Формула связывающая линейную и угловую скорость: 404 — Страница не найдена

Содержание

Физические диктанты по механике 9

Физический диктант

1 вариант

1. Свободное падение тела это такое движение…

2. Перемещением тела называется…

3. Система отсчёта – это…

4. Траектория движения – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — .


2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Механическим движением тела называется…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Пройденный путь – это физическая величина…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Начертить график зависимости координаты равноускоренного движения от времени:

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3


Физический диктант

1 вариант

1. Принцип причинности…

2. Сформулировать второй закон Ньютона…

3. Инерциальная система отсчёта – это такая система отсчета…

4. Сила – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — ; F — ; m — ; w — ; Т — .

2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Инерция – это явление…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Существуют инерциальные системы отсчёта, относительно которых…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Инертность – это свойство присущее всем телам и заключается оно в том, что…

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3


1 вариант

1. Свободное падение тела это такое движение…

2. Перемещением тела называется…

3. Система отсчёта – это…

4. Траектория движения – это…

5. Формула, связывающая линейную скорость с угловой:

6. Формула ускорения:

7. Формулы перемещения равноускоренного движения:

8. Начертить график скорости равноускоренного движения:

9. Формулы угловой скорости через период и частоту:

10. Единицы измерения: v — ; s — ; а — ; x — ; t — .


2 вариант

1. Равномерное криволинейное движение это такое движение…

2. Механическим движением тела называется…

3. Линейная скорость при движении по окружности направлена…, а ускорение направлено…

4. Пройденный путь – это физическая величина…

5. Формула центростремительного ускорения:

6. Формула скорости равноускоренного движения:

7. Начертить график зависимости координаты равноускоренного движения от времени:

8. Формулы линейной скорости через период и частоту вращения:

9. Перевести в СИ: 1 л = ; 1 км = ; 1 см2 = ;

1 см3 = ; 1 г = ; 1 т = ; 1 ч = .

10. Какие физические величины измеряются: м…; с…; м/с…; м/с2…; м2…; м3

Экзамены в 9 классе | ya-fisik

                                             1 вариант      Формулы (Механика)

Путь при равноускоренном движении

Период по окружности

Масса

Сила упругости

Потенциальная энергия тела поднятого над землёй

Момент силы

Работа

                        Единицы измерения

 1Н=

 

 1Дж=

 

1Вт=

                                 Теория

Ускорение

Скорость

Неупругая деформация

Направление ускорения совпадает с направлением …

В положении устойчивого равновесия у тела потенциальная энергия …

Замкнутая система

Невесомость

                                         

 2 вариант  Формулы  (Механика)

Пройденный путь без времени

Центростремительное ускорение

Второй закон Ньютона

Сила трения

Кинетическая энергия

Импульс тела

Сила тяжести

                        Единицы измерения

 1Н=

 

 1Дж=

 

1Вт=

 

                                 Теория

Перемещение

Сила упругости

Плечо силы

Потенциальная энергия

Простые механизмы выигрыша в ……… не дают,но позволяют получить выйгрыш в ….

При движении тела под углом к горизонту , в любой точке механическая энергия …….

Вес

 

 

 

 

 

 

 

3 вариант    (Механика)                         Формулы

Ускорение

Связывающая угловую и линейную скорости

Уравнение координаты

Сила Архимеда

Потенциальная энергия упругодеформированного тела

Второй закон  Ньютона в импульсной форме

Мощность

 

                        Единицы измерения

 1Н=

 

 1Дж=

 

1Вт=

 

                                 Теория

Материальна точка

Площадь под графиком скорости числена равна….

Скорость

Равнодействующая сила

Подвижный блок позволяет получить выигрыш в силе в…..

Инерциальная система отсчёта

Свободное падение

                                        

1 вариант (Электродинамика) Формулы

Магнитный поток

Сила Ампера

Энергия магнитного поля

Напряженности по определению

Электроёмкость любого конденсатора

Закон Джоуля-Ленца

Закон Ома для участка цепи

                      

                                         Единицы измерения

 1В=

 

 1А=

 

1Ом=

 

1Тл=

 

1Вб=

 

1Гн=

 

 

                                 Теория

Сила Лоренца

Индуктивность

Если заряженная частица влетает в магнитное поле вдоль линий магнитной индукции то…

Сила тока

Тело имеет отрицательный заряд значит у него…. .

Опыт Фарадея

Прибор для Измерения силы тока-……….он включается в цепь….

 

 

 

 

2 вариант (Электродинамика) Формулы

Индуктивность

Законы последовательного соединения

Магнитной индукции 

                        Единицы измерения

 1В=

 

 1А=

 

1Ом=

 

1Тл=

 

1Вб=

 

1Гн=

 

1Ф=

 

                                 Теория

Сила Ампера

Магнитный поток

В проводнике возникает сопротивление, т.к ……….

Если заряженная частица влетает в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции то…

Напряженность

Явление электромагнитной индукции

Прибор для Измерения напряжения-……….он включается в цепь….

Тело имеет положительный заряд значит у него…..

Опыт Эрстеда

 

 

 

 

3 вариант (Электродинамика) Формулы

 

Сила Лоренца

Мощность тока

Сопротивления проводника

Законы параллельного соединения

 

                        Единицы измерения

 1В=

 

 1А=

 

1Ом=

 

1Тл=

 

1Вб=

 

1Гн=

 

1Ф=

 

                                 Теория

Магнитная индукция

Электрический ток

Чем больше индуктивность в цепи  ,тем   ……………. Изменяется  в цепи сила тока

Электроёмкость

Прибор для измерения заряда -……..

 Тело нейтрально значит…..

Опыт Ампера

Конденсатор

 

1 вариант (оптика) Формулы

 

Формула оптической силы линзы

Закон преломления света

Относительный показатель преломления

 

 

                        Единицы измерения

 1Дптр=

 

 

                                 Теория

Фокусное расстояние линзы зависит от ……

Абсолютный показатель преломления

Собирающая линза может стать рассеивающей, если …

Рассеивающая линза всегда даёт изображение …..

Альфа излучение это поток……….

Изотоп-

 

2 вариант (оптика) Формулы

Абсолютный показатель преломления

Формула увеличения линзы

Формула оптической силы линзы

 

                        Единицы измерения

 1Дптр=

 

                               Теория

 

Оптическая сила линзы

Точка фокуса

Главная  оптическая ось

Если предмет находится между линзой и фокусом то получится изображение……

Показатель преломления зависит от …. .

Бета излучение это поток…..

Положительный ион —

Фокусное расстояние хрусталика при переводе взгляда на более дальний объект …..

 

 

 

1вариант (колебания и волны) Формулы

 

Длина волны

Частота

Уравнение гармонических колебаний

                     Единицы измерения

 1Гц=

 

 

Теория

 

Период

Дифракция

Электромагнитная волна

Самая большая скорость звуковой волны в …….

Когерентные волны

Если в точку пространства волны приходят в одинаковой фазе наблюдают……

Если увеличить амплитуду колебаний, то период колебаний ……а громкость звука ….

ЭМВ имеющая самое большое тепловое излучение —

 

2вариант (колебания и волны) Формулы

 

Период

Уравнение смещения при гармонических колебаниях

Период физического маятника (пружинного)

 

 

                     Единицы измерения

 1Гц=

 

 

 

 

                                 Теория

 

Частота

Дисперсия

Звуковая волна

Колебательный контур

Самая большая скорость электромагнитной волны в ………

Интерференционная картина наблюдается ,если ……

Если волна переходит из одной среды в другую, то не меняется её …………

Виды ЭМВ по увеличению их частоты.

 

3вариант (колебания и волны)

Формулы

Циклическая частота

Связывающая частоту и длину волны

  Период математического маятника

 

                     Единицы измерения

 1Гц=

 

 

 

Теория

 

Длина волны

Амплитуда

Интерференция

Резонанс

Источником ЭМВ является заряд ……

Высота тона зависит от …….

Если длина волны наибольшая то частота этой волны ………….

 

 

 

1вариант (молекулярная физика) Формулы

Влажность воздуха

Сила Архимеда

Количество теплоты при плавлении

Давление по определению

                     Единицы измерения

  1Па=

  1 К =

   1л =

 

 

 

                                 Теория

Теплопроводность

Внутренняя энергия

Удельная теплоёмкость  воды 4200Дж/кгС это значит

Температура кипения зависит от ……….

Скорость испарения зависит от (4 фактора) …….

Давление насыщенного пара не зависит от …….

Закон Архимеда

 

 

 

 

 

2вариант (молекулярная физика) Формулы

 

Количество теплоты при парообразовании

Количество теплоты при сгорании топлива

КПД по определению

Формула  для сообщающихя сосудов

                     Единицы измерения

  1Па=

  1 К =

   1л =

 

 

 

                                 Теория

Быстрее всего диффузия происходит в ……

Давление газа

Количество теплоты

Конвекция

При кипении и плавлении энергия ….

Давление насыщенного пара  зависит от ……

Гидравлический пресс работает на законе……

 

3вариант (молекулярная физика) Формулы

 

Количество теплоты при нагревании

Масса

Гидростатическое давление

Формула для гидравлического пресса.

                     Единицы измерения

  1Па=

  1 К =

   1л =

 

 

 

                                 Теория

Излучение

При испарении температура  ……..

При кипении и плавлении температура ……

Насыщенный пар

Удельная теплота плавления льда 330кДж/кг –это значит

Закон Паскаля

Чем больше плотность жидкости, тем в сообщающимся сосуде уровень подъёма её …..

Решение задач ЦТ по физике за 2012 г.

Подписывайтесь на нашу группу ВКонтакте https://vk.com/minskstudent и в FaceBook https://www.facebook.com/groups/7gran/ 

Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей. Будем признательны за любые замечания и постараемся ответить на все вопросы.

Вариант 1

Часть В

 

Задача В1. Диаметр велосипедного колеса , число зубьев ведущей звездочки , ведомой ―  (см. рис.). Если велосипедист равномерно крутит педали с частотой , то модуль скорости v велосипеда равен … 

 Решение.

