Построение векторных диаграмм напряжений: Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Содержание

Построение в заданном масштабе векторной диаграммы напряжений, отложив горизонтально вектор тока, страница 3

4.  Рассчитываю силу тока в цепи:

 А.

5.  Рассчитываю падения напряжений на активном и емкостном сопротивлениях:

на активном            В;

на реактивном                   В.

6.  Построю векторную диаграмму.

Построение векторной диаграммы начну с вектора тока , откладывая его горизонтально в произвольном масштабе. Принимаю масштаб для векторов напряжения  и определяю соответственно длины векторов напряжений:

 см;

 см;

 см.

Откладываю «по току» (совпадающим по фазе с вектором тока), вектор активной составляющей напряжения ; на конце вектора  перпендикулярно вектору тока строю отстающий ток на  вектор реактивной составляющей напряжения .

Замыкающий вектор, равный сумме векторов  является вектором приложенного напряжения. Вектор  отстает от вектора  на угол .

Ответ: сопротивление конденсатора  Ом, полное сопротивление цепи  Ом, коэффициент мощности , угол , ток в цепи  А, падение напряжения на активном сопротивлении  В, а на емкостном сопротивлении  В


Задача 8.

Последовательно соединены резистор с сопротивлением  Ом и конденсатор, имеющий сопротивление  Ом. По цепи проходит ток  А. Частота напряжения питающей сети  Гц.

Начертить схему цепи. Определить полное сопротивление цепи , коэффициент мощности , угол , подведенное напряжение , падения напряжения  и  на активном и емкостном сопротивлениях, емкость конденсатора С.

Построить в масштабе  векторную диаграмму напряжений, отложив горизонтально вектор тока.

Дано:

 Ом;

 Ом;

 А;

 Гц

Найти: ; ;

; ; ; ;

.

Решение.

1.  Найду полное сопротивление цепи:

 Ом.

2.  Нахожу коэффициент мощности и угол :

;

;

3.  Рассчитываю падение напряжения цепи:

 В.

4.  Рассчитываю падения напряжений на активном и емкостном сопротивлениях:

на активном            В;

на реактивном                   В.

5.  Найду емкость конденсатора:

 мкФ

6.  Построю векторную диаграмму.

Построение векторной диаграммы начну с вектора тока , откладывая его горизонтально в произвольном масштабе. Принимаю масштаб для векторов напряжения  и определяю соответственно длины векторов напряжений:

 см;

 см;

 см.

Откладываю «по току» (совпадающим по фазе с вектором тока), вектор активной составляющей напряжения ; на конце вектора  перпендикулярно вектору тока строю отстающий ток на  вектор реактивной составляющей напряжения .

Замыкающий вектор, равный сумме векторов  является вектором приложенного напряжения. Вектор  отстает от вектора  на угол .

Ответ: полное сопротивление цепи  Ом, коэффициент мощности , угол , ток в цепи  А, падение напряжения на активном сопротивлении  В, а на емкостном сопротивлении  В


Задача 9.

К переменному напряжению  В частотой  Гц подключены последовательно соединенные резистор и конденсатор. По цепи проходит ток  А, при этом на резисторе возникает падение напряжения  В.

Начертить схему цепи. Определить полное сопротивление цепи , сопротивление резистора , сопротивление конденсатора  и емкость  конденсатора, коэффициент мощности , угол , падение напряжения  на емкостном сопротивлении.

Построить в масштабе  векторную диаграмму напряжений, отложив горизонтально вектор тока.

Дано:

 В;

 Гц;

 А;

 В;

.

Найти: ; ; ;

; ; .

Решение.

1.  Найду полное сопротивление цепи:

 Ом.

2.  Найду активное сопротивление цепи:

 Ом.

3.  Нахожу сопротивление конденсатора:

 Ом

4.  Найду емкость конденсатора:

 мкФ

5.  Нахожу коэффициент мощности и угол :

;

;

6.  Рассчитываю падение напряжения на емкостном сопротивлении:

 В.

7.  Построю векторную диаграмму.

Построение векторной диаграммы начну с вектора тока , откладывая его горизонтально в произвольном масштабе.

Принимаю масштаб для векторов напряжения  и определяю соответственно длины векторов напряжений:

 см;

 см;

 см.

Откладываю «по току» (совпадающим по фазе с вектором тока), вектор активной составляющей напряжения ; на конце вектора  перпендикулярно вектору тока строю отстающий ток на  вектор реактивной составляющей напряжения .

Замыкающий вектор, равный сумме векторов  является вектором приложенного напряжения. Вектор  отстает от вектора  на угол .

Ответ: полное сопротивление цепи  Ом, сопротивление резистора  Ом, сопротивление конденсатора  Ом, емкость конденсатора  мкФ; коэффициент мощности , угол , напряжение на емкостном сопротивлении  В


Задача 10.

Последовательно соединены резистор и конденсатор. Цепь подключена к переменному напряжению частотой  Гц. Известны падение напряжений на активном  В и емкостном  В сопротивлениях, а также сопротивление резистора  Ом.

Начертить схему цепи. Определить напряжение на зажимах цепи , ток в цепи , емкостное сопротивление  и емкость  конденсатора, полное сопротивление цепи , коэффициент мощности  и угол

Построить в масштабе  векторную диаграмму напряжений, отложив горизонтально вектор тока.

Дано:

 Гц;

 В;

 В;

 Ом;

.

Найти: ; ; ;

; ; ;

; .

Решение.

1.  Определяю напряжение на зажимах:

 В.

2.  Определяю ток в цепи:

 А

3.  Нахожу сопротивление конденсатора:

 Ом

4.  Найду емкость конденсатора:

 мкФ

5.  Найду полное сопротивление цепи:

 Ом.

6.  Нахожу коэффициент мощности и угол :

;

;

7.  Построю векторную диаграмму.

Построение векторной диаграммы начну с вектора тока , откладывая его горизонтально в произвольном масштабе. Принимаю масштаб для векторов напряжения  и определяю соответственно длины векторов напряжений:

 см;

 см;

 см.

Откладываю «по току» (совпадающим по фазе с вектором тока), вектор активной составляющей напряжения ; на конце вектора  перпендикулярно вектору тока строю отстающий ток на  вектор реактивной составляющей напряжения .

Замыкающий вектор, равный сумме векторов  является вектором приложенного напряжения. Вектор  отстает от вектора  на угол .

Ответ: напряжение на зажимах цепи  В, ток в цепи  А, емкостное сопротивление конденсатора  Ом,  емкость конденсатора  мкФ, полное сопротивление цепи  Ом, коэффициент мощности , угол .

Приложение «Диаграммы ВАФ» для Android (Страница 1) — Аппаратура для выполнения проверок — Советы бывалого релейщика

Здравствуйте! Являюсь автором приложения для смартфонов и планшетов на базе ОС Android «Диаграммы ВАФ». С помощью данного приложения удобно строить векторные диаграммы по результатам измерений во вторичных цепях счетчиков электрической энергии, цепях релейной защиты и автоматики с помощью вольтамперфазометра ПАРМА ВАФ-А или его предыдущих аналогов (ВАФ-85-М1). Приложение выполняет следующие функции:

•  Хранение измеренных величин опорного напряжения (линейного, фазного), опорного тока, токов фаз A, B, C, линейных/фазных напряжений и их углов нагрузки в базе данных. Для одной записи в БД доступно 3 группы векторов – 1 опорный вектор напряжения/тока + 3 вектора тока/напряжения. Каждому вектору в группе доступно присвоение собственного обозначения.
•  Вычисление суммарных векторов по результатам измерения в 3-х группах.
•  Просмотр и редактирование всех векторных диаграмм из базы данных.
•  Удаление векторных диаграмм из базы данных.
•  Экспорт всех или выбранных пользователем векторных диаграмм в растровом формате PNG с разрешением 848×480, 1280×720, 1920×1080, 3840×2880, 5120×2880 точек; в векторном формате SVG, а также в формате таблицы Microsoft XML для обработки измеренных данных в Microsoft Excel, LibreOffice Calc, WPS Office Spreadsheets и т.д.
•  Настройка цветовой схемы векторной диаграммы, отображения круговой сетки, необходимости построения опорных векторов, углов, толщины линий.

Ссылка на Google Play:
https://play.google.com/store/apps/deta … iagramsvaf

Приложение бесплатное, буду рад услышать Ваши отзывы по работе приложения и предложения по его будущему улучшению. При разработке последнего обновления как раз и учитывались
пожелания пользователей с целью расширения функционала при работе по настройке диф. защиты трансформатора. Для более детального ознакомления привожу инструкцию пользователя.

Инструкция пользователя
•  Ввод данных: Нажмите кнопку «Ввод данных» на главном экране приложения, в диалоговом окне доступно внесение до 3 групп векторов – 1 опорный вектор напряжение/тока + 3 измеренных вектора тока/напряжения с углами, нагрузкой L/C, собственным обозначением.
(скриншоты во вложении VAF_Screenshot_01.png VAF_Screenshot_02.png)

Укажите наименование фидера, переключателем «Uоп/Iоп» выберите тип опорного вектора, введите значение. Для вектора опорного напряжения укажите его тип с помощью переключателя «Лин/Фаз». При необходимости, введите обозначение опорного вектора, в противном случае приложение присвоит обозначение автоматически по шаблону: Uоп№1, либо Iоп№1, где №1 – номер 1-ой группы векторов.
С помощью переключателя «I/U» укажите тип измеренных векторов, для напряжений – с помощью переключателя выберите линейное/фазное. Введите значения измеренных токов/напряжений для соответствующих фаз с углами нагрузки, используя переключатель «L/C». Токи/напряжения можно задавать в любых единицах – мА/А/мВ/В, масштаб для векторной диаграммы приложение подбирает автоматически. При необходимости, для каждого вектора задайте собственное обозначение. Нажмите кнопку «Сохранить». Приложение выдаст сообщение «Группа №1. Запись сохранена в БД».
Для внесения векторов в группу №2 нажмите на кнопку «Добавить группу I,U». Порядок внесения опорного вектора и измеренных векторов одинаковый, как и для группы №1. После завершения внесения данных нажмите кнопку «Сохранить» — приложение выдаст сообщение «Группа №2. Запись сохранена в БД».
Для внесения векторов в группу №3 нажмите на кнопку «Добавить группу I,U» и повторите необходимые действия. Нажатием кнопки «Сохранить» данные будут записаны в БД.
Использование всех 3 групп не является обязательным – каждая запись в БД может хранить 1, 2 или 3 группы векторов.
•  Просмотр данных: При нажатии на кнопку «Просмотр данных» приложение перейдет к отображению на экране Вашего устройства последней векторной диаграммы из базы данных.
(скриншоты во вложении VAF_Screenshot_04.png VAF_Plus_01.png)

Касанием по указательной стрелке любого из построенных векторов на экран выводится информация о модуле данного вектора и его угле нагрузки.
•  Редактирование данных: Для выбранной в режиме просмотра векторной диаграммы приложение перейдет в редактирование векторов для группы №1. Пользователь вносит необходимые изменения и нажимает на кнопку «Сохранить».
(скриншот во вложении VAF_Plus_02.png)

•  Экспорт данных: Все векторные диаграммы можно экспортировать в растровый формат PNG, векторный формат SVG, либо в таблицу Microsoft XML.
Пользователь указывает размер изображения в пикселях, ориентацию, формат – PNG, либо SVG. Экспорт в векторный формат SVG является наиболее предпочтительным. Для экспорта в табличном виде нажмите на кнопку «XML». В списке выбираете нужные векторные диаграммы и нажимаете кнопку «Экспорт». Все экспортируемые файлы сохраняются в новой папке «MyDiagrams», которая находится в корне устройства «mnt/sdcard».
•  Настройки: Приложение обладает рядом удобных настроек, влияющих на включение/отключение: отображение меток осей координат, круговой сетки, легенды, метки векторов, цветовую схему диаграмм, построения суммарных векторов, опорных векторов, углов.
Полное описание всех возможностей программы, ограничений и рекомендаций приведены разделе «Помощь» приложения «Диаграммы ВАФ», либо на официальной странице приложения.

Лицензия: Freeware
Системные требования: Android 2.3.3 и выше

Post’s attachments

VAF_Plus_01.png 121.38 Кб, 2 скачиваний с 2016-04-18 

VAF_Plus_02.png 66.24 Кб, файл не был скачан. 

VAF_Screenshot_01. png 32.63 Кб, файл не был скачан. 

VAF_Screenshot_02.png 61.16 Кб, файл не был скачан. 

VAF_Screenshot_04.png 108.16 Кб, файл не был скачан. 

You don’t have the permssions to download the attachments of this post.

3.3.9 Построение векторных диаграмм токов и напряжений. Расчёт токов короткого замыкания

Похожие главы из других работ:

Анализ электрического состояния линейных и нелинейных цепей постоянного и переменного токов

3.5 Построение векторной диаграммы токов и напряжений

Для построения топографической диаграммы напряжений определим напряжения на сопротивлениях цепи: Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой напряжения построена на рис.3.3…

Анализ электрического состояния линейных электрических цепей постоянного тока

3.4 Построение векторной диаграммы токов, совмещенной с топографической векторной диаграммой напряжений

Выбираем масштаб: MI=0,05 A/cм; MU=1,4 A/см; Определяем длину вектора по формулам lI=Э/MI и lU=U/MU: lI=lI1=lI2=23,8 см; lI3=13,9 см; lI4=9,9 см; lU=28,6 см; lUed=13,6 см; lUda=0,3 см; lUac=14,9 см; lUcb=0,29 см; lUkb=3,2 см; lUaf=14,9 см; lUfb=0. ..

