Коэффициент гармоник это: Сигналы с коэффициентом нелинейных искажений 1% и 10%

Содержание

Сигналы с коэффициентом нелинейных искажений 1% и 10%

Сигналы с коэффициентом нелинейных искажений 1% и 10% — как они выглядят

Предисловие 1 — постановка задачи

В технических данных усилителей низкой частоты (УНЧ, УМЗЧ) часто указывают максимальную мощность при коэффициенте гармоник в 1% или 10% (хотя бывают указаны и другие значения, но реже). А вот как выглядят такие сигналы — нигде нет информации.

В связи с этим и была поставлена задача разобраться на доскональном математическом уровне, какова форма таких сигналов, и какие для них характерны искажения.

Предисловие 2 — какие искажения характерны для усилителей при работе на максимальной мощности, что такое коэффициент нелинейных искажений (THD) и какие бывают разновидности этого коэффициента

Коэффициент нелинейных искажений в зарубежной литературе именуется Total Harmonic Distortion (THD).

В силу своей специфики этот показатель измеряется только на синусоидальных сигналах и характеризует силу возникающих в тракте усилителя паразитных гармоник основной частоты сигнала (т.е. гармоник, которых в исходном состоянии не было).

Исказить форму сигнала могут не только гармоники, но и шумы. Однако же, когда речь идёт о сигнале вблизи максимальной мощности усилителя, ими можно пренебречь.

Есть и ещё один вид искажений, которым тоже можно пренебречь — «ступенька». Выглядят эти искажения так:

Эти искажения характеризуются «залипанием» сигнала на некоторое время вблизи нуля из-за несинхронности открытия/закрытия положительного и отрицательного плеча усилителей в двухтактных выходных каскадах.

И, хотя такие искажения, действительно, приводят к появлению «лишних» гармоник основного сигнала, ими тоже можно пренебречь при работе вблизи максимальной выходной мощности из-за их незначительной величины по сравнению с амплитудой сигнала (но для малых сигналов ими пренебрегать нельзя).

По-существу, если считать источник питания усилителя идеальным, единственным типом нелинейных искажений остаются искажения типа «отсечка» (клиппинг, clipping). И вот как выглядят такие искажения:


(кликнуть для увеличения)

Эти искажения (клиппинг, отсечка) возникают из-за того, что усилитель не может на выход отдать напряжение большее, чем его напряжение питания (а на самом деле напряжение на выходе даже ещё чуть меньше из-за падения напряжения на транзисторах выходного каскада).

Такие искажения приводят к появлению массы гармоник и, соответственно, к искажениям, слышимым при прослушивании музыки, особенно в моменты громких всплесков на треке.

В настоящее время принято два метода вычисления уровня искажений, имеющих небольшие отличия, в том числе и в терминологии.

1. Коэффициент гармонических искажений (коэффициент гармоник, КГИ, КГ)

рассчитывается как отношение среднеквадратичного напряжения суммы паразитных (высших) гармоник сигнала к среднеквадратичному напряжению первой (основной) гармоники. За рубежом этот параметр называется THD-F (Total Harmonic Distortion for Fundamental Frequency).

2. Коэффициент нелинейных искажений (КНИ) рассчитывается как отношение среднеквадратичного напряжения суммы паразитных (высших) гармоник сигнала к среднеквадратичному напряжению всего сигнала в целом. За рубежом этот параметр называется THD-R (Total Harmonic Distortion for Root Mean Square)

. Обычно именно этот параметр и указывается в технической документации на усилители и на микросхемы однокристальных усилителей мощности. Там он именуется без суффиксов, просто THD (часто указывают параметр THD+Noise, что для максимальной мощности не принципиально).

Справедливости ради надо сказать, что при относительно малой величине искажений (до 15%) разницей в этих двух параметрах можно пренебречь.

Немного подробнее с терминологией можно ознакомиться в Википедии.
 

Методика расчетов

Для расчета использовалось кусочно-аналитическое задание сигнала. В качестве переменного параметра A использовалась величина превышения идеальной  амплитуды сигнала (т.е. если бы не было ограничения) над реальной (с отсечкой).

Рисование всех графиков и все расчёты расчёты проводились с помощью математического сервиса https://www. desmos.com.

Сигнал с клиппингом обозначен чёрной кривой. За единицу по вертикальной оси принят уровень клиппинга (точка B).

Идеальный сигнал (если бы не было ограничения) обозначен в виде оранжевой кривой, надстроенной к сигналу с клиппингом.

Координату точки B по оси X можно найти по формуле: x = arcsin (B/A); где A — амплитуда «идеального» сигнала, B — уровень ограничения.

Кусочно-аналитическая формула для расчета сигнала и графики находятся здесь. Желающие могут изменять параметр A (в формулах обозначен «a») и смотреть, как будет меняться форма сигнала в зависимости от перегрузки усилителя. Условно можно назвать этот параметр «коэффициентом перегрузки».

Зная координаты всех точек излома кривой с клиппингом, можно произвести расчёт среднеквадратичного уровня сигнала и амплитуду первой гармоники.

Среднеквадратичный уровень сигнала рассчитывается по формуле:

В качестве периода интегрирования (T2 — T1

) ввиду полной симметричности функции достаточно взять отрезок от 0 до Pi/2.

Теперь обратимся к расчёту амплитуды 1-ой (основной) гармоники.

Эта задача будет частью расчёта спектра (преобразования Фурье), что является делом нелёгким.

Но симметричность функции и её нечетность позволяют упростить задачу до предела. Для расчёта k-ой гармоники нечётной периодической функции существует такая формула:

Здесь Uk — это амплитуда k-ой гармоники (не путать со среднеквадратичным значением; для получения которого надо поделить амплитуду на корень из 2).

Нам потребуется только значение 1-ой гармоники.

Значение амплитуд высших гармоник по отдельности вычислять не потребуется: среднеквадратичное значение искажений можно рассчитать как корень из разницы энергий сигнала в целом и его первой гармоники.

 

Результаты расчетов

Теперь можно применить все приведённые формулы для разных значений параметра A (отношения «идеальной» амплитуды сигнала к уровню ограничения, условный «коэффициент перегрузки») и свести полученный результат в таблицу. Все данные приведены в безразмерных относительных единицах.

A

U1
(амплитуда 1-ой гармоники)

Us
(среднеквадратичное значение напряжения сигнала)

Ud
(среднеквадратичное значение напряжения искажений)

Продолжительность клиппинга к периоду сигнала, %

THD, %

1 1 0. 7071 0 0 0
1.027 1.01805 0.71991 0.007543 14.6% 1%
1.08 1.05416 0.74574 0.022631 24.7% 3.0%
1.1 1.0643 0.75312 0.038331 27.4% 3.8%
1.2 1.10447 0.78311 0.057844 37.3% 7.4%
1.286 1.12961 0.80278 0.080365 43.3% 10.0%
1. 3 1.13312 0.8056 0.083805 44.1% 10.4%
1.4 1.155 0.823 0.101633 49.4% 12.3%
1.5 1.171 0.838 0.128983 53.5% 15.4%
2 1.218 0.884 0.199269 66.7% 22.5%
5 1.265 0.956 0.3374 87.2% 35.3%
10 1.271 0.979 0.388247 93.6% 39.7%
20 1. 273 0.989 0.409722 96.8% 41.4%

Примечание. Строка для THD=1% получена методом интерполяции, так как для её прямого расчёта не хватило точности на сервисе Desmos.

По последней графе в таблице видно, что при дальнейшем росте сигнала коэффициент нелинейных искажений асимптотически стремится к величине 43%, соответствующей прямоугольному сигналу (меандру). И это — вполне естественно, ибо при нарастании сигнала и его форма тоже асимптотически приближается к прямоугольной.

Теперь пора, наконец, посмотреть на картинку синусоидального сигнала с коэффициентом нелинейных искажений 10%; а также и на то, как выглядят гармонические искажения как таковые:

В этом кажущемся нагромождении кривых можно очень легко разобраться.

Чёрная кривая — это сигнал с клиппингом, т.е. реальный сигнал на выходе усилителя.

Оранжевая кривая — это идеальный сигнал (если бы не было клиппинга).

Зелёная кривая — это первая (основная) гармоника в составе реального сигнала (с клиппингом).

Синяя кривая — это гармонические искажения в составе реального сигнала (с клиппингом). Эта кривая получена как разность реального сигнала и первой (основной) гармоники.

И, для порядка, далее — графики сигнала с искажениями 3% и 1%; но уже без вспомогательных кривых.

Коэффициент нелинейных искажений 3%:


 

Коэффициент нелинейных искажений 1%:

Переходим к итогам этих изысканий.
 

Итоги и выводы

Итак, теперь мы знаем, как выглядит «коэффициент нелинейных искажений 10%», который упоминают производители усилительной техники в строке «максимальная мощность при коэффициенте нелинейных искажений таком-то».

Если взять коэффициент нелинейных искажений 1%, то он будет соответствовать едва заметному касанию кривой сигнала к уровню клиппинга.

Но чаще всё-таки производители упоминают именно 10%, поскольку при таком коэффициенте нелинейных искажений мощность получается больше. И даже можно на основании приведённой выше таблицы определить, насколько больше. Эта величина составит (Us(THD=10%)/Us(THD=0%))2 = 1.29.

Итого, мощность сигнала с искажениями 10% получается почти на 30% выше сигнала без искажений!

Теперь, я надеюсь, понятно, почему производители больше любят THD=10%, чем THD=1% ?!

Между тем, слушать музыку с такими искажениями уже сложно: она открыто «режет слух» даже пользователям совершенно без музыкального слуха.

Но это всё — лирика.

Главное — теперь у нас есть инструмент, как проверить максимальную мощность усилителя на её соответствие параметрам, заявленным производителем.

 

Дополнительные материалы:

— Обзоры одноплатных усилителей класса D

— Обзоры одноплатных усилителей класса AB

 

  Ваш Доктор.
 28 мая 2021 г.

Вступайте в группу SmartPuls.Ru  Контакте! Анонсы статей и обзоров, актуальные события и мысли о них.


                Порекомендуйте эту страницу друзьям и одноклассникам                      

 

  Комментарии вКонтакте:

 

   Комментарии FaceBook:

При копировании (перепечатке) материалов ссылка на источник (сайт SmartPuls. ru) обязательна!

Коэффициент гармоник: измерение и формула

В отдельных случаях при проведении ремонта радиоэлектронных устройств требуется расчет коэффициента гармоник. Данная характеристика может быть измерена и оценена с помощью относительно несложных математических расчетов. О процессах измерениях и часто применяемых формулах рассказывается в нашем прикладном обзоре. Он сможет вам помочь, если вы захотите установить дополнительные устройства в медиасистему автомобиля. Для этого потребуется наверняка коэффициент гармоник усилителя.

Учитывайте параметр, если подразумевается подключение к системе наушников. Современные магнитолы позволяют их интегрировать через Bluetooth. Измеритель поможет оценить работу.

Оценка нелинейных помех – что это, порядок расчета и измерений

Коэффициент нелинейных искажений (КНИ) является математическим инструментом, «сверткой», позволяющим оценить в количественной форме нежелательные изменения сигнала. Искажением является, в свою очередь, характеристика, описывающая несовпадение сигнала, описываемого теоретической или идеальной системой и реальными условиями. КНИ также используется для оценки качества проводки, характеристик подключенных устройств, которые в совокупности генерируют помехи.

Сабвуфер авто

Основная задача при сборке состоит в минимизации параметра линейных помех. Достичь идеальных параметров невозможно, но можно к ним приблизиться и обеспечить либо стабильное напряжение, либо чистый и красивый звук, в зависимости от задач. Это реализуется при подключении усилителей, основным условием которого считается необходимость снижения помех.

Чтобы понять, о чем идет речь в совокупности, стоит упомянуть возможные виды изменений:

  • нелинейные;
  • фазовые;
  • частотные;
  • динамические;
  • перекрестные;
  • взаимомодуляционные;
  • краевые.
Формулы

Некоторые из перечисленных являются комплексной характеристикой, в совокупности которые можно оценить при помощи того же параметра нелинейных помех. По сути, данная характеристика является универсальной для всех радиоэлектронных и электрических систем и сетей. С помощью предложенной методики вы сможете оценить коэффициент гармоник напряжения.

Основные формулы

КНИ является безмерной величиной. Представляет собой соотношение среднеквадратичной суммы спектральных характеристик выходного сигнала, которые отсутствуют во входном спектре, и среднеквадратичной суммы всех компонент спектра входного сигнала (первой гармонической составляющей). Проще говоря, параметр оценивает отношения спектральных помех, появившихся в выходном сигнале, но отсутствующих во входящем, ко всему спектру. Чем меньше помех, тем меньше будет КНИ.

Если в технической документации приводится КНИ, то можно оценить качество и характер сборки прибора. Характеристику также можно измерить, она позволит оценить величину помех в оцениваемой системе. Иными словами – можно достаточно точно определить влияющие помехи.

Отметим, что наряду с КНИ используется и другой оценочный параметр гармонических искажений (КГИ). Его же часто упоминают как коэффициент высших гармоник, так как он выражается соотношением среднеквадратичным напряжением суммы высших гармоник сигнала, за исключением первой, к напряжению первой гармоники при синусоидальном воздействии. Иными словами, оцениваются скачки сигнала.

В свою очередь есть характеристика, оценивающая в процентах «связность» КНИ с КГИ и их соотношение. Нужно отметить, что при малых помехах они практически равны, но помогают оценить более сильные помехи и их характер.

Расчет КНИ и КГИ

Измерение коэффициента гармоник основано на том, что для получения характеристики могут использоваться экспериментальные и оценочные данные. Для многих систем могут быть оценены аналитически, так как известны начальные и конечные условия. Многие начинающие радиолюбители могут возразить или удивиться, но это действительно так. КНИ и КГИ закладывается как характеристика в момент проектирования любой схемы устройств. То есть помехи подразумеваются, как решением, так и используемыми компонентами.

Например:

  • для меандра или симметричного прямоугольного сигнала КНИ приравнивается к 48,3 %;

  • пилообразный сигнал, приближенный к идеальному имеет КГИ 80,3%;

  • симметричный треугольный – 12,1%.

Соответственно, отличия от этих значений являются ненормативными и оцениваются как помехи тока, требующие устранения.

Для удобства расчетов имеется еще один параметр μ, который характеризует несимметричный прямоугольный импульсный сигнал с соотношением длительности импульса к периоду:

КГИ достигает минимума в 0,483 при μ=0.5 и сигнал становится близким к синусоидальному меандру. По этому принципу не только изменяют с помощью фильтрации типы сигналов, но и устраняют нежелательные изменения, что особенно актуально для усилительной и аудиоаппаратуры.

Измерение коэффициента гармоник

Оценка КНИ и КГИ позволяет оценить чистоту спектра сигнала любого устройства, включая усилители, ПЛИСы, микроконтроллеры, наушники и гарнитуры. КГИ позволяет контролировать алгоритмы многих радиоэлектронных и цифровых компонентов, передающих аналоговые сигналы.

Оценка проводится с помощью цифровых осциллографов. Перед использованием оценивается с помощью расчета КГИ по спектру и получаются данные на измерителе, чтобы определить его пригодность для экспериментов.

