Формула переменного тока: Переменный электрический ток. Активное, индуктивное, ёмкостное сопротивления.

Содержание

Переменный электрический ток. Активное, индуктивное, ёмкостное сопротивления.

Переменный электрический ток

Электромагнитные колебания, как и механические, бывают двух типов: свободные и вынужденные.

Свободные электромагнитные колебания, всегда колебания затухающие. Поэтому на практике они почти не используются. В то время, как вынужденные колебания используются везде и повсеместно. Ежедневно мы с вами можем наблюдать эти колебания.

Все наши квартиры освещены с помощью переменного тока. Переменный ток есть не что иное, как вынужденные электромагнитные колебания. Сила тока и напряжение будут меняться с течением времени согласно гармоническому закону. Колебания, например, напряжения можно обнаружить, если подать напряжение из розетки, на осциллограф.

На экране осциллографа появится синусоида. Можно вычислить частоту переменного тока. Она будет равняться частоте электромагнитных колебаний. Стандартная частота для промышленного переменного тока принята равной 50 Гц.

То есть за 1 секунду направление тока в розетке меняется 50 раз.

Изменение напряжения на концах цепи будет вызывать за собой изменение силы тока в цепи колебательного контура. Следует всё же понимать, что изменение электрического поля во всей цепи не происходит мгновенно. Но так как это время, значительно меньше, чем период колебания напряжения на концах цепи, то обычно считают, что электрическое поле в цепи сразу же меняется, как меняется напряжение на концах цепи.

Переменное напряжение создается генераторами на электростанциях. Простейшим генератором можно рассматривать проволочную рамку, которая вращается в однородном магнитном поле. 

Магнитный поток, пронизывающий контур, будет постоянно меняться и будет пропорционален косинусу угла между вектором магнитной индукции и нормалью к рамке. Если рамка вращается равномерно, то угол будет пропорционален времени.

Следовательно, магнитный поток будет изменяться по гармоническому закону:

Ф = BScos(ωt)

Скорость изменения магнитного потока, взятая с обратным знаком, согласно закону ЭМИ, будет равняться ЭДС индукции.

Ei = -Ф’ = Emsin(ωt).

Если к рамке подключить колебательный контур, то угловая скорость вращения рамки определит частот колебаний напряжения на различных участках цепи и силы тока. В дальнейшем мы будем рассматривать только вынужденные электромагнитные колебания.

Они описываются следующими формулами:

u = Umsin(ωt),

u = Umcos(ωt)

Здесь Um – амплитуда колебаний напряжения. Напряжение и сила тока меняются с одинаковой частой ω. Но колебания напряжения не всегда будут совпадать с колебаниями силы тока, поэтому лучше использовать более общую формулу:

I = Imsin(ωt +φ), где Im — амплитуда колебаний силы тока, а φ – сдвиг фаз между колебаниями силы тока и напряжения.

 Активное сопротивление

Рассмотрим следующую цепь.

Она состоит из источника переменного напряжения, соединительных проводов и некоторой нагрузки. Причем индуктивность нагрузки очень мала, а сопротивление R очень велико. Эту нагрузку мы раньше называли сопротивлением. Теперь будем называть её активным сопротивлением.

Сопротивление R называют активным, так как если в цепи будет нагрузка с таким сопротивлением, цепь будет поглощать энергию, поступающую от генератора. Будем считать, что напряжение на зажимах цепи подчиняется гармоническому закону:

U = Umcos(ωt).

Мгновенное значение силы тока можем вычислить по закону Ома, оно будет пропорционально мгновенному значению напряжения.

I = u/R = Umcos(ωt)/R = Imcos(ωt).

Сделаем вывод: в проводнике с активным сопротивлением разность фаз между колебаниями напряжения и силы тока отсутствует.

Действующее значение силы тока

Амплитуда силы тока определяется по следующей формуле:

Im = Um/R.

Среднее значение квадрата силы тока за период вычисляется по следующей формуле:

i2 = (Im)2/2.

Здесь Im есть амплитуда колебания силы тока. Если мы теперь вычислим квадратный корень из среднего значения квадрата силы тока, то получим величину, которая называется действующим значением силы переменного тока. 

Для обозначения действующего значения силы тока используется буква I. То есть в виде формулы это будет выглядеть следующим образом:

I = √(i2) = Im/√2.

Действующее значение силы переменного тока будет равно силе такого постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в рассматриваемом проводнике будет выделяться столько же теплоты, сколько и при переменном токе. Для определения действующего значения напряжения используется следующая формула.

U = √(u2) = Um/√2.

Теперь подставим действующие значения силы тока и напряжения, в выражение I

m = Um/R. Получим:

I = U/R.

