ток через резистор в зависимости от времени. (c) Разность напряжений на конденсаторе. (d) Разность напряжений на резисторе.

(Рисунок) (c) и (Рисунок) (d) показывают разность напряжений на конденсаторе и резисторе, соответственно. По мере увеличения заряда конденсатора ток уменьшается, как и разница напряжений на резисторе. Разница напряжений на конденсаторе увеличивается как

.

Разряд конденсатора

Когда переключатель на (Рисунок) (a) перемещается в положение B , схема сокращается до схемы в части (c), и заряженному конденсатору позволяют разрядиться через резистор.График зависимости заряда конденсатора от времени показан на (Рисунок) (а). Использование правила петли Кирхгофа для анализа цепи при разряде конденсатора приводит к уравнению, которое упрощается до. Используя определение тока и интегрируя уравнение контура, получаем уравнение для заряда конденсатора как функции времени:

Здесь Q — начальный заряд конденсатора и постоянная времени схемы. Как показано на графике, заряд экспоненциально уменьшается от начального заряда, приближаясь к нулю, когда время приближается к бесконечности.

Ток как функцию времени можно найти, взяв производную заряда по времени:

Отрицательный знак показывает, что ток течет в направлении, противоположном току, наблюдаемому при зарядке конденсатора. (Рисунок) (b) показывает пример графика зависимости заряда от времени и тока от времени. График зависимости разности напряжений на конденсаторе и разницы напряжений на резисторе от времени показан в частях (c) и (d) рисунка.Обратите внимание, что величины заряда, тока и напряжения экспоненциально уменьшаются, приближаясь к нулю с увеличением времени.

(a) Заряд конденсатора в зависимости от времени при разряде конденсатора. (б) Ток через резистор в зависимости от времени. (c) Разность напряжений на конденсаторе. (d) Разность напряжений на резисторе.

Теперь мы можем объяснить, почему упомянутой в начале этого раздела фотовспышке требуется гораздо больше времени для зарядки, чем для разрядки: сопротивление во время зарядки значительно больше, чем во время разрядки.Внутреннее сопротивление батареи составляет большую часть сопротивления во время зарядки. По мере старения аккумулятора возрастающее внутреннее сопротивление делает процесс зарядки еще медленнее.

Осциллятор релаксации

Одним из применений схемы RC является осциллятор релаксации, как показано ниже. Релаксационный генератор состоит из источника напряжения, резистора, конденсатора и неоновой лампы. Неоновая лампа действует как разомкнутая цепь (бесконечное сопротивление), пока разность потенциалов на неоновой лампе не достигнет определенного напряжения.При таком напряжении лампа действует как короткое замыкание (нулевое сопротивление), и конденсатор разряжается через неоновую лампу и производит свет. В показанном релаксационном генераторе источник напряжения заряжает конденсатор до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет 80 В. Когда это происходит, неон в лампе выходит из строя и позволяет конденсатору разряжаться через лампу, создавая яркую вспышку. После того, как конденсатор полностью разрядится через неоновую лампу, он снова начинает заряжаться, и процесс повторяется.Если предположить, что время, необходимое конденсатору для разряда, ничтожно мало, каков временной интервал между вспышками?

Стратегия

Период времени можно найти, рассматривая уравнение, где

Решение Неоновая лампа мигает, когда напряжение на конденсаторе достигает 80 В. Постоянная времени RC равна Мы можем решить уравнение напряжения для времени, которое требуется конденсатору для достижения 80 В:

Значение Одно из применений генератора релаксации — управление световыми индикаторами, которые мигают с частотой, определяемой значениями для R и C .В этом примере неоновая лампа будет мигать каждые 8,13 секунды, частота генератора релаксации имеет много других практических применений. Он часто используется в электронных схемах, где неоновая лампа заменяется транзистором или устройством, известным как туннельный диод. Описание транзистора и туннельного диода выходит за рамки этой главы, но вы можете рассматривать их как переключатели, управляемые напряжением. Обычно это разомкнутые переключатели, но при подаче правильного напряжения переключатель замыкается и проводит ток.«Выключатель» можно использовать для включения другой цепи, включения света или запуска небольшого двигателя. Осциллятор релаксации может быть использован для того, чтобы заставить мигать поворотники вашего автомобиля или ваш мобильный телефон вибрировать.

Цепи RC находят множество применений. Их можно эффективно использовать в качестве таймеров для таких приложений, как стеклоочистители прерывистого действия, кардиостимуляторы и стробоскопы. В некоторых моделях стеклоочистителей прерывистого действия используется переменный резистор для регулировки интервала между движениями стеклоочистителя.Увеличение сопротивления увеличивает постоянную времени RC , что увеличивает время между срабатываниями дворников.

Еще одно приложение — кардиостимулятор. Частота сердечных сокращений обычно контролируется электрическими сигналами, которые заставляют сердечные мышцы сокращаться и перекачивать кровь. Если сердечный ритм ненормален (сердцебиение слишком высокое или слишком низкое), для исправления этого нарушения можно использовать кардиостимуляторы. У кардиостимуляторов есть датчики, которые обнаруживают движение тела и дыхание, чтобы увеличить частоту сердечных сокращений во время физических нагрузок, таким образом удовлетворяя повышенную потребность в крови и кислороде, а также можно использовать схему синхронизации RC для контроля времени между сигналами напряжения, подаваемыми на сердце.

Забегая вперед к изучению цепей переменного тока (цепей переменного тока), переменные напряжения изменяются как синусоидальные функции с определенными частотами. Ученые часто регистрируют периодические изменения напряжения или электрических сигналов. Эти сигналы напряжения могут исходить от музыки, записанной с помощью микрофона, или от атмосферных данных, собранных радаром. Иногда эти сигналы могут содержать нежелательные частоты, известные как «шум». Фильтры RC могут использоваться для фильтрации нежелательных частот.

В области изучения электроники популярное устройство, известное как таймер 555, выдает синхронизированные импульсы напряжения. Время между импульсами контролируется схемой RC . Это лишь некоторые из бесчисленных применений схем RC .

Схема RC имеет тысячи применений и очень важна для изучения. Его можно не только использовать для измерения времени в цепях, но и для фильтрации нежелательных частот в цепи и в источниках питания, например в вашем компьютере, чтобы преобразовать переменное напряжение в постоянное.

.