Зануление матрицы: Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Содержание

Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите

определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных — возможность получения подробного решения. Наш сервис при

вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:


Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.


Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.


Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.

Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4

. Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.


Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

Новости ИСП РАН

15 Марта, 2022
Конференция OS DAY 2022 «Технологические основы безопасности операционных систем» состоится в июне

IX международная научно-практическая конференция OS DAY 2022 состоится 23-24 июня в Москве. Ее главной темой станет технологическое обеспечение безопасности операционных систем. В программе конференции запланировано проведение двух тематических круглых столов с участием представителей государственных регуляторов, разработчиков российского системного программного обеспечения и заказчиков.

10 Марта, 2022
ИСП РАН предоставляет безвозмездный доступ к своим технологиям сроком на полгода

ИСП РАН предлагает заинтересованным российским компаниям бесплатный доступ к своим программным технологиям безопасной разработки сроком на шесть месяцев. Те, у кого уже есть лицензии института, получают их автоматическое продление на полгода. Вместе с доступом предоставляются консультации, техническая поддержка и обновления, возникающие в период действия безвозмездной лицензии. Технологии безопасной разработки ИСП РАН в разной комплектации уже внедрены более чем в 40 компаниях (Samsung, «Лаборатория Касперского», ГК Astra Linux, «ИВК» и многие другие).

11 Февраля, 2022
11 февраля – Международный день женщин в науке

Сегодня – Международный день женщин и девочек в науке. Он отмечается ежегодно 11 февраля по инициативе Генеральной Ассамблеи ООН для поддержки полного доступа женщин к научно-исследовательской деятельности, а также для признания их роли в развитии науки и техники. В 2021-2022 учебном году обучение на кафедрах системного программирования в МФТИ, на факультете компьютерных наук НИУ ВШЭ и на ВМК МГУ проходят 40 студенток. Научно-исследовательскую работу в ИСП РАН ведут 7 аспиранток. Всего в институте – более 150 сотрудниц, среди которых 13 кандидатов наук и 5 докторов наук.

08 Февраля, 2022
С Днём российской науки!

Сегодня – День российской науки. Он был учреждён 7 июня 1999 года и отмечается ежегодно 8 февраля в честь основания в России Академии наук.

25 Января, 2022
Поздравляем с Днем студента!

25 января в России отмечается День российского студенчества, Татьянин день. История праздника восходит к 1755 году, когда указом императрицы Елизаветы Петровны был учреждён Московский университет. По православному календарю 25 января – день памяти св. Татьяны, поэтому она стала считаться покровительницей университета, а затем и всех студентов. В 2005 году, когда МГУ исполнилось 250 лет, День российского студенчества стал общероссийским праздником.

21 Января, 2022
Поздравляем с Днем аспиранта!

21 января в России отмечается День аспиранта. Праздник приурочен к выходу первых документов, регламентирующих систему подготовки научных работников в РСФСР. Это произошло в 1925 году, а сам День аспиранта начали отмечать относительно недавно – в 2008 году.

12 Января, 2022
Более 500 человек приняли участие в Открытой конференции ИСП РАН в Москве

2-3 декабря в Москве состоялась ежегодная Открытая конференция Института системного программирования им. В.П. Иванникова Российской академии наук. В этом году она впервые объединила пять секций. Участники представили более 90 научных докладов – в частности, в области анализа данных, анализа программ и математического моделирования. Кроме того, состоялись два круглых стола (по цифровой медицине и открытым САПР микроэлектронной аппаратуры) и две встречи, посвящённые анализу программ, с участием представителей ФСТЭК России, а также ведущих компаний индустрии («Лаборатория Касперского», «Открытая мобильная платформа», «Код безопасности», ГК Astra Linux и другие).

05 Ноября, 2021
OS DAY 2021: ИТ-отрасль движется к кооперации ради безопасности

В Москве состоялась VIII Научно-практическая конференция OS DAY, собравшая в здании Российской академии наук и онлайн более 2000 разработчиков программного обеспечения, производителей аппаратных платформ, представителей регуляторов, заказчиков высокотехнологичной продукции, всех, кого волнует тема разработки отечественных операционных систем и создания в России собственного ПО и аппаратного обеспечения. Темой OS DAY в этом году стало взаимодействие создателей отечественных ОС и аппаратных платформ, а главными задачами – налаживание прямой связи и постоянной совместной работы системных программистов с создателями «железа», начиная с самых ранних этапов разработки, организация взаимодействия между представителями различных направлений в отрасли, создание экосистемы отечественного софта и аппаратных платформ.

09 Октября, 2021
ИСП РАН и правительство Башкортостана заключили соглашение по развитию лингвистической платформы Lingvodoc

Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН и Правительство Республики Башкортостан заключили соглашение о сотрудничестве по развитию лингвистической платформы ИСП РАН Lingvodoc в рамках программы совместных комплексных исследований северо-западного диалекта башкирского языка.

05 Октября, 2021
ИСП РАН стал одним из победителей конкурса заявок на создание исследовательского центра по искусственному интеллекту

Рабочая группа, состоящая из 16 экспертов, под председательством Заместителя Председателя Правительства Дмитрия Чернышенко завершила отбор исследовательских центров, которые получат грантовую поддержку в рамках федерального проекта «Искусственный интеллект».

01 Октября, 2021
ИСП РАН и ННГУ провели ежегодную конференцию «Иванниковские чтения»

24 сентября в Нижнем Новгороде состоялась четвертая международная конференция «Иванниковские чтения», посвященная разработке инновационных технологий в области системного программирования. Организаторами выступили Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН и Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского, где и прошла конференция. Число участников превысило 300 человек. В рамках пяти секций было представлено более 40 докладов по таким актуальным направлениям, как анализ и трансформация программ, управление данными, решение задач механики сплошных сред, а также по цифровой медицине и кибербезопасности. Кроме того, на конференции было объявлено, что ИСП РАН выбран организатором крупной международной конференции COMPSAC, которая впервые пройдёт в России летом 2023 года.

10 Сентября, 2021
Директор ИСП РАН А.И. Аветисян получил медаль ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени

Поздравляем директора ИСП РАН, академика РАН А.И. Аветисяна с вручением государственной награды – медали ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени! Желаем дальнейших профессиональных и творческих успехов.

09 Сентября, 2021
ИСП РАН выступит партнером конференции «Вычислительная биология и искусственный интеллект для персонализированной медицины»

ИСП РАН совместно с МФТИ, 10x Genomics и SkyGen выступит партнером конференции «Вычислительная биология и искусственный интеллект для персонализированной медицины», которую организуют Министерство высшего образования и науки РФ и Национальный медицинский исследовательский центр эндокринологии. Мероприятие пройдет 23 сентября 2021 года в онлайн-формате. Ученые и медики обсудят применение ИТ в биомедицинских исследованиях и клинической деятельности.

09 Сентября, 2021
Защита диссертаций

09 декабря 2021 года в 15:00 в Актовом зале ИСП РАН состоится защита диссертаций в Диссертационном совете Д 002.087.01 при ИСП РАН.

02 Сентября, 2021
МГИМО и ИСП РАН будут сотрудничать в области анализа данных

Московский государственный институт международных отношений МИД России и Институт системного программирования им. В.П. Иванникова Российской академии наук заключили соглашение о сотрудничестве. В присутствии министра иностранных дел России С.В. Лаврова документ подписали ректор МГИМО, академик РАН А.В. Торкунов и директор ИСП РАН, академик РАН А.И. Аветисян. Соглашение имеет дорожную карту, в которой определён ряд взаимосвязанных мероприятий. Это запуск новой магистерской программы и новых образовательных курсов, а также создание цифровой платформы интеллектуального анализа больших данных в области международных отношений. На базе данной платформы студенты и молодые учёные будут вовлекаться в проектную деятельность, связанную с решением прикладных задач МИД.

26 Августа, 2021
Открыт набор на бесплатные курсы по системному программированию для студентов МФТИ

Открыт набор на курсы «Системное программирование» от базовой организации ФПМИ МФТИ — Института системного программирования им. В.П. Иванникова РАН и компании Huawei. Это бесплатная двухгодичная программа дополнительного образования для студентов МФТИ, которые хотят стать высококвалифицированными системными программистами. Она подготовлена опытными разработчиками и преподавателями МФТИ, ИСП РАН и Huawei.

01 Июля, 2021
Директор ИСП РАН Арутюн Аветисян возглавил рабочую группу РАН по вопросам цифровой трансформации

Рабочая группа для решения фундаментальных и прикладных проблем информационных технологий создана в Российской академии наук (РАН). Соответствующее распоряжение президента РАН Александра Сергеева опубликовано на сайте академии. «С целью проработки вопросов практической реализации мероприятий по цифровой трансформации создать рабочую группу по фундаментальным и прикладным проблемам информационных технологий», – говорится в документе. Этим же распоряжением утвержден состав группы. Ее возглавил директор Института системного программирования (ИСП) РАН Арутюн Аветисян. Также в группу вошли академики РАН, представители МГУ им. Ломоносова, МФТИ, Сколковского института науки и технологий, НИУ ВШЭ и другие.

01 Июля, 2021
Интервью директора ИСП РАН Арутюна Аветисяна о модернизации направления «Программная инженерия» в ВШЭ

Направление «Программная инженерия» на факультете компьютерных наук ВШЭ недавно было модернизировано. Академическим партнером стал Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН (ИСП РАН), а научным руководителем направления — директор ИСП РАН, академик РАН заведующий базовой кафедрой «Системное программирование» ИСП РАН факультета компьютерных наук ВШЭ Арутюн Аветисян. В интервью новостной службе ВШЭ он рассказал о том, что изменится для студентов, насколько конкурентоспособно отечественное образование в области «Программная инженерия» и нужны ли программисту soft skills.

28 Июня, 2021
Приглашаем принять участие в конференции «Иванниковские чтения»

Международная конференция «Иванниковские чтения» посвящена разработке инновационных технологий в области системного программирования. Двухдневная встреча ведущих экспертов отрасли проводится ежегодно по инициативе Института системного программирования Российской академии наук (ИСП РАН) при поддержке IEEE и IEEE Computer Society в память академика В.П. Иванникова – выдающегося учёного, основателя института. Предстоящая конференция посвящена Году науки и технологий.

15 Июня, 2021
Платформа Lingvodoc: планы развития

Руководитель лингвистической лаборатории ИСП РАН д.ф.н. Ю.В. Норманская приняла участие в стратегической сессии по формированию новой государственной программы научно-технологического развития Российской Федерации. Одной из тем обсуждения стало возможное создание единой платформы для гуманитарных наук на базе кроссплатформенной системы Lingvodoc, которая разрабатывается в институте.


Страницы: 1 2 3 4 5 … 15 След.

Item-based коллаборативная фильтрация своими руками / Хабр

Одной из наиболее популярных техник для построения персонализированных рекомендательных систем (RS, чтобы не путать с ПиСи) является

коллаборативная фильтрация

. Коллаборативная фильтрация бывает двух типов: user-based и item-based. User-based часто используется в качестве примера построения персонализированных RS [

на хабре

,

в книге Т.Сегаран

,…]. Тем не менее, у user-based подхода есть существенный недостаток: с увеличением количества пользователей RS линейно увеличивается сложность вычисления персонализированной рекомендации.

Когда количество объектов для рекомендаций большое, затраты на user-based подход могут быть оправданы. Однако во многих сервисах, в том числе и в ivi.ru, количество объектов в разы меньше количества пользователей. Для таких случаев и придуман item-based подход.

В этой статье я расскажу, как за несколько минут можно создать полноценную персонализированную RS на основе item-based подхода.

Немного теории

Рассмотрим получение k персонализированных рекомендаций (top-k) для некоторого пользователя A. В случае с user-based подходом, для построения рекомендаций находятся так называемые пользователи-соседи (neighbors) пользователя A. Соседи пользователя А — это пользователи, наиболее похожие на него с точки зрения истории просмотров/рейтингов. Количество соседей варьируется в зависимости от реализации и требований к RS, но обычно не превышает 50. Зная предпочтения соседей и историю просмотров пользователя А, RS строит top-k рекомендаций. Такой подход предполагает, что пользователю A понравятся те же объекты, что и пользователям-соседям.

В случае с item-based подходом пользователь A характеризуется объектами objsA, которые он просмотрел или оценил. Для каждого объекта из objsA определяется m объектов-соседей, т.е. находятся m наиболее похожих объектов с точки зрения просмотров/оценок пользователей. При построении RS для фильмов, m принимает значения от 10 до 30. Все объекты-соседи объединяются во множество из которого исключаются объекты, просмотренные или оцененные пользователем A. Из оставшегося множества строится top-k рекомендаций. Таким образом, при item-based подходе в создании рекомендаций участвуют все пользователи, которым понравился тот или иной объект из objsA.

В нашем случае для получения top-k рекомендаций используется простейший вариант алгоритма Deshpande M. и Karypsis G.. Рекомендации строятся на основе рейтингов зарегистрированных пользователей ivi.ru.

Реализация

Описанный ниже код позволяет получать рекомендации по фильмам для некоторого пользователя A по его истории рейтингов. Данные о рейтингах пользователей ivi.ru (за последние 30 дней) и названиях фильмов для удобства были предварительно выкачены в sqlite БД — ivi_rates.db.

RS построена на Python с использованием пакетов: numpy, scipy, scikit-learn. Некоторые участки кода могут показаться «дикими» вследствие оптимизации, для них есть комментарии.

Подготовка матрицы item-user

Item-user матрица является исходной матрицей как для user-based, так и для item-based коллаборативной фильтрации. Строке данной матрицы соответствует объект, в нашем случае фильм. Столбцу соответствует пользователь. В ячейках матрицы расположены рейтинги.

Для уменьшения шума в рекомендациях и увеличения их точности используются только данные о фильмах с количеством просмотров/рейтингов не менее определенного значения (confidence value). В нашем случае в построении item-user матрицы будут участвовать фильмы минимум c 10 рейтингами. Также, для уменьшения размерности пространства пользователей, мы исключим из построения всех пользователей, которые оценили только один фильм.

Матрица item-user будет сильно разрежена, поэтому и хранить её мы будем соответствующим образом.

import sqlite3
conn = sqlite3.connect('ivi_rates.db')
cursor = conn.cursor()

# строим индекс user_id -> col_id, где col_id - идентификатор столбца в матрице
# берем пользователей, оценивших не менее 2 фильмов
users_sql = """
    SELECT user_id
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL
    GROUP BY user_id HAVING count(obj_id) >= 2
"""
cursor.execute(users_sql)
user_to_col = {}
for col_id, (user_id,) in enumerate(cursor):
    user_to_col[user_id] = col_id

# строим индекс obj_id -> row_id, где row_id - идентификатор строки в матрице
# берем только фильмы, которые оценили не менее 10 пользователей
objs_sql = """
    SELECT obj_id
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL AND user_id IN (
        SELECT user_id
        FROM rates
        WHERE rate IS NOT NULL
        GROUP BY user_id HAVING count(obj_id) >= 2
    )
    GROUP BY obj_id HAVING count(user_id) >= 10 
"""
cursor.execute(objs_sql)
obj_to_row = {}
for row_id, (obj_id,) in enumerate(cursor):
    obj_to_row[obj_id] = row_id
    
print u"Количество пользователей:", len(user_to_col)
print u"Количество объектов:", len(obj_to_row)

Количество пользователей: 353898
Количество объектов: 7808

Индексы нужны для быстрого преобразования идентификаторов пользователей/фильмов в идентификаторы столбцов/строк. Зная количество фильмов и пользователей, можно упростить процесс создания и заполнения матрицы item-user.

from scipy.sparse import lil_matrix

sql = """
    SELECT obj_id, user_id, rate
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL
"""
cursor.execute(sql)

matrix = lil_matrix((len(obj_to_row), len(user_to_col)))  # создаем матрицу нужных размеров
# заполняем матрицу
for obj_id, user_id, rate in cursor:
    row_id = obj_to_row.get(obj_id)
    col_id = user_to_col.get(user_id)
    if row_id is not None and col_id is not None:
        matrix[row_id, col_id] = min(rate, 10)
        
percent = float(matrix.nnz) / len(obj_to_row) / len(user_to_col) * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent

Процент заполненности матрицы: 0.17%
Подготовка матрицы item-item

Основной матрицей для item-based подхода является матрица item-item. Строкам и столбцам этой матрицы соответствуют объекты. В ячейках хранится значение схожести объектов. Для определения схожести двух объектов используется метрика

косинусной меры угла

. Список рекомендаций вычисляется путем перемножения матрицы item-item на вектор просмотров/рейтингов пользователя A.

В item-item матрице все значения по диагонали равны 1 (объект на 100% похож на себя). Чтобы исключить диагональ из рекомендаций, ее обычно зануляют.