Очевидно, скорость движения велосипеда равна скорости центра заднего колеса.

1. Пусть  ― угловая скорость вращения заднего колеса. Определим, как связана эта величина со скоростью движения центра . Для этого рассмотрим колесо с точки зрения инерциальной системы отсчета, движущейся со скоростью центра колеса  (см. рис.). В этой системе отсчета центр колеса покоится, а само колесо вращается с угловой скоростью , а значит точки, находящиеся на ободе колеса движутся по окружности с линейной скоростью , где  ― диаметр колеса. Эта скорость для заданной точки обода колеса направлена по касательной к окружности в рассматриваемой системе отсчета.

Для того, чтобы найти скорость любой точки колеса относительно земли необходимо воспользоваться законом сложения скоростей. На рисунке, например, показано, как найти скорость произвольной точки С обода колеса:

Применим этот же принцип и к точке касания колеса с поверхностью земли А:

В проекциях на ось Ox записанное векторное равенство примет вид:

Теперь очень важный момент! При качении колеса без проскальзывания по дороге (а именно такое качение мы предполагаем в данной задаче) точка А покоится относительно дороги, то есть .

Отсюда находим 

Все приведенные выше рассуждения были направлены как раз на получение выше записанной формулы. Заметим, что это не та привычная формула, которая связывает угловую скорость вращения и линейную скорость точек обода при движении по окружности. Полученная формула связывает линейную скорость центра колеса и угловую скорость его вращения, а вид этой формулы обусловлен именно отсутствием проскальзывания колеса.

2. Таким образом, для нахождения скорости движения велосипеда нужно узнать угловую скорость  колеса 2. Для нахождения этой скорости рассмотрим более подробно цепную передачу. Так как звездочка 2 жестко крепится к колесу, то за одно и то же время и звездочка и колесо поворачиваются на один и тот же угол, а значит угловые скорости звездочки и колеса совпадают.

Пусть  ― угловая скорость ведущей звездочки, тогда линейная скорость точек обода этой звездочки равна , где  ― радиус ведущей звездочки. Так как цепь, связывающая звездочки предполагается нерастяжимой, то линейная скорость точек обода второй звездочки равна линейной скорости точек обода первой:

где  ― радиус ведомой звездочки.

Отношение радиусов звездочек можно найти, зная количество зубцов для каждой звездочки. Для этого заметим, что размеры (ширина) зубцов для обеих звездочек должны совпадать, так как размер паза в цепи для зацепления с зубом фиксирован и постоянен по всей длине цепи.

Пусть  ― ширина зуба. Запишем выражение для количества зубьев звездочки, находя его как отношение длины окружности к ширине зубца:

Отсюда находим

Тогда скорость велосипеда:

Остается только выразить угловую скорость ведущей звездочки через частоту вращения:

Тогда

Подставляем численные значения, не забыв перевести величины к СИ:

 Ответ: 12

 Примечание. Столь подробное решение задачи обусловлено желанием автора чему-то научить читателя. Непосредственно на тесте, обладая определенными навыками и опытом, многие обоснования можно опустить и решить данную задачу за 2-3 минуты.

 

Задача В2. К бруску массой , находящемуся на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплена невесомая пружина жесткостью . Свободный конец пружины тянут в горизонтальном направлении так, что длина пружины остается постоянной (). Если длина пружины в недеформированном состоянии , то модуль ускорения a груза равен … .

 Решение.

Движение бруска происходит под действием сил тяжести , реакции опоры  и силы упругости  (см. рис.).

Под действием этих сил груз движется горизонтально с некоторым ускорением . Запишем для груза уравнение второго закона Ньютона:

.

Записанное уравнение спроектируем на ось :

 (проекции сил тяжести и реакции опоры равны нулю, так как эти силы перпендикулярны оси ).

Отсюда находим ускорение груза:

.

Сила упругости на основании закона Гука равна:

Тогда

Подставляем численные значения, не забывая переводить величины к основным единицам СИ:

Полученное значение не спешим записывать в бланк ответов, так как по условию ускорением необходимо найти в :

 Ответ: 20

 

Задача В3. На дне вертикального цилиндрического сосуда, радиус основания которого , неплотно прилегая ко дну, лежит кубик. Если масса кубика , а длина его стороны , то для того, чтобы кубик начал плавать, в сосуд нужно налить минимальный объем  воды , равный … .

 Решение.

На кубик действуют сила тяжести  и сила реакции дна сосуда . Так как кубик прилегает ко дну неплотно, то в процессе наполнения сосуда водой кубик можно считать частично погруженным в жидкость, а значит, кроме указанных сил, на кубик будет действовать сила Архимеда .

Изначально кубик покоится, поэтому уравнение второго закона Ньютона для кубика имеет вид:

Спроектируем данное  уравнение на ось :

Запишем выражение для силы Архимеда:

, где  ― объем погруженной в жидкость части тела.

Пусть  ― высота воды в сосуде, тогда

Значит

Из записанного выражения видно, что с ростом  выталкивающая сила растет, а значит наступит момент, когда тело оторвется от дна и начнет всплывать. Сила реакции опоры при этом обратится в 0. Минимальному объему наливаемой жидкости соответствует ситуация, когда еще и ускорение равно нулю, поэтому уравнение второго закона Ньютона для случая начала плавания кубика примет вид:

Найдем объем воды, соответствующий этой высоте, не забывая учесть, что и сам кубик занимает некоторый объем:

Подставляем численные значения:

При вычислениях специально были проставлены размерности, что избавиться от необходимости делать перевод единиц.

 Ответ: 460

 

Задача В4. На невесомой нерастяжимой нити длиной  висит небольшой шар массой . Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью  попадает в шар и застревает в нем. Если скорость пули была направлена вдоль диаметра шара, то шар совершит полный оборот по окружности в вертикальной плоскости при минимальном значении скорости  пули, равном … .

 Решение.

Пусть  ― скорость пули. Определим скорость шара с пулей после попадания. Для этого учтем, что при неупругом ударе выполняется закон сохранения импульса. В нашем случае на систему действуют внешние силы: тяжести и натяжения нити, которые перпендикулярны оси , то есть их проекция на эту ось равна нулю. Значит закон сохранения импульса выполняется в проекциях на ось .

Импульс системы до попадания равен: 

После попадания шар с застрявшим в нем пулей представляют собой единое тело массой . Пусть скорость этого тела равна . Тогда импульс системы после попадания равен:

На основании закона сохранения импульса можем записать:

Отсюда находим скорость шара с пулей после попадания:

Найдем условия, при которых шар способен совершить полный оборот по окружности. Для этого рассмотрим ситуацию, когда шар с пулей поднялись на некоторую высоту . Пусть эта высота больше длины нити (см. рис.).

Движение шара происходит под действием сил тяжести  и натяжения нити . Запишем уравнение второго закона Ньютона для шара:

Данное уравнение спроектируем на ось , которая расположена вдоль нити. При этом учтем, что, так как шар движется по окружности, то проекция полного ускорения  на выбранную ось представляет собой центростремительное ускорение:

Очевидно, радиус окружности, по которой движется шар равен длине нити , поэтому центростремительное ускорение шара равно:

Значения косинуса угла  находим из прямоугольного треугольника, изображенного на чертеже пунктиром:

Тогда уравнение второго закона Ньютона принимает вид:

Отсюда выразим силу натяжения нити:

Найдем скорость шара  на высоте . Для этого воспользуемся законом сохранения энергии. Отсчет потенциальной энергии будем вести от нижнего положения шара. Тогда в нижнем положении шар обладает только кинетической энергией:

Полная энергия шара на высоте  равна:

Сила натяжения нити перпендикулярна траектории движения шара, поэтому работы не производит, а значит для шара выполняется закон сохранения полной механической энергии:

Получаем окончательное выражение для силы натяжения нити:

Из полученного выражения видно, что с ростом высоты натяжение нити падает. В то же время, для движения шарика по окружности нить должна быть постоянно натянутой, так как при исчезновении силы натяжения движение шарика будет происходить только под действием силы тяжести, а такое движение, как известно, происходит по параболической траектории.

Таким образом, для движения шарика по окружности необходимо, чтобы минимальное значение силы натяжения нити, которое достигается в верхней точке траектории при , было больше нуля (в крайнем случае обращалось в ноль в этой точке:

Из полученного соотношения очевидно, что минимальное значение скорости пули, при котором шарика совершит оборот по окружности, составляет:

 Ответ: 200

 

Задача В5. Идеальный одноатомный газ, начальный объем которого , а количество вещества остается постоянным, находится под давлением . Газ охлаждают сначала изобарно, а затем продолжают охлаждение при постоянном объеме до давления . Если при переходе из начального состояния в конечное газ отдает количество теплоты , то его объем  в конечном состоянии равен … .

 Решение.

Изобразим процесс, происходящий с газом на  диаграмме.

Запишем для газа уравнение первого начала термодинамики:

Знак «-» перед  обусловлен тем, что по условию газ отдает количество теплоты.

Изменение внутренней энергии  газа найдем как разность энергий между точками 1 и 3:

На основании уравнения Менделеева-Клапейрона, примененного к состояниям 1 и 3 газа получим:

Тогда

Работу газ совершает только на участке 1-2, так как на участке 2-3 объем постоянен, поэтому

Тогда

Подставляем численные значения:

 Ответ: 5

 

Задача В6. Два однородных кубика (см. рис.), изготовленных из одинакового материла, привели в контакт. Если начальная температура первого кубика , а второго ― , то при отсутствии теплообмена с окружающей средой установившаяся температура  кубиков равна … .

 Решение.

Пусть  ― удельная теплоемкость материала, из которого изготовлены кубики, а  ― плотность этого материала.

После соприкосновения кубиков, произойдет выравнивание их температур до некоторого значения , при этом кубик 2, температура которого выше отдаст количество теплоты:

,

а кубик 1 получит количество теплоты:

.

