Резонансная кривая: Резонансная кривая. Установление колебаний — Энциклопедия по машиностроению XXL

Содержание

Резонансная кривая. Установление колебаний — Энциклопедия по машиностроению XXL

Резонансная кривая. Установление колебаний. Отложим на чертеже по горизонтальной оси частоту вынуждающей силы,  [c.24]

Резонансная кривая. Установление колебаний. Отложим на чертеже по горизонтальной оси частоту вынуждающей силы, а по вертикальной оси — амплитуду колебаний системы, например маятника. Зависимость между частотой вынуждающей силы и амплитудой колебания называется резонансной кривой (рис. 8). При частоте толчков, равной собственной частоте колебаний маятника, амплитуда колебаний будет наибольшей эту частоту называют резонансной. При уменьшении или увеличении частоты толчков амплитуда колебаний уменьшается. Быстрота спадания резонансной кривой по обе стороны от резонансной частоты зависит от того, как велико затухание в системе, совершающей колебания. Когда затухание мало, — резонансная  [c.25]


При возникновении на участке вала, где установлен демпфер, колебаний со значительной амплитудой энергия колебательного процесса будет поглощаться трением, возникающим между элементами демпфера.
Из резонансных кривых, приведенных на фиг. 55, видно, что  [c.398]

При одной и той же вынуждающей силе в системе могут существовать периодические колебания различных амплитуд. Например, в системе, резонансная кривая которой имеет форму, пока- анную на рис. 2, при о) = Oj существуют три периодических режима с амплитудами колебаний а , и Дд. Колебания с амплитудой неустойчивы и в действительности не реализуются (см. ниже). Установление в системе колебаний с амплитудой или зависит от начальных условий, которые обычно не мо-  

[c.160]

После приложения вынуждающей периодической силы к колебательной системе, например к маятнику, эта система не сразу начинает совершать колебания с постоянной амплитудой, величина которой определяется приложенной силой и затуханием системы колебания устанавливаются постепенно. Время установления зависит от вида резонансной кривой. Чем острее резонансная кривая, т. е. чем меньше в системе зату-  [c.24]

Значительно более интересен вариант описанного эксперимента, позволяющий построить резонансную кривую. Вначале при облучении на исходной частоте культура не доводится до полной синхронизации. Затем измеряется время, необходимое для достижения полной синхронизации при воздействии на культуру излучениями той же частоты. В культуре устанавливается биоритм, соответствующий исходной частоте. После этого определяется время воздействия на ту же (облученную вначале на исходной частоте) культуру на других частотах, необходимое для достижения на этих частотах полной синхронизации, выражающейся в установлении биоритмов, соответствующих этим частотам. Время резко возрастает по сравнению со временем, необходимым для установления биоритма, соответствующего исходной частоте зависимость времени, необходимого для полной синхронизации на частоте воздействия, от частоты этого внешнего воздействия имеет минимум на частоте исходного облучения. Острота резонанса определяется длительностью исходного облучения. Наиболее острый резонанс наблюдается в случае, если клетки были доведены до полной синхронизации уже при исходном облучении (рис.

6.1) Такие острые резонансные кривые характерны для регенеративных усилителей, подведенных к порогу самовозбуждения когерентных колебаний, и, по-видимому, на клетках их можно наблюдать только в экспериментах, аналогичных описанным с точки зрения четкости контроля физических и биологических параметров.  [c.144]


Острота резонанса и время установления. При достаточно малом д, мы можем получить сколь угодно большое вынужденное колебание и сколь угодно резкую резонансную кривую. Но не нужно забывать, что резонансная кривая относится только к установившемуся (стационарному) колебанию. Оно устанавливается не сразу, а постепенно. Более того, и это надо подчеркнуть с особой силой чем острее резонансная кривая, тем дольше нужно ждать установления стационарной амплитуды.  [c.86]

Важно подчеркнуть, что добротность контура характеризует как остроту резонансной кривой, так и время установления Последнее видно из (3.56), если вспомнить связь между й ж Q.

Чем острее резонансная кривая, тем больше время установления стационарного вынужденного колебания.  [c.101]

Резонансные кривые и процесс установления. Подчеркнем, что резонансные кривые относятся только к установившимся вынужденным колебаниям. Начало процесса установления имеет при ш характер, близкий к показанному на рис. 99. Весь процесс установления имеет вид, показанный схематически на рис. 105.  [c.103]

Возвращаясь к механизму, установленному на амортизаторах, мы вспоминаем, что при увеличении числа оборотов усиление уменьшается и заменяется ослаблением — изоляцией вибраций. В точности тоже происходит и с резонатором. При возрастании частоты источника звука усиление прекращается при достижении частоты, в — /2 раз большей, чем собственная частота резонатора. По мере дальнейшего увеличения отношения частот колебания воздуха проходят наружу все в меньшей степени ослабление упадет на резонансной частоте второй гармоники. Затем кривая ослабления снова поднимается вверх и снова круто падает вниз на каждой из высших гармоник основной резонансной частоты.

[c.254]

Демпферы, изображенные на рис. 27, в, находят широкое применение. В таких демпферах дополнительная масса связана с основной системой с помощью элемента, рассеивающего энергию и обладающего эластичностью. Таким образом, этот демпфер представляет собой комбинацию схем, приведенных на рис. 27, а и б. Если связь через пружину и демпфер слабая, то дополнительная масса практически не влияет на основную систему. Если демпфирование равно нулю, то получается обычный гаситель с двумя резонансами. Оптимальным подбором параметров можно значительно уменьшить амплитуды колебаний (кривая к = опт)-Математически можно доказать, что для оптимальной настройки демпфера важное значение имеет соотношение дополнительной и основной масс. Работа демпфера тем эффективнее, чем больше дополнительная масса. В большинстве случаев введение дополнительной массы ограничено конструкцией станка. Связь системы с дополнительной массой наиболее просто осуществляется через резиновые кольца, которые объединяют в себе пружину и демпфер.

Демпферы, изображенные на рис. 27, в, серийно применяют в станинах, в опорах шпинделей зубофрезерных станков, в борштангах, в расточных, фрезерных и шлифовальных станках. Демпфер, установленный на шпинделе токарного станка, показан на рис. 28. Со шпинделем 1 п патроном 2 жестко связаны диски 3 и 4. Кольцо 5 (дополнительная масса) висит на резиновых кольцах 6 весь демпфер закрыт кожухом 7. Можно применять один диск 5, с которым через резиновое кольцо 6 связано кольцо 5. Масса кольца 5 по сравнению с массой шпинделя может быть выбрана достаточно большой. В результате применения демпфера резонансная амплитуда снизилась приблизительно в 5 раз, что позволило вдвое увеличить предельную ши-  
[c.32]

При изучении частотных характеристик двухтрубных теплообменников было обнаружено, что при колебаниях температуры греющего пара амплитудное отношение и фаза температуры охлаждающего агента на выходе изменяются с частотой немонотонно. На некоторых частотах теоретические кривые имеют резонансные всплески первый всплеск появляется, когда период синусоиды возмущения близок по величине к времени пребывания элемента жидкости в теплообменнике.

Впервые этот факт установлен в [Л. 164], где предсказываются также резонансы на более высоких частотах.  [c.119]


На рис. 50 для различных частот возбуждения и резонансной частоты N = 15 Гц приведены кривые изменения давления в сечении 5 == = L трубы. Видно, что при увеличении V быстро меняются рассчитанные по ( .55) кривые давления и при V 10 Гц амплитуды колебаний и сближение кривых, определяющих эти колебания. Появляется возможность возникновения разрывных решений уравнений (У.55), как бы составленных из отрезков непрерывных решений. Дальнейшее увеличение V приводит к установлению в  [c.140]

Первый способ заключается в том, что к системе прикладывается гармоническая возбуждающая сила, частота которой известна. Изменением частоты возбул дающей силы добиваются установления резонансных состоиний и измеряют соответствующие им частоты собственных колебаний. По величине резонансных амплитуд и форме резонансных кривых см формулы (16) и (23)] определяют коэффициенты усиления в резонансе и обратные им коэффициенты демпфирования.

По распределению амплитуд получают формы колебаний.  [c.383]

На рисунке приведены экспериментальные АФЧХ деформаций, снятые по показаниям тензодатчиков во вращающейся системе координат. Величина резонансного диаметра ODi (кривая 1) соответствует деформации ротора при переходе через критическую скорость с исходной неуравновешенностью. Точка Z>i соответствует области с d lda = max. Направление резонансного диаметра ODi перпендикулярно к плоскости действия дисбаланса. Таким образом, первый же пуск ротора определяет положение дисбаланса, распределенного по данной форме колебаний. Если динамические характеристики системы известны, то сразу можно определить и величину дисбаланса, если неизвестны, то необходим второй пуск с пробным грузом для определения коэффициентов влияния. Тогда из соотношения рп( )/[Рп ( ) + И-п ( )1 = = OiDJOiD , где рп (s) — исходная неуравновешенность ротора, распределенная по п-й форме колебаний (s) — величина пробного груза, установленного по п-й форме колебаний — в «  

[c. 60]


Резонансные кривые осциллятора — Энциклопедия по машиностроению XXL

Размах колебания И Разрывные колебания см. Колебания разрывные Распределения коэффициенты 275 Расстройки эффект 178 Регулятор с гистерезисом 142—144 Резонансная кривая 196 Резонансные кривые осциллятора с жесткой восстанавливающей силой 240—243  [c.297]

Широкополосное (шумовое) воздействие. В процессе работы колесо подвергается силовому воздействию типа широкополосного шума, что отражается в спектре отклика на него. Когда линейная упругая система находится под воздействием широкополосного шума, в окрестности собственных частот ее спектральная плотность отклика возрастает, образуя пик. Предположим, что вблизи собственных частот спектральная плотность постоянна (белый шум). Тогда кривая отклика в этих окрестностях будет совпадать с соответствующими резонансными кривыми, максимумы кривой отклика будут отвечать частотам, близким ж собственным частотам системы. Таким образом, по спектру отклика на широкополосный шум можно судить о величине собственных частот системы. Если же собственные частоты достаточно далеки друг от друга (когда резонансные колебания по различным собственным формам допустимо рассматривать как колебания независимых осцилляторов), то по ширине резонансных пиков можно оценивать и диссипативные свойства системы [33].  [c.193]


Резонансные кривые определяют, наблюдая изменение амплитуды вынужденных колебаний либо при медленной перестройке частоты р вынуждающей силы, либо при Медленном изменении собств, частоты бь,. При высокой добротности осциллятора (i 1) оба способа дают практически одинаковые результаты. Частотные характеристики, полученные при конечной скорости изменения частоты, отличаются от статич. резонансных кривых, соответствующих бесконечно медленной перестройке на динамич. частотных характеристиках наблюдается смещение максимума в направлении перестройки частоты, пропорц. р, где р = tit, i =i= — время релаксации колебаний в контуре,  [c.309]

Рассмотрите связь лоренцевского контура (1. 92) с резонансной кривой, характеризующей установившиеся колебания затухающего осциллятора под действием синусоидальной внешней силы.  [c.54]