При стабильном интересе пользователей к объектам, матрица item-item также является стабильной. Под стабильностью интересов подразумевается следующее: если пользователю B нравятся фильмы, понравившиеся пользователю A, то велика вероятность, что пользователю B понравится еще один фильм из списка фильмов, понравившихся пользователю A. Стабильность матрицы означает, что с появлением новых просмотров/рейтингов значения внутри ячеек матрицы будут почти неизменны. Стабильность позволяет не перестраивать матрицу каждый раз при появлении новых рейтингов.

Scipy, numpy, scikit позволяют выполнять матричные операции очень быстро (скорее всего, быстрее, чем любая самописная итерация). При использовании матриц лучше использовать функции из этих пакетов.

from sklearn.preprocessing import normalize
from scipy.sparse import spdiags

# косинусная мера вычисляется как отношение скалярного произведения векторов(числитель) 
# к произведению длины векторов(знаменатель)

# нормализуем исходную матрицу 
# (данное действие соответствует приведению знаменателя в формуле косинусной меры к 1)
normalized_matrix = normalize(matrix.tocsr()).tocsr()
# вычисляем скалярное произведение
cosine_sim_matrix = normalized_matrix.dot(normalized_matrix.T)

# обнуляем диагональ, чтобы исключить ее из рекомендаций
# быстрое обнуление диагонали
diag = spdiags(-cosine_sim_matrix.diagonal(), [0], *cosine_sim_matrix.shape, format='csr')
cosine_sim_matrix = cosine_sim_matrix + diag

percent = float(cosine_sim_matrix.nnz) / cosine_sim_matrix.shape[0] / cosine_sim_matrix.shape[1] * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent
print u"Размер в МБ:", cosine_sim_matrix.data.nbytes / 1024 / 1024

Процент заполненности матрицы: 45.54%
Размер в МБ: 211

На самом деле, в каждой строке полученной матрицы item-item хранится список соседей объекта, соответствующего данной строке. Как уже было сказано ранее, для item-based подхода достаточно хранить m наиболее похожих объектов-соседей (top-m). Так как мы работаем с фильмами, то возьмем m равным 30.

from scipy.sparse import vstack
import numpy as np

cosine_sim_matrix = cosine_sim_matrix.tocsr()
m = 30

# построим top-m матрицу в один поток
rows = []
for row_id in np.unique(cosine_sim_matrix.nonzero()[0]):
    row = cosine_sim_matrix[row_id]  # исходная строка матрицы
    if row.nnz > m:
        work_row = row.tolil()
        # заменяем все top-m элементов на 0, результат отнимаем от row
        # при большом количестве столбцов данная операция работает быстрее, 
        # чем простое зануление всех элементов кроме top-m
        work_row[0, row.nonzero()[1][np.argsort(row.data)[-m:]]] = 0
        row = row - work_row.tocsr()
    rows.append(row)
topk_matrix = vstack(rows) 
# нормализуем матрицу-результат
topk_matrix = normalize(topk_matrix)

percent = float(topk_matrix.nnz) / topk_matrix.shape[0] / topk_matrix.shape[1] * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent
print u"Размер в МБ:", topk_matrix.data.nbytes / 1024 / 1024

Процент заполненности матрицы: 0.38%
Размер в МБ: 1

Согласно работе Deshpande M. и Karypsis G. рекомендации получаются лучше при нормализации конечной матрицы.

Полученная top-m матрица является сильно разреженой и ее размер составляет всего 1 МБ. Т.е. в нашем случае для построения рекомендаций на основании данных о 353898 пользователях и 7808 объектах достаточно хранить матрицу размером всего 1 МБ.

Получение рекомендаций

Теперь, когда у нас есть матрица item-item, мы можем построить персонализированные рекомендации для пользователя А.

Получение рекомендаций состоит из трех этапов:

  1. перемножить матрицу item-item и вектор просмотров/рейтингов пользователя A;
  2. в векторе-результате занулить ячейки, соответствующие фильмам, которые пользователь A уже просмотрел или оценил;
  3. отсортировать фильмы в порядке убывания значений, оставшихся в ячеках вектора-результата, и получить top-k рекомендованных фильмов.
# индекс для преобразования row_id -> obj_id, где row_id - идентификатор строки в матрице
row_to_obj = {row_id: obj_id for obj_id, row_id in obj_to_row.iteritems()}

# заранее собираем индекс obj_id -> title
title_sql = """
    SELECT obj_id, obj_title
    FROM rates
    GROUP BY obj_id, obj_title
"""
cursor.execute(title_sql)
obj_to_title = {}
for obj_id, title in cursor:
    obj_to_title[obj_id] = title
#подготавливаем вектор рейтингов пользователя:
user_vector = lil_matrix((len(obj_to_row), 1))
user_vector[7780, 0] = 7  # Скорый «Москва-Россия»
user_vector[7755, 0] = 10 # Отель «Гранд Будапешт»
user_vector[7746, 0] = 8  # Мстители
user_vector[7657, 0] = 8  # Охотники за сокровищами
user_vector[6683, 0] = 7  # 300 спартанцев: Расцвет империи
user_vector[7656, 0] = 9  # Невероятная жизнь Уолтера Митти
user_vector[7356, 0] = 9  # Одинокий рейнджер
user_vector[7296, 0] = 8  # Елки 3
user_vector[6839, 0] = 7  # Легенда №17
user_vector[4190, 0] = 7  # 21 и больше
user_vector[7507, 0] = 9  # Покорители волн
user_vector[6938, 0] = 9  # Кон-Тики
user_vector[4230, 0] = 10 # Карты, деньги, два ствола
user_vector[3127, 0] = 8  # 13
user_vector = user_vector.tocsr()
# 1. перемножить матрицу item-item и вектор рейтингов пользователя A
x = topk_matrix.dot(user_vector).tolil()
# 2. занулить ячейки, соответствующие фильмам, которые пользователь A уже оценил
for i, j in zip(*user_vector.nonzero()):
    x[i, j] = 0
    
# превращаем столбец результата в вектор
x = x.T.tocsr()    
    
# 3. отсортировать фильмы в порядке убывания значений и получить top-k рекомендаций (quorum = 10)
quorum = 10
data_ids = np.argsort(x.data)[-quorum:][::-1]

result = []
for arg_id in data_ids:
    row_id, p = x.indices[arg_id], x.data[arg_id] 
    result.append({"obj_id": row_to_obj[row_id], "weight": p})

result

Результат

[{‘obj_id’: 1156180, ‘weight’: 8.4493290509843408},
{‘obj_id’: 978100, ‘weight’: 6.4337821664936943},
{‘obj_id’: 1143770, ‘weight’: 5.5038366682680451},
{‘obj_id’: 978120, ‘weight’: 5.4203284682159421},
{‘obj_id’: 985220, ‘weight’: 5.2386991677359047},
{‘obj_id’: 1033040, ‘weight’: 5.0466735584390117},
{‘obj_id’: 1033290, ‘weight’: 4.8688497271055011},
{‘obj_id’: 1046560, ‘weight’: 4.6880514059004224},
{‘obj_id’: 984040, ‘weight’: 4.6199406111214927},
{‘obj_id’: 960770, ‘weight’: 4.5788899365020477}]

Ура! Мы построили рекомендации для пользователя. Однако в таком виде они мало о чем говорят. Хорошо, когда RS объясняет пользователю, почему ему рекомендуют тот или иной объект. Существует множество способов объяснения рекомендаций, полученных с использованием коллаборативной фильтрации (подробнее можно почитать у

J.Herlocker, J.Konstan, J.Riedl

). Здесь приведен один из способов объяснения рекомендаций, который легко реализуется с учетом имеющихся матриц и данных.

Каждый рекомендованный фильм будет объясняться так: Мы рекомендуем Вам "%(title)s", так как он нравится пользователям, просмотревшим "%(impact)s". Вы оценили "%(impact)s" на %(impact_value)s.

# фильмы, которые мы рекомендуем, и их связь с фильмами, которые оценил пользователь
result = []
for arg_id in data_ids:
    row_id, p = x.indices[arg_id], x.data[arg_id]
    obj_id = row_to_obj[row_id]
    
    # определяем, как повлиял на рекомендуемый фильм каждый из оцененных пользователем фильмов.
    # topk_matrix[row_id] - вектор соседей рекомендованного фильма obj_id
    # .multiply(user_vector.T) - зануляет все фильмы, которые пользователь не оценивал
    # impact_vector - вес просмотренных пользователем фильмов при подсчете метрики рекомендации obj_id
    impact_vector = topk_matrix[row_id].multiply(user_vector.T)
    
    # наиболее значимый фильм - ячейка с наибольшим значением в impact_vector
    impacted_arg_id = np.argsort(impact_vector.data)[-1]
    impacted_row_id = impact_vector.indices[impacted_arg_id]
    impact_value = user_vector[impacted_row_id, 0]
    impacted_obj_id = row_to_obj[impacted_row_id]  # наиболее значимый фильм
    
    rec_item = {
        "title": obj_to_title[obj_id],
        "weight": p,
        "impact": obj_to_title[impacted_obj_id],
        "impact_value": impact_value
    }
    result.append(rec_item)
    print u'''Мы рекомендуем Вам "%(title)s", так как он нравится пользователям, просмотревшим "%(impact)s". Вы оценили "%(impact)s" на %(impact_value)s.''' % rec_item

Результат

Мы рекомендуем Вам «Кухня в Париже», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Скорый «Москва-Россия»».
Вы оценили «Скорый «Москва-Россия»» на 7.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Невозможное», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Кон-Тики».
Вы оценили «Кон-Тики» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Приключения мистера Пибоди и Шермана», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Скорый «Москва-Россия»».
Вы оценили «Скорый «Москва-Россия»» на 7.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Паркер», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Карты, деньги, два ствола».
Вы оценили «Карты, деньги, два ствола» на 10.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Бойфренд из будущего», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Одинокий рейнджер».
Вы оценили «Одинокий рейнджер» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Волк с Уолл-стрит», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Невероятная жизнь Уолтера Митти».
Вы оценили «Невероятная жизнь Уолтера Митти» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Горько!», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Елки 3».
Вы оценили «Елки 3» на 8.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Стив Джобс. Потерянное интервью», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Кон-Тики».
Вы оценили «Кон-Тики» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Техасская резня бензопилой 3D», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Отель «Гранд Будапешт»».
Вы оценили «Отель «Гранд Будапешт»» на 10.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Хоббит: Пустошь Смауга», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Невероятная жизнь Уолтера Митти».
Вы оценили «Невероятная жизнь Уолтера Митти» на 9.0.
**************************

В приведенном примере построения RS не используется нормализация рейтингов, так как тема нормализации данных достойна отдельной статьи.

Описанный способ построения персонализированной RS позволяет показать, что item-based подход является мощным инструментом для построения RS. В то же время, стоит понимать, что современные RS используют несколько персонализированных и неперсонализированных методов для построения рекомендаций. Комбинированное использование различных методов позволяет создавать хорошие рекомендации независимо от количества данных о пользователе или объекте.

Вычислить определитель матрицы системы методом гаусса онлайн. Вычисление определителя

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:


Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………….. 2

1. Постановка задачи………………………………………………………………………….. 3

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи……………… 5

2.1 Определитель матрицы………………………………………………………………….. 5

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений…………………… 6

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя……………………………………. 8

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи…………………….. 9

4. Программная реализация решения задачи………………………………………. 11

5. Пример выполнения программы…………………………………………………….. 16

Заключение………………………………………………………………………………………. 18

Список использованных источников и литературы……………………………… 19

Введение

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.

Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.

1. Постановка задачи

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

. ~. . .

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

.

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

~.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

.

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Определитель матрицы

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать

или det A.

Определение. Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

.

Определителем

квадратной матрицы порядка n,

, называется число — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

Дана система:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn

Выполним следующий алгоритм.

На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей — на -a31/a11, и т.д.

На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец — ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.

Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).

В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:

Т.е. мы нашли решение системы.

Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.

Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя

Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).

Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).

Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE

4 Программная реализация решения задачи

;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

;ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DECLARE (SPECIAL DET))

;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ

(DECLARE (SPECIAL PAR))

(DECLARE (SPECIAL R))

(DECLARE (SPECIAL T_))

(DECLARE (SPECIAL I))

(DECLARE (SPECIAL II))

;*********************

(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE:ELEMENT-TYPE «FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))

((>= J (- SIZE 1)))

;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0

(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)

(SETQ II (+ J 1))

;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0

((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))

(SETQ II (+ II 1))

;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0

(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))

Вычислим определитель методом Гаусса.

Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка

элементдолжен быть равен
, для этого первую строку разделим на.

Получим определитель вида
(2)

Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на
, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на. Получим определитель вида
.

Обозначим его элементы буквой с, тогда

(3)

Теперь надо обнулить элемент . Элемент
должен быть равен
, для этого вторую строку разделим на
. Получим определитель вида
.

.

Обозначим его элементы буквой t, тогда

(4)

Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен
.

Разберем теперь это на конкретном примере.

Пример 4: Вычислить определительметодом Гаусса.

Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).

Получили

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили

Получили —

§2.Матрицы Виды матриц

Определение 7: Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она называетсяразмерностью mnи пишут
.

Определение 8: Если
, то матрица называется квадратной.

Определение 9: Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (столбцом).

Определение 10: Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой матрицей.

Определение 11: Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю.

Определение 12: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.

Определение 13: Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Действиянад матрицами.

Определение 14: Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и равные соответствующие элементы.

Пример 5:

Матрицы А и В равны, т.е.

Определение 15: Суммой (разностью) матриц А и В называется такая матрица С, у которой каждый элемент равен
.

Пример 6: Найти матрицу
, если

Решение:

Cвойства сложения

А+В=В+А(переместительное)

2 0 А+О=А, где О-нулевая матрица

3 0 А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)

4 0 А+(-А)=О, где – А противоположная матрица

(т.е. элементы имеют противоположные знаки)

Определение 16: Произведением матрицы А на число
называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.

Пример 7:

Умножение матиц

Это действие распространяется на так называемые согласованные матрицы.

Определение 17: Матрица А называетсясогласованной с матрицей В, если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.

Пример 8:
и
— согласованные

и
— несогласованные

и
несогласованные

Определение 18: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.

Если матрица А имеет размерность
, а матрица В
, то
.

Пример 9: Умножить матрицы

Алгоритм решения транспортной задачи с нарушенным балансом, страница 4

Для начала выполнения расчетов надо потенциал одной строки или одного столбца приравнять нулю. Затем, используя указанную формулу выполнить остальные вычисления. Примем за ноль потенциал первой строки u = 0.

Тогда v=c-u. Далее выбираем те базисные клетки, для которых уже имеется один потенциал (или строки или столбца), и определяем следующий потенциал. Для базисной клетки a известен потенциал первой строки u. Поэтому можем определить потенциал второго столбца: v=c-u. И так далее.

Для свободных клеток вычисляются оценки по формуле u+v-c0. Если оценки всех свободных клеток отрицательны или равны нулю, то опорный план - оптимальный. Если хотя бы одна оценка больше нуля, то относительно этой свободной клетки строят замкнутый контур и выполняют перераспределение ресурсов (аналогично распределительному методу). Если несколько свободных клеток имеют оценки, большие нуля, то замкнутый контур строят для свободной клетки с наибольшим значением оценки.

Если наибольшая положительная оценка принадлежит двум клеткам, то для дальнейшей работы можем выбрать любую из них. Составим для неё замкнутый контур и переместим ресурсы. Заново определим потенциалы и оценки.

Когда все оценки свободных клеток отрицательны или равны нулю, то опорный план является оптимальным. Определим стоимость перевозок по оптимальному плану.

Метод добротностей и распределительный метод также указали оптимальный план перевозок, но это были другие планы. Таким образом, рассмотренный пример содержит несколько альтернативных оптимальных планов перевозок.

Метод потенциалов предоставляет сведения, имеет ли транспортная задача альтернативные оптимальные планы перевозок.

Если одна или несколько оценок свободных клеток равны нулю, то транспортная задача имеет альтернативные оптимальные решения.

1.2.10. Дельта-метод

Дельта-метод может использоваться только в том случае, если все   значения   элементов   матрицы   стоимости неотрицательные.

Дельта-метод единственный, который при своей работе не требует опорного плана перевозок.

В этом методе используются процедуры преобразования строк и столбцов матрицы стоимости, рассмотренные в методе добротностей. Если после выполнения процедуры преобразования строк и столбцов дельта-оценка стоимости перевозок уменьшается, то такое преобразование используется как опорное для следующего шага.         Преобразования выполняются парами: по строкам и по столбцам. Каждое из преобразований, входящих в пару, называется  полезным, если оно приводит к увеличению нулей и, соответственно, к увеличению дельта-оценки. В противном случае преобразование называется вредным и, соответственно, уменьшает дельта-оценку (вычитается).

Процедура определения  стоимости перевозок выполняется так.