Анализ электрического состояния однофазных и трехфазных цепей

1.2 Построение совмещенной векторно-топографической диаграммы напряжений и токов

Определим значения потенциалов в промежуточных точках (рис.4): Рисунок 4 — Детальная мнемосхема Найдем значения потенциалов в промежуточных точках: Построим диаграмму в масштабе , Рисунок 5…

Расчет нереверсивного мостового тиристорного преобразователя с нагрузкой ДПТ НВ

6. Построение временных диаграмм напряжений и токов в нагрузке

Определяем значение тока Id.гр при заданном угле управления б = 57°. Id.гр = А sin = 78,59·sin57° = 65.91A требуемое значение тока Id. Id = [Id/Id.гр] •Id.гр = 0,48·65,91 = 31,636А где отношение [Id/Id.гр] = 0,48 — по заданию…

Расчет параметров режима короткого замыкания в электрической системе

2.3 Построение векторных диаграмм токов и напряжений в точке КЗ

ток замыкание напряжение электроэнергетический Точка M отмечена на схеме электрической системы (рисунок 1). Расчёт симметричных составляющих тока и напряжения в точке короткого замыкания…

Расчет параметров режима короткого замыкания в электрической системе

2.4 Построение векторных диаграмм напряжения КЗ в точке М

Точка М находится за трансформатором относительно точки КЗ. При переходе через трансформатор с нечеткой группой соединений со стороны обмотки соединений в звезду на сторону обмотки, соединенной в треугольник…

Расчет токов коротких замыканий и релейной защиты электрической сети на 110 кВт

4.4 построение векторных диаграмм

Для построения векторных диаграмм задаются масштабы токов и напряжений мu = мi =…

Расчет токов короткого замыкания

5. РАСЧЕТ ТОКОВ ДВУХФАЗНОГО КЗ, ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Для расчёта тока двухфазного короткого замыкания схему на рис.1. приведём к виду рис.6. Схема замещения прямой последовательности. Схема замещения обратной последовательности. Рис.6…

Расчет токов короткого замыкания в энергосистеме

3. Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Для двухфазного КЗ на землю согласно 2-му закону Кирхгофа можно записать следующую систему уравнений: Для решения данной системы необходимо записать граничные условия:;;. Расчёт ведем в именованных единицах. Решив систему…

Расчёт токов короткого замыкания

3.2.8 Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Рисунок 3.10 — Векторная диаграмма токов и напряжений при двухфазном коротком замыкании 3.3 Расчёт двухфазного короткого замыкания на землю 3.3…

Расчёт токов короткого замыкания

3.3.9 Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Рисунок 3.11 — Векторная диаграмма токов и напряжений при двухфазном коротком замыкании на землю 3.4 Расчёт однофазного короткого замыкания 3.4…

Расчёт токов короткого замыкания

3.4.6 Построение векторных диаграмм токов и напряжений

Рисунок 3. 12 — Векторная диаграмма токов и напряжений при однофазном коротком замыкании 4 Графическое изображение различных видов токов короткого замыкания Рисунок 3…

Релейная защита тяговой подстанции

3.Построение графиков селективности защит, совмещенная характеристика срабатывания защит, векторных и временных диаграмм, поясняющих принцип работы заданных защит

Размещено на http://www.allbest.ru/ Размещено на http://www.allbest.ru/ Рисунок 16 -Общая характеристика срабатывания 3-х ступенчатой электронной дистанционной защиты. Рис. 17 График селективности защит для выключателя Q1 ТП…

Составление схемы замещения

3. Расчет токов всех видов коротких замыканий. Построение векторных диаграмм

Произведем расчет схемы прямой последовательности. Рисунок 5 — Схема прямой последовательности Т.к. все реактивные сопротивления и сверхпереходные ЭДС рассчитаны, запишем их значения. Рассчитаем реактивные сопротивления линий. ..

Трехфазные цепи переменного тока

5. Построение векторной диаграммы токов и напряжений источника и приемников при подключенном компенсаторе

Векторные диаграммы двигателя

 Работающий асинхронный двигатель имеет частоту в цепи ротора, которая в несколько раз меньше частоты в цепи статора.

Поэтому при построении векторных диаграмм э. д. с и ток ротора невозможно изобразить векторами на одной диаграмме с напряжениями и токами статора.

Иногда в случае, если ротор не вращается, его частота равна частоте сети, которая питает статор. В этом случае можно построить векторную диаграмму, которая напоминает диаграмму нагруженного трансформатора. Ее строят для одной фазы двигателя, и в качестве исходного принимается вектор Фв магнитного потока вращающегося магнитного поля. По отношению к этому вектору векторы э. д. с. статора и ротора отстают на ? / 2.

В короткозамкнутом роторе электродвижущая сила создает ток. Вектор тока опережает вектор потока из-за влияния неподвижного ротора гистерезиса и вихревых токов на угол ?, который называется углом магнитного запаздывания. При построении вектора напряжения к вектору прибавляется вектор , который параллелен вектору . Вектор отстает от вектора jx1 на 90°. Вектор замыкает в диаграмме перечисленные векторы. Для построения векторной диаграммы работающего двигателя необходимо различить частоты цепи статора (f) и цепи ротора (f2 = fs).

Обычно строятся две отдельные диаграммы для цепи ротора и цепи статора. В обоих случаях начинают с вектора магнитного потока вращающегося поля. В диаграмме ротора положение вектора Е2 определяется тем, что он отстает от вектора потока Фв на ? / 2.

Для двигателя скольжение принимает значение s = 0,2 – 0,4, поэтому частота в цепи ротора мала, и значит, индуктивное сопротивление s?L2 также имеет небольшое значение. Это определяет то, что угол между и также мал. На диаграмме статора вектор отстает на 90° от вектора магнитного потока. Вектор намагничивающего тока опережает вектор Фв на угол ?. Направление вектора определяем из взаимного положения векторов и . Вектор отстает от на 90° + ?2, т. е. вектор опережает вектор магнитного потока на угол 180°: – 90° – ?2 = 90° – ?2. Вектор отстает от век- тора на 90°, значит, опережает вектор на угол ?2.

Отдельные диаграммы статора и ротора не позволяют анализировать влияние механической нагрузки двигателя на его электрические характеристики. Это достигается путем рассмотрения трансформатора, энергетические соотношения в котором похожи на соотношения асинхронного двигателя. Для этого необходимо привести цепь ротора к частоте статора. Сила тока в роторе выражается соотношением. В результате вращения ротора, кроме передачи энергии в обмотку ротора через взаимную индукцию, наблюдается переход электрической энергии в механическую. В результате приведения данные два преобразования были заменены простой трансформацией при неподвижном роторе. Однако обмотка ротора при этом условии эквивалентного трансформатора замкнута не накоротко, а на сопротивление R, которое соответствует механической нагрузке.

Мощность, которую поглощает эта нагрузка соответствует механической мощности, которую развивает ротор в одной фазе, т. е. работающий асинхронный двигатель можно заменить эквивалентным неподвижным, для которого цепь ротора замкнута на активное сопротивление. При этом общую векторную диаграмму двигателя статора и ротора можно построить в том же порядке, что и для трансформатора или двигателя при заторможенном роторе. Начинается построение с вектора Фв, после чего под углом 90° — э. д. с. ротора, приведенного к условиям трансформатора , как и э. д. с. статора.


Матрица напряжений – обзор

7.4 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

В точке P ( x ) в текущей конфигурации сплошной среды рассмотрим «маленький» тетраэдр, три грани которого перпендикулярны осям координат, а четвертая перпендикулярна произвольному единичному вектору n (см. рис. 7.4). Пусть δ A 1 4, δ A 2 и δ A 3 Быть областями границ PQR, PSR и PQS Перпендикулярно к x 1 , x 2 и x 3 осей соответственно, а Δ A — площадь наклонной поверхности QRS , перпендикулярной n .Затем

Рисунок 7.4. Напряжения на грани тетраэдра.

(7.4.1a)ΔA1=(ΔA)cos(n, x1)=(ΔA)n1

(7.4.1b)ΔA2=(ΔA)n2

(7.4.1c)ΔA3=(ΔA)n3

где COS ( N , x 1 ) обозначает косинус угла между N и положительным осью x 1 и N I — это компоненты N . Кроме того, объем тетраэдра равен

(7.4.1d)ΔV=13h(ΔA)

, где h — расстояние по перпендикуляру точки P от наклонной грани QRS .

Отметим, что плоский элемент PQR является частью граничной поверхности материала, содержащегося в тетраэдре. Таким образом, единица нормали к PQR , которая по соглашению должна быть внешней нормалью, равна − e 1 . Полная поверхностная сила на этом плоском элементе равна (Δ A 1 ) { с (− e 1 )}. С учетом обратной зависимости (7.2.4) эта поверхностная сила равна −(Δ A 1 ){ s ( e 1 )} или −(Δ A 1 ) с (1) .Точно так же общие поверхностные силы на элементах самолета PSR и PSQ и PSQ являются — (δ A 2 ) S (2) и — (δ A 3 ) S (3) соответственно. Поскольку n является внешней нормалью к тетраэдру на плоском элементе QRS , общая поверхностная сила на этом плоском элементе равна (Δ A ) с(n) . Следует отметить, что в то время как s (1) , s (2) и s (3) являются векторами напряжений на плоских элементах, проходящих через точку P

,

, 9000 n) — вектор напряжения на плоском элементе, не проходящем через P .

В силу выражения (7.2.5) результирующая сила, действующая на тетраэдр, равна

(7.4.2)f(r)=(ΔV)ρb+(ΔA)s(n)−(ΔA1) s(1)−(ΔA2)s(2)−(ΔA3)s(3)

, где ρ — плотность, а b — объемная сила, обе вычисленные в точке P .

Пусть Δ m = ρ V ) будет массой вещества, содержащегося в тетраэдре, а a будет ускорением, оцененным при P . Руководствуясь вторым законом движения Ньютона, мы постулируем, что

(7.4.3)ρ(ΔV)a=f(r)

Тогда с учетом (7.4.1) и (7.4.2) получаем уравнение

s(n)=n1s(1)+n2s( 2)+n3s(3)+13ρh(a−b)

Теперь, при фиксированных n и P , примем предел как h → 0. В этом пределе наклонная грань QRS стремится к плоскому элементу по нормали к n при P . Тогда s(n) представляет собой вектор напряжения в точке P на этом элементе. Кроме того, s ( i ) оцениваются как P .Таким образом, в этом пределе

(7.4.4)s(n)=n1s(1)+n2s(2)+n3s(3)

Это линейное соотношение позволяет найти s(n) для произвольного n , когда известны векторы напряжений s ( i ) , i = 1, 2, 3.

Замена s ( i ) из (7.3.1) и (7.3.2) в (7.4.4) дает

(7.4.5)s(n)=(τ1jej)n1+( τ2jej)n2+(τ3jej)n3            =τkjnkej

Взяв скалярное произведение с e i

по обе стороны этого выражения, получим (7,5 9004)4.6) Si (N) = τkink

Эти отношения, соединяющие S I ( N ) и τ IJ показывают, что для любого данного N , S I ( N ) можно определить, если известны компоненты напряжения τ ij .

Напомним, что девять компонентов τ ij определены относительно набор осей. Соотношения (7.4.6) показывают, что для произвольного вектора n с компонентами n i τ ki n k являются компонентами вектора, а именно s(n) .Из частного закона, доказанного в примере 2.8.6, следует, что τ ij являются компонентами тензора второго порядка , называемого тензором напряжений Коши , обозначаемым T . Тогда с помощью (2.7.6) имеем

(7.4.7)T=τijej⊗ej

Соотношения (7.4.6) теперь можно выразить в прямой тензорной записи следующим образом:

(7.4 .8)s(n)=TTn

Это соотношение, связывающее вектор напряжения s(n) и тензор напряжения T , известно как закон Коши (гипотеза) .Закон можно выразить в терминах T (вместо T T ), поменяв местами значения τ ij и τ ji . Это всего лишь вопрос обозначений и соглашений.

Заметим, что через данную точку существует бесконечно много элементов поверхности. На каждом из этих элементов мы можем определить вектор напряжения. Совокупность всех этих векторов напряжений называется состоянием напряжений в точке.Соотношение (7.4.8) позволяет найти вектор напряжений на любом элементе поверхности в точке, зная тензор напряжений в этой точке. Таким образом, напряженное состояние в точке полностью определяется тензором напряжений в этой точке.

Для вычислительных целей удобно переписать уравнение (7.4.8) в матричной записи. Полученное уравнение матрицы имеет явную форму

(7.4.9) [S1S2S3] = [τ11τ21τ31τ12τ22τ32131τ23τ33] [N1N2N3]

, где мы упали N из символов S I ( N ) для простоты в обозначении.

Следует отметить, что закон Коши (7.4.8), утверждающий существование тензора напряжений, является прямым следствием постулатов (7. 2.4) и (7.4.3). Эти два постулата являются всего лишь двумя частными случаями более общего и фундаментального постулата, называемого законом баланса линейного количества движения . Этот основной закон будет представлен в разделе 8.3.

ПРИМЕР 7.4.1

Матрица напряжений в точке P в материале задается следующим образом: p через P и параллельно плоскости 2 x 1 + x 2 x 3 = 1, (ii) модуль вектора напряжения что вектор напряжения совершает с нормалью к плоскости.