Следовательно, связанные осцилляторы являются полосовым фильтром — ослабляют влияние внешней силы частотой о , лежаш ей вне интервала (о 2, 1) [62]. Отметим чрезвычайно важный эффект сужения резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой Сп ) как интервал частот Аа п = и — и в пределах которого значение  [c.216]

Другие резонансные кривые . Поведение гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней силы, можно описать различными величинами, которые имеют подобные (но не одинаковые) формы кривой резонанса , т. е. зависимости от частоты. Такими величинами являются амплитуда поглощения Л ,  [c.112]

Качественная оценка формы резонансной кривой. Теперь, зная характер переходного процесса, попытаемся оценить отношение амплитуды в установившемся режиме при частоте резонанса к амплитудам при других частотах. Пусть осциллятор, сначала неподвижный, подвергается действию вынуждающей силы на резонансной частоте. Если нет затухания, амплитуда колебаний будет линейно возрастать в соответствии с уравнением (45). В действительности же она будет возрастать линейно лишь вначале, потому что в первый момент средняя скорость мала и соответственно затухание незначительно. Однако в конце концов рост амплитуды прекратится на уровне, которого она достигнет за время порядка т. Из-за затухания амплитуда будет поддерживаться на этом уровне. Мы можем оценить эту амплитуду, имея в виду, что максимальная сила действующая на массу М, за время т сообщит ей максимальный импульс силы Но по второму закону Ньютона максимальный импульс равен произведению массы М на максимальную скорость о)оЛ (соо)- Таким образом, ( о) и  [c.116]


Рис. 1.9. Резонансные кривые и сдвиг фаз между внешней силой и смещением осциллятора в зависимости от частоты штриховая кривая — траектория смещения максимума в зависимости от 7 (73 > 72 > 71)
При построении резонансных характеристик на (рис. 13.10а) амплитуда внешней силы Авн является параметром. Когда А резонансные кривые представляют собой графики однозначных функций и напоминают резонансные кривые линейного осциллятора с затуханием. Максимум у них смещен в сторону больших частот, если собственная частота осциллятора с ростом амплитуды растет, и в сторону меньших, если собственная частота убывает. При Авн > Авд резонансная кривая представляет собой график неоднозначной функции.  [c.286] При увеличении добротности осциллятора Q будут расти максимумы, но вдали от них резонансная кривая практически не будет меняться. Пики будут становиться все выше и острее (рис. 93).  [c.86]

Фазовые резонансные кривые. Так называются кривые, изображающие зависимость фазы напряжения на конденсаторе, силы тока и т. д. от частоты внешней силы или собственной частоты контура (или аналогичные кривые для механического осциллятора). Рассмотрим два частных случая.  [c.102]


Если существует несколько стационарных значений амплитуды, то, согласно результату, полученному в разд. 5.4.2.3, можно ожидать, что не все эти значения соответствуют устойчивым формам движения. Более подробное исследование движений, близких к стационарным, которое мы здесь не будем проводить (см., например, [10, 19]), показывает, что для изображенного на рис. 178 случая идущая назад ветвь А—С соответствует неустойчивому движению, поэтому она и изображена штриховой кривой. Для осциллятора с одной степенью свободы в общем случае можно показать, что границы между устойчивой и неустойчивой частями резонансных кривых всегда характеризуются точками, в которых касательные к резонансным кривым вертикальны.  [c.243]

Острота резонанса осциллятора с трением определяется с помощью половинной ширины резонансной кривой, равной разности между двумя частотами, для которых амплитуда колебания равна половине амплитуды при резонансной частоте vq. Доказать, что если собственный период колебания ничтожно мал по сравнению с 2п, умноженным на коэффициент затухания (т. е. если /с/4те мало по ср нению с vo), тогда эта половинная ширина кривой резонанса равна 3 /тс, умноженному на обратную величину коэффициента затухания осциллятора. Чему равна половинная ширина кривои для диафрагмы задачи 2  [c.87]

Рис. 3. а — резонансные кривые линейных осцилляторов при разл. добротности Q (С > Рг > Р1> б — зависимость фазы [c.629]

Следовательно, связанные осцилляторы являются полосовым фильтром — ослабляют влияние внешней силы частотой лежащей вне интервала (0J2, (Oi) [62]. Отметим чрезвычайно важный эффект сужения резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой С ((о) как интервал частот Л(о = (й—(о , в пределах которого значение амплитуды не опускается ниже величины 1/V2 С (о)). Для изолированного осциллятора A(Oti =v- Однако при возбуждении двух мод ширина резонансной кривой Дсоп = = 7/2.  [c.166]

Рассматривались и другие варианты автосинхронизации [Кобелев, и др., 1986]. Так, колебания осцилляторов можно поддерживать периодическими импульсными толчками, что приводит (при должном выборе периода) к усилению эффекта. Возможно использование излучения при срыве стационарных колебаний осциллятора Дуффинга под действием внешней силы с амплитудой, достаточной для появления неоднозначности на резонансной кривой, при этом фазы колебаний различных осцилляторов могут разбросаться естественным образом. Наконец, интересную возможность создает аналог сверхизлучения Дикке, когда случайно разбросанные по фазам в начальный момент осцилляторы, затухая, генерируют импульс когерентного излучения.  [c.219]

Вынужденные колебания нелинейной системы, описываемой уравнением Дуффинга, исследовать столь просто не удается. И поныне это уравнение исследовано не полностью. Без особого труда удастся исследовать только случай малых затуханий б и а > 0. Резонансные кривые имеют при этом вид, показанный на рис. 1.11, и отличаются от резонансных кривых линейного осциллятора (рис. 1.10) наклоном ника и появлением неодноднознач-ности. Наклон происходит влево или вправо в зависимости от знака величины Ь в уравнении Дуффинга (1.18). Этим наклоном и неоднозначностью вызывается известное явление гистерезиса амплитуды вынужденных колебаний при медленном изменении частоты V внешней силы. Опо состоит в скачках амплитуды и том, что эти скачки происходят  [c.16]

Рис. 3.2. Резонйнсные кривые для амплитуды (а рХ)/ о в зависимости от отношения ш/щ для различных значений Д = 2у/и)о (величина, обратная добротности осциллятора). Причем Д) > Дг > Дз, На штрих-пунктирной кривой лежат максимумы резонансных кривых
В оптике частотная зависимость вида Ria) называется лорен-цевской формой линии . В ядерной физике R a ) называется резонансной кривой Брейта — Вигнера . В этом случае сОр и со заменяют соответственно на Ео=%а>о и E=iia. Точные резонансные кривые имеют более сложную форму, чем R((o), как в оптике, так и в ядерной физике и даже, как мы это только что видели, для гармонического осциллятора.  [c.113]

Pik. 1.6. Классические резонансные кривые (зависимость амплитуды отклика от частоты) для вынужденного движеяяя линейного осциллятора с затуханием при разных коэффициентах затухания у.  [c.21]

Резонансная кривая, изображенная на рис. 1.9, соответствует установившемуся стационарному процессу и определяет зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы. Следует отметить, что теперь максимальная амплитуда колебаний достигается не при точном совпадении собственной частоты осциллятора с частотой вынуждающей силы, а смещается влево по оси частот па величину, зависящую от 7 (рис. 1.9). Действительно, если шо = onst, то, продифференцировав выражение для р по ш, находим, что максимум р имеет место при UJ = — 270 Если о jo, ТО очевидно, что р можно  [c.30]


Д — детерминант, см. (2.10)). Резонансные кривые свидетельствуют о следующих интересных эффектах (рис. 2.6) 1) если частота внешней силы совпадает с одной из сооственных нормальных частот системы, наступает резонанс, и амплитуды колебаний в обоих осцилляторах неограниченно растут 2) если частота внешней силы, действующей на первый осциллятор, совпадает с парциальной частотой второго осциллятора il = П2, то первый осциллятор не колеблется (X = 0) это явление называется динамическим демпфированием 3) при частоте внешней силы i)i = л/h/H второй осциллятор не колеблется = 0) это явление имеет место только в том случае, если связь носит смешанный характер, т. е. есть как силовая (емкостная), так и инерциальная (индуктивная) связь при I) = i)i происходит компенсация связи и колебания одного осциллятора не передаются другому.  [c.49]

Если осциллятор линейный, т. е. в разложении ш х) = + ах+ +Рх +. .. мы ограничиваемся только первым членом, то при действии на осциллятор внешней периодической силы наблюдается, по существу, единственный основной эффект — линейный резонанс (см. гл. 1). Чем меньше потери в осцилляторе, тем острее и выше резонансная кривая (см. рис. 1.9). Что изменится в случае, когда частота зависит от амплитуды Пусть частота внешнего воздействия равна частоте вращения по одной из фазовых траекторий вблизи центра (см. рис. 13.4). Тогда система черпает энергию от внешнего источника и малые вначале колебания нарастают. Это означает, что изображающая точка как бы перемещается последовательно на те фазовые траектории, которым соответствует большая энергия, но, так как осциллятор неизохронный, большим энергиям соответствует уже другая частота. В результате система выходит из резонанса и, начиная с некоторой амплитуды, осцилля-  [c.284]

Резонансная кривая кубично-нелинейного осциллятора может быть получена из лоренцевского контура линейного резонанса путем замены частоты на частоту, зависящую от амплитуды (учет неизохронности). При нелинейном резонансе существует область частот с двумя амплитудными режимами, установление ко-  [c.292]

Еще в 1890 г. лорд Кельвин провел ряд экспериментов по изучению крутильных колебаний стержней с целью изучения поглощения. Знакомясь с оборудованием, которое использовалось 40—50 лет назад, можно только удивляться тому, что измерение продольных, крутильных и изгнбиых резонансных явлений на цн-лиидрических образцах горных пород позволили сделать выводы, которые представляют интерес и в настоящее время, и поставить вопросы, которые до сих пор занимают исследователей. Современная техника изучения резонансов на стержнях обеспечивает контроль за флюидонасыщением и внешним давлением, позволяющий моделировать условия естественного залегания. В другом способе используется острота резонансной кривой простого осциллятора, в котором Пружиной служит тонкий стержень пород, а массивная нагрузка обеспечивает низкую резонансную частоту. В сделанном с высокой точностью шарике горной породы может возбуждаться семейство резонансных мод, обеспечивая измерения параметров ее поглощения продольных и поперечных волн в широком диапазоне частот. Фактически тот же способ применяется и для изучения  [c.91]

Показатель поглощения света. Мнимая часть (х) комплексного показателя преломления называется показателем поглощения. Часто применяется также коэффициент поглощения а (см ), связанный с х соотношением а = 47гх/Л. При повышении температуры резонансные частоты, соответствующие эффективным осцилляторам в дисперсионных моделях, уменьшаются, а кривые резонансного поглощения  [c.81]

Как и для случая чистого хлористого и бромистого метиленов в твердой фазе, по экспериментальным кривым поглощения твердых растворов СНаС12 в СНаВга были вычислены матричные элементы резонансного взаимодействия молекул и силы осцилляторов полос поглощения. Наряду с другими данными их значения приведены в таблице.  [c.283]


Частотные характеристики и резонансные кривые последовательного контура

Предположим, что к контуру (см. рис. 3.8) приложено синусоидальное напряжение , амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах от 0 до .
Изменение частоты приводит к изменению параметров контура, изменяется его реактивное, а следовательно, и полное сопротивление, а также угол φ (аргумент комплексного сопротивления). Зависимости от частоты параметров цепи назовем частотными характеристиками цепи, зависимости действующих или амплитудных значений тока и напряжения от частоты резонансными кривыми.
На рис. 5.1 построены частотные характеристики и . Изменение реактивного сопротивления приводит к изменению режима цепи. На рис. 5.2 приведен примерный вид резонансных кривых и кривой для цепи, добротность которой . При ω = 0 напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, поэтому ток в цепи отсутствует. При изменении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостный характер и изменяется от до 0 (см. рис. 5.1). Вследствие этого ток возрастает от 0 до максимального резонансного значения , а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от —π/2 до 0. При изменении частоты от до результирующее реактивное сопротивление возрастает от 0 до и имеет индуктивный характер.
Вследствие этого ток уменьшается от наибольшего значения до 0, а угол φ возрастает от 0 до π/2. Напряжение изменяется пропорционально току.