Коэффициенты вектора вычитаний по строкам попарно умножаются на значения вектора ресурсов. Коэффициенты вектора вычитаний по столбцам попарно умножаются на значения вектора потребностей. Полученное произведение берётся со знаком плюс, если операция «зануления» была «полезной». Для «вредной» операции полученное произведение берётся со знаком минус.

На первом этапе в дельта-методе используется процедура метода добротностей по преобразованию строк и столбцов с целью получения разрежённой матрицы [3,5,6].

Алгоритм дельта-метода

1.  Выполняется разреживание (зануление) матрицы. Так как на первом шаге обе процедуры преобразования приводят к увеличению нулей в матрице стоимости, эти процедуры будут полезными и каждая из них увеличивает дельта-оценку.

2.  На последующих шагах выполняют одну процедуру вредную (уменьшают количество нулей и уменьшают дельта-оценку), а вторую процедуру – полезную (увеличивают дельта-оценку), но суммарная дельта-оценка от двух процедур должна быть меньше дельта-оценки предыдущего шага. Пара процедур (вредная и полезная) выполняется для одной строки и одного столбца разрежённой матрицы.

«Собственные значения и собственные векторы матриц» Часть 1: Теоретические аспекты

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по дисциплине «Компьютерные методы современного естествознания» для студентов второго курса физического факультета РГУ «Собственные значения и собственные векторы матриц» Часть : Теоретические аспекты Ростов-на-Дону 26

2 Методические указания разработаны на кафедре теоретической и вычислительной физики кандидатом физико-математических наук, доцентом Г. М. Чечиным и ассистентом М. Ю. Зехцером. Ответственный редактор д. ф.-м. н., профессор В. П. Саченко. Компьютерный набор и верстка М. Ю. Зехцера. Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и вычислительной физики физического факультета РГУ, протокол 7 от 7 марта 26 г.

3 Содержание Введение 4 2 Математическая постановка задачи 5 3 Диагонализация матрицы 8 4 Ортогональные преобразования и матрицы плоских вращений 4 5 Суть метода Якоби 8 6 Алгоритм метода Якоби 2 7 Доказательство сходимости метода Якоби 26 8 Дополнения к методу Якоби 29 9 Понятие о некоторых других методах нахождения СЗ и СВ матриц 3 Глоссарий 32 Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы студентов 33 3

4 Введение Задача нахождения собственных значений и собственных векторов матриц (СЗВМ) является одной из основных задач для многих разделов физики. С такой вычислительной проблемой приходится сталкиваться, например, при исследовании собственных колебаний различных механических систем, колебательных и электронных спектров молекул и кристаллов. Совершенно принципиальное значение эта проблема приобрела после создания в тридцатых годах прошлого века квантовой механики, которая стала базовой дисциплиной исследования микромира. Действительно, согласно одному из основных положений квантовой механики, все наблюдаемые величины (т.е. величины, которые могут быть измерены в результате проведения конкретных физических экспериментов) суть собственные значения некоторых бесконечномерных эрмитовых матриц (эрмитовых операторов). А такое понятие, как «диагонализация гамильтониана» (оператора энергии), непосредственным образом связанное с нахождением собственных значений этого оператора, стало обыденным выражением языка современной физики. В настоящих методических указаниях рассматриваются некоторые математические, вычислительные и физические аспекты проблемы нахождения СЗВМ. Фактически, это пособие состоит из двух частей. В первой части даётся весьма подробное и доступное (как это представляется авторам!) изложение метода Якоби. Будучи одним из самых первых практических методов диагонализации матриц (в результате его применения находятся как собственные значения, так и собственные векторы исходной матрицы), этот метод не потерял своего значения и в настоящее время. И хотя в распоряжении вычислителя сейчас имеются куда более эффективные алгоритмы, понимание заложенных в методе Якоби идей позволяет начинающему специалисту более ясно и просто понять существо более современных методов нахождения СЗВМ. Во второй части настоящих методических указаний подробно рассматриваются две физические задачи задача исследования собственных колебаний некоторой модельной молекулы и задача о нахождении уровней энергии квантовой частицы в одномерной потенциальной яме. Авторы осознают, что указанный материал выходит за рамки того объёма знаний, которыми владеют студенты второго курса, и тем не менее, сочли желательным его включение в пособие по следующим причинам. В настоящее время на физическом факультете всё чаще и чаще встречаются случаи, когда отдельные студенты, приходя на Он был создан в 846 г. Активное практическое его применение началось лишь с 959 г. 4

5 второй курс, уже достаточно хорошо владеют основными методами программирования. С такими студентами необходимо работать сугубо индивидуально, не привязываясь к стандартным занятиям в рамках курса КМСЕ, которые предусматривают решение простых вычислительных задач, представляющих известные трудности для менее подготовленных студентов. Сильным студентам целесообразно предлагать задачи с ясно выраженным физическим содержанием, которые могут иметь дальнейшее продолжение, подготавливая их тем самым к решению задач исследовательского характера. Эти задачи являются не просто задачами «повышенной сложности». Они требуют соответствующего расширения физического кругозора студента и, кроме всего прочего, играют пропедевтическую роль. В частности, авторы надеются, что после работы «своими руками» с одномерным стационарным уравнением Шрёдингера у студента возникнут вполне определённые ориентиры для последующего изучения курса квантовой механики, а может быть, и интерес к этой дисциплине. Список литературы, приведённый в конце настоящих методических указаний, включает целый ряд учебников и учебных пособий, которые посвящены не только проблеме нахождения СЗВМ, но и численным методам решения самых разнообразных задач современного естествознания. 2 Математическая постановка задачи Пусть A есть квадратная n n матрица, элементы которой a ij (i =..n, j =..n) являются действительными числами. Тогда задача нахождения собственных значений и собственных векторов матриц сводится к решению уравнения A x = λ x () относительно компонент неизвестного вектора x = (x,…, x n ) и неизвестной скалярной величины λ. Если найдено некоторое решение системы (), то вектор x называется собственным вектором матрицы A, а λ соответствующим ему её собственным значением 2. В трёхмерном случае (n = 3) мы можем расписать матрично-векторное уравнение () в виде системы трёх алгебраических уравнений следующим об- 2 Несмотря на действительность матрицы A, её собственные значения λ могут быть и комплексными числами. В случае действительности λ уравнение () можно интерпретировать следующим образом. Если матрица A действует не на произвольный, а на «свой собственный» вектор x, то при λ > она изменяет лишь его длину, но не направление (при λ < направление вектора изменяется на противоположное). 5

6 разом: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = λx, a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = λx 2, (2) a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 = λx 3. Заметим, что на самом деле задача на нахождение СЗВМ является нелинейной, поскольку неизвестными в системе (2) являются не только компоненты вектора x, но и скалярная величина λ. Действительно, в правых частях этой системы стоят нелинейные члены произведения неизвестных вида λx j. Тем не менее, рассматриваемая задача решается в курсе линейной алгебры следующим образом. Перепишем систему (2) в виде (a λ)x + a 2 x 2 + a 3 x 3 =, a 2 x + (a 22 λ)x 2 + a 23 x 3 =, (3) a 3 x + a 32 x 2 + (a 33 λ)x 3 =. Матрица коэффициентов этой системы отличается от матрицы A только тем, что из всех диагональных элементов последней вычитается одно и то же (неизвестное!) значение λ. В силу этого систему (3) можно переписать в форме (A λe) x =, (4) где E = есть единичная матрица 3 3. Очевидно, что и в n- мерном случае задача нахождения СЗВМ сводится к решению системы вида (4) при условии, что E является единичной матрицей n n. Предположим теперь, что значение величины λ в системе (4) нам известно. Тогда эта система является однородной системой линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора x, которая, очевидно, всегда имеет нулевое решение x =, x 2 =,…, x n =. Для физических приложений такое тривиальное решение обычно интереса не представляет (см. часть 2 данных методических указаний), и мы должны искать ненулевое решение системы (4). С другой стороны, в силу однородности системы (4) (для частного случая n = 3 она имеет вид (3)) ненулевое решение ( x ) может существовать только при условии, что её определитель равен нулю det(a λe) =. (5) 6

7 Расписывая этот определитель в явном виде, мы получим некоторое алгебраическое уравнение n-ой степени относительно неизвестного собственного значения λ. Как хорошо известно, такое уравнение имеет ровно n корней (среди которых могут быть и одинаковые). Заметим, что несмотря на действительность элементов матрицы A, некоторые из этих корней (они суть собственные значения рассматриваемой матрицы) могут оказаться комплексными числами. Итак, решая алгебраическое уравнение (5), мы найдем n собственных значений λ j (j =..n) матрицы A. Подставляя их по очереди в систему (4), получим n разных систем линейных алгебраических уравнений, которые отличаются лишь значениями параметра λ. В силу однородности каждой такой системы, её решение определяется лишь с точностью до произвольного множителя. Иными словами, если x есть некоторый собственный вектор матрицы A, то умножая его на произвольный множитель µ, мы получим вектор µ x, который также является решением задачи (4), т. е. собственным вектором той же матрицы. В силу этого, любой собственный вектор матрицы A всегда можно нормировать на единицу, т. е. считать, что он имеет единичную длину. Поскольку каждому собственному значению λ = λ j отвечает свой вид системы (4), а стало быть, и своё решение x = x (j), можно утверждать 3, что матрица A имеет n собственных значений λ j и n соответствующих им собственных векторов x (j). В силу вышесказанного, введённый нами верхний индекс при x (j) нумерует собственные векторы, а нижние индексы нумеруют компоненты этих векторов: x (j) = (x (j), x(j) 2,…, x(j) n ). (Там, где не возникает неоднозначности толкования обозначений, мы будем верхние индексы опускать). Таким образом, задача нахождения СЗВМ может быть решена вышеописанным двухэтапным методом, который, однако, на практике в случае матриц большой размерности не применяется, поскольку существуют куда более эффективные численные методы решения рассматриваемой задачи. Действительно, он требует сначала получить в явном виде характеристическое уравнение (5), найти все его корни, и после этого решать для каждого такого корня λ j соответствующую систему линейных алгебраических уравнений 4. Существу- 3 По поводу некоторых математических тонкостей этого утверждения см., например, [, 2]. В случае эрмитовых матриц оно абсолютно справедливо, но для произвольной матрицы с вырожденным спектром число собственных векторов может быть и меньше n. 4 Численное решение такой задачи является нетривиальным, поскольку ошибки округления с неизбежностью приводят к тому, что определитель матрицы (A λ j E) оказывается малым, но всё-таки отличным от нуля числом. В этом случае единственным решением системы (A λ j E) x = будет нулевое решение: x =. Для того, чтобы обойти такого рода вычислительные трудности, применяется так называемый метод «обратных итераций» []. 7

8 ет множество разных методов упрощения отдельных этапов такого подхода, и множество методов, основанных на совершенно иных подходах к решению задачи нахождения СЗВМ (см., например, [, 2, 3, 4]). Особое значение при этом имеет класс методов, основанных на идее приведения матрицы A к диагональному виду с помощью некоторого преобразования подобия. Рассматриваемый ниже метод Якоби относится именно к этому классу методов. 3 Диагонализация матрицы В курсе линейной алгебры доказывается теорема о том, что квадратную матрицу A можно привести к диагональному виду с помощью некоторого преобразования базиса векторного пространства, в котором она определена. Иными словами, можно найти такой базис, в котором все недиагональные элементы матрицы A оказываются равными нулю. На самом деле, здесь есть некоторые математические тонкости, и не всякую матрицу можно диагонализировать (см., например, [, 2]), но для симметричных и эрмитовых матриц, которые играют особую роль в физических приложениях, диагонализация всегда возможна. Более того, в процессе доказательства сходимости метода Якоби мы убедимся в возможности диагонализации любых симметричных матриц. Из курса линейной алгебры также известно, что при действии на базис векторного пространства некоторой неособой 5 матрицы S, произвольный вектор x преобразуется в вектор, x = S x, (6) а матрица A в матрицу A = S AS. (7) Здесь S есть матрица обратная по отношению к матрице S, т. е. SS = S S = E, (8) где E единичная матрица. Преобразование (7) называется преобразованием подобия. Покажем, что нахождение матрицы S, которая в результате преобразования подобия (7) приводит матрицу A к диагональному виду D, позволяет полностью решить задачу нахождения собственных значений и собственных векторов исходной матрицы A. 5 Т. е. матрицы, имеющей себе обратную. 8

9 Прежде всего, убедимся в том, что преобразование подобия не изменяет собственные значения (СЗ) матрицы, т. е. что у матрицы A и матрицы A, вычисленной по формуле (7), собственные значения одинаковы. Действительно, СЗ матрицы A можно найти с помощью характеристического уравнения det(a λe) =. (9) Подставляя в это уравнение матрицу A из уравнения (7) и заменяя единичную матрицу E на выражение S ES, получим det(a λe) = det(s AS λs ES) = det[s (A λe)s] = = det(s ) det(a λe) det(s) = det(a λe) =. () В процессе этого преобразования мы воспользовались тем, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей, и тем, что определитель обратной матрицы det(s ) есть величина обратная по отношению к определителю det(s) исходной матрицы 6. Таким образом, характеристическое уравнение det(a λe) = для исходной матрицы A и характеристическое уравнение det(a λe) = для матрицы A, полученной из уравнения (7), оказываются тождественными друг другу: det(a λe) = det(a λe) =. Следовательно, совпадают и корни этих уравнений, т. е. матрицы A и A имеют одну и ту же совокупность собственных значений λ, λ 2,…, λ n. Что же касается собственных векторов (СВ) матриц A и A, то они, в отличие от их собственных значений, вообще говоря, различны! Действительно, рассмотрим определяющее их уравнение вида (). Для новой матрицы A (т. е. матрицы A в новом базисе) имеем A y = λ y. () Здесь и ниже мы обозначаем СВ матрицы A буквой y (в то время, как x есть СВ матрицы A). Собственные же значения и той, и другой матрицы обозначены одними и теми же символами (λ = λ, λ 2,…, λ n ), поскольку выше была доказана их идентичность. Подставляя в уравнение () матрицу A из уравнения (7), получим S AS y = λ y. (2) 6 Последнее является следствием того же свойства определителей, поскольку det(e) = det(s S) = det(s ) det(s) =. 9

10 Умножая слева обе части этого уравнения на матрицу S и учитывая, что скалярный множитель λ можно «пронести сквозь» эту матрицу, получим Полагая теперь находим A(S y) = λ(s y). (3) x = S y, (4) A x = λ x. Таким образом, мы вернулись к исходному уравнению (), которое определяло СВ и СЗ матрицы A. Итак, мы пришли к выводу, что собственные векторы матриц A и A, в отличие от их собственных значений, не совпадают друг с другом, и между ними имеется связь вида (4). Предположим теперь, что мы нашли такую матрицу S, которая, в соответствии с формулой (7), даёт диагональную матрицу A, т. е. A = D. Здесь и ниже буквой D мы обозначаем диагональную матрицу с элементами d, d 2,…, d n на её диагонали. Итак, пусть S AS = D (5) СЗ диагональной матрицы D, как и любой другой матрицы, можно найти из соответствующего ей характеристического уравнения. В нашем случае это уравнение имеет вид det(d λe) = (d λ)(d 2 λ)… (d n λ) =, откуда очевидно, что его корнями являются значения λ равные d, d 2,…, d n. Таким образом, собственные значения диагональной матрицы это её диагональные элементы. Найдем теперь собственные векторы диагональной матрицы D. Рассмотрим сначала частный случай n = 3 (обобщение на случай произвольного n оказывается тривиальным), который соответствует матрице D = d 2. Из d d 3 векторного уравнения D y = λ y имеем три скалярных уравнения (d λ)y =, (6a) (d 2 λ)y 2 =, (6b) (d 3 λ)y 3 =. (6c)

11 Предположим, прежде всего, что все собственные значения матрицы D отличны друг от друга (это есть предположение об отсутствии вырождения в спектре собственных значений): d d 2 d 3. (7) Тогда из системы уравнений (6) видно, что если λ не совпадает ни с одним из трёх чисел d, d 2, d 3, то все три компоненты вектора y = (y, y 2, y 3 ) должны обращаться в нуль и мы имеем, таким образом, тривиальное решение y = для уравнения D y = λ y. Для того же, чтобы это уравнение имело ненулевое решение, λ должно совпадать с одним из диагональных элементов d i матрицы D. Пусть, например, λ = d. Тогда из уравнений (6) следует, что y может быть отличным от нуля, но при этом две другие компоненты вектора y, т. е. y 2 и y 3, должны иметь нулевые значения, поскольку стоящие перед ними множители, по предположению об отсутствии вырождения, не равны нулю: (d 2 λ) и (d 3 λ). Таким образом, мы приходим к следующему решению: λ = d, y =, где a. Из требования нормировки собственного a вектора y на единицу получим a =, и следовательно, первая пара СЗ-СВ матрицы D есть λ = d, y () =. (8a) Аналогично, из уравнений (6) получим и два других решения уравнения D y = λ y: λ 2 = d 2, y (2) =, (8b) λ 3 = d 3, y (3) =. (8c) Рассмотрим теперь случай наличия вырождения. Это означает, что несколько собственных значений λ i совпадают друг с другом. Пусть, например, в рассматриваемом нами случае n = 3 будет d = d 2 d 3. Тогда из системы уравнений (6) следует, что при λ = d в нуль обращаются одновременно два множителя: (d λ) и (d 2 λ). В свою очередь, отсюда следует, что в общем