Так как теплообмен с окружающей средой отсутствует, то все количество теплоты, отданное кубиком 2 идет на нагревание кубика 1, поэтому должны выполняться условие:

Массы кубиков выразим через их объем и плотность:

Тогда

Для нахождения отношений объемов кубиков используем рисунок к задаче.

Пусть  ― условный размер одной клеточки рисунка. Тогда объем первого кубика:

,

а объем второго кубика:

.

Тогда отношение объемов: 

Значит,

В ответ по условия теста нужно записать целое число, округленное по правилам, т.е. 65.

Ответ: 65

 

Задача В7. На рисунке изображен график зависимости температуры  холодильника тепловой машины, работающей по циклу Карно, от времени . Если температура нагревателя тепловой машины , то максимальный коэффициент полезного действия  машины был равен … %.

Решение.

Запишем выражение для КПД тепловой машины. работающей по циклу Карно:

Из записанного выражения видно, что при постоянной температуре нагревателя КПД тепловой машины будет максимальным, если температура холодильника  минимальна.

Как видно из графика, минимальное значение температуры холодильника составляет .

Температуру нагревателя переведем в Кельвины:

Тогда максимальное значение КПД тепловой машины равно:

Ответ: 70

 

Задача В8. Четыре точечных заряда , ,  и  расположены в вакууме на одной прямой (см. рис.). Если расстояние между соседними зарядами , то в точке А, находящейся на этой прямой на расстоянии  от заряда , модуль напряженности  электростатического поля системы зарядов равен … .

 

Решение.

Каждый заряд создает в окружающем пространстве электростатическое поле, напряженность которого на расстоянии  от заряда равна:

, где ,  ― модуль заряда.

Вектор напряженности  направлен вдоль прямой, соединяющей заряд и рассматриваемую точку пространства, при этом, если заряд положителен то вектор  направлен от заряда, а если отрицателен, то к заряду.

Если поле в точке А создается несколькими зарядами, то для вычисления напряженности этого поля применяют принцип суперпозиции.

Изобразим векторы напряженностей полей, создаваемых зарядами .

Так как все эти векторы направлены вдоль прямой, на которой расположены сами заряды и точка А, то для нахождения результирующей напряженности удобно ввести ось , совпадающую с указанной прямой и найти проекцию результирующей напряженности на эту ось:

В записанном выражении под  подразумеваются модули зарядов.

Подставляем численные значения:

Знак «-» в ответе показывает, что вектор  направлен противоположно направлению оси.

По условию необходимо было найти модуль напряженности:

 Ответ: 18

 

Задача В9. Аккумулятор, ЭДС которого  и внутреннее сопротивление , замкнут нихромовым  проводником массой . Если на нагревание проводника расходуется  выделяемой в проводнике энергии, то максимально возможное изменение температуры  проводника за промежуток времени  равно … К.

 Решение.

Изобразим схему включения нихромового проводника. Пусть  ― сопротивление проводника.

Ток в цепи находим по закону Ома для полной цепи:

Тогда в проводнике выделяется мощность:

 

.

За время  в проводнике выделится количество теплоты, равное:

.

Согласно условию на нагревание проводника идет  часть этой энергии:

Зная удельную теплоемкость нихрома и массу проводника, можем определить изменение температуры проводника:

.

Из записанного выражения видно, что изменение температуры проводника зависит от его сопротивления . По условию задачи нужно найти максимально возможное изменение температуры проводника. Для этого нужно найти максимальное значение записанного выше выражения.

Задача состоит в том, чтобы найти максимальное значение полученного выражения. От  здесь зависит только знаменатель, причем его часть, равная . Мощность будет максимальной тогда, когда данная часть будет минимальной.

Для того, чтобы исследовать данное выражение на минимум обычно используют понятие производной, однако, в школе производную теперь не проходят, поэтому укажем другой способ решения. Для этого вспомним неравенство Коши, которое состоит в том, что среднее арифметическое нескольких положительных числе всегда больше или равно их среднему геометрическому. Для двух чисел  и  это неравенство можно записать так:

, причем равенство возможно только при 

В исследуемом выражении положим , тогда неравенство примет вид:

Таким образом,

Подставляем численные значения:

 Ответ: 20

 

Задача В10. Проволочное кольцо радиусом  и массой , изготовленное из проводника сопротивлением , находится в неоднородном магнитном поле, проекция индукции которого на ось  имеет вид , где ,  ― координата. В направлении оси  кольцу ударом сообщили скорость, модуль которой . Если плоскость кольца во время движения была перпендикулярна оси , то до остановки кольцо прошло расстояние , равное … см.

 Решение.

Наметим ход решения задачи. При движении кольца в магнитном поле происходит изменение магнитного потока через плоскость кольца, так как индукция поля зависит от координаты. Это приводит к возникновению ЭДС индукции в кольце и появлению в нем тока. На возникший в кольце ток со стороны магнитного поля действует сила Ампера, которая и приводит к остановке кольца. Опишем эти процессы более подробно.

Пусть кольцо в некоторый момент движется со скоростью  и находится в точке с координатой . Через малый промежуток времени кольцо переместится в точку с координатой . Изменение магнитного потока через плоскость кольца за это время составит:

Такое изменение магнитного потока вызовет, согласно закону Фарадея, возникновение ЭДС в кольце, величина которого равна:

ЭДС приводит к появлению тока в кольце, сила которого по закону Ома равна:

Этот ток направлен так, как показано на рисунке, чтобы своим магнитным полем компенсировать изменение магнитного потока через плоскость кольца (правило Ленца).

Откуда же берется сила, тормозящая кольцо? На первый взгляд кажется, что силы Ампера, действующие на различные элементы кольца, могут лишь сжать кольцо, но не затормозить его (см. рис.).

Причина возникновения указанной силы кроется в неоднородности поля. Подробное рассмотрение этого вопроса выходит за рамки школьного курса физики. Здесь отметим лишь, что природа магнитного поля такова, что линии индукции поля не могут быть прямолинейными, если модуль индукции изменяется по величине. А значит, в описанном в условии задачи магнитном поле, кроме составляющей  есть еще и радиальная составляющая. Именно ввиду наличия этой составляющей магнитного поля у силы Ампера существует составляющая, направленная вдоль оси . Именно эта составляющая силы Ампера и тормозит кольцо.

Избавиться от необходимости точного вычисления силы Ампера поможет теорема об изменении кинетической энергии. Для использования этой теоремы рассмотрим кольцо в некоторой точке с координатой . Пусть в этой точке кольцо имеет скорость .Через небольшой промежуток времени кольцо окажется в некоторой близкой точке, координата которой . Пусть скорость кольца в этот момент равна .

Определим изменение кинетической энергии кольца:

Так как изменение скорости мало, то квадратом величины  можем пренебречь. Тогда

Изменение кинетической энергии происходит за счет работы силы Ампера. Чтобы вычислить эту работу используем формулу:

, где  и  ― магнитный поток через плоскость кольца в точках  и  соответственно (влиянием собственного магнитного потока кольца пренебрегаем).

Такой подход позволяет избежать нахождения радиальной составляющей вектора магнитной индукции, так как магнитный поток зависит лишь от составляющей , перпендикулярной плоскости кольца.

Так как  и  малы, то ток в кольце на участке от  до  будем считать постоянным. Значение этого тока, согласно вышеприведенным рассуждениям равно:

.

Тогда

На основании теоремы об изменении кинетической энергии можем записать:

Полученное выражение связывает малое изменение скорости с малым изменением координаты. Из него, в частности, следует, что при увеличении координаты скорость уменьшается. Так коэффициент при  ―  не зависит ни от координаты, ни от скорости, то в полученном выражении можно произвести суммирование всех малых изменений координаты и скорости. В результате получим:

Подставляем численные значения:

 Ответ: 39

 

Задача В11. Напряжение на участке цепи изменяется по гармоническому закону (см. рис.). В момент времени  напряжение на участке цепи равно , а в момент времени  равно . Если разность напряжений , то действующее значение напряжения  равно … В.

 Решение.

По графику колебаний определяем период: . Так как в начальный момент значение напряжения равно амплитудному, то колебания происходят по закону косинуса с нулевой начальной фазой:

В записанном выражении время  подставляется в , а , как видно из графика – амплитудное значение напряжения.

Запишем выражение для разности напряжений в моменты времени  и :

Зная амплитудное значение напряжения, можно найти его действующее значение:

 

Ответ: 33.

 

Задача В12. На дифракционную решетку падает нормально параллельный пучок монохроматического света длиной волны . Если максимум второго порядка отклонен от перпендикуляра к решетке на угол , то каждый миллиметр решетки содержит число  штрихов, равное … .

 Решение.

Запишем условие максимумов для дифракционной решетки:

, где  ― период решетки,  ― порядок спектра.

Отсюда находим:

.

В нашем случае , поэтому период решетки равен:

Значит, 1 мм решетки содержит количество штрихов, равное:

 Ответ: 625.

Задачи по астрономии

Продолжаю публикацию цикла задачек по астрономии. Я вновь воспользуюсь брошюрой «Дидактический материал по астрономии», написанной Г.И. Малаховой и Е.К.Страутом и выпущенной издательством «Просвещение» в 1984 г. В этот раз под раздачу идут первые задачи итоговой контрольной работы на стр. 75.

Для визуализации формул буду использовать сервис LаTeX2gif, так как в RSS библиотека jsMath не в состоянии отрисовать формулы.

Задача 1 (Вариант 1)

Условие: Планетарная туманность в созвездии Лиры имеет угловой диаметр 83″ и находится на расстоянии 660 пк. Каковы линейные размеры туманности в астрономических единицах?

Решение: Указанные в условии параметры связаны между собой простым соотношением:

1 пк = 206265 а. е., соответственно:

Задача 2 (Вариант 2)

Условие: Параллакс звезды Процион 0,28″. Расстояние до звезды Бетельгейзе 652 св. года. Какая из этих звезд и во сколько раз находится дальше от нас?