В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При ω = 0 сопротивление , ток I = 0, и, следовательно, . При изменении частоты от 0 до оба сомножителя увеличиваются и возрастает. При дальнейшем увеличении частоты () ток I уменьшается, но за счет роста ωL напряжение продолжает возрастать. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что для цепи с добротностью это возрастание продолжается непрерывно до значения U, а для цепи с добротностью напряжение при некоторой частоте достигает максимума , а затем уменьшается. При и , следовательно, .
Теперь рассмотрим зависимость напряжения на емкости от частоты. При ω = 0 тока в цепи нет, поэтому . При возрастании ω, начиная от нуля, непрерывно уменьшается. Анализ показывает, что для цепи с добротностью напряжение непрерывно уменьшается, а при напряжение сначала из-за возрастания тока I увеличивается, достигает при некотором значении частоты максимума , а затем уменьшается.
Уменьшение напряжения с ростом частоты начинается при частоте , меньшей , вследствие непрерывного уменьшения . При как I, так и равны нулю, поэтому . Заметим, что . При , как было отмечено, .
График зависимости тока от частоты показывает, что рассматриваемая цепь обладает «избирательными свойствами». Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте.

Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Выясним влияние параметров цепи на форму резонансной кривой . Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах:

где — действующий ток при резонансе; — относительная частота.
Преобразуем выражение полного сопротивления цепи:

Разность характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение называется обобщенной расстройкой. С учетом этих обозначений сопротивление

Ток в цепи

Выражение (5.5) показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью Q.
На рис. 5.3,а представлен ряд резонансных кривых. Чем больше Q, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать Q добротностью контура. Заметим, что наибольшие достигаемые на практике значения Q контуров, состоящих из катушек индуктивности и конденсаторов, лежат в пределах 200-500.
Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура , которую определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение превышает . На рис. 5.3, а проведена горизонтальная линия, соответствующая . Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.

Рис. 5.3

Высшая и низшая относительные частоты показаны на рис. 5.3,б для контура с известной добротностью Q. На этом же рисунке построена идеальная резонансная кривая, для которой вне полосы пропускания ток равен нулю, т. е. у которой идеальные избирательные свойства. На рис. 5.3, а также проведена горизонтальная линия, соответствующая . Ее пересечение с резонансными кривыми определяет полосы пропускания соответствующих контуров. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем уже полоса пропускания контура.
Если диапазон изменения частоты составляет несколько порядков, то часто выбирают для частоты логарифмический масштаб, т. е. или . Интервал частот , для которого , называют декадой (десятикратное изменение частоты). Число декад . Интервал частот, для которого , называют октавой (удвоение частоты), причем 1 декада октавы.

Пример 5.1.
Определить добротность контура по известной резонансной кривой
Решение.
На границах полосы пропускания , т.е. как следует из (5.5), и , откуда

так как и (рис. 5.3, б).
Сложим (а) и (б):

или

т. е должно быть , т. е. .
Вычтем (б) из (а):

или

откуда

Различные виды резонансных кривых

3.4 Различные виды резонансных кривых

↑ Рис. 10. Резонансные кривые для трех различных значений Q . Пик резонанса приходится на фазу − π /2 , в которой драйвер наиболее эффективно передает мощность в резонанс, что делает амплитуду максимальной. ↑ Рис. 11. Полулогарифмический график того же резонанса.Горизонтальная ось отложена в логарифмическом масштабе. Обратите внимание, что шкала x кажется сжатой с правой стороны. При полулогарифмических графиках резонансные кривые имеют тенденцию быть более симметричными, особенно для низких значений Q . Это популярный метод построения графика спектра, охватывающего несколько десятков частот, например, от 1 Гц до 1000 Гц.
↑ Рис. 12. Снова тот же график, построенный в логарифмическом масштабе, с осями x и y, имеющими логарифмический масштаб.Это представление особенно полезно, если частота и амплитуда находятся в диапазоне нескольких порядков. На частотах выше резонанса амплитуда приближается к прямой линии, спадая по формуле ампер f −2 , что является прямой линией на логарифмическом графике. Фаза (здесь не показана) будет построена, как на рис. 11.
   Это график Боде для механического резонанса. Эти графики используются в электротехнике и теории управления.
↑ Рис. 13. Полярная диаграмма того же резонанса. Здесь комплексная амплитуда нанесена на комплексную плоскость для различных значений частоты. Частота не отображается ни на одной оси. Это также называется параметрическим графиком, где и радиус, и угол являются функциями непоказанной переменной, частоты. Укажем частоту в трех местах на одной из кривых. Кривая обычно начинается рядом с исходной точкой и положительной осью x на низких частотах и ​​движется по окружности вниз и, наконец, к исходной точке вдоль отрицательной оси x .Большая часть движения по траектории происходит для частот, близких к резонансной частоте.
   Интересная особенность заключается в том, что графики резонансов на комплексной плоскости образуют идеальные окружности. Три кружка имеют такую ​​же цветовую кодировку, как и на предыдущих графиках: Q=5,10,20 для красных, зеленых и синих кружков соответственно. Величина амплитуды нанесена радиально. Цифры на внешнем краю графика — это шкала фазы в градусах (вместо радианов, которые использовались для фазы на предыдущих графиках).)
    Это график Найквиста для этого механического резонанса. Эти графики используются в электротехнике и теории управления.

← Рис. 14. Это логарифмическая версия Рис. 13, где радиальная шкала логарифмическая. Это полезно, если величина резонанса изменяется на несколько порядков. Резонансы больше не образуют идеальные круги, как на рисунке 13.

Графики на этой странице были построены с помощью бесплатной графической программы профессионального уровня gnuplot.

Две разные резонансные частоты

Выше мы упомянули две различные резонансные частоты, ω 0 и ω затухания , определяемые уравнением (24), которое мы повторяем здесь:

↑ Рис. 14А. График двух резонансных частот, обсуждаемых в этой публикации, ω 0 и ω затухания . Здесь мы предполагаем, что ω 0  = 1.
↑ Рис. 14Б. Дробная разность (показана красным) между двумя резонансными частотами, обсуждаемыми в этой публикации, ω 0 и ω затухание . Вторая строка (зеленая) показывает приблизительную формулу ошибки. Красную линию трудно увидеть, потому что две кривые почти идентичны, а зеленая находится поверх красной.

. (24)

Используем определение Q из (35) выше:Теперь мы можем записать ω распад через Q :

. (40)

Это можно использовать для вычисления дробной разницы между двумя частотами:

(41)

, что для больших Q можно приблизительно представить как:

. (42)

На рис. 14А справа у нас есть график двух резонансных частот ω 0 и ω затухания , обе в зависимости от Q .На рис. 14B показано Δω / ω 0 построен как функция Q . Оба графика показывают, что разница между двумя частотами для Q больше 5 составляет менее 0,5%. приложение под рукой требует, чтобы мы различали их.

Еще одна резонансная частота

Тщательный осмотр Рис.10 выше показано, что резонансные кривые для более низких значений Q (например, Q  = 5 ) не имеют точного пика при 2,5 Гц, даже несмотря на то, что f 0  = 2,5 Гц для всех кривых. Глядя на фазовый график (нижний график на рис. 10), мы видим, что фаза действительно равна − π /2 для всех трех кривых при f = f 0 = 2,5 Гц (где f 0 = ω 0 /2 π и f  = ω /2 π  ). Глядя на (36) предыдущей публикации, мы видим, что мнимый член в знаменателе становится равным нулю при ω  = ω 0  , что делает комплексную амплитуду A полностью мнимой (и отрицательной), а фазу точно  — /2 .

Итак… на какой частоте резонансная кривая имеет пик? Используя (36), видим, что зависимость величины комплексной амплитуды от частоты (т.е. от ω ) имеет вид:

.(43)

Если бы в знаменателе не было старшего числа ω , то (43) достигло бы максимума точно при ω  =  ω 0 . Чтобы узнать максимальное значение при лишних ω , возьмем производную от (43) и приравняем ее к нулю. После значительных алгебраических вычислений мы получаем результат, что максимум приходится на:

. (44)

Как ни странно, эта частота отличается от ω 0 вдвое больше, чем ω распада (сравните с (40) выше).С другой стороны, ни Ω MAX NO ω и Ω распада различаются от ω 0 в любой разумный Q , позволяющий нам использовать Ω 0 в большинстве случаев для «резонансная частота».

Расчет резонансной кривой и градиента скорости алгоритмов управления диссоциацией ансамблей двухатомных молекул | Интернет-исследования в области здравоохранения и окружающей среды (HERO)

ID ГЕРОЯ

6762020

Тип ссылки

Журнальная статья

Заголовок

Резонансная кривая и дизайн градиента скорости алгоритмов управления диссоциацией ансамблей двухатомных молекул

Авторы)

Ананьевский, М; Ефимов, А; Фрадков, А; Кривцов, А; ,

Год

2003 г.

Издатель

IEEE

Место нахождения

НЬЮ-ЙОРК

Номера страниц

867-878

Идентификатор Web of Science

WOS:000186707400154

Абстрактный

Описаны и проанализированы с помощью компьютерного моделирования два метода диссоциации диатонтических молекул, основанные на непериодическом возбуждении, генерируемом механизмом управления с обратной связью, для классических и квантово-механических ансамблей. Первый метод проектирования управления использует нелинейную резонансную кривую системы для выполнения условий резонанса в любое время возбуждения. Второй метод основан на принципе градиента скорости. Описана реализация предложенных методов при импульсном лазерном управлении. Эффективность предложенных методов продемонстрирована на примере диссоциации молекулы фтористого водорода (HF). Моделирование подтвердило, что новые методы более эффективны, чем существующие алгоритмы, основанные на гармоническом (монохроматическом) и линейном чирпинговом возбуждении как для модельного случая одиночной молекулы, так и для ансамбля молекул.Показано, что скорость диссоциации для квантово-механического ансамбля составляет всего несколько процентов, что меньше, чем для классического ансамбля. Это оправдывает использование классических моделей для проектирования управления с обратной связью в задаче диссоциации.

