Как найти i общее: №9.3 равно 21 Ом. Найти общее сопротивление цепи, а также распределение… и напряжений. Решение:

Содержание

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Для начала разберемся, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое целое натуральное число, на которое делится данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общими делителями будут 4 и 1. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4.

Любое число можно разделить на 1 и на само себя. Значит, у любого набора целых чисел будет как минимум два общих делителя.

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и 16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

  1. Зафиксируем все делители четырех: 4, 2, 1.

  2. А теперь все делители шестнадцати: 16, 8, 4 и 1.

  3. Выбираем общие: это 4, 2, 1. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, 18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, 18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 
  1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

    Д (28) = 2 * 2 * 7

    Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2


  2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

    НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно двумя способами. Рассмотрим оба, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 
  1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

     


  2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

    2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 
  1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

     


  2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

Пример 3. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 
  1. Разложим оба числа на простые множители:

     


  2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

     


  3. Перемножим общие множители:

    НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

2. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 
  1. Большее число поделить на меньшее.

  2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.

  3. Первый остаток поделить на второй остаток.

  4. Второй остаток поделить на третий и т. д.

  5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 
  1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)

  2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)

  3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)

  4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:


Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 
  1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.

  2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.

  3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

 

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

 

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

 

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

  • Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

  • Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

 

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

 

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

Вычисление среднего значения ряда чисел

Для этой задачи используются функции СУММПРОИВ ИСУММ. В этом примере вычисляется средняя цена за единицу для трех покупок, при которой каждая покупка приобретает различное количество единиц по разной цене.

Скопируйте приведенную ниже таблицу на пустой лист.

A

B

Цена за единицу

Количество единиц

20

500

25

750

35

200

Формула

Описание (результат)

=СУММПРОИВЕД(A2:A4;B2:B4)/СУММ(B2:B4)

Делит общую стоимость всех трех заказов на общее количество заказаных единиц (24,66).

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings. DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings. CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Найти наименьшее общее кратное (НОК)

Общее кратное для двух целых чисел — это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.

Наименьшее общее кратное для двух целых чисел — это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.

Способ 1. Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Пример для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18, 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18, 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.

Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.

Способ 2. Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго — множителем для первого.

Пример для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их «зачеркиваем».
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 — остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2 ) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем «накрест».
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это — число 300.

Пример. Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.

 Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 22 * 2 * 3

Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Как видим, при разложении числа 12 мы «вычеркнули» все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК

Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.

 Дроби, задачи на нахождение частей от целого | Описание курса | Привести дробь к наименьшему общему знаменателю 

   

как найти общее в разном

Время Тема Докладчики
09. 10-09.50 Возможности лекарственного обеспечения генно-инженерными биологическими препаратами: источники финансирования и практический алгоритм Сура Мария Владимировна – начальник научно-исследовательского отдела Федерального государственного бюджетного учреждения «Центр экспертизы и контроля качества медицинской помощи» Министерства здравоохранения Российской Федерации, к.м.н.
09.50-10.30 «Мастер-класс: Нарушение сна у детей на примере клинических случаев» Анисимов Григорий Владимирович – ассистент кафедры неврологии Пермской государственной медицинской академии, директор Первого медико-педогогического центра «Лингва Бона», к.м.н.
10.30.-11.00. Моноклональные антитела в терапии рассеянного склероза Алифирова Валентина Михайловна – заведующая кафедрой неврологии и нейрохирургии ФГБОУ ВО СибГМУ Минздрава России, д. м.н., професор
11.00-11.20 Кофе-брейк
11.20-11.50 Туберозный склероз. Современные направления терапии Левитина Елена Владиславовна – профессор кафедры нервных болезней ФГБОУ ВО ТюмГМУ Минздрава России, главный внештатный детский невролог Тюменской области, д.м.н., профессор
11.50-12.20 Реальная клиническая практика: фокус на рассеянный склероз Шмидт Татьяна Евгеньевна – доцент кафедры нервных болезней и нейрохирургии ФГБОУ ВО Первый МГМУ имени И. М. Сеченова МЗ РФ, вице-президент Российского комитета исследователей рассеянного склероза (при поддержке Джонсон и Джонсон), к.м.н.
12.20-12. 50 Симптомокомплекс «Вялый ребёнок». Вопросы диагностики и реабилитации Ильина Елена Степановна – зав. отделением психоневрологии №2, г. Москва, ФГБУ «Российская детская клиническая больница», кафедра неврологии, нейрохирургии и медицинской генетики педиатрического факультета ФГБОУ ВПО РНИМУ имени Н.И. Пирогова, к.м.н.
12.50-13.20 Острые экзогенные интоксикации и поражения ЦНС Лодягин Алексей Николаевич – д.м.н., профессор, руководитель отдела клинической токсикологии ГБУ «СПб НИИ СП им. И.И. Джанелидзе», главный внештатный токсиколог Ленинградской области.
13.20-14.00 Перерыв на обед
14.00-14.30 Дифференциальная диагностика и фармакотерапия диабетической полиневропатии Девликамова Фарида Ильдусовна – профессор кафедры неврологии Казанской государственной медицинской академии – филиала ФГБОУ ДПО РМАНПО Минздрава России, д. м.н., профессор
14.30-15.00 Лечение синдрома Гийена-Барре в условиях неспециализированного неврологического отделения Смертина Любовь Порфирьевна – заведующая неврологическим отделением БУ «Сургутская окружная клиническая больница», доцент кафедры кардиологии медицинского института СурГУ, к.м.н.
15.00-15.30 Токсикогипоксические поражения головного мозга при острых тяжелых отравлениях метадоном Батоцыренов Баир Васильевич – д.м.н., профессор, главный научный сотрудник отдела клинической токсикологии ГБУ «СПб НИИ СП им. И.И. Джанелидзе»
15.30-16.00 Дискуссия. Ответы на вопросы. Закрытие научной сессии.
14. 00-16.00 Работа группы модераторов постерной сессии обучающихся Анищенко Людмила Ивановна, Лодягин Алексей Николаевич, Кутефа Елена Ивановна, Чуракова Юлия Геннадьевна, Исакова Ирина Владимировна, Мигур Людмила Гурьевна
16.00-17.00 Подведение итогов окружного конкурса «Невролог Югры 2018 года». Торжественное награждение победителей в 5 номинациях: «Лучший невролог», «Лучший детский невролог», «За верность профессии»,«Лучшее неврологическое отделение», «Молодой профессионал»
17.00 Дружеский ужин

Найти общее сопротивление цепи онлайн. Последовательное соединение резисторов

Бондаров Михаил Николаевич

Учитель физики лицея №1501 и ГОУ ЦО «Технологии обучения» г. Москвы.

Расч¸т сопротивления электрической цепи

В статье на примерах решения конкретных задач показано применение различных способов расч¸та сопротивления электриче- ской цепи. Рассмотрены некоторые методы преобразования электрических схем к эквивалентным схемам.