12 случае две первые компоненты вектора y могут быть при λ = d отличными от нуля, т. е. y, y 2. Это означает, что собственному значению λ = d = d 2 a отвечает двумерное подпространство 7 собственных векторов вида y = b, где a и b суть произвольные числа. Далее, очевидно, что полученный вектор y можно представить в виде линейной комбинации двух базисных векторов y = a и + b (9) этого двумерного подпространства. Таким образом, можно считать, что в нашем случае имеется пара следующих линейно-независимых собственных векторов, y () и y (2), которым отвечают одинаковые собственные значения (λ = λ 2 = d = d 2 ): λ = d, y () = λ 2 = d 2, y (2) =, (2) Согласно вышесказанному, любая линейная комбинация (9) этих двух собственных векторов также является собственным вектором матрицы D. Третий собственный вектор получается из системы уравнений (6), если положить λ = d 3. Поскольку в силу нашего предположения, d 3 d и d 3 d 2, ясно, что две первые компоненты вектора y (3) должны быть равными нулю, т. е. он сам имеет вид y (3) =. После нормировки на единицу мы получим, c таким образом, следующее третье решение векторного уравнения D y = λ y: λ 3 = d 3, y (3) =.. 7 Имеется в виду подпространство пространства всех возможных векторов y. 2

13 Итак, мы снова вернулись к решению (8), однако, между двумя рассмотренными нами случаями есть принципиальное различие. Действительно, при отсутствии вырождения собственные векторы автоматически получаются сразу в «каноническом» виде (8), а в случае наличия вырождения они сами собой таковыми при решении уравнения D y = λ y «не рождаются», но их можно привести к этому каноническому виду нам самим. Обобщение этого вывода на случай произвольной размерности тривиально: всегда можно считать, что собственные векторы диагональной матрицы D имеют канонический вид y () =., y (2) =.,…, y (n) = а соответствующие им собственные значения суть., (2) λ = d, λ 2 = d 2,…, λ n = d n. (22) Воспользуемся теперь соотношением x = S y [см. уравнение (4)] между собственными векторами x и y матриц A и A, связанных друг с другом преобразованием подобия (7). Обратимся снова к случаю n = 3 и найдём СВ x () матрицы A, соответствующий СВ y () = матрицы A = D. Имеем x () = S y () = s s 2 s 3 s 2 s 22 s 23 s 3 s 32 s 33 = s s 2 s 3. (23) Отсюда видно, что первый собственный вектор ( x () ) матрицы A является просто первым столбцом той матрицы S, которая приводит матрицу A к диагональному виду. Совершенно аналогично можно убедиться в том, что СВ x (2) и x (3) являются соответственно вторым и третьим столбцами матрицы S. Обобщение этого результата на случай произвольной размерности также тривиально: всегда можно считать, что x (j) является j-м столбцом матрицы преобразования S. Подведём итог. Если мы найдём такую матрицу S, которая приводит исходную матрицу A по формуле A = S AS к диагональному виду (A = D), 3

14 то мы полностью решим задачу о нахождении всех собственных значений и собственных векторов матрицы A. Действительно, собственные значения исходной матрицы A суть диагональные элементы матрицы D, а собственные векторы матрицы A суть столбцы матрицы S. Таким образом, мы свели задачу о нахождении СЗ и СВ матрицы A к нахождению такого преобразования подобия, которое приводит её к диагональному виду. 4 Ортогональные преобразования и матрицы плоских вращений В большинстве физических приложений мы сталкиваемся с проблемой диагонализации или симметричных или эрмитовых матриц (см., например, часть 2 настоящих методических указаний). Этот момент является принципиально важным, поскольку нахождение собственных значений и собственных векторов таких матриц существенным образом упрощается за счёт их особых свойств. Именно, можно доказать (и фактически это будет сделано при рассмотрении сходимости метода Якоби), что симметричную матрицу можно привести к диагональному виду преобразованием подобия с ортогональной матрицей S и, таким образом, существенно сузить класс матриц, в котором ищется диагонализующее преобразование S. Рассмотрим некоторые необходимые для дальнейшего изложения понятия и факты. Квадратная матрица называется симметричной, если Ã = A, где с помощью тильды обозначена операция транспонирования матриц. Квадратная неособая матрица U называется ортогональной, если Из этого определения следует, что Ũ = U. (24) ŨU = UŨ = E. (25) Согласно (24), нахождение обратной матрицы в том случае, когда исходная матрица является ортогональной, сводится просто к транспонированию последней (заметим, что нахождение обратной матрицы S в случае матрицы S произвольного вида является достаточно сложной задачей). Из уравнения (25) можно получить следующее весьма полезное свойство ортогональной матрицы U: её столбцы (строки) образуют ортонормированную 4

15 систему векторов. Действительно, представим матрицу U как совокупность n столбцов u i (i =..n), каждый из которых является n-мерным вектором: U = ( u, u 2,…, u n ). (26) В результате транспонирования матрицы U её столбцы становятся строками u u 2 матрицы Ũ, т. е. Ũ =. Тогда по определению матричного умножения. u n имеем u u 2 ŨU =. ( u, u 2,…, u n ) = ( u i, u j ). (27) u n Таким образом, элемент (ŨU) ij матрицы ŨU, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца этой матрицы есть скалярное произведение ( u i, u j ). С другой стороны, по определению ортогональной матрицы ŨU = E, и следовательно, ( u i, u j ) = δ ij, (28) где δ ij есть символ Кронекера, который в нашем случае определяет элементы единичной матрицы E (на диагонали этой матрицы стоят единицы, а все её недиагональные элементы являются нулями). Уравнение (28) означает, что столбцы матрицы U действительно образуют ортонормированную систему векторов. Совершенно аналогичным свойством обладает и совокупность строк ортогональной матрицы. Примером ортогональных матриц могут служить матрицы вращений, отражений и различные их произведения. Рассмотрим так называемые матрицы плоских вращений. Любой двумерный вектор V может быть представлен в виде V ( ) = v e + v 2 e 2, где e = ( ) и e 2 = суть орты «естественного» базиса Φ = ( e, e 2 ) двумерного векторного пространства. Рассмотрим теперь переход к новому базису Φ = ( e, e 2 ), который определяется ( действием ) на старый базис Φ = ( e, e 2 ) ортогональной матрицы Ũ = u u 2. Иными словами, мы рассматриваем следующее u 2 u 22 5

16 преобразование базисных векторов: e = u e + u 2 e 2, e 2 = u 2 e + u 22 e 2. В краткой форме это преобразование можно записать в виде 8 Φ = Ũ Φ. Тогда имеем V = v e +v 2 e 2 = v (u e +u 2 e 2 )+v 2 (u 2 e +u 22 e 2 ) = e (u v + u 2 v 2 )+ e 2 (u 2v +u 22 v 2 ). Таким образом, компоненты v и v 2 вектора V в новом базисе Φ суть v = u v + u 2 v 2, v 2 = u 2 v + u 22 v 2, что можно записать в виде ( v v 2 ) ( u u = 2 u 2 u 22 ) ( v v 2 ) или V = UV. Итак, если матрица U даёт преобразование от нового базиса Φ к старому базису Φ ( Φ = UΦ ), то эта же матрица даёт переход от координат вектора в старом базисе к координатам того же самого вектора в новом базисе ( V = UV ). Из курса аналитической геометрии известна следующая формула преобразования координат двумерного вектора при повороте (вращении) базиса на угол ϕ: ( ) cos ϕ sin ϕ U =. (29) sin ϕ cos ϕ (Для мнемонического запоминания матрицы вращения U: в первой её строке «полный беспорядок», а во второй, наоборот, «полный порядок»). Таким образом, V = U V, что можно записать в явном виде следующим образом: v = v cos ϕ v 2 sin ϕ, (3) v 2 = v sin ϕ + v 2 cos ϕ. В многомерном пространстве можно говорить о плоских вращениях вектора в разных плоскостях, которые определяются теми двумя компонентами этого ( ) 8 Матрица Ũ является транспонированной по отношению к матрице U = u u 2, и в силу ортогональности обеих этих матриц мы имеем Φ = UΦ и Φ = Ũ Φ u 2 u 22. 6

17 вектора которые изменяются (все остальные его компоненты остаются неизменными). Например, в трёхмерном пространстве можно говорить о вращениях в плоскостях (x, y), (x, z) и (y, z), т. е. о вращении на угол ϕ вокруг осей Z, X и Y соответственно. Этим трём случаям отвечают следующие матрицы плоских вращений: U xy = cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ U yz = cos ϕ sin ϕ, U xz =, sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ. sin ϕ cos ϕ В общем случае n-мерного векторного пространства определим матрицу вращения U i j в плоскости (i, j ) следующим образом…. (cos ϕ) ( sin ϕ) i U i j =… (3) (sin ϕ) (cos ϕ) j… i j Матрица плоского вращения U i j (3) отличается от n-мерной единичной матрицы лишь четырьмя своими элементами, именно теми, которые стоят на пересечении двух строк (с номерами i, j ) и двух столбцов (с теми же самыми номерами i, j ). Если подействовать матрицей U i j на произвольный вектор V = (v,…, v n ), то все его компоненты кроме двух (с номерами i, j ) остаются неизменными, а компоненты v i и v j изменяются в соответствии с формулами (3): v i = v i cos ϕ v j sin ϕ, v j = v i sin ϕ + v j cos ϕ, (32) v k = v k для k i, k j. 7

18 Легко проверить, что матрица плоского вращения U i j является ортогональной. Например, для двумерной матрицы U из формулы (29) находим следующие скалярные произведения её векторов столбцов u и u 2 : ( u, u ) = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ =, ( u, u 2 ) = cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ =, ( u 2, u 2 ) = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ =. Таким образом, столбцы матрицы U из формулы (29) образуют ортонормированную систему векторов, откуда следует ортогональность матрицы U. Аналогичное утверждение имеет место и для матрицы плоского вращения (3) в n-мерном пространстве. Матрицы плоских вращений (3) играют в методе Якоби принципиально важную роль, в силу чего его часто называют методом плоских вращений. 5 Суть метода Якоби Метод Якоби приводит симметричную действительную матрицу к диагональной форме с помощью некоторой (в принципе, бесконечной) последовательности плоских вращений в разных плоскостях исходного n-мерного векторного пространства. Суть этого метода заключается в следующем. Как уже отмечалось, всегда существует такое ортогональное преобразование 9 ŨAU = D, которое приводит исходную действительную симметричную матрицу (A) к диагональному виду (D), т. е. которое зануляет все её недиагональные элементы. Найти такое преобразование «одним махом» в общем случае не представляется возможным, в силу чего метод Якоби состоит из некоторой последовательности шагов, на каждом из которых зануляется один из недиагональных элементов (обычно наибольший по модулю), в результате чего старая матрица A ст преобразуется в некоторую новую матрицу A нов. Делается это с помощью преобразования подобия, использующего матрицу плоского вращения U i j, которая изменяет лишь две координаты n-мерных векторов, а именно, координаты с номерами i и j. Ниже мы покажем, что при таком шаге матрица A нов отличается от матрицы A ст лишь элементами двух строк с номерами i, j и двух столбцов с 9 Ортогональным преобразованием называется такое преобразование подобия (ŨAU), которое выполняется с помощью некоторой ортогональной матрицы U. На самом деле, в силу симметричности матрицы A на одном шаге метода Якоби занулёнными оказываются по крайней мере два элемента матрицы, a ij и a ji, симметрично расположенные относительно её диагонали. 8

19 теми же номерами (i и j ). Все же другие элементы матрицы A остаются неизменными. Матрица плоского вращения U i j = U i j (ϕ) зависит от одного параметра угла поворота ϕ, в силу чего в результате преобразования A нов = Ũi j A ст U i j (33) подлежащий занулению элемент a ст i j матрицы A ст с индексами i, j преобразуется в элемент a нов i j (ϕ) матрицы A нов, т. е. его значение зависит от угла ϕ. Требуя зануления этого элемента, a нов i j (ϕ) =, (34) мы получим простое тригонометрическое уравнение, из которого можно найти угол поворота ϕ, приводящий к занулению выделенного нами элемента матрицы A ст. При этом A ст преобразуется в некоторую новую матрицу A нов, которая, как и матрица A ст, является симметричной. Таким образом, ортогональное преобразование сохраняет свойство симметричности преобразуемой матрицы. Задание. Докажите это свойство ортогонального преобразования, воспользовавшись известным свойством транспонирования произведения двух матриц: (AB) = BÃ. Нашей целью, очевидно, является зануление всех недиагональных элементов исходной матрицы A только в этом случае эта матрица становится диагональной. Может показаться, что зануляя на каждом шаге метода Якоби два недиагональных элемента (a ст i j и a ст j i ), мы за конечное число шагов занулим все недиагональные элементы матрицы A и приведём её, таким образом, к желаемой диагональной форме. Однако, это не так, поскольку «покойники могут воскресать», именно, если на некотором шаге метода Якоби данный недиагональный элемент был уже занулён, на последующих шагах метода (т. е. в процессе зануления других элементов матрицы) он может снова стать ненулевым (обычно так и происходит!). В силу этого может показаться, что в методе Якоби происходит «переливание из пустого в порожнее» один элемент зануляем, а другие, уже бывшие нулями, оказываются в результате данного шага отличными от нуля. Тем не менее (и мы докажем это ниже), в результате одного шага метода Якоби сумма квадратов всех недиагональных элементов матрицы уменьшается на конечную величину, именно, на 2a 2 i j. И поскольку эта сумма в силу действительности матрицы A не может быть отрицательной, 9

20 то в конце концов она обратится в нуль. В результате её зануления матрица приобретает, очевидно, диагональный вид, поскольку из равенства нулю суммы квадратов действительных чисел следует равенство нулю каждого из них. Число шагов, за которое матрица A приводится таким способом к диагональной форме, в общем случае является бесконечным. В результате метод Якоби представляет собой некоторый бесконечный итерационный процесс, на каждом шаге которого преобразующаяся матрица становится всё более и более близкой к диагональной форме (в смысле уменьшения суммы квадратов всех своих недиагональных элементов). При проведении практических вычислений мы обычно заканчиваем этот процесс, когда максимальный по модулю среди недиагональных элементов (т. е. тот, который определяет матрицу плоского вращения для следующего шага метода) окажется по модулю меньше заданной вычислительной погрешности ε. Очевидно, что в этом случае и все другие недиагональные элементы будут по модулю меньше ε. Таким образом, применяя на практике метод Якоби, мы приводим исходную матрицу к диагональной форме с точностью до некоторой вычислительной погрешности ε в результате конечного числа шагов. Повышение этой точности требует увеличения (и может быть, очень существенного!) числа шагов метода Якоби. Заметим сразу, что существуют вычислительные схемы, в которых единожды занулённые элементы уже не могут «воскреснуть», т. е. стать ненулевыми, на последующих шагах. При этом, однако, исходную матрицу уже не удаётся привести к диагональной форме, но за конечное число шагов её можно сделать трёхдиагональной. Этим достигается существенный прогресс, поскольку приведение трёхдиагональной матрицы к полностью диагональной форме далее можно осуществить уже другими, весьма эффективными и тоже конечными (в смысле числа шагов) методами (некоторые детали приведены ниже, а для более подробной информации см. книги по численным методам, например, [, 5]). 6 Алгоритм метода Якоби Итак, метод Якоби сводится к последовательности отдельных шагов, определяемых формулой (33). В результате каждого такого шага мы находим матрицу A нов = Ũi j A ст U i j, которую рассматриваем как A ст при выполнении следующего шага. Для того, чтобы не усложнять обозначений, будем матрицы A ст и A нов, фигурирующие в формуле (33) для одного шага метода, обозначать просто буквами A и C, соответственно. В этих обозначениях один шаг 2

21 преобразования метода Якоби имеет вид C = Ũi j A U i j (35) Разобьём теперь этот шаг на две части следующим образом I часть : B = A U i j, (36) II часть : C = Ũi j B (37) и рассмотрим их порознь. Используя формулу матричного умножения, получим: I часть: B = A U i j =. a a 2… a.. n = a 2 a a 2n a n a n2… a nn cos ϕ sin ϕ… sin ϕ cos ϕ… = = i j стар стар стар нов нов. (38) На этой схеме показано, что матрица B отличается от матрицы A лишь двумя своими столбцами с номерами i и j. При этом элементы, стоящие в этих двух «новых» столбцах, определяются формулами b ki = a ki cos ϕ + a kj sin ϕ, (39a) b kj = a ki sin ϕ + a kj cos ϕ, (39b) k =..n. 2