ISBN

0-7803-7939-Х

Название конференции

Международная конференция по физике и управлению (PHYSCON 2003)

Место проведения конференции

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ, РОССИЯ

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


Настройка браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым файл cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее распространенные причины:

  • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки браузера, чтобы принять файлы cookie, или спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
  • Ваш браузер спрашивает, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файл cookie.
  • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Попробуйте другой браузер, если вы подозреваете это.
  • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы это исправить, установите правильное время и дату на своем компьютере.
  • Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Предоставить доступ без файлов cookie потребует от сайта создания нового сеанса для каждой посещаемой вами страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в файле cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только та информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, если вы не решите ввести его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступ к остальной части вашего компьютера, и только сайт, создавший файл cookie, может его прочитать.

Зоопарк пиков нелинейного резонанса

Abstract

В колеблющихся механических системах нелинейность отвечает за отклонение от пропорциональности между силами, поддерживающими их движение, и результирующей амплитудой колебаний.Такой эффект может иметь как полезные, так и вредные последствия в широком классе технологических приложений, от микроэлектромеханических устройств до строительных конструкций. Зависимость частоты колебаний от амплитуды, в частности, ставит под угрозу использование нелинейных генераторов в конструкции электронных компонентов хронометража. Однако нелинейность сама по себе может противодействовать этому отрицательному отклику, запуская резонансное взаимодействие между различными модами колебаний, которое передает избыток энергии в основном колебании высшим гармоникам и, таким образом, стабилизирует его частоту. В этой статье мы исследуем модель внутреннего резонанса в вибрирующей упругой балке, зажатой с двух концов. В этом случае нелинейность возникает в виде восстанавливающей силы, пропорциональной кубу амплитуды колебаний, которая вызывает резонанс между модами, частоты которых находятся в соотношении, близком к 1:3. Модель основана на представлении резонансных мод в виде двух осцилляторов Дуффинга, связанных посредством кубических взаимодействий. Наше внимание сосредоточено на иллюстрации разнообразия поведения, которое внутренний резонанс вызывает в динамическом отклике системы, в зависимости от детальной формы сил связи.Математическая обработка модели разработана на нескольких уровнях аппроксимации. Намечается качественное сравнение наших результатов с предыдущими экспериментами и численными расчетами на упругих балках.

Образец цитирования: Мангусси Ф., Занетт Д.Х. (2016) Внутренний резонанс в вибрирующей балке: зоопарк пиков нелинейного резонанса. ПЛОС ОДИН 11(9): е0162365. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0162365

Редактор: Джун Ма, Ланьчжоуский технологический университет, КИТАЙ

Поступила в редакцию: 18.05.2016; Принято: 22 августа 2016 г .; Опубликовано: 20 сентября 2016 г.

Copyright: © 2016 Mangussi, Zanette.Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии указания автора и источника.

Доступность данных: Наша статья сообщает о теоретической работе и, как таковая, не использовала количественные экспериментальные данные, которые были бы потенциально необходимы для воспроизведения наших результатов. Методология и математические формулы, необходимые для получения наших результатов, уже являются частью рукописи.

Финансирование: Эта работа была поддержана Agencia Nacional de Promoción Científica y Tecnológica (URL: www.agencia.mincyt.gob.ar), номер гранта PICT 2014-1611. Спонсоры не участвовали в разработке исследования, сборе и анализе данных, принятии решения о публикации или подготовке рукописи.

Конкурирующие интересы: Авторы заявили об отсутствии конкурирующих интересов.

Введение

Вибрирующие материальные объекты различных видов и форм использовались для создания и демонстрации колебательных явлений с незапамятных времен.Самыми древними музыкальными инструментами в археологических записях, которым более 40 000 лет, являются флейты [1], которые производят звук от колебаний столба воздуха, заключенного внутри трубки. Монохорд – натянутая струна контролируемой длины и натяжения – широко применялся для изучения математических отношений консонанса между тонами в традиционной западной теории музыки, предположительно, начиная с Пифагора [2]. Упругие деформации защемленных сплошных балок, которые являются важными частями любой строительной конструкции, были впервые обсуждены с современной научной точки зрения примерно в середине восемнадцатого века Эйлером и Бернулли, что представляет собой ранний вклад в механику сплошной среды [3].Гораздо позже, в области микро- и нанотехнологий, мельчайшие вибрирующие кварцевые балки, зажатые с двух концов (зажатые-зажатые, или cc-лучи), были предложены для замены кристаллов кварца в качестве кардиостимуляторов в конструкции компонентов хронометрии (часов). ) в составе миниатюрных устройств [4–6]. Применительно к кристаллам кварца преимущества этих микромеханических генераторов варьируются от простоты изготовления до низкого энергопотребления при эксплуатации.

Линейная теория упругости работает в предположении, что при малой амплитуде колебаний восстанавливающая сила, действующая на балку, пропорциональна самой амплитуде [7].Аналогично, при действии внешней силы амплитуда пропорциональна величине силы. Однако линейный отклик нарушается, когда балка приводится в вибрацию с достаточно большими амплитудами. В этой ситуации восстанавливающая сила на с-с балке приобретает кубические члены, пропорциональные третьей степени амплитуды [8, 9]. Стандартной моделью кубической нелинейности в механическом колебательном движении является уравнение Дуффинга, впервые предложенное в 1918 году немецким инженером Георгом Дуффингом [10] и систематически изучавшееся как источник нелинейных явлений в диапазоне от гистерезиса до хаоса [10]. 11].

Чтобы преодолеть влияние электронных и тепловых шумов, микромеханические генераторы должны вибрировать с большими амплитудами, поэтому хорошо работают в нелинейном режиме [12]. Это условие вызывает вредный амплитудно-частотный (или а-f) эффект [13, 14]: в отличие от линейного осциллятора, частота которого не зависит от амплитуды, в его нелинейном аналоге частота и амплитуда, как правило, являются взаимозависимыми величинами. Это означает, что изменение амплитуды, вызванное, например, неконтролируемыми колебаниями движущей силы, вызывает изменение частоты. В часах, в свою очередь, это изменение приводит к неточности в отсчете времени.

Другим влиянием нелинейности на динамику вибрирующих балок, которое является основным явлением, рассматриваемым в этой статье, является внутренний резонанс [15]. Как известно, протяженный упругий объект может проявлять различные виды вибрации, называемые модами колебаний, которые отличаются друг от друга характером деформации и частотами [7]. В чисто линейном осцилляторе каждая из этих мод может возбуждаться отдельно, например, под действием внешней силы, оставляя все остальные моды в покое.Нелинейность, с другой стороны, связывает различные моды колебаний друг с другом таким образом, что возбуждение одной из них влечет за собой передачу энергии другим модам, таким образом создавая сложную комбинацию колебательных моделей. Если, кроме того, частоты двух таких мод взаимно синтезируются, то соответствующие колебания могут синхронизироваться друг с другом, резко усиливая передачу энергии между ними и таким образом реализуя внутренний резонанс. Кубическая нелинейность вызывает внутренний резонанс, когда отношение частот между двумя модами близко к трем.В недавней серии экспериментов с микромеханическими нелинейными осцилляторами c-c было показано, что при наличии внутреннего резонанса частота колебаний может быть резко стабилизирована по отношению к колебаниям амплитуды [16, 17]. Как следствие, эффект a-f, упомянутый в предыдущем абзаце, нейтрализуется в широком диапазоне условий эксплуатации. Примечательно, что в этой ситуации нелинейные эффекты различной природы компенсируют друг друга в пользу таких приложений, как проектирование приборов учета времени.

Здесь мы исследуем стационарный отклик основной моды вблизи резонанса 1:3 с модой высшей гармоники с помощью модели, состоящей из двух связанных осцилляторов, каждый из которых представляет моду [18]. Соотношение частот 1:3, по сути, является первичным резонансом, индуцированным кубическими силами из-за тройных частотных составляющих, возникающих при возведении гармонической функции в третью степень [19]. Модель, качественно представленная в начале следующего раздела и математически сформулированная в разделе «Методы», допускает различные функциональные формы сил связи между двумя модами.Таким образом, он может описывать несколько различных откликов на внутренний резонанс, вероятно, связанных с вибрирующими балками различной геометрии, материалов и конструкции. Кроме того, модель может быть непосредственно расширена для анализа внутреннего резонанса для отношений частот, отличных от 1:3. Хотя исчерпывающее исследование параметров, определяющих связь, практически невозможно, после изучения многочисленных комбинаций значений параметров мы выбрали репрезентативный набор случаев, иллюстрирующих наиболее частые виды поведения.Эти результаты, полученные из нашей математической формулировки с помощью численных средств, представлены в основной части следующего раздела.

В нашем докладе основное внимание уделяется взаимосвязи между амплитудой колебаний, частотой и фазой основной моды. Фактически экспериментально это наиболее доступные величины, характеризующие стационарную динамику системы [16, 20]. Математическая формулировка, разработанная в разделе «Методы», также дает инструменты для получения динамики высших гармоник.Более того, при подходящих предположениях эта формулировка позволяет получить явные алгебраические выражения, дающие приближенное, аналитически приемлемое описание внутреннего резонанса. В заключительном разделе мы суммируем наш вклад и указываем на предыдущую работу, в которой резонансные явления, подобные представленным здесь для модели с двумя осцилляторами, наблюдались в экспериментах и ​​численных расчетах на реальных с-с-пучках.

Модель и результаты

Модель с двумя осцилляторами для внутреннего резонанса

В экспериментах с микромеханическими генераторами с-с-лучами наблюдался внутренний резонанс между основной модой колебаний и модой высшей гармоники, частота которой в три раза превышает частоту основной моды [16].Картина колебаний основной моды поперечная, напоминающая щипковую одномерную струну. С другой стороны, при более высоких гармонических колебаниях становятся важными размеры, перпендикулярные длине балки, и деформация крутильная. В экспериментальной установке осциллятор возбуждается периодической силой, приложенной через электрическую цепь. Если из-за нелинейного отклика на вынуждающую силу частота основной моды достигает одной трети частоты высшей гармоники, имеет место внутренний резонанс.

Чтобы смоделировать это поведение, мы представляем две моды колебаний как два взаимно связанных одномерных осциллятора Дуффинга, подверженных линейному демпфированию и периодическим движущим силам (см. Методы). Соотношение между собственными частотами двух генераторов ниже 1:3. Связь между осцилляторами моделируется общей кубической силой, то есть с той же степенью нелинейности, что и восстанавливающая сила Дуффинга, состоящей из нескольких вкладов, пропорциональных разным степеням двух амплитуд колебаний.Кубическая нелинейность обеспечена, если степени двух амплитуд в каждом вкладе составляют в сумме 3,

.