Введение

Задачи на расч¸т сопротивления электрической цепи можно встретить среди экзаменационных и олимпиадных задач, а также в заданиях ЕГЭ. В данной статье мы рас-

смотрим некоторые при¸мы, позволяющие достаточно эффективно определять сопротивления различных цепей. Напомним основные закономерности.

1. Последовательное и параллельное соединения проводников

В электрических цепях, с которыми можно встретиться на практике, проводники соединяются различными способами. Наиболее простые соединения известны как последовательное и параллельное соединения.

При последовательном соединении один проводник следует за другим так, что конец одного служит началом другого (рис. 1). Обратите внимание, что при этом между проводниками нет разветвлений проводов.

Из курса физики 8 класса известно, что общее сопротивление R последовательно соедин¸нных про-

водников сопротивлениями R 1 èR 2

определяется по формуле:

R 1R 2.

При параллельном соединении проводники подключаются к одной и той же паре точек А и В (рис. 2).

Общее сопротивление R парал-

соедин¸нных

проводников

сопротивлениями R 1 èR 2 опреде-

ляется из соотношения:

2. Распознавание типов соединений

Для уверенного

соединены последовательно, не за-

на определение общего сопротивле-

мечая того, что узлы C и D между

электрической

ними свидетельствуют о разветвле-

уметь в сложных схемах распозна-

нии проводов.

вать проводники, соедин¸нные по-

Рассмотрим

следовательно или параллельно.

одну схему (рис. 4). Попробуйте

Рассмотрим конкретные примеры.

найти в ней последовательно и

Пример 1. В схеме, изображ¸н-

параллельно

соедин¸нные

на рис. 3, только проводники

водники (свой ответ проверьте по

R2 ,

R 4 èR 6 соединены последо-

вательно. Иногда

ошибочно

тают, что все проводники, кроме R 3 ,

3. Смешанное соединение проводников

Приступим теперь к расч¸ту сопротивления при смешанном соединении проводников. Начн¸м с простых цепей.

Задача 1. Определите общее сопротивление цепи, схема которой изображена на рис. 3, если все проводники имеют сопротивление по 4 Ом.

Решение. Учитывая анализ, провед¸нный в примере 1, выделим три последовательно соедин¸нных проводника R 2 ,R 4 èR 6 (ðèñ. 5).

На эквивалентной схеме (рис. 6) их можно заменить одним проводником сопротивлением

R 246R 2R 4R 612 Îì.

Теперь ясно видно, что проводник сопротивлением R 246 соедин¸н

параллельно с проводником сопротивлением R 3.

Определим их общее сопротивление R 2463:

R 2463

R 246

R 2463

R 246

R 246

На эквивалентной схеме (рис. 7) видно, что исчезли узлы между

проводниками R 1 ,R 2463 èR 5 , поэтому эти проводники оказались соедин¸нными последовательно, и их общее сопротивление

R R 1R 2463R 511 Îì.

Ответ: 11 Ом.

Задача 2. В цепи, схема которой изображена на рис. 8, все проводни-

ки имеют сопротивление по 10 Ом. Чему равно общее сопротивление цепи между точками А и В?

Решение. Обратите внимание, что точки В и D соединены проводом с нулевым сопротивлением, следовательно, их можно объединить в один узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь вид, изобра- ж¸нный на рис. 9.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится в три этапа.

1) Сначала вычисляем сопротивление параллельно соедин¸нных проводников R 2è R 4:

На преобразованной схеме вместо проводников R 2 èR 4 рисуем эквивалентный им проводникR 24 (ðèñ. 10 a).

2) Затем определяем сопротивление последовательно соедин¸нных проводников R 24 è R1 :

R 241R 24R 115 Îì.

На рис. 10 б показана новая эквивалентная схема.

3) Наконец, находим общее сопротивление цепи:

Ответ: 6 Ом.

Заметим, что преобразуя цепь к более простой эквивалентной, можно на схемах изгибать, удлинять или укорачивать провода, перемещать узлы вдоль проводов, поскольку провода, соединяющие элементы схемы, считаются идеальными, т. е. имеющими нулевое сопротивление.

Рассмотрим теперь, как может видоизмениться цепь, состоящая из тр¸х последовательно соедин¸нных проводников, если к ним добавить другие проводники. Сначала добавим два проводника с нулевым сопротивлением, соединив ими точку А с точ- кой С, а В – с D (рис. 11).

Задача 3. Найдите сопротивление между точками А и D цепи (рис. 11), если каждый проводник имеет сопротивление 3 Ом.

Решение. Так как точки А и С соединены проводом с нулевым сопротивлением, то их потенциалы равны, а значит, эти точки имеют одинаковый потенциал, и их можно собрать в один общий узел. Аналогично поступим с точками В и D. Таким образом, полу- чилось, что каждый проводник оказался подключенным к одним и тем же точкам, т. е. все три проводника соединены параллельно. Теперь уже легко найти общее сопротивление цепи, учи- тывая, что все проводники имеют одинаковое сопротивление:

Ответ: 1 Ом.

Заменим теперь один из идеальных проводников реальным – с ненулевым сопротивлением.

Задача 4. Определите сопротивление между точками А и D цепи (рис. 12), если каждый проводник имеет сопротивление 6 Ом.

Заметим, что точки В и D попрежнему соединены проводником с нулевым сопротивлением. Следовательно, они имеют одинаковый потенциал. Соединив их в один узел, получим эквивалентную схему (рис. 13 а). Если же затем «распрямить» е¸, то участки с параллельно и последовательно соедин¸н- ными проводниками станут хорошо видны (рис. 13 б).

После этого останется лишь произвести расч¸т сопротивления для эквивалентной схемы в три этапа:

R R 1R 234

R 234

R 234

R 234

Ответ: 3,6 Ом.

4. Мостиковая схема

Заменив второй идеальный проводник в цепи, схема которой показана на рис. 11, реальным, получим новую цепь, схема которой изображена на рис. 14.

Задача 5. Определите сопротивление между точками А и D цепи, схема которой изображена на рис. 14, если сопротивление каждого проводника равно 2 Ом.

Решение. На этот раз все попытки обнаружить хотя бы одну пару последовательно или параллельно соедин¸нных проводников оказываются безуспешными. И вс¸ же попробуем немного видоизменить схему так, чтобы можно было увидеть в ней элементы симметрии. Немного потренировавшись, можно получить следующую схему – она носит название «мостиковая схема» (рис. 15).

Поскольку все проводники имеют одинаковое сопротивление, то по

ветвям ABD и ACD текут одинаковые токи, а через выделенную красным цветом перемычку ВС ток идти не будет. Поэтому перемычку можно безболезненно удалить из цепи, не изменив при этом общее сопротивление цепи (рис. 16).