Решение: Параллакс и расстояние связаны простым соотношением:

Далее находим отношение D2 к D1 и получаем, что Бетельгейзе примерно в 56 раз дальше Проциона.

Задача 3 (Вариант 3)

Условие: Во сколько раз изменился угловой диаметр Венеры, наблюдаемой с Земли, в результате того, что планета перешла с минимального расстояния на максимальное? Орбиту Венеры считать окуржностью радиусом 0,7 а.е.

Решение: Находим угловой диаметр Венеры для минимального и максимального расстояний в астрономических единицах и далее их простое отношение:

Получаем ответ: уменьшился в 5,6 раза.

Задача 4 (Вариант 4)

Условие: Какого углового размера будет видеть нашу Галактику (диаметр которой составляет 3 · 104 пк) наблюдатель, находящийся в галактике M 31 (туманность Андромеды) на расстоянии 6 · 105 пк?

Решение: Выражение, связывающее линейные размеры объекта, его параллакс и угловые размеры уже есть в решении первой задачи. Воспользуемся им и, слегка модифицировав, подставим нужные значения из условия:

Задача 5 (Вариант 5)

Условие: Разрешающая способность невооруженного глаза 2′. Объекты какого размера может различить космонавт на поверхности Луны, пролетая над ней на высоте 75 км?

Решение: Задача решается аналогично первой и четвертой:

Соответственно космонавт сможет различать детали поверхности размером в 45 метров.

Задача 6 (Вариант 6)

Условие: Во сколько раз Солнце больше Луны, если их угловые диаметры одинаковы, а горизонтальные параллаксы соответственно равны 8,8″ и 57′?

Решение: Это классическая задача на определение размера светил по их параллаксу. Формула связи параллакса светила и его линейных и угловых размеров неоднократно попадалась выше. В результате сокращения повторяющейся части получим:

В ответе получаем, что Солнце больше Луны почти в 400 раз.

 Навигация

Возможно, вы уже знакомы с измерением скорости как отношением расстояния, пройденного объектом, ко времени его движения. Однако эта связь предназначена для объектов, которые движутся по прямой линии. А как насчет объектов, которые движутся по круговой траектории?

Вы помните, как в детстве играли на карусели?

Если два человека едут по внешнему краю, их скорости должны быть одинаковыми.Но что, если один человек находится близко к центру, а другой — на краю? Они находятся на одном и том же объекте, но их скорость на самом деле не одинакова.

Посмотрите на следующий рисунок.

Представьте, что точка на большом круге — это человек на краю карусели, а точка на меньшем круге — это человек ближе к середине. Если карусель совершит ровно один оборот, то обе особи также сделают один полный оборот за одинаковое время.

Однако очевидно, что человек в центре не путешествовал так далеко. Окружность (и, конечно же, радиус) этого круга намного меньше, и поэтому человек, проехавший большее расстояние за то же время, на самом деле движется быстрее, даже если он находится на одном и том же объекте. Таким образом, человек на краю имеет большую линейную скорость (напомним, что линейная скорость находится с помощью ). Если вы когда-нибудь катались на карусели, вы уже знаете это, потому что гораздо веселее быть на краю, чем в центре! Но есть что-то общее в этих двух путешествующих людях.Они оба будут охватывать один и тот же оборот за один и тот же период времени. Этот тип скорости, измеряющий угол поворота за заданный промежуток времени, называется угловой скоростью .

Формула для угловой скорости:

 это последняя буква греческого алфавита, омега, и обычно используется как символ угловой скорости. — угол поворота, выраженный в радианах, и — время, необходимое для завершения поворота.

На этом рисунке ровно один радиан или длина радиуса, изогнутого вокруг окружности.Если бы точке потребовалось ровно 2 секунды, чтобы повернуться на угол, угловая скорость  из была бы:

Чтобы узнать линейную скорость  частицы, мы должны были бы знать фактическое расстояние, то есть , длина радиуса. Допустим, радиус равен 5 см.

Если линейная скорость равна тогда или 2,5 см в секунду.

Если угол не равен точно 1 радиану, то расстояние, пройденное точкой на окружности, равно длине дуги или длине радиуса, умноженной на величину угла в радианах.

Подстановка в формулу для линейной скорости дает:  или .

Вспомните формулу угловой скорости. Подстановка дает следующее соотношение между линейной и угловой скоростью, . Таким образом, линейная скорость равна радиусу, умноженному на угловую скорость.

Помните, что в единичном круге радиус равен 1 единице, поэтому в этом случае линейная скорость совпадает с угловой скоростью.

Здесь расстояние, пройденное по окружности, за данную единицу времени равно углу поворота, измеряемому в радианах.

Пример A

Линдси и Меган катаются на карусели. Меган стоит в 2,5 футах от центра, а Линдси едет по внешнему краю в 7 футах от центра. Им требуется 6 секунд, чтобы совершить оборот. Вычислите линейную и угловую скорость каждой девушки.

Решение:  Нам говорят, что полный оборот занимает 6 секунд. Полный оборот аналогичен радианам. Таким образом, угловая скорость составляет:

 радиана в секунду, что немного больше 1 (около 1.05), радиан в секунду. Поскольку обе девушки совершают один и тот же угол поворота за одинаковое время, их угловая скорость одинакова. В этом случае они поворачиваются примерно на 60 градусов окружности каждую секунду.

Как мы обсуждали ранее, их линейные скорости различны. Используя формулу, линейная скорость Меган составляет:

Линейная скорость Линдси:

Пример B

Жук стоит у внешнего края компакт-диска (так что его радиус от центра диска равен 6 см), который вращается.Он замечает, что преодолел радианы за две секунды. Какова его угловая скорость? Какова его линейная скорость?

Решение:  Мы знаем, что уравнение для угловой скорости составляет

 радиана в секунду.

Мы можем использовать данное уравнение, чтобы найти его линейную скорость:

Пример C

Сколько времени требуется жуку из примера B, чтобы совершить два полных оборота?

Решение:  Поскольку угловая скорость жука равна  радианам в секунду, мы можем использовать уравнение для угловой скорости и решить для времени: можно использовать для значения  :

Словарь

Угловая скорость:   угловая скорость  вращающегося объекта представляет собой изменение угла объекта, деленное на изменение во времени.

Линейная скорость:   линейная скорость  объекта представляет собой изменение положения объекта, деленное на изменение во времени.

Практика с гидом

1. Дорис и Лоис катаются на карусели. Дорис едет на одной из лошадей снаружи, а Лоис едет на одной из меньших лошадей в центре. Лошадь Лоис находится в 3 м от центра карусели, а лошадь Дорис на 7 м дальше от центра, чем лошадь Лоис. Когда карусель запускается, им требуется 12 секунд, чтобы завершить оборот.

Рассчитайте линейную скорость каждой девушки. Вычислите угловую скорость лошадей на карусели.

2. Большой адронный коллайдер недалеко от Женевы, Швейцария, начал работу в 2008 году и предназначен для проведения экспериментов, которые, как надеются физики, позволят получить важную информацию о базовой структуре Вселенной. БАК имеет круглую форму с окружностью около 27 000 м. Протоны будут разгоняться до скорости, очень близкой к скорости света (метров в секунду).

Сколько времени требуется протону, чтобы совершить полный оборот вокруг коллайдера? Какова примерная (с точностью до метра в секунду) угловая скорость протона, движущегося вокруг коллайдера? Приблизительно сколько раз протон пролетит вокруг коллайдера за одну полную секунду?

3. Тед стоит в 2 метрах от центра карусели. Чему равна его угловая скорость, если его линейная скорость равна 6 м/с?

Решения:  1. На самом деле проще сначала вычислить угловую скорость., поэтому угловая скорость равна , или . Поскольку линейная скорость зависит от радиуса, у каждой девушки она своя.

Лоис:

Дорис:

2.  или 0,00009 секунды. Протон делает один оборот за 0,00009 секунды. Таким образом, за одну секунду он совершит оборот вокруг БАК, или чуть более 11 111 оборотов.

3. Поскольку уравнение, связывающее линейную и угловую скорости, задается формулой , мы можем решить для омеги: 

Концепция Решение задачи

Как вы узнали из этой концепции, угловая скорость представляет собой изменение угла, деленное на изменение время.Поскольку вы совершаете два оборота вокруг окружности в секунду, это будет:

 рад/сек

Далее, вы можете найти линейную скорость с помощью уравнения:

10.3 Связь угловых и поступательных величин – University Physics Volume 1

Мы можем рассмотреть два соотношения между вращательным и поступательным движением.

Пример

Линейное ускорение центрифуги

Центрифуга имеет радиус 20 см и разгоняется от максимальной скорости вращения 10 000 об/мин до остановки за 30 секунд при постоянном угловом ускорении.Он вращается против часовой стрелки. Какова величина полного ускорения точки на кончике центрифуги при [latex]t=29,0\text{s?}[/latex] Каково направление вектора полного ускорения?

Стратегия

Имея предоставленную информацию, мы можем рассчитать угловое ускорение, что затем позволит нам найти тангенциальное ускорение. Мы можем найти центростремительное ускорение при [latex]t=0[/latex], рассчитав тангенциальную скорость в это время. Зная величины ускорений, мы можем вычислить общее линейное ускорение.\circ.[/латекс]

Знак «минус» означает, что вектор полного ускорения наклонен по часовой стрелке.

Рисунок 10.16 Векторы центростремительного, тангенциального и полного ускорения. Центрифуга замедляется, поэтому тангенциальное ускорение направлено по часовой стрелке, против направления вращения (против часовой стрелки).
Значение

Из рисунка видно, что вектор тангенциального ускорения противоположен направлению вращения. Величина тангенциального ускорения намного меньше центростремительного ускорения, поэтому вектор полного линейного ускорения будет составлять очень маленький угол по отношению к вектору центростремительного ускорения.

