Работа силы. Механическая работа и мощность. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс

Работа силы. Механическая работа и мощность. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс

Подробности

Просмотров: 748

Задачи по физике — это просто!

Вспомним

Формула работы силы:

Полная работа — эта работа всех сил, действующих на тело (иначе работа равнодействующей силы).

Если работа совершается за какой-то промежуток времени t, то средняя мощность:

Мгновенная мощность:

Не забываем
Решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Типовые задачи из курса школьной физики по динамике на вычисление работы сил, действующих на тело при движении.

Задача 1

Какую работу надо совершить двигателю, чтобы автомобиль массой 800 кг прошел из состояния покоя равноускоренно 90 м за 5 секунд? Коэффициент трения равен 0,2.

Задача 2

Определить работу, совершаемую лебедкой по подъему груза массой 25 кг на высоту 20 м, если движение равномерное.

Задача 3

Определить полную работу, совершаемую грузом при перемещении его на 10 м за веревку по горизонтали, если сила трения равна 50Н, а сила тяги составляет 200Н и направлена под углом 30^o к горизонтали.

Задача 4

Груз массой 100 кг перемещают за веревку с постоянной скоростью на расстояние 10 метров по горизонтали. Определить работу силы натяжения веревки, если веревка натянута под углом 45^o к горизонту, а коэффициент трения равен 0,5.

Задача 5

Автомобиль массой 500 кг начинает двигаться по горизонтальному участку пути из состояния покоя и достигает скорости 20 м/с. Определить работу, совершенную двигателем.

Задача 6

Определить среднюю мощность лебедки, поднимающую груз массой 5 тонн на высоту 10 метров за 6 минут.

Механическая работа в физике. Формула и примеры задач

При рассмотрении перемещений тел и их систем в пространстве часто приходится рассчитывать работу тех или иных сил. В данной статье дадим определение механической работы в физике, объясним, как она связана с энергией, а также приведем примеры решения задач на эту тему.

В чем различие между энергией и работой?

При изучении работы в физике (9 класс общеобразовательных школ) многие ученики путают данную величину с энергией. Понять это можно: ведь обе характеристики определяются в джоулях. Тем не менее, энергия — это фундаментальная характеристика. Она не может появляться или исчезать, а способна лишь переходить в разные состояния и формы. В этом заключается суть закона ее сохранения в изолированной системе. Работа же — это одна из форм реализации энергии, которая приводит к пространственному перемещению тел.

Так, при нагреве газа увеличивается его внутренняя энергия, то есть система получает возможность за счет нее совершить некоторую механическую работу. Последняя возникнет, когда газ начнет расширяться, увеличивать свой объем.

Строгое определение работы в физике

Строгим определением в физике является такое, которое предполагает четкое математическое обоснование. Применительно к рассматриваемой величине можно сказать следующее: если на тело действует некоторая сила F¯, в результате которой оно начинает перемещаться на вектор S¯, то работой A называется такая величина:

A = (F¯*S¯)

Поскольку A — это величина скалярная, то круглые скобки в правой части равенства говорят о том, что оба вектора умножаются скалярно.

Из записанного выражения следует важный факт: если сила действует перпендикулярно перемещению, то работы она не совершает. Так, многие школьники при решении по физике контрольных работ в 10 классе, например, допускают частую ошибку. Они полагают, что перемещать горизонтально тяжелый груз трудно именно из-за силы тяжести. Как показывает формула работы, сила тяжести при горизонтальном перемещении совершает нулевую работу, поскольку она направлена вертикально вниз. В действительности, трудность перемещения тяжелого груза связана с действием силы трения, которая прямо пропорциональна силе тяготения.

Выражение для A в явном виде может быть записано так:

A = F*cos(φ)*S

Произведение F*cos(φ) представляет собой проекцию вектора силы на вектор перемещения.

Работа и КПД

Каждому известно, что создать механизм, который бы всю затраченную энергию переводил в полезную работу, оказывается невозможным на практике. В связи с этим ввели понятие коэффициента полезного действия (КПД). Рассчитать его несложно, если воспользоваться следующим выражением:

КПД = А_п/А_з*100 %

Здесь А_п, А_з — полезная и затраченная работы соответственно. При этом А_з всегда больше, чем А_п, поэтому КПД всегда меньше 100 %. Например, двигатель внутреннего сгорания имеет КПД в пределах 25-40 %. Эти цифры говорят о том, что большая часть топлива при сгорании расходуется на нагрев окружающей среды, а не на движение автомобиля.

В абсолютном большинстве случаев невозможность получить КПД = 100 % связано с постоянным присутствием сил трения. Даже в таком простом механизме, как рычаг, эти силы, действующие в области опоры, приводят к снижению КПД до 80-90 %.

Далее в статье решим пару задач по рассмотренной теме.

Задача с телом на наклонной плоскости

Тело массой 4 кг движется вертикально вверх по наклонной плоскости. Угол ее наклона относительно горизонта составляет 20^o. На тело действует внешняя сила, которая равна 80 Н (она направлена горизонтально), а также сила трения, которая составляет 10 Н. Необходимо вычислить работу каждой из сил и общую работу, если тело двигалось вдоль плоскости 10 метров.

Прежде чем начать решать задачу, напомним, что, кроме указанных сил, на тело еще действует сила тяжести и реакции опоры. Последнюю можно не рассматривать, поскольку ее работа будет равна нулю. Сила же тяжести выполняет отрицательную работу, поскольку тело движется вверх по наклонной.

Сначала вычислим работу внешней силы F_0. Она составит:

A₀ = F₀*S*cos(20^o) = 751,75 Дж.

Заметим, что рассчитанная работа будет положительной, поскольку вектор внешней силы имеет острый угол с направлением перемещения.

Работы сил тяжести F_g и трения F_f будут отрицательными. Рассчитаем их с учетом угла наклона плоскости и направления перемещения тела:

A₁ = -F_g*S*sin(20^o) = -m*g*S*sin(20^o) = -134,21 Дж;

A₂ = -F_f*S = -10*10 = -100 Дж.

Общая работа всех сил будет равна сумме рассчитанных величин, то есть:

A = A₀ + A₁ + A₂ = 751,75 — 134,21 — 100 = 517,54 Дж.

Эта работа тратится на увеличение кинетической энергии тела.

Задача со сложной зависимостью силы

Известно, что материальная точка движется вдоль прямой, изменяя свои координаты от x = 2 до x = 5 м. В процессе движения на нее оказывает действие сила F, которая изменяется по следующему закону:

F = 3*x² + 2*x — 5 Н.

Полагая, что F действует вдоль линии перемещения точки, необходимо вычислить работу, которую она совершает.

Поскольку сила постоянно изменяется, то в лоб не получится использовать записанную в статье формулу для A. Чтобы рассчитать эту величину поступим следующим образом: вычислим на каждом элементарном отрезке пути dx работу dA, а затем, сложим все результаты. Рассуждая так, мы приходим к интегральной формуле для работы в физике:

A = ∫_x(F*dx).

Теперь осталось вычислить этот интеграл для нашего случая:

A = ∫⁵₂((3*x² + 2*x — 5)*dx) = (x³ + x² — x)|⁵₂ = 123 Дж.

Мы получили результат в джоулях, поскольку координата x выражается в метрах, а сила F в ньютонах.

Механическая работа

  

 Механическая работа — это скалярная величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения и на косинус угла между вектором силы  и вектором перемещения (или скорости)

A=F·S·cosa

   Если на тело действует сила и тело под действием этой силы перемещается, то говорят, что сила совершает работу.

   Работа является скалярной величиной

. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю.

   В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

   1) Если направление силы совпадает с направлением движения тела, т.е.α = 0, cos α = 1  то 

A=F·S

   2) Если сила направлена перпендикулярно к направлению движения тела, т. е. α = 90º, cos α = 0  то 

A = 0

   Следовательно, если тело перемещается в направлении, перпендикулярном к направлению действия силы, то сила не производит работы.

   3) Если угол между направлением силы и направлением движения тупой, т.е. α > 90º, cos α < 0  то 

A=-F·S·cosa   

   4) Если перемещение происходит в сторону, противоположную направлению вектора силы, т.е. α = 180 º, cos α = -1  то 

A=-F·S

   значит, работа силы отрицательна (например, работа силы трения).

   Графически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком F_s(x) 

 Обозначения:

A

 — Механическая работа

F — Сила, действующая на тело

S — Перемещение, которое тело совершает под действием силы

a — Угол между направлением действия силы и вектором перемещения

Работа силы тяжести

Вычислим работу силы тяжести. Для этого воспользуемся формулой:

Пусть тело движется вертикально. При небольших расстояниях от поверхности Земли сила тяжести постоянна и по модулю равна mg. Рассмотрим простейший случай — свободное падение тела. Выберем некоторый уровень, относительно которого будем рассматривать падение тела. Высоту выбранного уровня примем равной нулю. Такой уровень называют

нулевым (В качестве нулевого уровня может быть уровень моря, поверхность Земли, дно ямы, вырытой в земле, пол класса и т. д.) Пусть тело массой m свободно падает с высоты h₁ над нулевым уровнем, до высоты h₂ над тем же уровнем (Рис.1).

При этом перемещение тела по модулю равно h₁ — h₂. Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести равна

Если тело падает с некоторой высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести выражается равенством

Если тело брошено вверх с нулевого уровня и поднимается на высоту h над ним, то работа силы тяжести отрицательна и равна

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. Пусть тело массой m совершает перемещение s, по модулю равное длине наклонной плоскости, высотой h. Работа силы тяжести в этом случае равна A = FScosα, где α — угол между векторами силы и перемещения.

Заметим, что Scosα = h. Поэтому A = mgh.

Мы получили для работы силы тяжести то же выражение, что и в случае движения по вертикали. Значит, работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости.

Заметим, что любую произвольную траекторию движения тела можно свести к движению по маленьким наклонным плоскостям. В результате работа силы тяжести определяется «потерей высоты» (или набором высоты) не только при движении по наклонной плоскости, но и по любой другой траектории.

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от формы траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях.

При движении вниз работа положительна, при движении вверх — отрицательна.

Работа силы тяжести (также как и работа силы упругости) на замкнутой траектории равна нулю.

Физика (7 класс). Контрольная работа №6 по теме «Работа. Мощность. Энергия»

Контрольная работа №6 по теме «Работа. Мощность. Энергия» Вариант I Часть А (выберете один верный вариант ответа)
А1. В каком из названных здесь случаев совершается работа? Лифт поднимает человека на верхний этаж Ребенок смотрит телепередачу Тяжелоатлет удерживает над головой штангу с предельно большими для него грузами Птица сидит на ветке дерева
А2. Механическую работу вычисляют по формуле Р = gm F = pS А = Fs F = k∆l
А3. Землю переносят на грядку, находящуюся в 5 м от того мес­та, где ею наполняют ведро. Какую работу совершают при этом? Вес ведра с землей 120 Н. 24 Дж 60 Дж 600 Дж 240 Дж
А4. Мощность можно рассчитать по формуле N = F = pS А = Fs p =
А5. Чему равна мощность двигателя, производящего работу, рав­ную 175 кДж, за 35 с? 500 Вт 50 Вт 5 кВт 50 кВт
А6. Какой из приведенных ответов, полученных ребятами при решении задачи на вычисление КПД, заведомо ошибочен? 85% 95% 90% 105%
А7. Определите КПД наклонной плоскости, длина которой 5 м, высота 1 м, если при подъеме по ней груза весом 350 Н его тянули вверх силой 80 Н. 20% 22,8% 87,5% 65,5%
А8. Выберите, какие приспособления относятся к простым механизмам. А. Ворот Б. Наклонная плоскость А Б А и Б Ни А, ни Б
А9. Каковы плечи сил F1 и F2, уравновешивающих рычаг? ОА и ОВ АС и DB ОС и ОD СD и АВ
А10. Какой выигрыш в силе дает эта сис­тема блоков? Сколько в ней непод­вижных блоков? В 4 раза; 2 В 2 раза; 3 В 4 раза; 3 В 2 раза; 2
А11. Какие из названных здесь тел обладают потенциальной энер­гией? Растянутая пружина Снаряд, вылетевший из ствола орудия Плывущий прогулочный катер Сосулька на крыше
Часть B (оформите решение в тетрадь)
В1. Установите соответствие между физическими величи­нами и их единицами измерения в СИ. К каждой позиции первого столбца подберите соот­ветствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами. Энергия Плечо силы Мощность		ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ Килограмм Метр Ватт Ньютон Джоуль

В2. Рассчитайте кинетическую энергию тела массой 400 г, дви­жущегося со скоростью 3 м/с.