Заметим кстати, что ток через перемычку не будет идти при любом е¸ сопротивлении , если для остальных проводников выполняется соотношение:

Теперь же ясно видно, что цепь состоит из двух параллельно соеди- н¸нных участков, в которых находится по два последовательно соеди- н¸нных проводника. Определим сна- чала сопротивление каждого из этих участков: R ABD R AСD (2 2) Ом

4 Ом. Затем находим общее сопротивление цепи:

Ответ: 2 Ом.

Задача 6. Каково сопротивление

между точками N и M цепи, схема которой показана на рис. 17, если сопротивления проводников

R 1 1 Ом,R 2 2 Ом,R 3 4 Ом,R 4 2 Ом,R 5 5 Ом?

Решение. В данном случае не очевидно, что ток через выделенный красным цветом проводник 5 идти не будет. И вс¸ же, проделав несколько манипуляций с цепью, можно полу- чить мостиковую схему (этапы преобразований показаны на рис. 18 a–ã).

Обратим внимание, что по условию задачи

R 1R 2,

R 4R 3

то есть выполняется соотношение (*). Следовательно, потенциалы точек С и D одинаковы, через проводник 5 ток не ид¸т, и его можно удалить, не изменяя сопротивление цепи. После этого эквивалентная схема выглядит совсем просто (рис. 18 д).

Произвед¸м

сопротивле-

íèÿ öåïè:

Ответ: 2 Ом.

Заметим, что если все попытки

распутать и упростить схему из пя-

ти проводников не приводят к успе-

ху, вполне вероятно, что вы натолк-

нулись на «мостиковую схему» (как,

например, на рис. 17).

При определении общего сопро-

тивления в задачах 5 и 6 мы ис-

пользовали симметрию схемы. По-

знакомимся более подробно с при¸-

мами, позволяющими рассчитывать

5. Метод исключения участков цепи

Задача 7. Определите сопротивление между точками А и С цепи (рис. 19), если каждый проводник имеет сопротивление 3 Ом.

Решение. Из симметрии схемы (рис. 20) следует, что по выделенным зел¸ным цветом проводникам будут идти одинаковые токи, следовательно, потенциалы точек В, О и D будут одинаковы. Тогда по проводникам, выделенным красным цветом, токи идти не будут, и их можно удалить из цепи, не изменив при этом е¸ общее сопротивление.

В результате схема упростится (рис. 21), выделенные одинаково проводники тр¸х ветвей окажутся соедин¸нными последовательно, а сами ветви соединены между собой параллельно.

Теперь уже дальнейший расч¸т несложен: сопротивление каждой ветви равно 6 Ом, а общее сопротивление цепи составляет 2 Ом.

Ответ: 2 Ом.

Заметим, что именно этот при¸м был использован при решении задач 5 и 6.

получим более простую схему (рис. 24).

Заменим теперь параллельно соедин¸нные проводники 2 и 56 проводником с эквивалентным сопротивлением R 256 :

R 256

R 256

R 2R 56

R 2R 56

Поступим аналогично и с проводниками 78 и 4: эквивалентное сопротивление R 784 также равно 4 Ом.

Теперь схема ещ¸ более упрощается (рис. 25).

Дальнейший расч¸т несложен:

7. Метод склеивания узлов

Этот метод является обратным по отношению к предыдущему.

Задача 9. В каждое из р¸бер куба включ¸н проводник сопротивлением 6 Ом. Чему равно сопротивление получившейся конструкции между вершинами А и В, находящимися на концах большой диагонали куба?

Решение. Используем теперь метод склеивания узлов.

Изобразим на чертеже схему включения проводников (рис. 26). Учитывая симметрию схемы, заметим, что токи через проводники, выделенные зел¸ным, одинаковы. Следовательно, потенциалы точек 1, 2 и 3 равны. Тогда, если их соединить идеальными проводниками, то по этим проводникам ток идти не будет, а значит общее сопротивление цепи не изменится. Таким образом, точки 1, 2 и 3 оказались собранными в один узел, а выделенные зел¸ным проводники стали соедин¸нными параллельно.

Поступив аналогично с проводниками, выделенными синим, полу- чим три других параллельно соеди- н¸нных проводника.

Обратим внимание, что шесть оставшихся проводников (они выделены ж¸лтым цветом) теперь оказываются соедин¸нными параллельно. Действительно, каждый из них одним концом подключ¸н к узлу, выделенному зел¸ным цветом, а другим – к узлу, выделенному синим цветом.

Таким образом, эквивалентная схема состоит из тр¸х последовательно соедин¸нных участков: 1) три параллельно соедин¸нных проводника; 2) затем ещ¸ шесть; 3) и, наконец, снова три (рис. 27).

Аналогично произвед¸нному в задаче 3 расч¸ту сопротивление тр¸х параллельно соедин¸нных проводников равно 2 Ом, а у шести таких же проводников – вдвое меньше: 1 Ом. Теперь эквивалентная схема состоит из тр¸х последовательно соедин¸нных проводников, и их общее сопротивление

R (2 1 2) Ом 5 Ом.

Ответ: 5 Ом.

Заключение

Итак, подвед¸м краткий итог. При определении общего сопро-

1. Метод склеивания узлов. Если два или более узлов имеют одинаковый потенциал, то их можно соединить в один узел.

2. Метод исключения участков цепи. Проводник можно удалить, если через него не теч¸т ток (узлы, которые он соединяет, имеют одинаковый потенциал).

3. Метод разрезания узлов. Действие, противоположное склеиванию узлов.

А что делать в том случае, если число проводников в цепи стремится

ê бесконечности или не уда¸тся найти не только последовательно или параллельно соедин¸нные проводники, но и симметрию в схеме? Об этом будет рассказано в другой статье.

Ответ на пример 2

Ж¸лтым цветом выделены последовательно соедин¸нные проводники, зел¸ным – параллельно соедин¸нные.

Задачи для самостоятельного решения

R 12563

R 1R 256R 316 Îì;

1. В цепи, схема которой изо-

рой показана на рис. 19, если каж-

бражена на рисунке 29, все провод-

дый проводник имеет сопротивление

ники имеют сопротивление 8 Ом.

15 Ом. (Ответ: 7 Ом.)

Определите общее сопротивление

3. В каждое из р¸бер куба вклю-

цепи. (Ответ: 13 Ом.)

чен проводник сопротивлением 8 Ом.

Чему равно сопротивление полу-

чившейся конструкции между вер-

шинами, принадлежащими одной из

граней и лежащими на концах е¸

диагонали (на рис. 26 это вершины

А и 6)? (Ответ: 6 Ом.)

4. Определите сопротивление ме-

жду точками А и В цепи, схема ко-

2. Определите сопротивление ме-

торой изображена на рис. 30, если

жду точкам А и О цепи, схема кото-

Если не использовать специальные технические решения по увеличению проводимости сопротивление имеют все проводники электротока. Даже провод может оказаться не пригодным при большой силе тока и его придётся заменять, например, медной шиной. Определить величины тока в источнике питания, и в нагрузках позволяет расчет сопротивления электрической цепи .