11. ВРАЩЕНИЕ

11. ВРАЩЕНИЕ

В этой главе мы будем иметь дело с вращением твердого тела вокруг фиксированная ось. Каждая точка тела движется по окружности, центр которой лежит на ось вращения, и каждая точка испытывает одинаковое угловое смещение в течение определенного интервала времени.

Рисунок 11.1. Связь между s и [тета].

Предположим, что ось z нашей системы координат совпадает с осью вращения твердого тела.Ось x и ось y приняты равными перпендикулярно оси z. Каждая часть твердого тела движется по окружности вокруг оси Z. Предположим, что заданная точка A на теле покрывает линейную расстояние s при вращении (см. рис. 11.1). В течение одного полного точка обращения А проходит расстояние, равное 2[pi]r. В таком случае угол вращения равно 2[pi] радианам. Для ситуации, показанной на рис. 11.1, угол поворота можно легко рассчитать:

При описании вращения твердого тела необходимо выбрать опорная линия, относительно которой измеряется угол поворота.На рисунке 11.1 опорная линия соединяет начало системы координат и точка A. Угол поворота – это угол между опорной линия и ось абсцисс (как показано на рис. 11.1).

Если угол поворота [тета] зависит от времени, имеет смысл ввести понятие угловой скорости и угловое ускорение. угловая скорость [омега] равна определяется как

Единицей угловой скорости является рад/с.Угловая скорость может быть положительный (вращение против часовой стрелки) или отрицательный (вращение по часовой стрелке). То угловое ускорение а определяется как

Единицей углового ускорения является рад/с 2 .

Для описания вращения вокруг точки (а не фиксированной оси) вводится понятие вектора угловой скорости . То модуль вектора угловой скорости равен модулю угловая скорость вращения вокруг фиксированной оси (как определено выше).То направление вектора скорости параллельно оси вращения и нужно использовать правило правой руки, чтобы определить, направлен ли вектор вверх или вниз.

Проблема 7P

Колесо вращается с угловым ускорением a, равным

где t — время, a и b — константы. Если колесо имеет начальная угловая скорость [омега] 0 , напишите уравнения для (а) угловая скорость и (б) угол поворота как функция времени.

Чтобы решить эту проблему, мы начнем с рассмотрения отношения между угловое ускорение и угловая скорость

Это отношение можно переписать как

.

Подставив заданное угловое ускорение, получим для углового скорость

Угол поворота связан с угловой скоростью

Подставив полученное выражение для [omega](t) угол можно рассчитать вращение

и поэтому

Если угловое ускорение a постоянно (не зависит от времени), то следующие уравнения могут быть использованы для расчета [омега] и [тета] в любое время т:

Обратите внимание, что эти уравнения очень похожи на уравнения для линейного движение.

Проблема 19P

Колесо, находящееся в состоянии покоя, вращается с постоянным углом ускорение 2,0 рад/с 2 . В течение определенного интервала в 3,0 с оборотов через 90 рад. а) Сколько времени вращалось колесо до старта? интервала 3,0 с? (б). Какова была угловая скорость колеса в момент начало интервала 3,0 с?

Время t = 0 с определяется как момент, когда колесо находится в состоянии покоя. Следовательно, [омега] 0 = 0 рад/с.Угол поворота в любое более позднее время измеряется относительно положения тела в момент времени t = 0 с: [тета] 0 = 0 рад. Уравнения вращения теперь задаются как

Угол поворота на интервале 3,0 с будет зависеть от времени:

В нашей задаче вращение [Delta][theta] за период [Delta]t равно дано.Время, в течение которого колесо вращалось до периода времени [Delta]t можно легко рассчитать

Угловая скорость колеса в начале этого периода равна

Пример связи между угловыми и линейными переменными имеет уже обсуждалось. На рис. 1 показано, как расстояние s, пройденное точка A, связана с радиусом окружности и углом поворота

скорость точки А можно получить, продифференцировав эту уравнение относительно времени

Для вывода этого уравнения мы предположили, что для вращения вокруг фиксированная ось расстояние r от точки A до оси вращения постоянно (независимо от времени), что верно для твердого тела.Ускорение точки А можно определить следующим образом

Ускорение a t есть тангенциальная составляющая линейное ускорение, связанное с изменением величины скорости точки А. Однако мы видели, что объект совершая круговое движение, также испытывает радиальное ускорение . Величина радиальной составляющей, р ,

Используя полученное ранее выражение для v через [омега] и r, радиальную составляющую ускорения можно переписать следующим образом:

Рисунок 11. 2 показано направление как радиального, так и тангенциального составляющие ускорения точки А. Радиальная составляющая всегда присутствует до тех пор, пока [omega] не равно нулю; тангенциальная составляющая присутствует только в том случае, если угловое ускорение не равно нулю.

Рисунок 11.2. Составляющие ускорения точки А.

Можно сделать вывод, что при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, каждая часть тела имеет одинаковую угловую скорость [омега] и одинаковую угловое ускорение а, но точки, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения имеют разные линейные скорости и разные линейные ускорения.

Полную кинетическую энергию вращающегося тела можно найти, просуммировав кинетическая энергия каждой отдельной частицы:

Для вывода этого уравнения мы использовали тот факт, что угловая скорость одинакова для каждой частицы твердого тела. Количество в скобках говорит нам, как масса вращающегося тела распределяется вокруг оси вращение. Эта величина называется моментом инерции (или инерция вращения)

Единицей для I является кг м 2 .Используя это определение, мы можем запишите кинетическую энергию вращающегося объекта как

Примечание: во многих предыдущих задачах мы предполагали, что имеем дело с безмассовые шкивы. Это предположение гарантирует, что, применяя сохранение механической энергии, мы не должны рассматривать кинетическую энергию, связанную с вращение шкива.

Чтобы вычислить момент инерции твердого тела, мы должны проинтегрировать по все тело

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр массы известен момент инерции относительно любой другой оси, параллельной ей, можно найти, применив теорему о параллельных осях

где I см — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, M — полная масса тела, а h — перпендикулярное расстояние между двумя параллельными осями.

Пример задачи 11-8

Определить момент инерции однородного стержня массы m и длины L о ось под прямым углом к ​​стержню, хотя его центр масс (см. рис. 11.3).

Масса единицы длины стержня равна m/L. Масса dm элемента стержень длиной dx

Вклад этой массы в общий момент инерции стержня это

Полный момент инерции стержня можно определить, проинтегрировав по всем частям штанги:

Момент инерции стержня вокруг его конечной точки (см. рис. 11.4) теперь можно рассчитать с помощью теоремы о параллельных осях

Рисунок 11.3. Пример задачи 11-8.

Рисунок 11.4. Пример задачи 11.8.

Пример: момент инерции диска

Рисунок 11. 5. Момент инерции диска.

Однородный диск имеет радиус R и полную массу M. Плотность диск указан

Чтобы вычислить момент инерции всего диска, сначала посмотрим на небольшой участок диска (см. рис. 5).Площадь кольца, расположенного на расстояние r от центра и ширина dr равна

Масса этого кольца

Вклад этого кольца в общий момент инерции диск указан

Полный момент инерции теперь можно найти, просуммировав все кольца:

Подставляя расчетную плотность получаем

Предположим, что к точке А приложена сила F (см. рис. 11.6). Точка А часть твердого тела с осью вращения, проходящей через начало координат. Предположим, что угол между силой F и вектором положения r равен [phi]. То силу F можно разложить на две составляющие: одну, параллельную положению вектор и один перпендикулярно вектору положения. Очевидно, что компонента, параллельная вектору положения, не может вызвать вращение жесткой тело.

Величина составляющей силы, перпендикулярной вектор положения задается как

Рисунок 11.6. Момент затяжки

Тангенциальная составляющая приложенной силы F создаст вращение объекта; реальная угловая скорость будет зависеть не только от приложенная сила, но и от расстояния между осью вращения и точкой А. Для описания действия силы вводится понятие крутящего момента.

Тангенциальная составляющая F, F t , создаст тангенциальную ускорение а т

Крутящий момент [тау] можно переписать как

.

Тангенциальное ускорение a t связано с угловое ускорение a

Делаем вывод, что

Это всего лишь второй закон Ньютона для вращения.

Пример задачи 11-11

На рис. 11.7 показан однородный диск массой M и радиусом R. Диск устанавливается на неподвижную ось. Брусок массой m висит на шнуре, который оборачивается вокруг обода диска. Найдите ускорение падения блок, угловое ускорение диска и натяжение шнура.

Рисунок 11.7. Пример задачи 11-10.

Силы, действующие на массу и диск, показаны на рисунке 11.8. С тех пор масса m движется вниз, сила тяжести m . г сусла превышает натяжение Т шнура. Линейное ускорение массы m равно определяется как положительный, если он указывает вниз:

Однородный диск вращается за счет наличия массы m. То крутящий момент, создаваемый натяжением T шнура на диске, равен

Результирующее угловое ускорение a диска может быть получено из крутящий момент

или

Рисунок 11. 8. Пример задачи 11-10.

Момент инерции диска равен

Угловое ускорение a равно

Однако линейное ускорение шнура равно a, поэтому линейное ускорение обода диска также должно быть а. Линейный ускорение обода и угловое ускорение a связаны следующим образом

Комбинируя это выражение с предыдущим выражением, мы можем сделать вывод что

Если мы объединим это выражение с ранее полученным выражением для а

мы можем вычислить a и T:

Мы видим, что ускорение падающего бруска всегда меньше гравитационное ускорение, но приближается к g, когда масса диска становится много меньше массы m.Угловое ускорение a может быть получено от

Рисунок 11. 9. Работа, совершаемая силой.

Предположим, что к концу стержня (с пренебрежимо малая масса). Под действием силы F система вращается на угол [Delta][theta] (см. рис. 11.9). Работа, совершаемая силой F, равна определяется тангенциальной составляющей F

Здесь r d[theta] — длина дуги, пройденной частицей.Суммарная работа силы за конечное число оборотов (от [тета] i до [тета] f ) определяется как

Это уравнение очень похоже на то, что мы получили для линейного движение:

Теперь можно рассчитать общую проделанную работу

или

Это можно переписать как

.