Решение Плоский элемент p , на котором требуется вектор напряжения, параллелен плоскости 2 x 1 + x 2 x 4 90 отношения направлений нормали к плоскости равны (2, 1, −1), а направляющие косинусы равны (2/6, 1/6, −1/6). Таким образом, компоненты n i нормального к плоскости элемента p равны

(7. 4.10)n1=26, n2=16 n3=−16

Подставляя вместо τ 3 4 из заданной матрицы напряжений и с помощью (7.4.10) в законе Коши (7.4.9) получаем

[s1s2s3]=[31412−54−50][2/61/6−1/6]

Это дает

(7.4.11)s1= 3/2, s2=33/2, s3=3/2

Таким образом, требуемый вектор напряжения равен

(7.4.12)s=3/2(e1+3e2+e3)

, а его модуль равен

( 7.4.13)|s|=33/2

Из (7.4.10) и (7.4.12) получаем

(7.4.14)s·n=2

Отсюда угол θ между направлениями s и n определяется как

(7.4.15)cosθ=s·n|s||n|=8/33

Примечание: выражение (7.4.15) иллюстрирует тот важный факт, что вектор напряжения на элементе поверхности не обязательно должен быть направлен по нормали к поверхности.

ПРИМЕР 7.4.2

Матрица напряжений в точке P ( x i ) в материале определяется следующим образом:

[τij]=[x3x1x320x320-x20-x20] Найдите вектор напряжения в точке β(1, 0, −1) на поверхности х 2 2 + х 3 2 х 1 1 1 1 .

решение вектор стресса требуется на поверхности F ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 2 = х 3 2 = 0. Получаем, что

(7.4.16)∇f=e1−2x2e2−2x3e3; |∇f|=(1+4×22+4×32)1/2

В точке Q (1, 0, −1) получаем ∇f=e1+2e3,|∇f|=5. Следовательно, единица измерения внешней нормали к поверхности f = 0 в точке Q равна

n=∇f|∇f|=15(e1+2e3)

, так что

(7.4.17)n1=15, n2=0, n3=25

В точке Q заданная матрица напряжений

(7.4.18)[τij]=[−110100000]

, а τ ij из (7.4.17) и (7.4.18) в законе Коши (7.4.9) и приравнивая соответствующие элементы, получаем s1=−1/5,s2=1/5 ,s3=0. Следовательно, требуемый вектор напряжения равен

s=−15(e1−e2)

▪ПРИМЕР 7.4.3

Напряженное состояние в точке x называется одноосным , если с (n) находится вдоль постоянного единичного вектора a для всех n . Покажите, что такое напряженное состояние возникает, если тензор напряжений в точке x имеет вид T = T ( a a ), где T — скаляр. Интерпретировать T .

Решение Предположим, что

(7.4.19)T=T(a⊗a)

, где a — постоянный единичный вектор, а T — скаляр. Тогда для любого вектора n ,

TTn=T(a⊗a)n=T(a·n)a

Используя закон Коши (7.4.8), это становится

(7.4.20)s(n)=T(a·n)a

Очевидно, s(n) проходит вдоль a и напряженное состояние в точке х является одноосным.

Из (7.4.20) получаем

(7.4.21)s(a)·a=T(a·a)(a·a)=T

Так как s(a) напряжение вектор на элементе поверхности с а в качестве единичной нормали, мы находим из (7.4.21), что T представляет компонент вдоль a вектора напряжения, который действует на плоскости, перпендикулярной a .

ПРИМЕР 7 .4.4

Показать, что s(n) = − p n для всех n тогда и только тогда, когда (Такое напряженное состояние возникает в покоящихся жидкостях и называется гидростатическим напряжением .)

Решение Сначала предположим, что

(7.4.22)s(n)=−pn

для всех n . Затем S ( I ) S ( E S ( E I ) = — P E I и выражение (7.3.4) дает

(7.4.23)τij=s(i)·ej=−pei·ej=−pδij.

Обратно, предположим, что τ ij заданы формулой (7.4.23). Тогда T = − p I , и по закону Коши получаем (7.4.22).

. ПРИМЕР 7.4.5. Докажите, что

(7.4.24)n·s(n′)=n′·s(n)

тогда и только тогда, когда тензор напряжений в точке x симметричен.

Решение По закону Коши (7.4.8) получаем

(7.4.25)n′·s(n)=n′·(TTn); n·s(n′)=n·(TTn′).

Далее, в силу (2.8.14) заметим, что

(7.4.26)n·(TTn′)=n′·(Tn).

Из (7.4.25) и (7.4.26) находим, что (7.4.24) выполняется тогда и только тогда, когда T T = T напряжения в плоскости разлома 5.4 Определение нормальных и касательных напряжений в плоскости разлома Подразделы


В этом разделе мы рассмотрим два метода расчета нормальных и касательных напряжений в трещинах и разломах.В первой части рассматривается метод круга Мора, чтобы получить концептуальное представление о проекции напряжения на разломы и максимальное соотношение между напряжением сдвига и эффективным нормальным напряжением. Во второй части обсуждается тензорный метод, который требует определения трех систем координат и умножения матриц. Тензорный метод может быть легко реализован в компьютерном скрипте, но трудоемок при ручной обработке.

Трехмерный круг Мора представляет собой графическое представление тензора напряжений и всех его проекций (или возможных значений нормального эффективного напряжения и касательного напряжения) на заданную плоскость.Рассмотрим горизонтальную плоскость на рис. 5.20, нормальным напряжением является вертикальное напряжение, а касательное напряжение отсутствует. Рассмотрим вертикальную плоскость с простиранием восток-запад на рис. 5.20, вы получите минимальное главное напряжение . Рассмотрим вертикальную плоскость простирания север-юг на рис. 5.20, вы получите максимальное главное напряжение.

Точно так же нетривиальные решения проекции напряжения на произвольный угол плоскости включают все точки, ограниченные тремя кругами Мора. Рассмотрим решения вдоль каждой окружности на рис.5.20.

Рисунок 5.20: Трехмерный круг Мора

Для этого примера (нормальный разлом, азимут В-З) идеальный разлом возник бы с простиранием В-З и падением 60 (при условии, что ). Это ориентация плоскости с максимальным .


ЗАДАЧА 5.3: Найти касательные и нормальные действующие напряжения на плоскости разлома при следующих напряженных состояниях и условиях:

РЕШЕНИЕ

Действующие напряжения: 13 МПа, 10 МПа, 3.8 МПа. На основе круга Мора с и тригонометрия:


ЗАДАЧА 5.4: Найти касательные и нормальные действующие напряжения на плоскости разлома при следующих напряженных состояниях и условиях:

РЕШЕНИЕ

Действующие напряжения: 15 МПа, 30 МПа, 10 МПа. На основе круга Мора с участием и тригонометрия:

В этом подразделе описывается процедура расчета напряжений на произвольной плоскости с учетом ее ориентации относительно географической системы координат и тензор натурных напряжений главных напряжений (с учетом его главных значений и главных направлений).

Первый шаг состоит в определении системы координат главного напряжения и географической системы координат (обе правые системы координат).

Рисунок 5.21: Тензор напряжений в главных направлениях и географических системах координат.

Второй шаг включает построение изменения базовой матрицы от главного напряжения до системы географических координат. Эта матрица зависит от проекций элементов новой базы на старую по косинусам направляющих углов , , и (рис.5.22). В таблице 5.3 приведены значения , и для случаев, когда вертикальное напряжение является главным напряжением.

Рисунок 5.22: Матрица преобразования главных направлений в географическую систему координат и соответствующие им углы.
(5.7)

Проверьте эту ссылку https://mybinder.org/v2/gh/johntfoster/rotation_widget/master?filepath=rotation_widget-rise.ipynb для анимации , и в произвольных направлениях.

С помощью матрицы мы можем вычислить тензор напряжений как функция ,

(5. 8)

и поэтому:

(5.9)

где верхний индекс означает «транспонировать».


ЗАДАЧА 5.5: Расчет в случае нормального режима разломного напряжения (МПа, МПа, МПа) с азимутом север-юг.является основным напряжением.

РЕШЕНИЕ
. Тензор главных напряжений равен

Используя Таблицу 5.3 и принимая во внимание, что углы координаты главного напряжения получаются , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

Наконец, используя уравнение 5.9


ПРОБЛЕМА 5.6: Рассчитать в случае сдвигового режима напряжений (МПа, МПа, МПа) с азимутом С-Ю. является основным напряжением.

РЕШЕНИЕ
. Тензор главных напряжений равен

Используя таблицу 5. 3 и учитывая, что и , углы координаты главного напряжения , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

Наконец, используя уравнение 5.9


ЗАДАЧА 5.7: Расчет в случае взбросового стрессового режима (МПа, МПа, МПа) с азимутом В-З. является основным напряжением.

РЕШЕНИЕ

Тензор главных напряжений равен

Используя таблицу 5.3 и учитывая, что а также , углы координаты главного напряжения получаются , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

Наконец, используя уравнение 5.9


ЗАДАЧА 5.8: Расчет в случае сдвигового режима напряжения (МПа, МПа, МПа) с азимутом 135. является главным напряжением.

РЕШЕНИЕ

Тензор главных напряжений равен

Используя таблицу 5.3 и учитывая, что и , углы координаты главного напряжения , , а также .Результаты изменения матрицы системы координат

Наконец, используя уравнение 5.9

Третий шаг состоит в определении системы координат плоскости разлома. Базис системы координат состоит из векторов (падения), (простира) и (нормальа): правый базис d-s-n. Три вектора зависят исключительно от двух переменных: и от неисправности.

Рис. 5.23: Система координат разлома в зависимости от простирания и падения.

Четвертый шаг (последний) состоит в проецировании тензора напряжений, основанного на географической системе координат, на векторы основания разломов. Вектор напряжения, действующий на плоскость разлома (обратите внимание, что он не обязательно совпадает с , или ) и рассчитывается по формуле:

(5.10)

Общее нормальное напряжение в плоскости разлома равно (совмещено с ):

(5.11)

Эффективное нормальное напряжение в плоскости разлома равно . Касательные напряжения в плоскости разлома совпадают с а также являются:

(5.12)

Скалярное произведение используется во всех этих векторных умножениях. Геометрический смысл — проекция одного вектора на другой.

Эффективное нормальное напряжение и абсолютный сдвиг также можно рассчитать с помощью следующих уравнений:

(5.13)
(5.14)

Угол напряжения сдвига в отношении (горизонтальная линия) и количественно определяет направление ожидаемого движения разлома в плоскости разлома.

(5.15)


ЗАДАЧА 5.9: Рассчитать , , , , и для разлома простиранием 000 и падением 60E в месте с нормальным режимом разломных напряжений (МПа, МПа, МПа) с азимутом равным 90.является основным напряжением.

РЕШЕНИЕ

Тензор главных напряжений равен

Используя Таблицу 5.3 и принимая во внимание, что азимут равен 90, получаем углы координаты главного напряжения , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

а общее напряжение в географической системе координат получается

Учитывая ориентацию разлома, вектор нормали к разлому равен

Наконец, напряжения на разломе

МПа.
МПа
МПа
МПа
= 90


ЗАДАЧА 5. 10: Рассчитать , , , , и для разлома с простиранием 060 и падением 90 в месте со сдвиговым режимом напряжений (МПа, МПа, МПа) по азимуту, равному 120°, является главным напряжением.

РЕШЕНИЕ
. Тензор главных напряжений равен

Используя Таблицу 5.3 и принимая во внимание, что азимут равен 120, углы координаты главного напряжения получаются , , а также .Результаты изменения матрицы системы координат

а общее напряжение в географической системе координат получается

Учитывая ориентацию разлома, вектор нормали к разлому равен

Наконец, напряжения на разломе

МПа.
МПа
МПа
МПа
= 0


ПРОБЛЕМА 5.11: Рассчитать , , , , и для сопряженных разломов простирания 045 и 225 оба с падением 60 в месте с нормальным режимом разломных напряжений ( пси, пси, psi) с азимутом, равным 90°, является главным напряжением.

РЕШЕНИЕ
. Тензор главных напряжений равен

Используя Таблицу 5.3 и принимая во внимание, что азимут равен 90, получаем углы координаты главного напряжения , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

а тензор полных напряжений в географической системе координат дает

Рассмотрим первый разлом с простиранием 045 и падением 60, вектор нормали к разломам есть

Напряжения на этом разломе равны

фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
= 56,3

Рассмотрим разлом с простиранием 225 и падением 60, вектор нормали к разломам есть

Напряжения на этом разломе равны

фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм
= 56,3


ЗАДАЧА 5. 12: вычислить , , , , , и для разлома простиранием 120 и падением 70 в месте взбросового напряженного режима ( пси, пси, psi) с азимутом равным 150 и поровым давлением psi.является основным напряжением.

РЕШЕНИЕ
. Тензор главных напряжений равен

и поровое давление psi.

Используя Таблицу 5.3 и принимая во внимание, что азимут равен 150, углы координаты главного напряжения получаются , , а также . Результаты изменения матрицы системы координат

а общее напряжение в географической системе координат получается

Учитывая ориентацию разлома, вектор нормали к разлому равен

Наконец, напряжения на разломе

фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм, фунтов на квадратный дюйм
фунтов на квадратный дюйм, пси, фунт/кв. дюйм
= 18,21

Отношение сдвига к нормальному эффективному напряжению равно

Пример: сделать трехмерный круг Мора заполненным цветом, соответствующим значение, стереосетка и разломы в 3D.

Плоское напряжение, Плоское напряжение

Варианты нагрузки/сочетания

Выберите желаемое загружение, комбинацию нагрузок или конверт.

Щелкните вправо, чтобы ввести новые или изменить существующие сочетания нагрузок.(См. «Варианты нагрузки/сочетания»)

Шаг
Укажите шаг, для которого должны быть получены результаты анализа. Шаг определяется в геометрическом нелинейном анализе как Шаг нагрузки, а дополнительные шаги определяются на этапах построения анализа теплоты гидратации и т. д.