Два вида соединений элементов может быть в электрической схеме:

  • последовательное;
  • параллельное.

На изображении выше показаны четыре нагрузки. Из них R1 и R2 соединены последовательно, так же, как и нагрузка R3 c R4. Но в этой схеме есть и параллельное соединение: R1и R2 параллельны R3 и R4.

В любых электрических цепях элемент с функциями сопротивления именуется как «резистор». Если в электрической схеме n резисторов соединены последовательно величины их сопротивлений суммируются. Следовательно, общее сопротивление электрической цепи Rобщ.

При параллельном соединении n резисторов для Rобщ. справедливо выражение


Сколько бы ни было резисторов в электрической схеме их можно заменить одним элементом эквивалентного сопротивления и определить ток в этом элементе по закону Ома. Для этого шаг за шагом выполняется замена нескольких резисторов одним в соответствии с их соединением – параллельным или последовательным. На примере первого изображения с резисторами R1, R2, R3 и R4 получится следующее. Сначала заменяем R1 и R2 на R5:

Затем заменяем R3 и R4 на R6:

В результате получается новая эквивалентная схема из R5 и R6, соединённых параллельно


А конечный результат определить легко:

  • 1/Rобщ.=1/R5 + 1/R6,
  • Rобщ.= R5*R6/(R5+R6)

В том случае, когда не удаётся сразу сделать замену нескольких элементов одним, как например, на схеме, показанной ниже


следует сделать её анализ. В приведенном изображении, очевидно, что сумма токов в нагрузках R1 и R2 равна сумме токов в нагрузках R4 и R5. Следовательно, потенциалы точек А и В равны, и могут быть объединены. Ток через нагрузку R3 не течёт. Получаются такие соединения


Эти соединения нагрузок легко преобразуется сначала в два последовательно соединённых элемента, а затем в одно эквивалентное сопротивление. Для более сложных и разветвлённых цепей применяется такой же метод.

Последовательное соединение это соединение двух или более резисторов в форме цепи, в которой каждый отдельный резистор соединяется с другим отдельным резистором только в одной точке.

Параллельное соединение это соединение, при котором резисторы соединяются между собой обоими контактами. В результате к одной точке (электрическому узлу) может быть присоединено несколько резисторов.

2) Общее сопротивление R общ

При таком соединении, через все резисторы проходит один и тот же электрический ток. Чем больше элементов на данном участке электрической цепи, тем «труднее» току протекать через него. Следовательно, при последовательном соединении резисторов их общее сопротивление увеличивается, и оно равно сумме всех сопротивлений.

Общее сопротивление R общ

При таком соединении, через каждый резистор потечет отдельный ток. Сила данного тока будет обратно пропорциональна сопротивлению резистора. В результате общая проводимость такого участка электрической цепи увеличивается, а общее сопротивление в свою очередь уменьшается.

Таким образом, при параллельном подсоединении резисторов с разным сопротивлением, общее сопротивление будет всегда меньше значения самого маленького отдельного резистора.


Формула эквивалентного общего сопротивления при параллельном соединении резисторов:

Для двух одинаковых резисторов общее сопротивление будет равно половине одного отдельного резистора:

Соответственно, для n одинаковых резисторов общее сопротивление будет равно значению одного резистора, разделенного на n.

3)Электропроводность, электрическая проводимость, проводимость, способность тела пропускать электрический ток под воздействием электрического поля, а также физическая величина, количественно характеризующая эту способность. Тела, проводящие электрический ток, называются проводниками, в отличие от изоляторов.. .
Основная единица измерения сопротивления — Ом. Удельная проводимость — величина обратная сопротивлению, она измеряется в Сименсах, ранее назывшихся mho. Применительно к сыпучим веществам удобнее говорить об особой проводимости, обычно называемой удельной проводимостью.
Удельная проводимость — это проводимость, измеренная между противоположными сторонами куба вещества со стороной 1 см. Единицей данного типа измерений является Сименс/см. При измерении проводимости воды чаще используются более точные мкС/см (микросименс) и мС/см (миллисименс) .
Соответствующие единицы измерения сопротивления (или удельного сопротивления) — Ом/см, МегаОм/см и килоОм/см. При измерении сверхчистой воды чаще используют МегаОм/см, так как это дает более точные результаты. Сопротивление менее чистой воды, как например, водопроводной, измеряют в килоОм/см.

4) Общее сопротивление при последовательном соединении равно сумме сопротивлений Rсумм=R1+R2+R3…
Ток через все сопротивления протекает один (I). Поэтому ток вычисляешь как Отношение напряжения источника U к Rсумм.

Мощность

P=U*I или P=I*I*R (так как U=I*R).

P1=I*I*R1
P2=I*I*R2
P3=I*I*R3

5) мощность электрического тока в цепи, состоящей из параллельно соединенных участков,
равна сумме мощностей на отдельных участках:

При параллельном соединении каждая лампа подсоединяется на своё номинальное напряжение 220 В. при этом в каждой лампе появляется свой номинальный ток, обеспечивающий заданное свечение в соответствии с номинальной мощностью. мощность зависит от сопротивления нити накаливания. чем больше сопротивление нити, тем меньше ток и соответственно меньше номинальная мощность.
при последовательном соединении ток идёт один и тот же в каждой лампе. а напряжение распределяется в зависимости от доли сопротивления каждой лампы по отношению к сопротивлению всей цепи.
для цепи из двух ламп общее напряжение делится.
напряжение на лампе 40 Вт будет 220Х60:(40+60)=132; В.
напряжение на лампе 60 Вт будет 220Х40:(40+60)=80; В.

Общий знаменатель

Ekbjz0LLKxI

Это самый простой из известных нам способов сложения и вычитания дробей!

Что такое знаменатель?

Знаменатель — это нижнее число в дроби.

Показывает, на сколько равных частей делится предмет.

Что такое общий знаменатель?

Когда знаменатели двух или более дробей равны одному и тому же , они равны Общим знаменателям .

Почему это важно?

Прежде чем мы сможем складывать или вычитать дроби, у дробей должен быть общий знаменатель

Другими словами, знаменатели должны совпадать с .

Уравнивание знаменателей

Чтобы сделать знаменатели одинаковыми, мы можем:

Умножьте верхнюю и нижнюю часть каждой дроби на знаменатель другой.

Как в этом примере (нажмите кнопку воспроизведения) :

Это работает всегда, но впоследствии нам часто нужно упростить дробь, как в этом примере (нажмите кнопку воспроизведения) :

Мы упростили дробь 20 32 до 10 16 , а затем до 5 8 , каждый раз деля верх и низ на 2, и это настолько просто, насколько это возможно!

Что мы сделали?

1.Мы умножили каждую дробь на знаменатель другой. Давайте использовать буквы вместо цифр:

2. И поскольку теперь у них один и тот же знаменатель, мы можем их сложить:

За один шаг!