Когда система достигает стационарного движения, два осциллятора и движущая сила синхронизируются таким образом, что частоты основного модового осциллятора и силы идентичны и точно равны одной трети частоты осциллятора высшей гармоники. Таким образом, стационарные колебания характеризуются частотой движущей силы и, кроме того, амплитудами и фазами двух осцилляторов.Как обсуждалось в разделе «Методы», эти пять величин связаны четырьмя алгебраическими соотношениями, так что только одна из них может независимо изменяться как управляющий параметр. В (разомкнутой) конфигурации, традиционно рассматриваемой при изучении механических нелинейных осцилляторов, движущая сила приложена как управляемое извне воздействие на систему [21]. При этом управляющим параметром является частота силы, которая «копируется» колебаниями основной моды и утраивается модой высшей гармоники.С другой стороны, в (замкнутой) самоподдерживающейся конфигурации, используемой в конструкции часов, сигнал, создаваемый самим генератором, повторно подается в качестве движущей силы после сдвига его фазы и фиксации его амплитуды [22, 23]. В отличие от разомкнутой установки параметром, контролируемым экспериментатором, в этой ситуации является разность фаз между силой и основной модой, а стационарная частота колебаний подстраивается под это управление. Хотя алгебраическая связь между частотой, амплитудой и фазой одинакова в обеих конфигурациях, свойства устойчивости каждого вида стационарных колебаний могут меняться в зависимости от контролируемого параметра [17].

Стационарные колебания без внутреннего резонанса

Рис. 1 иллюстрирует взаимозависимость амплитуды, частоты и фазы осциллятора основной моды при отсутствии его связи с модой высшей гармоники. На левой панели показана амплитуда стационарных колебаний как функция расстройки между частотой движущей силы и собственной частотой основной моды (подробное определение этих величин см. в разделе Методы). Это известный «наклоняющийся» резонансный пик вынужденного осциллятора Дуффинга [11], т.е.э., аналог «прямого» резонансного пика его линейного аналога. Случай, показанный на рис. 1, соответствует усиливающейся нелинейности, когда амплитуда растет при увеличении положительной расстройки [15]. Это, по сути, вид нелинейности, связанный с основной модой колебаний с-с-балки [8, 9]. Наиболее характерной особенностью пика резонанса Дуффинга является наличие диапазона частот, в котором для каждой частоты существуют три амплитуды. В разомкнутой конфигурации, где частота движущей силы регулируется, колебания, амплитуды которых показаны сплошными и пунктирными линиями, соответственно являются устойчивыми и неустойчивыми.Светло-серая кривая показывает так называемую основу резонансного пика [15], приближение, которое, как мы покажем ниже, помогает оценить эффекты взаимодействия с высокочастотным осциллятором вблизи внутреннего резонанса. Формулировка магистрального приближения обсуждается в разделе «Методы».

Рис. 1. Взаимозависимость между амплитудой, частотой и фазой при отсутствии внутреннего резонанса.

Слева: зависимость амплитуды колебаний от расстройки частоты.Сплошные и пунктирные линии соответствуют устойчивым и неустойчивым колебаниям в разомкнутой конфигурации соответственно. Светло-серая кривая соответствует магистральному приближению. Справа: расстройка частоты по сравнению с фазовым сдвигом. Сплошные и пунктирные линии соответствуют тем же свойствам устойчивости, что и на левой панели. Единицы амплитуды и частоты произвольные, а фазовый сдвиг изменяется в интервале (0, π ). Значения параметров, использованных для получения кривых, приведены в табл. 1.

https://дои.org/10.1371/journal.pone.0162365.g001

На правой панели рис. 1 показано соотношение между частотной расстройкой и фазовым сдвигом между движущей силой и основной модой, определяемое как величина, на которую фаза движущей силы предшествует Фаза основного режима. Для облегчения сравнения двух панелей сплошные и пунктирные линии на обеих соответствуют одним и тем же стационарным колебаниям. Однако справа мы отложили фазовый сдвиг по горизонтальной оси, чтобы подчеркнуть его связь с частотой в конфигурации с обратной связью, где параметром управления является фазовый сдвиг.Это представление станет полезным при обсуждении стабилизации частоты за счет внутреннего резонанса. В отличие от схемы без обратной связи, в конфигурации с обратной связью все стационарные состояния, показанные на рисунке, устойчивы [22, 23] (ниже различия в устойчивости в конфигурации с обратной связью показаны разными цветами).

Внутренний резонанс с линейной модой высших гармоник

Сначала рассмотрим случай, когда не учитывается кубическая нелинейность Дуффинга в осцилляторе высшей гармоники, а именно, мы предполагаем, что восстанавливающая сила высшей гармоники является линейной.Это предположение использовалось при описании внутреннего резонанса в микромеханических осцилляторах [16] и позволяет расширить упомянутое выше магистральное приближение (см. Методы). С другой стороны, по мере продвижения связь между двумя осцилляторами будет описываться общими кубическими терминами.

Во всех рассмотренных ниже случаях осциллятор высшей гармоники подвергается силе связи, пропорциональной кубу амплитуды основной моды. Из уравнений движения видно, что изменение знака этой силы не влияет на амплитуды колебаний, а лишь добавляет к фазе высшей гармоники колебания фиксированную величину, равную π .По аналогии с рис. 1 и 2 показаны амплитуда основной моды как функция частотной расстройки между вынуждающей силой и основной модой (слева) и частотная расстройка как функция фазового сдвига (справа), когда основная мода на осциллятор действует сила связи, пропорциональная амплитуде высшей моды и квадрату амплитуды основной моды. Строки А и В соответствуют силам связи противоположного знака.

Рис. 2. Внутренний резонанс с линейной модой высших гармоник (I).

В этом случае сила связи, действующая на осциллятор основной моды, пропорциональна амплитуде высшей моды и квадрату амплитуды основной моды. Строки А и В соответствуют противоположным знакам этой силы связи. Сплошные и пунктирные (соответственно темно- и светло-зеленые) линии соответствуют устойчивым и неустойчивым колебаниям в разомкнутой (соответственно замкнутой) конфигурации. Стрелки в строке A отмечают сегменты кривой, на которые имеются ссылки в тексте. Светло-серая кривая — аппроксимация остова.Соответствующие параметры приведены в таблице 1.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0162365.g002

Как и на рис. 1, сплошные и пунктирные линии на рис. 2 соответствуют устойчивым и неустойчивым стационарным колебаниям в разомкнутой конфигурации. Кроме того, теперь темно- и светло-зеленые кривые обозначают соответственно устойчивые и неустойчивые колебания в конфигурации с обратной связью. Заметим, что неустойчивое колебание в одной из конфигураций может быть устойчивым в другой, и наоборот.Например, на левой панели рис. 2А полный светло-зеленый участок, отмеченный стрелкой, соответствует устойчивым (соответственно неустойчивым) колебаниям в разомкнутой (соответственно замкнутой) конфигурации. На правой панели стрелка указывает на те же колебания, но теперь в представлении расстройки частоты и фазового сдвига.

Сравнивая рис. 1 и 2, мы видим, что основным эффектом взаимодействия двух осцилляторов является появление щели в резонансном пике основной моды.Положение зазора совпадает с расстройкой, при которой частота основной моды достигает одной трети частоты высшей гармоники (см. параметры в табл. 1), реализуя таким образом внутренний резонанс. Отметим также, что силы связи разного знака вызывают противоположные деформации вершины по обеим сторонам зазора. Вне щели эти деформации в обоих случаях хорошо описываются магистральным приближением, изображенным светло-серой кривой.

Правая панель рис. 2А иллюстрирует явление стабилизации частоты, вызванное внутренним резонансом, который противодействует эффекту a-f, наблюдаемому в экспериментах [16, 17, 24].Действительно, существует широкий интервал фазовых сдвигов, когда частота выходит на плато, изменяясь гораздо меньше, чем когда внутренний резонанс не возникает (см. правую часть рис. 1). В замкнутой конфигурации, где управляющим параметром является фазовый сдвиг, работа в пределах плато гарантирует, что система совершает устойчивые колебания с практически постоянной частотой. Их амплитуда лежит в нижней части резонансного пика, на границе внутренней резонансной щели. Между тем, для противоположного знака силы связи (рис. 2B) развиваются два более широких параллельных плато — обратите внимание, что здесь фазовый сдвиг изменяется в (- π , π ).При этом устойчивые колебания лежат на верхнем плато, на «острове» большой амплитуды резонансного пика.

На рис. 3 показан внутренний резонанс в случае, когда сила связи на осцилляторе основной моды пропорциональна его собственной амплитуде и квадрату амплитуды высшей гармоники. Строки А и В соответствуют силам разных знаков. В случае рис. 3А резкая деформация резонансного пика в сторону более высоких амплитуд по обеим сторонам внутреннего резонансного зазора (левая панель) связана с очень плоским плато частоты как функции фазового сдвига (правая панель). .В этом случае стабилизация частоты, вызванная внутренним резонансом, даже более эффективна, чем в случае, рассмотренном на рис. 2А. С другой стороны, как показано на рис. 3В, изменение знака силы связи меняет направление деформации на противоположное и, что более примечательно, не приводит к возникновению внутреннего резонансного зазора. В обоих случаях направление деформации хорошо улавливается магистральным приближением.

Рис. 3. Внутренний резонанс с линейной модой высшей гармоники (II).

Как на рис. 2, когда сила связи, действующая на осциллятор основной моды, пропорциональна его собственной амплитуде и квадрату амплитуды высшей гармоники.

https://doi.org/10.1371/journal. pone.0162365.g003

Значительное изменение предыдущей ситуации происходит, если в дополнение к силе связи, действующей на осциллятор основной моды, действует сила, пропорциональная амплитуде высшей гармоники. а к квадрату амплитуды основной моды прикладывается осциллятор высшей гармоники.Его последствия показаны на рис. 4. При сравнении с рис. 3 очевидны два эффекта. Во-первых, происходит сдвиг расстройки частоты, при которой имеет место внутренний резонанс, в сторону меньших значений на рис. 4А и больших значений на рис. 4В. Во-вторых, в обоих случаях деформации резонансного пика изгибаются влево, в сторону меньшей расстройки. В то же время плоское плато на левой панели рис. 3А искажается, а стабилизация частоты значительно ухудшается.

Рис. 4. Внутренний резонанс с линейной модой высшей гармоники (III).

Как на рис. 3, с добавлением силы связи, действующей на осциллятор высшей гармоники. Эта дополнительная сила пропорциональна амплитуде высшей гармоники и квадрату амплитуды основной моды.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0162365.g004

Эффекты этой дополнительной силы связи в осцилляторе высшей гармоники можно понять, принимая во внимание ее пропорциональность самой амплитуде высшей гармоники. Любая дополнительная линейная сила, действующая на осциллятор, будет эффективно изменять его собственную частоту, которая определяется линейной восстанавливающей силой, тем самым изменяя частоту, при которой осциллятор с более высокой гармоникой может синхронизироваться с основной модой.Направление этого сдвига зависит от знака силы, но его величина также определяется амплитудой основной моды. Сдвиг, таким образом, меняется вдоль резонансного пика, что объясняет искривление внутренних резонансных деформаций. Это также объясняет, почему при такой связи нарушается стабилизация частоты, поскольку сила связи изменяет частоту колебаний. С точки зрения динамических состояний, доступных двухосцилляторной системе, следует отметить, что изгиб некоторых участков резонансного пика вблизи внутреннего резонанса создает интервалы расстройки частоты, в которых стационарные колебания – как устойчивые, так и неустойчивые – с частотой до сосуществуют до семи различных амплитуд.