22 Совершенно аналогично для второй части шага метода Якоби имеем: II часть: C = Ũi j B =… cos ϕ sin ϕ =… sin ϕ cos ϕ… = b b 2… b n b 2 b b 2n = b n b n2… b nn нов нов стар стар стар i j (4) Таким образом, матрица C отличается от матрицы B лишь элементами двух строк, которые имеют номера i и j, соответственно. Элементы этих двух «новых» строк определяются при этом формулами: c i k = b i k cos ϕ + b j k sin ϕ, (4a) c j k = b i k sin ϕ + b j k cos ϕ, (4b) k =..n. В результате выполнения полного шага метода Якоби C = Ũi j A U i j получим следующую диаграмму, из которой видно, что матрица C отличается от матрицы A лишь элементами, стоящими в двух горизонтальных и двух вертикальных полосах с номерами i и j (на диаграмме они отмечены чёрными квадратиками): i C = (42) j i j Из диаграммы (42) видно, что недиагональные элементы с индексами (i j ) изменялись дважды один раз при выполнении первой части шага метода Якоби, а другой раз при выполнении второй его части. 22

23 Полагая в формуле (4a) k = j, мы выразим c i j через b i j и b j j, которые в свою очередь, можно выразить через a i i, a i j = a j i и a j j с помощью формулы (39b). В результате, используя известные тригонометрические формулы, получим: c i j = [ a i i sin ϕ + a i j cos ϕ] cos ϕ+ + [ a j i sin ϕ + a j j cos ϕ] sin ϕ = = sin ϕ cos ϕ[a j j a i i ] + [cos 2 ϕ sin 2 ϕ]a i j = = a i j cos(2ϕ) + 2 [a j j a i i ] sin(2ϕ). (43) Согласно уже обсуждавшейся идее метода Якоби, мы требуем зануления элемента c i j (при этом предполагается, что элемент a i j был максимальным по модулю среди всех недиагональных элементов матрицы A): c i j (ϕ) =. (44) С учётом (43), уравнение (44) представляет собой простое тригонометрическое уравнение для определения угла ϕ: a i j cos(2ϕ) + 2 [a j j a i i ] sin(2ϕ) =. Отсюда ясно, что 2a i j tg(2ϕ) =. (45) a i i a j j Из этого условия можно найти угол плоского вращения ϕ, который приводит к занулению элемента c i j. Однако фактически нам требуется не столько значение самого угла ϕ, сколько его синус и косинус, ибо именно эти величины и определяют матрицу плоского вращения U i j согласно формуле (3). Используя простые тригонометрические соотношения, можно выразить sin ϕ и cos ϕ через тангенс двойного угла tg(2ϕ). Действительно, пусть η = ± определяет знак правой части уравнения (45), а K cos(2ϕ) = + tg 2 (2ϕ). (46) Тогда имеем Т. е. η = sign( 2a i j a i i a j ). j K sin ϕ = η, (47) 2 + K cos ϕ =. 2 23

24 Таким образом, мы полностью определили формулы преобразования, соответствующие одному шагу метода Якоби: номера i и j находятся по положению в матрице A максимального по модулю недиагонального элемента (a i j ), а входящие в матрицу плоского вращения U i j неизвестные элементы sin ϕ и cos ϕ определяются формулами (46), (47). Заметим, что для осуществления шага метода Якоби нецелесообразно полностью выполнять матричные умножения, соответствующие формуле C = Ũ i j A U i j, а достаточно использовать готовые формулы (39) и (4), определяющие только те элементы матрицы C, которые изменяются в результате рассматриваемого ортогонального преобразования (см. диаграмму (42)). Теперь следует вспомнить, что нам необходимо не только найти явный вид диагональной матрицы D (её диагональные элементы являются собственными значениями матрицы A), которая получается из исходной матрицы A с помощью ортогонального преобразования ŨAU = D, но и получить в явном виде матрицу полного преобразования U, столбцы которой, как было доказано ранее, суть собственные векторы матрицы A. Легко сообразить, что матрица U является произведением всех матриц плоских вращений U i j, которые фигурировали на отдельных шагах метода Якоби. Действительно, обозначим через A k (k =, 2, 3,… ) матрицы, получаемые из исходной матрицы A в процессе её диагонализации, а через U k матрицу плоского вращения на k-м шаге метода Якоби. Таким образом, в результате выполнения k-го шага метода мы получим матрицу A k+ из матрицы A k в результате преобразования Тогда имеем A k+ = ŨkA k U k. A k+2 = Ũk+A k+ U k+ = Ũk+(ŨkA k U k )U k+ = (Ũk+Ũk)A k (U k U k+ ). С другой стороны, (Uk U k+ ) = Ũk+Ũk (при транспонировании произведения матриц транспонированные сомножители переставляются). Таким образом, A k+2 = (U k U k+ )A k (U k U k+ ). (48) Из этой формулы ясно, что преобразование матриц A k в результате двух последовательных шагов метода Якоби можно рассматривать как ортогональное преобразование с помощью матрицы, равной произведению матриц плоских вращений (U k и U k+ ), используемых на каждом из этих шагов. 24

25 Из приведённого рассуждения следует, что окончательную матрицу U, которая приводит матрицу A к диагональной форме, можно получить как произведение всех матриц плоских вращений, использованных на отдельных шагах метода Якоби: N U = U k, (49) k= где N число сделанных шагов. Заметим, что при практическом вычислении этого произведения нерационально использовать общую формулу умножения квадратных матриц. Действительно, для этой цели достаточно применить формулы типа (39,4) для умножения произвольной матрицы B слева на очередную матрицу плоского вращения (3). Вернёмся теперь к общему описанию алгоритма метода Якоби. Применяя этот метод, будем находить на k-ом шаге максимальный по модулю недиагональный элемент матрицы A k. Его положение в матрице A k (т. е. номер строки и номер столбца, на пересечении которых он стоит) определяют два индекса i и j, которые используются для построения матрицы плоского вращения (3). Далее по формулам (47) находим sin ϕ и cos ϕ, входящие в эту матрицу (U k = U i j ), и по формулам (39,4) выполняем преобразование матрицы A k, в результате чего она переходит в матрицу A k+ = ŨkA k U k. Этот процесс повторяется до тех пор пока максимальный по модулю недиагональный элемент на очередном шаге не окажется меньше некоторой вычислительной точности ε, с которой мы хотим получить диагональный вид исходной матрицы A. Как уже говорилось, в связи с этим алгоритмом возникает вопрос о сходимости метода Якоби. Ниже мы докажем, что на каждом шаге метода (т. е. при переходе от A k к A k+ ) сумма квадратов всех недиагональных элементов матрицы A k уменьшается на конечную величину. Поскольку эта сумма квадратов для действительной матрицы не может быть меньше нуля, отсюда следует, что всегда можно добиться того, чтобы она стала меньше любой наперёд заданной вычислительной точности ε. Описанный выше метод Якоби пригоден для диагонализации только симметричных матриц. В процессе преобразований на отдельных шагах этого метода свойство симметричности преобразуемой матрицы сохраняется. Действительно, пусть матрица A k была симметричной, т. е. Ã k = A k, и в результате 25

26 одного шага мы перешли к матрице A k+ = ŨkA k U k. Тогда имеем Ã k+ = (ŨkA k U k ) = ŨkÃkU k = ŨkA k U k = A k+. В процессе этих преобразований использовано известное свойство транспонирования тройного произведения матриц ÃBC = C BÃ, которое получается тривиальным образом из соответствующего свойства транспонирования двойного произведения: ÃB = BÃ. Таким образом, новая матрица A k+ также оказывается симметричной (Ãk+ = A k+ ). 7 Доказательство сходимости метода Якоби При выполнении обеих частей шага метода Якоби имеют место определённые «законы сохранения». Рассмотрим этот вопрос более подробно. Пусть некоторая квадратная матрица A умножается на ортогональную матрицу V слева: A нов = V A. Матрицу A можно представить в виде совокупности её столбцов: A = ( a, a 2,…, a n ). Пользуясь правилом матричного умножения, легко понять, что столбцы матрицы A нов получаются в результате умножения столбцов матрицы A на V : Таким образом, A нов = ( a нов, a нов 2,…, a нов n ) = (V a, V a 2,…, V a n ). a нов j = V a j (j =..n). (5) Рассмотрим теперь скалярное произведение двух произвольных столбцов матрицы A нов : ( a нов j, a нов k ) = (V a j, V a k ) = ( a j, Ṽ V a k). (5) При выводе этого соотношения мы воспользовались очень важным свойством «переноса» действия произвольной матрицы V с первого множителя скалярного произведения на второй его множитель 2. Задание. Проверить справедливость формулы (V a, b) = ( a, Ṽ b), выписывая в явном виде левую и правую её части (рекомендуется сначала сделать это для случаев n = 2 и n = 3). 2 Это соотношение часто используется в квантово-механических расчётах с учётом того, что в комплексном векторном пространстве переопределяется скалярное произведение: < a b >= ( a, b). Тогда мы имеем соотношение < V a b >=< a V + b >. В приведённых выше формулах звёздочкой обозначена операция комплексного сопряжения, а крестом операция эрмитова сопряжения, которая заключается в двух последовательных операциях над матрицей, а именно, в транспонировании и комплексном сопряжении (очевидно, в любом порядке). 26

27 Подчеркнём, что свойство (V a, b) = ( a, Ṽ b) и следующая из него формула (5) имеют место для произвольной матрицы V, но у нас, по предположению, матрица V является ортогональной (V = Ṽ ) и, следовательно, Ṽ V = E. В силу этого соотношения, формулу (5) можно переписать в виде ( a нов j, a нов k ) = ( a j, a k ), j =..n, k =..n. (52) Таким образом, при умножении матрицы A на ортогональную матрицу V слева сохраняются скалярные произведения всех пар её столбцов. В частности, из этого следует, что сохраняются и все квадраты длин векторов-столбцов матрицы A: ( a нов j, a нов j ) = ( a j, a j ), т. е. сохраняются суммы квадратов элементов каждого столбца матрицы A. Совершенно аналогично можно доказать, что при умножении матрицы A на ортогональную матрицу V справа (A нов = AV ) сохраняются суммы квадратов всех элементов каждой строки матрицы A. Рассмотрим теперь изменение суммы квадратов S(A) всех недиагональных элементов матрицы A в результате одного шага метода Якоби: C = Ũi j A U i j. (53) Структура матрицы C показана на диаграмме (42), которую мы воспроизведём теперь с некоторыми новыми деталями: i C = (54) j i j Согласно этой схеме, все элементы матрицы C, которые стоят вне выделенных полос (двух горизонтальных и двух вертикальных с номерами i и j ) не изменяются в процессе выполнения одного шага метода Якоби. Составим теперь разность (A C) = S(A) S(C), которая показывает, насколько уменьшается сумма квадратов всех недиагональных элементов преобразуемой матрицы при переходе A C, т. е. на одном шаге метода Якоби. Ясно, что элементы, стоящие вне выделенных полос матрицы C из схемы (54), не могут дать вклад в (A C), поскольку они в результате преобразования (53) вообще не изменяются. С другой стороны, любые два элемента, 27

28 соединённые на схеме (54) горизонтальной стрелкой, изменяются только на первой половине шага Якоби (см. схему (38)), но при этом должна сохраняться сумма квадратов элементов строки, в которой они стоят, поскольку матрица A умножается на ортогональную матрицу U i j справа: B = A U i j. Отсюда ясно, что сумма квадратов элементов, соединённых горизонтальной стрелкой, в результате одного шага метода Якоби не изменяется, несмотря на то, что каждый из этих элементов изменяется. Таким образом, эта пара элементов не может дать вклад в величину (A C). Совершенно аналогично можно убедиться в том, что элементы, соединённые вертикальными стрелками на диаграмме (54), также не дают вклада в величину (A C). Действительно, эти элементы изменяются только на второй половине шага метода Якоби, но при этом имеет место закон сохранения суммы квадратов элементов каждого столбца (поскольку при преобразовании C = Ũi j B происходит умножение матрицы B на ортогональную матрицу Ũ i j слева). Какие же элементы преобразуемой матрицы могут дать вклад в (A C)? Очевидно, только те два элемента a i j и a j i (равные между собой в силу симметричности матрицы A), которые преобразуются в результате обеих частей шага метода Якоби. На схеме (54) они показаны звёздочками. (Заметим, что диагональные элементы a i i и a j j не входят в (A C) по определению). Таким образом, (A C) = 2a 2 i j 2c 2 i j. (55) С другой стороны, по определению шага метода Якоби мы зануляем элемент c i j (который соответствовал максимальному по модулю элементу a i j матрицы A). Учитывая равенство c i j =, получим из (55): (A C) = 2a 2 i j > (56) (квадрат любого элемента матрицы A не меньше нуля в силу её действительности). Если бы a i j был равен нулю (а это ведь максимальный по модулю недиагональный элемент преобразуемой матрицы!), то мы бы уже не делали очередного шага метода Якоби, поскольку тогда и все остальные недиагональные элементы были бы равны нулю. Таким образом, если шаг A C ещё делается, то имеет место строгое неравенство a i j > и, следовательно, в результате перехода A C по формуле (53) происходит уменьшение суммы квадратов недиагональных элементов преобразуемой матрицы на конечную величину 2a 2 i j. А поскольку сама по себе эта величина меньше нуля стать не может, 28

29 ясно, что рано или поздно (обычно лишь в пределе, когда число шагов метода стремится к бесконечности) эта сумма квадратов должна обратиться в нуль, т. е. преобразуемая матрица должна стать полностью диагональной. Из вышеобсужденных «законов сохранения» следует, что сумма квадратов всех (диагональных и недиагональных) элементов сохраняется и на первой, и на второй половине шага метода Якоби. Тогда ясно, что этот метод работает как некоторый «насос», который постепенно перекачивает недиагональные величины на диагональ в том смысле, что сумма квадратов недиагональных элементов на каждом шаге метода Якоби уменьшается, а сумма квадратов диагональных элементов, наоборот, увеличивается. Подводя итоги, скажем, что, таким образом, метод Якоби является некоторым итерационным процессом (в общем случае число его шагов бесконечно), в результате которого преобразуемая матрица на каждом шаге становится всё более и более близкой к диагональному виду (сумма квадратов недиагональных элементов всё время уменьшается). Приводя матрицу A к диагональному виду D (D = ŨAU) и найдя полную матрицу ортогонального преобразования U как произведение всех матриц плоских вращений, мы найдём собственные значения матрицы A (они являются диагональными элементами матрицы D) и её собственные векторы (они являются столбцами матрицы U). 8 Дополнения к методу Якоби. О применении метода Якоби На каждом шаге метода Якоби мы зануляли максимальный по модулю элемент среди всех недиагональных матричных элементов. Таким образом, после каждого шага метода необходимо просматривать все недиагональные элементы в поиске их максимального по модулю значения. Эта процедура требует дополнительное машинное время (особенно в случае матриц большой размерности). Поэтому, применяя метод Якоби, часто зануляют «первый попавшийся» недиагональный элемент, модуль которого превышает ε. Метод Якоби будет, очевидно, сходиться и в этом случае. Более того, нахождение для зануления самого большого по модулю недиагонального элемента матрицы может, по целому ряду причин, как ускорить, так и замедлить сходимость алгоритма (см.[5]). 29

30 2. О нахождении СЗ и СВ эрмитовых матриц Мы подробно рассмотрели метод Якоби для случая задачи нахождения СЗ и СВ симметричной матрицы. Заметим, что в большинстве физических приложений приходится иметь дело именно с этим случаем (эрмитову матрицу нередко удаётся привести к действительному виду, в результате чего она становится симметричной). Разумеется, это можно сделать не всегда, но сам метод Якоби тривиальным образом обобщается на случай работы с эрмитовыми матрицами (которые играют особую роль в квантовой механике [см. часть II данных методических указаний]). Сведение эрмитовой матрицы к действительному виду экономит вдвое память и заметно ускоряет счёт, поскольку нет необходимости прибегать к комплексной арифметике. 3. О нахождении СЗ и СВ неэрмитовых матриц Метод Якоби можно обобщить и на случай произвольных неэрмитовых матриц. При этом удаётся обратить в нуль (с точностью до ε) все поддиагональные (наддиагональные) элементы, в результате чего исходная матрица становится верхней (нижней) треугольной матрицей. В свою очередь, такое сведение позволяет резко упростить («почти завершить», как говорится в [5]) задачу поиска СЗ и СВ исследуемой матрицы. 4. О вычислительных погрешностях Как уже многократно отмечалось, ортогональное преобразование сохраняет свойство симметричности преобразуемой матрицы. Однако, так происходит лишь в идеале, а при практических вычислениях накопление ошибок округления может привести к нарушению этого свойства. Погрешность будет гораздо меньше, если эрмитовость соблюдать принудительно, т. е. не вычислять a ji, а сразу полагать его равным уже вычисленному элементу a ij (см., например, [5]). 5. О точности нахождения СЗ и СВ Можно доказать, что если мы с помощью метода Якоби добились диагонализации матрицы с точностью до ε (т. е. все её недиагональные элементы стали по модулю меньше ε), то точность вычисления собственных значений будет более высокой по сравнению с точностью вычисления собственных векторов. Именно, СЗ при этом получаются с точностью до ε 2, а СВ лишь с точностью до ε. Поэтому, если нужны только собственные 3

Матрица проблемного массива

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Производство Матрица проблемного массива

просмотров — 60

Формирование проблемного массива

Анализ возможных последствий решения проблемы проектирования на экологическую ситуацию

При проектировании, производстве, эксплуатации, утилизации электронного модуля защиты ЭД возможно отрицательное влияние этих процессов на окружающую среду и человека. Попробуем сделать прогноз такого влияния и выявить вредные факторы. Следует заметить, что основной причиной вредного влияния, как правило, являются нарушения правил охраны труда, производственной санитарии, технологической и трудовой дисциплины, инструкций по технической эксплуатации и технике безопасности при работе с изделиями электронной техники. Немалую роль играет тщательный и своевременный контроль на всœех указанных выше жизненных циклах проектируемого изделия за соблюдением всœех норм и правил, а также периодическая их корректировка в сторону ужесточения по мере развития науки и техники.