Мы можем сделать эти две вещи за один шаг следующим образом:

Который мы используем так:

Пример: Что такое

2 3 + 4 5 ?

2 2 3 + 4 5 = 2 × 5 + 3 × 4 3 × 5 = 10 + 12 15 = 22 15

(Примечание: a было 2, b было 3, c было 4 и d было 5.)

Так делают специалисты!

 

 

1698, 1699, 1700, 1701

Поиск общих факторов – объяснение и примеры

Что такое общий множитель?

Прежде чем перейти к общим факторам, давайте напомним себе, что такое факторы. Факторы — это целые числа, которые перемножаются, чтобы получить другое число. Множитель числа делит данное число без остатка.

У каждого числа есть множитель, который меньше или равен самому числу.Например, делители числа 12 сами по себе равны 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Мы можем заключить, что все числа имеют делитель 1, и каждое число само по себе является делителем.

В математике общий множитель определяется как число, которое можно разделить на два или более различных числа без остатка.

Как найти общие факторы?

Чтобы найти общие делители двух или более чисел, выполняется следующая процедура:

  • Выпишите отдельно все делители каждого числа.
  • Определите факторы, которые являются общими для чисел.
  • Вы можете сделать это, обведя или нарисовав отрезок линии между факторами, чтобы выделиться.
  • Факторы, которые разделяют эти числа, относятся к общим факторам

Давайте решим здесь пару примеров.

Пример 1

Найдите общие делители чисел 20 и 36.

Коэффициенты 20 = 1, 2, 4, 5, 10 и 20.

Множители 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.

Таким образом, мы можем наблюдать, что общие делители 20 и 36 равны 1, 2 и 4

Пример 2

Определить общие делители чисел 18 и 48 , 6, 8, 12, 16, 24 и 48.

Следовательно, общие делители чисел 18 и 48 равны 1, 2, 3 и 6.

Пример 3 28, 45 и 80.

Решение

Коэффициенты 28 = 1, 2, 4, 7, 14 и 28

Коэффициенты 45 = 1, 3, 5, 9, 15 и 45

Коэффициенты 80 = 1, 2, 45 , 5, 8, 10, 16, 20, 40 и 80

Мы ясно видим, что в приведенных выше списках встречается только число 1. Таким образом, 1 является общим делителем в этом случае.

Пример 4

Каковы общие делители 36 и 63?

Решение

Перечислите множители каждого числа.

Коэффициенты 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36

Коэффициенты 63 = 1, 3, 7, 9, 21 и 63

Поскольку числа 1, 3,

Пример 5

Найдите общие делители чисел 60, 90 и 150. каждого номера;

60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

90 = 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 и 90.

150 = 1,2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75 и 150. Пример 6

Найдите общие делители 70 и 315. , 7, 10, 14, 35 и 70

Делители числа 315 равны 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105 и 315.

Следовательно, 1, 5, 7 и 35 являются общими делителями 70 и 315.

Теперь, когда мы научились находить общие делители разных чисел, давайте посмотрим, как мы можем применить их для решения математических задач. Навык факторизации чисел необходим в реальных жизненных ситуациях, таких как упрощение дробей и сравнение цен на товары. Другие факторы применения включают понимание времени, обмен денег и расчеты, а также деление количества на равные части.

 

Как найти GCF (наибольший общий множитель) и LCM (наименьшее общее кратное)

В этой статье вы узнаете, как вычислить наибольший общий множитель (GCF) и наименьшее общее кратное (НОК) целых чисел.Эти навыки помогают в самых разных ситуациях. Давайте посмотрим, что они из себя представляют!

Предположим, у вашей мамы есть два прямоугольных торта для вечеринки, один ванильный и один клубничный, оба одинаковой толщины. Торт со вкусом ванили имеет площадь 12 квадратных дюймов, а торт со вкусом клубники имеет площадь 20 квадратных дюймов. Ваша мама хочет разделить оба торта на кусочки так, чтобы все кусочки были одинакового размера, и оба торта были разделены поровну без оставшихся более мелких кусочков.

«Нет проблем, — говорит твоя мама, — я просто нарежу торты на кусочки по 4 квадратных дюйма. Таким образом, у всех будет кусок одинакового размера».

Откуда ей это знать?

Дополнительная помощь GCF и LCM

Наибольший общий делитель

Прежде чем мы рассмотрим ситуацию с тортом, давайте вспомним, что такое факторов . Факторы — это числа, которые при умножении дают другое число. Обычно мы говорим о факторах парами.1 и 8 являются делителями 8, потому что 1×8=8. Числа 4 и 2 тоже делят на 8, потому что 4×2=8.

Числа имеют уникальную простую факторизацию . Вспомним, что простые числа, такие как 2, 3 и 5, можно разделить только на себя и на 1. Мы можем продолжать делить множители любого числа на составляющие его простые числа. Итак, любое число состоит из уникального набора простых чисел, перемноженных вместе. Взгляните на эти деревьев множителей и на то, что они нам говорят:

Факторизация 18

Число 18 изначально разлагается двумя разными способами: 3 и 6, а также 2 и 9.Мы видим, что простая факторизация одинакова, независимо от нашей первой пары факторов.

2 x 3 x 3 = 18. Фиолетовые круги совпадают на обоих деревьях.

Какое отношение этот имеет к двум пирожным?

Математически ваша мама подсчитала, что Наибольший общий делитель (GCF) между 12 и 20 равен 4. Другими словами, 4 — это наибольший общий множитель, общий для обоих чисел. Мы можем увидеть это, взглянув на простые множители обоих чисел:

Синие числа — это простые множители обоих чисел.Чтобы найти GCF, просто определите простые множители, которые являются общими для обоих чисел, и перемножьте их.

Оба числа имеют общие простые делители 2 и 2. 2 x 2 = 4. Это объясняет, как ваша мама знала, как разрезать оба торта на кусочки по 4 квадратных дюйма!

Что такое GCF 15 и 27?


В этом случае оба числа имеют только один общий делитель, 3. Решение обычно записывается как GCF (15,27) = 3.

Чему равен GCF 18 и 36?

GCF (18,36) = 2 x 3 = 6.

Найдите НОД чисел 7 и 56.

 

В этом случае одно из чисел простое и является множителем другого числа. GCF (7,56) = 7.

Найдите GCF 7 и 13.

Число 1 не является простым числом, но это GCF 7 и 13, которые являются простыми числами.

GCF (7,13) = 1

Вернемся ненадолго к тортам. Ваша мама обнаружила, что:

и что GCF равен 4, поэтому она должна разделить пирожные на кусочки по 4 квадратных дюйма.Посмотрите на числа, которые не являются частью GCF:

Желтые числа говорят нам о том, что в маленьком торте 3 кусочка по 4 квадратных дюйма, а в большом торте 5 кусочков по 4 квадратных дюйма. В общей сложности 8 кусочков по 4 квадратных дюйма имеет смысл, потому что 8 × 4 = 32, что соответствует размерам торта в 12 и 20 квадратных дюймов, поскольку 12 + 20 = 32.