Часть С (оформите решение в тетрадь)

С1. Груз, масса которого 1,2 кг, ученик равномерно пере­местил по наклонной плоскости длиной 0,8 м на высоту 0,2 м. При этом перемещении сила, направленная па­раллельно наклонной плоскости, была равна 5 Н. Какой результат должен получить ученик при вычислении КПД установки?

Контрольная работа №6 по теме «Работа. Мощность. Энергия»

Вариант II

Часть А (выберете один верный вариант ответа)

А1. В каких упомянутых здесь ситуациях работа не совершается?

1. Велосипедист обгоняет пешехода

2. Пловец тренируется в скорости преодоления своей дистанции

3. В лесу грибник, присев на пень, считает собранные подо­синовики

4. Участники соревнований ожидают на старте сигнал к бегу

А2. Формула, по которой вычисляют механическую работу, — это

1. Р = gm

2. F = pS

3. А = Fs

4. F = k∆l

А3. Кран поднимает груз массой 1,5 т на высоту 4 м. Какую он производит работу?

1. 60 кДж

2. 6 кДж

3. 3750 кДж

4. 37,5 кДж

А4. Чтобы определить мощность, надо воспользоваться формулой

1. F = pS

2. N =

3. А = Fs

4. p =

А5. Какой мощностью обладает подъемный кран, если работу, равную 42 000 кДж, он производит за 1 мин 10 с?

1. 6 кВт

2. 60 кВт

3. 600 кВт

4. 6000 кВт

A6. При вычислении КПД механизма ученики получили разные ответы. О каком из них можно сразу сказать, что он непра­вильный?

1. 99,5%

2. 101,5%

3. 95,5%

4. 97,5%

A7. Каков КПД подвижного блока, с помощью которого груз мас­сой 90 кг поднят на высоту 4 м? Известно, что работа, со­вершенная при этом, равна 4000 Дж.

1. 90%

2. 95%

3. 92%

4. 96%

А8. Выберите, какие приспособления не относятся к простым механизмам.

А. Ворот

Б. Наклонная плоскость

1. А

2. Б

3. А и Б

4. Ни А, ни Б

A9. Каковы плечи сил F₁ и F₂?

1. АС и ОБ

2. ОС и ОБ

3. ОС и СВ

4. ОА и ОБ

A10. Какой выигрыш в силе дает эта сис­тема блоков? Какие в ней блоки — подвижные?

1. В 2 раза; № 1 и № 3

2. В 8 раз; № 1 и № 2

3. В 4 раза; № 3 и № 4

4. В 4 раза; № 1 и № 3

A11. Потенциальная энергия тела зависит от

1. его объема

2. массы

3. высоты подъема

4. нет верного ответа

Часть B (оформите решение в тетрадь)

В1. Установите соответствие между физическими величи­нами и формулами, по которым эти величины определяются.

К каждой позиции первого столбца подберите соот­ветствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

1. Механическая работа

2. Момент силы

3. Кинетическая энергия

ФОРМУЛЫ

1. mgh

2. Fs

3. mg

4. F l

В2. Шар массой 100 г катится по полу со скоростью 0,2 м/с. Ка­кова его кинетическая энергия?

Часть С (оформите решение в тетрадь)

C1. Вычислите КПД рычага, с помощью которого груз мас­сой 145 кг равномерно подняли на высоту 6 см. При этом к длинному плечу рычага была приложена сила 500 Н, а точка приложения этой силы опустилась на 0,3 м.

Формула работы

Работа – это результат действия силы на объект, который перемещает его на некоторое расстояние. Иногда направление движения объекта не совпадает с направлением силы. В этом случае только составляющая силы, действующая в направлении движения, вызывает совершение работы. По этой причине формула работы включает косинус угла между силой и расстоянием. Если сила и движение направлены в одном направлении, то угол равен 0 радиан (или 0°).Косинус нуля равен: cos0 = 1. Единицами работы являются Джоули (Дж), где 1 Дж = 1 Н∙м = 1 кг∙м ² /с ² .

работа = сила x расстояние × косинус (угол между направлением силы и движения)

Вт = Fd cosθ

Вт = работа (единицы Дж)

к = сила (единицы Н)

d = расстояние ( м )

θ = угол между направлением силы и направлением движения

Вопросы по рабочей формуле:

1) Трактор протащил телегу с сеном на расстояние 1000 м . Сила, действовавшая на вагон, чтобы переместить его на это расстояние, составила 12 000 Н. Сила действовала в том же направлении, что и движение. Найдите, какую работу совершил трактор, чтобы тянуть тележку.

Ответ: Сила и движение направлены в одну сторону, поэтому угол между ними равен 0°. Работу можно найти по формуле:

Вт = Fd cosθ

Вт = Fd cos0

Вт = Fd (1)

Вт = (12 000 Н)(1000 м )

Вт = 12 000 000 Н∙ м

Вт = 12 000 000 Дж

Работа, совершенная трактором для перемещения вагона на заданное расстояние, составила 12 000 000 Дж, что также может быть выражено в мегаджоулях: 12.0 М Дж.

2) Мужчина толкает газонокосилку по своему двору. Сила, которую он прикладывает к рукоятке газонокосилки, направлена ​​вниз под углом 60,0° к горизонтальной плоскости. Эта сила имеет величину 900 Н. Если он толкает газонокосилку на расстояние 30,0 м , какая работа была совершена для перемещения косилки?

Ответ: Сила направлена ​​под углом 60,0° по отношению к движению. Работу можно найти по формуле:

Вт = Fd cosθ

Вт = Fd cos60°

Вт = Fd(0.5)

Вт = (900 Н)(30,0 м )(0,5)

Вт = 13 500 Н∙м

Вт = 13 500 Дж

Работа, выполненная при перемещении газонокосилки на заданное расстояние, составила 13 500 Дж.

7.4: Теорема о работе и энергии — Физика LibreTexts

Цели обучения

• Применение теоремы о работе-энергии для получения информации о движении частицы с учетом действующих на нее сил
• Используйте теорему о работе-энергии, чтобы найти информацию о силах, действующих на частицу, учитывая информацию о ее движении

Мы обсудили, как найти работу, совершаемую над частицей силами, действующими на нее, но как эта работа проявляется в движении частицы? Согласно второму закону движения Ньютона, сумма всех сил, действующих на частицу, или результирующая сила, определяет скорость изменения импульса частицы или ее движение. Следовательно, мы должны рассмотреть работу, совершаемую всеми силами, действующими на частицу, или работу сети , чтобы увидеть, какое влияние она оказывает на движение частицы.

Давайте начнем с рассмотрения чистой работы, совершаемой частицей при ее движении с бесконечно малым смещением, которое является скалярным произведением чистой силы и смещения:

\[dW_{net} = \vec{F}_{net} \cdotp d \vec{r}. \номер\]

Второй закон Ньютона говорит нам, что

\[\vec{F}_{net} = m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \nonnumber\]

так

\[dW_{net} = m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \cdotp d \vec{r}.\номер\]

Для математических функций, описывающих движение физической частицы, мы можем переставить в этом выражении дифференциалы dt и т. д. как алгебраические величины, т. е.

\[\begin{align*} dW_{net} &= m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \cdotp d \vec{r} \\[4pt] &= м\, д \vec{v}\; \cdotp \left(\dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) \\[4pt] &= m \vec{v}\; \cdotp d \vec{v}, \end{align*}\]

, где мы заменили производную смещения по времени на скорость и использовали коммутативное свойство скалярного произведения. {B} = K_{B} — K_{A} \ldotp \end{align} \label{7.8}\]

На среднем этапе мы использовали тот факт, что квадрат скорости есть сумма квадратов его декартовых составляющих, а на последнем этапе мы использовали определение кинетической энергии частицы. Этот важный результат называется теоремой работы-энергии.

Теорема о работе-энергии

Чистая работа, совершаемая частицей, равна изменению кинетической энергии частицы:

\[W_{net} = K_{B} — K_{A} \ldotp \label{7.9}\]

Рисунок \(\PageIndex{1}\): На ярмарках штатов обычно проводятся драки лошадей. Работа, выполняемая лошадьми, тянущими груз, приводит к изменению кинетической энергии груза, что в конечном итоге приводит к его ускорению. (Источник: «Jassen»/Flickr)

Согласно этой теореме, когда объект замедляется, его конечная кинетическая энергия меньше, чем его начальная кинетическая энергия, изменение его кинетической энергии отрицательно, поэтому чистая работа, выполненная на Это. Если объект ускоряется, чистая работа, совершенная над ним, положительна. {2}) \ldotp\]

Используя прямоугольный треугольник, мы видим, что

\[(y_f − y_i) = (s_f − s-i)\sin \theta, \nonnumber\]

, поэтому результат для конечной скорости такой же.

Что достигается с помощью теоремы о работе и энергии? Ответ заключается в том, что для плоской поверхности без трения это не так уж и много. Однако второй закон Ньютона легко решить только для этого частного случая, тогда как теорема о работе-энергии дает конечную скорость для любой поверхности без трения. Для произвольной искривленной поверхности нормальная сила непостоянна, и второй закон Ньютона может быть трудно или невозможно решить аналитически. Постоянная или нет, но при движении по поверхности нормальная сила никогда не совершает никакой работы, потому что она перпендикулярна смещению.Вычисление с использованием теоремы о работе и энергии позволяет избежать этой трудности и применимо к более общим ситуациям.

Стратегия решения проблем: теорема о работе и энергии

1. Нарисуйте диаграмму свободного тела для каждой силы, действующей на объект.
2. Определите, действует ли каждая сила над перемещением на диаграмме. Обязательно сохраняйте любые положительные или отрицательные признаки в проделанной работе.
3. Сложите общую работу, выполненную каждой силой.
4. Примите эту общую работу равной изменению кинетической энергии и найдите любой неизвестный параметр.
5. Проверьте свои ответы. Если объект движется с постоянной скоростью или нулевым ускорением, полная проделанная работа должна быть равна нулю и соответствовать изменению кинетической энергии. Если общая работа положительна, объект должен ускориться или увеличить кинетическую энергию. Если общая работа отрицательна, объект должен замедлиться или уменьшить кинетическую энергию
.

Пример \(\PageIndex{1}\): циклический цикл

Путь без трения для игрушечной машинки включает петлю-петлю радиуса \(R\).На какой высоте, измеренной от низа петли, должен находиться автомобиль, чтобы начать движение из состояния покоя на приближающемся участке пути и пройти весь путь по петле?

Рисунок \(\PageIndex{2}\): На гусенице игрушечной машинки без трения есть петля за петлей. С какой высоты должен стартовать автомобиль, чтобы он мог объехать петлю и не упасть?

Стратегия

Диаграмма свободного тела в конечной позиции объекта показана на рисунке \(\PageIndex{2}\). Гравитационная работа — это единственная работа, совершаемая над смещением, которое не равно нулю.{2}}{R} = \frac{-mgR + 2mg(y_{1} — 2R)}{R} > 0\; или\; y_{1} > \frac{5R}{2} \ldotp \nonumber\]

Значение

На поверхности петли нормальная составляющая силы тяжести и нормальная контактная сила должны обеспечивать центростремительное ускорение автомобиля при движении по петле. Тангенциальная составляющая силы тяжести замедляет или ускоряет автомобиль. Ребенок выяснил бы, с какой высоты заводить машину, путем проб и ошибок, но теперь, когда вы знаете теорему о работе и энергии, вы можете предсказать минимальную высоту (а также другие более полезные результаты) на основе физических принципов.Используя теорему о работе и энергии, вам не нужно было решать дифференциальное уравнение для определения высоты.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

Предположим, что радиус петли в примере \(\PageIndex{1}\) равен 15 см, а игрушечная машинка стартует из состояния покоя на высоте 45 см над днищем. Какова его скорость в верхней точке петли?

В ситуациях, когда известно движение объекта, но неизвестны значения одной или нескольких сил, действующих на него, вы можете использовать теорему о работе-энергии, чтобы получить некоторую информацию о силах.Работа зависит от силы и расстояния, на котором она действует, поэтому информация предоставляется через их произведение.