Это соотношение показывает, что работа крутящего момента, действующая на твердую тела равно изменению кинетической энергии вращения этого тела.


Присылайте комментарии, вопросы и/или предложения по электронной почте [email protected] и/или посетите домашнюю страницу Frank Wolfs.

Кинематика и динамика

Кинематика и динамика

Кинематика и динамика

Если объект вращается вокруг фиксированной оси Z с постоянным угловым ускорение α, имеем Δω = αΔt,

ω f = ω i + α(t f — t i ).

Угловое смещение θ относительно оси z определяется как

θ f = θ i + ω i (t f — t i ) + ½α(t f — t i ) 2 .

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения линейного движения с постоянным ускорением a.
Для движения по оси абсцисс имеем

v f = v i + a(t f — t i ),
x f — x i = v xi ∆t + ½a x (t f — т и ) 2 .

Если мы заменим x на θ и a на α, то кинематическая уравнения линейного движения вдоль оси x преобразуются в кинематические уравнения для вращательного движения вокруг оси z.

С нашими определениями углового положения, скорости и ускорения мы имеем кинематические уравнения для вращательных движений, которые имеют тот же вид, что и кинематические уравнения поступательного движения. И те же уравнения имеют те же растворы. Решаем их точно так же. Но решения описывают различные физические ситуации. Например, в то время как θ f может принимать любое значение, значение, которое не лежит между 0 и 2π радиан, просто говорит нам о том, что объект совершил более одного оборота.

Проблема:

Авиалайнер прибывает в терминал, двигатели выключены выключенный. Ротор одного из двигателей имеет начальный поворот по часовой стрелке угловая скорость 2000 рад/с. Вращение двигателей замедляется с угловое ускорение величиной 80 рад/с 2 .
(a) Определите угловую скорость через 10 с.
(b) Сколько времени требуется ротору, чтобы остановиться?

Решение:

  • Рассуждение:
    В этой задаче начальная угловая скорость ω i и угловое ускорение α .Если выбираем направление начального углового ускорения быть направлением z, тогда
    ω f = ω i — α(t f — t i ),
    , так как α находится в отрицательном направлении z.
  • Детали расчетов
    (а) При t = 0 ω i = 2000/с.
    При t = 10 с имеем ω f  = 2000/с — (80/с 2 )(10 с) = 1200/с.
    (б) Настройка ω f = ω i — α(t f — t i ) = 0 мы можем найти время, за которое ротор придет отдыхать.
    2000/с — (80/с 2 )t = 0, t = (2000/80) с = 25 с — это время, необходимое ротору для остановки.
Проблема:

Вращающемуся колесу требуется 3 с, чтобы сделать 37 оборотов. Его угловатый скорость в конце 3-секундного интервала 98 рад/с. Что это постоянное угловое ускорение колеса?

Решение:

  • Рассуждение:
    Дано: Δθ = θ f — θ i = 37 оборотов, Δt = 3 с, ω f = 98 рад/с.
    С использованием θ f — θ i = ω i (t f — t i ) + ½α(t f — t i ) 2 и ω f = ω я + α(t f — t i ), у нас есть два уравнения, которые мы можем решить для двух неизвестных, ω i и α.
  • Детали расчета:
    Использование θ f = θ i + ω i (t f — t i ) + ½α(t f — t i ) 2 с θ i = 0, имеем 37*2π = ω i *(3 с) + ½α(3 с) 2 .
    Используя ω f = ω i + α(t f — t i ) имеем 98/s = ω i + α(3 с).
    Решим это уравнение для ω i  ω i = 98 с — α(3 с), и вставить его в первое уравнение.
    37*2π = (98/с)(3 с) — α(3 с) 2 + ½α(3 с) 2 , 74π = 294 — α*(9 с 2 ) + α*(4,5 с 2 ),
    (4,5 с 2 )*α = 294 — 74π, α = 13,67/с

    6 2 9 постоянный ускорение колеса.

Когда колесо вращается вокруг оси Z, каждая точка колеса имеет одинаковый угол скорость. Однако линейная скорость v точки P зависит от ее расстояния от оси вращения.
Когда точка P проходит угловое смещение 2π, тогда его пройденный путь равен 2πr.
Когда точка P проходит угловое смещение на π, то пройденное им расстояние равно πr.
Когда точка P проходит угловое смещение θ, то его пройденный путь равен θr.
С точки зрения угловой скорости ω скорость v точки P поэтому v = ωr, если r постоянно; v — тангенциальная скорость точки P.

Ссылка: Тангенциальная и угловая скорость (Youtube)

Тангенциальное ускорение a точки P, движущейся по круговой траектории, равно . с точки зрения его углового ускорения на t = rα.
радиальное или центростремительное ускорение равно r = v 2 /r = рω 2 .
Общее ускорение равно
a = (a t 2 + a r 2 ) ½ = (r 2 α 2 + r 2 ω 4 ) ½ = r(α 2 + ω 4 ) 9026

Проблема:

Если колеса автомобиля заменить на колеса большего диаметра, показания спидометра изменились? Объяснять!

Решение:

  • Рассуждение:
    Датчик спидометра определяет угловую скорость колеса. Используя v номинал = r номинал ω, спидометр отображает правильную скорость, если шины имеют номинальный радиус. Если вы положите шины вашего автомобиля больше, чем ваша фактическая скорость v фактическая = r фактическая ω больше отображаемой скорости v номинал = r номинал ω.
Проблема:

Автомобиль равномерно ускоряется из состояния покоя и достигает скорости 22 м/с в 9 с. Если диаметр шины 58 см, найдите
(а) число оборотов, которое шина делает во время этого движения, при условии, что нет проскальзывание и
(b) конечная скорость вращения шины в оборотах в секунду.

Решение:

  • Рассуждение:
    Задано равномерное ускорение автомобиля a = Δv/Δt. Мы можем использовать кинематические уравнения для линейного движения, чтобы найти расстояние, которое он проходит в интервал времени Δt.
    Разделив это расстояние на длину окружности шины, находим число сделанной революции. Конечная угловая скорость определяется как ω f . = v f /r шина .
  • Детали расчета:
    (a) Ускорение автомобиля равно a = Δv/Δt = (22 м/с)/(9 с) = 2.44 м/с 2 .
    Расстояние d = ½ at 2 = (½ * 2,44 * 81) м = 99 м.
    Окружность шины равна π*0,58 м = 1,82 м.
    Число оборотов колеса равно 99/1,82 = 54,3.
    (b) Конечная линейная скорость шины v = 22 м/с. Используя v = ωr, ω = v/r, конечная угловая скорость составляет ω = 75,9/с. Число оборотов в секунду ω/2π = 12/с.

Модуль 6: Вопрос 1

Кинематические уравнения движения с постоянным линейным ускорением и движение с постоянным угловым ускорением имеют такой же вид.Сравнивать движение с постоянной скоростью с движением с постоянной угловой скоростью.

Обсудите это со своими однокурсниками на дискуссионном форуме!


Что вызывает угловое ускорение?

Предположим, вы хотите изменить вращающийся угловая скорость колеса. Для увеличения угловой скорости вероятно, приложит силу к ободу, касательную к ободу, и в направление мгновенной скорости сечения обода на которым вы прикладываете силу.

Если вы хотите уменьшить угловую скорость, вы измените направление направление силы.

Предположим, вы хотите войти в здание с вращающейся дверью. В двери четыре панели, и вы толкаете на одном из них, перпендикулярно поверхности панели.
Скорость, при которой угловая скорость двери изменения, то есть угловое ускорение α , тем больше, чем дальше от оси вращения вы применяете сила.

Угловое ускорение относительно точки является результатом крутящего момента вокруг этой точки. А крутящий момент — продукт рычага плечо и сила, приложенная перпендикулярно плечу рычага. То рычаг или моментный рычаг — расстояние по перпендикуляру от центра вращения, т. е. от точка поворота, точка приложения силы.

Крутящий момент всегда определяется относительно точки вращения.

Чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Ты сможешь получить больший крутящий момент, приложив большее усилие или используя более длинный рычаг. Пишем

крутящий момент = плечо рычага × усилие,
τ = r × F .

Крутящий момент является вектором. это векторный продукт или перекрестное произведение из r и F .Единицами крутящего момента в СИ являются Нм.
Крутящий момент имеет величину и направление. Его направление задается правило правой руки .

Пусть пальцы правой руки указывают от оси вращение до точки приложения силы. Сверните их в направление F . Ваш большой палец указывает в направлении вектор крутящего момента.

Величина крутящего момента τ τ = rFsinθ, где θ – наименьший угол между направлениями векторов r и Ф .
Мы также можем написать τ = r perp F = rF perp , где r perp — компонент плечо рычага перпендикулярно F, или где F perp — это составляющая F, перпендикулярная плечу рычага.

Если сила F действует на объект, то крутящий момент, создаваемый этой силой относительно a точка поворота τ = r × F , где r — вектор смещения от точки вращения до точки, где применяется сила. Если на тело действуют две или более сил, то суммарный крутящий момент равен векторная сумма крутящие моменты, создаваемые отдельными силами. (Для вращения вокруг одной оси два крутящих момента могут быть направлены в одном направлении или в противоположных направлений и поэтому может складывать или вычитать.)


Итог

Вращения – самый сложный предмет курса для большинства студентов. Векторная природа величин, описывающих вращение, противоречит здравому смыслу. изначально, но математика вращения — это векторное перекрестное произведение.

Вращение определяется вокруг оси. Чтобы начать вращать объект вокруг ось, т.е. чтобы придать ей угловое ускорение, нужна сила. Но не любой старый сила сделает. Это зависит от того, где вы толкаете или тянете, и в какой направление.

Предположим, вы хотите запустить вращение колеса. Пусть красные стрелки укажите направление силы, которую вы прикладываете. Какая стрела совершит это? Нельзя давить прямо на ось, это не сработает. Ты нужен рычаг. Вы также не можете толкать к оси, даже если у вас есть плечо рычага. Сила должна иметь тангенциальную составляющую. Все это входит в понятие крутящего момента.