Измерение коэффициента гармоник

В домашних условиях это можно сделать двумя способами с помощью косвенных измерителей:

  • подать выходное напряжение и масштабированное входное на вычитатель и оценить на осциллографе, включая шумы и наводки тока;
  • использовать перестраиваемый резонансный усилитель и выделить необходимый участок для оценки.

Первый вариант является более простым, но связан больше с эвристической оценкой. Но лучший измеритель коэффициента гармоник – это цифровой осциллограф, подключенный к компьютеру, выдающий окончательный показатель значения параметров тока и напряжения, в том числе, оценивающий высшие гармонические пики в численном виде.

Описание параметра «Допустимый коэффициент нелинейных искажений (КНИ)»

Коэффициент нелинейных искажений, КНИ (Total Harmonic Distorsions, THD – англ) – показатель, характеризующий степень отличия формы сигнала от синусоидальной. КНИ используется в основном для измерения искажений формы  тока (THDI) и напряжения (THDU). КНИ равен отношению суммы мощностей высших гармоник сигнала к мощности его первой гармоники.

Искаженная кривая тока или напряжения может быть разложена на фундаментальную синусоиду (50 Гц) и сумму определенного количества частот кратных 50 Гц. Например 250 Гц — 5-я гармоника и 350 Гц — 7-я гармоника. Сумма определенного количества частот, которые могут быть добавлены к синусоиде 50 Гц для получения существующей формы тока или напряжения и называется гармониками

Источник: http://atvelectro.ru/stati/article_post/chto-takoe-garmoniki АТВ-ЭЛЕКТРО © atvelectro.ru

 

 

Искаженная кривая тока или напряжения может быть разложена на фундаментальную синусоиду (50 Гц) и сумму определенного количества частот кратных 50 Гц. Например 250 Гц — 5-я гармоника и 350 Гц — 7-я гармоника. Сумма определенного количества частот, которые могут быть добавлены к синусоиде 50 Гц для получения существующей формы тока или напряжения и называется гармониками

Источник: http://atvelectro.ru/stati/article_post/chto-takoe-garmoniki АТВ-ЭЛЕКТРО © atvelectro. ru

Искаженная кривая тока или напряжения может быть разложена на фундаментальную синусоиду (50 Гц) и сумму определенного количества частот кратных 50 Гц. Например 250 Гц — 5-я гармоника и 350 Гц — 7-я гармоника. Сумма определенного количества частот, которые могут быть добавлены к синусоиде 50 Гц для получения существующей формы тока или напряжения и называется гармониками

Источник: http://atvelectro.ru/stati/article_post/chto-takoe-garmoniki АТВ-ЭЛЕКТРО © atvelectro.ru

Искаженная кривая тока или напряжения может быть разложена на фундаментальную синусоиду (50 Гц) и сумму определенного количества частот кратных 50 Гц. Например 250 Гц — 5-я гармоника и 350 Гц — 7-я гармоника. Сумма определенного количества частот, которые могут быть добавлены к синусоиде 50 Гц для получения существующей формы тока или напряжения и называется гармониками

Источник: http://atvelectro.ru/stati/article_post/chto-takoe-garmoniki АТВ-ЭЛЕКТРО © atvelectro.ru

Искаженная кривая тока или напряжения может быть разложена на фундаментальную синусоиду (50 Гц) и сумму определенного количества частот кратных 50 Гц. Например 250 Гц — 5-я гармоника и 350 Гц — 7-я гармоника. Сумма определенного количества частот, которые могут быть добавлены к синусоиде 50 Гц для получения существующей формы тока или напряжения и называется гармониками.

Гармоники нарушают работу многих устройств. Особенно чувствительны к ним конденсаторы, так как их сопротивление снижается пропорционально порядку (номеру) присутствующих гармоник.

Напряжения высших гармоник, приложенные к конденсаторам, вызывают циркуляцию токов, величина которых пропорциональна частоте гармоник. Эти токи вызывают дополнительные потери. Напряжения гармоник, накладываясь на напряжение основной частоты, увеличивают амплитуду напряжения, что приводит к ускоренному старению изоляции

В зависимости от амплитуды гармоник в электросети применяются различные конфигурации устройств КРМ:

  • Стандартные конденсаторы: при отсутствии значительных нелинейных нагрузок (КНИ≤10…15%).
  • Конденсаторы увеличенного номинала: при наличии незначительных нелинейных нагрузок. Номинальный ток конденсаторов должен быть увеличен, чтобы они могли выдерживать циркуляцию токов гармоник (15≤КНИ≤25%).
  • Конденсаторы увеличенного номинала с антирезонансными дросселями применяются при наличии многочисленных нелинейных нагрузок. Дроссели необходимы для подавления циркуляции токов гармоник и предотвращения резонанса (25%≤КНИ≤50%).
  • Фильтры высших гармоник: в сетях с преобладанием нелинейных нагрузок, где требуется подавление гармоник. Обычно фильтры конструируются для конкретной электроустановки, исходя из результатов измерений на месте и компьютерной модели электросети (КНИ>50%).

Методика оценки погрешностей расчета, анализ нелинейных искажений

В программе «АНИ» вычисляется коэффициент гармонических искажений (далее КГИ). КГИ — величина, выражающая степень нелинейных искажений устройства (усилителя и др. ) и равную отношению среднеквадратичного напряжения суммы высших гармоник сигнала, кроме первой, к напряжению первой гармоники при воздействии на вход устройства синусоидального сигнала.

Первый пример

В программе «Генератор» необходимо добавить сигнал «синус», настроить частоту 100 Гц и уровень 1 В.

Программой «Вольтметр» необходимо измерить уровень сигнала генератора — он должен быть равен 1000 мВ.

В программе «Генератор» необходимо добавить сигнал «синус2» (сигнал «синус» нужно временно убрать), настроить частоту 300 Гц и уровень 0.1 В.

Программой «Вольтметр» необходимо измерить уровень сигнала генератора — он должен быть равен 100 мВ.

Далее необходимо снова добавить сигнал «синус» измерить КГИ программой «АНИ». Результаты измерений необходимо сравнить с результатами вычисления КГИ по формуле:

Для приведённого выше примера КГИ должен быть равен 10% или 20 дБ (переключение между отображением результатов вычислений между процентами и децибелами выполняется галочкой «лин/лог»).

Погрешность измерения должна находится в пределах 0,1% или 0,01 дБ.

Из-за ограниченной разрядности АЦП и ЦАП (АЦП — измерительные каналы, ЦАП — генераторы) при уменьшении уровня сигнала будет расти погрешность результатов измерения. Для анализатора спектра вес младшего разряда составляет примерно 0,3 мВ. Кроме того, измерительные каналы обладают неустранимым шумом, СКЗ которого составляет около 0,25 мВ.

Например, для синусоидального сигнала с СКЗ 1 мВ и третьей гармоникой с уровнем 0,1 мВ результаты будут следующие.

Таким образом можно сделать вывод — чем более мощный сигнал мы измеряем, тем меньше погрешность измерений.

Второй пример

Для стандартных сигналов КГИ можно вычислить аналитически. Таким образом можно задать с помощью программы генератора стандартные сигналы и сравнить результаты измерений с результатами вычислений.

Симметричный прямоугольный сигнал (меандр) имеет КГИ 48,3 %.

Для того чтобы получить симметричный прямоугольный сигнал необходимо в программе генератор добавить сигнал «имп», настроить частоту 700 Гц, амплитуду 1 В, смещение 0 В и скважность 0,5.

Идеальный пилообразный сигнал имеет КГИ 80,3%.

Для того чтобы получить идеальный пилообразный сигнал необходимо в программе генератор добавить сигнал «пила», настроить частоту 700 Гц, амплитуду 1 В, смещение 0 В и тип ниспадающий или возрастающий.

Симметричный треугольный сигнал имеет КГИ 12,1%.

Для того чтобы получить симметричный треугольный сигнал необходимо в программе «Генератор» добавить сигнал «пила», настроить частоту 700 Гц, амплитуду 1 В, смещение 0 В и тип треугольный.

Измерение коэффициента гармоник — Энциклопедия по машиностроению XXL

Для некоторых регулировок, так же как и для субъективной оценки определенных видов искажений, в частности перекрестных, очень полезной может оказаться индикация на экране осциллографа остаточных явлений при измерении коэффициента гармоник (см. , например, рис. 2.3). Это облегчает также приблизительную оценку отношения шума к общим гармоническим искажениям.  [c.157]

С другой стороны, слишком малое значение /д вызывает перекрестные искажения, но они редко выявляются при измерениях коэффициента гармоник или величины гармонических искажений, хотя в этих случаях измерения интермодуляционных искажений часто выявляют компоненты более высоких порядков.  [c.175]


Измерительная установка на рис. 11.1 может использоваться для измерений реальной чувствительности по стандарту IHF, и в обычных условиях необходим один сигнал-генератор. После настройки и балансировки измерительного прибора для проверки коэффициента гармоник с максимальным подавлением сигнала модуляции напряжение сигнала на входе тюнера изменяется с помощью аттенюатора генератора до уровня, при котором милливольтметр показывает разницу 30 дБ между сигналом при 100%-ной модуляции и сигналом при измерении коэффициента гармоник. Этот входной сигнал в микровольтах  [c.337]

Измерения коэффициента гармоник /С, на линиях, работающих в режиме несогласованных нагрузок показали, что в некоторых точках подключения абонентов к распределительной фидерной линии /С, превышал 9 %.  [c.393]

Измерение коэффициента гармоник. Схема измерения коэффициента гармоник отличается от схемы для измерения неравномерности АЧХ на рис. 13.1 тем, что к выходу тракта вместо вольтметра подключается ИНИ (или низкочастотный анализатор спектра). Измерения рекомендуется проводить на частотах 30, 63, 125, 250, 500, 1000, 2 000, 4 000 и 6 300 Гц. Напряжение сигнала на входе тракта должно соответствовать номинальному значению максимального входного уровня с допуском 0,2 дБ.  [c.408]

Измерения коэффициента гармоник. Этот параметр наиболее важный, так как изменение режима работы тракта ведет к повышению коэффициента гармоник Кт- Применяемое устройство АДИ (автоматические дистанционные измерения) довольно просто решает эту задачу путем посылки в паузах передачи кратковременных измерительных сигналов по схеме на рис. 13.4. Во время передачи контакты К1 и К4 находятся в верхнем положении, Кг и Кз — в нижнем. В паузе передачи К1 переключают на датчик измерительных сигналов ДИС, замыкается контакт К4. контакт Кг с задержкой 20 мс переходит в верхнее положение, включая цепь на вход ограничителя Огр через узкополосный фильтр Ф контакт Кз с небольшой задержкой переходит в верхнее положение, подключая к выходу Огр выпрямитель В и интегрирующую цепь измерителя уровня со шкалой, градуированной в процентах /Сг-  [c.412]

Чувствительность микрофона в свободном поле 6 мВ/Па (с помощью переключателя чувствительность может уменьшаться на 10 и на 20 дБ) номинальный диапазон частот 20…. ..20000 Гц неравномерность частотной характеристики во всем диапазоне частот не превышает 2,5 дБ модуль полного выходного сопротивления не превышает 150 Ом уровень собственных шумов не более 29 дБ при измерении прибором с линейной частотной характеристикой и не более 17 дБА при измерении прибором с характеристикой Л коэффициент гармоник на частоте 1 кГц не превышает 0,5 % при максимальном уровне звукового давления 138 дБ (160 Па) напряжение фантомного источника питания 48 В потребляемый ток  [c. 89]


При измерении коэффициента гармонических искажений к громкоговорителю подводится синусоидальное напряжение на заданных частотах и измеряются выходные напряжения измерительного микрофона на основной частоте и гармониках (обычно второй и третьей). Суммарный коэффициент гармонических искажений (в процентах)  [c.294]

Измерение коэффициента нелинейных искажений ведут при подведении к громкоговорителю номинального напряжения по схеме рис. 12.11. Для измерения этого коэффициента к измерительному микрофону подключают измеритель нелинейных искажений или анализатор гармоник.  [c.305]

В настоящее время для измерения коэффициента поглощения в жидкостях чаще всего применяется импульсный метод. Импульс, прошедший через среду в интерферометре с плоской волной и принятый приемником (после отражения от рефлектора в простом кварцевом интерферометре), сравнивается с аналогичным импульсом такой же частоты, выходящим из прокалиброванного аттенюатора. При этом нетрудно определить изменение амплитуды из-за изменения длины пути, пройденного импульсом. Этот метод использовался в частотном интервале 0,5—2000 МГц с точностью порядка 2% вплоть до 200 МГц и 4—5% выше 500 МГц [1, 25]. Для достижения такой точности требуется большая тщательность в конструировании интерферометра [38] и электронной аппаратуры. Источником является кварц, возбужденный на своей основной частоте или на одной из нечетных гармоник (вплоть до 487-й). Этот метод может применяться в широком интервале давлений и температур.  [c.155]

Для Земли параметр I можно вывести ил измерений ускорения силы тяжести на земной поверхности. Параметр К для Земли получается малым, того же порядка величины, что и коэффициенты гармоник высших порядков, которые появляются в потенциале тела с таким же неправильным строением поверхности, какое имеет Земля.  [c.115]

Общие гармонические искажения обычно оцениваются коэффициентом гармоник. Причем коэффициентом гармоник оценивается сумма всех гармоник в диапазоне измерения и вносимого шума, т. е. дается общая величина. Эту величину обычно называют общими гармоническими искажениями.  [c.43]

При профилактических измерениях иногда коэффициент гармоник проверяют только на одной частоте, обычно 1 ООО Гц. Однако этого недостаточно для оценки нелинейности во всем диапазоне звуковых частот. С учетом особенностей работы авторегуляторов коэффициент гармоник как минимум должен быть проверен также на нижней рабочей частоте. В области верхних рабочих частот нелинейность оценивается методом разностного тона.  [c.408]

Измерение коэффициента разностного тона. Метод разностного тона рекомендуется применять для измерения нелинейных искажений в верхней части номинального диапазона частот. В сочетании с методом определения коэффициента гармоник он позволяет оценить нелинейность каналов, трактов и отдельных устройств во всем диапазоне звуковых частот.  [c.408]

В экспериментальной практике полезным может оказаться метод импульсного теплового источника. Метод состоит в измерение возмущения декремента затухания основной температурной гармоники 6vi от одиночных или периодически повторяющихся импульсов теплового источника. Причиной возмущения декремента может быть возмущение какого-либо параметра в системе, подлежащее определению (например, изменение коэффициента теплопроводности, коэффициента теплоотдачи, поля скоростей). Представляет интерес разработка этого метода применительно к работающему ядерному реактору, в котором можно периодически создавать импульсные вспышки мощности. Сравнивая измеряемые декременты спада основной температурной гармоники, можно судить об изменениях, происходящих со временем в условиях охлаждения твэлов или в процессах теплопередачи внутри самих твэлов (например, из-за появления дефектов между сердечником и оболочкой твэла, из-за изгиба твэлов и др.). Тем самым может быть обоснован и разработан способ контроля и диагностики состояния теплонапряженных элементов ядерного реактора, основанный на измерении декремента затухания.[c.115]

Для точечной группы тт2, к которой принадлежит ниобат бария-натрия, имеется три независимых нелинейных коэффициента йз1, йзг, йзз [1]. Величины этих коэффициентов были вычислены по результатам измерения выхода мощности второй гармоники на длине волны 0,532 мкм при использовании сфокусированного излучения ИАГ Nd-лазера (Л = 1,064 мкм) с непрерывной накачкой и периодической модуляцией добротности [1, 34]. Коэффициенты ниобата бария-натрия оценивались относительно коэффициента du кварца (табл. 5.3). Некоторая разница в полученных различными авторами значениях нелинейных коэффициентов НБН объясняются, видимо, различием качества использовавшихся кристаллов.  [c.193]


Таким образом, для правильной оценки характеристики искажений усилителя требуется измерить значение интермодуля-циониых искажений в дополнение к измерениям коэффициента гармоник.  [c.46]

Реальная чувствительность по стандарту IHF выражается в микровольтах (в единицах напряжения) при соотношении 30 дБ между выходным сигналом при 100%-ной модуляции н выходным сигналом, когда модуляция снята . Это значит, что величина 30 дБ относится к разнице между выходным сигналом со 100%-ной модуляцией и сигналом при измерении коэффициента гармоник. Это показано на рис. 11.5, где сравнивается чувствительность при отношении сигнал-шум 30 дБ с реальной чувствительностью по стандарту IHF. Поскольку в последнем принимается во внимание искажение Df 2,,2% при 30 дБ), то реальная чувствительность по стандарту IHFвсегда будет меньше чувствительности при отношении сигнал-шум 30 дБ (см. данные на с. 338). Однако у хорошо сконструированного тюнера эта разница будет невелика, так как коэффициент гармоник в диапазоне УКВ при малых уровнях входного сигнала будет ненамного больше уровня шума.  [c.337]

Синхронизация мод лазера на АИГ Nd исследовалась Куи-зенгой и Сигманом, экспериментально подтвердившими многие выводы теории, данной в разд. 4.2 [4.6]. Для синхронизации мод лазера на АИГ Nd ими использовался электрооптический фазовый модулятор на кристалле LiNbOs с частотой модуляции 264 МГц. Ширина спектра излучения Av определялась с помощью интерферометра Фабри—Перо. Для измерения длительности импульсов Xl использовался быстродействующий фотодиод. Длительность более коротких импульсов определялась корреляционным методом на основе измерения второй гармоники (см. гл. 3). В зависимости от глубины модуляции Ьрм наблюдались импульсы длительностью от 40 до 200 пс при средней выходной мощности 300 мВт. Без принятия дополнительных мер кристалл модулятора выполнял роль эталона Фабри— Перо, ограничивавшего ширину спектра излучения лазера. Для сокращения длительности импульсов необходимо исключить селекцию мод модулятором, устранив мешающие отражения (для этого можно, например, скосить входные окна модулятора под углом Брюстера к оптической оси резонатора). Можно также наклонить модулятор на достаточно большой угол, устранив таким образом перекрытие падающего и отраженного пучков. Измерялась зависимость ширины спектра излучения и длительности импульсов от коэффициента глубины модуляции 8рм. Результаты измерений представлены на рис. 4.6. Проведенные через экспериментальные точки прямые подтверждают предска-10  [c.147]

Технические данные микрофона чувствительность 8 мВ/Па на частоте 1 Гц диапазон частот 40…16 ООО Гц неравномерность частотной характеристики в диапазоне 40…. ..8 ООО Гц не более 2 дБ, в диапазоне 40…. .. 16 ООО Гц не более 6 дБ выходное сопротивление 200 Ом (рекомендуемое сопротивление нагрузки 250… 1 ООО Ом) уровень собственных шумов не более 25 дБ при измерении прибором с линейной частотной характеристикой и не более 18 дБА при измерении по кривой Л максимальный уровень звукового давления, при котором коэффициент гармоник не превышает 0,5%, 120 дБ напряжение фантомного источника питания 48 В потребляемый ток 0,4 мА. Диаметр микрофона 56 мм, длийа 200 мм, масса 500 г.  [c.87]

В последние годы обработка результатов лазерной локации Луны, полученных при помощи лазерных уголковых отражателей, установленных на лунной поверхности экипажами космических кораблей серии Аполлон (США), привела к необходимости уточнения ряда параметров фигуры и вращательного движения, т. е. физической либрации Луны. Некоторые из этих параметров, а также коэффициенты гармоник третьего и четвертого порядков разложения гравитационного поля Луны, определенные на основе анализа траекторных измерений искусственных спутников Луны типа Lunar Orbiter, приведены в табл. 39 [67]. Коэффициенты разложений компонент физической либрации Луны и аргументы, соответствующие указанным значениям и у и учету влияния вторых гармоник в фигуре Луны, заданы табл. 40 [67].  [c.206]

Гораздо проще измерять относительную величину оптической нелинейности. В этом случае, во-первых, отпадает необходимость в абсолютном измерении мощностей взаимодействующих волн. Кроме того, такие измерения обычно не связаны с получением синхронного взаимодействия, и, следовательно, требования к качеству нелинейного кристалла существенно снижаются. Наконец, при относительных измерениях нет необходимости точно исследовать параметры основного излучения, поскольку то же самое излучение воздействует и на опорный образец. Метод измерений, о котором идет речь, был впервые использован Мейкером и соавт. [105] в 1962 г. в настоящее время он известен как техника полос Мейкера. Плоскопараллельная пластинка исследуемого кристалла ориентируется таким образом, чтобы измеряемый нелинейный коэффициент являлся основным в используемом взаимодействии. Например, для измерения коэффициента 36 = z3 y в кристалле KDP необходимо вырезать пластинку так, чтобы ось 2 кристалла лежала в плоскости ее входной грани, а нормаль к входной грани составляла угол 45° с осями хну. Тогда, если луч лазера, падающий нормально на входную грань пластинки, поляризован под углом 90° к оси z, компоненты поля и Еу равны. При этом генерируемая волна второй гармоники будет поляризована параллельно оси 2. Однако при, такой геометрии взаимодействие не будет синхронным и, следовательно, сигнал второй гармоники будет слабым. При повороте кристалла в плоскости, образованной падающим лучом и осью 2, мощность второй гармоники периодически меняется, поскольку при этом меняется эффективная длина взаимодействия и фазовая расстройка. Полученная зависимость мощности второй гармоники от угла поворота кристаллической пластинки представляет собой систему максимумов и минимумов и очень напоминает систему интерференционных полос, за что описанный метод и получил свое название. В действительности же появление таких полос обусловлено природой генерации второй гармоники при больших фазовых расстройках Ak.  [c.106]


В модели С6- яспользован принцип цифровой настройки режекторных фильтров, позволяющий автоматизировать процесс измерений В приборе предусмотрена калибровка в режиме измерения искажений по встроенному источнику, генерирующему напряжение с образцовым коэффициентом гармоник  [c.25]

Сложность реализации метода ком пенса ции заключается в том, что необходимо из готовить неискажающее устройство компен сации, а это непросто Метод измерения комбинационных иска жений позволяет измерять коэффициент гармоник высококачественных усилителей 34 с использованием обычных генераторов ЗЧ Схема включения приборов в этом случае показана на рис 1 21, а Принципиальная схема согласующего звена для включения двух генераторов 34 (как рекомендует ГОСТ 28849—79) к одной нагрузке приведена на рис 121, б Для измерений вполне пригоден анализатор спектра с динамиче ским диапазоном 70 80 дБ (например, СКЧ 56) Точность этого метода тем выше, чем ближе к друг другу частоты генера торов, но их близость ограничивается разрешающей способностью анализатора спектра Проводя измерения малых Кг или отно шения сигнал шум, необходимо тщательно заземлить все приборы (см рис 1 17) и следить за тем, чтобы те из них, что имеют мощные выпрямители и стабилизаторы, располагались как можно дальше от испытуемого ФУ  [c. 34]

Коэффициент гармоник на любой частоте полосы пропускания и на любом уровне модуляции может быть измерен с помощью измерительной установки, показанной на рис. 11.1. Однако ЧМ-генератор должен принимать внешний сигнал модуляции с очень малыми искажениями и обеспечивать калиброванную модуляцию до 100%-ного уровня с минимальными искажениями.  [c.340]

I В настоящее время нет метода измерения нелинейных искажений, который являлся бы исчерпывающи] , т. е. давал полное согласование результатов измерений со слуховым восдрия-тием искажений. Тем не менее существующие методы позво- ляют.с известным приближением оценить качество аппаратуры наиболее распространенными являются метод гармоник, метод взаимной модуляции и метод разностных колебаний. При измерении методом гармоник на вход испытуемого объекта подается синусоидальный сигнал желаемой частоты и амплитуды и на выходе измеряются все гармоники. Мерой искажений является коэффициент гармоник, представляющий собой отношение эффективного значения совокупности высших гармоник к эффективному значению первой гармоники.[c.57]

Иа рис. 47 изображена схема машины МВЛ-5 для испытания на усталость лопаток турбин. На столе / электродинамического возбудителя колебаний типа ЭДВ-14М закреплен динамометр 2, в захвате которого зажата испытуемая лопатка S. Конструкция динамометра аналогична конструкции динамометра машины МВЛ-4. Захват динамометра снабжен клиновым зажимом хвостовика испытуемой лопатки, Сигналы с блока генераторов 6 емкостного датчика подаются на блок 7 регистрацни, содержащий автоматический указывающий и записывающий потенциометр, снабженный переключателем диапазонов измерения и записи изгибающего. момента на перестраиваемый узкополосный фильтр S на схему сравнения автоматического регулятора 11. Сигнал с выхода фильтра 8 через ограничитель 9 и регулируемый фазовращатель 12 подается на канал с управляемым коэффициентом передачи автоматического регулятора 11. На второй вход схемы сравнения автоматического регулятора поступает сигнал с программатора 13 режима испытании. Сигнал с выхода автоматического регулятора возбуждает усилитель 10 с установленной мощностью 100 кВА, который питает подвижную катушку электродинамического возбудителя колебаний. Описанная система обеспечивает возбуждение автоколебаний на основной и высших гармониках испытуемой ло-  [c.188]

При измерениях таким методом возникают две трудности создание чисто синусоидального изменения температуры на одном из концов образца и постепенный рост средней температуры. Последнюю проблему решили Грин и Коулее [88], у которых нагрев и охлаждение осуществлялись током, пропускаемым через контакт между р- и п-типами теллурида висмута, причем направление тока периодически менялось на противоположное. Вследствие эффекта Пельтье тепло выделялось в контакте при одном направлении тока и поглощалось при другом. Выделяемое джоулево тепло компенсировалось за счет пропускания большого тока в направлении, вызывающем охлаждение образца. Этот метод нагрева также помогает создавать синусоидальное изменение температуры. Конец образца вместе с нагревателем имеет температуру, периодически меняющуюся со временем, которую можно разложить в ряд Фурье с небольшим числом гармоник. Главные члены тогда имеют частоты со, Зсо и т, д., но, так как поглощение волны больше при высоких частотах, волна становится почти строго гармонической уже на небольшом расстоянии от нагревателя. Затем можно найти поглощение и скорость волны и с помощью этих величин вычислить коэффициент  [c.21]

При генерации второй гармоники излучения ИАГ Nd-лазера в кристалле Ba2LiNb50is основная волна (со) является обыкновенным лучом, а волна второй гармоники (2(о) — необыкновенным. Измеренная величина а при 24°С составила 13,2° при 91 °С уголка становится равным нулю. Приняв во внимание все возможные ошибки измерений угла и температуры, а также сделав предположение, что показатели преломления линейно зависят от температуры, авторы [11] вычисляли температурный коэффициент (К )  [c.246]

В общем случае дефекты твердых тел оказывают влияние на упругие модули третьего порядка. В настоящее время имеются прямые экспериментальные доказательства такого влияиия [17, 18] (см. 4 этой гладаы). Следовательно, измеряемые экспериментально модули третьего порядка имеют примесь , связанную с дефектами твердого тела. В некоторых случаях эта примесь мала по сравнению с модулями третьего порядка идеального изотропного твердого тела. Так, по-видимому, обстоит дело при измерении нелинейного параметра для продольных волн в свободных от внепших механических напряжений образцах экспериментальное значение нелЕшейного параметра при этом удовлетворительно совпадает с тем, что можно получить на основании элементарной теории твердого тела Борна или Из значения коэффициента теплового расширения твердых тел [19]. В других случаях, например при искажении формы продля поперечной волны (второй сдвиговой гармоники), примесь является основ-вгой причиной наблюдаемого эффекта согласно пятиконстантной теории упругости этот эффект не должен был бы наблюдаться вовсе (см. далее).  [c.308]

В 1970 г. была опубликована Стандартная Земля II. Она является обобщением и уточнением Стандартной Земли I. Здесь были использованы наблюдения 19 спутников, полученные камерами Бейкера — Нанна и лазерными установками. Использовались как обычные, так и синхронные наблюдения. Кроме того, были привлечены гравиметрические измерения и геодезические данные, а также наблюдения зондов. В результате были определены координаты многих наблюдательных станций и все коэффициенты разложения геопотенциала до 16-го порядка включительно и некоторые более высокие гармоники. Точность определения координат многих станций составляет около 10 м.  [c.30]


Каталог радиолюбительских схем. Пассивный режектор для измерения малого коэффициента гармоник

Каталог радиолюбительских схем. Пассивный режектор для измерения малого коэффициента гармоник

Пассивный режектор для измерения малого коэффициента гармоник

Эдуард Семенов, г. Томск

Предлагаемая методика калибровки популярной программы SpectraLab позволяет метрологически корректно измерять коэффициент гармоник на уровне десятитысячных долей процента доступными средствами — звуковой картой ПК и пассивным RC-мостом.

Традиционный подход к измерению коэффициента гармоник (Кг) меньшего, чем собственный Кг измерительной системы, состоит в подавлении (режекции) частоты основного тона в выходном сигнале исследуемой системы перед подачей на вход измерительной системы и последующем учете степени режекции. Требование малого влияния на амплитуду гармоник делает необходимым выполнение режектора либо активным [1], либо с применением индуктивностей. Однако, применение для наблюдения искаженного сигнала спектроанализатора с возможностью калибровки амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) позволяет не снижать влияние режектора на гармоники до пренебрежимых величин, а учитывать конкретное значение этого влияния. Здесь же возможен учет степени режекции основного тона для корректного вычисления коэффициента гармоник. Это позволяет применить пассивный RC режектор и измерять коэффициент гармоник штатными средствами спектроанализатора, без всяких дополнительных поправок на величину режекции. Преимуществами пассивного режектора являются меньшие собственные нелинейные искажения, шумы и фон. Отсутствие необходимости в источнике питания не усугубляет и без того серьезные проблемы замыкания токов помех, протекающих по общему проводу, через общую сеть питания.

Схема режектора на частоту 1 кГц приведена на рис.1. Если Вы не уверены в качестве применяемых деталей, то лучше ограничиться небольшой степенью режекции. Для сопротивления нагрузки 4,2 кОм (сопротивление микрофонного входа звуковой карты на основе микросхемы CS4235) номиналы элементов следующие: С1=СЗ=0,022 мкФ, С2=0,047 мкФ, R2=4,7 кОм, R1=R3=6,8 кОм; подавление частоты 1 кГц составляет 36 дБ. Использование микрофонного входа карты связано с тем, что после подавления основного тона уровень сигнала оказывается низким (если речь не идет об усилителях мощности). Если Вас не пугает необходимость подстройки номиналов режектора и периодической проверки его АЧХ, то можно увеличить степень подавления до 50 дБ. Для этого номиналы элементов должны быть следующие С1=С3=0,02 мкФ, С2=0,043 мкФ, R2=4,1 кОм, R1=R3=7,6 кОм.


Рис. 1.

Настройка режектора выполняется подстройкой номиналов элементов. Целью настройки является приблизительная установка частоты режекции на 1 кГц. Небольшие отклонения как частоты, так и глубины режекции несущественны — в дальнейшем они будут скомпенсированы калибровкой спектроанализатора.

Калибровка спектроанализатора выполняется так.

1. На вход режектора подается сигнал белого шума (при этом спектральная плотность мощности на выходе режектора будет иметь провал на частоте режекции) и выполняется калибровка спектроанализатора таким образом, чтобы амплитудный спектр данного сигнала отображался как равномерный. Для распространенного программного спектроанализатора SpectraLab это делается следующим образом.

1.1. Измеряется амплитудный спектр белого шума, пропущенного через режектор (рекомендуемые здесь и далее установки спектроанализатора: Decimation Ratio: 1, FFT size: 65536 pts, Averaging Settings: Infinite, Exponential, флажок Peak Hold не устанавливать).

1.2. Полученный график “запоминается” нажатием любой из четырех кнопок Set в области Overlays.

1.3. Последовательным нажатием кнопок Options…, Save… в той же области Overlays запомненный график сохраняется в виде файла. Тип файла нужно изменить с предлагаемого по умолчанию *.ovl на *.mic.

1.4. Через меню Options / Scaling установить флажок Enable Compensation и указать в качестве файла для компенсации файл, сохраненный по п.1.3.

1.5. Выполнить п. 1.1 (только теперь при установленном флажке Enable Compensation), отображаемый амплитудный спектр должен быть плоским.

2. Если Вы хотите, чтобы уровень основного тона отображался спектроанализатором как 0 дБ, выполните следующее.

2.1. Войдите в меню Options / Calibration. Если флажок Enable Calibration уже установлен, временно снимите его (не путать с флажком Enable Compensation, который, конечно, должен быть установлен).

2.2. В меню Options /Scaling установите линейный масштаб по вертикальной оси. Подайте на вход измерительной системы синусоидальный сигнал, который должен быть отображен как 0 дБ. Измерьте уровень сигнала (для глубины режекции 50 дБ и величине сигнала на входе АЦП близкой к максимальной это число будет иметь порядок 10000000).

2.3. В меню Options / Calibration установите следующие параметры: Calibration Signal Parameters: Level: 1, rms; Units: Custom; Display Units and Labels: Log: впишите от руки “dB”; Display Values As: rms; Detected levels: впишите от руки значение, полученное в п. 2.2 (процедуру Measure Input Signal! не выполнять). Флажок Enable Calibration установите. Теперь амплитуды гармоник будут отображены спектроанализатором относительно амплитуды основного тона (в дБ для логарифмического масштаба и в долях единицы для линейного). Необходимость такой нестандартной процедуры калибровки вызвана тем, что при выполнении команды Measure Input Signal! не учитывается компенсационная АЧХ.

На этом этапе полезно оценить наименьшее значение коэффициента гармоник, которое может быть измерено. Для этого непосредственно на вход АЦП звуковой карты, без режектора, подайте синусоидальный сигнал от генератора с коэффициентом гармоник меньшим, чем собственный Кг АЦП (например, для карт на основе микросхемы CS4235 это около 0.005%), компенсация по п. 1.4 должна остаться по-прежнему включенной. Отображаемый при этом утилитой спектроанализатора Кг (Utilities / Total Harmonic Distortion) и является наименьшим значением коэффициента гармоник, которое может быть измерено при помощи данной звуковой карты и режектора. Для карты на основе CS4235 и глубины режекции 50 дБ это 0,00006% (рис.2). Для глубины режекции 36 дБ результаты, естественно, несколько хуже (0,0005%).

Теперь на вход измерительной системы через режектор можно подавать сигнал от исследуемой системы и измерять коэффициент гармоник непосредственно утилитой спектроанализатора, никакой дополнительной коррекции результатов не требуется.

В дальнейшем следует периодически выполнять пункт 1.5 и при значительной неравномерности спектра повторять пп. 1.2-1.4.

Для устройств с очень низкой нагрузочной способностью, возможно, следует иметь в виду входное сопротивление режектора. Нагрузка на исследуемое устройство определяется сопротивлением режектора на частоте 1 кГц, поскольку сигнал на остальных частотах создается только искажениями и шумами, величина которых много меньше. Модуль импеданса режектора на частоте 1 кГц составляет 6 кОм.

Литература

1. Е. Лукин. Комплекс для измерения сверхнизких нелинейных искажений // Радиохобби. 2000. №2. с. 40-42.

2. Е. Музыченко. Программные анализаторы спектра // Радиохобби. 1998. №6. с. 32-34, 1999. №1. с. 38-39.

РадиоХобби 2/2002, с. 61-62.





О применении характеристики «коэффициент мощности» при техническом описании светодиодных светильников

Автор: Александр Карев, к.т.н.
эксперт международного комитета АПСС,
технический директор ООО «МГК «Световые Технологии»

(Статья подготовлена для рубрики Ассоциации Производителей Светодиодов и Систем на их основе (рубрика АПСС «О фотоне и Электроне»)

Современные светодиодные светильники, как и блоки питания компьютеров, и иной IT техники и др. — это нелинейные нагрузки, которые, будучи подключены к общей сети электроснабжения, могут серьезно искажать форму напряжения сети. А это может нарушать нормальную работу электронных устройств: вызывать сбои, сбивать синхронность, создавать помехи в сетях передачи данных. Кроме этого, реактивные токи и мощности в сетях — это потери на нагрев в генераторах, трансформаторах, конденсаторах, проводах.

Как сегодня правильно оценить степень воздействия нелинейных нагрузок на сеть, чем измерить и как сравнивать параметры? Что должен знать проектировщик осветительной сети о светодиодном светильнике для создания безопасного и надежного решения? Какие параметры светильника обязательно должны быть в сопроводительной документации и на этикетке?

При описании электрических характеристик светодиодных светильников, как правило, используют три величины: напряжение питания, потребляемую мощность и коэффициент мощности или cos𝜑.
А как правильно — коэффициент мощности или cos𝜑?

Коэффициент мощности обозначается буквой λ – это комплексный показатель, характеризующий линейные и нелинейные искажения формы тока и напряжения в электросети, обусловленные влиянием нагрузки (например, драйвера светодиодного светильника). Линейные искажения характеризуются коэффициентом смещения – k, а нелинейные коэффициент искажения – d.
Тогда коэффициент мощности выражается как:
λ = k×d
Коэффициент смещения – k равен косинусу угла сдвига ( между током и напряжением — cos𝜑) .
k = cos𝜑
Коэффициент искажения (d) сигнала равен отношению действующего значения основной(первой) гармоники к действующему значению всего сигнала и может быть выражен следующей формулой:
d=1/√(1+𝑇𝐻𝐷2)

где THD (Total Harmonic Distorsions) — коэффициент нелинейных искажений (КНИ) – показатель, характеризующий степень отличия формы сигнала от синусоидальной (ГОСТ 13109-97). THD – величина количественной оценки нелинейных искажений периодического сигнала равна отношению среднеквадратичного значения всех высших гармоник сигнала к величине первой гармоники:

в данном случае In – величины гармонических составляющих несинусоидального тока светодиодного светильника, а n – номер гармоники.
В итоге коэффициент мощности описывается так:
λ = cos𝜑/√(1+𝑇𝐻𝐷2)

На практике измеренные значения коэффициента мощности для разных типов нагрузок оказываются в сильной зависимости от КНИ. Из таблицы 1 видно, как изменяется коэффициент мощности при росте нелинейных искажений в нагрузке при практически постоянном значении cos𝜑.

Taблица 1

Тип нагрузки Значение параметра
cos𝜑
Коэффициент смещения
𝑇𝐻𝐷
Коэффициент нелинейных искажений
d
Коэффициент искажения
λ
Коэффициент мощности
Вентилятор 0.999 1.8 1.000 0.999
Холодильник 0.875 13. 4 0.991 0.867
Микроволновая печь 0.998 18.2 0.984 0.982
Пылесос 0.951 26.0 0.968 0.921
Люминесцентный светильник 0.956 39.5 0.930 0.889
Телевизор 0.988 121.0 0.637 0.629
Компьютер и принтер 0.999 140.0 0.581 0.580
 
В случае применения светодиодных светильников с традиционными драйверами, всегда имеют место нелинейные искажения электрических сигналов и пренебрегать их влиянием на потери недопустимо. Как недопустимо и путать проектировщиков и инсталляторов светильников значениями cos𝜑 в технической документации.
Можно сказать, что представление об электрических процессах, как линейных, с идеальными синусоидально изменяемыми величинами, остались в прошлом, так же как остались в прошлом лампы накаливания, уступив место полупроводниковым светодиодным источникам света. Соответственно, приравнивать коэффициент мощности и cos𝜑 при измерении и описании электрических характеристик светодиодных светильников нельзя!

При анализе работы светодиодных светильников в электрической сети для описания искажений электрических сигналов следует применять комплексный показатель
коэффициент мощности /Power factor/, (λ).

Требования именно к этой характеристике нормируется в современных стандартах и технических регламентах, например, ТР ЕАЭС 048/2019 «О требованиях к энергетической эффективности энергопотребляющих устройств», ТР ТС 020/2011 «Электромагнитная совместимость технических средств» и др.

____________________________________________

Гармонический коэффициент — обзор

b Численные результаты

Приведенные ниже численные результаты для эффектов локального поля в полупроводниках и изоляторах основаны на расширении выражения Адлера-Вайзера в уравнении. (6.9) , расширение которого рассматривает локальные поля в зависящем от времени приближении локальной плотности 570 а не в RPA (зависящее от времени приближение Хартри). В этом расширении обменные и корреляционные эффекты в индуцированной электронной плотности рассчитываются самосогласованно в LDA.Дополнительные сведения см. в ссылках, приведенных в последующем обсуждении.

Во второй и третьей колонках Таблицы 35 показаны типичные поправки к диэлектрической проницаемости за счет локального поля. Всегда получается снижение e на 5-10%. Эти результаты согласуются с влиянием поправок на локальное поле на спектр поглощения, показанным на рис. 39. Вес доминирующих пиков в ε 2 ((ω) несколько смещается в сторону более высоких частот, вызывая уменьшение ε.

При отклике второго порядка локальные поля дают большую поправку, обычно уменьшая χ (2) , но иногда увеличивая ее.В табл. 37 показано влияние как коррекции «ножницы», так и локальных полей на χ (2) для тех из рассмотренных ранее материалов, у которых отсутствует инверсионная симметрия, что является предпосылкой для ненулевого отклика второго порядка. Значения LDA слишком велики в два раза, с самыми серьезными ошибками для материалов с меньшим зазором. Поправки к локальному полю составляют порядка 10-20% и отрицательны, за исключением компонента zzz в SiC, которая показывает увеличение на 13%.Несмотря на ограниченные экспериментальные данные, мы можем видеть тенденцию, аналогичную той, которая обнаружена для ε — подход «ножницы-оператор» хорошо работает для материалов с меньшим зазором, но получается избыточная коррекция для материалов с большим зазором, на примере SiC и GaN. .

Таблица 37. Коэффициент второй гармоники. . 573 Второй столбец показывает, какой компонент тензора табулируется.Коррекция локального поля обычно имеет порядок — 15%, но составляет +13% (абсолютное значение) в компоненте SiC zzz .

ZZZ XXZ 1
Комп. LDA Нет LF LF Доп.
GaP хуг 65 46 38 37 ± 2
GaAs XYZ 205 106 95 81 ± 5
AlP хуг 21 17 14
AlAs XYZ 35 24 22
SiC xxz 6.6 4,9 4,4
-4,7 -2,7 -3,1
GaN -3,2 -2,7 — 2.1 ± 2.6 ± 2.6 B
ZZZ 5.4 4,2 35 3.5 ± 5.4 B

Hughes и Sipe 556 наблюдение: неясно, действительно ли экспериментальные значения для χ (2) верны.Хьюз и Сайп обнаружили, что их теоретические значения коэффициента второй гармоники с зонной структурой, скорректированной ножницами, весьма далеки от экспериментальных значений, например, в GaAs и GaP. Однако они нашли близкое согласие с недавними измерениями линейного электрооптического коэффициента χ (2) (ω; ω, 0) в отличие от коэффициента второй гармоники χ (2) (2ω; ω, ю). Коэффициент второй гармоники (SH) дает поляризацию при 2ω, индуцированную полем при ω, в то время как электрооптический (EO) коэффициент дает поляризацию при со от поля при со и статического поля.Формально эти два коэффициента должны быть равны в статическом пределе, тогда как экспериментальные значения расходятся почти в два раза. Например, в GaAs χSH,expt(2) = 162 ± 10pm/V 571 а также χEO,expt(2) = 99,8 пм/В, 556 , 574 в то время как некоторые теоретические значения составляют 172 пм/В (псевдопотенциал), 575 96,5 пм/В (FLAPW – полнопотенциальная линеаризованная расширенная плоская волна), 556 Refs. 104,8 пм/В (линеаризованные орбитали маффин-тин LMTO). 576 Все эти расчеты были выполнены для полосовых структур LDA со сдвигом ножниц. Ясно, что требуется как дополнительная экспериментальная, так и теоретическая работа.

Теория поправок локального поля к нелинейному отклику была корректно разработана лишь недавно Ченом и др. . 573 В более ранних работах неизменно предполагалось, что в нелинейном отклике важны только линейные локальные поля. Однако Chen et al. показал, что нелинейные локальные поля не менее важны.Например, для генерации второй гармоники необходимо учитывать локальные поля как на частоте возбуждения ω, так и на второй гармонике 2ω. Также можно аналитически показать, что для скалярных потенциалов доминирующий член линейного локального поля ровно в два раза превышает доминирующий член нелинейного локального поля, что приводит к увеличению поправки на локальное поле на 50% по сравнению с ранее опубликованными результатами. Таким образом, типичная поправка из-за локальных полей составляет около -15% для генерации второй гармоники, но с большим изменением силы и случайным изменением знака. 572

Помимо работы Chen et al. ., 573 несколько других авторов обсуждают нелинейный отклик в полупроводниках, хотя Chen et al. были единственными, кто учёл полный эффект поправок локального поля. Метод псевдопотенциала плоской волны, использованный Chen et al. , был разработан Левином и Алланом (ссылки 536, 541, 567, ссылки 568), которые показали, как включить сдвиг ножниц в датчик скорости. Их метод в основном применяется в длинноволновом пределе, 540 , 542 , хотя может быть получена частотная зависимость ниже щели. 575

Сайп и коллеги 538 , 566 провели подробное сравнение методов измерения скорости и измерения длины и обнаружили, что при работе в измеритель длины. Формулировка длины калибра использовалась Хьюзом и Сайпом для GaAs и GaP 556 и Хьюзом, Вангом и Сайпом для GaN и AlN, 577 . Они рассчитали как действительную, так и мнимую часть χ (2) для частот, значительно превышающих порог поглощения, в рамках метода ножничного сдвига, используя полосовую структуру LDA FLAPW (полнопотенциальная линеаризованная расширенная плоская волна).Однако они не включали поправки на локальное поле. Формулировка Aversa и Sipe также применялась Рашкеевым и др. . 576 с использованием ленточной структуры LMTO (линеаризованная орбитальная маффин-тин). Они также изучили частотно-зависимые χ (2) и добавили BN и SiC к материалам, изученным Hughes et al. Статья Рашкеева и др. также включает подробное обсуждение сильных и слабых сторон подхода «ножницы».Адольф и Бехштедт 578 рассчитаны частотно-зависимые χ (2) для GaP, GaAs, InP, InAs и SiC методом плосковолнового псевдопотенциала при теоретических постоянных решетки. Они использовали сдвиг ножниц для соединений III-V, но обсуждали более сложный сдвиг собственной энергии, зависящий от импульса и зоны, в SiC.

Расчеты оптического отклика, описанные до сих пор, были выполнены методом суммирования состояний, но существует альтернатива. Даль Корсо и др. . 552 использовал так называемую 2 n + 1 теорему 579 вывести другой и более эффективный численный метод для отклика второго порядка в рамках теории функционала плотности, зависящей от времени. Теорема 2 n + 1 в этом контексте выражает функции отклика второго порядка (выводимые из производных третьего порядка от полной энергии) через изменения первого порядка волновой функции. Расчеты Dal Corso et al. проводились при теоретических постоянных решетки, далеких от экспериментальных, что сильно сказывалось на их значениях.Тем не менее их метод должен привести к тем же результатам, что и другие, при экспериментальных постоянных решетки.

Относительно скромные поправки к локальному полю, которые мы наблюдали до сих пор, не являются общим правилом. Йонссон и др. . 583 рассчитали поправки локального поля к оптической вращательной способности α-кварца и селена и обнаружили, что локальные поля преобладают в отклике. Оптическая вращательная способность — это способность кристаллов с хиральной структурой вращать плоскость поляризации проходящего света.В табл. 38 показано влияние локальных полей на диэлектрические проницаемости, восприимчивости второго порядка и вращательные способности селена и α-кварца. Для e в обоих материалах и для χ (2) в кварце поправки представляют собой скромные уменьшения. Для χ (2) в Se положительная поправка составляет 33%. Наконец, во вращательной силе локальные поля доминируют в отклике — в α-кварце коррекция локального поля увеличивает вращательную силу в восемь раз, тогда как в Se локальные поля меняют знак и более чем вдвое превышают абсолютное значение. 580 581 582 584 585 586

Таблица 38. Поправки на локальное поле (LF) для селена и α-кварца (SiO 2 ) в диэлектрической проницаемости ε, коэффициенте второй гармоники d и оптической вращательной мощности p 543 , 6 5 скромные поправки на локальное поле для ε не подразумевают умеренных поправок на другие оптические свойства. Обратите внимание также, что как для d , так и для ρ знак поправки на локальное поле различается между селеном и кварцем.Для коэффициента второй гармоники d экспериментальных результатов больше, чем указано в таблице. Для селена эти экспериментальные значения существенно различаются, в то время как для кварца разные значения находятся в хорошем согласии. Мы ссылаемся на Ref. 543 для более подробного обсуждения и ссылок. Приведенные экспериментальные значения вращательной мощности являются пределами нулевой частоты, указанными в Ref. 583, которые были экстраполированы по данным [584]. 585 (Se) и Ref. 586 (кварц).

2

Расчеты для вращательной мощности не могут быть сделаны со скалярной теорией оптического ответа, описанного выше, поскольку физический эффект представляет собой вращение поляризации и требует векторного описания. Следовательно, необходимо сделать обобщение реакции вектора с точки зрения индуцированных токов и векторных потенциалов. 543 , 583 , 587 Однако для длин волн, намного превышающих постоянную решетки, можно использовать гибридную схему, которая рассматривает медленно меняющиеся поля с помощью векторной теории, но использует скалярную теорию для локальных полей (см.583, 588, 589, 590), тем самым значительно упрощая рассмотрение и избегая использования нестационарной теории функционала плотности тока.

7.1 Описание формата коэффициента сферической гармоники

7.1 Описание формата коэффициента сферической гармоники
Следующий: 7.2 Список моделей Up: 7. Онлайн-доступ к Предыдущий: 7. Онлайн-доступ к


7.1 Описание формата коэффициента сферической гармоники

Мы используем сферические гармоники с единичной нормой, как описано в разд.Б.8 ​​из Dahlen and Tromp [1998] и статья G-Cubed для расширения томографического и геодинамические модели на дискретных слоях с глубиной срединного слоя . Наборы и -коэффициентов затем мы объединяем в файлы «модели», формат которых задан в таблице 1.

9 ε D = χ (2) /2 (PM / V) ρ / ( H Ω) 2 (DEG / [мм (EV) 2 ])
Нет LF LF Доп. Нет LF LF Доп. Нет LF LF Доп.
SE 9.9 7.3 ± 1,1 A 70006 78 111 97 ± 25 C 21 -55 ± 56 ± 30
α-кварц 2,42 2,30 2,35 б 0.35 0.33 0,34 0,34 5 0,34 0,7 5,6 5,6 4,6 ± 0,1 4,6 ± 0,1
Всегда добавлялось
Таблица 1: Описание формата данных моделей сферических гармоник с дискретными слоями. (Свободное форматирование, поля разделены пробелы.)
фактическая запись пример или примечание
количество слоев, эл.грамм. 10
км, начиная с самого глубокого уровня, т.е. 2850
напр. 31
, хотя идентичен нулю
км, следующий высший уровень, эл.грамм. 2800
то же, что и выше, резервный
км, самый мелкий уровень, т.е. 0

Все возмущения скорости и плотности сферической гармоники модели даны в процентах от PREM, мы указываем относительные отклонения через .

Следующий: 7.2 Список моделей Up: 7. Онлайн-доступ к Предыдущий: 7. Онлайн-доступ к
(C) Thorsten Becker, USC Geodynamics, Лос-Анджелес, Калифорния, США, последнее обновление 14 января 2002 г.

Сферический гармонический анализ гармонической функции, заданной на сфероиде | Международный геофизический журнал

Аннотация

Новый аналитический метод вычисления усеченного ряда твердотельных коэффициентов сферических гармоник (СКГ) по данным о сфероиде (т.е. сплюснутый эллипсоид вращения) получается с помощью преобразования между поверхностными и твердыми сферическими УВ. Выведена двухэтапная процедура, чтобы расширить это преобразование за пределы степени и порядка (d / o) 520. Этот метод сравнивается с преобразованием Хотина – Джекели в численном исследовании, основанном на модели глобальной гравитации EGM2008. Показано, что оба метода обеспечивают субмикрометровую точность с точки зрения аномалий высоты для модели до d / o 2239. Однако оба метода приводят к моделям сферических гармоник, которые отличаются до 7.Аномалии высоты 6 мм и гравитационные возмущения 2,5 мГал из-за другой используемой системы координат. В то время как преобразование Хотина-Джекели требует использования эллипсоидальной системы координат, новый метод использует только сферические полярные координаты. Преобразование Хотина – Джекели численно более эффективно, но новый метод легче распространить на случаи, когда (линейная комбинация) нормальных производных рассматриваемой функции задана на поверхности сфероида.Таким образом, он обеспечивает решение многих типов эллипсоидальных краевых задач в спектральной области.

1 ВВЕДЕНИЕ

Расширения сферических гармоник используются во многих областях науки о Земле и планетах для построения глобальных моделей различных величин, представляющих интерес. Они особенно полезны для представления гармонических функций. Например, глобальные модели гравитационного поля Земли почти исключительно представлены серией коэффициентов сферических гармоник (СК).Международный центр глобальных моделей Земли в настоящее время насчитывает более 150 сферических гармонических моделей гравитационного потенциала Земли, а также сферические гармонические модели гравитационных полей Луны, Марса и Венеры. Расширения сферических гармоник также используются для описания геомагнитного поля (например, Cain и др. 1989 г.; Maus и др. 2005 г.; Lesur и др. 2008 г.; Chulliat и др. 2015 г.). Другие приложения включают модели теплового потока (например,грамм. Чепмен и Поллак, 1980; Поллак и др. 1993; Хофмайстер и Крисс 2005; Хамза и др. 2008), изостато-топографические модели (например, Rummel и др. 1988; Панасюк и Хагер 2000; Кабан и др. 2004; Balmino и др. 2012; модели скорости сейсмических волн (модели скорости сейсмических волн) например, Su и др. , 1994 г.) и пост-сейсмические модели деформации земной поверхности (например, Pollitz, 1996 г.; Riva & Vermeersen, 2002 г.).

Сферические HC можно легко вычислить, если доступны данные о поверхности сферы, которая полностью находится в области, где функция является гармонической.Однако, поскольку Земля (как и многие другие тела Солнечной системы) с гораздо более высоким уровнем точности аппроксимируется сфероидом (т. е. сплюснутым эллипсоидом вращения), возникает необходимость в методике расчета сферических УВ по данным на сфероиде.

Одной из возможных методологий является числовая, использующая статистический метод, такой как оценка методом наименьших квадратов или коллокация (например, Sansò & Tscherning 2003; Abd-Elmotaal et al. 2014), но здесь требуется аналитическое решение.Преимущество аналитических методологий состоит в том, что они позволяют вычислять коэффициенты выше максимальной степени, определяемой разрешением сетки данных, и позволяют избежать проблем, связанных с обращением плохо обусловленной матрицы, которые усложняют процедуру оценивания методом наименьших квадратов.

Было предложено несколько аналитических методологий, таких как метод продолжения вверх (Cruz, 1986) и метод, основанный на второй интегральной теореме Грина (Sjöberg, 1988). Оба этих метода требуют не только значений функций на сфероиде, но и их радиальных или нормальных производных, и в настоящее время они редко используются на практике, если вообще используются.

Самый популярный метод здесь называется методом сфероидальных гармоник . В этом методе функция на поверхности сфероида сначала разлагается в ряд сфероидальных гармоник, которые затем могут быть преобразованы в разложение сферических гармоник с использованием преобразования между сферическими и сфероидальными HC (например, Buchdahl et al. 1977; Jekeli 1988; Dechambre & Scheeres 2002). Преобразование Хотина-Джекели между сферическими и сфероидальными УВ (Jekeli 1988) использовалось, например, при создании модели глобальной гравитации EGM2008 (Pavlis et al. 2012) и глобальной модели литосферного магнитного поля Земли NGDC-720 (Maus 2010).

Альтернативный метод называется здесь методом поверхностных гармоник . Это следует из преобразования между твердыми сферическими УВ и поверхностными сферическими УВ (Claessens 2006; Claessens & Featherstone 2008). Как и метод сфероидальных гармоник, он не требует никакой другой информации, кроме значений функции на сфероидальной поверхности. Claessens & Featherstone (2008) показывают, что эффективное преобразование поверхностных УВ в твердые сферические может быть достигнуто только до степени и порядка (d/o) ∼520, что сильно затрудняет метод поверхностных гармоник.Однако в разделе 4 будет показано, что эффективное преобразование может быть достигнуто вплоть до сверхвысоких d/o с использованием новой двухэтапной процедуры.

Помимо усовершенствования метода поверхностных гармоник, в этой статье также проводится численное сравнение метода сфероидальных гармоник и метода поверхностных гармоник. Основное преимущество метода поверхностных гармоник заключается в том, что его можно легко распространить на случаи, когда сама функция задана не на поверхности сфероида, а (линейная комбинация) ее производных по нормали к поверхности.Это дает преимущество, например, при вычислении сферических УВ гравитационного потенциала по гравитационным возмущениям или гравитационным аномалиям (см. раздел 6). Дополнительным, но лишь очень незначительным преимуществом метода поверхностных гармоник перед методом сфероидальных гармоник является то, что данные полностью обрабатываются в сферических (полярных) координатах. Сфероидальные координаты (эллипсоидальные координаты Якоби), которые используются в сфероидальных гармониках, не требуются. Обратите внимание, что многие глобальные наборы данных представлены в виде геодезических координат (эллипсоидальные координаты Гаусса), но эти координаты нельзя напрямую использовать для гармонического анализа или синтеза, поэтому в этих случаях всегда требуется повторная параметризация данных.Для дальнейшего обсуждения см. Грубер и Абрикосов (2014).

Определение сферических ГК по значениям функций на сфероиде является решением эллипсоидальной краевой задачи. В зависимости от формы предоставляемых данных можно выделить несколько типов краевых задач. Когда известна сама функция на сфероиде, возникает так называемая краевая задача Дирихле, решению которой и посвящена данная статья. Однако в разделе 6 показано, что другие типы краевых задач, такие как краевая задача Неймана, Робина и краевая задача второго порядка (градиометрическая) (т.грамм. Mackie 1965) также можно решить с помощью метода поверхностных гармоник.

2 СФЕРИЧЕСКИЕ И СФЕРОИДАЛЬНЫЕ ГАРМОНИКИ

Ряд сферических гармоник обеспечивает решение дифференциального уравнения Лапласа, которому подчиняются все гармонические функции (например, Hobson 1931; Sigl 1985). Поскольку гравитационное и магнитное поля Земли являются гармоническими векторными полями, внешними по отношению к массам Земли, они могут быть представлены в любом месте во внешнем пространстве сплошным сферическим гармоническим расширением

\begin{equation} f (r, \ theta, \ lambda) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ bigg ( \ frac {R} {r} \ bigg) ^ {n + 1} \ sum _ {m = -n}^n \overline{f}_{nm}^R \overline{Y}_{nm} (\theta, \lambda) \end{equation}

(1)где f — гармоническая функция, внешняя по отношению к некоторой замкнутой области, ( r , θ, λ) — множество сферических полярных координат, R — радиус эталонная сфера, |$\overline{f}_{nm}^R$| — полностью нормированные твердые сферические УВ степени n и порядка m и |$\overline{Y}_{nm}$| — полностью нормированные сферические гармонические функции.Сферические гармонические функции образуют набор ортогональных базовых функций на сфере и определяются

\begin{equation} \overline{Y}_{nm} (\theta , \lambda ) = \overline{P}_{n|m|} (\cos \theta ) \bigg \lbrace \begin{array}{lll}\cos m \lambda &\quad \mbox{for} &\quad m \le 0 \\ \sin m\lambda &\quad \mbox{for} &\quad m > 0 \end{массив} \end{equation}

(2)где |$\overline{P}_{n|m|} (\cos \theta )$| являются полностью нормализованными (4π-нормированными) ассоциированными функциями Лежандра.Они образуют решение соответствующего дифференциального уравнения Лежандра (например, Abramowitz & Stegun 1972), а численно устойчивые алгоритмы для их вычисления вплоть до высоких d/o представлены, например, в Masters & Richards-Dinger (1998), Holmes & Featherstone ( 2002), Джекели и др. (2007) и Фукусима (2012). Более общей альтернативой сферическому гармоническому расширению является эллипсоидальное гармоническое расширение. Поскольку геодезический опорный эллипсоид является сфероидом, эта статья касается только сфероидального гармонического расширения, которое является частным случаем эллипсоидального гармонического расширения для трехосного эллипсоида (сферическое гармоническое расширение в уравнении{\ mathrm {u}} \ overline {Y} _ {nm} (\ beta, \ lambda) \end{equation}

(3)где b — малая полуось сфероида, E — линейный эксцентриситет сфероида, а Q нм — ассоциированные функции Лежандра второго рода.{\mathrm{e}}$| называются поверхностными сферическими УВ.ты \end{equation}

(11)где веса Δ нм также могут быть вычислены рекурсивно (Gleason 1988, уравнение 1.24). Себера и др. (2012, ур. 20) обеспечивают оптимизированные рекуррентные соотношения для перенормированных функций Лежандра второго рода по Джекели. Обратное преобразование можно использовать для создания серии сплошных сферических HC из данных о сфероиде после того, как данные о сфероиде были развернуты в сплошные сфероидальные HC. Это преобразование представляет наибольший интерес здесь.{\ mathrm {е}} $ | (прямое преобразование). Так же, как и в методе сфероидальных гармоник, наибольший интерес представляет обратное преобразование, поскольку оно дает возможность генерировать набор твердых сферических ГК из данных о сфероиде. Обратное преобразование рассматривается в разделе 4.2, но вывод прямого преобразования также кратко повторяется здесь, главным образом для того, чтобы облегчить последующее объяснение обратного преобразования.{2i,2j } \end{equation}

(17)При сравнении уравнений (9) и (16) видно, что как метод сфероидальных гармоник, так и метод поверхностных гармоник включают простое взвешенное суммирование по сферическим НС.В то время как экв. (9) содержит конечное суммирование и уравнение. (16) бесконечная сумма, обе суммы на практике усекаются после ряда членов, что допустимо, поскольку обе суммы сходятся.

4.2 Обратное преобразование

Обратный переход от поверхностных сферических УВ к твердым сферическим УВ более сложен, но решение может быть найдено, если признать, что на практике ряд сферических гармоник оценивается только до определенного максимума d/o M .{{\ mathrm {е}}} \end{equation}

(19)Инверсия матрицы Λ сталкивается с двумя потенциальными проблемами: (1) матрица может быть плохо обусловлена ​​для высоких M и (2) инверсия требует больших вычислительных ресурсов для высоких M . Поскольку сферическое гармоническое разложение до d/o M содержит ( M + 1) 2 коэффициентов, размерность Λ равна ( M + 1) 2 на ( M + 1) 2 . Это видно из ур. (16) следует, что если коэффициенты в векторах сначала отсортировать по порядкам m , а затем по четным и нечетным степеням n , матрица Λ становится блочно-диагональной, что облегчает ее обращение.Тем не менее, это требует обращения 4 M матриц размерности до |$(M+2)/ 2$| на |$(M+2)/ 2$| для M четно и |$(M+1)/ 2$| на |$(M+1)/ 2$| для M является нечетным, что требует значительных вычислительных усилий для больших M . Ниже представлен более эффективный метод. Claessens & Featherstone (2008) показали, что Λ хорошо обусловлен, по крайней мере, до определенного d/o, благодаря диагональному преобладанию матрицы для низких M . Для низких степеней и порядков веса λ нм близки к 1 при i = 0 и близки к нулю при i ≠ 0.{\ infty } |\ lambda _ {nmi} | \mbox{for} 0 \le m \le n \le M. \end{equation}

(20)В случае сфероида с эксцентриситетом Земли ( e 2 ≈ 0,00669) условие в уравнении. (20) выполняется для M ≤ 520 (Claessens & Featherstone 2008). Поскольку строго диагонально доминирующие матрицы всегда хорошо обусловлены, при выполнении этого условия можно найти обратную матрицу Λ.

Что еще интереснее, набор линейных уравнений, такой как в ур.(18), можно решить с помощью итеративного подхода, который всегда будет сходиться, если выполняется условие диагонального преобладания (например, Голуб и Ван Лоан, 1996, стр. 120). Итеративный подход, такой как метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя или метод последовательной сверхрелаксации (SOR) (например, Strang, 1986; Golub & Van Loan, 1996), в вычислительном отношении намного эффективнее, чем полная инверсия матрицы. Однако, как только диагональное доминирование теряется, то есть после d/o 520, эти итерационные алгоритмы быстро расходятся.

В настоящее время максимальная сферическая гармоника d/o M = 520 больше не подходит для многих практических приложений. Уже существуют сферические гармонические модели гравитационного поля Земли вплоть до более высоких d/o, такие как EGM2008 (Pavlis et al. 2012, M = 2190). Кроме того, последние гармонические модели магнитного поля Земли, такие как EMM2015 (Chulliat et al. 2015, M = 720), превышают d/o 520. Следовательно, двухэтапная процедура преобразования, которая преодолевает проблемы с обращение Λ предлагается следующим образом.рупий | вычисляется первым. Обоснование этого следующее. Если приближенные коэффициенты являются близким приближением истинных коэффициентов, преобразование от приближенных к истинным коэффициентам потенциально приводит к диагонально доминирующей матрице преобразования, поскольку диагональные элементы будут близки к 1, а недиагональные элементы будут малы.

Хорошая аппроксимация для твердых сферических УВ может быть найдена путем аппроксимации каждого члена суммирования в левой части уравнения.Р \Биг ) \end{eqnarray}

(31)где коэффициент ω должен быть установлен равным значению от 0 до 2. Метод SOR аналогичен методу Гаусса–Зейделя для ω = 1, но может сходиться быстрее для других вариантов сверхрелаксации фактор.

5 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Метод поверхностных гармоник и метод сфероидальных гармоник тестируются и сравниваются численно. Гармоническая функция, используемая в тестах, представляет собой возмущающий потенциал T , рассчитанный на основе модели глобального гравитационного поля EGM2008 (Pavlis et al. 2012) до M = 2190, где для определения опорного потенциала использовались параметры геодезической системы отсчета, принятые при создании EGM2008 (Pavlis et al. 2012, приложение A). Тесты проводились с использованием модифицированной версии программного обеспечения Harmonic_synth (Holmes & Pavlis 2006) для синтеза сферических гармоник, программного обеспечения SHTools версии 3.1 (Wieczorek 2015) для анализа сферических гармоник и собственного программного обеспечения для преобразования коэффициентов.

Поскольку для метода поверхностных гармоник требуется сетка значений функции по геоцентрической широте θ, а для метода сфероидальных гармоник требуется сетка по приведенной широте β, посредством синтеза сферических гармоник на Опорный эллипсоид EGM2008 с разрешением 2,5 угловых минуты (см. рис. 1). Эти сетки содержат данные, по которым должно быть вычислено твердотельное сферическое гармоническое расширение методами сфероидальных и поверхностных гармоник.

Рисунок 1.

Обзор численных расчетов и сравнений (SHA: анализ сферических/сфероидальных гармоник; SHS: синтез сферических/сфероидальных гармоник и CT: преобразование коэффициентов).

Рис. 1.

Обзор численных расчетов и сравнений (SHA: анализ сферических/сфероидальных гармоник; SHS: синтез сферических/сфероидальных гармоник и CT: преобразование коэффициентов).

Первым шагом в этом процессе является анализ сферических гармоник на обеих сетках.С помощью алгоритма Driscoll & Healy (1994), реализованного в SHTools , были получены гармонические ряды до d/o 2159. Обратите внимание, что алгоритм Дрисколла и Хили (1994) требует разрешения сетки 2,5 угловых минуты для получения ряда до d/o 2159, но также существуют алгоритмы, требующие более низкого разрешения (например, McEwen & Wiaux 2011). Анализ сетки с точки зрения геоцентрической широты приводит к поверхностному сферическому гармоническому ряду, в то время как сетка с точки зрения приведенной широты дает сплошной сфероидальный гармонический ряд.{и}$| (синий) и (3) различия между этими двумя (красный), что указывает на то, что, хотя оба ряда имеют очень схожую мощность (последний скрывает первый), различия между коэффициентами значительны.

5.1 Преобразование коэффициента

Чтобы проверить метод сфероидальных гармоник, преобразование Хотина – Джекели (уравнение 11) было выполнено на сплошном сфероидальном гармоническом ряду с использованием рекуррентных соотношений для перенормированных функций Лежандра второго рода Джекели Sebera et al. (2012 г., уравнение 20). Суммирование было усечено на i = 40, в результате чего набор твердых сферических УВ до d/o 2239. Из-за сходимости ряда в уравнении. (11) усечения на i = 40 более чем достаточно. Для сравнения, EGM2008, который также вычисляется с использованием преобразования Хотина–Джекели, усечен до d/o 2190.

Для проверки метода поверхностных гармоник было выполнено обратное преобразование, подробно описанное в разделе 4.2, для ряда поверхностных сферических гармоник.Как и в преобразовании Хотина–Джекели, все бесконечные ряды обрезались после 40 членов, т. е. суммирование в уравнениях (17) и (25) производилось до j = 40, суммирование в уравнении (24) от i = от -40 до 40 и суммирование в уравнении. (27) выполнялось от j = −40 до 40. Этого также более чем достаточно (см. раздел 5.2).

Успех обратного преобразования зависит от того, будет ли экв. (28) выполняется до M = 2239. Рис.{40} |\nu _{n0i}|}$| (красный пунктир) из (27) на основе параметров GRS80.

Был использован метод Гаусса-Зейделя (уравнение 30), поскольку трудно предсказать оптимальный коэффициент сверхрелаксации для метода SOR. Как видно на рис. 4, сходимость быстрая для всех степеней. Всего было применено 10 итераций для вычисления окончательных коэффициентов. Вычислительные усилия, необходимые для каждой итерации, незначительны по сравнению с усилиями, необходимыми для вычисления весов ν нм .

Рисунок 4.

Дисперсия степеней приблизительных коэффициентов возмущающего потенциала (24) (черный цвет) и прибавлений к этим коэффициентам от итераций с 1 по 6 (от красного до синего) с использованием итерации Гаусса-Зейделя (30), что указывает на быструю сходимость для всех степеней.

Рис. 4.

Дисперсия степеней приближенных коэффициентов возмущающего потенциала (24) (черный цвет) и прибавлений к этим коэффициентам от итераций с 1 по 6 (от красного до синего) с использованием итерации Гаусса–Зейделя (30), что указывает на быструю сходимость для всех степеней.

5.2 Сравнение твердотельных сферических гармонических рядов

Метод сфероидальных гармоник и метод поверхностных гармоник обеспечивают сплошное сферическое гармоническое разложение возмущающего потенциала. Их можно было бы легко преобразовать в разложение гравитационного потенциала, как EGM2008, используя параметры опорного эллипсоида. С теоретической точки зрения можно ожидать, что эти два расширения не идентичны, и ни один из них не будет идентичен EGM2008.Причина этого в том, что каждая из моделей основана на разных усеченных рядах, что приводит к разным ошибкам пропуска.

Сравнение двух сплошных рядов сферических гармоник, полученных методом поверхностных гармоник и методом сфероидальных гармоник, выполняется в спектральной и пространственной областях. Во-первых, на рис. 5 показаны различия между спектрами мощности двух серий. Можно видеть, что различия между коэффициентами очень малы, за исключением самого высокого d/o, близкого к M .Это ожидаемо, потому что формулы преобразования коэффициентов (как для метода поверхностных гармоник, так и для метода сфероидальных гармоник) показывают, что ошибка пропуска в ряду, усеченном на d/o 2159, повлияет только на твердые сферические УВ, близкие к этой степени (2079 < n < 2239 на основе i = 40, но любой эффект за пределами 2130 < n < 2190 незначителен).{u}$| (синий) и (3) различия между этими двумя (красный), что указывает на то, что оба ряда почти идентичны (последний скрывает первый), за исключением коэффициентов, близких к максимальной степени.{и}$| (синий) и (3) различия между этими двумя (красный), что указывает на то, что оба ряда почти идентичны (последний скрывает первый), за исключением коэффициентов, близких к максимальной степени.

На рис. 6 показан крупный план диапазона от 2120 до 2200 градусов. Это показывает, что значения коэффициентов, полученных методом поверхностных гармоник, уменьшаются быстрее, чем коэффициенты, полученные методом сфероидальных гармоник. Таким образом, в то время как последний может быть безопасно усечен после д/о 2190, как и EGM2008, первый уже может быть усечен после д/о 2180.Это также показывает, что на практике достаточно оценить значительно менее 40 терминов. Большое количество терминов использовалось в этом исследовании только для того, чтобы подчеркнуть высокую точность методов (см. Раздел 5.3). Рис. 6 также помогает объяснить различия между высшими степенными коэффициентами моделей топографического потенциала dV_ELL_RET2012 и EGM2008, отмеченные в работе Claessens & Hirt (2013), но не объясненные.

Рис. 6.

Увеличение «хвоста» рис.{и}$| (синий) и (3) различия между этими двумя (красный), выделяя различия, близкие к максимальной степени.

Два сплошных ряда сферических гармоник также сравнивались в пространственной области. На рис. 7 показаны различия между регулярными глобальными сетками аномалий высот с шагом 2,5 угловых минуты по геодезической широте. Максимальная разница составляет 7,6 мм, а среднеквадратичное значение разницы составляет 0,47 мм. На рис. 8 показано то же самое, но для гравитационных возмущений. Максимальная разница составляет 2,5 мГал, а среднеквадратичное значение разницы равно 0.15 мГал.

Рис. 7.

Различия между аномалиями высот, рассчитанными по твердым сферическим УВ, которые были получены с помощью (1) метода поверхностных гармоник и (2) метода сфероидальных гармоник (единицы в метрах; проекция Робинсона).

Рис. 7.

Различия между аномалиями высот, рассчитанными по твердым сферическим HC, которые были получены с помощью (1) метода поверхностных гармоник и (2) метода сфероидальных гармоник (единицы измерения в метрах; проекция Робинсона).

Рис. 8.

Различия между гравитационными возмущениями, рассчитанными по твердым сферическим УВ, которые были получены с помощью (1) метода поверхностных гармоник и (2) метода сфероидальных гармоник (единицы в миллигалах; проекция Робинсона).

Рис. 8.

Различия между гравитационными возмущениями, рассчитанными по твердым сферическим УВ, которые были получены с помощью (1) метода поверхностных гармоник и (2) метода сфероидальных гармоник (единицы в миллигалах; проекция Робинсона).

Очень похожая картина наблюдается на рис. 7 и 8. На обоих рисунках различия носят коротковолновый характер (согласно рис. 5 и 6) и наибольшие в горных районах вблизи экватора. Объяснение этих коротковолновых различий заключается в том, что две серии до M = 2159, одна из поверхностных сферических УВ, а другая — сплошных сфероидальных УВ, не содержат точно такой же сигнал. Это видно, например, из того факта, что преобразование поверхностных сферических УВ до d/o M в твердые сфероидальные УВ с использованием описанных здесь формул преобразования приведет к (неполным) ненулевым твердым сфероидальным УВ за пределами максимальная степень M (и тот же аргумент имеет место наоборот ).Следовательно, две серии твердых сферических УВ до M = 2239 также не содержат точно такой же сигнал. На рисунках 7 и 8 показаны различия, вызванные этим.

5.3 Проверка преобразований коэффициентов

Численная точность методов поверхностных и сфероидальных гармоник анализируется путем сравнения высотных аномалий в пространственной области. Для валидации метода сфероидальных гармоник регулярная глобальная сетка возмущающего потенциала в 2,5 угловых минуты в условиях приведенной широты была синтезирована из сплошных сфероидальных гармонических рядов и впоследствии преобразована в высотные аномалии с использованием уравнения Брунса.Это сравнивается с высотными аномалиями на той же сетке, синтезированной из сплошного ряда сферических гармоник (см. рис. 1). Любые расхождения между этими двумя сетками должны быть результатом ошибок округления и усечения ряда преобразований. Однако обратите внимание, что эти сетки не идентичны сеткам аномалий высот, которые должны быть синтезированы непосредственно с EGM 2008 по д/о 2190.

Тот же самый процесс применяется для проверки метода поверхностных гармоник, с использованием вместо этого ряда поверхностных гармоник и синтеза на сетка по геоцентрической широте (см.1). Таблица 1 показывает, что как метод сфероидальных гармоник, так и метод поверхностных гармоник обеспечивают очень высокую точность с разницей в аномалиях высоты, не превышающей нескольких микрометров. СКО разностей наименьшее для метода поверхностных гармоник, что можно объяснить более быстрым уменьшением коэффициентов, показанным на рис. 6.

Таблица 1.

Глобальная статистика валидации преобразования: различия между аномалиями высот, синтезированными из (1) поверхностных сферических УВ и приближенных твердых сферических УВ (24), (2) поверхностных сферических УВ и твердых сферических УВ методом поверхностных гармоник (30) и (3) сплошные сфероидальные УВ и сплошные сферические УВ из метода сфероидальных гармоник (11) ((±1.0 × 10 −12 ) указывает значение между −10 −12 и +10 −12 , то есть значение меньше, чем можно точно определить, учитывая количество цифр, используемых в вычислениях) (единицы в метрах).

-07 9006
. Приблизительно . Поверхностный КТ . Сфероидальный CT .
Минимум − 1,7 × 10 −02   − 1.9 × 10 -07 (± 1,0 × 10 -12 )
максимум 1.1 × 10 -02 1.6 × 10 -06 6,2 × 10 -06
Среднее 1.8 × 10 -05 (± 1,0 × 10 4 (± 1,0 × 10 -12 ) 8,0 × 10 -11
RMS 0,7 × 10 -03 2,7 × 10 −10   1.3 × 10 −08  
-06 -03 -08 1
. Приблизительно . Поверхностный КТ . Сфероидальный CT .
минимум — 1.7 × 10 -02 — 1.9 × 10 -07 (± 1,0 × 10 -12 )
максимум 1,1 × 10 −02   1.6 × 10 -06 6.2 × 10 -06
Среднее 1,8 × 10 -05 (± 1,0 × 10 -12 ) 8,0 × 10 -11
RMS RMS 0,7 × 10 -03 2.7 × 10 -10 1,3 × 10 -08
Таблица 1.

Глобальная статистика преобразования Валидация: различия между высотой аномалии, синтезированные из (1) поверхностных сферических УВ и приближенных твердых сферических УВ (24), (2) поверхностных сферических УВ и сплошных сферических УВ из метода поверхностных гармоник (30) и (3) сплошных сфероидальных УВ и твердых сферических УВ из сфероидального метод гармоник (11) ((±1.0 × 10 −12 ) указывает значение между −10 −12 и +10 −12 , то есть значение меньше, чем можно точно определить, учитывая количество цифр, используемых в вычислениях) (единицы в метрах).

-07 9006
. Приблизительно . Поверхностный КТ . Сфероидальный CT .
Минимум − 1,7 × 10 −02   − 1.9 × 10 -07 (± 1,0 × 10 -12 )
максимум 1.1 × 10 -02 1.6 × 10 -06 6,2 × 10 -06
Среднее 1.8 × 10 -05 (± 1,0 × 10 4 (± 1,0 × 10 -12 ) 8,0 × 10 -11
RMS 0,7 × 10 -03 2,7 × 10 −10   1.3 × 10 −08  
-06 -08 1
. Приблизительно . Поверхностный КТ . Сфероидальный CT .
минимум — 1.7 × 10 -02 — 1.9 × 10 -07 (± 1,0 × 10 -12 )
максимум 1,1 × 10 −02   1.6 × 10 -06 6.2 × 10 -06
Среднее 1,8 × 10 -05 (± 1,0 × 10 -12 ) 8,0 × 10 -11
RMS RMS 0,7 × 10 -03 2,7 × 10 -10 1,3 × 10 -08

Таблица 1 также показывает точность приблизительной твердой сферической HCS которые рассчитываются как промежуточный шаг в методе поверхностных гармоник (ур.24). Эти приблизительные коэффициенты приводят к ошибкам до нескольких сантиметров в аномалиях высоты и к более значительным ошибкам для величин, имеющих большую мощность в более высоких степенях. Таким образом, прямое использование приблизительных коэффициентов не рекомендуется.

С точки зрения численной эффективности метод сфероидальных гармоник более эффективен, чем метод поверхностных гармоник, в основном из-за двухэтапной процедуры, необходимой для метода поверхностных гармоник. Однако ни один из методов не требует больших затрат.Преобразование обоих коэффициентов требует меньше времени, чем создание глобальной сетки значений функции с полным разрешением посредством синтеза сферических гармоник. При необходимости более высокая эффективность может быть достигнута в обоих методах, в частности в методе поверхностных гармоник, за счет меньшего обрезания сходящихся рядов.

6 РЕШЕНИЯ ДЛЯ ДРУГИХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

До сих пор предполагалось, что значения интересующей функции заданы на поверхности сфероида, что приводит к краевой задаче типа Дирихле (т.грамм. Маки 1965; Сигл 1985). Однако можно также искать разложение по твердой сферической гармонике, если на сфероиде заданы (линейная комбинация) производных первого и второго порядка функции.

Если производные находятся в радиальном направлении, то как метод сфероидальных гармоник, так и метод поверхностных гармоник могут быть легко адаптированы к этой ситуации, поскольку существует взаимно-однозначная связь между сферическими НС функции и сферическими НС функции ее радиальные производные. Однако, когда даны производные по нормали к сфероиду, метод сфероидальных гармоник использовать нельзя.С другой стороны, в этой ситуации можно использовать метод поверхностных гармоник. Это важно, потому что обычные величины в геодезии, такие как гравитационные возмущения и гравитационные аномалии, могут быть точно связаны с нормальными производными возмущающего потенциала.

В поколении EGM2008 и более ранних глобальных гравитационных моделях к гравитационным аномалиям применялись приблизительные эллипсоидальные поправки для получения выражения, использующего радиальные производные, следуя Глисону (1988) и Раппу и Павлису (1990).{\prime \prime}_{nmi}$|⁠, причина недиагонального доминирования в высоких степенях «уравновешена».

Краевые задачи, в которых граничное условие представляет собой линейную комбинацию производных нулевого, первого и второго порядков гармонической функции, такие как краевая задача Робина, также могут быть решены с использованием представленного здесь поверхностного гармонического подхода. , просто применяя линейную комбинацию преобразований коэффициентов. Особым примером является вычисление глобальной гравитационной модели по гравитационным аномалиям на поверхности сфероида.Прямое преобразование для этой задачи описано в Claessens & Hirt (2015), а описанную здесь двухэтапную процедуру можно использовать для обратного преобразования.

7 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В этой статье показано, как можно решать различные краевые задачи, где граница является сфероидом, с помощью преобразования между твердыми и поверхностными сферическими ГК. Показано, что поверхностные ВК гармонической функции или ее производной первого или второго порядка, заданные на поверхности любого сфероида, могут быть выражены в виде взвешенной суммы по твердым сферическим ВК этой функции.Это обеспечивает обобщение известного «сферического» случая, когда поверхностные УВ определяются на поверхности сферы, как альтернативу существующим методам. Это представляет особый интерес для наук о Земле, поскольку поверхность Земли можно точно описать сфероидом.

Метод численно сравнивался с преобразованием Хотина–Джекели между твердыми сфероидальными и сферическими УВ. Эти тесты показывают, что оба метода могут обеспечить субмикрометровую точность с точки зрения аномалий высоты для модели до d/o 2239.Однако оба метода приводят к моделям сферических гармоник, которые отличаются до 7,6 мм по высоте аномалий и 2,5 мГал по гравитационным возмущениям из-за другой используемой системы координат. Основное преимущество преобразования Хотина–Джекели состоит в том, что оно более эффективно в численном отношении. Основное преимущество нового метода преобразования поверхностных УВ в твердые сферические состоит в том, что его легче адаптировать к различным граничным величинам, таким как гравитационные возмущения или гравитационные аномалии, для моделирования глобальной гравитации.

Пакеты программного обеспечения гармоник_синт (Holmes & Pavlis 2006) и SHTools (Wieczorek 2015) использовались в численном исследовании и Generic Mapping Tools (Wessel et al. 2013) для создания рис. 2013 2–8. Настоящим признательны авторам за то, что они сделали свое программное обеспечение бесплатным.

ССЫЛКИ

Сравнение трех методов гармонического анализа на сфере и эллипсоиде

Дж.заявл. Геод.

2014

8

1

19

Справочник по математическим функциям

1972

Дуврские публикации

Моделирование сферических гармоник сверхвысокой степени Бугера и изостатических аномалий

Дж. Геод.

2012

86

499

520

О связи между сферическими и сфероидальными гармониками

J. Phys. А: Математика. Генерал

1977

10

1833

1836

Вывод геомагнитной модели по n = 63

Геофиз.Дж. Междунар.

1989

97

421

441

Глобальный тепловой поток: представление сферической гармоники

ЭОС, пер. Являюсь. геофиз. ООН.

1980

61

383

Усовершенствованная магнитная модель 2015–2020 гг.

2015

Национальные центры экологической информации

НОАА

Новые соотношения между ассоциированными функциями Лежандра и сферическими гармониками

Дж. Геод.

2005

79

398

406

Решения эллипсоидальных краевых задач для моделирования гравитационного поля

Кандидатская диссертация

2006

Перт

Технологический университет Кертина

Схема Мейсля для геодезического эллипсоида

Дж. Геод.

2008

82

513

522

Эллипсоидальный топографический потенциал: новые решения для спектрального гравитационного моделирования топографии относительно опорного эллипсоида

Дж.геофиз. Рез.

2013

118

5991

6002

Поверхностное сферическое гармоническое разложение гравитационных аномалий на эллипсоиде

Дж. Геод.

2015

89

10

1035

1048

Эллипсоидальные поправки к потенциальным коэффициентам, полученные по данным гравитационных аномалий на эллипсоиде, Rep. 371

Кафедра геодезических наук и геодезии

1986

Колумбус

Университет штата Огайо

Преобразование коэффициентов сферических гармоник в коэффициенты эллипсоидальных гармоник

Астроном.Астрофиз.

2002

387

1114

1122

Вычисление преобразований Фурье и сверток на 2-сфере

Доп. заявл. Мат.

1994

15

202

250

Численное вычисление сферических гармоник произвольной степени и порядка путем увеличения показателя степени числа с плавающей запятой

Дж. Геод.

2012

86

271

285

Рекурсивное вычисление сплющенных сфероидальных гармоник второго рода и их производных первого, второго и третьего порядка

Дж.Геод.

2013

87

303

309

Сравнение эллипсоидальных поправок с преобразованием между сферическим и эллипсоидальным спектрами геопотенциала

Манускр. Геод.

1988

13

114

129

Матричные вычисления

1996

Издательство Университета Джона Хопкинса

Сферические и эллипсоидальные гармонические разложения с высоким разрешением с помощью быстрого преобразования Фурье

Шпилька.Геофиз. Геод.

2014

58

595

608

Сферический гармонический анализ кондуктивного теплового потока Земли

Междунар. Дж. Науки о Земле.

2008

97

205

226

Теория сферических и эллипсоидальных гармоник

1931

Кембриджский ун-т. Нажмите

Тепловой поток Земли пересмотрен и связан с химическим составом

Тектонофизика

2005

395

159

177

Единый подход к суммированию Кленшоу и рекурсивному вычислению нормированных ассоциированных функций Лежандра очень высокой степени и порядка

Дж.Геод.

2002

76

279

299

Программа на Фортране для гармонического синтеза очень высокой степени (версия от 01.05.2006)

2006

Точное преобразование между эллипсоидальными и сферическими гармоническими расширениями

Манускр. Геод.

1988

13

106

113

О вычислении и аппроксимации рядов сферических гармоник сверхвысоких степеней

Дж. Геод.

2007

81

9

603

615

Новая изостатическая модель литосферы и гравитационного поля

Дж. Геод.

2004

78

368

385

GRIMM: эталонная внутренняя магнитная модель GFZ на основе векторных спутниковых данных и данных обсерваторий

Геофиз. Дж. Междунар.

2008

173

382

394

Краевые задачи

1965

Оливер и Бойд Лтд

Об эффективном расчете обыкновенных и обобщенных сферических гармоник

Геофиз.Дж. Междунар.

1998

135

307

309

Эллипсоидальное гармоническое представление литосферного магнитного поля Земли в градусах и порядках 720

Геохим. Геофиз. Геосис.

2010

11

К06015

и другие.

Международное эталонное геомагнитное поле 10-го поколения

Физ. Земля планета Интер.

2005

151

320

322

Новая теорема выборки на сфере

IEEE Trans.Сигнальный процесс.

2011

59

5876

5887

Модели изостатической и динамической топографии, геоидных аномалий и их неопределенностей

Ж. геофиз. Рез.

2000

105

28 199

28 211

Разработка и оценка гравитационной модели Земли 2008 (EGM2008)

Ж. геофиз. Рез.

2012

117

B04406

Тепловой поток из недр Земли: анализ глобального массива данных

Ред.Геофиз.

1993

31

267

280

Косейсмическая деформация от землетрясений на слоистых сферических землях

Геофиз. Дж. Междунар.

1996

125

1

14

Разработка и анализ моделей коэффициентов геопотенциала до степени сферической гармоники 360

Ж. Геофиз. Рез.

1990

95

В13

21 885

21 911

Метод аппроксимации высших гармоник при моделировании нормального режима

Геофиз.Дж. Междунар.

2002

151

309

313

Сравнение глобальных топографо-изостатических моделей с наблюдаемым гравитационным полем Земли, Rep. 388

Кафедра геодезических наук и геодезии

1988

Колумбус

Университет штата Огайо

Быстрая сферическая коллокация: теория и примеры

Дж. Геод.

2003

77

101

112

О вычислении эллипсоидальных гармоник с использованием перенормировки Джекели

Дж.Геод.

2012

86

713

726

Введение в теорию потенциала

1985

Пресс для счетов

Новый интегральный подход к определению коэффициента геопотенциала по данным наземной гравитации или спутниковой альтиметрии

Бык. Геод.

1988

62

93

101

Численные задачи вычисления эллипсоидальных гармоник

Дж. Геод.

1995

70

117

126

Линейная алгебра и ее приложения

1986

3-е изд.

Харкорт Брейс и компания

Модель степени 12 неоднородности скорости сдвига в мантии

Ж. геофиз. Рез.

1994

99

6945

6980

Универсальные инструменты картографирования: выпущена улучшенная версия

ЭОС, пер. Являюсь. геофиз. ООН.

2013

94

409

410

SHTOOLS, инструменты для работы со сферическими гармониками, версия 3.1

2015

© Автор, 2016 г. Опубликовано Oxford University Press от имени Королевского астрономического общества.

Модель поля-кандидата ИЗМИРАН для IGRF-13 | Земля, планеты и космос

В последние десятилетия наиболее важными источниками данных векторного магнитного поля для моделирования основного магнитного поля Земли были специальные спутники, предназначенные для магнитных съемок (миссии MAGSAT, CHAMP и Swarm). Теперь проект Swarm (Friis-Christensen et al.2006) предоставляет научному сообществу единый набор данных для всего периода моделирования IGRF 2015–2020, что позволяет нам получить модель-кандидат на основе только данных Swarm.

Наиболее распространенный способ описания пространственного распределения основного магнитного поля Земли состоит в сопоставлении наблюдаемого магнитного поля с набором сферических гармоник (Бартон, 1997). Общий подход к построению глобальных моделей магнитного поля Земли давно известен (Чепмен и Бартелс, 1940), и мы не будем здесь подробно его рассматривать.Расширенный список ссылок приведен в Alken et al. (2020, в печати).

Однако есть несколько проблем, которые следует учитывать при построении модели, и сделать это можно различными способами.

Метод расчета коэффициентов сферических гармоник позволяет разделить источники магнитного поля, лежащие внутри и вне поверхности, на которой производится измерение магнитного поля спутником. Ионосферные токи являются внешними источниками полного магнитного поля Земли.Но они расположены внутри орбит спутника и входят в коэффициенты сферических гармоник, описывающие внутреннюю часть магнитного поля Земли.

В спокойных геомагнитных условиях, когда токи, индуцируемые в проводящей Земле, малы, внешние источники магнитного поля (такие как магнитопауза, кольцевые и продольные токи) теоретически не должны влиять на коэффициенты внутренней части, но они будут быть полностью исключены, если бы у нас были одновременные измерения на всей поверхности или они были бы постоянными в течение всего периода сбора данных.В реальности для получения как можно более равномерного покрытия всей поверхности требуются данные за несколько дней и внешние источники за это время могут меняться и идеальное разделение невозможно.

Обычно для нахождения коэффициентов сферических гармоник используют метод минимизации разницы между измеренными значениями магнитного поля и расчетными (моделированными) значениями. Если поверхность вокруг Земли, на которой проводились измерения магнитного поля, неравномерно покрыта точками измерений, метод приводит к лучшему совпадению данных в областях, где плотность этих точек больше, и к худшему — к участкам. где точек меньше.Это особенно заметно для данных высокоширотных и полярно-орбитальных спутников, когда на единицу площади поверхности на высоких широтах приходится значительно больше измерений, чем на низких широтах. Обычно такую ​​широтную неравномерность учитывают, вводя в уравнение минимизации весовые коэффициенты, пропорциональные косинусу широты.

Сжатие — Степень 2 | Получить данные — GRACE Tellus

Сферическая гармоника степени 2 и порядка 0 — C(2,0) — обусловлена ​​сплющиванием Земли.Его техническое название — «динамическое сжатие Земли». C(2,0) (также известный как «J2», но они отличаются постоянным коэффициентом: J2 = -C(2,0)*sqrt(5)) является только функцией разницы между экваториальным и полярным радиусами эквипотенциальная поверхность гравитационного поля Земли, которая лучше всего соответствует среднему уровню моря; точнее, J2 является функцией разницы главных моментов инерции (дополнительную информацию о сферических гармониках см. в статье Википедии и ссылках в ней).

Неуклонное уменьшение J2 наблюдалось спутниками с 1979 года, а также историческими данными о затмениях за последние 2500 лет.Это долгосрочное снижение в основном связано с изостатической корректировкой ледников. Устойчивое уменьшение модулируется перераспределением массы океана и льда [Cox, Chao, 2002; Дики и др., 2002]. В последнее время ускоренная потеря массы льда Гренландским и Антарктическим ледяными щитами, по-видимому, все больше компенсирует долгосрочный сигнал GIA [Cheng et al., 2013].

Мы делаем два типа временных рядов доступными для загрузки :

  1. Вариации сферической гармоники C(2,0) с 1976 г. по настоящее время [Cheng et al., 2013];
  2. Вариации полных коэффициентов сферических гармоник второй степени за период с 2002 г. по настоящее время [Cheng et al., 2011]. В этом временном ряду используются те же поля геофизического фона, что и в последней модели GRACE RL06, в частности модели AOD (удаление ареалов атмосферы и океана).

Обязательно ознакомьтесь с README и заголовками отдельных файлов для получения более подробной информации о данных SLR и их обработке.

Оценки C(2,0), C(2,1), S(2,1), C(2,2) и S(2,2) получены из анализа спутниковой лазерной локации (SLR) наблюдения пяти геодезических спутников: LAGEOS-1 и 2, Starlette, Stella и Ajisai.Модель фоновой гравитации, используемая в анализе SLR, согласуется с текущей обработкой GRACE Release-06 , включая использование той же модели устранения наложения спектров атмосферы и океана (AOD). Однако среднемесячное значение модели AOD (включенное в файл) было восстановлено, так что месячные коэффициенты представляют собой полный сигнал. Эти данные хранятся в Центре космических исследований Техасского университета в Остине.


Благодарность и цитирование

При использовании этих данных подтвердите получение данных от «http://grace.jpl.nasa.gov», и цитировать (в зависимости от продукта):

Cheng, M., JC Ries и B.D. Tapley (2011), Вариации оси фигуры Земли по данным спутниковой лазерной локации и GRACE, J. Geophys. Рез., 116, B01409, doi:10.1029/2010JB000850.

Ченг, М., Б. Д. Тапли и Дж. К. Райс (2013), Замедление сжатия Земли, J. Geophys. Рез. Solid Earth, 118, 740-747, doi: 10.1002/jgrb.50058.

Дополнительные ссылки

C.M.Cox, B.F.Chao (2002), Обнаружение крупномасштабного перераспределения массы в земной системе с 1998 г., Science 297, p831.

Дж.О. Дики и др. (2002), Недавние вариации сжатия Земли: выявление климатических и послеледниковых эффектов отскока, Наука, стр. 1975.

Простое преобразование между коэффициентами эллипсоидальной гармоники и коэффициентами сферической гармоники

[1] HEISKANEN W A, MORITZ H. Физическая геодезия [M]. Сан-Франциско: В. H. Freeman and Company, 1967.
[2] JEKELI C. Точное преобразование между эллипсоидальными и сферическими гармоническими расширениями [J]. Manuscripta Geodaetica, 1988, 13:106-113.
[3] CLAESSENS S J, FEATHERSTONE W E. Схема Мейссля для геодезического эллипсоида [J]. Журнал геодезии, 2008, 82(8):513-522.
[4] CLAESSENS S J. Сферический гармонический анализ гармонической функции, заданной на сфероиде [J]. Международный геофизический журнал, 2016, 206(1):142-151.
[5] THONG N C, GRAFAREND E W. Сфероидальная гармоническая модель земного гравитационного поля [J]. Manuscripta Geodaetica, 1989, 14(5):285-304.
[6] SONA G. Численные задачи вычисления эллипсоидальных гармоник [J].Журнал геодезии, 1995, 70(1-2):117-126.
[7] MARTINEC Z, GRAFAREND E W. Решение краевой задачи Стокса на эллипсоиде вращения [J]. Studia Geophysica et Geodaetica, 1997, 41(2):103-129.
[8] GIL A, SEGURA J. Код для оценки вытянутых и сжатых сфероидальных гармоник [J]. Коммуникации по компьютерной физике, 1998, 108 (2-3): 267-278.
[9] SEBERA J, BOUMAN J, BOSCH W. О вычислении эллипсоидальных гармоник с использованием перенормировки Джекели [J]. Журнал геодезии, 2012, 86(9):713-726.
[10] FUKUSHIMA T. Рекурсивное вычисление сжатых сфероидальных гармоник второго рода и их производных первого, второго и третьего порядка [J]. Журнал геодезии, 2013, 87(4):303-309.
[11] Ю Цзинхай, CAO Huasheng. Эллиптические гармонические ряды и исходная задача Стокса с границей опорного эллипсоида [J]. Журнал геодезии, 1996, 70(7):431-439.
[12] BUCHDAHL H A, BUCHDAHL N P, STILES P J. Об отношении между сферическими и сфероидальными гармониками [J]. Журнал физики A: Mathematical and General, 1977, 10 (11): 1833-1836.
[13] DECHAMBRE D, SCHEERES D J. Преобразование коэффициентов сферических гармоник в коэффициенты эллипсоидальных гармоник [J]. Астрономия и астрофизика, 2002, 387(3):1114-1122.
[14] GLEASON DM. Сравнение эллипсоидальных поправок с преобразованием между сферическим и эллипсоидальным спектрами геопотенциала [J]. Manuscripta Geodaetica, 1988, 13(2):114-129.
[15] HU Xuanyu, JEKELI C. Численное сравнение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных гармонических моделей гравитационного поля для малых несферических тел: примеры для марсианских спутников [J].Журнал геодезии, 2015, 89(2):159-177.
[16] КОНОПЛИВ А.С., АСМАР С.В., БИЛЛС Б.Г. и др. Исследование гравитации Dawn на Весте и Церере[J]. Обзоры космической науки, 2011, 163 (1-4): 461-486.
[17] MORITZ H. Продвинутая физическая геодезия [M]. Karlsruhe: Herbert Wichmann, 1980.
[18] ПАРК Р С, КОНОПЛИВ А С, АСМАР С В, и соавт. Разложение гравитационного поля в эллипсоидальных гармонических и полиэдральных внутренних представлениях применительно к Vesta[J]. Икар, 2014, 240(6):118-132.
[19] Пирсон Дж. Вычисление гипергеометрических функций [D].Oxford: University of Oxford, 2009.
[20] SANSÒ F, TSCHERNING C C. Быстрая сферическая коллокация: теория и примеры [J]. Журнал геодезии, 2003, 77(1-2):101-112.
[21] ВЕРШКОВ А. Н. Определение коэффициентов сферических гармоник по коэффициентам эллипсоидальных гармоник внешнего потенциала Земли [J]. Искусственные спутники, 2002, 37(4):157-168.
[22] WALTER HG. Ассоциация сферических и эллипсоидальных гравитационных коэффициентов потенциала Земли [J]. Небесная механика, 1970, 2(3):389-397.
[23] HU Xuanyu. The exact transformation from spherical harmonic to ellipsoidal harmonic coefficients for gravitational field modeling[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2016, 125(2):195-222.
[24] 于锦海, 曾艳艳, 朱永超, 等. 超高阶次Legendre函数的跨阶数递推算法[J]. 地球物理学报, 2015, 58(3):748-755. YU Jinhai, ZENG Yanyan, ZHU Yongchao, et al. A recursion arithmetic formula for Legendre functions of ultra-high degree and order on every other degrees[J]. Chinese Journal of Geophysics, 58(3):748-755.
[25] 于锦海.地球重力场椭球谐模型的建立[J]. 解放军测绘学院学报, 1994(4):309-317. YU Jinhai. Elliptical harmonic model about the Earth’s gravity field[J]. Journal of the PLA Institute of Surveying and Mapping, 1994(4):309-317.
[26] 张传定. 大地测量应用卫星的轨道设计——椭球谐引力场下卫星的运动[J]. 测绘学报, 2000, 29(z1):80-85. ZHANG Chuanding. Orbital design of satellite for geodetic applications[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2000, 29(z1):80-85.
[27] 于锦海. O(T 2 )精度下椭球界面Dirichlet边值问题的积分解[J]. 地球物理学报, 2004, 47(1):75-80. YU Jinhai.Интегральное решение краевой задачи Дирихле на границе раздела эллипсоида с точностью O(T 2 )[J]. Китайский журнал геофизики, 2004 г., 47(1):75-80.
[28] Ю Цзинхай, У Сяопин. Решение смешанных краевых задач с опорным эллипсоидом в качестве границы [J]. Журнал геодезии, 1997, 71(8):454-460.

(39) Оценка коэффициентов сферических гармоник — документация GMT 5.3.2

Мы используем сферическую гармоническую модель топографии Венеры и оцениваем результирующая глобальная сетка для трех наборов высших порядков/степеней, здесь 30, 90 и 180; исходный файл (см. ниже) идет в порядке и степени 720.Используем коэффициенты для оценки сеток и делаем перспективные глобусы различных разрешений. Ключевой инструмент здесь используется sph3grd.

Обратите внимание, что мы используем специальный формат в psscale, чтобы аннотации будут включать разделители для тысяч.

 #!/бин/баш
# ПРИМЕР 39 по Гринвичу
#
# Цель: Проиллюстрировать оценку коэффициентов сферических гармоник
# Модули GMT: psscale, pstext, makecpt, grdimage, grdgradient, sph3grd
# Программы Unix: rm
#
пс=пример_39.PS

# Оцените первые 180, 90 и 30 порядков/градусов сферической формы Венеры.
# модель топографии гармоник, пропуская член L = 0 (радиальное среднее).
# Файл усечен с http://www.ipgp.fr/~wieczor/SH/VenusTopo180.txt.zip
# Вечорек, М. А., Гравитация и топография планет земной группы,
# Трактат по геофизике, 10, 165-205, doi:10.1016/B978-044452748-6/00156-5, 2007

gmt sph3grd VenusTopo180.txt -I1 -Rg -Ng -Gv1.nc -F1/1/25/30
gmt sph3grd VenusTopo180.txt -I1 -Rg -Ng -Gv2.nc -F1/1/85/90
gmt sph3grd VenusTopo180.txt -I1 -Rg -Ng -Gv3.nc -F1/1/170/180
gmt grd2cpt v3.nc -Crainbow -E > t.cpt
gmt grdgradient v1.nc -Nt0.75 -A45 -Gvint.nc
gmt grdimage v1.nc -Ivint.nc -JG90/30/5i -P -K -Bg -Ct.cpt -X3i -Y1.1i > $ps
эхо 4 4,5 L = 30 | gmt pstext -R0/6/0/6 -Jx1i -O -K -Dj0.2i -F+f16p+jLM -N >> $ps
gmt psscale --FORMAT_FLOAT_MAP="%'g" -Ct.cpt -O -K -Dx1.25i/-0.2i+jTC+w5.5i/0.1i+h -Bxaf -By+lm >> $ps
gmt grdgradient v2.nc -Nt0.75 -A45 -Gvint.nc
gmt grdimage v2.nc -Ivint.nc -JG -O -K -Bg -Ct.cpt -X-1.25i -Y1.9i >> $ps
эхо 4 4,5 L = 90 | gmt pstext -R0/6/0/6 -Jx1i -O -K -Dj0.2i -F+f16p+jLM -N >> $ps
gmt grdgradient v3.nc -Nt0.75 -A45 -Gvint.nc
gmt grdimage v3.nc -Ivint.nc -JG -O -K -Bg -Ct.cpt -X-1.25i -Y1.9i >> $ps
эхо 4 4,5 L = 180 | gmt pstext -R0/6/0/6 -Jx1i -O -K -Dj0.2i -F+f16p+jLM -N >> $ps
echo 3.75 5.4 Сферическая гармоническая модель Венеры | gmt pstext -R0/6/0/6 -Jx1i -O -F+f24p+jCM -N >> $ps
rm -f v*.nc t.cpt
 

Оценка коэффициентов сферических гармоник.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.