Предположим, 60 девочек и 48 мальчиков хотят принять участие в турнире по кикболу. Какое наибольшее количество команд можно составить с одинаковым соотношением девочек и мальчиков? Сколько девочек и мальчиков будет в каждой команде?

Можно сформировать 3 x 2 x 2 = 12 команд, в каждой из которых 5 девочек и 2 x 2 = 4 мальчика.

Наименее распространенное кратное

Вам очень хочется хот-догов, поэтому вы идете в магазин и покупаете пачку собак и пачку булочек. Обычно в пачке франков содержится 10 штук, а в пачке булочек — 8. Это приводит нас к одному из величайших математических затруднений нашего времени. После того, как вы съедите 8 собак, у вас останется 2, но у вас не будет булочек. Вам понадобится еще одна пачка булочек, чтобы собаки не пропали даром. Конечно, после того, как вы съедите этих , у вас будет 6 булочек и ни одной собаки.Вы пойдете в магазин еще раз, и цикл продолжится.

Чтобы решить задачу о хот-догах, нам нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) булочек и собачек. Нам нужно наименьшее число, которое делится как на количество собак в стае, так и на количество булочек в стае. Как только мы найдем это число, мы сможем выяснить, сколько упаковок каждого из них нужно купить, чтобы у нас не осталось остатков.

Давайте начнем с перечисления некоторых кратных собак и булочек:

Есть много общих кратных собак и булочек, но вы можете видеть, что НОК хот-догов и булочек равен 40.Другими распространенными кратными являются 80, 120 и т. д. Покупка 4 упаковок хот-догов и 5 упаковок булочек обеспечит собаку на каждую булочку. Надеюсь, ты голоден!

Здесь также можно использовать простую факторизацию. Нахождение LCM таким способом в некотором роде противоположно нахождению GCF. Для GCF нам нужны общих фактора. Для LCM нам нужны уникальных фактора. Если множитель встречается в обоих числах, нам нужна наибольшая мощность этого множителя. Вот оно!

Чтобы рассчитать LCM, нам сначала нужно 5 из факторизации 10.{3} = 120\). Через 120 минут, или в 10:00, в следующий раз все три поезда будут на станции одновременно.

 

Заключительные мысли!  

При экспериментировании с множителями и кратными часто оказываются полезными GCF и LCM. Их навыки могут пригодиться для вычислений, таких как упрощение дробей. Однако, как мы видели, они расширяют наше понимание умножения и деления, заставляя нас по-настоящему понять, что значит для числа быть множителем или кратным, и позволяют нам разобраться в реальных ситуациях.Самое приятное то, что все, что вам нужно сделать, чтобы попрактиковаться, это выбрать несколько чисел. В основном мы практиковались с двумя одновременно, но вы можете найти GCF и LCM любой группы чисел. Дать ему шанс!

Общий знаменатель — определение, как найти общий знаменатель, примеры, часто задаваемые вопросы

Общий знаменатель полезен для выполнения многочисленных математических операций над числами. Важным понятием в математике является сложение и вычитание дробей. Дроби включают числитель (число вверху) и знаменатель (число внизу).Дроби, имеющие одинаковые знаменатели, такие знаменатели называются общими знаменателями. Рассмотрим следующие примеры: 1/2 + 1/2 = 1 и 3/4 + 1/4 = 1. В обоих случаях знаменатели у дробей общие, поэтому вычислить ответ несложно.

Однако, если бы вам дали задачу с другими знаменателями, как бы вы ее решили. Расчет 2/5 + 3/4 выполнить сложно из-за разных знаменателей. Поскольку знаменатели у дробей неодинаковые, приходится решать их другим методом.Давайте рассмотрим эту тему, чтобы узнать больше об общих знаменателях.

Что такое общий знаменатель?

Две или более дроби, имеющие одинаковый знаменатель, называются общим знаменателем. Общий знаменатель помогает легко выполнять числовые вычисления. Число, указанное в нижней части дроби, называется знаменателем . Знаменатель показывает, на сколько равных частей делится предмет.

На приведенном выше рисунке первая пицца состоит из 4 ломтиков.Таким образом, оно представляется как 1, то есть целое. Когда мы убираем один кусочек, у нас остается 3 из 4 кусочков. Таким образом, доля оставшихся ломтиков равна 3/4. Это также означает, что 1/4 часть была удалена. Если сложить эти два, то получится: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1. Далее, в зависимости от размера пиццы, вы можете разделить ее на сколько угодно частей.

Как найти общий знаменатель?

Хотя пример с пиццей показывает, насколько просто найти общий знаменатель, такая ситуация может возникнуть не всегда.Могут быть случаи, когда вас попросят сложить дроби с разными знаменателями, например 3/7 + 12/13. В таких случаях нам нужно найти общий знаменатель, а затем решить дроби. Давайте рассмотрим более простой пример 1/3 + 1/6. Ниже приведены два метода с общим знаменателем для нахождения ответа:

При нахождении общего знаменателя методом НОК вы найдете наименьшее общее кратное данных чисел. В этом уравнении наименьшее общее кратное равно 6. Следовательно, уравнение принимает вид 1/3 + 1/6 = (1 x 2 + 1)/6 = (2 + 1)/6 = 3/6 = 1/2.Если вы перекрестите умножение, вы найдете решение как: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = (2 + 1)/6 = 3/6 = 1/2

Примеры общего знаменателя

Примеры общих знаменателей в нашей повседневной жизни включают кусочки пиццы, деньги, приготовление пищи и выпечку и так далее. Например, пицца может быть нарезана на четыре части, а возможные части пиццы могут составлять 1/4. 2/4, 3/4 соответственно. Кроме того, мы можем найти общие знаменатели в случаях, когда мы разделяем равные количества количества.В такой ситуации общие знаменатели будут равны 1/2 и 1/2 или 1/4 и 1/4 соответственно.

Практически многие примеры из повседневной жизни, где количества были разделены, могут быть выражены в виде общего знаменателя. Еще один хороший пример общего знаменателя можно найти в кулинарии и выпечке — вам нужны дроби и знаменатели, чтобы измерить ингредиенты для приготовления торта.

Метод общего знаменателя

Методы общего знаменателя, как объяснялось выше, включают вычисление наименьшего общего кратного или перекрестное умножение.Общие знаменатели – это произведения знаменателей данных дробей. Однако нужно помнить, что помимо этого общими знаменателями являются также факторы, которые являются общими для дробей, и факторы, делающие каждую дробь различной. Общий знаменатель включает в себя все факторы из каждой дроби.

Связанные темы

Ниже перечислены несколько тем, связанных с общим знаменателем, посмотрите.

Часто задаваемые вопросы об общем знаменателе

Что такое общий знаменатель?

Общий знаменатель – это тот, в котором знаменатель i.е. число под дробью везде одинаково, что упрощает процесс расчета. Если у двух дробей нет общего знаменателя, то вам нужно вычислить общий знаменатель, чтобы получить ответ.