Примечание 1
Этап строительства, применимый для выходных данных анализа этапа строительства, определяется в разделе «Выбор этапа строительства для отображения» или «Панель инструментов этапа».

Примечание 2

При выполнении начального анализа конструкции, содержащей пластинчатые, плоскостные или сплошные элементы, результаты начального анализа для пластинчатых, плоскостных или сплошных элементов могут быть получены пошагово.

Варианты стресса

Определите параметры, необходимые для рисования напряжений.

Общий: Показать напряжения относительно GCS.

Локальный: отображение напряжений относительно локальной системы координат элемента.

ПСК: для плоских элементов, размещенных параллельно плоскости x-y пользовательской системы координат, результирующие напряжения отображаются относительно ПСК. Если ПСК не определена, назначается глобальная система координат.

Печать оси ПСК: установите флажок, чтобы распечатать оси ПСК на выходе.

Элемент
Отобразите контур, используя напряжения элемента, рассчитанные в каждом узле элементов.

Ср. Узловой
Отобразите контур, используя средние узловые напряжения смежных элементов, имеющих общие узлы.

Ср. Только активный узел
Выполнить Ср. Nodal только для активных в данный момент элементов.

Топ
Отображение напряжений на верхней стороне пластинчатых элементов. Верхняя сторона относится к верхнему крайнему волокну в локальном направлении z элемента.

Низ
Отображение напряжений на нижней стороне пластинчатых элементов. Нижняя сторона относится к нижнему крайнему волокну в локальном направлении z элемента.

Обе стороны
Отобразить одновременно напряжения на верхней и нижней сторонах с учетом толщины элементов плиты. Напряжения по толщине пластинчатых элементов линейно интерполированы.

Абс Макс
Отображение только максимальных абсолютных значений напряжений на верхней и нижней поверхностях.

 
Компоненты

Выберите нужный компонент напряжения из следующих:

Для UCS

Sig-XX: Осевое напряжение в направлении оси X по ГСК

Sig-YY: Осевое напряжение в направлении Y GCS

Sig-ZZ: Осевое напряжение в направлении Z GCS

Sig-XY: напряжение сдвига в плоскости X-Y GCS

Sig-YZ: напряжение сдвига в плоскости GCS Y-Z

Sig-XZ: напряжение сдвига в плоскости X-Z GCS

Sig-Max: максимальное основное напряжение

Sig-Min: минимальное основное напряжение

Sig-EFF: эффективное напряжение (напряжение фон Мизеса)

Max-Shear: максимальное напряжение сдвига (Tresca Stress)

 

Для местного

Sig — xx: Осевое напряжение в локальном направлении x элемента (перпендикулярно локальной плоскости y-z)

Sig — yy: осевое напряжение в локальном направлении элемента по оси y (перпендикулярно локальной плоскости x-z)

Sig — xy: напряжение сдвига в локальной плоскости x — y элемента (напряжение сдвига в плоскости)

Вектор: отображение максимального и минимального главных напряжений в векторах

Масштабный коэффициент вектора: Масштаб чертежа для векторной диаграммы

 

Тип дисплея

Определите тип дисплея следующим образом:

Контур

Отображение напряжений элементов плоского напряжения/плиты в контуре.

 

Диапазоны: определение диапазонов контура.

: Назначить диапазон цветового распределения контура. С помощью этой функции можно назначить определенные цвета для определенных диапазонов.

Количество цветов: Назначьте количество цветов, которые будут включены в контур (выберите один из 6, 12, 18, 24 цветов)

Цвета: назначение или управление цветами контура.

Таблица цветов: Назначьте тип цветов.

: Управление цветами по зонам в контуре.

Обратный контур: отметьте, чтобы изменить последовательность изменения цвета в контуре.

Контурная линия: Назначьте цвет граничной линии контура

Край элемента: Назначьте цвет краев элемента при отображении контура

Параметры контура: укажите параметры представления контура

Контурная заливка

Градиентная заливка: отображение цветового градиента (затенения) в контуре.

Рисование контурных линий: отображение цветовых границ в контуре.

Рисование только контурной линии
Отображение только цветных границ контура.

Моно-линия: отображение границ контура монохромным цветом.

Контур Аннотация
Отображается легенда или аннотация, обозначающая диапазоны контура.

Интервал: Укажите интервал легенды или аннотации.

Грубый контур (быстрее) (для большой пластины или твердотельной модели)
Представьте упрощенный контур для большой модели, используя пластинчатые или твердотельные элементы, чтобы сократить время, необходимое для представления полного контура.

Выдавливание
Когда элементы пластины или твердотельные элементы вдоль секущей плоскости представлены контуром, создается трехмерный контур. Положительное направление результатов анализа ориентировано по оси Z локальной системы координат элемента.
Этот параметр не применяется одновременно с параметром «Деформированная форма». Точно так же этот параметр нельзя применять одновременно к случаям, когда параметр «Скрытый» используется для отображения толщин пластинчатых элементов или параметр «Оба» используется для представления сил (напряжений) верхнего и нижнего стержня.

 

Деформация

Показать деформированную форму модели.

 

Масштабный коэффициент деформации
Увеличьте или уменьшите размер смещения, графически отображаемого в окне модели.

Деформация
Выберите тип отображения для смещения

Узловая деформация: отображение деформированной формы, отражающей только узловые смещения.

Real Displacement (Auto-Scale off): Истинная деформация конструкции представлена ​​графически без увеличения или уменьшения. Этот параметр обычно используется для геометрического нелинейного анализа, отражающего большое смещение.

Относительное смещение: деформация конструкции графически представлена ​​относительно минимального узлового смещения, для которого установлено значение «0»

 

Значения

Отображение напряжений плоскостных/плоских элементов в числовых значениях.
Шрифт и цвет чисел можно контролировать в параметрах отображения.

Decimal Points: Назначьте десятичные точки отображаемым числам

Exp.: Выразите в виде экспоненты

Min & Max: отображение максимального и минимального значений

Abs Max: отображение абсолютного максимального значения

Max: отображение только максимального значения

Min: отображение только минимального значения

Limit Scale (%): настройка экрана отображать предел напряжений в плоскостных/пластинчатых элементах относительно выбранного максимального или минимального значения

Установить ориентацию: отображать ориентацию числовых значений

Примечание
Десятичные точки по умолчанию можно контролировать в «Предпочтениях».
Установите Orientation = 0, чтобы числовые значения отображались по горизонтали справа от узлов или элементов.
Угол ориентации представляет собой направление против часовой стрелки, что может использоваться для улучшения читаемости чисел.

 

Легенда

Отображать различные ссылки, относящиеся к результатам анализа, справа или слева от рабочего окна.

 

Положение легенды: положение легенды в окне дисплея

Тип значения ранга: укажите тип значений в легенде и количество десятичных знаков.

Анимация

Динамическое моделирование напряжений в плоскостных/плоских элементах.
Щелкните затем щелкните Запись справа от панели управления анимацией в нижней части рабочего окна.

 

Режим анимации: определите тип анимации для результатов анализа.

Анимация контура: возможность изменить цвет контура, представляющего переход, в соответствии с величиной изменения

Повторить половину/полный цикл: выбрать цикл повторения для динамического представления перехода

Примечание
Выберите «Половина цикла» для переходных форм конструкции и «Полный цикл» для динамического моделирования режимов вибрации или режимов потери устойчивости.

Параметры AVI: введите параметры, необходимые для создания окна анимации.

бит на пиксель: количество бит на пиксель для создания окна по умолчанию для анимации

: назначение метода сжатия данных изображения

кадров в полупериод: количество кадров для имитации «полупериода»

кадров в секунду: Количество кадров в секунду для представления динамического моделирования

Вариант этапа строительства: выберите параметры анимации при выполнении анализа этапа строительства.

Stage Animation: анимация по этапам строительства

Current Stage-Step: анимация по шагам на текущем этапе строительства

From ~ To: начальные и конечные этапы строительства или шаги для анимации

Недеформированный

Перекрытие недеформированной и деформированной формы модели.

 

Зеркальный

«Зеркальный» позволяет пользователю расширить результаты анализа, полученные для половинной или четвертной модели, в результаты для полной модели путем отражения плоскостей.

 

Отражение половинной модели

Отражение четверти модели

Зеркальное отражение по: укажите плоскость (плоскости) отражения, указав плоскость и координату в направлении, перпендикулярном плоскости в GCS.

Предел текучести

Если результаты анализа, полученные в результате нелинейного анализа материала, превышают предел текучести пластического материала, определенный в параметре Начальное одноосное напряжение текучести, шарнир создается в точке Гаусса.

 

 

Примечание 1

Предел текучести применим к элементам с плоским напряжением и пластинчатым элементам.

 

Примечание 2

Для отображения пределов текучести на пластинчатом элементе использовалась модель ламинированной оболочки с 7 слоями для учета нелинейного анализа материала. Чтобы проверить состояние доходности точек Гаусса, «0,1» применяется снизу вверх. «0» представляет состояние эластичности, а «1» — состояние текучести.Для прямоугольных или треугольных элементов способ отображения «0,1» идентичен.

 

 

 

 

 

 

 

Прямоугольный элемент

Треугольный элемент

 

 

 Схема резки

Графически отображать напряжения в плоскостных/пластинчатых элементах вдоль линии или плоскости разреза.

Нажмите, чтобы получить доступ к диалоговому окну настройки деталей, чтобы определить линию разреза или пластину, необходимые для создания и просмотра напряжений элемента.

 

Режим схемы резки пластин

Линия разреза: построить график вдоль линии разреза

При выборе линии отреза

Секущая плоскость: построить график вдоль линии пересечения секущей плоскости и пластинчатых элементов

При выборе секущей плоскости

 

Генерация пакетного вывода ( , )
Учитывая типы результатов расчета для графических выходных данных, сгенерируйте последовательно графические выходные данные для выбранных вариантов нагрузки и комбинаций.Создается общее количество файлов, равное произведению количества отмеченных элементов в трех столбцах диалогового окна ниже.

Назначьте базовое имя файла, под которым сохраняются типы результатов (данные выбора в диалоговом окне «Формирование пакетного вывода» для графических выходов).

Укажите базовые файлы для выполнения пакетной генерации выходных данных, этапов строительства, загружений (комбинаций), шагов и т. д.в следующем диалоговом окне.

 

Сохраненная информация строки меню: здесь перечислены базовые файлы. Выберите базовые имена файлов для пакетного вывода.

: Удалить все базовые файлы, выбранные с помощью мыши.

При проведении анализа этапов строительства перечисляются все этапы строительства. Мы просто выбираем этапы интересов, которые будут включены в пакетный вывод. Если расчет этапа строительства не выполняется, столбец в диалоговом окне становится неактивным и отображает условия нагрузки (сочетания).

Этапы
Производится вывод результатов всех этапов строительства. Этапы строительства перечислены ниже.

Нагрузки конечной ступени
Выводятся результаты только для финальной стадии. Этапы строительства перечислены ниже. Если анализ стадии строительства не выполняется, то перечисляются условия нагрузки (сочетания).

Использование Сохранено
Примените только (сохраненный) шаг или условие загрузки (комбинации), выбранное во время создания каждого базового файла.

Этап LCase/LComb
При выполнении анализа этапа строительства выводятся автоматически сгенерированные условия нагрузки этапа строительства и дополнительно введенные сочетания нагрузок этапа строительства. Проверяйте только те условия загрузки (комбинации), которые будут использоваться для создания пакетных выходных данных. Этот столбец становится неактивным, если выбрано «Нагрузки на конечной стадии» или если анализ стадии строительства не выполняется.

Ступенчатая опция
Укажите этапы, для которых будут получены выходные данные при выполнении анализа стадии строительства или геометрического нелинейного анализа больших перемещений.

Сохраненный шаг: используйте только те шаги, которые использовались для создания базовых файлов

Все шаги: использовать все шаги

Опции вывода

Тип выходного файла
Выберите тип графического файла: BMP или EMF.

Автоматическое описание: В левом верхнем углу графических выходных данных, созданных в пакетном режиме, автоматически генерируются и включаются примечания, такие как типы и компоненты результатов анализа, этапы и этапы построения, условия нагрузки (сочетания) и т. д.Размер шрифта, цвет, тип и т. д. можно изменить, нажав кнопку .

Путь вывода
Укажите путь для сохранения графических файлов, которые будут создаваться в пакетном режиме.

Префикс файла: укажите префикс создаваемых графических файлов. Имена файлов будут состоять из «Префикс»_»Базовое имя файла»_»Загрузить комбинацию».bmp(emf) или «Префикс»_»Базовое имя файла»_»Этап»_»Этап LCase»_»Шаг». БМП(ЭДС).

: Создать указанный пакет графических файлов, отражающий содержимое диалогового окна.

/

Производить содержимое ввода данных в диалоговом окне «Основные файлы и создание пакетного вывода» в файле двоичного типа (fn.bog). Нажмите кнопку и выберите файл fn.bog, чтобы использовать тот же формат вывода.

Примечание
Импорт/экспорт имеет смысл только для разных проектов. В заданной структурной модели базовые файлы автоматически сохраняются и перечисляются.

Компоненты напряжения — 2019 — Справка по SOLIDWORKS

VON стресс фон Мизеса
VONDC: фон Мизес [Компоненты направления] Доступно только для линейно-динамических — гармонических исследований.

Решатель выполняет расчет напряжения по Мизесу. точно, принимая во внимание соответствующие знаки (положительные или отрицательное) из шести компонентов стресса.