Данное выражение является законом Ома для участка цепи с резистором, по которому течет переменный ток. Как и в случае механических колебаний, в переменном токе нас мало будут интересовать значения силы тока, напряжении в какой-то отдельный момент времени. Гораздо важнее будет знать общие характеристики колебаний — такие, как амплитуда, частота, период, действующие значения силы тока и напряжения. 

Кстати, стоит отметить, что вольтметры и амперметры, предназначенные для переменного тока, регистрируют именно действующие значения напряжения и силы тока.

Еще одним преимуществом действующих значений перед мгновенными является то, что их можно сразу использовать для вычисления значения средней мощности P переменного тока.

Для вычисления средней мощности используется следующая формула:

P = I2R = UI.

Отметим, что измерительные приборы (амперметры и вольтметры переменного тока) регистрируют именно действующие значения. Кроме того, номинальные значения напряжений и токов бытовых приборов также указываются как действующие значения. Так стандартное напряжение в цепи − 220 вольт есть действующее значение, а амплитудное значение этого напряжения равно


При изучении постоянного тока мы узнали, что он не может проходить в цепи, в которой есть конденсатор.

Так как конденсатор — это две пластины, разделенные слоем диэлектрика. Для цепи постоянного тока конденсатор будет, как разрыв в цепи. Если конденсатор пропускает постоянный ток, значит, он неисправен.

В отличии от постоянного переменный ток может идти и через цепь, в которой присутствует конденсатор.

Рассмотрим, как будет меняться сила тока в цепи, содержащей конденсатор, с течением времени. При этом будем пренебрегать сопротивлением соединяющих проводов и обкладок конденсатора.

рисунок

Напряжение на конденсаторе будет равняться напряжению на концах цепи. Значит, мы можем приравнять эти две величины.

u = φ12 = q/C,   u = Umcos(ωt).

Имеем:

q/C = Umcos(ωt).

Выражаем заряд:

q = CUmcos(ωt).

Видим, что заряд будет изменяться по гармоническому закону. Сила тока — это скорость изменения заряда. Значит, если возьмем производную от заряда, получим выражение для силы тока.

I = q’ = UmCωcos(ωt+π/2).

Разность фаз между колебаниями силы тока и заряда, а также напряжения, получилась равной π/2. Получается, что колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2. Это представлено на рисунке.


Из уравнения колебаний силы тока получаем выражение для амплитуды силы тока:

Im = UmCω.

Введем следующее обозначение:

Xc = 1/(Cω).

Запишем следующее выражение закона Ома, используя Xc и действующие значения силы тока и напряжения:

I = U/Xc.

Xc — величина, называемая емкостным сопротивлением.

Индуктивность в цепи переменного тока будет влиять на силу переменного тока.

Рассмотрим цепь, в которой есть только катушка индуктивности. При этом значение сопротивления катушки и соединительных проводов пренебрежимо мало. 

рисунок

Выясним, как будут связаны напряжение на катушке с ЭДС самоиндукции в ней. При сопротивлении катушки равном нулю, напряженность электрического поля внутри проводника тоже будет равна нулю. Равенство нулю напряженности возможно.


Напряженности электрического поля создаваемого зарядами Eк будет соответствовать такая же по модулю и противоположно направленная напряженность вихревого электрического поля, которое появится вследствие изменения магнитного поля.

Следовательно, ЭДС самоиндукции ei будет равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Следовательно:  e

i = -u.

Сила тока будет изменяться по гармоническому закону: I = Im sin(ωt).

ЭДС самоиндукции будет равна:  Ei = -Li’ = -Lω Im cos(ωt).

Следовательно, напряжение будет равно:  U = Lω Im cos(ωt) = Lω Im sin(ωt+ π/2).

Отсюда значение действующего напряжения будет равняться Um = Lω Im. Видим, что между колебаниями тока и напряжения получилась разность фаз равная π/2. Следовательно, колебания силы тока отстают от колебания напряжения на π/2. Это наглядно представлено на следующем рисунке.

рисунок

Im = Um/(ωL). Введем обозначение XL = ωL. Эта величина называется индуктивное сопротивление.

Конденсатор в цепи переменного тока

Если конденсатор включить в цепь постоянного тока, то такая цепь будет разомкнутой, так как обкладки конденсатора разделяет диэлектрик, и ток в цепи идти не будет. Иначе происходит в цепи переменного тока. Переменный ток способен течь в цепи, если она содержит конденсатор. Это происходит не из-за того, что заряды вдруг получили возможность перемещаться между пластинами конденсатора. В цепи переменного тока происходит периодическая зарядка и разрядка конденсатора, который в нее включен благодаря действию переменного напряжения.

Рассмотрим цепь на рис.1, которая включает конденсатор. Будем считать, что сопротивление проводов и обкладок конденсатора не существенно, напряжение переменного тока изменяется по гармоническому закону:

   

По определению емкость на конденсаторе равна:

   

Следовательно, напряжение на конденсаторе:

   

Из выражения (3), очевидно, что заряд на конденсаторе будет изменяться по гармоническому закону:

   

Сила тока равна:

   

Сравнивая законы колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока, видим, что колебания тока опережают напряжение на . Этот факт отражает то, что в момент начала зарядки конденсатора сила тока в цепи является максимальной при равенстве нулю напряжения. В момент времени, когда напряжение достигает максимума, сила тока падает до нуля.

В течение периода, при зарядке конденсатора до максимального напряжения, энергия, поступающая в цепь, запасается на конденсаторе, в виде энергии электрического поля. За следующую четверть периода данная энергия возвращается обратно в цепь, когда конденсатор разряжается.

Амплитуда силы тока (), исходя из выражения (5), равна:

   

Емкостное сопротивление конденсатора

Физическую величину, равную обратному произведению циклической частоты на емкость конденсатора называют его емкостным сопротивлением ():

   

Роль емкостного сопротивления уподобляют роли активного сопротивления (R) в законе Ома:

   

где – амплитудное значение силы тока; – амплитуда напряжения. Для емкостного сопротивления действующая величина силы тока имеет связь с действующим значением напряжения аналогичную выражению (8) (как сила тока и напряжение для постоянного тока):

   

На основании (9) говорят, что сопротивление конденсатора переменному току.

При увеличении емкости конденсатора растет ток перезарядки. Тогда как сопротивление конденсатора постоянному току является бесконечно большим (в идеальном случае), ёмкостное сопротивление конечно. С увеличением емкости и (или) частоты уменьшается.

Примеры решения задач

Индуктивность и емкость в цепи переменного тока

Изменения силы тока, напряжения и э. д. с. в цепи переменного тока происходят с одинаковой частотой, но фазы этих изменений, вообще говоря, различны. Поэтому если начальную фазу силы тока условно принять за нуль, то начальные фазы напряжения и э. д. с. соответственно будут иметь некоторые значения ϕ и ψ. При таком условии мгновенные значения силы тока, напряжения и э. д. с. будут выражаться следующими формулами:

i = Iм sin ωt,    (26.8)

u = Uм sin (ϕ + ωt),    (26.9)

e = Ɛm sin (ψ + ωt).    (26.10)

Сопротивление цепи, которое обусловливает безвозвратные потери электрической энергии на тепловое действие тока, называют активным. Это сопротивление для тока низкой частоты можно считать равным сопротивлению R этого же проводника постоянному току и находить по формуле (16.18):

R=(p0l/S)(1 + at).

В цепи переменного тока, имеющей только активное сопротивление, например в лампах накаливания, нагревательных приборах и т. п., сдвиг фаз между напряжением и током равен нулю, т. е. ϕ=0. Это означает, что ток и напряжение в такой цепи изменяются в одинаковых фазах, а электрическая энергия полностью расходуется на тепловое действие тока.

Включение в цепь переменного тока катушки с индуктивностью L проявляется как увеличение сопротивления цепи. Объясняется это тем, что при переменном токе в катушке все время действует э. д. с. самоиндукции, ослабляющая ток. Сопротивление XL, которое обусловливается явлением самоиндукции, называют индуктивным сопротивлением. Так как э. д. с. самоиндукции тем больше, чем больше индуктивность цепи и чем быстрее изменяется ток, то индуктивное сопротивление прямо пропорционально индуктивности цепи L и круговой частоте переменного тока ω:

ХL = ωL.              (26.11)

Влияние индуктивного сопротивления на силу тока в цепи наглядно иллюстрируется опытом, изображенным на рис. 26.6. При опускании ферромагнитного сердечника в катушку лампа гаснет, а при его удалении вновь загорается. Это объясняется тем, что индуктивность катушки сильно возрастает при введении в нее сердечника. Следует отметить, что напряжение на индуктивном сопротивлении опережает по фазе ток.

Постоянный ток не проходит через конденсатор, так как между его обкладками находится диэлектрик. Если конденсатор включить в цепь постоянного тока, то после зарядки конденсатора ток в цепи прекратится.

Пусть конденсатор включен в цепь переменного тока. Заряд конденсатора (q=CU) вследствие изменения напряжения непрерывно изменяется, поэтому в цепи течет переменный ток. Сила тока будет тем больше, чем больше емкость конденсатора и чем чаще происходит его перезарядка, т. е. чем больше частота переменного тока.

Сопротивление, обусловленное наличием электроемкости в цепи переменного тока, называют емкостным сопротивлением Хс. Оно обратно пропорционально емкости С и круговой частоте ω;

Хс = 1/ωС.       (26.12)

Из сравнения формул (26.11) и (26.12) видно, что катушки индуктивности представляют собой очень большое сопротивление для тока высокой частоты и небольшое для тока низкой частоты, а конденсаторы — наоборот. Напряжение на емкостном сопротивлении Ха отстает по фазе от тока.

Индуктивное XL и емкостное Хс сопротивления называют реактивными. В теории переменного тока доказывается, что при последовательном включении индуктивного и емкостного сопротивлений общее реактивное сопротивление равно их разности:

X = XL—XC        (26.13)

и имеет индуктивный характер при XL > Хс и емкостный характер при XL < Xc.

В заключение заметим, что средняя активная мощность переменного тока, показывающая, сколько энергии за единицу времени передается электрическим током данному участку цепи, определяется формулой:

P = IU cos ϕ.    (26.14)

Мощность, затрачиваемая только на тепловое действие тока, выражается формулой:

Р = I2R.              (26.15)

Из (26. 14) видно, что для увеличения активной мощности переменного тока нужно повышать cos ϕ. (Объясните, почему наибольшее значение cos ϕ имеет при XL=XC.)

09-й. Постоянный и переменный токи

      § 09-й. Постоянный и переменный токи

Мы завершаем изучение темы «Постоянный электрический ток». Тем не менее, в этом параграфе мы рассмотрим и переменный ток. С чем это связано? Причина в самих терминах «постоянный ток» и «переменный ток», названия которых не вполне удачны, поскольку могут трактоваться по-разному в физике и электротехнике: так сложилось исторически. Обратимся к определениям.

В физике постоянным током называют электрический ток, не изменяющийся по силе и направлению с течением времени. Графиком такого «истинно постоянного» тока должна быть прямая, параллельная оси времени (см. рис. «а»). Тем не менее, в электротехнике постоянным током считают ток, который постоянен только по направлению, но может меняться по силе. Такой ток можно получить «выпрямлением» синусоидального переменного тока, например, того, который существует в домашней осветительной сети (см. рис. «б»). В результате получается пульсирующий однонаправленный ток (см. рис. «в»).

В физике переменным током называют электрический ток, изменяющийся с течением времени: по силе и/или направлению. С точки зрения физики, «пульсирующий» ток на рисунке «в» является переменным, поскольку меняется по силе (оставаясь постоянным по направлению). Такой однонаправленный ток в электротехнике считают «постоянным», так как по своим действиям он похож на настоящий постоянный ток. Например, он будет пригоден для зарядки аккумуляторов, работы электродвигателей, проведения электролиза. Переменный по направлению ток для этих целей непригоден.

Примечание. Почему ток в электрических сетях является именно синусоидальным и меняет своё направление 100 раз в секунду, мы расскажем позднее (см. § 10-ж). А пока рассмотрим, как из него можно получить однонаправленный пульсирующий ток – «постоянный» с точки зрения электротехники. Другими словами, как «перебросить» нижние части синусоиды вверх, то есть преобразовать форму тока без потери мощности этого тока? Для этого служат различные приборы, один из которых – полупроводниковый диод, пропускающий через себя ток лишь в одном направлении (см. § 09-и).

Ниже на левой схеме показано включение двух диодов в цепь переменного тока. При этом верхние части синусоиды проходят через верхний диод (по направлению его «стрелочки»), а нижние части синусоиды не проходят через нижний диод (против его «стрелочки»). Таким образом получается пульсирующий однонаправленный ток, и ровно половина исходной мощности не попадает к потребителю, так как образуются «равнины» с нулевым значением силы тока. Для особо интересующихся физикой заметим, что точно такой же результат будет, если оставить только один диод, причём, любой.

На правой схеме показано включение четырёх диодов по так называемой мостовой схеме. Она более выигрышна по сравнению с предыдущей: диоды попарно пропускают как верхние, так и нижние части синусоиды соответственно к клеммам «+» и «–». В результате из исходного переменного тока, на графике кторого можно условно выделить «холмы и овраги», на графике получающегося однонаправленного тока образуются «не холмы и равнины», а «удвоенные холмы». Это означает, что теперь к потребителю попадает вся мощность исходного тока.

И в заключение рассмотрим, как к непостоянному току можно применить закон Джоуля-Ленца Q=I²Rt, описывающий тепловое действие тока. Как быть, если сила тока постоянно меняется? Нужно её заменить на условно-постоянную силу тока, которая производит такое же тепловое действие. Такое условно-постоянное значение силы тока в физике называют эквивалентным (эффективным, действующим) значением силы непостоянного тока.

Определение: эквивалентное значение непостоянного тока равно значению такого постоянного тока, который, проходя через то же сопротивление, выделяет в нём то же количество теплоты за то же время. Именно эквивалентное значение тока показывают нам все амперметры. Аналогично и по отношению к напряжению и вольтметрам. Итак, определить эквивалентные значения непостоянных токов позволяют калориметрические измерения (см. § 06-в).

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!