Пример \(\PageIndex{2}\): определение тормозной силы

Пуля имеет массу 40 гран (2,60 г) и начальную скорость 1100 футов/с (335 м/с). Он может пробить восемь 1-дюймовых сосновых досок, каждая толщиной 0,75 дюйма. Какова средняя тормозная сила дерева, как показано на рисунке \(\PageIndex{3}\)?

Рисунок \(\PageIndex{3}\): Доски прикладывают силу, чтобы остановить пулю.В результате доски работают, а пуля теряет кинетическую энергию

Стратегия

Мы можем предположить, что при указанных общих условиях пуля теряет всю свою кинетическую энергию, пробивая доски, поэтому теорема о работе говорит, что ее начальная кинетическая энергия равна средней тормозной силе, умноженной на пройденное расстояние. Изменение кинетической энергии пули и чистая работа, совершаемая для ее остановки, отрицательны, поэтому, когда вы записываете теорему о работе-энергии с чистой работой, равной средней силе, умноженной на тормозной путь, вот что вы получаете.{2}}{0,152\; м} = 960\; N \ldotp \номер\]

Значение

В этом примере мы могли бы использовать второй закон Ньютона и кинематику, но теорема о работе и энергии дает ответ и в менее простых ситуациях. Проникновение пули, выпущенной вертикально вверх в деревянный брусок, обсуждается в одном из разделов недавней статьи Асифа Шакура [«Научная видеоголоволомка Bullet-Block». Учитель физики (январь 2015 г.) 53(1): 15-16]. Если пуля выпущена точно по центру блока, она теряет всю свою кинетическую энергию и проникает немного дальше, чем если бы она была выпущена не по центру.Причина в том, что если пуля попадает не в центр, у нее остается небольшая кинетическая энергия после того, как она прекращает проникать, потому что блок вращается. Теорема о работе-энергии подразумевает, что меньшее изменение кинетической энергии приводит к меньшему проникновению. Вы поймете больше о физике в этой интересной статье после того, как закончите читать Angular Momentum.

Узнайте больше о работе и энергии в этой симуляции PhET (https://phet.colorado.edu/en/simulation/the-ramp), которая называется «рампа». Попробуйте изменить силу, толкающую коробку, и силу трения по склону.Графики работы и энергии можно изучить, чтобы отметить общую проделанную работу и изменение кинетической энергии ящика.

Работа, энергия и мощность

На этой странице представлены фоны некоторых клипов, показанных в мультимедийном руководстве. Все мы знаем о физическом труде, поэтому мы начали обучающую программу с этого примера, который также дает представление о величине задействованных величин.Начнем с вычислений, лежащих в основе показанных нами гистограмм. Это мешки по 20 кг, поэтому вес каждого из них составляет около 200 ньютонов вниз , что показано серой стрелкой. Обычно в этом контексте мы не говорим «вниз», потому что вес всегда находится в направлении, близком к вниз . Я сделал это здесь, чтобы напомнить вам, что вес — это вектор. Так напишем, за один мешок, . Проверьте, что обозначение: вес, W , является вектором, тогда как работа, W, является скаляром. (Иногда нам также понадобится W для величины W , но из контекста вы поймете, что есть что.) Движение мешков медленное, их ускорения малы по сравнению с g, поэтому сила, необходимая для ускорения они малы по сравнению с их весом. Поэтому, когда я их поднимаю, я прикладываю силу F ≅ −  Вт = (200 Н) Дж , что является черной стрелкой.Если вы помните скалярное произведение, то знаете, что ij = 0, но jj = 1. Итак, если я приложу эту постоянную силу к смещению Δ с  = Δx  + Δy j , работа (Вт), которую я выполняю, равна W  =   F . Δ с   =  (мг j ) . (Δx i  + Δy j )  =  мг Δy (что, как мы показываем в мультимедийном учебнике, представляет собой увеличение потенциальной энергии массы m в гравитационном поле величиной g при подъеме на высоту Δy).Итак, для первого мешка сила 200 Н, я поднимаю его примерно на 0,7 м (красная стрелка), поэтому я совершаю работу 140 Дж. Джоуль (обозначение J) — единица работы в системе СИ: один ньютон умножить на один метр. Джоуль не очень велик по человеческим меркам: поднимите маленькое яблоко (весом около 1 Н) на высоту 1 м, и вы проделали работу в 1 джоуль над персиком – но гораздо больше, двигая рукой! Точно так же, хотя я делаю только 140 Дж на мешке, я больше работаю над движением рук и туловища. Человек в хорошей физической форме может выполнить мегаджоуль работы за час. Ворс теперь короче, поэтому я должен поднять второй мешок на большее увеличение высоты: это напоминает мне, что работа пропорциональна смещению! Работа также пропорциональна силе, поэтому для поднятия двух мешков требуется удвоенная сила, и я выполняю в два раза больше работы, чем с первым мешком. Хм, я плохо спланировал это и должен поднять два последних мешка дальше: 400 N раз 1.5 м — 600 Дж. Посмотрите на большой рабочий объем тележки и насколько она проста. Тележка поддерживает шесть мешков, поэтому сила, которую она прикладывает вверх, имеет величину 1,2 кН (черная стрелка) и перемещается на несколько метров (красная стрелка). Но сила находится в направлении j (или y), а смещение — в направлении i (или x): они находятся под прямым углом. Запомнить и.j   =  0.   Или    F . Δcos θ  =  0. Таким образом, работа не совершается. Подъем 20-килограммовых мешков (вес = 200 Н) не так уж и сложен. Подъем собственной массы в 70 кг (вес W = 700 Н) требует большей силы. Но не в том случае, если мы используем шкивы (которые более подробно обсуждаются в физике блоков и шкивов). Здесь одна веревка идет от опоры, вниз к моей подвеске, вокруг блока, обратно к опоре, вокруг еще одного блока и обратно к моим рукам.Блоки вращаются легко, поэтому натяжение Т на каждом участке каната одинаково. Три секции тянут меня вверх. Согласно второму закону Ньютона, общая сила, действующая на меня, равна моей массе, умноженной на мое ускорение. По сравнению с g, мое ускорение здесь ничтожно мало. Так 3 T  +  W   =  m a   ≅  0 Итак, если пренебречь моим (скромным) ускорением, сила трех секций, тянущих меня вверх, равна моему весу: величина натяжения T = | Вт |/3 = (700 Н)/3. Итак, сила, которую мне нужно приложить руками, уменьшилась. Однако, чтобы поднять свое тело, скажем, на высоту 2 м, я все равно должен выполнить (700 Н)(2 м) = 1,4 кДж работы. Как это возможно? Ну, каждый из трех отрезков веревки укорачивается на 2 м. Итак, мои руки тянут веревку на 6 м. Я выполняю работу (6 м)(700 Н)/3 = 1,4 кДж работы (плюс немного больше, чтобы преодолеть трение в шкивах). Подобно рычагам, блоки и шкивы не избавляют вас от работы, но могут уменьшить (или увеличить) усилие, что может сделать задачу более удобной и комфортной.   Кинетическая энергия и теорема о работе Мультимедийный учебник представляет эту теорему, но, возможно, вы хотели бы увидеть ее здесь еще раз. Приложим постоянную силу F к массе m, когда она перемещается в одном измерении на расстояние x. (Например, это может быть магнитная сила, которую мы использовали в нашем разделе о законах Ньютона.) Сила постоянна по x, x линейно возрастает по x, поэтому выполненная работа ∫ F.dx линейно возрастает по x. Как только мы свяжем это со временем и скоростью, нам нужно будет выполнить интегрирование. (Помните, что есть помощь в вычислениях.) Итак, давайте рассмотрим случай — все еще одномерный — в котором сила приложена на коротком расстоянии dx, и что масса m увеличивается со скоростью от v до v+dv. Суммарная работа над массой равна где F — общая сила, действующая на массу.Замена второго закона Ньютона F = ma = m(dv/dt) дает: dW  =  m(dv/dt)dx  =  m*dx*dv/dt где мы явно написали умножение и деление. dx, dv и dt — малые величины, но нет причин, по которым мы не можем изменить порядок умножения. Итак, напишем: dW  =  m*dv*dx/dt  =  m*v*dv Преимущество этой перестановки в том, что теперь мы можем легко вычислить интеграл: W  =  ∫ dW  =  ∫ mv.дв Предположим, что мы начинаем с v = 0, тогда общая работа, проделанная для ускорения массы m из состояния покоя до скорости v, равна: W  =  ∫ mv.dv  =  ½mv 2 Эта величина настолько полезна, что мы даем ей название кинетическая энергия и пишем Так ты не любишь считать? Воспользуемся уравнениями из одномерной кинематики (для чего есть мультимедийный учебник). Предположим, что тело находится в состоянии покоя, и мы прикладываем постоянную (суммарную) силу F в течение определенного времени T в одном примере и в течение удвоенного времени (2T) в более позднем примере (черные графики справа). Конечная скорость будет равна v = aT = (F/m)T в первом примере и удвоенному значению во втором примере (красные графики справа). Расстояние, пройденное под действием силы , то есть расстояние, пройденное при ускорении, теперь в четыре раза больше, как показано на фиолетовых графиках справа. Таким образом, постоянная сила была приложена на расстоянии, в четыре раза превышающем расстояние, и совершила в четыре раза большую работу. Таким образом, несмотря на то, что скорость увеличилась только вдвое, мы проделали в четыре раза больше работы (синяя диаграмма справа). Это важное следствие: при удвоенной скорости масса имеет в четыре раза кинетическую энергию. Как мы увидим далее, это имеет важные последствия для безопасности дорожного движения. Тормозной путь и теорема о работе энергии Если я еду на велосипеде в два раза быстрее, сколько времени потребуется, чтобы остановиться? (Я учитываю только расстояние после того, как я нажимаю на тормоза, а не время, которое требуется мне, чтобы среагировать на опасность и нажать на тормоза. При удвоенной скорости моя кинетическая энергия K = ½mv 2 в четыре раза больше. Таким образом, чтобы выполнить в четыре раза большую (отрицательную) работу, тормозная сила (предполагаемая постоянной) должна быть приложена на расстоянии, в четыре раза превышающем расстояние. Пожалуйста, помните об этом в дороге. . Предположим, я медленно поднимаю массу в гравитационном поле. В этом ролике из мультимедийного урока веревка с моей небольшой помощью медленно поднимает контейнер с водой.Сила натяжения F совершает над контейнером работу W, но не увеличивает его кинетическую энергию. Причина, конечно, в том, что груз m g контейнера тянет в другую сторону: он совершает над контейнером отрицательную работу. Однако работа W не потеряна: мы можем ее восстановить: мы можем медленно опустить контейнер и, таким образом, поднять кирпич на другом конце веревки. Итак, куда идет работа, проделанная F , когда мы поднимаем контейнер? В некотором смысле она сохраняется в гравитационном взаимодействии между контейнером и землей.Эта «сохраненная работа» потенциально может выполнять работу за нас. Это пример потенциальной энергии – в данном случае гравитационной потенциальной энергии. Итак, сколько потенциальной энергии мы запасаем в этом случае? Мы используем силу F для перемещения объекта массой m со смещением ds в гравитационном поле, поэтому мы выполняем работу (где вы можете пересмотреть векторы). Предположим, что мы перемещаем его таким образом, что не меняем его скорость (и, следовательно, не меняем его кинетическую энергию).Тогда общая сила, действующая на него, равна нулю, поэтому F + m g = 0, значит Однако g находится в отрицательном вертикальном направлении, скажем, минус y, поэтому Для смещений планетарного масштаба нам пришлось бы учитывать изменение гравитационного поля с высотой, что мы и делаем в разделе о гравитации. Для более скромных перемещений g равномерна, и интегрирование дает нам ∫ dU грав   =  ∫ dW  =  ∫ мг dy  =  мгΔy  =  мгΔh , где h обычно используется для вертикальной координаты.U определяется интегралом, а интегралы требуют константы интегрирования. Для потенциальной энергии эта константа является точкой отсчета для нуля потенциальной энергии. Если мы определим U grav равным нулю при h = 0 , то мы можем написать Как мы увидим, не все силы позволяют определить потенциальную энергию. Однако другим примером является Потенциальная энергия пружины. Если мы медленно сжимаем или растягиваем пружину из положения покоя, мы снова совершаем работу, не создавая кинетической энергии.Но опять же «хранится» — можно вернуть. По закону Гука сила, действующая на пружину, равна F пружины = − kx, где x – это смещение от ее нерастянутой длины, а k – постоянная пружины для этой конкретной пружины. Поскольку мы ничего не ускоряем, мы должны приложить силу F = − F пружины , поэтому ∫ dU пружина   = ∫ dW  =  ∫ F dx  =  -∫ F пружина dx  =  ∫ kx dx =  Δ(½kx 2 ) Опять же, у нас есть постоянная интегрирования и ноль потенциальной энергии для определения.Обычно мы устанавливаем U = 0 при x = 0, поэтому Обратите внимание, что при этом эталонном значении пружина U всегда положительна: в ненапряженном состоянии как растяжение (x > 0), так и сжатие (x < 0) требуют работы, поэтому потенциальная энергия положительна в каждом случае. . В видеоклипе я работаю над накоплением потенциальной энергии в пружине, затем пружина работает над массой, придавая ей кинетическую энергию. Биохимическая энергия в моей руке весной преобразовалась в потенциальную энергию, а затем в кинетическую энергию. Консервативные и неконсервативные силы Давайте посмотрим на работу, которую я совершаю при перемещении массы в гравитационном поле. Предположим, что я делаю это с настолько малыми ускорениями, что масса всегда находится в механическом равновесии, т. е. что сила, действующая на мою руку, плюс вес массы складываются в ноль, так что работа, которую я совершаю против силы тяжести, ∫  F рука . ds , что показано в виде гистограммы коричневого цвета. Когда я поднимаю груз, F рука вверх (положительна) и s также положительна, поэтому работа, проделанная мной, положительна: Когда я опускаю массу, F рука все еще вверху (положительно), но теперь s отрицательно, поэтому работа, проделанная мной, отрицательна: Следовательно, для полного цикла, возвращающего массу в исходную точку, ∫  F hand . дс =0. Точно так же работа силы тяжести за цикл равна нулю (потому что F грав = − F рука ). Это делает гравитацию консервативной силой: Определение : Консервативная сила — это сила, совершающая нулевую работу вокруг замкнутого контура в пространстве. Отсюда следует, что для консервативной силы F мы можем определить потенциальную энергию как функцию положения r : Если работа, проделанная вокруг замкнутого цикла, не равна нулю, то мы не можем определить такую ​​функцию: ее значение должно было бы меняться со временем, если бы мы обходили такой цикл.Силы с этим свойством называются, очевидно, неконсервативными силами. Итак, какую силу создает идеальная пружина? Опять же, давайте представим, что я делаю это так медленно, что пружина находится в механическом равновесии: F рука = − F пружина . Я двигаю рукой вправо, растягивая пружину. F hand положительный и ds положительный. Я совершаю положительную работу (показано на гистограмме), а пружина совершает отрицательную работу. Затем я перемещаю руку влево, но продолжаю тянуть, чтобы сохранить растяжку пружиной. Когда весна укорачивается, F рука все еще положительна, но теперь ds отрицательна. Я выполняю отрицательную работу (показано на гистограмме), а пружина выполняет положительную работу. Для пружины ∫  F . др по замкнутому пути равен нулю. Сила идеальной пружины является консервативной силой . Какой силой является трение?   Опять же, давайте представим, что я делаю это так медленно, что масса находится в механическом равновесии: F рука = − F трение .Двигаясь вправо, я прикладываю силу вправо, и объект движется вправо: F рука и ds оба положительны: я совершаю положительную работу (показано на гистограмме) и трение выполняет отрицательную работу. Двигаясь влево, я прикладываю силу влево, и объект движется влево: F рука и ds оба положительны: я совершаю положительную работу (показано на гистограмме) и трение выполняет отрицательную работу.Таким образом, в замкнутом контуре работа, совершаемая против трения, больше нуля, поэтому трение является неконсервативной силой . Сохранение механической энергии Выше мы видели в теореме об энергии работы, что полная работа ΔW, совершенная над объектом, равна увеличению ΔK его кинетической энергии. Но рассмотрим случай, когда все силы, совершающие работу ΔW — консервативные силы: здесь работа, совершаемая этими силами, равна умноженной на минус работе, совершаемой против них, другими словами, это —ΔU.Итак, если действуют только консервативные силы, то ΔU + ΔK = 0, Определить механическую энергию :    E ≡ U + K. Так , если действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. Ниже мы усилим это, но прежде давайте рассмотрим пример, в котором механическая энергия (почти) сохраняется. Кинетическая и потенциальная энергия маятника В этом видеоролике показан пример обмена кинетической и потенциальной энергии в маятнике.Предупреждение, однако: ради сохранения небольшого времени загрузки, эти видеоклипы представляют собой повторяющийся одиночный цикл. В оригинальном фильме маятник постепенно теряет энергию: в каждом цикле теряется небольшая часть энергии, частично на отталкивание воздуха. Кинетическая энергия K показана красным цветом: как функция x на графике и как гистограмма, меняющаяся во времени. Обратите внимание, что K стремится к нулю в крайних точках движения. Потенциальная энергия U показана фиолетовым цветом.Он имеет максимумы в крайних точках движения, когда масса максимальна. Поскольку ноль потенциальной энергии произволен, то же самое и с нулем полной механической энергии E = U + K. Здесь E (показано белым цветом) является постоянным. В разделе «Волны и звук» Physclips есть глава о механике колебаний и раздел о механической энергии в простом гармоническом движении. Сохранение механической энергии: заявление Мы видели, что если единственные присутствующие силы консервативны, то механическая энергия сохраняется.Однако мы можем пойти дальше. При условии, что неконсервативные силы не совершают работы, увеличение кинетической энергии тела ΔK по-прежнему является работой консервативных сил, которая равна −ΔU. Таким образом, мы можем сделать вывод, что Если неконсервативные силы не совершают работы, то механическая энергия (E ≡ U + K) сохраняется. Это утверждение можно записать несколькими способами, вот два из них: Если неконсервативные силы не совершают работы,      ΔU + ΔK  =  0       или        U  i + K i   =  U f  + K f , где i и f означают начальную и конечную.Я настоятельно рекомендую вам всегда писать оговорку, потому что, как правило, механическая энергия не сохраняется. (И никогда, никогда не пишите «кинетическая энергия равна потенциальной энергии». Это неправда, и вам не следует лгать.) На катящемся колесе трение не действует. Здесь я еду медленно, так что давайте пренебрежем сопротивлением воздуха и сопротивлением качению. Существует значительная сила трения: это трение между шинами и дорожным покрытием ускоряет меня по кругу.В этом случае сила трения направлена ​​под прямым углом к ​​смещению, поэтому трение не работает. Итак, пока я не крутю педали, (приблизительно) не выполняется никакой работы, и моя механическая энергия (приблизительно) постоянна. Работа и мощность Мощность определяется как скорость выполнения работы или скорость преобразования или передачи энергии: P = dW/dt. В этом примере моя кинетическая энергия приблизительно постоянна. Однако моя потенциальная энергия увеличивается.Поскольку я поднимаюсь, я иду не очень быстро, поэтому скорость, с которой я работаю против неконсервативных сил, таких как сопротивление воздуха, невелика. Приведенные ниже уравнения позволяют нам рассчитать скорость, с которой я совершаю работу против силы тяжести (что является заниженной оценкой скорости, с которой я совершаю работу). Моя высота увеличивается на 1 м.с −1 , а мой вес равен 700 Н, поэтому P = dW/dt ≅ dU/dt = mg(dh/dt) = 700 Вт.   Проблема скольжения Вот проблема из учебника: выполнение работы против неконсервативной силы.Здесь я применяю силу F через натяжение струны. Работа dW, которую я совершаю, равна дВт =   F . ds   =  F ds cos θ Теперь v = ds/dt, поэтому прилагаемая мощность, т. е. скорость, с которой я совершаю работу, равна: P  =  dW/dt  =  F v cos θ Я оставлю читателю возможность нарисовать свободную диаграмму тела. Затем используйте второй закон Ньютона, затем свяжите P с m, g, v и μ k . Проблема с петлей Это классическая проблема.Маленькая игрушечная машинка движется на колесах, которые, как предполагается, вращаются свободно, а их масса пренебрежимо мала, поэтому мы можем рассматривать ее как частицу. С какой высоты я должен отпустить его, чтобы он замкнул петлю, оставаясь в контакте с дорожкой на всем протяжении? Если автомобиль сохраняет контакт с рельсом, то в верхней части петли, которая является круговой, центростремительное ускорение будет направлено вниз и его величина будет v 2 /r. Силами, обеспечивающими это ускорение, являются его вес mg (действующий вниз) и нормальная сила N со стороны пути, также действующая в этой точке вниз. Итак, если N > 0, то требуется v 2 /r > g, или, для критического состояния, при котором он просто теряет контакт, требуется v крит 2 /r =  g  или   v крит 2   =  rg Мы можем решить эту задачу, используя закон сохранения механической энергии. U начальный  + K начальный  =  U окончательный  + K окончательный Выбрав низ трека в качестве нуля для U, мы могли бы написать, мг/ч исходный  + 0  =  мг.(2r) + ½mv окончательная и, если v final  = v crit   =  √(rg) мг/ч начальный   =  2 мг + ½ мг Так что критический высота 5r/2 над низом гусеницы. Проблема плотины гидроэлектростанции Уровень воды в плотине ГЭС на 100 м выше высоты выхода воды из труб. Предполагая, что турбины и генераторы имеют КПД 100 %, и пренебрегая вязкостью и турбулентностью, рассчитайте расход воды, необходимый для производства 10 МВт электроэнергии.Выходные трубы имеют сечение 5 м 2 . Эта задача основана на теореме о работе и энергии, использует мощность и требует некоторого размышления. Давай сделаем это. Давайте рассмотрим, что происходит в установившемся режиме для этой системы. За время dt из нижней трубы выходит некоторое количество воды массой dm со скоростью v. Эта вода доставляется к вершине плотины с пренебрежимо малой скоростью. Таким образом, чистый эффект состоит в том, чтобы взять дм неподвижной воды на высоте h и доставить ее к основанию плотины на нулевой высоте и скорости v.Выглядит просто. Поехали. Пусть расход dm/dt. Работа, совершаемая водой, dW, равна уменьшению увеличения энергии воды, поэтому dW  =  – dE  =  – dK – dU       =  – (½dm.v 2  – 0) – (0 – dm.gh)  =  dm(gh – ½v 2 ) Отдаваемая мощность равна P = dW/dt. так P  =  (gh − ½v 2 )dm/dt Конечно, расход dm/dt зависит от v.Давайте посмотрим, как: За время dt вода проходит расстояние vdt по трубе. Поперечное сечение трубы равно A, поэтому объем воды, прошедший через данную точку, равен dV = A(vdt). Используя определение плотности, ρ = dm/dV, имеем dm/dt =  ρdV/dt  =  ρA.(vdt)/dt   =  ρAv. Подстановка в приведенное выше уравнение дает нам P  =   ρAv(gh − ½v 2 )   или ½v 3  − ghv + P/ρA  =  0. Как ни посмотри, это кубическое уравнение, которое звучит как запутанное решение.Однако давайте подумаем, что термины означают. Первый пришел из термина кинетической энергии. Во-вторых, это работа силы тяжести. В-третьих, работа, проделанная над турбинами. Теперь, если бы я спроектировал эту плотину, я бы хотел преобразовать как можно больше гравитационной потенциальной энергии в работу, совершаемую турбинами, поэтому я сделал бы трубы достаточно широкими, чтобы кинетическая энергия, теряемая оттоком воды, быть незначительным. Посмотрим, верна ли моя догадка. Если первый член пренебрежимо мал, то мы имеем просто hgv = P/ρA. Итак, v = P/ρghA = 2 мс −1 . Таким образом, первый член будет равен 4 м 3 .s −3 , второй будет равен − 2000 м 3 .s −3 , а третий будет равен 2000 м 3 .s −3 . . Так что да, предположение было правильным, и с точностью, требуемой для этой задачи, ответ равен v = 2 мс −1 . Уравнение Бернулли Уравнение Бернулли является примером теоремы о работе и энергии.В анимации жидкость течет с постоянной скоростью в трубу с поперечным сечением A 1 и высотой h 1 , где она имеет скорость v 1 и давление P 1 . Жидкость выходит из трубы с поперечным сечением A 2 и высотой h 2 , где она имеет скорость v 2 и давление P 2 . Жидкость имеет постоянную плотность ρ, и мы предполагаем, что ее вязкостью можно пренебречь, а турбулентность отсутствует, так что неконсервативные силы не действуют. Какая связь между скоростью, высотой и давлением? Какая связь между скоростью, высотой и давлением? Прежде чем сделать это количественно, мы можем спросить, как связаны давление и скорость. На той же высоте, и если у нас нет ни турбулентности, ни вязкости, то единственное, что ускоряет жидкость, это разница давлений. Жидкость будет ускоряться от высокого давления к низкому, поэтому, где P высокое, v должно быть низким и наоборот .Посмотрим: За короткое время dt в левую трубу входит масса dm, и, поскольку поток стационарный, такая же масса dm вытекает справа. Поскольку поток установившийся, полная энергия воды в трубе не изменяется. Таким образом, общая работа, проделанная над dm, по теореме о работе-энергии равна dW всего   =  ½ дм.в 2 2  − ½ дм.в 1 2 . Работа выполняется двумя силами: гравитацией, которая работает — dU grav , и давлением.dU grav равно dm.gΔh, поэтому Итак, какую работу совершает разность давлений, действующих на трубу? По определению, давление — это сила, приходящаяся на единицу площади, поэтому сила, действующая со стороны P на площадь поперечного сечения A, равна PA. Если эта сила приложена на расстоянии ds под прямым углом к ​​A, она действительно работает PAds. Но перемещенный объем равен dV = Ads, поэтому работа, выполненная давлением, равна PdV. Работа, выполненная P 1 , положительна, а работа, выполненная P 2 , отрицательна, поэтому P 1 dV − P 2 dV  =  ½ дм.v 2 2  + дм.гх 2  — ½ дм.в 1 2   — дм.гх 2  . Теперь воспользуемся определением плотности: ρ = dm/dV. Итак, если мы разделим обе части уравнения на dV и переставим члены, P 1 + ½ρv 1 2 + ρgh 1 = P 2 + ½ρv 2 2 + ρgh 2 . Конечно, мы могли бы применить этот анализ к любым двум точкам в трубе, поэтому, при условии, что поток является установившимся, несжимаемым, невязким и нетурбулентным, мы имеем уравнение Бернулли P + ½ρv 2  + ρgh  =  константа . Помня, что ρ = dm/dV, мы можем увидеть значение каждого из этих членов: P — работа, совершаемая давлением в единице объема, ½ρv 2 — кинетическая энергия в единице объема, а ρgh — гравитационная потенциальная энергия на единицу объема. Уравнение Бернулли — это всего лишь теорема о работе энергии, записанная на единицу объема е. При отсутствии потока это просто дает изменение давления с глубиной : . ΔP =  − ρgΔh  ,    если потока нет. Если высота постоянна, то ΔP  =  − Δ(½ρv 2 ) ,   , если нет изменения высоты. Это последнее наблюдение говорит нам, что (на одинаковой высоте) давление будет высоким, когда скорость будет низкой, и , наоборот, . Это имеет смысл: если скорость увеличилась при постоянном h, то должно было действовать давление, чтобы ускорить жидкость. Жидкость, конечно, течет от высокого давления к низкому, поэтому она должна быть медленнее при высоком давлении и быстрее при низком давлении.(Напомним, что мы пренебрегаем вязкостью и турбулентностью: неконсервативные силы не действуют.) Это хорошая демонстрация: шланг подает высокоскоростную струю воздуха. Что держит мяч в воздухе? Сопротивление струи воздуха, когда она проходит мимо мяча, заставляет его вращаться, поэтому по направлению вращения мы можем сделать вывод, что большая часть струи проходит над мячом. Мяч имеет вес, и на него действуют только силы, обусловленные давлением окружающего его воздуха. Таким образом, мы можем заключить, что давление над шаром существенно меньше, чем давление под ним. Однако это не простая демонстрация эффекта, описываемого уравнением Бернулли. Безусловно верно, что быстро движущийся воздух, выходящий из шланга, имеет давление несколько меньшее, чем давление неподвижного воздуха. Поскольку струя воздуха, выходящая из шланга, в основном отклоняется над шаром, это делает давление над шаром меньше атмосферного.Однако в этом случае сама струя отклоняется присутствием шарика, так что есть вклад и от изменения импульса струи. (Кроме того, сопротивление, вызывающее вращение, говорит нам о наличии неконсервативной силы, и поэтому уравнение Бернулли здесь точно не применимо.) Центр массовой работы Когда мы пишем W = ∫ F . ds , для расширенного объекта, что такое F и что такое ds ? F – это полная внешняя сила, действующая на объект, которая, согласно третьему закону Ньютона, равна общей силе, действующей на объект. ds в данном случае это смещение центра масс, ds CoM . В этой простой демонстрации сила, которая ускоряет меня, — это сила, с которой стена действует на мою руку. Стена, однако, не двигается. То, что движется во время моего ускорения, является моим центром масс, поэтому кинетическая энергия, связанная с движением моего центра масс, увеличивается на ∫ F внешняя . ds CoM . Мы оставим вывод этого в разделе, посвященном центру масс. Работа, совершаемая трением Трение сложное, и расчеты работы, совершаемой трением, требуют приближения и тонкости. Предположим, мы рассматриваем блок, скользящий по поверхности с постоянной скоростью, и что мы рассматриваем блок как точечную массу. Если мы посмотрим только на брусок, на него действуют две силы: внешняя приложенная сила, которая совершает работу W, и трение о поверхность.Поскольку объект не ускоряется, эти силы равны и противоположны, поэтому общая работа, проделанная над блоком, равна нулю, а трение работает над блоком W (сила той же величины, противоположное направление при том же перемещении). В макроскопической картине над блоком не совершается никакой работы, поэтому по теореме о работе-энергии его кинетическая энергия не изменяется. Работа –W, совершаемая трением, преобразуется в тепло (а также небольшое количество звука и некоторая пластическая деформация поверхности). Здесь есть одно осложнение: в системе отсчета поверхности блок движется, поэтому –W выполняется силой трения, с которой поверхность действует на блок (который движется), а нулевую работу выполняет сила трения, которую совершает блок. блок давит на нижнюю поверхность (которая не двигается).В качестве альтернативы, в системе отсчета блока поверхность движется, поэтому -W выполняется силой трения, которую блок оказывает на поверхность (которая движется), и нулевая работа выполняется силой трения, которую поверхность оказывает на поверхность. блок (который не двигается). А в симметричной системе отсчета, движущейся по поверхности со скоростью v/2, для каждой будет вычисляться –W/2. На практике большая часть –W превращается в тепло, части которого передаются в оба, хотя обычно не симметрично.Микроскопическая картина значительно сложнее, так как при трении часто возникают кратковременные точечные слипания мельчайших точек контакта и микроскопические деформации обеих сторон с неоднородными движениями ползучести и ускорениями. Почему мышцы устают без работы Вопрос студента: Если я держу предмет, не двигая его, я не выполняю работу (по определению физики), но все равно устаю . Почему так? Короткий ответ заключается в том, что мышцам требуется биохимическая энергия для проявления силы, даже если движения нет.Поэтому мы используем биохимическую энергию, которая утомительна, даже если используемая энергия не выполняет никакой работы. Об этом есть отдельная страница.

Практика применения формул работы и кинетической энергии — видео и стенограмма урока

Важные формулы

Необходимо помнить о трех основных формулах:

Верхняя формула утверждает, что работа, выполненная над объектом приложенной силой, равна приложенной силе, умноженной на расстояние перемещения объекта, умноженное на косинус угла между приложенной силой и расстоянием перемещения.

В средней формуле мы видим, что кинетическая энергия равна половине произведения массы объекта на квадрат его скорости. Нижняя формула показывает, что чистая выполненная работа равна разности конечной и начальной кинетических энергий.

Теперь, когда вы разобрались с этим, давайте применим все на нескольких интересных примерах.

Перемещение собаки по полу

Предположим, ваша собака лежит на полу и отказывается двигаться. Всем позволено быть ленивыми, включая собак!

Поскольку вам действительно нужно, чтобы собака находилась в другом конце комнаты, вы решаете подсчитать, сколько работы потребуется, чтобы переместить ее туда различными способами.Предположим, что он всегда лежит на полу, пока вы его перемещаете.

Предположим, вы толкаете его сзади. Какую работу совершит сила в 100 ньютонов, параллельная полу, при условии, что пол не имеет трения, при перемещении собаки на 17 м?

Применяя формулу, работа равняется силе, умноженной на расстояние, умноженной на косинус тета, мы имеем 100 ньютонов, умноженных на 17 метров, умноженных на косинус 0 градусов,

, что составляет 1700 Дж.

Предположим, вы обвязали его тело веревкой, чтобы на этот раз тащить его по полу. Предположим, что угол между веревкой и горизонталью равен 25 градусов. Какую работу совершает сила, приложенная к веревке, чтобы протащить собаку на 17 м по полу без трения?

Поскольку веревка образует угол 25 градусов с полом, теперь у нас есть 100 ньютонов, умноженных на 17 метров, умноженных на косинус 25 градусов,

, что составляет 1541 Дж.

Обратите внимание, что если мы увеличим угол между приложенной силой и направлением движения объекта от 0 до 90 градусов, работа этой силы уменьшится.

Теперь предположим, что ваша собака весит 15 кг и коэффициент трения между телом собаки и полом равен 0,2. Какую работу совершает сила трения, толкая собаку на 17 м по полу?

Напомним, что сила трения вычисляется путем умножения коэффициента трения, мЮ, на нормальную силу, ФН. , что в нашей ситуации равно мю умножить на м умножить на г. Мы вычисляем, что сила трения равна 29,4 ньютона. Перемножив все вместе, или 29,4 ньютона умножить на 17 метров на косинус нуля градусов

получается 500 Дж.

А вот еще один поворот. Допустим, после того, как вы, наконец, отвели свою 15-килограммовую собаку в другой конец комнаты, она встала и начала убегать от вас после того, как вы чертовски раздражали ее, водя ее туда-сюда весь день.Нельзя винить собаку, не так ли?

В любом случае, сколько кинетической энергии у собаки при беге с постоянной скоростью 10 метров в секунду? Сколько у вас кинетической энергии, если вы весите 70 кг и бежите с постоянной скоростью 4 метра в секунду?

Используя формулу кинетической энергии,

ваша кинетическая энергия будет равна половине 70 кг умножить на квадрат 4 метра в секунду, что равно 560 Дж, а кинетическая энергия собаки равна половине 15 кг умножить на квадрат 10 метров в секунду, что составляет 750 Дж.

Удивительно, но в этой ситуации у вашей собаки было бы больше кинетической энергии, чем у вас! Это связано с тем, что кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости. Круто, да?

Жим лежа

Хорошо. Давайте перестанем приставать к вашей бедной собаке. Теперь давайте просто представим, что вы в спортзале делаете жим лежа.

При стабильном подъеме веса 30 кг на расстояние 0,9 м по вертикали, какую работу совершает направленная вверх сила, прилагаемая к штанге?

Чтобы рассчитать приложенную силу, умножаем 30 кг на 9.8 метров в секунду в квадрате, поскольку приложенная вверх сила противодействует силе тяжести. Поскольку приложенная сила действует в том же направлении, что и движение штанги, угол между ними равен нулю градусов. Подставив эти значения и прогуглив, мы получим:

Совершенная работа равна 265 Дж.

А вот еще один взгляд на эту проблему. Предупреждение: не пытайтесь повторить это дома! Если бы вы бросили штангу, когда она равна 0.9 метров над вашей грудью, сколько кинетической энергии он будет иметь при попадании в вашу грудь?

Работа в 265 Дж, затраченная на подъем штанги, давала штанге потенциальную энергию. Когда штанга падает, эта потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. Имея в виду, что кинетическая энергия штанги в верхнем положении равна нулю, мы вычисляем конечную кинетическую энергию, как показано ниже.

Как и ожидалось, работа, выполненная при подъеме штанги в верхнее положение, 265 Дж, преобразуется в 265 Дж кинетической энергии.

С какой скоростью падает штанга, если ее кинетическая энергия равна 265 Дж?

Преобразование уравнения кинетической энергии и решение для скорости,

получаем 4,2 метра в секунду.

Резюме урока

Вы многому научились на этом уроке, поэтому важно, чтобы мы еще раз коснулись важных моментов.

Выполнение работы над объектом можно рассматривать как приложение силы вдоль оси смещения объекта.Когда объект движется, он содержит энергию, возникающую в результате его движения, также известную как кинетическая энергия . Используя эти знания и формулы, изложенные в этом уроке, мы вычислили работу и кинетическую энергию, и теперь вы сможете сделать это самостоятельно!

Физика 101: Как рассчитать работу

В физике работа — это количество энергии, необходимое для выполнения данной задачи (например, для перемещения объекта из одной точки в другую). Мы начнем с определения скалярного произведения двух векторов, которое является неотъемлемой частью определения работы, а затем перейдем к определению и использованию концепции работы для решения задач.

Ключевые термины

o         Скалярное произведение

o         Дополнительный продукт

o         Работа

Объективы

o         Распознавать и использовать скалярное произведение двух векторов

o         Понимать понятие работы в контексте физики

o         Расчет работы, связанной с перемещением объектов из одного места в другое

Начнем!

Подробнее о векторах

В некоторых физических задачах или ситуациях полезна возможность вычислить составляющую одного вектора в направлении другого.Мы видели некоторые из них в нашем более раннем изучении векторов по отношению к единичным векторам: мы можем разбить такой вектор, как 3 x + 2 y , на составные части: 3 x (вектор величины 3 в направлении x ) и 2 y (вектор величины 2 в направлении y ). Но что, если мы хотим вычислить составляющую некоторого вектора в направлении другого произвольного вектора? С этой целью мы определяем скалярное произведение (также называемое скалярным произведением ) двух векторов.(Мы называем это скалярным произведением, потому что произведение является скаляром, а не вектором.) Даны два вектора A = a ₁ x + a ₂ y and b ₁ x + b ₂ y, скалярное произведение A ? B это:

Обратите внимание, что A ? В = В ? А. Мы можем вынести величины A и B ( A и B, соответственно) и записать скалярное произведение через эти величины и скалярное произведение двух соответствующих единичных векторов, a и b, , которые находятся в направлениях A и B, соответственно. (Другими словами, A = A a и B = B b. )

Теперь давайте рассмотрим эти два единичных вектора с помощью диаграммы ниже.Обратите внимание, что мы определили угол между векторами как °.

Обратите внимание, что единичный вектор a состоит из вектора компонента, направленного в направлении b , и вектора компонента, перпендикулярного направлению b. Используя тригонометрию прямоугольного треугольника, мы видим, что составляющая a в направлении b равна cos ? (величина или «длина» и равна единице). Теперь нам нужно доказать, что этот результат совпадает со скалярным произведением на и b. Мы нарисуем два произвольных единичных вектора, как показано ниже.

Обратите внимание, что мы определили два угла: угол ? между а и б, и ? между и и осью x . Давайте запишем оба a и b в терминах их составных частей в направлениях x и y (соответствующих единичным векторам x и y соответственно).

Мы вычислим скалярное произведение этих двух векторов следующим образом.

Воспользуемся свойствами тригонометрических функций (в частности, формул сложения), чтобы упростить результат.

Таким образом, мы показали, что скалярное произведение двух единичных векторов, образующих внутренний угол ? просто потому что ?. Таким образом, мы можем записать скалярное произведение двух произвольных векторов A и B как

Итак, если мы хотим найти компонент вектора A в направлении другого вектора B, , мы можем использовать скалярное произведение, но мы должны разделить на величину B (которую мы представляем как B ), потому что эта величина не имеет значения. (Таким образом, компонент вектора A в направлении B является скалярным произведением A и b, в соответствии с нашими текущими обозначениями.) Диаграмма ниже иллюстрирует этот результат.

Практическая задача : Снаряд массой 5 ​​кг имеет скорость 10 x + 15 y метров в секунду. Чему равна составляющая импульса снаряда в направлении 4 х + 3 у?

Решение : Сначала вычислим импульс p снаряда.

Чтобы найти составляющую импульса в направлении вектора 4 x + 3 y, нам нужно вычислить скалярное произведение p и единичный вектор, соответствующий 4 x + 3 y (мы назовем этот вектор B ).Этот единичный вектор b, выглядит следующим образом.

Теперь вычислите скалярное произведение p и b:

Таким образом, составляющая импульса в направлении 4 x + 3 y составляет 85 ньютон-секунд (соответствующий вектор будет равен 85 b ньютон-секунд). Это сравнивается с величиной 90 111 p, 90 112, что составляет около 90.1 ньютон секунд.

Практическая задача : Покажите, что скалярное произведение двух перпендикулярных векторов всегда равно нулю.

Решение : Рассмотрим любые два вектора A и B , угол между которыми равен 90° (таким образом, они перпендикулярны). Формула скалярного произведения этих векторов следующая, она была выведена ранее.

Подставим в формулу угол 90°.

Таким образом, в силу того, что cos 90° равен нулю, скалярное произведение любых двух перпендикулярных векторов равно нулю.

Работа

Обычно мы думаем о работе как о чем-то, что связано с затратой усилий — например, поднятие тяжелой коробки может быть названо тяжелой работой. Концепция работы по физике аналогична; работа в этом контексте определяется как произведение силы, приложенной к объекту, и расстояния, на которое объект смещается (перемещается).Например, чтобы поднять тяжелый ящик, нужно приложить к нему направленную вверх силу на определенное расстояние; если коробку нужно приподнять лишь немного, выполняется меньше работы, чем если бы коробку нужно было поднять высоко. Поскольку и сила, и перемещение имеют величину и направление, работа не является простым произведением двух скаляров. Наоборот, это произведение — точнее, скалярное произведение — двух векторов. Таким образом, работа W , совершаемая над объектом, определяется следующим образом, где d — вектор перемещения.

Обратите внимание, что единицами работы являются ньютон-метры (также называемые джоулями или Дж — единицей энергии). Скалярное произведение выше вычисляет составляющую силы в направлении смещения ( d _u , где d = d d _u ), а затем умножает ее на общее расстояние 9d

8 смещения. (Вышеприведенная формула на самом деле применима только к случаям, когда F постоянно; если F меняется, то для вычисления работы требуется интегральное исчисление.)

Рассмотрим, что означает этот результат. Допустим, мы хотим взять коробку из нашего примера на иллюстрации выше и переместить ее на некоторое расстояние, прежде чем снова поставить ее, как показано ниже. Мы определяем y как единичный вектор в направлении вверх и x как единичный вектор в направлении вправо.

В каждом случае гравитация тянет коробку вниз. Когда он опирается на пол, нормальная сила уравновешивает гравитацию, в результате чего на ящик не действует результирующая сила и, следовательно, нет ускорения.На первом шаге (подъем ящика на высоту d ₁ над полом) вектор перемещения равен d ₁ y; на втором шаге это d ₂ x, а на третьем шаге это – d ₁ y. Все, что нужно для перемещения объекта, — это сила, достаточная для противодействия силе гравитации. То есть, согласно физическому определению работы, только первый и третий шаги фактически соответствуют ненулевому значению работы, проделанной над ящиком.Давайте посмотрим, почему. На первом этапе сила, приложенная к объекту, направлена ​​вверх и равна силе гравитации: м г, , где г равно –g y ( г = 9,8 метра в секунду в квадрате ) и м — масса ящика. Таким образом, чтобы поднять коробку, требуется сила мг y по вектору перемещения d ₁ y. Теперь посчитаем работу, проделанную над коробкой на этом шаге.

Таким образом, общая работа, выполненная при подъеме объекта массой м на расстояние d ₁ , равна мгд ₁ . (Вы можете задаться вопросом, почему мы не учитываем начальное ускорение ящика и замедление ящика в конце перемещения. Оказывается, ускорение и замедление, хотя они и связаны с работой, математически сокращаются, потому что они соответствуют силам, равным по величине и противоположным по направлению.) Теперь рассмотрим горизонтальное движение ящика. Мы по-прежнему должны приложить силу – м г к ящику, так как мы должны противодействовать гравитации, чтобы держать его подвешенным над землей. Однако вектор смещения равен x, , что перпендикулярно вектору силы. Таким образом, в этом случае работа будет следующей:

Другими словами, с точки зрения физики над объектом не совершается никакой работы, когда он перемещается в направлении, перпендикулярном приложенной к нему силе.Наконец, когда мы снова опускаем коробку, мы все еще прикладываем силу – м g, , но вектор смещения – d ₁ y .

Другими словами, опуская ящик, мы совершаем над ним «отрицательную» работу. Обратите внимание, что общая работа, проделанная над ящиком в этом процессе его перемещения, равна нулю:

.

Практическая задача : Человек поднимает неуклюжий предмет массой 50 кг, поднимая его с пола в направлении вектора x + 5 y (предположим, что x горизонтально и — вертикально, точнее вверх).Если он поднимет предмет на высоту 1 м, какую работу он совершил над ним?

Решение : Нарисуем схему, иллюстрирующую движение объекта.

Чтобы противостоять силе тяжести, человек должен приложить силу, равную мг , направленную вверх. Хотя он может двигать коробку в диагональном направлении, он прикладывает силу только в вертикальном направлении. Таким образом, F составляет мг y. Вектор смещения имеет горизонтальную и вертикальную составляющие, но нас интересует только вертикальная составляющая (поскольку F имеет только вертикальную составляющую, скалярное произведение F и d есть произведение этих векторов’ вертикальные компоненты).Поскольку ящик поднят на 1 метр, соответствующий вектор смещения равен 1 y м. Теперь мы можем вычислить работу, совершенную над ящиком.

Важно отметить, что путь, которым следует человек, поднимающий предмет, не важен; важны начальная и конечная высоты объекта. Если человек поднимет предмет на 1 метр, он совершит над ним работу 490 Дж, независимо от того, каким образом он поднимет ящик на эту высоту.

Практическая задача : Женщина пытается скользить по неровному полу высокий тяжелый предмет массой 150 кг.Пол создает силу трения, равную 0,1-кратной нормальной силе, действующей на объект. Если женщина толкает в направлении на 30 градусов выше горизонтали, какую работу она совершила, если передвинула предмет на 10 метров?

Решение : Нормальная сила — это сила, приложенная полом к ​​объекту, при которой объект не может двигаться вниз (через пол). Чтобы вычислить силу трения, F _f , нам сначала нужно вычислить нормальную силу, Н. Силы, действующие на объект при его перемещении, показаны ниже. Толкающая сила, приложенная женщиной, равна F _p .

Вектор смещения равен 10 x метров в приведенном выше случае (сила трения, 0,1 Н, направлена ​​в сторону, противоположную перемещению объекта). Горизонтальная составляющая толкающей силы, F _p , должна быть равна силе трения для перемещения объекта, но эта сила зависит от Н, , где

Затем

Суммарная вертикальная сила, приложенная к объекту между силой тяжести и вертикальной составляющей толкающей силы, равна нормальной силе.Таким образом,

Мы можем объединить эти два последних выражения в соотношение между F _f и N , а затем найти F _p .

Вы можете проверить этот результат, подставив это значение в некоторые из предыдущих выражений, чтобы увидеть, совпадает ли сила трения с горизонтальной составляющей толкающей силы.Теперь нам нужно только рассчитать работу, которая является произведением толкающей силы на расстояние 10 метров. В результате получается 1600 Дж работы.

Импульс, работа и энергия

предыдущий показатель следующий

Майкл Фаулер, Университет Вирджинии. Физика.

Импульс

На этом этапе мы вводим некоторые дополнительные понятия это окажется полезным при описании движения. Первый из них, импульс , была введена французским ученым и философом Декартом. раньше Ньютона.Идею Декарта лучше всего понять, рассмотрев простой пример: сначала подумайте о ком-то (скажем, весом 45 кг), стоящем неподвижно на качественных (без трения) роликовых коньках на ровном гладком полу. Кто-то, стоящий перед ней, бросает медицинский мяч весом 5 кг прямо в нее. ее, и только на небольшом расстоянии, так что мы можем взять мяч полет должен быть близок к горизонтальному. Она ловит и держит его, и потому от его удара начинает катиться назад. Обратите внимание, что мы выбрали ее весит так, что, кстати, она вместе с мячом весит всего в десять раз больше, чем мяч весит сам по себе.Что обнаруживается при тщательном проведении этого эксперимента заключается в том, что после ловли она вместе с мячом откатывается назад всего на одну десятую скорость, с которой мяч двигался непосредственно перед тем, как она поймала его, поэтому, если мяч был брошен при скорости 5 метров в секунду она будет откатываться назад со скоростью полметра в секунду. после улова. Напрашивается вывод, что «общая сумма движения» одинакова до и после того, как она поймает мяч, так как мы в конечном итоге с массой в десять раз больше, движущейся со скоростью, составляющей одну десятую скорости.

Подобные соображения и эксперименты привели Декарта к изобретению понятия «импульса», что означает «количество движения», и указать что для движущегося тела импульс есть просто произведение массы тело и его скорость.Momentum традиционно обозначается буквой p , поэтому его определение было:

импульс = р = мв

для тела массой м и движущегося со скоростью v . Это тогда очевидно, что в приведенном выше сценарии женщина ловит набивной мяч, общий «импульс» одинаков до и после улова. Изначально, только мяч имел импульс, количество 5×5 = 25 в подходящих единицах, так как его масса 5 кг, скорость 5 м/с.После улова там общая масса 50 кг движется со скоростью 0,5 м/с, поэтому итоговый импульс равен 0,5х50 = 25, общая итоговая сумма равна общей начальная сумма. Мы, конечно, только что изобрели эти цифры, но они отражают то, что наблюдается экспериментально.

Однако здесь есть проблема — очевидно, что можно вообразить коллизии в котором «общее количество движения», как определено выше, равно определенно не то же самое до и после. Как насчет двух человек на роликовые коньки одинакового веса, приближающиеся друг к другу с равными, но противоположными скоростями — и когда они встречаются, они соединяют руки и полностью остановиться? Очевидно, в этой ситуации было много движения до столкновения и никакого после него, поэтому «общее количество движение» определенно не остается прежним! На языке физики это «не сохраняется».Декарт зациклился на этой проблеме. долгое время, но был спасен голландцем Кристианом Гюйгенсом, который указал что проблема может быть решена последовательным образом, если не настаивать чтобы «количество движения» было положительным.

Другими словами, , если что-то, движущееся вправо, имеет положительный импульс, то следует рассматривать что-то движущееся влево к имеют отрицательный импульс . С этим соглашением, два человека равных массы, сближающиеся с противоположных направлений с одинаковой скоростью, имели бы общий импульс ноль , поэтому, если они полностью остановятся после встречи, как описано выше, полный импульс до столкновения был бы таким же так как сумма после — то есть нуль — и импульс будет законсервированный.

Конечно, в приведенном выше обсуждении мы ограничиваемся движениями по одной линии. Должно быть очевидно, что для получения определения импульса, который сохраняется при столкновениях, что действительно сделал Гюйгенс, так это сказал Декарту, он должен заменить скорость на скорость в своем определении импульс. Естественным расширением этого понятия является мысль об импульсе. как определено

импульс = масса х скорость

вообще, значит, так как скорость это вектор, импульс тоже вектор , указывая в том же направлении, что и скорость, конечно.

Опытным путем выясняется, что в любое столкновение двух объектов (где никакое взаимодействие с третьими объектами, такими как поверхности, не мешает), Полный импульс до столкновения равен полному импульсу после столкновения. столкновение. Не имеет значения, слипаются ли два объекта вместе на сталкиваются или отскакивают, или какие силы они оказывают друг на друга, поэтому закон сохранения импульса — очень общее правило, совершенно не зависящее от деталей. столкновения.

Сохранение импульса и законы Ньютона

Как мы обсуждали выше, Декарт ввел понятие импульса, и общий принцип сохранения импульса при столкновениях до Ньютона.Однако оказывается, что сохранение импульса может быть выводится из законов Ньютона. Законы Ньютона в принципе полностью описывают все явления типа столкновения и, следовательно, должны содержать импульс сохранение.

Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим сначала второй закон Ньютона. связывая ускорение a тела массой м с внешним сила F действующая на него:

F = мА , или сила = масса x ускорение

Напомним, что ускорение — это скорость изменения скорости, поэтому мы можем переписать Второй закон:

сила = масса х скорость изменения скорости.

Теперь импульс равен mv , масса х скорость. Это означает, что для объект с постоянной массой (конечно, почти всегда так!)

скорость изменения импульс = масса х скорость изменения скорости.

Это означает, что второй закон Ньютона можно переписать:

сила = скорость изменение импульса.

Теперь представьте столкновение или любое другое взаимодействие между двумя объектами A и B , скажем.Из третьего закона Ньютона сила A ощущения от B равны по величине силе B ощущения от A , но в обратном направлении. Поскольку (как мы только что показали) сила = скорость изменения импульса следует, что на протяжении всего процесса взаимодействия Скорость изменения импульса А прямо противоположна скорости изменение импульса B . Другими словами, поскольку это векторы, они одинаковой длины, но направлены в противоположные стороны.Это означает что на каждый бит импульса, который получает A , B получает отрицательное значение это. Другими словами, B теряет импульса точно со скоростью A . получает импульс , поэтому их общий импульс остается прежним. Но это верно на протяжении всего процесса взаимодействия, от начала до конца. Следовательно, общий импульс в конце должен быть таким, каким он был в начале.

В этот момент вы можете подумать: ну и что? Мы уже знаем, что законы Ньютона соблюдаются повсюду, так зачем же останавливаться на одном частном их следствии? Ответ заключается в том, что хотя мы знаем, что законы Ньютона соблюдаются, это может не пригодиться нам в реальном случае двух сложных объектов столкновения, потому что мы, возможно, не сможем понять, что это за силы.Тем не менее, мы делаем знаем, что импульс в любом случае сохранится, так что если, например, два объекта слипаются, и никакие кусочки не отлетают, мы можем найти их окончательный скорость только из закона сохранения импульса, не зная никаких подробностей столкновение.

Работа

Слово «работа» в физике имеет более узкое значение, чем это происходит в повседневной жизни. Во-первых, это относится только к физическому труду, т. конечно, а во-вторых, что-то должно быть сделано. Если вы поднимете ящик с книгами с пола и поставить на полку, вы сделали работу, как определено в физике, если коробка слишком тяжелая и вы тянете ее, пока не изношен, но не двигается, это не считается работой.

Технически работа совершается, когда сила толкает что-то и объект движется. некоторое расстояние в направлении, в котором его толкают (тянуть тоже нормально). Поднимите коробку с книгами на высокую полку. Если поднять ящик в постоянная скорость, сила, которую вы прилагаете, просто уравновешивает гравитацию, веса ящика, иначе ящик ускорялся бы. (Конечно, сначала вам придется приложить немного больше усилий, чтобы заставить его работать, а затем в конце немного меньше, так как коробка останавливается на высоте полка.)  Очевидно, что делать придется в два раза больше работу, чтобы поднять ящик в два раза больше веса, поэтому выполненная работа пропорциональна сила, которую вы прилагаете. Ясно также, что проделанная работа зависит от какая высота полки. Если сложить их вместе, определение работы будет следующим:

работа = сила х расстояние

, где учитывается только расстояние, пройденное в направлении, в котором действует сила. При таком определении перенос коробки с книгами через комнату с одной полки к другому такого же роста не считается работой, потому что даже если ваши руки должны прилагать усилие вверх, чтобы коробка не упала на пол, вы не двигаете коробку в направлении этой силы, то есть вверх.

Чтобы получить более количественное представление о том, сколько работы выполняется, нам нужно иметь несколько единиц измерения работы. Определение работы как сила x расстояние, как обычно мы будем измерять расстояние в метрах, но мы пока не говорили о единицы силы. Самый простой способ думать о единице силы — это термины по второму закону Ньютона сила = масса х ускорение. Естественная «единица сила» будет та сила, которая, толкая единицу массы (один килограмм) с отсутствие трения других сил ускоряет массу на один метр в секунду. секунды в секунду, поэтому через две секунды масса движется со скоростью два метра в секунду. второй и т.д. Эта единица силы называется один ньютон (как мы обсуждалось в предыдущей лекции). Обратите внимание, что масса в один килограмм, когда упал, ускоряется вниз со скоростью десять метров в секунду за секунду. Этот означает, что его вес, его гравитационное притяжение к Земле должны быть равен десяти ньютонам. Отсюда мы можем понять, что сила в один ньютон равняется весу 100 граммов, чуть меньше четверти фунта, палочка масло.

Ускорение свободно падающего объекта вниз, десять метров в секунду в секунду часто пишут г или для краткости.(Если быть точным, г = 9,8 метра в секунду за секунду, и на самом деле несколько варьируется по земной поверхность, но это добавляет сложности без освещения, поэтому мы всегда будем примем его равным 10.) Если у нас есть масса m килограмма, скажем, мы знаем ее вес ускорит его до г , если его уронить, поэтому его вес сила величины мг , из второго закона Ньютона.

Теперь вернемся к работе . Поскольку работа равна силе, умноженной на расстояние, естественная «единица работы» будет выполненная работа силой в один ньютон, толкающей расстояние в один метр.Другими словами (приблизительно) подняв палку масла три фута. Эта единица работы называется один джоуль , в честь английского пивовара.

Наконец, полезно иметь единицу для скорости работы , также называемую «власть». Естественная единица «нормы работы» явно один джоуль в секунду, и это называется один ватт . К почувствуйте скорость работы, подумайте о том, чтобы подняться наверх. Типичный шаг составляет восемь дюймов, или одну пятую метра, так что вы наберете высоту в, скажем, две пятых метра в секунду.Ваш вес, скажем (поставьте в собственный вес здесь!) 70 кг. (для меня) умножить на 10, чтобы получить в ньютонах, так что 700 ньютонов. Скорость работы тогда составляет 700 х 2/5, или 280 Вт. Большинство люди не могут работать с такой скоростью очень долго. Распространенная английская единица мощности составляет лошадиных сил, что составляет 746 Вт.

Энергия

Энергия — это способность выполнять работу.

Например, чтобы забить гвоздь в кусок дерева, требуется работа. сила должна протолкнуть гвоздь на определенное расстояние, несмотря на сопротивление древесина.Движущийся молоток, ударяя по гвоздю, может забить его. стационарный молоток, поставленный на гвоздь, ничего не делает. Движущийся молот имеет энергия — способность вбивать гвоздь — потому что он движется. Эта энергия молота называется «кинетической энергией ». Кинетический это просто греческое слово для движение , это корневое слово для кино, то есть фильмов .

Еще один способ забить гвоздь, если у вас есть хорошая цель, может состоять в том, чтобы просто бросьте молоток на гвоздь с подходящей высоты.К тому времени молоток достигает гвоздя, он будет иметь кинетическую энергию. У него есть эта энергия, конечно, потому что сила тяжести (его вес) ускорила его, когда он пришел вниз. Но эта энергия не взялась из ниоткуда. Работа должна была необходимо в первую очередь поднять молот на ту высоту, с которой он был упал на гвоздь. Фактически работа, совершенная при начальном подъеме, сила x расстояние, это просто вес молота, умноженный на расстояние она повышена, в джоулях. Но это точно такой же объем работы, как сила тяжести действует на молоток, ускоряя его при падении на гвоздь. Поэтому, пока молот находится наверху, ожидая, когда его уронят, его можно мыслится как хранение работы, проделанной при его подъеме, которое готово к быть освобождены в любое время. Эта «сохраненная работа» называется потенциалом . энергия , так как она имеет потенциал преобразования в кинетическую энергию, просто отпустив молоток.

В качестве примера предположим, что у нас есть молот массой 2 кг, и мы поднимаем его. через 5 метров. Вес молотка, сила тяжести 20 ньютонов (напомним, что он будет ускоряться со скоростью 10 метров в секунду за секунду при гравитация, как и все остальное), поэтому работа, выполненная при подъеме, равна силе, умноженной на расстояние. = 20 x 5 = 100 джоулей, так как для его подъема с постоянной скоростью требуется подъем сила, которая просто уравновешивает вес.Эти 100 джоулей теперь готовы к хранению. для использования, то есть это потенциальная энергия. После отпускания молотка потенциальная энергия становится кинетической энергией — сила тяжести притягивает молоток вниз на то же расстояние, на которое первоначально был поднят молоток вверх, так как это сила того же размера, что и первоначальный подъем сила, работа, совершаемая силой тяжести над молотом, чтобы придать ему движение, одинакова как работа, проделанная ранее при его подъеме, поэтому, когда он попадает в гвоздь, он имеет кинетическая энергия 100 джоулей.Мы говорим, что потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию, которая затем расходуется на забивание гвоздя.