VON: график напряжений фон Мизеса вычисляет напряжения фон Мизеса из шесть компонентов стресса. То же самое верно и для VONDC: фон Диаграмма напряжения Мизеса [Компоненты направления]. Однако, поскольку результаты линейных динамических гармонических исследований получены для максимальная установившаяся амплитуда колебаний, традиционная метод расчета результатов напряжений фон Мизеса учитывает только положительные значения компонент напряжения. Фаза стресса смещения могут возникать, когда определенная составляющая напряжения положительна а другая компонента напряжения отрицательна. VONDC: фон Мизес График напряжения [Компоненты направления] учитывает влияние смещение фаз стресса. Уравнение фон Мизеса диктует, что квадрат разницы между положительным и отрицательным компонент напряжения может быть больше по сравнению с разницей между положительными значениями составляющей напряжения.Таким образом, VONDC: Ожидается, что значения напряжения фон Мизеса [Компоненты направления] быть более консервативным, чем VON: стресс фон Мизеса значения.

Р1 Нормальное напряжение в первом главном направление
Р2 Нормальное напряжение во втором главном направление
Р3 Нормальное напряжение в третьем главном направление
INT Интенсивность напряжения = P1 — P3 (a)

, где P1: максимальное абсолютное нормальное напряжение, а P3: минимальное абсолютное нормальное напряжение.

ТРИ Трехосное напряжение = P1 + P2 + P3 (сумма главных напряжений компоненты. Также называется первым инвариантом напряжения, потому что значение остается неизменным независимо от применяемого вами преобразования координат к тензору напряжений.)
СХ Нормальное напряжение в направлении X выбранная справочная геометрия
СИ Нормальное напряжение в направлении Y выбранная справочная геометрия
СЗ Нормальное напряжение в направлении Z выбранная справочная геометрия
ТХИ Напряжение сдвига в направлении Y, действующее на плоскости, перпендикулярной направлению X выбранной привязки геометрия

Для компонентов напряжения сдвига первая индекс указывает направление нормали к поверхности, а второй индекс указывает направление компонента напряжения сдвига.

ТХЗ Напряжение сдвига в направлении Z, действующее на плоскости, перпендикулярной направлению X выбранной привязки геометрия
ТИЗ Напряжение сдвига в направлении Z, действующее плоскость, нормаль к направлению Y выбранной ссылки геометрия
ОШИБКА Ошибка нормы энергопотребления (доступно для статического испытания и испытания на падение) учеба)
КП Контактное давление (б)
ИЛТХЗ Межслойный сдвиг на плоскости XZ
ИЛТИЗ Межслойный сдвиг на плоскости YZ

Стресс

Стресс

Материал на этой странице защищен авторским правом © 2020 John W. Ф. Уолдрон

Динамический анализ связан с силой и напряжением (сила на единицу площади).

Первое слово в борьбе со стрессом — осторожность! Новички в геологии, поощряемые в некоторых случаях плохо сформулированными учебниками, склонны делать поспешные выводы, основанные на наблюдениях за геометрией. Несмотря на многие десятилетия исследований в области структурной геологии, необычно делать какие-либо количественные выводы о стрессе на основе наблюдений за обнажениями!

Частично проблема заключается в том, что геологическая скорость пластической деформации очень малаоооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо. Для хрупкой деформации экспериментальное моделирование конструкций проще, но экспериментальная структурная геология все еще остается сложной областью.

Тем не менее, понимание напряжения критически важно в областях структурной геологии и инженерии, которые имеют дело с напряжением в настоящее время, таких как исследования землетрясений и поведение флюидов (вода, нефть, газ) в недрах, поэтому мы необходимо знать, как измеряется напряжение, и потенциальные способы, которыми структуры связаны с напряжением.

Векторы напряжений и тензоры

Напряжение или растяжение на 2D-поверхности

Сила концентрации на любой плоскости может быть выражена в Нм -2 или Па.Эта величина представляет собой вектор с тремя компонентами, известный как напряжение .

Примечание: слово ударение употребляется двояко. Он может описывать концентрацию силы на плоскости, также известную как тяга (или, в особом случае, когда сила перпендикулярна плоскости, как давление). Однако его также можно использовать для описания множества сил, действующих во всех возможных плоскостях, проходящих через точку. Это трехмерное напряженное состояние не может быть описано одним вектором — это -тензорная -величина.В некоторых учебниках слово напряжение ограничивается этой тензорной величиной, а слово тяга используется для обозначения вектора, описывающего концентрацию силы на одной плоскости. В этих заметках термин «напряжение» используется неофициально как для тензорной величины, так и для ее векторного проявления. Если есть возможность путаницы, мы будем писать «напряжение на плоскости» или «тензор напряжения», чтобы различать эти два понятия.

В формулах принято использовать греческую букву сигма σ для вектора напряжения.Тензоры обычно обозначаются прописными жирными буквами, но прописная сигма (Σ) используется для слишком многих других вещей! Мы будем использовать прописные буквы T , если нам нужно представить тензор напряжений алгебраически.

Нормальное напряжение

Составляющая напряжения σ n , перпендикулярная поверхности, является нормальным напряжением (или растяжением).

Напряжение сдвига

Часть напряжения σ s или τ параллельно поверхности называется напряжением сдвига (или тяговым усилием).Общее напряжение на поверхности равно векторной сумме нормального и касательного напряжения.

Касательное напряжение само по себе может быть разделено на компоненты, параллельные (например) простиранию и падению поверхности.

Соглашение о знаках

Обратите внимание, что в геологии мы обычно рассматриваем сжимающих нормальных напряжений как положительных , потому что сжимающие напряжения гораздо более распространены в Земле. (Это приводит к некоторым трудностям, когда мы связываем напряжение и напряжение, потому что мы рассматриваем деформации растяжения как положительные, а укорочения как отрицательные.)

Единицы напряжения

Единицей напряжения в СИ является паскаль, равный одному ньютону на квадратный метр. Однако даже легкий ветерок оказывает давление на поверхность Земли в несколько паскалей, поэтому 1 паскаль не имеет большого значения для средней породы. Геологи использовали сбивающее с толку множество альтернативных мер стресса:

  • Килопаскаль 1 кПа = 1000 Па
  • Мегапаскаль 1 МПа = 10 6 Па
  • Гигапаскаль 1 ГПа = 10 9 Па
  • Единицей напряжения в сгс (сантиметр-грамм-секунда) является дина/см 2 , которая равна 0. 1 Па.
  • Чаще всего для единиц СГС используется бар. 1 бар = 10 6 дин/см 2 = 10 5 Па
  • Отсюда 1 kb = 10 8 Па = 100 МПа
  • Среднее атмосферное давление составляет около 101325 Па; следовательно, 1 атм близок к 1 бару или 10 5 Па
  • Британской единицей измерения является фунт-сила на квадратный дюйм, или psi. 1 фунт на квадратный дюйм = 6894 Па

Чтобы дать общее представление о диапазоне напряжений в земной коре, среднее напряжение (примерно эквивалентное давлению) в основании континентальной коры составляет около 1 ГПа, 10 кбар, 10 000 атм или 14 500 фунтов на квадратный дюйм.

Напряженное состояние в 3D

Напряженное состояние в 3D

По мере того, как мы переходим в трехмерное пространство, все усложняется. В любой точке внутри Земли есть бесконечное количество по-разному ориентированных поверхностей. В жидкости все эти поверхности испытывают одинаковое напряжение, и мы описываем напряженное состояние одним числом — давлением .

В твердом теле каждая плоскость будет подвергаться разным векторам напряжения

Эллипсоид напряжения

Если мы нарисуем все векторы, описывающие напряжение в точке, они будут определять эллипсоид напряжения.Это графическое представление, но не очень удобный инструмент для расчета напряжения.

Тензор напряжения

Оказывается, мы можем полностью определить состояние напряжения в точке внутри земли, которое можно рассматривать как действующее на поверхности крошечного куба.

Пока куб неподвижен, силы на противоположных гранях должны быть равными и противоположными, поэтому необходимо рассмотреть три поверхности с девятью компонентами напряжения. Девять компонентов могут быть представлены матрицей, тензором напряжений

(σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33)

Аргументы с моментами можно использовать, чтобы показать, что σ 12 = σ 21 и т. д., поэтому матрица симметрична и состоит только из шести независимых компонентов.

Тензор напряжения является гораздо более практичным средством представления напряжения, потому что его можно использовать для расчета тяги на любой произвольно ориентированной плоскости, если эта плоскость может быть представлена ​​единичным вектором ÷ . Расчет представляет собой умножение матриц.

σ =  

Главные напряжения

В общем случае будут три специальные взаимно перпендикулярные плоскости, которые не испытывают напряжения сдвига, а только нормальное напряжение.

Полюса этих плоскостей являются осями напряжений , а напряжения, действующие вдоль них, называются главными напряжениями . σ 1 2 3.

Это означает, что напряжение на плоскости действует в том же направлении, что и полюс на плоскость. Следовательно, математически вектор напряжения является простым кратным вектору, представляющему плоскость:

.

σ = k â =  

Где k — скалярная константа.Это уравнение на самом деле является определением собственного вектора — понятия, с которым мы познакомились в разделе, посвященном статистике.

Итак, оси напряжений соответствуют собственным векторам тензора напряжений.

Если оси напряжений 1, 2 и 3 совпадают с координатными осями 1, 2 и 3, то тензор напряжений становится очень простым.

(σ1000σ2000σ3)

Если два главных напряжения равны нулю, то напряженное состояние описывается как одноосное.

Если одно из главных напряжений равно нулю, а два отличны от нуля, то напряжение двухосное.

Если все три главных напряжения отличны от нуля (даже если два или три одинаковы), то напряженное состояние трехосное.

Среднее и девиаторное напряжение
Среднее напряжение

Если мы возьмем среднее значение трех основных напряжений, мы найдем среднее напряжение , которое эквивалентно нормальному понятию давления (т. грамм. в метаморфической петрологии).

Среднее напряжение σ м = (σ 1 + σ 2 + σ 3 )/3

Девиаторное напряжение

Оставшееся напряжение, которое мы получаем, вычитая среднее напряжение из трех диагональных компонент тензора напряжений, называется девиаторным или дифференциальным напряжением.

Девиаторное напряжение = (σ11−σmσ12σ13σ21σ22−σmσ23σ31σ32σ33−σm)

Простой способ представить компоненты среднего и девиаторного напряжения состоит в том, чтобы принять во внимание, что

  • среднее напряжение влияет на изменение объема
  • девиаторное напряжение действует для изменения формы
Дифференциальное напряжение

Другой полезной мерой той части напряжения, которая влияет на изменение формы, является разница между максимальным и минимальным главными напряжениями.

Дифференциальное напряжение σ d = (σ 1 — σ 3 )

Эта мера очень полезна при изучении образования трещин и в любой ситуации, когда значение промежуточного главного напряжения менее важно, чем два крайних значения

Действующее напряжение

Иногда часть среднего напряжения в породе поддерживается давлением порового флюида. Это уменьшает влияние нормальных напряжений на минеральные зерна, эффективно уменьшая среднее напряжение, но оставляет неизменными напряжения сдвига.

Эффективное напряжение (или эффективное давление) определяется как напряжение минус поровое давление жидкости.

(σ11−Pfσ12σ13σ21σ22−Pfσ23σ31σ32σ33−Pf)
Напряженные режимы
Стандартные стрессовые состояния

Стандартные состояния напряжения — это состояния, в которых напряжение полностью обусловлено силой тяжести, действующей на породы литосферы.

Наиболее простыми являются состояния гидростатического и литостатического напряженного состояния, в которых все три главных напряжения равны σ 1 = σ 2 = σ 3 .В этих условиях эллипсоид напряжений представляет собой сферу, а направления осей напряжений не определены.

Гидростатическое напряжение описывает ситуацию в водоеме в состоянии покоя. Поскольку вода практически несжимаема, все поверхности «чувствуют» одинаковое напряжение σ 1 = σ 2 = σ 3 = ρgz , где ρ — плотность воды , g — ускорение свободного падения. , z — глубина. Если вода в пористой породе постоянно связана с поверхностью, давление в этой жидкости, вероятно, будет примерно гидростатическим.

Литостатическое напряжение аналогично, но из-за плотности вышележащей породы, а не воды. Это подходящее описание для частей земной коры, которые оставались стабильными под собственным весом в течение длительных периодов геологического времени; медленная пластичная деформация позволила им вести себя как тяжелая жидкость.

Состояние напряжения Одноосная деформация представляет собой скорректированное состояние напряжения, напоминающее литостатическое состояние, но учитывающее тот факт, что горные породы сжимаемы.Следовательно, влияние веса вышележащей породы должно вызвать уплотнение. Из-за уплотнения вертикальные поверхности не «чувствуют» такую ​​большую нагрузку, как горизонтальные поверхности.

Теоретически снижение горизонтального напряжения является функцией коэффициента Пуассона ν, меры сжимаемости, с которой мы вскоре познакомимся.

σx=σy=ν1−νσz=ν1−νρgz

На практике напряженное состояние в большинстве осадочных бассейнов, подвергающихся уплотнению, находится где-то между состоянием одноосной деформации и литостатическим состоянием.

(Примечание: слово « одноосное » используется по-разному в исследованиях напряжений и деформаций. Одноосное растяжение описывает ситуацию, когда две главные деформации равны ; при одноосном напряжении два главных напряжения равны нулю .)