крутящий момент = плечо рычага × усилие,
τ = r × F .

Здесь r — плечо рычага, направленное от оси вращения к точка приложения силы, F — сила. nПерекрестное произведение говорит, что они не могут быть выровнены, поскольку величина крутящего момента равна τ = rFsinθ, где θ — наименьший угол между направлениями векторов r и F . Перекрестное произведение — это математический способ выражения того, что необходимо для получить угловое ускорение.


Проблема:

На рисунке справа найдите сеть крутящий момент на колесе относительно оси, проходящей через центр, если a = 10 см и b = 25 см.

Решение:

  • Рассуждение:
    Пусть ось Z выходит из страницы. Используйте τ = rFsinθ для величины и правило правой руки для направления т .
  • Детали расчета:
    Тогда крутящий момент, создаваемый силой 10 Н, равен τ = -(10 Н * 0,25 м) k = -(2,5 Нм) k .
    Крутящий момент, создаваемый силой 9 Н, равен τ = -(9 Н * 0,25 м) к = -(2,25 Нм) к .
    Крутящий момент, создаваемый силой 12 Н, равен τ = (12 Н * 0,1 м) k = (1,2 Нм) k .
    (Обратите внимание, что эта сила также применяется перпендикулярно плечу рычага.)
    Суммарный крутящий момент τ = -(3,55 Нм) k .

Второй закон Ньютона, когда применительно к вращательному движению утверждает, что крутящий момент равен произведение массы вращения или момент инерции I и угловое ускорение α .

крутящий момент = момент инерции × угловое ускорение
τ = I α

Момент инерции является мерой инерции вращения объекта.Это зависит от массы объекта и от того, как эта масса распределена относительно оси вращение. Чем дальше основная часть массы от оси вращения, тем больше инерция вращения (момент инерции) объекта. Момент инерции зависит от массы, и как она распределенный. это не зависит от того, какую силу или крутящий момент вы прикладываете. Если вы прикладываете больший крутящий момент к твердому объекту, вы получаете большее угловое ускорение, но момент инерции не меняется.

Момент инерции системы относительно оси вращения можно найти, умножив массу m на каждого частицы в системе на квадрат ее перпендикулярного расстояния r i от оси вращения, и суммируя все эти произведения, I = ∑m i r i 2 .

 

Проблема:

Четыре частицы на рисунке справа соединены жесткими стержнями. Начало находится в центре прямоугольника. Вычислите момент инерции системы относительно оси z.

Решение:

  • Рассуждение:
    Момент инерции I = ∑m i r i 2 . Здесь r i — перпендикулярное расстояние частицы i от ось Z.
  • Детали расчета:
    Каждая частица — это расстояние r = (9 + 4) ½ м = (13) ½ м от ось вращения.
    I = (3 кг + 2 кг + 4 кг + 2 кг)*13 м 2 = 143 кг м 2 .

Момент инерции объекта является мерой его сопротивления угловому ускорению. Из-за его инерции вам нужен крутящий момент, чтобы изменить угловую скорость. объект. Если на объект не действует чистый крутящий момент, его угловая скорость не изменится. Если он изначально не крутится, то и не начнет крутиться. Если он вращается с заданным угловая скорость, эта угловая скорость не изменится.Как его угловая скорость, так и ориентация его оси вращения останется прежней.

постоянная угловая скорость <--> без угловой ускорение <--> нет полезного крутящего момента

Когда на два объекта воздействует одинаковый крутящий момент, объект с большим моментом инерции имеет меньший угловой ускорение. Единицы момента инерции единицы массы, умноженной на квадрат расстояния, например кгм 2 .

Представьте себе два колеса одинаковой массы.Одно сплошное колесо с его масса равномерно распределена по всей конструкции, а другая имеет большая часть массы сосредоточена у края.

Колесо с массой у обода имеет больший момент инерция.

Момент инерции определяется относительно оси вращения.

Например, момент инерции круглого диска, вращающегося вокруг оси через его центр перпендикулярно плоскости диска отличается от момент инерции диска, вращающегося вокруг оси через центр в плоскости диска.

Ссылка: Список моментов инерции


Качели

Двое детей играют на качелях, раскачиваются взад-вперед. Центр качели зафиксированы. Поступательного движения нет. Мы наблюдаем вращение движение относительно центра. При движении качелей практически нет крутящий момент на качелях, и они вращаются с равномерной угловой скоростью. Вес каждого ребенка, умноженное на плечо рычага от центра до места, где сидит ребенок создает крутящий момент, но два крутящих момента имеют одинаковую величину и точку в противоположных направлениях и, следовательно, отменить.Если один ребенок тяжелее, он сидит ближе к центру, чем более светлый ребенок. Это уменьшает плечо рычага. В таким образом, разные веса могут создавать крутящие моменты одинаковой величины.

Когда ступни одного ребенка касаются пола, пол отталкивается и производит крутящий момент направлен противоположно угловой скорости. Этот крутящий момент уменьшит угловой скорости до нуля за короткий промежуток времени. Качели теперь остановлены. Затем ребенок отталкивается, а земля отталкивается назад.Направление крутящий момент остается прежним. Крутящий момент создает угловое ускорение, в результате чего с угловой скоростью, противоположной первоначальному направлению. качели достигает своей конечной угловой скорости, когда ребенок прекращает тужиться. Теперь он держит при вращении с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока ноги другого ребенка не коснутся пол.

Вращательное движение твердого тела

Легче открыть дверь, надавив на дальний от петель край, чем на середину.Интуитивно понятно, что величина приложенной силы и расстояние от точки приложения до шарнира влияют на склонность двери к вращению. Эта физическая величина, крутящий момент , есть t = r × F sin θ, где F — приложенная сила, r — расстояние от точки приложения до центра вращения, а θ — угол от р до F .

Подставьте второй закон Ньютона в определение крутящего момента с θ, равным 90 градусам (прямой угол между F и r ), и используйте соотношение между линейным ускорением и тангенциальным угловым ускорением, чтобы получить t = r F = rma = mr 2 ( a / r ) = mr 2 α.Величина mr 2 определяется как момент инерции точки массы относительно центра вращения.

Представьте себе два объекта одинаковой массы с разным распределением этой массы. Первым объектом может быть тяжелое кольцо, поддерживаемое распорками на оси наподобие маховика. Масса второго объекта могла быть близка к центральной оси. Несмотря на то, что массы двух объектов равны, интуитивно понятно, что маховик будет сложнее разогнать до большого числа оборотов в секунду, потому что не только количество массы, но и распределение массы влияет на легкость инициирования. вращения твердого тела.Общее определение момента инерции, также называемого вращательной инерцией, для твердого тела: 2 .

Моменты инерции для различных правильных форм показаны на рисунке 2.

Рисунок 2

Моменты инерции различных правильных форм.

Задачи механики часто включают как линейные, так и вращательные движения.

Пример 1: Рассмотрим рис. 3, где груз висит на веревке, намотанной на блок. Падающая масса (м) заставляет шкив вращаться, и больше нет необходимости требовать, чтобы шкив был безмассовым. Присвойте массу ( M ) шкиву и считайте его вращающимся диском с радиусом (R) . Каково ускорение падающего груза и каково натяжение веревки?

Рисунок 3

Подвешенная масса вращает шкив.

Уравнение силы для падающей массы: T мг = − мА . Натяжение каната — это сила, приложенная к краю шкива, которая заставляет его вращаться. Таким образом, t = I α, или TR = (1/2) MR 2 ( a /R), что сводится к T = (1/2) млн лет назад. , где угловое ускорение заменено на на /R, поскольку шнур не проскальзывает, а линейное ускорение бруска равно линейному ускорению обода диска.Объединение первого и последнего уравнения в этом примере дает

Решение:

Угловой момент — вращательный момент, который сохраняется таким же образом, как и линейный. Для твердого тела угловой момент (L) есть произведение момента инерции на угловую скорость: L = I ω. Для точки массы угловой момент может быть выражен как произведение количества движения на радиус ( r ): L = mvr . L измеряется в килограммах-метрах 2 в секунду или, чаще всего, в джоулях-секундах. Закон сохранения углового момента можно утверждать, что угловой момент системы объектов сохраняется, если на систему не действует внешний результирующий крутящий момент.

По аналогии с законом Ньютона (F = Δ( mv )/Δ t ) существует вращательный аналог для вращательного движения: углового момента.

Рассмотрим пример ребенка, который бежит по касательной к краю детской площадки со скоростью v o и прыгает, пока карусель находится в состоянии покоя. Единственными внешними силами являются сила тяжести и контактные силы, обеспечиваемые опорными подшипниками, ни одна из которых не вызывает крутящего момента, поскольку они не применяются для горизонтального вращения. Рассматривайте массу ребенка как точку массы, а карусель как диск с радиусом R и массой M .Из закона сохранения полный угловой момент ребенка до взаимодействия равен суммарному угловому моменту ребенка и карусели после столкновения: mrv o = mrv ′ + I ω, где r — радиальное расстояние от центра карусели до места удара ребенка. Если ребенок прыгает на край, (r = R) и угловую скорость ребенка после столкновения можно заменить линейной скоростью, mRv o = mR ( R ω )+(1/2) МР 2 .Если заданы значения масс и начальной скорости ребенка, можно рассчитать конечную скорость ребенка и карусели.

Отдельный объект может иметь изменение угловой скорости из-за сохранения углового момента, если изменяется распределение массы твердого тела. Например, когда фигуристка тянет вытянутые руки, ее момент инерции будет уменьшаться, вызывая увеличение угловой скорости. Согласно сохранению углового момента, I 8 O O 1) = I F F F 1) Где I O – момент инерции фигуристки с вытянутыми руками, I f – ее момент инерции с руками, прижатыми к телу, ω o – ее первоначальная угловая скорость, а ω f — ее конечная угловая скорость.

Кинетическая энергия вращения, работа и мощность. Кинетическая энергия, работа и мощность определяются в терминах вращения как K . E = (1/2) I ω 2 , W = t θ, P = t ω.

Сравнение уравнения динамики для линейного и вращательного движения. Динамические соотношения даны для сравнения уравнения поступательного и вращательного движения (см. табл. ).



10.

2 Кинематика вращательного движения – Колледж физики

Резюме

  • Соблюдать кинематику вращательного движения.
  • Вывести уравнения кинематики вращения.
  • Оцените стратегии решения проблем для вращательной кинематики.

Просто используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как величины вращения похожи и связаны друг с другом. Например, если колесо мотоцикла имеет большое угловое ускорение в течение достаточно долгого времени, оно быстро начинает вращаться и делает много оборотов.С технической точки зрения, если угловое ускорение колеса велико в течение длительного периода времени, то конечная угловая скорость и угол поворота велики. Вращательное движение колеса в точности аналогично тому факту, что большое поступательное ускорение мотоцикла дает большую конечную скорость, и пройденное расстояние также будет большим.

Кинематика — это описание движения. Кинематика вращательного движения описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем. Начнем с нахождения уравнения, связывающего и Чтобы определить это уравнение, вспомним известное кинематическое уравнение для поступательного, или прямолинейного, движения:

Обратите внимание, что при вращательном движении и далее мы будем использовать символ тангенциального или линейного ускорения. Как и в линейной кинематике, мы предполагаем, что оно постоянно, что означает, что угловое ускорение также является постоянным, потому что теперь давайте подставим и в линейное уравнение выше:

Радиус сокращается в уравнении, что дает

где – начальная угловая скорость.Это последнее уравнение представляет собой кинематическое отношение между и — то есть оно описывает их отношение без ссылки на силы или массы, которые могут воздействовать на вращение. Он также в точности аналогичен по форме своему трансляционному аналогу.

ВЫПОЛНЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ

Кинематика вращательного движения полностью аналогична поступательной кинематике, впервые представленной в главе 2 «Одномерная кинематика». Кинематика занимается описанием движения без учета силы или массы.Мы обнаружим, что поступательные кинематические величины, такие как перемещение, скорость и ускорение, имеют прямые аналоги во вращательном движении.

Начав с четырех уравнений кинематики, которые мы разработали в главе 2 «Одномерная кинематика», мы можем вывести следующие четыре уравнения кинематики вращения (представленные вместе с их эквивалентами поступательного движения):

В этих уравнениях нижний индекс 0 обозначает начальные значения ( и являются начальными значениями), а средняя угловая скорость и средняя скорость определяются следующим образом:

Уравнения, приведенные выше в таблице 2, могут быть использованы для решения любой вращательной или поступательной кинематической задачи, в которой и постоянны.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ВРАЩАТЕЛЬНОЙ КИНЕМАТИКЕ


  1. Изучите ситуацию, чтобы определить, задействована ли вращательная кинематика (вращательное движение) . Вращение должно быть задействовано, но без необходимости учитывать силы или массы, влияющие на движение.
  2. Определите, что именно нужно определить в задаче (идентифицируйте неизвестные) . Набросок ситуации полезен.
  3. Составьте список того, что дано или может быть выведено из заявленной проблемы (укажите известное) .
  4. Решите соответствующее уравнение или уравнения для определяемой величины (неизвестной) . Может быть полезно подумать в терминах поступательного аналога, потому что к этому моменту вы уже знакомы с таким движением.
  5. Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численное решение с единицами измерения . Обязательно используйте радианы для углов.
  6. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что он разумен: Имеет ли смысл ваш ответ ?

Пример 1: Расчет ускорения рыболовной катушки

Глубоководный рыбак ловит на крючок большую рыбу, которая уплывает от лодки, вытягивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в покое и леска разматывается с катушки на радиусе 4,50 см от ее оси вращения. Катушке придается угловое ускорение в течение 2,00 с, как показано на рисунке 1.

(а) Какова конечная угловая скорость катушки?

(b) С какой скоростью леска покидает катушку по истечении 2,00 с?

(c) Сколько оборотов делает катушка?

(г) Сколько метров лески за это время сорвется с катушки?

Стратегия

В каждой части этого примера используется та же стратегия, что и при решении задач линейной кинематики.В частности, идентифицируются известные значения, а затем ищется взаимосвязь, которую можно использовать для нахождения неизвестного.

Раствор для (а)

Вот и даются и нужно определить. Наиболее просто использовать уравнение, потому что неизвестное уже находится на одной стороне, а все остальные члены известны. Это уравнение утверждает, что

Нам также дано, что (начинается с покоя), так что

Раствор для (b)

Теперь, когда известно, скорость легче всего найти, используя соотношение

, где радиус барабана равен 4. 50 см; таким образом,

Еще раз обратите внимание, что радианы всегда должны использоваться при любых вычислениях, связанных с линейными и угловыми величинами. Кроме того, поскольку радианы безразмерны, у нас есть

Раствор для (с)

Здесь нас просят найти количество оборотов. Потому что мы можем найти количество оборотов, найдя в радианах. Нам дано и и мы знаем ноль, так что можно получить с помощью

Преобразование радианов в обороты дает

Раствор для (d)

Количество метров лески, которое можно получить благодаря его связи с

Обсуждение

Этот пример показывает, что отношения между вращательными величинами очень аналогичны отношениям между линейными величинами.Мы также видим в этом примере, как связаны линейные и вращательные величины. Ответы на вопросы реалистичны. После размотки в течение двух секунд обнаруживается, что катушка вращается со скоростью 220 рад/с, что составляет 2100 об/мин. (Неудивительно, что катушки иногда издают высокие звуки.) Длина вытянутой лески составляет 9,90 м, что примерно соответствует моменту поклевки крупной рыбы.

Рисунок 1. Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно. Пример 1 и пример 2 рассматривают отношения между вращательными и линейными величинами, связанными с рыболовной катушкой.

Пример 2. Расчет продолжительности замедления и остановки рыболовной катушки

Теперь давайте рассмотрим, что произойдет, если рыбак затормозит спиннинговую катушку, достигнув углового ускорения Сколько времени потребуется катушке, чтобы остановиться?

Стратегия

Нас просят найти время остановки барабана. Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка.Теперь мы видим, что начальная угловая скорость равна, а конечная угловая скорость равна нулю. Угловое ускорение принимается равным Изучая имеющиеся уравнения, мы видим все величины, но известны t , что облегчает использование этого уравнения.

Раствор

Уравнение утверждает

Мы решаем уравнение алгебраически для t , а затем, как обычно, подставляем известные значения, что дает

Обсуждение

Обратите внимание, что необходимо соблюдать осторожность со знаками, указывающими направления различных величин.Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда рвется из-за связанных с ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе немного поплавать, прежде чем затормозить катушку. Уставшая рыба будет двигаться медленнее, требуя меньшего ускорения.

Существует поступательное движение даже для чего-либо, вращающегося на месте, как показано в следующем примере. На рис. 2 показана муха на краю вращающейся плиты микроволновой печи.В приведенном ниже примере вычисляется общее расстояние, которое он проходит.

Рисунок 2. На изображении показана микроволновая плита. Муха совершает обороты, пока еда нагревается (вместе с мухой).

 

Проверьте свое понимание

1: Вращательная кинематика имеет много полезных взаимосвязей, часто выражаемых в форме уравнения. Являются ли эти отношения законами физики или они просто описательные? (Подсказка: тот же вопрос относится и к линейной кинематике.)

Задачи и упражнения

1: С помощью струны гироскоп разгоняется из состояния покоя до 32 рад/с в 0.40 с.

(a) Каково его угловое ускорение в рад/с 2 ?

(б) Сколько оборотов он совершает при этом?

2: Предположим, на компакт-диске оказалась пылинка. Если скорость вращения компакт-диска составляет 500 об/мин, а пылинка находится на расстоянии 4,3 см от центра, какое общее расстояние проходит пыль за 3 минуты? (Игнорировать ускорения из-за вращения компакт-диска.)

3: Гироскоп замедляется с начальной скоростью 32. 0 рад/с при скорости

(а) Сколько времени требуется, чтобы прийти в состояние покоя?

(б) Сколько оборотов он делает до остановки?

4: Во время очень быстрой остановки автомобиль замедляется на

(a) Каково угловое ускорение его шин радиусом 0,280 м, если предположить, что они не скользят по дорожному покрытию?

(b) Сколько оборотов сделают шины до остановки, если их начальная угловая скорость равна ?

(c) Через какое время автомобиль полностью остановится?

(г) Какое расстояние проедет автомобиль за это время?

(e) Какова была начальная скорость автомобиля?

(f) Являются ли полученные значения разумными, учитывая, что эта остановка происходит очень быстро?

Рис. 3. Йо-йо — это забавные игрушки, в которых реализована важная физика, и они разработаны для повышения производительности на основе физических законов. (кредит: Beyond Neon, Flickr)

5: Повседневное применение: предположим, что у йо-йо есть центральный стержень с радиусом 0,250 см, а шнур натягивается.

(a) Если струна неподвижна, а йо-йо ускоряется при удалении от нее со скоростью, равной угловому ускорению йо-йо?

б) Чему равна угловая скорость после 0.750 с, если он запускается из состояния покоя?

(c) Внешний радиус йо-йо составляет 3,50 см. Каково тангенциальное ускорение точки на ее ребре?

Глоссарий

кинематика вращательного движения
описывает отношения между углом поворота, угловой скоростью, угловым ускорением и временем
.

Решения

Проверьте свое понимание

1: Вращательная кинематика (точно так же, как и линейная кинематика) носит описательный характер и не представляет законов природы.С помощью кинематики мы можем с большой точностью описать многие вещи, но кинематика не рассматривает причины. Например, большое угловое ускорение описывает очень быстрое изменение угловой скорости без учета его причины.

Задачи и упражнения

1:

(а)

(б) 1.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.