Результаты, представленные на рис. 1–4, были получены для фиксированного значения амплитуды движущей силы. Рис. 5 иллюстрирует эффект изменения этого параметра. На рис. 5А мы видим, что при отсутствии внутреннего резонанса прогрессивно увеличивающаяся сила возбуждения (кривые от светло-зеленого до темно-зеленого) расширяет резонансный пик и сдвигает его самую высокую точку в сторону большей расстройки частоты. Обратите внимание, что магистральная аппроксимация одинакова для всех кривых, поскольку она не зависит от амплитуды движущей силы (см. Методы).На рис. 5Б и 5С показаны крупные планы зоны внутреннего резонансного зазора при увеличении вынуждающей силы в случаях, рассмотренных на рис. 2А и 3А соответственно. В обоих из них результирующим эффектом является закрытие щели, когда сила достигает достаточно большого значения. Таким образом, движущая сила эффективно конкурирует с силами связи, ответственными за внутренний резонанс. Как и ожидалось из результатов, показанных на рис. 5А, закрытие щели сочетается с расширением резонансного пика.Это расширение также видно на рис. 5D, что соответствует случаю, изображенному на рис. 3B.

Рис. 5. Зависимость внутреннего резонанса от амплитуды вынуждающей силы.

На всех панелях большие амплитуды силы показаны с более темными оттенками зеленого (см. параметры в таблице 2), а различия в стабильности не учитываются. (A) Влияние увеличения силы на резонансный пик при отсутствии внутреннего резонанса. (B,C,D) Влияние на внутренний резонансный зазор для случаев, рассмотренных на рис. 2A, 3A и 3B соответственно.

https://doi.org/10.1371/journal.pone.0162365.g005

Внутренний резонанс с нелинейной модой высших гармоник

Результаты экспериментов с микромеханическими осцилляторами c-c не свидетельствуют о том, что нелинейное поведение в режиме высших гармоник играет какую-либо решающую роль в возникновении внутреннего резонанса, но они действительно показывают, что кубическая нелинейность действительно присутствует в динамике высших гармоник [16]. Кроме того, в экспериментах оказывается, что нелинейность высших гармоник смягчается, а амплитуда колебаний уменьшается с ростом частоты.Смягчающая нелинейность была обнаружена также в определенных диапазонах параметров в конечно-элементных численных расчетах для вибрирующих с-с балок [25].

Наши результаты для стационарных колебаний в двухосцилляторной модели показывают, что даже при относительно больших значениях коэффициента Дуффинга в осцилляторе высшей гармоники (до десяти раз больше, чем для основной моды; см. Методы) не происходит качественных изменений. наблюдается в отклике генератора основной моды, пока амплитуда движущей силы остается умеренной.С другой стороны, при увеличении вынуждающей силы резонансная кривая вблизи внутреннего резонансного зазора может сильно искажаться.

Этот эффект проиллюстрирован на рис. 6, где мы представляем крупные планы зазора для различных вариантов выбора параметров и увеличения значений амплитуды движущей силы (кривые от светлого до темно-зеленого). Высшая гармоническая кубическая нелинейность смягчается. Последовательные ряды соответствуют случаям с теми же силами связи, что и на рис. 2 и 3. Мы видим, что по мере увеличения вынуждающей силы резонансные кривые могут искривляться и образовывать складочки, которые в определенных частотных интервалах означают появление нескольких новых возможных значения амплитуды.В то же время в рядах от A до C две ветви с каждой стороны зазора сближаются, делая зазор уже. Однако в то время как в А и В они взаимно накладываются при достаточно больших движущих силах, они не могут соединиться друг с другом (см. рис. 5В). Разрыв в частотной расстройке исчез, но непрерывности решений по этим частотам нет. Отметим дополнительно, что для нелинейности высших гармоник, рассматриваемой в этих случаях, обычно отсутствует стабилизация частоты за счет внутреннего резонанса.

Рис. 6. Внутренний резонанс с нелинейной модой высших гармоник: влияние движущей силы.

На всех панелях показана зона внутреннего резонансного зазора, причем кривые для большей амплитуды силы показаны все более темными оттенками зеленого (см. параметры в таблице 3). Различия в стабильности не учитываются. Ряды от A до D соответственно соответствуют силам сцепления, рассмотренным на фиг. 2A и 2B и 3A и 3B.

https://doi.org/10.1371/журнал.pone.0162365.g006

Методы

Математическая формулировка модели с двумя осцилляторами

Далее мы описываем математические инструменты, использованные для получения результатов, представленных на рис. 1–6. Как было показано в предыдущем разделе, наша модель состоит из двух связанных осцилляторов Дуффинга [18]. Подчеркнув, что они представляют собой две формы колебаний, соотношение частот которых близко к 1:3, обозначим их координаты соответственно х 1 ( t ) и х 3 ( t ).Уравнение движения для основного модового осциллятора имеет вид (1) а для осциллятора высшей гармоники (2) где ω 1 и ω 3 — соответствующие собственные частоты, а μ 1 и μ 3 — коэффициенты затухания. Коэффициенты α I , β I , и γ I ( I = 1, 3) Вес различные кубические силы, действующие на осцилляторах.В частности, γ 1 и γ 3 дают кубические коэффициенты Дуффинга, характерные для каждого осциллятора. Предполагается, что движущая сила, действующая на два осциллятора с амплитудами f 1 и f 3 , имеет частоту Ω и появляется с общим фазовым сдвигом θ 3 3 90 для x 3 . Заметим, что все эти силы, а также демпфирование нормированы эффективными массами осцилляторов.Как правило, силы связи, появляющиеся в уравнениях (1) и (2), не могут быть получены из потенциала взаимодействия и, следовательно, не связаны с законом сохранения механической энергии. Однако потенциал взаимодействия существует, когда коэффициенты членов связи удовлетворяют тождествам 1 / ρ 3 .

Предмножитель ϵ в правой части уравнений (1) и (2) формально вводится как малый параметр, т. усилие в левой части.Это предположение сделано для применения многомасштабного приближения к уравнениям (1) и (2) следующим образом [15, 24].

Ожидается, что решения уравнений (1) и (2) будут зависеть от времени в двух различных масштабах. С одной стороны, мы имеем относительно быстрые колебания с частотами того же порядка, что и ω 1 , ω 3 и Ω . С другой стороны, амплитуды и фазы колебаний изменяются медленнее, что позволяет многим колебаниям происходить в пределах их типичных масштабов эволюции.Это разделение масштабов реализуется в низшем порядке приближения путем предложения решений вида (3) где быстрая переменная τ 0 t совпадает с обычным временем t , а медленная переменная τ 1 = ϵt . Амплитуды A i и фазы φ i ( i = 1, 3) зависят только от 4 τ 19064. При этом будем считать, что частоты, входящие в уравнения движения, отличаются друг от друга на величины порядка ϵ , а именно (4) Таким образом, σ 1 и σ 3 измеряют расстройку между движущей силой и осциллятором высшей гармоники по отношению к собственной частоте основной моды.

Многомасштабное приближение происходит путем разложения уравнений движения по степеням ϵ . Уравнения для амплитуд и фаз находятся из требования обнуления вековых вкладов в быстрые колебания [15].В первом значимом порядке эта процедура дает (5) где простые числа являются производными по медленной переменной τ 1 . Для удобства мы представили φ 1 = Σ = 1 4 τ 1 Φ 1 и Φ 3 = Σ 3 τ 1 + φ 3 − 3 φ 1 , которые представляют собой фазовые сдвиги движущей силы и осциллятора высшей гармоники по отношению к осциллятору основной моды. Отметим, что члены с коэффициентами ρ 1 и ρ 3 , а также сила на осцилляторе высшей гармоники не дают вклада в динамику при этом порядке аппроксимации.

Явный вид в уравнении (5) зависит от рассматриваемой рабочей установки. В конфигурации без обратной связи частота движущей силы фиксирована, и поэтому σ 1 является константой, что подразумевает . С другой стороны, в конфигурации с обратной связью фазовый сдвиг между силой и генератором основной моды фиксирован, а частота силы изменяется.Следовательно, . Что касается , то, поскольку σ 3 постоянно в обеих конфигурациях, имеем . Это дает и для разомкнутой и замкнутой конфигурации соответственно. Следовательно, в дополнение к неизвестным A 1 , A 3 и ϕ 3 уравнения (5) представляют собой дифференциальные уравнения для ϕ 4 1906 для σ 1 в замкнутой конфигурации. Это различие необходимо учитывать, например, при анализе устойчивости стационарных решений уравнений.

С другой стороны, как упоминалось в предыдущем разделе, стационарные решения одинаковы в обеих конфигурациях. Заменив соответственно и на σ 1 и 3 σ 3 σ 1 , и взяв, получим следующие алгебраические уравнения для стационарных решений: (6) Это уравнения, которые были решены для получения результатов, представленных на рис. 1–6. Решения были найдены численно с использованием стандартного многомерного алгоритма Ньютона-Рафсона [26].В таблицах с 1 по 3 показаны параметры, используемые на каждом рисунке.

Аппроксимация магистральной сети и оценка разрыва частот

Основная кривая представляет собой аппроксимацию резонансного пика осциллятора Дуффинга, которая схематически воспроизводит его профиль при значительно меньших затратах математической сложности [15]. На левой панели рис. 1 показано, что основная кривая для одиночного вынужденного колебания Дуффинга, уравнение которого имеет вид (7) дает удовлетворительное количественное описание влияния нелинейности на резонансный пик. В этом случае приближение получается, если предположить, что демпфирование и движущая сила пренебрежимо малы по сравнению с восстанавливающими (линейными и кубическими) силами.

Для наших двух связанных осцилляторов магистральное приближение может быть получено в частном случае, когда кубическая восстанавливающая сила осциллятора высшей гармоники отсутствует, γ 3 = 0. В этом случае два последних из уравнения (6) линейны по A 3 , что позволяет сразу получить A 3 как функцию A 1 : (8) с Δ = 3 σ 1 σ 3 .Из тех же уравнений находим (9)

Подставляя уравнения (8) и (9) во второе уравнение (6) и принимая предел f 1 → 0, получаем уравнение более высокого порядка для A 1 . Приближенное решение этого уравнения, в свою очередь, может быть найдено в предположении, что силы связи, действующие на осциллятор основной моды, малы по сравнению с его восстанавливающими силами, что дает (10) где есть не что иное, как магистральная кривая для несвязанной основной моды, уравнение (7). Графики A 1 в зависимости от σ 1 , заданные уравнением (10), представляют собой основные кривые, изображенные на рисунках с 1 по 5.

Наконец, приняв эти результаты за приближение низшего порядка к решению уравнения (6) со второго по четвертое, мы заменим их в первом уравнении и решим для sin ϕ 1 , получив (11) Разрыв частот, вызванный внутренним резонансом, возникает, когда это уравнение не дает (действительного) решения для ϕ 1 , т.е.е. когда (12) Это неравенство выполняется внутри лакуны и не выполняется снаружи.

Заключение

В данной работе рассмотрено стационарное движение системы двух связанных нелинейных осцилляторов, приводимых в движение гармонической силой, где восстанавливающая и связывающая силы являются кубическими функциями амплитуд колебаний. Система задумана как модель взаимодействия между основной модой колебаний и высшей гармонической модой вибрирующей зажато-зажатой упругой балки. Когда отношение собственных частот двух мод близко к 1:3, кубическая нелинейность наиболее эффективно связывает соответствующие колебания, которые синхронизируются друг с другом, и, таким образом, имеет место внутренний резонанс. Недавно был предложен внутренний резонанс как механизм нейтрализации амплитудно-частотной взаимозависимости в микромеханических генераторах [16], что ставит под угрозу их возможное применение в качестве кардиостимуляторов при разработке миниатюрных устройств хронометрии.

Наш акцент был сделан на иллюстрации того разнообразия поведения, к которому приводит различный выбор параметров, управляющих связью между модами, в стационарном отклике колебаний основной моды, в частности, вблизи внутреннего резонанса.Хотя из-за множества этих параметров систематическое исследование пространства параметров невозможно, выборка случаев, представленных в результатах, обобщает основные эффекты различных форм связи, которые, как показывает более подробный анализ, имеют место. Мы также обратили внимание на влияние изменения силы движущей силы, которая является ключевым параметром управления в приложениях с вибрирующими с-с балками. Наше изложение было ограничено результатами по основной моде колебаний, которая наиболее доступна для экспериментального наблюдения – непосредственно посредством электрических измерений.Однако математическая формулировка, представленная в разделе «Методы», также предоставляет инструменты для изучения динамики высших гармоник.

Важно отметить, что наш подход к динамике cc-пучков основан на детерминированных уравнениях движения, а во введении мы упомянули, что в некоторых приложениях, в частности, связанных с микротехнологиями, шум может играть важную роль в установление условий работы генератора [12–14]. Действие стохастических сил в общем случае можно предсказать, если учесть, что внутренний резонанс является следствием возникновения прямых и обратных седло-узловых бифуркаций [27] в исследуемой динамической системе.Это приводит к возможности того, что его реакция на шум имеет форму одного или нескольких хорошо изученных явлений в стохастических нелинейных системах, начиная от вызванных шумом переходов и заканчивая задержкой бифуркации и стохастической фазовой синхронизацией [28]. Будучи системой принудительно связанных осцилляторов, шум также может способствовать возникновению стохастического резонанса с внешней силой и/или между двумя взаимодействующими модами [29]. Тем не менее, эксперименты с реальными микромеханическими осцилляторами показали устойчивость к шуму в стандартных условиях [16].

Появление бреши на резонансной кривой Дуффинга, разделяющей возможные стационарные колебания системы на две несвязанные ветви, является наиболее очевидным признаком возникновения внутреннего резонанса. Зазор непосредственно наблюдался в зажато-зажатых микромеханических осцилляторах, вибрирующих в конфигурациях с обратной связью [17, 24], а также отвечает за поведение, о котором сообщалось в экспериментах с разомкнутой обратной связью как с микро-[16], так и с наномеханическими осцилляторами [30, 31].Аналогично, появление «островка» в отклике одиночного вынужденного осциллятора предсказано для субгармонических резонансов, когда частота вынуждающей силы близка к одной трети частоты собственных колебаний [15]. Совсем недавно аналогичные эффекты были обнаружены в родственных системах, таких как вибрирующие электроупругие кристаллы [32] и нелинейные осцилляторы со связью по скорости [33].

Применение модели с двумя осцилляторами для количественной подгонки экспериментальных или численных результатов по вибрации с-с-балки, чего мы здесь не пытались, делает необходимым оценку параметров модели для каждого конкретного случая.Эта оценка, в свою очередь, потребовала бы подробной информации о рассматриваемой установке — например, в эксперименте о конструкции цепей, преобразующих механическое движение в электрические сигналы. Более того, в некоторых специфических экспериментах, таких как эксперименты с микромеханическими осцилляторами, существуют огромные количественные различия между действующими силами, например, соотношение между силой упругости и демпфированием достигает 10 5 [16], что приводит к значениям параметров которые отличаются друг от друга на несколько порядков.В такой ситуации работа с уравнениями, полученными с помощью математического подхода, требует более сложных численных алгоритмов, чем те, которые используются в наших расчетах.

С другой стороны, некоторые результаты для нашей системы с двумя осцилляторами находятся в качественном согласии со специфическими формами поведения, наблюдаемыми в защемленных пучках. Например, о закрытии внутреннего резонансного зазора при увеличении движущей силы (см. рис. 5В) сообщалось в экспериментах с микромеханическими осцилляторами [24].Изгиб кривой резонанса Дуффинга вниз вблизи внутреннего резонанса (см. рис. 3B и 4B) ​​также был получен в результате конечно-элементного расчета нелинейных колебаний с-с балки. Профиль резонансной кривой вблизи зазора в случаях, рассмотренных на рис. 5С, является таким же, как давно и последовательно сообщалось как экспериментально, так и теоретически для различных типов вибрирующих конструкций [19, 34, 35]. Эти сходства указывают на универсальность модели с двумя осцилляторами как приблизительное описание взаимодействия мод в системе такого типа.

Благодарности

Авторы признательны Эрнану Пасториза, Даниэлю Лопесу, Дарио Антонио, Себастьяну Арройо, Чаньяо Чену, Дэвиду Чаплевски и Джеффу Гесту за плодотворное сотрудничество и полезные обсуждения.

Авторские вклады

  1. Концептуализация: ФМ ДЗ.
  2. Контроль данных: FM DZ.
  3. Формальный анализ: ФМ ДЗ.
  4. Расследование: ФМ ДЗ.
  5. Методика: ФМ ДЗ.
  6. Ресурсы: FM DZ.
  7. Программное обеспечение: FM ДЗ.
  8. Валидация: FM DZ.
  9. Визуализация: FM ДЗ.
  10. Письмо – первоначальный проект: FM DZ.
  11. Написание – просмотр и редактирование: FM DZ.

Каталожные номера

  1. 1. Хайэм Т., Базелл Л., Якоби Р., Вуд Р., Бронк Рэмси С., Конард Н.Дж. (2012) Проверка моделей истоков ориньяка и появления изобразительного искусства и музыки: радиоуглеродная хронология Гайсенклёстерле.Дж. Эволюция человека. 62: 664–676.
  2. 2. Гафуриус Ф (1492) Theorica Musicae. Милан: П. Мантегатиум.
  3. 3. Тимошенко С. (1953) История сопротивления материалов. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
  4. 4. Экинчи К.Л., Роукс М.Л. (2005)Наноэлектромеханические системы. преподобный наук. Инструм. 76: 061101.
  5. 5. Nguyen CTC (2007) Технология MEMS для управления синхронизацией и частотой. IEEE транс. Ультрасон. Ферроэлектр. Частота Контроль 54: 251–270.пмид:17328323
  6. 6. van Beek JTM, Puers R (2012) Обзор генераторов MEMS для приложений задания частоты и синхронизации. Дж. Микромех. Микроангл. 22: 013001.
  7. 7. Ландау Л.Д., Лифшиц Э.М. (1986). Теория упругости, 3-е изд. Оксфорд: Баттерворт Хайнеманн.
  8. 8. Нарасима Р. (1968) Нелинейные колебания упругой струны. Дж. Саунд Виб. 8: 134–146.
  9. 9. Молтено Т.К., Туфилларо Н.Б. (2004) Экспериментальное исследование динамики струны.Являюсь. Дж. Физ. 72: 1157–1169.
  10. 10. Даффинг Г. (1918) Erzwungene Schwingungen bei Veränderlicher Eigenfrequenz. Брауншвейг: F. Vieweg u. Зон.
  11. 11. Ковачич И., Бреннан М.Дж. (2011) Уравнение Дуффинга: нелинейные осцилляторы и их поведение. Нью-Йорк: Уайли.
  12. 12. Postma HWC, Kozinsky I, Husain A, Roukes ML (2005)Динамический диапазон электромеханических систем на основе нанотрубок и нанопроводов. заявл. физ. лат. 86: 223105.
  13. 13.Агарвал М., Мехта Х., Кэндлер Р.Н., Чандоркар С., Ким Б., Хопкрофт М.А. и др. (2007) Масштабирование нелинейностей амплитудно-частотной зависимости в микрорезонаторах с электростатическим преобразованием. Дж. Заявл. физ. 102: 074903.
  14. 14. Агарвал М., Чандоркар С.А., Мехта Х., Кэндлер Р.Н., Ки Б., Хопкрофт М.А. и др. (2008) Исследование нелинейности электростатической силы в резонансных микроструктурах. заявл. физ. лат. 92: 104106.
  15. 15. Найфех А.Х., Мук Д.Т. (1995) Нелинейные колебания.Нью-Йорк: Уайли.
  16. 16. Антонио Д., Занетт Д.Х., Лопес Д. (2012)Стабилизация частоты в нелинейных микромеханических генераторах. Нац. Комм. 3:806.
  17. 17. Арройо С.И., Занетт Д.Х. (2016)Возвращение к Дуффингу: управление фазовым сдвигом и внутренний резонанс в автономных генераторах. Евро. физ. Дж. Б. 89: 12.
  18. 18. Висвесвара Рао Г., Айенгар Р.Н. (1991)Внутренний резонанс и нелинейный отклик кабеля при периодическом возбуждении. Дж. Саунд Виб.149: 25–41.
  19. 19. Найфе А.Х., Балачандран Б. (1989) Модальные взаимодействия в динамических и структурных системах. заявл. мех. Ред. 42: S175–S201.
  20. 20. Yang Y, Ng E, Polunin P, Chen Y, Strachan S, Hong V, et al (2015) Экспериментальное исследование связи мод в кремниевых МЭМС-резонаторах объемной моды. 28-я Международная конференция IEEE. конф. МЭМС: 1008–1011.
  21. 21. Антонио Д., Чаплевски Д.А., Гест Дж.Р., Лопес Д., Арройо С.И., Занетт Д.Х. (2015)Улучшение синхронизации, вызванное нелинейностью, в микромеханических осцилляторах. физ. Преподобный Летт. 114: 034103. pmid:25659001
  22. 22. Юрке Б., Грейволл Д.С., Паргеллис А.Н., Буш П.А. (1995) Теория уклонения от шума усилителя в генераторе с нелинейным резонатором. физ. Ред. А 51: 4211–4229. пмид:9912098
  23. 23. Арройо С.И., Занетт Д.Х. (2014)Синхронизация принудительного самоподдерживающегося осциллятора Дуффинга. Евро. физ. J. Специальные темы 223: 2807–2817.
  24. 24. Мангусси Ф (2015) Стабилизация частоты микроосцилляторов без линейного медианта и внутреннего резонанса, М.наук диссертация, ricabib.cab.cnea.gov.ar/545/
  25. 25. Рибейро П., Петит М. (1999) Нелинейная вибрация балок с внутренним резонансом иерархическим методом конечных элементов. Дж. Саунд Виб. 224: 591–624.
  26. 26. Press WH, Flannery BP, Teukolsky SA, Vetterling (1992) Методы Ньютона-Рафсона для нелинейных систем уравнений, в Numeric Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2-е изд., 372–375. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
  27. 27. Дразин П.Г. (1992) Нелинейные системы. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
  28. 28. Мосс Ф., МакКлинток PVE, редакторы (1989) Шум в нелинейных динамических системах. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета.
  29. 29. Андо Б., Грациани С., редакторы (2000) Стохастический резонанс: теория и приложения. Бостон: Клувер.
  30. 30. Westra HJR, Poot M, van der Zant HSJ, Venstra WJ (2010)Нелинейные модальные взаимодействия в механических резонаторах с зажимами.физ. Преподобный Летт. 105: 117205. pmid:20867605
  31. 31. Лулла К.Дж., Казинс Р.Б., Венкатесан А., Паттон М.Дж., Армор А.Д., Меллор С.Дж. и др. (2012)Нелинейная модальная связь в наномеханическом резонаторе с двойным зажимом при высоких напряжениях. New J. Phys. 14: 113040.
  32. 32. Киркендалл К.Р., Квон Дж.В. (2016)Мультистабильный внутренний резонанс в электроупругих кристаллах с нелинейно связанными модами. науч. Реп. 6: 22897. pmid:26961749
  33. 33. Хабиб Г., Детру Т., Вигье Р., Кершен Г. (2015) Нелинейное обобщение метода равных пиков Дена Хартога.{2}\) член в знаменателе (2.22) стремится к нулю при \(\omega_{d} = \omega_{0}\). Если демпфирование мало, такое поведение знаменателя приводит к огромному увеличению отклика системы на движущую силу при \(\omega_{d} = \omega_{0}\). Явление называется резонансом. Угловая частота \(\omega_{0}\) является резонансной угловой частотой. Когда \(\omega_{d} = \omega_{0}\), говорят, что система находится «в резонансе».

    Явление резонанса знакомо и чрезвычайно важно.Это знакомо в таких простых ситуациях, как создание большой амплитуды качания ребенка за счет приложения небольшого усилия в одно и то же время в каждом цикле. Несмотря на свою простоту, она имеет решающее значение для многих устройств и многих тонких экспериментов в физике. Явления резонанса повсеместно используются для создания большой измеримой реакции на очень маленькое возмущение.

    Очень часто мы игнорируем демпфирование вынужденных колебаний. Вблизи резонанса это не очень хорошая идея, потому что амплитуда (2.22) стремится к бесконечности как \(\Gamma \rightarrow 0\) для \(\omega_{d} = \omega_{0}\). Бесконечности не являются физическими. Эта бесконечность никогда не встречается на практике. Одна из двух вещей происходит до того, как амплитуда взрывается. Либо демпфированием в конечном счете нельзя пренебречь, так что отклик выглядит как (2.22) для ненулевого \(\Gamma\), либо амплитуда становится настолько большой, что нельзя игнорировать нелинейности в системе, так что уравнение движения больше не выглядит как (2.16).

    Работа

    Поучительно рассмотреть работу внешней силы в (2.16).{t_{0}+\pi / \omega_{d}}=0 .\]

    Вот почему \(А\) называется упругой амплитудой. Если \(А\) преобладает, то энергия, подаваемая в систему в один момент времени, возвращается в более позднее время, как при упругом столкновении в механике.

    Второй член в (2.26), напротив, всегда положителен. В среднем это \[P_{\text {average}}=\frac{1}{2} F_{0} \omega_{d} B .\]

    Вот почему \(В\) называется поглощающей амплитудой. Он измеряет, насколько быстро энергия поглощается системой.Поглощенная мощность \(P_{\text {средняя}\) достигает максимума при резонансе при \(\omega_{0} = \omega_{d}\). Это диагностика, которая часто используется для поиска резонансов в экспериментальных ситуациях. Отметим, что зависимость \(B\) от \(\omega_{d}\) выглядит качественно похожей на зависимость \(P_{\text {среднее}\), показанную на рис. \(2.5\) для \ (\Gamma = \(\omega_{0} / 2\). Однако они различаются в \(\omega_{d}\). В частности, максимум \(B\) происходит немного ниже резонанса.{2}}{4}} \pm \frac{\Gamma}{2} .\]

    \(\Гамма\) — это «полная ширина на половине максимума» кривой мощности. На рисунке \( 2.6\) и рисунке \( 2.7\) мы показываем среднюю мощность как функцию \(\omega_{d}\) для \(\Gamma = \omega_{0} / 4\) и \ (\Гамма = \омега_{0}\). Хорошо видна линейная зависимость ширины от \(\Gamma\). Пунктирные линии показывают положение полумаксимума.

    Рисунок \( 2.6\): Средняя мощность, теряемая силой трения, как функция \(\omega_{d}\) для \(\Gamma = \omega_{0} / 4\).

    Рисунок \( 2.7\): Средняя мощность, теряемая силой трения, как функция \(\omega_{d}\) для \(\Gamma = \omega_{0}\).

    Это соотношение еще более интересно ввиду связи между \(\Гамма\) и временной зависимостью свободных колебаний. Время жизни состояния в свободном колебании имеет порядок \(1 / \Gamma\). Другими словами, ширина резонансного пика при вынужденных колебаниях обратно пропорциональна времени жизни соответствующей нормальной моды свободных колебаний.{2}}, \quad \theta=\arg (A+i B).\]

    Фазовый угол, \(\theta\), измеряет фазовое отставание между внешней силой и реакцией системы. Фактическая временная задержка равна \(\theta / \omega_{d}\). Смещение достигает своего максимума через время \(\theta / \omega_{d}\) после того, как сила достигает своего максимума.

    Обратите внимание, что по мере увеличения частоты \(\тета\) увеличивается, и движение все больше и больше отстает от внешней силы. Фазовый угол \(\theta\) определяется относительной важностью восстанавливающей силы и инерции осциллятора.{\circ}\) не совпадает по фазе с силой. Мы разработаем подробный пример этого в следующем разделе.

    Отставание по фазе проходит через \(\pi / 2\) при резонансе, как показано на графике на рисунке \( 2.8\) для \(\Gamma = \omega_{0} / 2\). Отставание по фазе \(\pi / 2\) — еще одна часто используемая диагностика резонанса.

    Рис. \( 2.8\): График зависимости фазового отставания от частоты в демпфированном форсированном генераторе.

    lecdem.physics.umd.edu — h4-41: КРИВАЯ РЕЗОНАНСА

    Четверг, 19 июня 2014 г. 15:20

    h4-41: РЕЗОНАНСНАЯ КРИВАЯ — РЕЗОНАТОР ГЕЛЬМГОЛЬЦА

    Дополнительная информация

    • Идентификационный код: h4-41
    • Цель: Продемонстрируйте резонансное поведение резонатора Гельмгольца.
    • Описание: Резонатор Гельмгольца возбуждается генератором, управляющим небольшим громкоговорителем с частотой около 250 Гц. Резонансы в системе обнаруживаются с помощью звукового зонда, вставленного в маленькое резиновое отверстие на резонаторе, и отображаются на осциллографе.

      Шаровидные резонаторы такого типа использовались Гельмгольцем в девятнадцатом веке, на заре акустических экспериментов.До разработки анализаторов спектра и подобных инструментов он разработал методы анализа структуры звуков, просто поднося к уху последовательность резонаторов разных частот, чтобы выделить компоненты сложных звуков. Принцип, лежащий в основе этого, мало отличается от аналоговых электронных частотных анализаторов двадцатого века, которые подают сигнал от микрофона в серию резонансных цепей, аналогичных стеклянным шарам Герльмгольца.

    • Доступность: Доступный
    • Использованная литература: ССЫЛКИ: (ПИРА 3D30. 40)
    • Коды мест: h4, МЭ2, МЭ3, ОМ1, ОМ2
    Прочесть 1862 раза Последнее изменение вторник, 08 сентября 2020 г., 16:04

    Принудительное реагирование (Регионы контроля)

    Реакция смещения управляемого демпфированного осциллятора

    Реакция на смещение ведомой демпфированной системы масса-пружина определяется выражением $$ x = {F_o / m \over \sqrt{(\omega^2-\omega_o^2)^2 + (2 \beta \omega)^2}} \ . $$ В этом уравнении \(\omega_o\) представляет незатухающую собственную частоту системы (которая, в свою очередь, зависит от массы, \(m\), и жесткости, \(s\)) и \(\beta\) представляет скорость демпфирования (которая зависит от величины механического демпфирования, \(R\)). $$ \omega_o = \sqrt{ s \over m} \qquad \hbox{ and } \qquad \beta = {R \over 2 m} \ $$

    Это смещение показано как функция частоты возбуждения на графике справа.
    • Когда частота возбуждения очень низкая (в левой части графика), смещение выравнивается до статического смещения.Эта область графика называется контролируемой жесткостью , поскольку жесткость пружины определяет значение статического смещения.
    • При очень высокой частоте возбуждения (в правой части графика) смещение падает до нуля; частота настолько велика, что к моменту, когда масса начинает реагировать на движущую силу, направление силы уже изменилось на противоположное и инерция массы существенно препятствует ее колебаниям.Эта область графика называется контролируемой массой , потому что инерция системы ограничивает ее движение.
    • В середине графика, когда частота возбуждения близка к собственной частоте без демпфирования \( \omega_O \), амплитуда смещения очень сильно зависит от величины присутствующего демпфирования. Эта область графика называется областью с регулируемым демпфированием .

    С контролем жесткости, с контролем массы, с контролем демпфирования

    Анимация ниже показывает, как изменяется реакция на смещение системы с принудительной массой и пружиной при изменении значений демпфирования, жесткости и массы.Сначала изменяется демпфирование, затем жесткость, а затем масса — смотрите, что происходит с графиком реакции смещения при изменении каждой величины.

    При изменении коэффициента демпфирования изменяется пиковое (или максимальное) смещение; большее демпфирование приводит к меньшему максимальному смещению. Однако изменение демпфирования влияет только на реакцию смещения в области контролируемого демпфирования на пике. Изменение демпфирования никак не влияет на амплитуду смещения на более низких или более высоких частотах.Это важно, потому что часто предполагается, что лучший способ уменьшить нежелательную вибрацию — увеличить демпфирование в системе. Однако добавление демпфирования к системе не будет иметь никакого эффекта, если частота возбуждения значительно выше или ниже резонансной частоты системы.

    Для частот возбуждения значительно ниже резонанса, когда система приводится в действие в области с регулируемой жесткостью, единственный способ изменить смещение — это изменить жесткость системы.Уменьшение жесткости увеличит амплитуду низкочастотного отклика, а увеличение жесткости уменьшит амплитуду смещения в этой области. Итак, если вам нужно уменьшить амплитуду смещения вибрирующей системы на частоте значительно ниже резонансной, единственный способ сделать это — увеличить жесткость. Обратите внимание, что изменение жесткости изменяет положение пика резонанса, но жесткость не влияет на амплитуду на очень больших частотах.

    Наконец, на высоких частотах, где частота возбуждения намного выше резонансной, единственным способом изменить амплитуду смещения в этой области является изменение массы системы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.