Тектонические напряжения

В целом в пределах Земли оси напряжений σ 1 σ 2 σ 3 не совпадают с пространственными осями, хотя на поверхности Земли , одна из осей напряжений всегда примерно совпадает с вертикалью ось «z».Это связано с тем, что поверхность Земли приблизительно горизонтальна и представляет собой поверхность с нулевым напряжением сдвига (если пренебречь довольно небольшими напряжениями сдвига, создаваемыми потоками воды и воздуха).

Этот принцип был впервые выдвинут Андерсоном, и напряженное состояние, в котором одно главное напряжение является вертикальным, часто описывается как Андерсоновский . Существуют три андерсоновских режима напряжения, каждый из которых характеризуется определенным распределением разломов.

  • Гравитационный или нормальный режим: σ 1 вертикальный
  • Разворотный или сдвиговый режим: σ 2 вертикальный
  • Тяговый режим: σ 3 вертикальный
  • Обратите внимание, что в каждом из этих режимов доминирующими разломами являются сопряженных разломов , которые лежат по обе стороны от σ 1 и пересекаются вдоль σ 2 .

Расчет напряжения на поверхности

Умножение матриц

Можно рассчитать напряжение на любой поверхности (известное как разрешенное напряжение или растяжение) с помощью геометрических построений, но если известен тензор напряжения, это проще сделать с помощью матричного умножения.

Для линейных алгебраистов, если напряженное состояние представлено тензором напряжений Τ , а является вектором, представляющим полюс к плоскости, то вектор напряжения σ в этой плоскости вычисляется умножением матриц

σ = Τâ

Круг Мора для стресса

Существует построение круга Мора для напряжения, которое эффективно выполняет графическое вычисление тензора.

Если по оси x графика отложить нормальное напряжение, а по оси y отложить касательное напряжение, то все возможные комбинации нормального и касательного напряжения попадают в круг, который пересекает ось x в точке σ 1 и σ 3

Если ограничиться плоскостями, параллельными σ 2 , то комбинации нормальных и касательных напряжений лежат на самой окружности. На эти плоскости всегда приходятся самые высокие напряжения, поэтому эта диаграмма полезна для прогнозирования разрушения.

 

Его можно использовать для прогнозирования ориентации плоскости, которая первой превышает предел прочности породы.

Условия для хрупкого разрушения представлены огибающей отказа . Когда дифференциальное напряжение становится достаточно большим, круг Мора пересекает оболочку разрушения и происходит разрушение.

Для других ориентаций плоскостей необходима трехмерная диаграмма Мора; он состоит из 3 кругов Мора, по одному для плоскостей, параллельных σ 1 , σ 2 , σ 3 .

Реакция материалов на нагрузку

Стресс-тестирование

Следующие разделы посвящены различным способам реакции горных пород на нагрузку. Существует множество лабораторных установок для стресс-тестирования материалов.

Лабораторное оборудование для стресс-тестирования обычно устроено так, что:

  • Образец заключен в непроницаемую оболочку, которая является слабой по сравнению с образцом, но служит для отделения внутренней поровой жидкости от внешней жидкости, которая используется для контроля напряжения.
  • Чтобы укоротить образец , поршни, расположенные на обоих концах образца, укорачивают образец на измеренное расстояние (от которого можно рассчитать деформацию). Соответствующее напряжение σ 1 регистрируется манометром в поршневом аппарате
  • Измеренное ограничивающее давление прикладывается к внешней стороне образца для контроля σ 2 и σ 3 . (В наиболее распространенных устройствах эти два параметра имеют одинаковое значение).
  • Давление порового флюида e можно изменять, закачивая флюид под измеряемым давлением внутрь кожуха образца.

Упругий отклик

Упругое поведение является простейшей реакцией, при которой деформация пропорциональна приложенному напряжению.

В этом случае, если напряжение уменьшается, деформация тоже уменьшается, поэтому мы говорим, что упругая деформация восстанавливаема . Этот тип деформации очень важен для понимания сейсмических волн и для инженерно-геологических приложений. Естественные упругие деформации горных пород малы и не сохраняются в древних горных породах.Тем не менее важно понимать упругую деформацию, поскольку она помогает определить состояние напряжения в литосфере.

Зависимость продольного напряжения от деформации: модуль Юнга

Закон Гука: При упругой деформации конечная деформация связана с напряжением пропорционально.

Соотношение между напряжением и деформацией в одном измерении для эластичного материала составляет

.

нормальное напряжение σ n = E.е

, где E — модуль упругости Юнга , а e — удлинение или дробное изменение длины .

Отношение длины к ширине: коэффициент Пуассона

Большинство горных пород при воздействии сжимающего напряжения в одном направлении имеют тенденцию к расширению под прямым углом к ​​этому направлению. Эта тенденция выражается коэффициентом Пуассона ν, отношением утолщения к укорочению при таком напряжении.

Коэффициент Пуассона ν= — e x / e z

Где e z — продолжение, параллельное σ 1 , а e x — продолжение, перпендикулярное σ 1 .

Для образца, сохраняющего постоянный объем, коэффициент Пуассона будет равен 0,5. Большинство горных пород демонстрируют отрицательное изменение объема при одноосном напряжении, поэтому коэффициент Пуассона находится между 0.5 и 0.

Оказывается, что для изотропного упругого материала модуль Юнга и коэффициент Пуассона — это все, что необходимо для описания упругих свойств. Хотя иногда используются и другие модули, их можно вывести из этих двух величин.

Хрупкое разрушение

Типы переломов

Большинство горных пород вблизи поверхности Земли, подвергающиеся возрастающим дифференциальным напряжениям, в конечном итоге разрушаются из-за хрупкого разрушения. Когда происходит разрушение, прочность породы падает до нуля в плоскости разрушения.Это называется потерей сплоченности.

Переломы могут образовываться несколькими способами. В некоторых случаях две стороны перелома расходятся. Такие переломы известны как растяжения или растяжения переломов; в выходах горных пород соответствующие признаки составляют трещин . Обычно они формируются перпендикулярно минимальному главному напряжению σ 3 .

В качестве альтернативы мы можем видеть трещины, в которых две стороны сместились друг за другом: i.е. движение параллельно плоскости перелома. Они известны как переломов сдвига ; соответствующие особенности в обнажениях — разломов . Обычно они формируются в наборы зеркальных изображений, которые пересекаются вдоль σ 2 и образуют некоторый угол θ по обе стороны от σ 3 . Направление сдвига таково, что клиновидные блоки породы с острым углом, разделенным пополам на σ 2 , проталкиваются внутрь к центру образца.Такие переломы известны как сопряженные переломы .

Развитие трещины

Трещины Гриффита — микроскопические трещины, в основном по границам зерен — присутствуют во всех геологических материалах. Экспериментальные работы показывают, что они важны для развития разломов, поскольку на концах трещин возникают высокие концентрации напряжений.

Трещины Гриффита, ориентированные под большими углами к σ 3 , имеют тенденцию раскрываться по мере увеличения дифференциального напряжения.В непористых породах первым признаком надвигающегося разлома может быть небольшое увеличение объема, называемое дилатансией . На глубине этому увеличению объема противостоит всестороннее давление, и развитие разлома затруднено.

Напряжение концентрируется на вершинах трещин Гриффита, что вызывает их рост. Зона раскрытия трещин известна как технологическая зона или зона фрикционного разрушения.

Со временем трещины Гриффита сливаются в сквозную трещину, по которой может начаться скольжение.

После начала скольжения трещина распространяется чрезвычайно быстро: скорости сравнимы со скоростью сейсмических волн, измеряемых в километрах в секунду. Для распространения трещины по испытательному образцу может потребоваться всего миллисекунды. Естественные разломы Земли распространяются на гораздо большие расстояния. Природные землетрясения могут длиться в течение нескольких минут, поскольку трещина распространяется вдоль плоскости разлома.

В любой момент во время распространения трещина ограничена концевой линией .

Переломы могут распространяться как

  • Режим 1 — переломы растяжения
  • Режим 2 — скольжение трещины при сдвиге перпендикулярно линии острия
  • Режим 3 — скольжение трещины при сдвиге параллельно линии острия
Критерии отказа

Условие отказа может быть представлено на диаграмме Мора для напряжения в виде огибающей отказа . Было предложено несколько различных формул для диапазона отказов.

Простейший из них был предложен Кулоном и представляет собой прямолинейную зависимость между напряжением сдвига и нормальным напряжением, действующим на плоскость разрушения.

о с = C + σ n tan φ

, где φ известно как угол внутреннего трения , а константа C является сцеплением .

Конструкцию Мора можно использовать, чтобы показать, что она предсказывает, что сдвиговые трещины будут образовываться таким образом, что полюс трещины образует угол с σ 1 определяется как:

θ = 45° + φ /2

Влияние давления жидкости

Высокое давление порового флюида снижает все нормальные напряжения; напряжения сдвига не изменяются.Остаточное напряжение известно как эффективное напряжение.

На диаграмме Мора это можно показать, сдвинув круг Мора влево на величину, равную давлению жидкости.

В результате увеличения давления жидкости круг Мора может пересечь оболочку разрушения, что приведет к гидроразрывам.

Если круг Мора пересекает наклонную часть оболочки разрушения, образуются трещины сопряженного сдвига (режим 2 или 3)

Если круг Мора сначала пересекает часть оболочки разрушения в части диаграммы растяжения ( σ n отрицательный), то трещины гидроразрыва относятся к типу 1, трещины растяжения

Ранее существовавшие переломы

Байерли вывел эмпирическое соотношение для движения на ранее существовавших трещинах

Обратите внимание, что в соответствии с « законом Байерли » зона разрушения не распространяется на поле растяжения в левой части диаграммы.Это означает, что скала не может выдержать никакого растягивающего напряжения — у нее нет сцепления.

Σ S = 0,85 Σ N (для Σ N <200 МПа) <200 МПа) Σ S = 50 МПа + 0,60 Σ N ( для σ n > 200 МПа)

Разломы и катакластический поток

Многие хрупкие трещины встречаются в виде дискретных плоскостей, но в некоторых горных породах зерна движутся независимо друг от друга или имеются множественные анастомозирующие трещины, которые создают видимость непрерывной деформации.

  • Когда самостоятельные зерна движутся (например, в плохо сцементированном песчанике), деформация называется гранулярным течением. Образующаяся полоса деформации может казаться пластичной в масштабе обнажения, но хрупкой в ​​микроскопическом масштабе.
  • Когда движущиеся частицы создаются путем разрушения ранее существовавших зерен, этот процесс называется катакластическим потоком.

Эти типы потока могут оказывать значительное влияние на пористость.

  • В рыхло сцементированных породах с высокой начальной пористостью катакластические и гранулярные потоки могут снижать пористость и проницаемость за счет создания более плотной упаковки частиц. Разломы этого типа могут действовать как барьеры для миграции флюидов в недрах.
  • С другой стороны, в сильно сцементированных непористых породах катакластическое течение может привести к образованию пористости, явлению, известному как дилатансия . Такие разломы могут действовать как каналы для флюидов и в результате могут минерализоваться.

Измерение напряжения в наши дни (неотектоническое напряжение)

Трудно или невозможно измерить стресс напрямую. Большинство методов измерения напряжения на самом деле измеряют влияние напряжения на какой-либо материал — деформацию. Обычно мы пытаемся выбрать материал, для которого соотношение между напряжением и деформацией (определяющее уравнение) хорошо известно.

В настоящее время существует всего несколько методов прямого измерения напряжения в Земле.Однако текущее напряженное состояние важно при добыче нефти, поскольку оно частично определяет, остаются ли трещины открытыми.

Во всех этих методах мы фактически измеряем упругую деформацию. Мы можем использовать это для оценки напряжения, поскольку упругая деформация и напряжение обычно связаны линейной зависимостью.

Прорывы скважины

Скважины могут реагировать на девиаторное напряжение, показывая прорывы. Обычно при прорыве скважина становится эллиптической, и ориентация эллиптического контура может быть определена по ориентированным каротажным кавернометриям.Длинная ось эллипса представляет собой минимальное сжимающее напряжение, действующее на ствол скважины, тогда как короткая ось представляет собой направление максимального сжатия.

Ориентация прорыва часто используется, чтобы показать ориентацию двух главных напряжений. Однако это предполагает

  • скважина вертикальная; а также
  • ударение андерсоновское

Строго говоря, прорывы указывают на максимальное и минимальное напряжения в плоскости, перпендикулярной скважине, которые не обязательно являются осями напряжений.

Покрытие

При кернировании тензодатчик встраивается в дно скважины. Затем скважина углубляется долотом, при этом тензорезистор остается торчащим из дна скважины, окруженным кольцевым пустым пространством, снимая напряжение с окружающей породы. Изменение формы керна регистрируется (как правило, очень небольшое изменение), а напряжение рассчитывается на основе упругих свойств породы (которые можно измерить, если керн извлечен на поверхность).

http://www.hydrofrac.com/hfo_home.html

Проверка герметичности

При испытании на утечку часть ствола скважины герметизируется, а затем жидкость закачивается в герметичную часть. Когда давление жидкости превышает минимальное главное напряжение σ 3 , эффективное σ 3 становится отрицательным (растягивающим), позволяя трещинам открываться. Этот метод может измерять величину и, возможно, ориентацию σ 3 , если, например, можно визуализировать искусственные трещины.

Механизмы очага землетрясения

Механизмы очагов землетрясений определяют плоскость разлома и узловую плоскость, а также позволяют определить оси P (сжатие) и T (растяжение), которые определяют упругую деформацию, возникающую при землетрясении. Оси расположены так, чтобы разделить узловые плоскости пополам. Предполагая, что напряжение напрямую связано с упругой деформацией, ось P приравнивается к σ 1 , а ось T к σ 3 , что дает направления, но не величины главных напряжений.

Карта стресса мира

Эти типы результатов были объединены в Мировую карту стресса.

Измерение палеонапряжения от разломов

Принципы

Информация о неисправностях

Ошибки дают информацию о

  • Общая деформация
  • Напряжение, вызвавшее разломы

Было разработано несколько методов для просмотра целых совокупностей разломов. Как правило, эти методы рассматривают ориентацию разломов вместе с линиями скольжения на этих поверхностях разломов.

предположения

Анализируя популяции разломов, мы должны предположить, что линии скольжения сформировались более или менее в той ориентации, которую мы находим сейчас. Кроме того, часто приходится считать, что оси деформаций, связанных с деформацией разломами, совпадают с осями напряжений. Это справедливо только в том случае, если

  • порода изотропная и
  • деформация невращательная.

Таким образом, анализ сдвига по разломам работает только в областях низкой деформации в относительно однородных породах, где не было больших поворотов блоков во время деформации.

Сопряженные разломы

Геометрия

Многие распространенные конфигурации разломов являются вариациями на тему сопряженных разломов : множественные разломы в 2 семействах с углом между ними ~60°.

Мы объясняем это динамически как разрушение при сдвиге в результате критического напряжения для хрупкого разрушения (модель разрушения Мора-Кулона), которое также можно воспроизвести в экспериментах.

Разрушение сначала происходит в плоскостях, ориентированных таким образом, что нормаль к плоскости (или полюс) находится под углом <45° (часто около 30°) по обе стороны от минимального напряжения сжатия σ 3 ; другими словами, плоскости разлома находятся под углом ~30° к σ 1 .

Соединения или жилы также могут образовываться, если во время гидроразрыва давление жидкости было высоким. Обычно они перпендикулярны σ 3 .

Критерии сопряженных разломов

Для определения нормальных разломов как сопряженных необходимо показать:

  • ориентация в двух скоплениях на ~60°
  • постоянное проскальзывание (узкий клин сдвинут внутрь)
  • оба набора неисправностей активны в один и тот же интервал времени

Сопряженные разломы указывают направления главных напряжений, а не их величины

Средние оси P и T

Каждый разлом в объеме разломанной породы вносит небольшой вклад в общую деформацию.Если «усреднить» деформации от разлома по объему литосферы, то можно определить оси деформации S 1 и S 3 . Обе оси лежат под углом 45° к плоскости разлома и совпадают с направлениями осей Т и Р, определенных при сейсмических исследованиях активных разломов.

Оси для одиночной ошибки, в 2D

Оси для одиночной ошибки в 3D

Таким образом, наиболее очевидный метод работы с данными по многочисленным разломам состоит в том, чтобы построить оси P и T для всех разломов и найти среднее значение каждого, чтобы дать оценку общих осей деформации, которые часто предполагаются параллельными осям напряжений.

Диэдры P&T

Предположения об осях P и T лучше всего подходят для новых трещин в нетрещиноватой породе. Если в породе существуют ранее существовавшие трещины, они могут подвергаться скольжению в ответ на состояния напряжения, которые не имеют идеальных направлений. В этом случае кажущиеся оси P и T будут сильно разбросаны.

Метод «диэдров» пытается избежать этой проблемы. Мы принимаем каждую ошибку в свою очередь. Предположим, что у нас есть нормальный разлом с линиями скольжения в направлении и смысле полустрелки, тогда мы можем сказать в принципе, что максимальное сжимающее напряжение σ 1 должно было быть где-то в белом двуграннике.Другими словами, мы можем исключить заштрихованные диэдры.

Диаграмма диэдров в 2-х измерениях

И наоборот, минимальное сжимающее напряжение σ 3 должно лежать в заштрихованных двугранниках.

В 3D диэдры немного напоминают фокальный механизм недавнего разлома.

Схема трехмерного диэдра

Вышеупомянутое относится к одной ошибке. В методе диэдров P и T мы смотрим на все разломы. Каждое измерение с плоскости разлома может исключить ровно половину стереографической проекции из рассмотрения в качестве местоположения для σ 1 , иногда называемого осью «P».Обычно мы используем компьютерную программу, чтобы взять контрольные точки через стереосеть, и для каждой точки мы определяем, сколько неисправностей будет соответствовать оси P в этом направлении. Точно так же мы делаем контур для σ 1 (или «T»).

При благоприятных обстоятельствах, с хорошими, согласованными данными по разломам, которые образовались одновременно с диапазоном ориентаций разломов, мы можем определить «истинные» оси P и T в пределах довольно небольшой области стереографической проекции.

Пример готового решения

Инверсия напряжения

В общем, для заданного состояния напряжения в земле, представленного тензором напряжения T , мы можем вычислить напряжение на любой плоскости.

Будут компоненты нормального напряжения и напряжения сдвига.

Нормальное напряжение и напряжение сдвига

В идеале, если мы сможем вычислить состояние напряжения T , то полученное касательное напряжение должно точно предсказать ориентацию линий скольжения на всех различных поверхностях разломов.

Методы инверсии напряжений требуют большей вычислительной мощности, чем предыдущие методы. Как правило, компьютер берет произвольное пробное состояние напряжения T и прогнозирует разрешенное касательное напряжение на всех наблюдаемых поверхностях разлома.Рассчитывается разница между прогнозируемым разрешенным напряжением сдвига и ориентацией линии скольжения.

Эта операция повторяется для огромного числа различных состояний напряжения T, и в качестве решения выбирается состояние, минимизирующее различия. На практике существует множество методов инверсии напряжений, различающихся:

  • как рассчитывается ошибка
  • как суммируются ошибки
  • какие методы используются для оптимизации поиска; если пробные значения T выбраны разумно, ошибки можно быстро свести к минимуму.

Обычно для каждого метода используются специализированные небольшие компьютерные программы.

Создание калькулятора круга Мора для анализа напряжения в Python

1. Как мы собираемся создать калькулятор круга Мора с использованием Python

В этом проекте Python мы собираемся создать калькулятор круга Мора. К концу этого проекта вы создадите свой собственный код Python для анализа напряжений. У вас также будет достаточно знаний, чтобы расширить и персонализировать свой код в соответствии с вашими потребностями.Попутно мы рассмотрим все основные темы, которые ведут к кругу стресса Мора. Вы узнаете о:

  • как мы используем двухмерный элемент напряжения для представления состояния напряжения в точке
  • цель уравнений трансформации напряжений
  • главные напряжения и главные плоскости
  • плоскости максимального касательного напряжения
  • и конечно круг Мора!

Вам не нужно быть программистом Python, чтобы работать над этим проектом! Мы будем использовать среду разработки Jupyter Notebook для написания нашего кода Python.Если вы новичок в Jupyter Notebooks (или Python) и вам нужна небольшая помощь, чтобы начать работу, посмотрите это видео о начале работы. Если вы новичок в Python, пусть вас это не пугает! Как только вы освоитесь с основами, это откроет множество дверей в вашей повседневной работе в качестве студента или инженера.

Вы можете бесплатно загрузить полный файл Jupyter Notebook, записавшись на соответствующий курс DegreeTutors (бесплатно) — это будет удобно в качестве справочного материала при написании собственного кода.

Круг Мора — это элегантный графический метод представления напряженного состояния в одной точке. Построив круг Мора – сделав его набросок и используя базовую тригонометрию – или, в нашем случае, записав тригонометрию в код, вы можете графически идентифицировать

  • главные напряжения,
  • ориентация главных плоскостей,
  • максимальные касательные напряжения,
  • ориентация плоскостей максимального напряжения сдвига
  • и напряжения на любой другой паре ортогональных плоскостей.

Мы собираемся постепенно продвигаться к нашей цели — построить калькулятор круга Мора. В ходе этого проекта мы будем создавать наш код Python для анализа напряжения/круга Мора и постепенно добавлять его в наш код. Этот пост сопровождается полной серией видеолекций, которые вы можете посмотреть в плейлисте ниже . Я предлагаю прочитать этот пост, чтобы получить хороший обзор теории, а затем погрузиться в серию видео, где я шаг за шагом проведу вас через теорию и процесс сборки.Итак, без дальнейших промедлений, давайте погрузимся!

2. Напряжение в точке и двухмерный элемент напряжения

В любой точке конструкции, находящейся под нагрузкой, напряженное состояние может быть представлено комбинацией нормальных напряжений (также известных как изгибающие напряжения) и касательных напряжений. Если мы предположим состояние плоского напряжения (более подробно мы обсуждаем плоское напряжение в видео 2 списка воспроизведения), эту комбинацию напряжений можно удобно представить на двухмерном элементе напряжения. Элемент напряжения — это просто бесконечно малый элемент площади, на который можно показать действующие напряжения в этой точке.Не запутайтесь — все показанные напряжения, действующие на 2D-элемент, действуют в одной точке пространства — только в разных направлениях.

Чтобы обосновать это обсуждение чем-то более доступным, давайте рассмотрим свободно опертую балку, подверженную равномерно распределенной нагрузке. Внешняя нагрузка вызовет поле сдвига и нормальных напряжений внутри конструкции. Одним из простых представлений этого переменного поля напряжений является диаграмма поперечной силы и изгибающего момента, показанная ниже.

Рисунок 1.Свободно опертая балка, на которую действует равномерно распределенная нагрузка и результирующая диаграмма изгибающего момента и поперечной силы.

Если мы представим, что делаем вертикальный разрез в нашей балке на некотором расстоянии

по длине балки, мы можем визуализировать (линейное) нормальное и (параболическое) распределение напряжения сдвига по глубине балки в этой точке, рис. 2. распределение нормального напряжения получается с использованием инженерного уравнения изгиба,

(1)  

, где

— изгибающий момент в месте разреза, — высота от нейтральной оси балки до точки, в которой определяется нормальное напряжение, — второй момент площади поперечного сечения балки.Отрицательный знак обеспечивает получение отрицательного нормального напряжения для напряжений сжатия выше нейтральной оси.

Распределение напряжения сдвига

определяется следующим уравнением:

(2)  

, где

— поперечная сила в месте разреза, — первый момент площади площади над уровнем, на котором определяется касательное напряжение, — второй момент площади поперечного сечения и — ширина сечения. Рис. 2. Вертикальный разрез балки в заданном положении и распределение нормального напряжения и напряжения сдвига вниз по глубине сечения.

Если теперь представить оценку нормального напряжения и напряжения сдвига на высоте

над нейтральной осью, мы получим нормальное напряжение и напряжение сдвига соответственно, как показано ниже. Здесь нам пригодится наш 2D-элемент стресса. Мы можем представить напряженное состояние в этой точке конструкции на двумерном напряженном элементе. Чтобы было ясно, мы показываем состояние напряжения в месте или координатах на двухмерном элементе напряжения ниже.

Мы больше говорим о знаках для нормального напряжения и напряжения сдвига в видеоролике 2, а сейчас достаточно признать, что 2D-элемент напряжения действует как ‘ этап ‘, на котором мы можем ‘ отображать ‘ напряжения, существующие при это место.Нормальное напряжение показано как напряжение сжатия (сжатие элемента), которое мы обычно определяем как отрицательную величину. Напряжение сдвига, как показано, является отрицательным, если рассматривать его в соответствии с соглашением о знаках, определенным в видео — , вы обязательно захотите просмотреть это видео, особенно когда мы обсуждаем максимальные напряжения сдвига ниже .

🚨 Теперь большой вопрос: что произойдет с величинами напряжений, если мы повернём наш 2D-элемент?

Рис 4.Нормальные и касательные напряжения на двумерном напряженном элементе (слева), неизвестные величины напряжения после поворота двумерного элемента на угол (справа).

Напряжения, которые мы показали на нашем 2D-элементе выше, представляют собой просто набор напряжений, которые существуют в плоскостях, изображенных 2D-элементом напряжения, т. е. набор ортогональных плоскостей, которые удобно выровнены с балкой. Это не означает, что это обязательно максимальные значения нормального напряжения и напряжения сдвига в этой точке. Может существовать альтернативная пара взаимно перпендикулярных плоскостей в том же месте, но с другой ориентацией, на которых нормальные или касательные напряжения будут иметь большую или меньшую величину. Как инженеры, мы определенно хотели бы узнать об этом больше! Здесь на сцену выходят уравнения преобразования напряжений.

3. Уравнения преобразования напряжения

Если мы знаем напряженное состояние в точке на одной паре взаимно перпендикулярных плоскостей, вопрос, который мы поставили в предыдущем разделе, был: каковы величины напряжений на других плоскостях различной ориентации в той же точке?  Нам было бы намного легче жить, если бы мы могли определять нормальные и касательные напряжения в зависимости от угла плоскостей.К счастью, это именно то, что позволяют нам сделать уравнения преобразования напряжения.

Уравнения преобразования напряжений можно вывести с помощью простой статики, и мы подробно рассмотрим этот процесс в видеороликах 2 и 3. Сейчас мы просто сформулируем уравнения и обсудим, что они нам говорят. Мы можем начать с представления некоторого двумерного напряженного элемента, подверженного нормальному напряжению

в горизонтальном направлении, нормальному напряжению в вертикальном направлении и напряжению сдвига, действующему на вертикальные грани и действующему на горизонтальные грани.

Вы помните из принципа взаимодополняющих касательных напряжений, что величины касательных напряжений, действующих на все грани, равны и что направление любого касательного напряжения будет определять направления трех других (так что равновесие элемента равно сохраняется). Мы можем визуализировать наш элемент стресса ниже.

Рис. 5. Напряженный элемент, подверженный ортогональным нормальным напряжениям и напряжениям сдвига.

Теперь представьте, что элемент повернут против часовой стрелки на некоторый угол

.Когда мы говорим о вращении элемента, на самом деле мы имеем в виду рассмотрение напряжений в наборе вращающихся плоскостей. Ось теперь обозначает локальную ось повернутого элемента/плоскостей, и эта система осей смещена относительно исходной оси на градусы. Нормальные и касательные напряжения на этом повернутом наборе плоскостей, и показаны ниже.

Мы можем определить напряжения на повернутом наборе плоскостей, используя уравнения преобразования напряжений (см. видео 2 и 3 для вывода),

(3)  

(4)  

(5)  

Эти три уравнения преобразования позволяют нам определить напряжения (

, и ) в любом наборе плоскостей при условии, что мы знаем напряжения в наборе плоскостей (, и ) и угол между двумя наборами плоскостей.

Здесь нам нужно сделать важное замечание. Если мы сложим вместе первые два уравнения преобразования, то есть уравнения (3) и (4) выше, мы получим следующее:

(6)  

Этот результат говорит нам о том, что сумма ортогональных нормальных напряжений в точке постоянна и не зависит от угла или ориентации плоскостей. Это мощное наблюдение, и его можно понять с помощью простой аналогии.

Давайте представим, что состояние нормального напряжения в точке может быть представлено одним вектором, а нормальные напряжения, которые мы визуализируем на нашем 2D-элементе, являются всего лишь двумя ортогональными компонентами этого вектора.Поворачивая плоскости, мы просто рассматриваем различные ортогональные компоненты одного и того же базового вектора, поэтому базовое состояние напряжения в этой точке (вектор в нашей аналогии) не меняется — меняются только ортогональные компоненты по мере изменения базовой оси. Мы можем визуализировать это ниже.

Чтобы лучше понять, о чем говорят уравнения трансформации, мы можем построить их график. Для целей упражнения примем напряжения со следующими величинами:

Рис. 8.Предполагаемые напряжения на гранях, соответствующие ориентации ноль градусов.

Мы пройдемся по коду Python, чтобы оценить напряжения и построить следующий график в видео 3. Мы можем ясно видеть, что величины напряжений изменяются синусоидально. Пунктирная вертикальная линия

определяет величины трех напряжений, указанных на рис. 8 выше, при нуле градусов. Вторая пунктирная вертикальная линия указывает напряжения, которые наблюдались бы, если бы элемент был повернут на . Рис 9.Изменение нормального и касательного напряжения в зависимости от угла

Наблюдая за синими и зелеными линиями, представляющими нормальные напряжения

и соответственно, мы можем видеть, что их величины совершенно не совпадают по фазе друг с другом — другими словами, когда одна является максимальной, другая — минимальной. При ближайшем рассмотрении мы также можем увидеть, что под углом, при котором возникают максимальное и минимальное нормальные напряжения, напряжение сдвига, показанное красным, равно нулю. Все эти важные результаты обсуждаются далее в лекциях 4 и 5.

Возможно, самым большим выводом из нашего графика уравнений преобразования является то, что напряжения, с которых мы начали, указанные на рис. 8, явно не являются максимальными значениями нормального напряжения или напряжения сдвига, которые возникают в этом месте конструкции. Существует еще одна пара плоскостей, на которых возникают максимальные и минимальные нормальные напряжения, и еще одна пара плоскостей, на которых возникают максимальные касательные напряжения. Это наблюдение мотивирует наше обсуждение главных напряжений в следующем разделе.

4. Главные напряжения и главные плоскости

Как следует из названия, главные напряжения — это максимальное и минимальное значения нормального напряжения. Эти напряжения возникают во взаимно перпендикулярных плоскостях, называемых главными плоскостями. Мы можем подтвердить это, наблюдая пик синей линии примерно на

на рис. 9. Этот пик обозначает максимальное основное напряжение, возникающее на главной плоскости, ориентированной на горизонтальной оси. Если мы продолжим поворачивать наш элемент/плоскость еще на 90 градусов примерно до , мы увидим, что синяя линия теперь находится на минимуме.Это минимальное главное напряжение, возникающее на главной плоскости, ориентированной на первую главную плоскость.

Мы можем получить удобное выражение для величин главных напряжений и ориентации плоскостей, на которые они воздействуют, смотрите видео 4 для вывода и дальнейшего объяснения. Здесь мы можем сформулировать ключевые уравнения; главные напряжения даны,

(7)  

, где

— алгебраически большее главное напряжение и меньшее.Главные углы определяются из

(8)  

Угол

имеет два разных значения. Одно значение идентифицирует плоскость, на которой действует, а другое идентифицирует плоскость, на которой действует. Оба угла можно подставить в исходное уравнение преобразования (уравнение 3), чтобы определить главное напряжение для каждого угла. Полученные значения согласуются с главными напряжениями, полученными с помощью уравнения 7.

Используя уравнения 7 и 8, мы можем определить главные напряжения для нашего примера равными

и .Мы также идентифицируем главные углы и . Мы можем нанести вертикальные линии, обозначающие главные углы, и горизонтальные линии, обозначающие главные напряжения. Если мы наложим их на наш исходный график уравнений преобразования, мы увидим, что уравнения 7 и 8 действительно определяют локальные максимумы и минимумы, то есть наши главные напряжения. Из приведенного ниже графика видно, что максимальное основное напряжение возникает в плоскости, ориентированной на , а минимальное главное напряжение возникает на плоскости, ориентированной на .

Уравнения 7 и 8 являются ценными инструментами, поскольку они позволяют нам идентифицировать главные напряжения и их направления при условии, что мы знаем напряжения на любой паре плоскостей. Таким образом, типичной задачей анализа напряжений было бы определение главных напряжений и главных плоскостей в точке, сначала определяя более удобный набор напряжений — например, нормальное напряжение и напряжение сдвига в балке в верхней части страницы.

Рис. 10. Изменение нормального напряжения и напряжения сдвига в зависимости от угла. Красные вертикальные линии обозначают главные углы, определенные по уравнению 8, а горизонтальные линии обозначают главные напряжения, определенные по уравнению 7.

5. Максимальные касательные напряжения и плоскости максимальных касательных напряжений

Теперь мы можем обратить внимание на максимальные касательные напряжения и плоскости, в которых они возникают. Эталонным видео для этого обсуждения является видео 5. В этом видео с помощью аналогичного процесса вывода мы показываем, что максимальное напряжение сдвига определяется выражением

.

(9)  

и что эти напряжения возникают в плоскостях, ориентированных под углом

к главным плоскостям,

(10)  

Если мы теперь используем уравнения 9 и 10, мы можем определить максимальную величину напряжения сдвига как

.Взаимно перпендикулярные плоскости, на которых действуют эти касательные напряжения, ориентированы при и . Мы можем подтвердить это графически, нанеся эти значения поверх графика уравнения преобразования напряжения сдвига, рис. 11. Рис. 11. Изменение напряжения сдвига в зависимости от угла с максимальной величиной напряжения сдвига и ориентацией выявленных плоскостей максимального положительного и отрицательного напряжения сдвига.

Прежде чем читать следующий абзац, убедитесь, что вы ознакомились с обсуждением условного знака касательного напряжения в видео 2.Ссылаясь на рис. 11, мы можем видеть, что когда элемент ориентирован на

, т. е. когда нормаль, направленная наружу от положительной оси x, образует угол с глобальной положительной осью x, напряжение сдвига составляет . Однако когда элемент (и его система базовых осей) поворачивается на , напряжение сдвига, действующее на грань, ориентированную на , составляет . Изменение знака здесь связано с тем, что опорная ось элемента повернулась, но все направления стрелок касательного напряжения остаются неизменными.Если этот последний абзац полностью сбил вас с толку, обязательно вернитесь и просмотрите видео 2 и 5!

6. Круг Мора и построение нашего калькулятора круга Мора

Теперь, когда у нас есть основная работа, мы можем ввести круг Мора. Как мы уже говорили в начале, круг Мора позволяет нам зафиксировать полное состояние напряжения в точке на одном графике. Мы разобьем это обсуждение на 2 части. Сначала мы наметим основные уравнения; уравнение самой окружности, радиус и центр окружности.Мы также опишем процесс построения круга Мора с учетом необходимой исходной информации. На втором этапе обсуждения мы будем использовать круг Мора для выполнения примера анализа напряжения. Решая этот пример в Jupyter Notebook, мы эффективно строим наш калькулятор круга Мора.

6.1 Построение круга Мора из уравнений преобразования

Уравнение окружности (круг Мора) выводится из уравнений преобразования. Мы рассмотрим процесс в видео 8.Здесь мы подытожим основные моменты. Мы можем показать, что уравнение окружности

(11)  

, где

представляет собой радиус круга и определяется как

(12)  

и

. Если мы сравним уравнение 11 со стандартным уравнением окружности с радиусом и центром в координатах ,

(13)  

мы видим, что центр круга Мора находится в точке с координатами

. Теперь, когда мы знаем координаты центра круга и радиус, у нас достаточно информации, чтобы построить или нарисовать круг.Поскольку каждая точка на окружности представляет собой напряжения на определенном наборе плоскостей, окружность отражает полное состояние напряжения в этой точке. Предположим, что нам известны нормальные и касательные напряжения (, и ) на напряженный элемент при известной ориентации — скажем, наша ориентация по умолчанию, когда плоскости выравниваются с глобальной системой координат. Отсюда процесс фактического построения и использования круга Мора каждый раз практически одинаков:

🚨 Важно отметить, что поворот на

градусов на нашем двухмерном элементе напряжения соответствует вращению вокруг круга Мора.

6.2 Круг Мора Пример

Теперь мы можем использовать круг Мора и выполнить пример анализа напряжения. Мы собираемся реализовать наши расчеты и построить круг Мора для этого анализа в нашем блокноте Jupyter. Прелесть этого программирования в том, что после завершения мы создадим калькулятор круга Мора! Процесс описан в видео 9. Здесь я кратко расскажу о результатах нашего анализа. Мы начинаем с вопроса-кандидата, на который нужно ответить; рассмотрим следующий двухмерный элемент напряжения, подверженный показанным напряжениям.

Рис. 12. Двухмерный напряженный элемент, подверженный нормальным и касательным напряжениям.

Первая задача состоит в том, чтобы решить

, чтобы определить центр круга, а затем вычислить радиус круга,

(14)  

(15)  

Теперь мы можем нарисовать окружность или построить ее с помощью Python в нашем случае и сразу определить главные напряжения, максимальные напряжения сдвига и связанные с ними плоскости.

Мы видим, что главные напряжения можно определить, зная центр и радиус окружности,

(16)  

Точно так же максимальное положительное и отрицательное напряжение сдвига равно просто

.

Углы главных плоскостей и плоскостей максимального положительного и отрицательного напряжения сдвига можно легко определить, используя базовую тригонометрию и используя зеленую пунктирную линию в качестве базовой линии, которая представляет

, т. е. ориентацию элемента, показанную на рис. 12. Просто помните, что угол на круге Мора соответствует повороту нашего элемента на несколько градусов. Тот факт, что наша вертикальная ось положительна вниз, также означает, что направление вращения элемента совпадает с направлением вращения на нашей окружности, т.е.е. вращение элемента против часовой стрелки на градусы соответствует вращению на градусы против часовой стрелки от нашей базовой оси на окружности (в нашем случае зеленая пунктирная линия).

Как я уже сказал, красота построения этого решения с использованием Python в нашем блокноте Jupyter (видео 9) заключается в том, что, просто изменив входные параметры, то есть напряжения, показанные на рис. 12, мы можем автоматически сгенерировать соответствующий круг Мора из что мы можем затем определить напряжения в любой ориентации.

Вот и все — мы рассмотрели все, от основ нормального напряжения и напряжения сдвига до круга Мора. Если вы следили за этим и смотрели серию видеороликов, сопровождающих этот пост, вы также создали удобный калькулятор круга Мора. Помимо развития знаний по базовой теории — , реальная победа в этом проекте заключается в том, что вы должны чувствовать себя достаточно уверенно, чтобы начать возиться со своим кодом и вносить дополнения для создания калькулятора анализа напряжения, который вам подходит.

Теперь вы увидели, как мы можем автоматизировать стандартный инженерный расчет. Какие еще повторяющиеся вычисления вы можете автоматизировать? Почему бы не начать создавать собственную библиотеку блокнотов для анализа?!

Если вы хотите глубже погрузиться в анализ напряжений и создать свой собственный код для анализа методом конечных элементов, ознакомьтесь с курсом выше. В этом курсе вы с пользой примените знания и навыки кодирования, полученные здесь, и создадите полноценный инструмент 2D-анализа методом конечных элементов прямо в другом блокноте Jupyter!

На этом все, увидимся в следующем.👍

%PDF-1.6 % 1 0 объект >/Метаданные 2 0 R/Страницы 3 0 R/StructTreeRoot 5 0 R/Тип/Каталог>> эндообъект 2 0 объект >поток 2016-07-27T20:43:51-04:002016-07-27T20:43:51-04:002016-07-27T20:43:51-04:00Adobe InDesign CC 2014 (Macintosh)application/pdfuuid:126b6e5d-9ccd -3b4b-b7ad-84fbd4112036uuid:f7eb2149-20bc-5347-a2d7-b68b2889822cБиблиотека Adobe PDF 11.0 конечный поток эндообъект 3 0 объект > эндообъект 5 0 объект > эндообъект 8 0 объект > эндообъект 9 0 объект > эндообъект 10 0 объект > эндообъект 11 0 объект > эндообъект 308 0 объект > эндообъект 309 0 объект > эндообъект 310 0 объект > эндообъект 311 0 объект

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.