Таблица П1.3. Возможные последствия при изготовлении, эксплуатации, утилизации изделий

Стадии жизненного цикла изделия Экологические факторы
Название 1 Название 2 Название 3 Название 4
Проектирование и изготовление 1. Освещение рабочих мест 2. Защитное заземление и зануление 3. Чистота воздуха 4. Чистота воды 5. Соблюдение норм занимаемой площади работниками и оборудованием 1. Вредные выделœения газов 2. Вредные выделœения ядовитых жидкостей 3. Вредные отходы твёрдых веществ 1. Вредные электромагнитные излучения 2. Вредные радиоактивные излучения 1. Опасность поражения электрическим током
Эксплуатация 1. Освещение рабочих мест 2. Защитное заземление и зануление 3. Чистота воздуха 4. Чистота воды 5. Соблюдение норм занимаемой площади работниками и оборудованием   1. Вредные выделœения газов 2. Вредные выделœения ядовитых жидкостей 3. Вредные отходы твёрдых веществ 1. Вредные электромагнитные излучения 2. Вредные радиоактивные излучения 1. Опасность поражения электрическим током
Утилизация 1. Освещение рабочих мест 2. Защитное заземление и зануление 3. Чистота воздуха 4. Чистота воды 5. Расположение свалки и переработка отходов 1. Вредные выделœения газов 2. Вредные выделœения ядовитых жидкостей 3. Вредные отходы твёрдых веществ 1. Вредные электромагнитные излучения 2. Вредные радиоактивные излучения 1. Опасность поражения электрическим током

На последующих этапах проектирования всœе указанные в таблице П1.3 факторы уточняются и разрабатываются меры по их нейтрализации.

Проблемный массив устройства защиты электродвигателя можно представить в виде таблицы П.1.4.

Таблица П.1.4 . Матрица проблемного массива

Участники проблемной ситуации Проблемы участников
1. Заказчик 1.1. Найти квалифицированного разработчика   1.2. Получить качественное изделие в кратчайший срок   1.3.Определить дополнительные рынки сбыта   1.4.Обеспечить необходимую комплектацию изделия по минимальным ценам   1.5.Наделить устройство максимально возможными потребительскими свойствами
2. Разработчик:   2.1. Обеспечить схемотехническое решение с малыми токами потребления и питающим напряжением   2.2. Обеспечить минимальное число элементов схемы при высоком качестве изделия.   2.3. Не применять остродефицитные и драгоценные материалы   2.4. Обеспечить высокую эксплуатационную надежность и ремонтопригодность   2.5. Обеспечить легкий и удобный вид крепления модуля
3. Изготовители: а) технологи; б) организаторы производства; в) рабочие 3.1. Обеспечить минимальную трудоемкость изготовления, сборки, настройки изделия   3.2. Обеспечить высокую технологичность схемы и конструкции   3.3. Рационально организовать процесс изготовления изделия   3.4. Обеспечить низкий уровень брака   3.5. Обеспечить высокую экологическую чистоту производства
4. Службы сбыта 4.1. Обеспечить рекламу выпускаемой продукции   4.2. Найти оптовых покупателœей   4.3. Заинтересовать покупателя   4.4. Знать особенности продукции, рассказать о них покупателю
5. Потребитель   5.1. Научиться пользоваться устройством, для чего изучить всю техническую и эксплуатационную документацию, инструкции и правила технической эксплуатации изделия   5.2. Грамотно и эффективно использовать изделие, для чего провести обучение персонала, обеспечивать регулярную аттестацию его профессиональных навыков. Обеспечить аттестацию рабочих мест.   5.3. Обеспечить минимальные затраты на приобретение изделия и эксплуатацию

Окончание таблицы П.1.4

Участники проблемной ситуации Проблемы участников
6. Службы сервиса 6.1. Обеспечить высокий уровень обслуживания 6.2. Обеспечить комплектацию модуля защиты ЭД запасными частями для ремонта 6.3. Обеспечить ремонт и утилизацию
7. Окружающая среда 7.1. Обеспечить экологическую чистоту при создании, эксплуатации и утилизации модуля защиты
8. Культура 8.1. Обеспечить сохранение традиций предприятий, участвующих в сферах проектирования, производства, сбыта͵ эксплуатации и утилизации изделия
9. Инвесторы 9.1. Не потерять вложения 9.2. Получить планируемые проценты прибыли

Читайте также


  • — Матрица проблемного массива

    Формирование проблемного массива Анализ возможных последствий решения проблемы проектирования на экологическую ситуацию При проектировании, производстве, эксплуатации, утилизации электронного модуля защиты ЭД возможно отрицательное влияние этих… [читать подробенее]


  • Определение нулевой матрицы

    Нулевая матрица

    Что такое нулевая матрица?

    Вспомним из нашего урока о записи матриц, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенных в прямоугольные скобки. Для нулевой матрицы все упрощается, поскольку вам действительно не нужно беспокоиться о числах, содержащихся в прямоугольном массиве этой записи, как следует из названия, есть только одно число, которое может содержаться внутри этих матриц, поскольку все его записи.

    Таким образом, нулевая матрица — это матрица любой размерности, в которой все ее элементы равны нулю.Математически говоря, нулевая матрица может быть представлена ​​выражением:

    Уравнение 1: Математическое выражение для нулевой матрицы размеров mxn

    Где m представляет количество строк, а n количество столбцов, содержащихся в матрице. Следовательно, если мы хотим написать нулевые матрицы разных размеров, нам просто нужно определить m и n в каждом случае и заполнить все элементы внутри скобок матрицы нулями.

    Примеры нулевых матриц можно увидеть ниже:

    Уравнение 2: Примеры нулевых матриц различных размеров

    Из вышеприведенных примеров записи нулевой матрицы обратите внимание на то, что эти матрицы могут иметь любой размер и комбинацию измерений, и они не обязательно являются квадратными матрицами.Таким образом, вы можете иметь нулевую матрицу с любым количеством строк или столбцов, но помните, что для любого заданного размера можно получить только одну нулевую матрицу (что имеет смысл, поскольку есть только один способ получить все нули в качестве элементов матрицы). матрица определенного размера или комбинации размеров).

    Не путайте нулевую матрицу с тем, что люди могут назвать «нулевой диагональной матрицей». Такая нулевая диагональная матрица обычно относится к полой матрице, в которой все диагональные элементы внутри нее равны нулю, а остальные ее элементы могут быть любым числом.Сходство между регулярной нулевой матрицей и полой матрицей проистекает из их следа (сложения элементов на их диагоналях), поскольку в обоих случаях нужно добавить все нулевые элементы, чтобы получить след, равный нулю. Таким образом, оба этих двух типа матриц представляют собой то, что мы называем матрицей нулевой трассы.

    Важные замечания о нулевой матрице

    После того, как мы узнали определение нулевой матрицы, давайте поговорим о некоторых особенностях этой матрицы.

    • Каков ранг нулевой матрицы?
      Помните, что ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов внутри матрицы. Мы можем определить ранг матрицы, вычислив ее форму эшелона строк, а затем подсчитав левые ненулевые строки, цель которых — найти размерность векторного пространства для рассматриваемой матрицы.
      Итак, если мы говорим о разрешимой системе линейных уравнений, преобразованной в матричную запись, нахождение ранга такой матрицы позволяет увидеть максимальное количество независимых переменных, а значит, размерные плоскости, для которых система может быть представлена ​​графически.
      Как тогда мы можем получить это для нулевой матрицы? Для этого нам сначала нужно спросить себя, являются ли векторы внутри нулевой матрицы линейно независимыми друг от друга? Не совсем, они все одинаковые, и все они нулевые векторы. В таком случае они представляют какую-либо плоскость измерений? Нет. Можете ли вы на самом деле сократить его до эшелонированной формы? Нет. Таким образом, если подумать, нулевая матрица содержит нулевое количество линейно независимых столбцов и нулевое количество ненулевых строк, и поэтому наш окончательный вывод состоит в том, что ранг нулевой матрицы должен быть равен нулю.
      Если вы вдумаетесь в эту идею глубже, то поймете, что любая ненулевая матрица не может иметь ранг меньше единицы, другими словами, чтобы любая матрица имела нулевой ранг, она должна содержать внутри все нулевые элементы, Итак, наш вывод состоит в том, что только нулевые матрицы имеют нулевой ранг.
    • Обратима ли нулевая матрица?
      Для практических целей мы оставим полное объяснение того, как узнать, является ли матрица обратимой или нет, и как инвертировать те, которые предназначены для наших следующих уроков, говорящих об обратимой матрице 2×2.Сейчас мы прямо скажем, что нулевая матрица необратима.
      Есть несколько правил, которые могут доказать это, например, ее определитель равен нулю, а если матрица квадратная, ее ранг меньше ее размеров. Опять же, мы поговорим об этом немного подробнее на наших следующих уроках об инвертировании матриц. Но давайте задумаемся об этой идее на минуту: если мы упоминали ранее, что для любой матрицы определенного размера или размеров существует только одна конфигурация, в которой все ее элементы равны нулю, следовательно, не может быть другого способа, которым вы можете переставить нули, чтобы получить обратную матрицу, которая будет иметь те же размеры.Все записи одинаковы, матрица будет точно такой же, нет «обратной» или «противоположной» ей.
    • Можно ли диагонализовать нулевую матрицу?
      Мы все еще немного далеки от нашего урока диагонализации, но сейчас мы можем сказать, что да, нулевая матрица диагонализируема, поскольку ее нулевые элементы могут легко содержать линейно независимые собственные векторы. Подробнее о диагонализации в следующих уроках.

    Пустое пространство нулевой матрицы

    Поскольку нулевая матрица сама по себе является небольшой и конкретной концепцией, которую можно использовать во многих наших уроках линейной алгебры, теперь мы вынуждены еще раз вернуться к теме более позднего урока: нулевому пространству матрицы.

    Давайте еще раз упростим это и скажем, что для того, чтобы вектор был частью нулевого пространства матрицы, умножение такой матрицы на упомянутый вектор должно давать нулевой вектор, что дает «нулевой» результат.
    Если наша рассматриваемая матрица представляет собой матрицу с именем A, которая умножается на вектор u, мы говорим, что u находится в нулевом пространстве A, если выполняется следующее условие:
    Уравнение 3: Условие для того, чтобы вектор u был частью нулевого пространства A

    Если мы возьмем то, что мы знаем из наших уроков о представлении линейной системы в виде матрицы и матричного уравнения Ax=b, мы можем заметить, что при таком умножении умножаемый вектор фактически представляет собой множество решений, заданных однородной системой.

    Теперь, как это можно применить к нулевой матрице?
    Ну, любая нулевая матрица, умноженная на вектор, в результате будет иметь нулевой вектор. То есть, если размеры матрицы и вектора подчиняются правилам умножения матриц, другими словами, если умножение можно определить, то в результате непременно получится нулевой вектор.
    Причина этого в том, что, учитывая, что нулевая матрица содержит только нулевые элементы, любая запись, умноженная на любой элемент вектора, приведет к нулевому компоненту, который будет частью результирующего вектора.Итак, условие для нулевого пространства выполнено, и это подводит нас к чему-то важному, о чем мы пока не упоминали: нулевая матрица — это то, что мы называем нулевой матрицей, и это можно ясно увидеть, следуя описанному выше процессу, поскольку никакие независимо от того, какой вектор на него умножается, результат всегда будет содержать только нулевые элементы.

    Сложение, вычитание и скалярное умножение нулевой матрицы

    В этом разделе мы сосредоточимся на демонстрации примеров операций либо с нулевыми матрицами внутри, либо задач, приводящих к решениям с нулевыми матрицами.Для этого давайте сразу перейдем к примерам упражнений:

    Пример 1

    Начнем с добавления, содержащего нулевую матрицу. Это довольно простая операция, поэтому давайте начнем с того, что сложение будет выглядеть так:

    . Уравнение 4: сложение с нулевой матрицей Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем соответствующие записи элементов в обе матрицы, чтобы получить результирующую матрицу (которая имеет те же размеры, что и исходные). И так, результат выглядит так: Уравнение 5: Решение сложения с нулевой матрицей Этот первый пример проблемы показывает нам важное свойство нулевой матрицы: когда нулевую матрицу добавляют или вычитают из другой матрицы с теми же размерами, эта матрица остается неизменной и равна результату операции.
    Пример 2
    Чтобы перейти к нашему следующему примеру, мы работаем над вычитанием матриц, где нулевая матрица вычитается из другой матрицы того же размера. Уравнение 6: вычитание с нулевой матрицей Операция выполняется по тому же принципу, что и сложение в примере 1. Таким образом, решая эту операцию, получаем: Уравнение 7: Решение вычитания с нулевой матрицей Как мы уже упоминали в нашем уроке о сложении и вычитании матриц, хотя сложение матриц является коммутативным (вы можете изменить порядок матриц, и результат не изменится), вычитание матриц — нет, и это хорошо видно на этом примере.
    Если бы у вас была нулевая матрица справа от знака минус в уравнении 6, то результат был бы равен другой матрице, задействованной в операции. Но поскольку нулевая матрица была первой, результатом операции является отрицательная величина ненулевой матрицы.
    Пример 3
    Для этого примера у нас есть добавление следующих двух следующих матриц: Уравнение 8: Сложение противоположных матриц Заметили что-то особенное в приведенных выше матрицах? Они являются отрицательной матрицей друг друга, или, другими словами, если вы возьмете первую матрицу и умножите ее на отрицательную единицу, вы получите вторую матрицу.Следовательно, эта конкретная операция эквивалентна вычитанию матрицы из самой себя. Чтобы показать это, определим первую матрицу как A: Уравнение 9: Матрица А Затем мы записываем эквивалентную операцию, которую только что объяснили: Уравнение 10: Преобразование сложения матриц в вычитание Обратите внимание, что скалярное умножение минус один на A было упрощено, чтобы просто записать его как вычитание двух матриц, которые на данный момент равны A, и поэтому то, что мы имеем в уравнении 10, может быть просто записано как: A — A который, очевидно, имеет нулевой результат.Но так как здесь речь идет не просто о числах, а о матрицах, нулевой результат должен был бы быть массивом той же размерности, что и A, и так: Уравнение 11: вычитание матрицы отдельно Обратите внимание, что субиндексы в правой части уравнения обозначают размеры нулевой матрицы, что означает, что результирующая нулевая матрица должна иметь «m из A» (то же количество строк, что и A) и «N из A». » (то же количество столбцов, что и A). Давайте получим результат двумя разными способами: сложением исходной матрицы, показанным в уравнении 8, и вычитанием матрицы, найденным в конце уравнения 10, чтобы показать, как мы получим тот же результат: нулевую матрицу, чтобы доказать уравнение 11.Уравнение 12: Окончательное решение, полученное двумя разными способами. Вывод из этой задачи состоит в том, что всякий раз, когда вы вычитаете матрицу из самой себя, вы получаете нулевую матрицу с теми же размерами, что и ваши исходные матрицы. Пример 4
    В этом примере мы увидим вычитание двух равных матриц, которые являются векторами-столбцами. Уравнение 13: вычитание двух равных вектор-столбцов Здесь снова используется принцип, объясненный в предыдущем упражнении: при вычитании двух равных матриц (которые в данном случае представляют собой два вектора-столбца, поскольку каждая матрица состоит только из одного столбца), результатом является нулевая матрица того же размера. как оригинальные: Уравнение 14: решение вычитания двух равных вектор-столбцов Пример 5
    Вычислите следующее скалярное умножение матрицы: Уравнение 15: Скалярное умножение матрицы на ноль В этом конкретном случае должно быть ясно, что результат будет равен нулю, поскольку все, что вы умножаете на ноль, приведет к нулю.Интересная часть здесь заключается в том, что вы умножаете матрицу, и поэтому каждый элемент будет умножаться на скаляр вне в этом случае нуля, и произойдет то, что вместо того, чтобы получить в результате просто ноль, это умножение даст матрицу, в которой все ее элементы равны нулю, и поэтому результатом является нулевая матрица: Уравнение 16: Результат скалярного умножения матрицы на ноль Что также можно записать как: Уравнение 17: Нулевая матрица размером 3 x 2 Пример 6
    Вычислите следующее скалярное умножение, содержащее нулевую матрицу Уравнение 18: Скалярное умножение нулевой матрицы Так же, как и с прошлыми задачами, мы можем интуитивно записать ответ в виде нулевой матрицы, так как каждый элемент в матрице является нулем, не имеет значения, если вы умножите на них любой другой скаляр, результат всегда будет равен нулю в каждом кейс.Чтобы расширить операцию, вот как это происходит: Уравнение 19: Результат скалярного умножения нулевой матрицы Пример 7
    Давайте изменим режим наших задач, теперь вам даны матрицы, показанные ниже: Уравнение 20: Матрицы B и 0 Имея это в виду, верны ли следующие матричные уравнения? Если нет, исправьте их.
    1. B + 0 = B
      Этот случай соответствует тому, что мы видели в примере 1: Имея две матрицы с одинаковыми размерами, одна из них нулевая матрица, а другая ненулевая матрица, когда вы складываете их вместе, результат равна ненулевой матрице, поскольку нулевая матрица ничего не дает при добавлении каждого соответствующего элемента на двух матрицах, участвующих в операции.Следовательно, это выражение ПРАВИЛЬНО.
    2. 0 — B = B
      В этом случае мы можем взглянуть на пример 2 и понять, что это выражение НЕВЕРНО. При вычитании матрицы из нулевой матрицы той же размерности результат равен минусу ненулевой матрицы.
      Таким образом, правильным выражением будет 0 — B = -B
    3. B — B = 0
      Это выражение ПРАВИЛЬНО и соответствует тому, что мы видели в примерах 3 и 4: если вы вычитаете матрицу саму по себе, это приводит к последовательному вычитанию числа, и, таким образом, к результирующей матрице. в котором все его входные элементы будут равны нулю (нулевая матрица 0).
    4. 0 + 0 = B
      Приведенное выше выражение НЕВЕРНО. При добавлении нуля плюс ноль результатом всегда будет ноль. Это относится к каждому элементу результирующей матрицы: при добавлении нулевой матрицы к другой равной нулевой матрице результатом будет равная нулевая матрица. Таким образом, правильное выражение: 0 + 0 = 0,
    5. 0 ⋅\cdot⋅ B = 0
      Это выражение ВЕРНО. Каждое поэлементное умножение в результате этой операции приведет к нулю, что приведет к получению матрицы, в которой все элементы равны нулю, таким образом, нулевая матрица равна 0.
    6. B ⋅\cdot⋅ 0 = 0
      Как и в случае д) это выражение ПРАВИЛЬНО, так как каждый соответствующий элемент из ненулевой матрицы будет умножен на ноль из нулевой матрицы.
    Случаи д) и е) приводят к важному выводу: умножение матриц не является коммутативным, если только одна из двух матриц не является нулевой матрицей. Независимо от того, в каком порядке вы умножаете элементы каждой матрицы, в одной из них все нулевые элементы производят умножения, которые все приводят к нулю.
    Как упоминалось ранее, нулевая матрица является очень конкретной концепцией, поэтому в этом уроке о ней особо нечего сказать, но это не означает, что она не будет использоваться во многих областях линейной алгебры. Так же, как число ноль в математике, нулевая матрица дает нам представление нулевого пространства, которое мы все еще можем охарактеризовать, другими словами, оно может содержать нулевые элементы, но его качества сохраняются, чтобы мы могли использовать его с другими матрицами по своему усмотрению.
    Чтобы завершить наш урок, мы просто предоставим две дополнительные ссылки на случай, если вы захотите посетить их и посмотреть, как они определяют нулевую матрицу, и предоставить простой пример сложения с нулевой матрицей.k, теперь мы можем рассмотреть их дисперсии и ковариации. Как упоминалось выше, это невозможно сделать, зная только относительные ошибки наблюдений, вместо этого требуются абсолютные значения этих величин. Поэтому на данном этапе удобно учесть возможность того, что матрицу дисперсии можно определить только до масштабного коэффициента w, записав

    (8.24)V=wW−1,

    , где W — это так называемая весовая матрица наблюдений.i=(Eii)1/2.

    Иногда полезно знать, какие линейные комбинации оценок параметров имеют нулевую ковариацию. Поскольку E — действительная симметричная матрица, ее можно диагонализовать унитарной матрицей U . Затем эта же матрица преобразует оценки параметров в требуемую линейную комбинацию.

    Наконец, если w неизвестно, нам нужно найти для него оценку. Это можно сделать, вернувшись к (8.25) и найдя математическое ожидание взвешенной суммы остатков S :

    (8.),

    , используя измеренные и подобранные значения. В общем случае, когда значения yi представляют собой случайные величины, нормально распределенные относительно fi, тогда RTV-1R представляет собой значение хи-квадрат для подбора, а (n-p) представляет собой число степеней свободы ndf. В этом случае (8.32) принимает вид

    (8.33)E=χ2ndf(ΦTV−1Φ)−1.

    ПРИМЕР 8.2

    Вычислите ошибки для наиболее подходящих параметров в Пример 8.1 .

    Они следуют непосредственно с использованием матриц, рассчитанных в Примере 8.σ(a′)=2,101×0,06053=0,517

    и

    σ(b)=σ(b′)=0,00159=0,040

    Март-73. Обнуление матрицы — Code World

     

      класс Решение:
        def setZeroes(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
            """
            Ничего не возвращайте, вместо этого измените матрицу на месте.
            """
            #空间复杂度1
            если не матрица или не матрица[0]:
                вернуть
            M, N = len(матрица), len(матрица[0])
            строка0, столбец0 = Ложь, Ложь
            для я в диапазоне (М):
                если матрица[i][0] == 0:
                    col0 = Истина
            для j в диапазоне (N):
                если матрица[0][j] == 0:
                    строка0 = Истина
            для i в диапазоне (1, M):
                для j в диапазоне (1, N):
                    если матрица[i][j] == 0:
                        матрица [я] [0] = 0
                        матрица [0] [j] = 0
            для i в диапазоне (1, M):
                для j в диапазоне (1, N):
                    если matrix[i][0] == 0 или matrix[0][j] == 0:
                        матрица [я] [j] = 0
            если строка0:
                для j в диапазоне (N):
                    матрица [0] [j] = 0
            если столбец0:
                для я в диапазоне (М):
                    матрица [я] [0] = 0
    
    
            #空间复杂度m+n
            m, n = len(матрица), len(матрица[0])
            строка, столбец = [False] * m, [False] * n
    
            для я в диапазоне (м):
                для j в диапазоне (n):
                    если матрица[i][j] == 0:
                        строка[i] = столбец[j] = Истина
            
            для я в диапазоне (м):
                для j в диапазоне (n):
                    если строка [i] или столбец [j]:
                        матрица [я] [j] = 0
    
    
            #空间复杂度m*n
            строка = длина (матрица)
            столбец = длина (матрица [0])
            индекс = []
            для я в диапазоне (строке):
                для j в диапазоне (столбец):
                    если матрица[i][j]==0:
                        показатель.добавить ([я, j])
            для i,j в индексе:
                для x в диапазоне (столбец):
                    матрица [я] [х] = 0
                для y в диапазоне (строка):
                    матрица[у][j]=0  
    • Пространственная сложность m*n*2
      • Использовать двумерную матрицу для записи индекса позиции 0
      • Затем пройдитесь по этому двумерному массиву, чтобы установить ненулевые элементы в исходной матрице равными 0
    • Пространственная сложность m+n
      • Использование двух массивов, области строк и столбцов для записи переменных
      • Если текущий элемент равен 0, строка записи и столбец равны True
      • Затем пройдитесь по матрице, если какой-либо элемент в строке и столбце имеет значение True, запишите текущую позицию как 0
      • В общем, это запись текущего элемента через первый столбец и первую строку
    • Пространственная сложность 1
      • Используйте две переменные для записи, соответственно запишите, имеют ли строка и столбец 0
      • Пройдите первую строку и первый столбец соответственно и отметьте, если есть 0
      • Затем повторите массив дважды
        • Первый; если текущая позиция равна 0, то позиция первого столбца и первой строки также устанавливается на 0
        • Секунда; если в первой строке или первом столбце текущей позиции 0, то установить текущий элемент равным 0
      • Используйте записанные ранее переменные, чтобы проверить, есть ли 0 в первой строке и первом столбце, а затем установите для первой строки и первого столбца значение 0
      • Суть в том, чтобы использовать первую строку и первый столбец для маркировки, но на этот раз маркировка использует переменную

    [leetcode044] обнуление матрицы

    Дана матрица m x n . Если элемент равен 0 , установить все элементы строки и столбца равными 0 .Пожалуйста, используйте алгоритм In situ.

    Пример 1:
    Ввод: матрица = [[1,1,1],[1,0,1],[1,1,1]]
    Выход: [[1,0,1],[0,0 ,0],[1,0,1]]
    Пример 2:
    Ввод: матрица = [[0,1,2,0],[3,4,5,2],[1,3,1,5 ]]
    Выход: [[0,0,0,0],[0,4,5,0],[0,3,1,0]]

    Советы:
    m == matrix.length
    n == matrix[0].length
    1 <= m, n <= 200
    -231 <= matrix[i][j] <= 231 - 1

    Дополнительно:

    Интуитивным решением является использование O(mn) дополнительного пространства, но это не очень хорошее решение.
    Простое улучшение заключается в использовании O(m + n) дополнительного пространства, но это все еще не лучшее решение.
    Можете ли вы придумать решение, которое использует только постоянное пространство?

    1.1 Анализ мыслей

    Используйте два массива тегов для записи наличия нулей в каждой строке и столбце соответственно.
    В частности, сначала мы просматриваем массив один раз, если элемент равен 0, затем устанавливаем положение массива тегов, соответствующее строке и столбцу, где находится элемент, равным true.Наконец, мы снова проходим по массиву, обновляя исходный массив тегом array.

    1.2 Реализация кода

      класс Решение {
        
        public void setZeroes (int [][] матрица) {
        
            int m = матрица.длина;
            int n = матрица [0]. длина;
            логические [] строки = новые логические [м];
            boolean[] cols = new boolean[n];
            for ( int i=0; i 

    1.3 результат теста

    1.4 Сложность

    • Временная сложность: O(m*n)
    • Пространственная сложность: O(m+n)

    2.1 Анализ мыслей

    Мы можем заменить два массива тегов в методе 1 первой строкой и первым столбцом матрицы, чтобы получить O(1)O(1) дополнительного пространства. Но это приведет к изменению первой строки и первого столбца исходного массива. Невозможно записать, содержат ли они изначально 00.Поэтому нам нужно использовать две дополнительные переменные тега, чтобы записать, содержат ли первая строка и первый столбец изначально 0.

    2.2 Реализация кода

      класс Решение {
        
        public void setZeroes (int [][] матрица) {
        
            int m=matrix.length, n=matrix[0].length;
            логическое значение flagcol0 = ложь, flagrow0 = ложь;
            
            for(int i=0; i 

    2.3 результат теста

    2.4 Сложность

    • Временная сложность: O(m*n)
    • Пространственная сложность: O(1)

    3.1 Анализ мыслей

    Мы можем дополнительно оптимизировать метод 2. Используйте только одну переменную тега для записи того, существует ли изначально первый столбец 0. Например, первый элемент первого столбца может указывать, появляется ли первая строка 0. Но чтобы предотвратить появление первого элемента каждого столбца от быть обновленным заранее, нам нужно начать с последней строки, элементы матрицы обработки в обратном порядке.

    Это предложение должно быть «Чтобы первый элемент первого столбца не обновлялся заранее, нам нужно начать с последней строки, Обработать элементы матрицы в обратном порядке». Измените на «Чтобы первый элемент каждого столбца не обновлялся заранее, нам нужно начать с последней строки, Обработать элементы матрицы в обратном порядке».

    Например, следующая матрица

    [0,1,2,0],
    [3,4,5,2],
    [1,3,1,5]
    Согласно алгоритму 3 , Причина, по которой мы должны иметь дело с этим сзади , Потому что если мы сначала разберемся с первой строкой, матрица станет

    [0,0,0,0],
    [3,4,5,2],
    [1,3,1,5]
    Второй столбец первой строки и третий столбец 0 Элементы влияют на следующие 4 , 5 и 3, 1
    Но на самом деле этих двух 0 Не существует , Это то, что происходит после обработки
    Так что давайте разберемся с этим снизу , Эти два 0 Вас не коснутся .

    3.2 Реализация кода

      класс Решение {
        
        public void setZeroes (int [][] матрица) {
        
            int m=matrix.length, n=matrix[0].length;
            логическое значение flagcol0 = ложь;
            for(int i=0; i=0; i--){
        
                for (int j=1; j 

    3.3 результат теста

    3.4 Сложность

    • Временная сложность: O(m*n)
    • Пространственная сложность: O(1)

    Матрицы и системы уравнений

    6.1 — Матрицы и системы уравнений

    Определение матрицы

    • Прямоугольный массив действительных чисел
    • м рядов по n столбцов
    • Названо с использованием заглавных букв
    • Первый нижний индекс — строка, второй нижний индекс — столбец

    Терминология

    • Матрица с m строк и n столбцов называется матрицей порядка m x n .
    • Квадратная матрица — это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
    • Главной диагональю квадратной матрицы являются элементы от левого верхнего угла к правому нижнему матрица.
    • Матрица-строка — это матрица, имеющая только одну строку.
    • Матрица-столбец — это матрица, имеющая только один столбец.
    • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

    Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы

    Каждое уравнение в системе становится строкой. Каждая переменная в система становится столбцом. Переменные удаляются, и коэффициенты помещаются в матрицу. Если включена правая сторона, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не включена, это называется матрицей коэффициентов.

    Система линейных уравнений...

     х + у - г = 1
    3х - 2у + г = 3
    4x + y - 2z = 9 

    становится расширенной матрицей...

      х и по справа  
      1 1 -1 1  
      3 -2 1 3  
      4 1 -2 9  

    Элементарные операции с рядами

    Элементарные операции со строками — это операции, которые могут быть выполнены с матрицей и будут генерировать эквивалентная строкам матрица.Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных уравнений, то матрица, эквивалентная строкам, будет иметь тот же набор решений, что и исходная матрица.

    При работе с системами линейных уравнений можно было выполнить три операции. что не изменит множество решений.

    1. Поменять местами два уравнения.
    2. Умножить уравнение на ненулевую константу.
    3. Умножить уравнение на ненулевую константу и добавить его к другому уравнению, заменив это уравнение.

    Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится ряд. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые дадут эквивалент строки матрица.

    1. Поменять местами два ряда
    2. Умножить строку на ненулевую константу
    3. Умножить строку на ненулевую константу и добавить ее к другой строке, заменив эту строку.

    Формы рядного эшелона и сокращенного рядного эшелона

    Это строковые эквивалентные формы матрицы.Можно легко решить систему линейных уравнений когда матрицы находятся в одной из этих форм.

    Ряд-Эшелон Форма

    Матрица имеет форму строки-эшелона, если выполняются следующие условия.

    1. Если есть строка из всех нулей, то она находится внизу матрицы.
    2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
    3. Ведущий элемент любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущего ряда.
    Примечания
    • Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
    • Матрица в ступенчатой ​​форме будет иметь нули ниже лидирующих единиц.
    • Исключение по Гауссу переводит матрицу в эшелонированную форму, а затем выполняется обратная замена. требуется для завершения поиска решений системы.
    • Строково-ступенчатая форма матрицы не обязательно уникальна.

    Сокращенная форма рядного эшелона

    Матрица находится в сокращенной форме строки-эшелона, когда выполняются все условия формы строки-эшелона и все элементы выше, как и ниже, ведущие равны нулю.

    1. Если есть строка из всех нулей, то она находится внизу матрицы.
    2. Первый ненулевой элемент любой строки равен единице. Этот элемент называется ведущим.
    3. Ведущий элемент любой строки находится справа от ведущего элемента предыдущего ряда.
    4. Все элементы выше и ниже ведущей единицы равны нулю.
    Примечания
    • Ведущий в ряду не обязательно должен быть непосредственно справа от ведущего в ряду предыдущий ряд.
    • Матрица в ступенчато-строковой форме будет иметь нули как выше, так и ниже лидирующих единиц.
    • Исключение Гаусса-Жордана переводит матрицу в редуцированную ступенчато-строковую форму.
    • Для завершения поиска решений системы не требуется обратной замены.
    • Редуцированная строково-ступенчатая форма матрицы уникальна.

    Исключение Гаусса

    • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
    • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму
    • Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
    • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

    Исключение Гаусса-Джордана

    • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
    • Выполните элементарные операции со строками, чтобы привести матрицу к уменьшенной ступенчатой ​​форме строк
    • Преобразование матрицы обратно в систему линейных уравнений
    • Обратная замена не требуется

    Поворотный

    • Поворот — это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядно-эшелонная или уменьшенная рядно-эшелонная форма
    • В частности, поворот превращает элементы выше или ниже ведущей единицы в нули

    Типы растворов

    Возможны три типа решений при решении системы линейных уравнений

    Независимый
    • Последовательный
    • Уникальное решение
    • Матрица с уменьшенным числом строк имеет то же количество ненулевых строк, что и переменные
    • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
    • Чтобы получить независимое решение, уравнений должно быть не меньше числа переменных.
      х и по справа  
      1 0 0 3  
      0 1 0 1  
      0 0 1 2  

    Когда вы преобразуете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x=3, у=1 и г=2.

    Зависимый
    • Последовательный
    • Много решений
    • Запишите ответ в параметрической форме
    • Матрица с уменьшенным числом строк содержит больше переменных, чем ненулевые строки
    • Ряд нулей не обязательно должен быть, но обычно он есть.
    • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
      х и по справа  
      1 0 3 4  
      0 1 -2 3  
      0 0 0 0  

    Первое уравнение будет x + 3z = 4.Решение для x дает x = 4 - 3z.

    Второе уравнение будет y - 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

    Столбец z не очищен (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, г будет параметр т и решение ...

    х = 4 - 3т, у = 3 + 2т, г = т

    Несоответствие
    • Нет решения
    • Матрица с уменьшенным числом строк имеет ряд нулей в левой части, но правая часть не равна нулю.
      х и по справа  
      1 0 3 4  
      0 1 -2 3  
      0 0 0 2  

    Здесь нет решения.Вы можете записать это как нулевое множество Ø, пустой набор {} или нет решения.

    LeetCode – установка нулей матрицы (Java)

    Для заданной матрицы m * n, если элемент равен 0, установите для всей строки и столбца значение 0.
    Сделайте это на месте.

    Анализ

    Эта проблема должна быть решена на месте, т. е. никакой другой массив не должен использоваться. Мы можем использовать первый столбец и первую строку, чтобы отслеживать, должна ли строка/столбец быть установлена ​​на 0.

    Поскольку мы использовали первую строку и первый столбец для обозначения нулевой строки/столбца, исходные значения изменены.

    В частности, учитывая следующую матрицу

    , эту задачу можно решить, выполнив следующие 4 шага:

    Шаг 1:
    Первая строка содержит ноль = истина;
    Первый столбец содержит ноль = ложь;

    Шаг 2: используйте первую строку и столбец, чтобы отметить нулевую строку и столбец.

    Шаг 3: установите каждый элемент, используя метки в первой строке и столбце.

    Шаг 4: Установите первый столбец и строку, используя метки в шаге 1.

    Java-решение

     Решение открытого класса {
        public void setZeroes (int [][] матрица) {
            логическое значение firstRowZero = false;
            логическое значение firstColumnZero = false;
    
            //обнулить первую строку и столбец или нет
            for(int i=0; i 

    Решение открытого класса { public void setZeroes (int [][] матрица) { логическое значение firstRowZero = false; логическое значение firstColumnZero = false; //обнулить первую строку и столбец или нет for(int i=0; i

    Непрерывные и дискретные модели динамики обнуления с использованием массива функций JMP и расчетной формулы для решения изменяющегося во времени матричного неравенства транспонирования Сильвестра

  • Чези, Г.: Методы LMI для оптимизации полиномов в управлении: обзор. IEEE транс. автомат. Управление 55 (11), 2500–2510 (2010)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Цзин, С.: Надежное адаптивное обучение нейронных сетей с прямой связью с помощью оптимизации LMI. Нейронная сеть. 31 , 33–45 (2012)

    МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Лакшманан С., Лим С.П., Пракаш М., Нахаванди С., Баласубраманиам П.: Инерционные нейронные сети нейтрального типа и анализ их устойчивости с использованием подхода LMI. Нейрокомпьютинг 230 , 243–250 (2017)

    Google ученый

  • Ван З., Чжан, Х., Цзян, Б.: Подход на основе LMI для анализа глобальной асимптотической устойчивости рекуррентных нейронных сетей с различными задержками и структурами. IEEE транс. Нейронная сеть. 22 (7), 1032–1045 (2011)

    Google ученый

  • Чжан Ю.: Набор нелинейных уравнений и неравенств, возникающих в робототехнике, и его онлайн-решение с помощью первичной нейронной сети. Нейрокомпьютинг 70 (1–3), 513–524 (2006)

    Google ученый

  • Ли, Дж., Хуанг, Н.: Анализ пространства изображений для векторных вариационных неравенств с ограничениями матричного неравенства и приложениями. Дж. Оптим. Теория прил. 145 (3), 459–477 (2010)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Го, Д., Чжан, Ю.: Нейронная сеть Чжана для онлайн-решения изменяющегося во времени линейного матричного неравенства с помощью преобразования равенства. IEEE транс. Нейронная сеть. Учить. Сист. 25 (2), 370–382 (2014)

    Google ученый

  • Лей Ю.: неточная итерация с фиксированной матрицей для решения больших линейных неравенств методом наименьших квадратов. Число. Алгоритмы 69 (1), 227–251 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Дакс, А.: Гибридный алгоритм решения линейных неравенств методом наименьших квадратов. Число. Алгоритмы 50 (2), 97–114 (2009)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Чжан З., Чжан, Ю.: Пределы переменной скорости соединения дублирующих роботов-манипуляторов, управляемые квадратичным программированием. IEEE/ASME Trans. Мехатрон. 18 (2), 674–686 (2013)

    Google ученый

  • Го, Д., Чжан, Ю.: Новая схема MVN для обхода препятствий, основанная на неравенстве, и ее применение к резервным роботам-манипуляторам. IEEE транс. Сист. Человек Киберн. Часть C-Прил. 42 (6), 1326–1340 (2012)

    Google ученый

  • Ян, К., Мурти, К.Г.: Новые итерационные методы для линейных неравенств. Дж. Оптим. Теория прил. 72 (1), 163–185 (1992)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Cichocki, A., Bargiela, A.: Нейронные сети для решения систем линейного неравенства. Параллельные вычисления. 22 (11), 1455–1475 (1997)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Лин, К., Лай, К., Хуанг, Т.: Нейронная сеть для задач линейного матричного неравенства. IEEE транс. Нейронная сеть. 11 (5), 1078–1092 (2000)

    Google ученый

  • Ченг, Л., Хоу, З., Тан, М.: Упрощенная нейронная сеть для задач линейного матричного неравенства. Нейронный процесс. лат. 29 (3), 213–230 (2009)

    Google ученый

  • Хаджарян М.: Матричные итерационные методы решения транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра.Дж. Франкл. Инст. 350 (10), 3328–3341 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Хаджарян М.: Расширение алгоритма GPBiCG для решения обобщенного матричного уравнения транспонирования Сильвестра. Междунар. J. Управление автоматом. Сист. 12 (6), 1362–1365 (2014)

    Google ученый

  • Ли, С., Хе, Дж., Ли, Ю., Рафик, М.У.: Распределенные рекуррентные нейронные сети для совместного управления манипуляторами: теоретико-игровая перспектива.IEEE транс. Нейронная сеть. Учить. Сист. 28 (2), 415–426 (2017)

    MathSciNet Google ученый

  • Мисра Дж., Саха И.: Искусственные нейронные сети в оборудовании: обзор двух десятилетий прогресса. Нейрокомпьютинг 74 (1–3), 239–255 (2010)

    Google ученый

  • Лю, Л., Шао, Х., Нан, Д.: Модель рекуррентной нейронной сети для вычисления наибольшего и наименьшего обобщенного собственного значения.Нейрокомпьютинг 71 (16–18), 3589–3594 (2008)

    Google ученый

  • Zhang, Y., Ma, W., Li, X., Tan, H., Chen, K.: Моделирование MATLAB Simulink и симуляция первичной-двойственной нейронной сети на основе LVI для решения линейных и квадратичных программ. Нейрокомпьютинг 71 (7–9), 1679–1687 (2009)

    Google ученый

  • Чжао, Х., Чжан, Дж.: Идентификация нелинейной динамической системы с использованием конвейерной функциональной связи искусственной рекуррентной нейронной сети.Нейрокомпьютинг 72 (13–15), 3046–3054 (2009)

    Google ученый

  • Ли, С., Чжан, Ю., Джин, Л.: Кинематическое управление резервными манипуляторами с использованием нейронных сетей. IEEE транс. Нейронная сеть. Учить. Сист. 28 (10), 2243–2254 (2017)

    MathSciNet Google ученый

  • Чен, М.: Распределение ограниченного управления для самолета с избыточным приводом с использованием нейродинамической модели.IEEE транс. Сист. Человек Киберн. Часть А-Сист. Гум. 46 (12), 1630–1641 (2016)

    Google ученый

  • Цзинь Л., Чжан Ю.: Непрерывная и дискретная динамика Чжана для изменяющейся нелинейной оптимизации в реальном времени. Число. Алгоритмы 73 (1), 115–140 (2016)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Го, Д., Линь, X., Су, З., Сунь, С., Хуан, З.: Разработка и анализ двух алгоритмов ZD с дискретным временем для изменяющейся во времени нелинейной минимизации. Число. Алгоритмы 77 (1), 23–36 (2018)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Zhang, Y., Li, Z., Guo, D., Ke, Z., Chen, P.: ZD, GD и NI с дискретным временем для решения нелинейных нестационарных уравнений. Число. Алгоритмы 64 (4), 721–740 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Чжан Ю., Ge, S.: Проектирование и анализ общей модели рекуррентной нейронной сети для инверсии изменяющейся во времени матрицы. IEEE транс. Нейронная сеть. 16 (6), 1477–1490 (2005)

    Google ученый

  • Чжан Ю., Цзян Д., Ван Дж.: Рекуррентная нейронная сеть для решения уравнения Сильвестра с изменяющимися во времени коэффициентами. IEEE транс. Нейронная сеть. 16 (5), 1053–1063 (2002)

    Google ученый

  • Чжан З., Чжэн Л., Венг Дж., Мао Ю., Лу В., Сяо Л.: Новая рекуррентная нейронная сеть с переменными параметрами для онлайн-решения изменяющегося во времени уравнения Сильвестра. IEEE транс. киберн. 48 (11), 3135–3148 (2018)

    Google ученый

  • Сяо, Л., Ляо, Б., Ли, С., Чжан, З., Дин, Л., Цзинь, Л.: Разработка и анализ FTZNN для решения в реальном времени нестационарного уравнения Ляпунова и трекинговое управление колесным мобильным манипулятором.IEEE транс. Инд.информ. 48 (1), 98–105 (2018)

    Google ученый

  • Сяо, Л., Ляо, Б.: Нейронная сеть Чжана с ускоренной конвергенцией и ее решение для уравнения Ляпунова. Нейрокомпьютинг 193 , 213–218 (2016)

    Google ученый

  • Ли, X., Ю, Дж., Ли, С., Ни, Л.: Нелинейная и устойчивая к шуму модель ZNN, решающая линейное матричное уравнение, изменяющееся во времени.Нейрокомпьютинг 317 , 70–78 (2018)

    Google ученый

  • Чжан Ю.: Пересмотрите аналоговый компьютер и нейронную систему на основе градиента для инверсии матриц. В: Материалы Международного симпозиума IEEE по интеллектуальному управлению, стр. 1411–1416 (2005)

  • Мяо, П., Шен, Ю., Хуанг, Ю., Ван, Ю.: Решение переменных квадратичных программ на основе о нейронных сетях Чжана с конечным временем и их применении для отслеживания роботов.Нейронные вычисления. заявл. 26 (3), 693–703 (2015)

    Google ученый

  • Сяо, Л.: Нелинейно активированная нейронная динамика и ее решение за конечное время изменяющегося во времени нелинейного уравнения. Нейрокомпьютинг 173 , 1983–1988 (2016)

    Google ученый

  • Сяо Л., Чжан Ю.: Сравнение нейронной сети Чжана и градиентной нейронной сети для решения линейных неравенств, изменяющихся во времени.IEEE транс. Нейронная сеть. 22 (10), 1676–1684 (2011)

    Google ученый

  • Хаджарян М.: Расширение алгоритма CGLS для решения по методу наименьших квадратов обобщенных матричных уравнений, транспонированных по Сильвестру. Дж. Франкл. Инст. 353 (5), 1168–1185 (2016)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Хаджарян, М.: Расширение методов LSQR для решения обобщенных транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра.Мат. Мет. заявл. науч. 37 (13), 2017–2028 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Хаджарян, М.: Разработка методов BiCOR и CORS для связанных уравнений Сильвестра-транспонирования и периодических матричных уравнений Сильвестра. заявл. Мат. Модель. 39 (19), 6073–6084 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Сяо Л., Чжан Ю.: Различные функции Чжана, приводящие к различным моделям ZNN, продемонстрированы путем решения линейных матрично-векторных неравенств, изменяющихся во времени. Нейрокомпьютинг 121 , 140–149 (2013)

    Google ученый

  • Чжан, Ю., Ян, М., Хуан, Х., Сяо, М., Ху, Х.: Новая дискретная модель решения для решения будущего линейного неравенства и равенства разного уровня с управлением роботом-манипулятором. IEEE транс. Инд.информ. 15 (4), 1975–1984 (2019)

    Google ученый

  • Джин Л., Ли С., Ляо Б., Чжан З.: Обнуление нейронных сетей: обзор. Нейрокомпьютинг 267 , 597–604 (2017)

    Google ученый

  • Zhang, Y., Qi, Z., Li, J., Qiu, B., Yang, M.: Подтверждение домена шага и оптимум формулы ZeaD для будущей оптимизации. Число. Алгоритмы 81 (2), 561–574 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Ли, Дж., Мао, М., Улиг, Ф., Чжан, Ю.: Формула конечной разности с 5 моментами для нахождения дискретных изменяющихся во времени обобщенных обратных матриц, обратных матриц и скалярных обратных величин. Число. Алгоритмы 81 (2), 609–629 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Qiu, B., Zhang, Y., Guo, J., Yang, Z., Li, X.: Новый пятиэтапный алгоритм DTZD для будущей нелинейной минимизации с четвертичным устойчивым шаблоном ошибок. Число.Алгоритмы 81 (3), 1043–1065 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Цю, Б., Чжан, Ю.: Два новых нейродинамических алгоритма с дискретным временем, примененные к обращению матрицы будущего в режиме онлайн с несингулярным или иногда сингулярным коэффициентом. IEEE транс. киберн. 49 (6), 2032–2045 (2019)

    Google ученый

  • Хаджарян, М.: Матричные итерационные методы решения транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра.Дж. Франкл. инж.-инж. заявл. Мат. 350 (10), 3328–3341 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Чжан Ю., Йи К.: Нейронные сети Чжана и нейродинамический метод. Издательство Nova Science, Нью-Йорк (2011)

    Google ученый

  • Хорн, Р.А., Джонсон, Ч.Р.: Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2012)

    Google ученый

  • Кормен Т.Т., Лейзерсон, CE, Ривест, Р.Л.: Введение в алгоритмы. MIT Press, Кембридж (1990)

    МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Ляо, Б., Чжан, Ю.: От разных ZF к различным моделям ZNN, ускоренным с помощью функций активации Li, к сходимости за конечное время для псевдообращения изменяющейся во времени матрицы. Нейрокомпьютинг 133 , 512–522 (2014)

    Google ученый

  • Чжан Ю., Ян, Ю., Тан, Н., Цай, Б.: Нейронная сеть Чжана, решающая для изменяющейся во времени полноранговой обратной матрицы Мура-Пенроуза. Информатика 92 (2), 97–121 (2011)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Чжан Ю., Ли Дж., Ли С., Чен Д., Хе Л.: Оптимальная динамика обнуления с приложениями для управления последовательными и параллельными манипуляторами. Оптим. Приложение управления Методы 39 (4), 1393–1406 (2018)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • Ли, Дж., Чжан Ю., Ли С., Мао М.: Новая динамика обнуления на основе формулы дискретизации для отслеживания в реальном времени последовательных и параллельных манипуляторов. IEEE транс. Инд.информ. 14 (8), 3416–3425 (2018)

    Google ученый

  • Мэтьюз, Дж.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.