Как найти общий знаменатель?

Для суммы, подобной 3/4 + 1/4 = 1, общий знаменатель равен 4. Однако, когда вам дается вычисление, такое как 3/4 + 1/2, вам нужно будет найти общий знаменатель для обоих 3/4 + 1/2. Вы можете сделать это, либо найдя наименьшее общее кратное, либо перекрестно умножив приведенное выше уравнение.

Какой общий знаменатель чисел 3 и 4?

В отличие от предыдущего примера, в данном случае ни 3, ни 4 не являются множителями друг друга. В этом случае вы можете вычислить значение общего знаменателя, умножив оба числа, чтобы получить 12.

Какое другое название общего знаменателя?

Другим возможным названием общего знаменателя является общий делитель. Далее, исходя из знаменателей, общим знаменателем может быть lcm двух знаменателей.Кроме того, если один знаменатель является множителем другого знаменателя, то мы можем взять большее число в качестве наименьшего общего знаменателя.

Как найти наименьший общий знаменатель?

Наименьший общий знаменатель зависит от вида знаменателя. Для знаменателей с взаимно простыми числами наименьший общий знаменатель равен произведению двух знаменателей. Кроме того, наименьший общий знаменатель равен lcm двух заданных знаменателей. Рассмотрим два значения знаменателя: 4, 6. Наименьшим общим знаменателем является lcm числа 4, 6, то есть число 12.

Что такое наибольший общий знаменатель?

Наибольший общий знаменатель двух или более дробей, не равных нулю, — это наибольшее положительное целое число, на которое делится каждый из данных знаменателей.

Может ли общий знаменатель быть равен нулю или 1?

Для дроби с общим знаменателем, равным нулю, она становится неопределенной. А для дробей с целыми числами в числителях и 1 в знаменателе общий знаменатель равен 1. В случае, когда целые числа рассматриваются как дроби, общий знаменатель равен 1.

Общий знаменатель: нахождение и дроби — видео и расшифровка урока

Наименьший общий знаменатель

Есть два способа найти общий знаменатель для двух или более дробей. Первый метод включает в себя нахождение наименьшего общего знаменателя или наименьшего целого числа, которое делится на оба знаменателя. Чтобы найти наименьший общий знаменатель, перечислите кратные каждому знаменателю, а затем выберите наименьший из них.

Рассмотрим пример:

Сначала мы найдем кратные каждому знаменателю.

Кратно 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. . .

Кратно 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42. . .

Наименьшее общее число чисел 3 и 7 равно 21. Следовательно, 21 является наименьшим общим знаменателем.

Второй способ нахождения общего знаменателя двух или более дробей состоит в умножении знаменателей друг на друга.

Давайте посмотрим на другой пример:

Знаменатели равны 6 и 8.Итак, 6*8=48; следовательно, 48 является общим знаменателем. Хотя этот метод может показаться более простым, общий знаменатель может не быть наименьшим общим знаменателем, а это означает, что в конце задачи на сложение или вычитание дробь должна быть приведена к ее простейшей форме.

Сложение дробей

После нахождения общего знаменателя двух или более дробей мы можем использовать эту информацию для сложения или вычитания дробей и решения задачи. Вернемся к нашему первому примеру:

Сначала умножим числитель и знаменатель каждой дроби на одинаковые числа.В данном случае 7/7 и 3/3.

Далее мы добавим их вместе.

Не забудьте убедиться, что дробь имеет наименьшую форму. В этом случае дробь 13/21 имеет простейшую форму.

Вычитание дробей

Теперь вернемся ко второму примеру:

Здесь общий знаменатель равен 48.Опять же, следующим шагом будет умножение числителя и знаменателя в каждой дроби на одинаковые числа. В данном случае 8/8 и 6/6.

5/6 * 8/8 = 40/48

3/8 * 6/6 = 18/48

Теперь решим задачу на вычитание.

40/48 — 18/48 = 22/48

Эту дробь нужно уменьшить на путем деления каждого числа на наибольший общий множитель, который в данном случае равен 2:

22/48 сокращается до 11/24 , что является нашим окончательным ответом.

Пример задачи

Давайте попробуем еще один пример.Найдите общий знаменатель для:

Кратно 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. . .

Число кратно 5: 5, 10, 15, 20. . .

Наименьший общий знаменатель равен 10.

В качестве альтернативы, мы можем перемножить два знаменателя вместе (2 * 5 = 10), затем мы используем умножение, чтобы получить общие знаменатели дробей:

Наконец, складываем дроби вместе:

Краткое содержание урока

Давайте повторим.Для того, чтобы сложить или вычесть одну дробь (или часть целого) из другой, они должны иметь общий знаменатель , или одинаковый знаменатель. Числитель говорит нам, сколько частей доступно, а знаменатель описывает, сколько частей в целом. Первый метод нахождения общего знаменателя включает в себя нахождение наименьшего общего знаменателя или наименьшего целого числа, которое делится на оба знаменателя. Второй метод нахождения общего знаменателя для двух или более дробей состоит в умножении знаменателей друг на друга, результатом чего может быть , уменьшенное на путем деления каждого числа на наибольший общий множитель.

Нахождение наибольшего общего делителя с помощью метода списка

  наибольший общий делитель , также известный как GCF , двух чисел – это наибольшее число , на которое можно без остатка разделить данные два числа.

Другой способ определить GCF: наибольший общий делитель двух чисел — это наибольший делитель, общий для обоих чисел.

Два приведенных выше определения означают одно и то же.

Не смущайтесь, если встретите другие названия наибольшего общего делителя.Все они имеют одинаковое значение. Альтернативные названия GCF:

.
  • Наибольший общий делитель, сокращенно НОД
  • Наибольший общий делитель, сокращенно HCF

Прежде чем продолжить, убедитесь, что вы знаете, как найти все делители числа. В противном случае, пожалуйста, просмотрите мой короткий урок о том, как найти все делители числа с помощью метода радуги.


шагов по нахождению наибольшего общего делителя

Шаг 1: Перечислите или запишите ВСЕ факторы каждого числа.

Шаг 2: Определите общие факторы. Вы можете сделать это, обведя каждый общий фактор или нарисовав отрезок между ними. Это действительно зависит от вас, как вы хотите отметить общие факторы, чтобы они выделялись.

Шаг 3: После определения общих факторов выберите число с наибольшим значением. По сути, это число будет Наибольшим общим фактором (GCF).


Примеры нахождения наибольших общих делителей

ПРИМЕЧАНИЕ. Я решил сосредоточиться на нахождении НОД двух чисел, потому что это наиболее распространенные проблемы, с которыми вы столкнетесь при изучении НОД.

Пример 1 : Найдите наибольший общий делитель чисел 12 и 18.