Следует подчеркнуть, что и энергия, и работа измеряются в одном и том же единицы, джоули. В приведенном выше примере выполнение работы путем подъема просто добавляет энергию телу, так называемую потенциальную энергию, равную произведенной работе.

Из приведенного выше обсуждения масса м кг имеет вес мг ньютоны. Отсюда следует, что необходимо совершить работу, чтобы поднять его на высоту ч метров — это сила х расстояние, то есть вес х рост, или мгч джоуля. Это потенциальная энергия.

Исторически так хранилась энергия для привода часов. Большой веса поднимались раз в неделю и по мере их постепенного падения высвобождаемая энергия повернул колеса и с помощью ряда хитроумных приемов удержал маятник качается. Проблема заключалась в том, что для этого требовались довольно большие часы. получить достаточный перепад высот для хранения достаточного количества энергии, поэтому часы с пружинным приводом стали более популярными, когда они были разработаны. Просто сжатая пружина еще один способ накопления энергии.Требуется работа, чтобы сжать пружину, но (кроме небольших эффектов трения) вся эта работа высвобождается, когда пружина раскручивается или пружинит. Запасенная энергия в сжатой пружине равна часто называют упругой потенциальной энергией , в отличие от гравитационной потенциальная энергия поднятого веса.

Кинетическая энергия

Выше мы дали явный способ найти потенциальную энергию увеличение массы m при подъеме на высоту h , это просто работа силы, которая его подняла, сила x расстояние = вес х рост = mgh .

Кинетическая энергия создается, когда сила совершает работу по ускорению массы и увеличивает свою скорость. Как и для потенциальной энергии, мы можем найти кинетическая энергия, созданная путем выяснения того, какую работу совершает сила при ускорении вверх по телу.

Помните, что сила действует только в том случае, если тело, на которое она действует, движется в направлении действия силы. Например, для спутника, идущего на круговой орбите вокруг Земли сила тяжести постоянно ускоряя тело вниз, но никогда не приближаясь к уровню моря, оно просто качается.Таким образом, тело в действительности не перемещается ни на какое направление гравитации тянет его, и в этом случае гравитация не работает на теле.

Рассмотрим, напротив, работу, которую сила тяжести совершает над камнем, просто упал со скалы. Давайте будем конкретными и предположим, что это камень весом в один килограмм, поэтому сила тяжести направлена ​​вниз на десять ньютонов. В одну секунду камень будет двигаться со скоростью десять метров в секунду и будет упал на пять метров. Работа, совершаемая в этой точке силой тяжести, равна силе х. расстояние = 10 ньютонов x 5 метров = 50 джоулей, так что это кинетическая энергия масса в один килограмм движется со скоростью 10 метров в секунду.Как работает кинетика энергия увеличивается со скоростью? Подумайте о ситуации через 2 секунды. То Масса теперь увеличила скорость до двадцати метров в секунду. Она имеет упал на общую дистанцию ​​двадцать метров (средняя скорость 10 метров в секунду х прошло 2 секунды). Значит, работа силы тяжести в ускорение массы за первые две секунды равно силе x расстояние = 10 ньютоны х 20 метров = 200 джоулей.

Итак, мы находим, что кинетическая энергия тела в один килограмм, движущегося со скоростью 10 метров в секунду это 50 джоулей, при движении со скоростью 20 метров в секунду это 200 джоули.Нетрудно проверить, что через три секунды, когда масса движется со скоростью 30 метров в секунду, кинетическая энергия 450 джоулей. Существенным моментом является то, что скорость линейно возрастает со временем, но работа, совершаемая постоянной силой тяжести, зависит от того, как далеко камень упал, и это идет как квадрат времени. Следовательно, кинетическая энергия падающего камня зависит от квадрата времени, т. то же, что и в зависимости от квадрата скорости. Для камней из разных масс, кинетическая энергия при одной и той же скорости будет пропорциональна масса (поскольку вес пропорционален массе, а работа силы тяжести равна пропорционально весу), поэтому, используя цифры, которые мы вычислили выше для одного килограмма массы, можно сделать вывод, что для массы м килограмма движутся со скоростью скорость v кинетическая энергия должна быть:

кинетическая энергия = ½ мВ²

Упражнения для читателя : оба импульс и кинетическая энергия в некотором смысле являются мерами количества движения тела.Чем они отличаются?

Может ли тело изменить импульс без изменения кинетической энергии?

Может ли тело изменить кинетическую энергию без изменения импульса?

Предположим, что два куска глины одинаковой массы движутся в противоположных направлениях со скоростью с одинаковой скоростью сталкиваются лоб в лоб и прилипают друг к другу. Есть импульс сохраняется? Сохраняется ли кинетическая энергия?

Когда камень падает со скалы, его потенциальная и кинетическая энергия энергия непрерывно меняется.Как эти изменения связаны друг с другом?

предыдущий показатель следующий

Работа и энергия — Уроки Wyzant

Написано репетитором Тони С.

Работа

Работа — это физическая величина, определяемая в терминах силы, вызывающей перемещение объекта. Например, если человек толкает коробку, и эта коробка перемещается на некоторое расстояние, человек выполнил работу над коробкой. Мы можем точно рассчитать, сколько работы было выполнено, используя следующую формулу:

Вт = Fd

, где W — работа, F — сила, d — перемещение.Стандартной единицей работы в СИ является джоулей (Дж) , что равно работе, совершаемой силой в один ньютон при перемещении объекта на один метр:

1 Дж = 1 Н · 1 м

Вернемся к предыдущему примеру. Если человек толкает с постоянной силой в десять ньютонов, а ящик перемещается на расстояние пяти метров в направлении, в котором его толкнул человек, то человек совершил над ящиком работу в пятьдесят джоулей:

.

10,0 Н · 5,00 м = 50,0 Дж

Но что произойдет, если направление, в котором толкает человек, не параллельно направлению движения коробки? Допустим, ящик не очень высокий, и человеку приходится наклоняться, чтобы его толкнуть, из-за чего направление его толчка направлено под углом двадцать градусов ниже горизонтали:

В этом случае не вся сила способствует перемещению ящика.Только горизонтальная составляющая вектора силы F cos Θ отвечает за работу, совершаемую над ящиком. Мы можем включить это в наше предыдущее уравнение для работы, что даст:

W = Fd cos Θ

Теперь, когда человек сгорбился и прилагает усилие под углом к ​​смещению, он выполняет меньшую работу над ящиком:

10,0 Н · 5,00 м · cos20,0° = 47,0 Дж

(Для тех из вас, кто знаком с векторным исчислением, мы можем представить работу как скалярное произведение вектора силы F и вектора смещения d:

Вт = F · d = Fd cos Θ

, где F и d — величины векторов силы и смещения соответственно, а Θ — угол между двумя векторами.)

Добавление cosΘ к нашей формуле проливает свет на некоторые интересные концепции:

• Когда Θ равно нулю, cosΘ равно единице. Это происходит, когда сила и перемещение направлены в одном направлении, и поэтому у нас есть исходная формула W=Fd .
• Когда Θ равно 90°, cosΘ равно нулю, что, в свою очередь, делает работу равной нулю. Это происходит, когда сила и перемещение перпендикулярны друг другу. Таким образом, , когда сила приложена к объекту в направлении, перпендикулярном смещению объекта, эта сила не работает.
• Когда Θ находится между 90° и 180°, cosΘ меньше нуля, что, в свою очередь, делает работу меньше нуля. Это дает нам концепцию отрицательной работы , которую можно проиллюстрировать, добавив трение к нашему предыдущему сценарию толкания коробки.

Предположим, что введенная кинетическая сила трения является постоянной силой в девять ньютонов. Мы уже рассчитали работу, совершенную человеком, в сорок семь джоулей. Теперь мы можем вычислить работу трения, зная, что угол между векторами смещения и трения равен 180°:

9.00 Н · 5,00 м · cos180° = -45,0 Дж

Мы можем добавить эту работу к работе, выполненной человеком, чтобы получить общую чистую работу, выполненную на ящике, которая составит два джоуля. Вместо того, чтобы находить работу, связанную с каждой силой в отдельности, а затем суммировать их, мы можем сначала вычислить чистую силу и использовать ее для вычисления чистой работы:

Σ Вт = (Σ F ) d cosΘ

, где Σ W — чистая работа, а Σ F — величина чистой силы.Вы можете доказать это, рассчитав чистую силу для приведенного выше сценария, а затем рассчитав работу. (Вы должны найти, что результирующая сила равна 3,44 Н при угле 83,4° ниже горизонтали.)

Энергия

Энергия — еще одна физическая величина, некоторые виды которой тесно связаны с работой. Первый тип, который мы обсудим, — это кинетическая энергия , то есть энергия, которой обладает объект, просто находясь в движении. Мы можем рассчитать кинетическую энергию объекта по следующей формуле:

К = ¹ / ₂ мв ²

, где К — кинетическая энергия, м — масса, v — скорость.(Вы можете использовать это уравнение, чтобы убедиться, что единицы энергии такие же, как и единицы работы: джоули.)

В нашем предыдущем примере с человеком, толкающим коробку, предположим, что коробка весит десять килограммов. Мы можем выполнить некоторые вычисления, чтобы определить ускорение ящика на основе чистой силы, которую он испытывает (0,0395 ^м / _с² ), а затем еще несколько вычислений, чтобы узнать, какую скорость имеет ящик после того, как его толкнули на пять метров ( 0,629 ^м / _с ), чтобы, наконец, добраться до точки, где мы можем рассчитать окончательную кинетическую энергию коробки:

К = ¹ / ₂ ·10кг·(0.629 ^м / _с ) ² = 1,98 Дж

Сколько вычислений! К счастью, есть более простой способ расчета кинетической энергии на основе чистой работы, и он называется принципом работы-энергии :

.

Чистая работа, выполненная над объектом, равна изменению кинетической энергии объекта.
ΣW = ΔK = K _f – K _i = ¹ / ₂ m(v _f ² -v 6

(нижние индексы f и i обозначают конечный и начальный соответственно.) И, если вы помните из предыдущего примера, чистая работа была рассчитана примерно в два джоуля. Вуаля! Двигаясь дальше с этого момента в своих исследованиях физики, вы должны обнаружить, что будете использовать принцип работы-энергии так же (если не больше), как и предыдущий набор уравнений кинематики для расчета скорости движения объекта.

Другим типом энергии является потенциальная энергия , которая определяется в контексте определенных типов сил, которые мы называем консервативными силами .Мы не будем вдаваться в то, почему одни силы консервативны, а другие нет. Просто знайте, что консервативные силы (такие как гравитация и сила упругости) связаны с потенциальной энергией, а неконсервативные (такие как трение, сопротивление воздуха и толчок или притяжение человека) — нет.

В общем, изменение потенциальной энергии, связанное с консервативной силой, равно отрицательной работе, совершаемой этой силой. Мы можем использовать эту информацию, чтобы получить формулы для наших двух типов потенциальной энергии:

• Гравитационный : Представьте, что ящик весом в пять килограммов поднимают на десять метров прямо вверх.Работа силы тяжести в этом случае равна:

.

Вт _г = F _г dcosΘ = mgdcosΘ = 5 кг·9,8 ^м / _с ·10 м·cos180° = -490 Дж

и, таким образом, изменение потенциальной энергии составляет (положительное) 490 джоулей. Но что, если мы переместим тот же самый ящик по двадцатиметровой траектории вот так:

Теперь работа силы тяжести равна:

Вт _г = F _г dcosΘ = mgdcosΘ = 5 кг·9,8 ^м / _с ·20 м·cos120° = -490 Дж

и изменение потенциальной энергии такое же, как и раньше.Почему это? Что ж, если вы посмотрите, насколько изменится высота ящика в каждом из двух сценариев (используя небольшую тригонометрию во втором случае), вы увидите, что в обоих случаях она одинакова: десять метров. Таким образом, мы можем сделать вывод, что гравитационная потенциальная энергия зависит от изменения высоты объекта. d cosΘ представляет собой изменение высоты; мы можем заменить это на h в нашей формуле, чтобы получить более общее выражение для гравитационной потенциальной энергии:

U _г = мгч

, где U _g — потенциальная энергия гравитации, m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота объекта над некоторой точкой отсчета.

.