Эта задача проста, потому что в ней используются относительно простые числа. Вы должны быть в состоянии найти все делители 12 и 18, используя метод радуги. В качестве альтернативы я перечислил все множители чисел от 1 до 100, чтобы вы могли использовать их по своему усмотрению.

Итак, вот все делители чисел 12 и 18.

Коэффициенты 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

Коэффициенты 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

После перечисления всех факторов каждого числа мы теперь определяем общие факторы.Как вы можете видеть ниже, общие делители чисел 12 и 18 равны 1, 2, 3 и 6. Обратите внимание, что я обозначил общие делители, заключив их в «прямоугольник».

Так что же такое GCF? Очевидно, что GCF является одним из общих факторов. Общий множитель, который имеет наибольшее значение, на самом деле является Наибольшим общим множителем. Следовательно, GCF 12 и 18 равен 6. Вот и все!


Пример 2 : Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 96.

Во многих случаях в математике по мере увеличения числа возрастает и уровень сложности задачи.Да, это верно и при нахождении GCF двух больших чисел. Однако концепция или процедура никогда не меняются.

Итак, приступим. Найдем полные делители чисел 64 и 96.

◉ Полные делители числа 64 равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64.

◉ В то время как полные делители числа 96 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 и 96.

Ниже приведены списки факторов в вертикальном формате.

Следующим шагом является сравнение списков факторов.Затем нарисуйте фигуру так, чтобы общий множитель находился внутри каждой фигуры. Здесь можно творить! Обратите внимание, что на приведенном ниже рисунке у нас есть шесть (6) общих делителей: 1, 2, 4, 8, 16 и 32.

Глядя на общие делители, наибольшее значение имеет тот, который равен 32. Следовательно, наибольший общий делитель 64 и 96 равен просто 32.


Пример 3 : Определить наибольший общий делитель чисел 42 и 126.

Легко поторопиться с решением математической задачи, потому что вы уже знакомы с шагами ее решения.Тем не менее, рекомендуется сделать паузу или сделать шаг назад и посмотреть на проблему с более широкой точки зрения, прежде чем углубляться в процесс решения самой проблемы.

Причина в том, что процедура, которую вы уже знаете, может быть не самой эффективной по времени, потому что может быть лучший способ, то есть более короткое решение.

Давайте подойдем к этому так. Если 42 может делить 126 без остатка, то это означает, что 42 является делителем 126. Мало того, что 42 является общим делителем 42 и 126, но это также общий делитель, который имеет наибольшее значение.

Если подумать, общий множитель не может быть больше 42, потому что он не может быть больше меньшего числа из данных двух чисел.

Значит, 42 делят 126 поровну? Ответ — да! Следовательно, наибольший общий делитель (НОД) 42 и 126 равен просто 42. Готово!


Пример 4 : Чему равен GCF 71 и 223 ?

Как и в случае с , пример #3 , не торопитесь применять шаги, которые вы уже знаете.Я не могу переоценить важность практики сдержанности при решении математических задач в целом. Отступить назад, чтобы увидеть общую картину, чрезвычайно важно, потому что это позволит вам выработать стратегию и, следовательно, разработать жизнеспособный подход к проблеме.

Итак, теперь, если вы внимательно изучите два числа, 71 и 223, вы должны легко признать, что оба они являются простыми числами. Помните, что простое число имеет ровно два делителя , которые равны 1 и самому себе.Другими словами, мы можем сказать, что простое число делится только на 1 и само на себя.

Список множителей 71 и 223:

Факторы 71: 1, 71

Коэффициенты 223: 1, 223

Мы должны быть в состоянии заключить, что, поскольку 1 является ТОЛЬКО общим делителем, это подразумевает, что 1 также должен быть наибольшим общим делителем по умолчанию. Таким образом, {\rm{gcf}}\left({71,223} \right) = 1,


Пример 5 : Чему равен GCF 72 и 84 ?

Во-первых, мы знаем, что оба числа не простые, на самом деле оба числа четные.Это означает, что они имеют общие делители, отличные от 1. Во-вторых, также очевидно, что меньшее число 72 не может без остатка разделить большее число 84. Это позволяет нам заключить, что меньшее из двух чисел, 72, , а НЕ наибольшее. тоже общий фактор.

Что ж, единственный оставшийся вариант — продолжить пошаговую процедуру нахождения НГК двух чисел, как обсуждалось в первой части этого урока.

Перечисляя все множители каждого числа, мы имеем:

Коэффициенты 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Коэффициенты 84 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Сравнивая списки факторов, общими факторами 72 и 84 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Судя по диаграмме, 12 — наибольший общий делитель 72 и 84. Готово!


Вас также может заинтересовать:

Используйте простую факторизацию, чтобы найти GCF

Поиск LCM с использованием метода списка

Используйте простую факторизацию, чтобы найти LCM

Как найти LCM (наименьшее общее кратное)

В этом посте мы рассмотрим , что такое наименьшее общее кратное и как его вычислить.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более чисел — это наименьшее число (не считая 0), кратное всем числам.

Чтобы лучше понять это определение, мы рассмотрим все термины:

  • Множественность: кратность числа — это числа, которые вы получаете, когда многократно складываете число с самим собой.

  • Обыкновенное кратное: Обыкновенное кратное — это число, кратное двум или более числам; другими словами, это общее кратное всех этих чисел.

Следуя предыдущему примеру, мы увидим общие кратные 2 и 3.

Вы увидите, что между двумя и тремя есть общие кратные, выделенные на рисунке зеленым цветом: 6 и 12. Имейте в виду, что множители бесконечны, и в этом примере мы показали только первые два.

  • Наименьшее общее кратное: наименьшее общее кратное — это наименьшее из общих кратных.

Следуя предыдущему примеру, если общие кратные 2 и трех 3 равны 6 и 12, наименьшее общее кратное равно 6, поскольку оно меньше 12.

Чтобы продолжить, мы рассмотрим, как вычислить наименьшее общее кратное. Вы можете использовать два метода.

Первый метод вычисления наименьшего общего кратного:

— это то, что мы использовали раньше, другими словами, мы пишем первые кратные каждого числа, отмечаем общие кратные и выбираем наименьшее общее кратное.

Второй метод вычисления наименьшего общего кратного:

Первое, что нам нужно сделать, это разложить простые множители каждого числа.После этого нам нужно будет выбрать общие множители, а не наибольшую общую для наибольшего показателя, и, наконец, мы должны умножить выбранные множители.

Мы рассмотрим пример этого, рассчитав LCM 12 и 8.

Разложим 12 и 8 на простые множители:

12 = 2 2 x 3          8 = 2 3

Теперь возьмем наивысшую степень каждого простого множителя в простой факторизации

.

и умножьте их: 2 3 х 3 = 8 х 3 = 24

Значит, наименьшее общее кратное 12 и 8 равно 24.

Вы можете попрактиковаться в онлайн-упражнениях по LCM и более элементарной математике в Smartick. Попробуйте бесплатно!

 

Подробнее:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *