Бесконечно малые величины и их свойства: Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Содержание

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин

Свойства бесконечно малых величин представлены следующими теоремами.

Теорема 1. О связи между пределами и бесконечно малыми

a) Если переменная величина стремится к конечному пределу , то разность между нею и её пределом есть бесконечно малая величина .

б) Обратно, если переменная величина равна сумме некоторой постоянной величины и величины бесконечно малой, то эта постоянная величина есть предел переменной .

Теорема 2. О сумме бесконечно малых величин

Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой величиной.

Теорема 3. О произведении с бесконечно малой величиной

Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является величиной бесконечно малой.

Следствия теоремы:

  1. произведения бесконечно малых являются бесконечно малыми;
  2. произведение бесконечно малой и постоянной величины является величиной бесконечно малой;
  3. любая натуральная степень бесконечно малой — бесконечно малая.

Теорема 4. О связи бесконечно малых и бесконечно больших

Бесконечно большие функции и бесконечно малые связаны между собой равенством (при или при )

Обратное равенство справедливо, если при изменении бесконечно малой она не принимает значений, равных нулю:

Условно связи (4.1) и (4.2) можно выразить так: .

Свойства бесконечно больших величин рассматриваются как следствия теорем 2, 3, 4 о бесконечно малых.

  1. сумма бесконечно большой и постоянной (или ограниченной величины ) есть величина бесконечно большая;
  2. произведение бесконечно большой и постоянной (или бесконечно большой) — величина бесконечно большая.

Условно указанные свойства можно выразить так: ; ; ; . Иные случаи сочетания бесконечно больших и бесконечно малых функций, а именно, называются неопределенностями. Раскрытие неопределенностей — основная сложность при вычислении пределов.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

определение, свойства и примеры решения

Содержание:

Определение

Функция $\alpha(x)$ называется бесконечно малой функцией (б. м.ф.) при $x \rightarrow a$ (или в точке $x=a$ ), если $\lim _{x \rightarrow a} \alpha(x)=0$

Пример

Функция $y=x$ является бесконечно малой (б.м) функцией при $x \rightarrow 0$.

Основные свойства бесконечно малых функций

1 Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.

2 Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.

3 Произведение двух б.м функций есть функция б.м.

4 Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.

5 Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.

6 Функция $\frac{1}{\alpha(x)}$, обратная к б.м функции $\alpha(x) \neq 0$, есть функция бесконечно большая. Верно и обратное.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Доказать, что функция $\alpha(x)=(x+1) \cdot \operatorname{arctg}(x)$ является бесконечно малой в точке $x=-1$.

Доказательство. Из того, что $\lim _{x \rightarrow-1}(x+1)=-1+1=0$ делаем вывод, что функция $f(x)=x+1$ является б.м при $x \rightarrow-1$. Функция $g(x)=\operatorname{arctg}(x)$ является ограниченной: $-\frac{\pi}{2} \lt g(x) \lt \frac{\pi}{2}$. А тогда их произведение $\alpha(x)=f(x) g(x)$, согласно свойству №3, является функцией б.м.

Теорема

Пусть $b$ — предел функции $y=f(x)$ в точке $a$: $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=b$ . Тогда заданную функцию можно представить в виде $f(x)=b+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ — б.м функция. Верно и обратное утверждение.

Пример

Задание. Доказать, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Доказательство. Рассматриваемую функцию $f(x)=2 x+3$ представим в виде суммы предела этой функции — числа 5 и бесконечно малой функции $\alpha(x)=2(x-1)$ :

$f(x)=2 x+3=5+2 x+3-5=5+2 x-2=5+2(x-1)$

А тогда, по выше приведенной теореме, делаем вывод, что $\lim _{x \rightarrow 1}(2 x+3)=5$.

Читать дальше: сравнение бесконечно малых функций.

Сравнение бесконечно малых — презентация онлайн

Свойства эквивалентных бесконечно малых
1. Если a ( x ) ~ b ( x ) и b ( x ) ~ g ( x ) то a ( x ) ~ g ( x ) при x→x0
пропустить 3 клеточки
2. Сумма б.м. величин разного порядка малости эквивалентна слагаемому
низшего порядка малости.
пропустить 30 клеточек
3. При вычислении пределов произведения и частного б.м. величины
можно заменять их эквивалентами.
пропустить 15 клеточек
4. Критерий эквивалентности двух б.м.
Пусть a ( x ) и b ( x ) – б.м. при x→x0.
a ( x ) ~ b ( x ) ⇔ a ( x ) – b ( x ) = o( a ( x ) ) или o( b ( x ))
пропустить 30 клеточек

2. Пусть a ( x ) и b ( x ) б.м.ф. при x → x0. Рассмотрим

§ 7. Сравнение бесконечно малых
Пусть a ( x ) и b ( x ) б.м.ф. при x → x0. Рассмотрим
a ( x)
x x 0 b ( x)
lim
Опр. 33. a ( x ) и b ( x ) – б.м. одного порядка малости, если
a( x )
lim
A 0
x x0 b( x)
Опр.
34. a ( x ) – б.м. высшего порядка малости относительно b ( x ), если
a( x )
lim
0
x x0 b( x)
пишут: a ( x ) = o (b ( x )) или a ( x )
Опр. 35. a ( x ) – б.м. низшего порядка малости относительно b ( x ), если
a( x )
lim
x x0 b( x)
пишут: b ( x ) = o (a ( x )) или b ( x )
Опр. 36. Если
a( x )
, то a ( x ) и b ( x ) не сравнимы между собой
x x0 b( x)
lim
пропустить 10 клеточек
Теорема 6. Произведение б.м. a ( x ) и b ( x ) есть б.м. высшего
порядка малости по сравнению с каждым из сомножителей.
пропустить 5 клеточек
a ( x ) b ( x )
Опр. 37. Пусть a ( x ) и b ( x ) – б.м. при x → x0.
a ( x ) называется б.м. k — го порядка малости относительно b ( x ), если
0 k 1 a b
a( x)
lim k
A 0: 1 k a b
x x0 b ( x )
k 1 a и b одного порядком малости
Число k называется порядком малости
пропустить 20 клеточек

4. Опр. 38. Пусть f ( x ) и g ( x ) б.

б.ф. при x → x0. Рассмотрим Сравнение бесконечно больших функций. Эквивалентные
бесконечно большие
f ( x)
Опр. 38. Пусть f ( x ) и g ( x ) б.б.ф. при x → x0. Рассмотрим lim
x x 0 g ( x )
1. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются б.б. одного порядка
роста, если
lim
x x0
f ( x)
A 0
g ( x)
2. Б.б. f ( x ) – низшего порядка роста относительно g ( x ), если
lim
пишут: f ( x )
x x0
f ( x)
0
g ( x)
3. Б.б. f ( x ) – б.б. высшего порядка роста относительно g ( x ), если
lim
пишут: f ( x ) >> g ( x )
x x0
f ( x)
g ( x)
4. Б.б. f ( x ) и g ( x ) при x→x0 называются эквивалентными, если
пишут: f ( x ) ~ g ( x )
lim
x x0
f ( x)
1
g ( x)
Свойства
1. Сумма б.б. величин разных порядков эквивалентна слагаемому
высшего порядка роста.
2. При вычислении пределов произведения и частного б.б. величины
можно заменять их эквивалентами.
3. Произведение двух б.б.ф. имеет высший порядок роста
относительно каждого из сомножителей
§ 8. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Опр. 39. Функция, определенная на отрезке [ a, b ] и непрерывная в
каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке.
Свойства
Т. 1. (теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижении непрерывных на отрезке
функций своих точных границ)
Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем
своих точных верхней и нижней границы
Т. 2. (теорема Коши о промежуточном значении)
Пусть f ( x ) непрерывна на [ a, b ] и на концах отрезка f ( a ) ≠ f ( b ).
Тогда ∀C ∈ [ f ( a ), f ( b ) ] найдется хотя бы одна точка x ∈ [ a, b ] такая,
что f ( x ) = C.
Т. 3. (об обращении непрерывной функции в ноль)
Если функция f ( x ) непрерывна на [ a, b ] и на его концах принимает
значения разных знаков, то на [ a, b ] существует хотя бы одна точка x = x, в
которой f ( x ) обращается в ноль.

Бесконечно малая величина — Энциклопедия по экономике

Если в течение каждого базового периода денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины, то аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.  [c.293]


О д/Д х + Д у — бесконечно малая величина более высокого поряд-  [c.274]

Д> = (у — У о) — изменение второго фактора 0(j/Ax2 + Д>>2) — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем i/Лл 2 + Ау2.  [c.117]

О (t) — бесконечно малая величина по сравнению с «t».  [c.178]

Предельный анализ оперирует бесконечно малыми величинами, поэтому термин «единица» здесь применяется лишь условно.  [c.273]

Поток требования называется ординарным, если вероятность того, что появится больше одного требования за бесконечно малый промежуток времени t, есть бесконечно малая величина.  [c.270]

Выполнение первого условия (1.105) достаточно, чтобы существовала достаточно малая постоянная 2 >0 такая, что при ys e(0, 2) имеет место /s(Ys>0)(OjO), что следует из добавления к обеим частям (1.102) величины /5 (0,0) и изменения левой части на бесконечно малую величину O(ys). Последнее соотношение с учетом обозначения (1.107) принимает вид  [c.75]

Из высшей математики известно, что произведение ограниченной переменной (ЛО и бесконечно малой величины (е) есть величина бесконечно малая, и поэтому выражением е х N можно практически пренебречь [98]. Из выражения (4.13) следует, что сумма остатков товарно-материальных ценностей на предприятии на любой день года соответствует сумме их средних значений. Полученный математический вывод следует из известного в теории вероятностей положения, что при некоторых сравнительно широких условиях (в нашем случае при большом количестве рассматриваемых марок МР. — Авт.) суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин (в нашем случае остатков товарно-материальных ценностей. — Авт. ) почти утрачивает случайный характер и становится закономерным [16, с. 101].  [c.155]


Бесконечно малая величина 63  [c.63]

Бесконечно малая величина  [c.63]

Определение. Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.  [c.63]

V Пример 1. Функция ж2 — 4 есть бесконечно малая величина при х —> 2 и при х — —2. При х —> 1 та же функция не является бесконечно малой, ибо ее предел равен —3. А  [c.63]

V Пример 2. Функция sin х есть бесконечно малая величина при х —> 0 и при х —> тт. При х —> тг/2 та же функция не является бесконечно малой, так как ее предел равен 1. А  [c.63]

Из определения бесконечно малой величины следует, что утверждения число b есть предел величины у и разность у — b есть бесконечно малая величина равнозначны.  [c.63]

Из постоянных величин лишь нуль является бесконечно малой величиной.  [c.63]

Основные свойства бесконечно малых величин  [c. 63]

Сумма двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.  [c.63]

Это свойство и для трех, четырех и вообще любого неизменного числа слагаемых бесконечно малых величин. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением  [c.63]

Произведение ограниченной величины на бесконечно малую величину есть бесконечно малая величина.  [c.64]

В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.  [c.64]

Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю, есть бесконечно малая величина.  [c.64]

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Из определений бесконечно большой и бесконечно малой величин следует, что если у — бесконечно большая  [c.64]

Более того, предел отношения двух бесконечно малых величин является неопределенной величиной -. В зависимости от того, какие конкретные бесконечно малые рассматриваются, этот символ может быть равен произвольному числу, или символу бесконечности. Действительно, вычислим следующие пределы отношения бесконечно малых  [c.65]

Если отношение двух бесконечно малых величин стре-  [c.65]


Поскольку утверждения число 6 есть предел величины у и разность у — b есть бесконечно малая величина равнозначны, то величины  [c.69]

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.  [c.224]

Эта формула действительно справедлива. Рассуждения ученых были качественно верными. Однако термин бесконечно малая величина не был ими достаточно четко определен, что приводило к противоречиям. Поэтому по форме такие рассуждения в современной математике считаются неприемлемыми 1) и заменяются доказательствами, основанными на теории предела.  [c.250]

Непрерывные случайные переменные — это такие случайные переменные, которые могут принимать бесконечное количество значений. Например, скорость, время, расстояние, рентабельность активов. Единица измерения может здесь представлять собой бесконечно малую величину. Для примера рассмотрим доход от какой-либо ценной бумаги. Как мы выше уже отметили, это доходность — непрерывная случайная величина. Количество возможных значений доходности может быть бесконечно велико. Например, изменение цены актива со 105 единиц до 109 даст доходность, равную 3,8% или 3,81%, или 3,8095% в зависимости от количества знаков после запятой, допускаемого нами при измерении доходности. В этих обстоятельствах нет никакого смысла в попытках нахождения вероятности значения доходности равной, скажем, 3,81%. Имеет смысл только нахождение вероятности того, что случайная переменная примет значение на каком-то определенном интервале, скажем, между 3,81% и 3,82%.  [c.181]

Альтернативой расточительных расходов служит низкая входная цена на товар. Пусть средние издержки товара высокого и низкого качества соответственно составляют A i, и АСо. Чтобы сигнализировать о высоком качестве товара, продавец должен выбрать такую ценовую стратегию, которой невыгодно было бы придерживаться продавцу товара низкокачественного. В противном случае покупатель не сможет разграничить продавцов товаров разного качества, и цена не будет служить сигналом высокого качества товара. Если готовность покупателя платить за товар низкого качества равна нулю, продавец товара низкого качества никогда не назначит на свой товар цену ниже средних издержек, так как однократная продажа приведет к отказу покупателей от повторных покупок, и продавец не сможет компенсировать полученные убытки. Напротив, производитель высококачественного товара при определенных условиях может, реализовав товар при входе на рынок по низкой цене (или даже раздав его бесплатно) в будущем компенсировать убытки, продавая товар уже по цене, равной q — максимальной готовности покупателя платить за товар высокого качества. Таким образом, максимальная цена, которую может назначить при входе на рынок продавец товара высокого качества, стремящийся предоставить покупателю сигнал о качества, должна быть ниже средних издержек производства товара низкого качества Р = АС0 — (где s — бесконечно малая величина). Если фирма не осуществляет расточительных расходов, низкая, а не высокая цена служит сигналом о качестве товара.  [c.91]

Условие d цены товаров обеих фирм вырастут на бесконечно малую величину s, объем спроса на оба товара сократится. Условие а > A (b-d) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут положительными.  [c.146]

Найдем минимальное значение PI при котором второй фирме выгодно подрезать цену. Пренебрегая бесконечно малой величиной, условие  [c.148]

Количество полезности соответствует количеству произведенного удовольствия. Но продолжение одинакового приложения полезного предмета к чувствам или желаниям в обычном случае не даст одинаковых количеств удовольствия. Каждая страсть или чувство более или менее быстро насыщается. Когда получено определенное количество предмета, дальнейшее количество нам безразлично или даже может вызвать отвращение. Каждое последующее приложение будет обыкновенно вызывать чувства менее интенсивные, чем предыдущее приложение. Тогда полезность последней доли предмета обычно уменьшается в некоторой пропорции или как некоторая функция от всего полученного количества. Поскольку это изменение теоретически существует даже в самых малых количествах, мы должны дойти до бесконечно малых величин, а то, что мы будем называть коэффициентом полезности,— это отношение последнего приращения или бесконечно малой доли предмета к приращению удовольствия, которое она вызывает, и то и другое, конечно, должно быть выражено в соответствующих единицах.  [c.72]

Закон тенденции нормы прибыли к понижению сформулирован К. Марксом в 3-м томе Капитала . Суть заема сводится к следующему. Капиталист стремится к наращиванию нормы прибыли, а потому вынужден внедрять в производство все более совершенную технику, что приводит к повышению производительности труда. Если он не будет делать этого, то окажется неконкурентоспособен и разорится. Но рост производительности труда вызывает повышение органического строения капитала, т. е. технической оснащенности производства. Отсюда делается вывод доля живого труда (единственного, по мнению Маркса, созидателя прибавочной стоимости и прибыли) уменьшается в общих затратах капитала и следовательно, снижается прибыль. Современная экономическая наука оспаривает это положение на том основании, что, во-первых, тенденция нормы прибыли к понижению не может быть подтверждена конкретными цифровыми материалами и, во-вторых, если бы норма прибыли постоянно снижалась, то этот показатель мог быть доведен до бесконечно малой величины, при которой производство лишилось бы мотива существования.  [c.203]

Исключение составляет так называемый нестандартный (или неархиме-дов) анализ, зародившийся в 60-х гг. XX в., где вводится четкое определение бесконечно малой величины как некоего гипердействительного числа.  [c. 250]

По своей природе аппроксимации обычно имеют силу только на протяжении офаниченных интервалов значений аргумента (у — в данном случае). Мы свободны выбирать любую точку для аппроксимации /, обозначим ее у. Выбрав точку, зафиксируем ее и рассмотрим точки, которые влекут за собой бесконечно малые изменения у, скажем, у + h. Здесь h является бесконечно малой величиной и может быть отрицательной. Таким образом, h — это переменная.  [c.137]

В сфере производства каждого продукта / ремонтируемую действующую технику расположим в порядке возрастания удельных капитальных затрат на ремонт и СПР. При этом для непрерьюной зависимости удельной СПР от годового объема производства продукции на ремонтируемой технике примем, что удельная СПР монотонно возрастает с ростом годового выпуска продукции на ремонтируемой технике, т. е выпуск каждой последующей единицы продукта на ремонтируемой технике требует больших затрат, чем предыдущей. Эта зависимость условна, так как предполагает мощности ремонтируемой техники бесконечно малой величины.  [c.15]

Исключение из плана ранее созданной техники, находящейся в точке MU- ряда ранжирования, снизит текущие издержки годового производства продукта г на ранее созданной технике на величину Щ(Ми(). Если взамен исключенной техники в ппан будет включена лучшая невключенная в оптимальный план ранее созданная техника, то текущие издержки годового производства продукта возрастут на величину текущих издержек производства этого продукта на замыкающей технике up (по условию у лучшей невключенной в план техники текущие издержки отличаются от текущих издержек на замыкающей технике на бесконечно малую величину). В результате такой замены текущие издержки производства продукта увеличатся на разницу между текущими издержками замыкающей и исключаемой техники. На такую же величину возрастет и вся функция цели, так как остальные параметры плана не изменяются в результате такой замены. Эта разница и характеризует оценку оптимального плана техники т г-, находящейся в точке Ми. ряда ранжирования  [c. 39]

Бесконечно малые функции

Бесконечно малые функции.

 

 

            Определение.  Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

            Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

 

            Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. .

 

            Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x),

где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

 

            Свойства бесконечно малых функций:

 

1)      Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

2)      Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.

3)      Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.

4)      Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

 

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

 

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const,  a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

 

 

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где

, тогда

A×B = const,  a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

 

 

Бесконечно большие функции и их связь с

бесконечно малыми.

 

            Определение. Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx — aï < D

 

Записывается .

 

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

 

 

 

 

 

                      a                        x                    a                        x                     a                         x

 

 

 

 

 

 

            Определение. Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

 

            Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

 

            Теорема. Если f(x)®0 при х®а (если х®¥ ) и не обращается в ноль, то

 

 

Сравнение бесконечно малых функций.

 

            Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

            Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

 

 

Бесконечно малая и бесконечно большая

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (пределу которой равен) нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, стремящаяся к (предел которой равен) бесконечности определённого знака.

В нестандартном анализе бесконечно малые и бесконечно большие определяются не как последовательности и не как переменные величины, а как особый вид чисел.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность an{\displaystyle a_{n)) называется бесконечно малой, если limn→∞an=0{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}. Например, последовательность чисел an=1n{\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n))} — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0{\displaystyle x_{0)), если limx→x0f(x)=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0))f(x)=0}.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0} либо limx→−∞f(x)=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}.

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если limx→+∞f(x)=a{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a}, то f(x)−a=α(x){\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}, limx→+∞(f(x)−a)=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}.

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении x{\displaystyle x} к a{\displaystyle a} (из limx→af(x)=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0})] делается меньше произвольного числа (ε{\displaystyle \varepsilon }). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.[1]

Бесконечно большая

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsin⁡x{\displaystyle x\sin x}, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty }.

Последовательность an{\displaystyle a_{n)) называется бесконечно большой, если limn→∞an=∞{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty }.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0{\displaystyle x_{0)), если limx→x0f(x)=∞{\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0))f(x)=\infty }.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=∞{\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty } либо limx→−∞f(x)=∞{\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty }.

Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

Свойства бесконечно малых

  • Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
  • Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
  • Если an{\displaystyle a_{n)) — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то bn=1an{\displaystyle b_{n}={\dfrac {1}{a_{n)))) — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же x→a{\displaystyle x\to a} величины α(x){\displaystyle \alpha (x)} и β(x){\displaystyle \beta (x)} (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности). {2}+6x).}

Эквивалентные величины

Определение

Если limx→aβα=1{\displaystyle \lim \limits _{x\to a}{\dfrac {\beta }{\alpha ))=1}, то бесконечно малые или бесконечно большие величины α{\displaystyle \alpha } и β{\displaystyle \beta } называются эквивалентными (обозначается как α∼β{\displaystyle \alpha \thicksim \beta }).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

При α(x)→x→x00{\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0))]{))0} справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

1+α(x)n≈α(x)n+1{\displaystyle {\sqrt[{n}]{1+\alpha (x)))\approx {\frac {\alpha (x)}{n))+1}, где α(x)→x→x00{\displaystyle \alpha (x){\xrightarrow[{x\to x_{0))]{))0}.

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Примеры использования

  • Найти limx→0sin⁡2xx.{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x)).}
Заменяя sin⁡2x{\displaystyle \sin 2x} эквивалентной величиной 2x{\displaystyle 2x}, получаем
limx→0sin⁡2xx=limx→02xx=2.{\displaystyle \lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {\sin 2x}{x))=\lim \limits _{x\to 0}{\dfrac {2x}{x))=2.}
  • Найти limx→π2sin⁡(4cos⁡x)cos⁡x.{\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2))}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x)).}
Так как sin⁡(4cos⁡x)∼4cos⁡x{\displaystyle \sin(4\cos x)\thicksim {4\cos x)) при x→π2{\displaystyle x\to {\dfrac {\pi }{2))} получим
limx→π2sin⁡(4cos⁡x)cos⁡x=limx→π24cos⁡xcos⁡x=4.{\displaystyle \lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2))}{\dfrac {\sin(4\cos x)}{\cos x))=\lim \limits _{x\to {\frac {\pi }{2))}{\dfrac {4\cos x}{\cos x))=4.}
  • Вычислить 1,2{\displaystyle {\sqrt {1{,}2))}.
Используя формулу: 1,2≈1+0,22=1,1{\displaystyle {\sqrt {1{,}2))\approx 1+{\frac {0{,}2}{2))=1{,}1}, тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: 1,2≈1,095{\displaystyle {\sqrt {1{,}2))\approx 1{,}095}, таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

История

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (положительной) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращённым названием «Аналитик». Полное его название: «Аналитик или рассуждение, обращённое к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры». «Аналитик» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?.. И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины?.. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришёл к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Как ни странно, некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс. В настоящее время термин «бесконечно малая» математики в подавляющем большинстве случаев относят не к числам, а к функциям и последовательностям.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа. С появлением нестандартного анализа стало ясно, почему математики XVIII века, выполняя незаконные с точки зрения классической теории действия, тем не менее получали верные результаты.

См. также

Примечания

  1. ↑ Бесконечно малые и бесконечно большие величины // Справочник по математике (для ср. уч. заведений)/ Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд.  — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 337—340. — 480 с.

Литература

В статье не хватает ссылок на источники.Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 11 ноября 2012 года.

Решение высшей математики онлайн


‹— Назад В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.         Определение 2.9   Функция называется бесконечно малой величиной при базе , если её предел при данной базе равен 0, то есть .    

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база ; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

        Пример 2.8   Рассмотрим функцию . При базе эта функция является бесконечно малой, а при базе  — не является.

Рис.2.16.График функции

Проверим это. Покажем, что . Возьмём произвольное и решим неравенство . Оно эквивалентно неравенству . Получаем ; это означает, что при , где , неравенство выполняется, то есть . Мы показали, что  — бесконечно малая при .

Теперь покажем, что , то есть что эта величина не является бесконечно малой при . Возьмём и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство . Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству , то есть при попадание в -окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства . Это означает, что .     

Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

        Доказательство.     Согласно определению предела, равенство означает, что для любого можно найти такое окончание , что

при всех (2.1)

Условие означает, что для любого можно найти такое окончание , что
при всех    

Но это, очевидно, то же, что формула (2. 1).     

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

        Доказательство.    Пусть фиксировано некоторое число . Рассмотрим положительное число . Условие означает, что найдётся такое окончание , на котором меньше этого положительного числа: при всех .

Точно так же, условие означает, что найдётся такое окончание , на котором при всех . По определению базы, она содержит некоторое окончание . Так как  — часть как , так и , то оба неравенства выполняются при . Тогда при будет

Итак, при произвольно заданном мы предъявили такое окончание , на котором выполняется неравенство . Это означает, что , то есть что  — бесконечно малая при базе .     

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

        Доказательство.     Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции5 по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для слагаемых; это означает, что величина бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для слагаемых. По условию бесконечно мала также величина и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых . Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых .     

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

        Предложение 2.1   Пусть при данной базе две функции и являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

        Доказательство.     Из условия следует, что при и при , где  — некоторые постоянные и  — некоторые окончания базы . Возьмём окончание ; при будут выполнены оба неравенства и, следовательно,

Это означает, что постоянная служит ограничивающей постоянной для произведения на окончании , то есть это произведение локально ограничено при базе .     

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция локально ограничена при базе , но не является ограниченной функцией при всех . Если в качестве базы рассматривается , то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки .

        Теорема 2.6   Пусть функция имеет предел при базе . Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

        Доказательство.     Пусть ; это означает, что при любом (возьмём, например, ) найдётся такое окончание базы , что для любого . Тем самым, при выполнено двойное неравенство .

Выберем из двух чисел и число с большей абсолютной величиной и обозначим его : . Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что ; это означает, что функция локально ограничена.     

В частности, локально ограничены при базе все бесконечно малые при базе , так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).

        Пример 2.12   Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию и базу . Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную и окончание базы , тогда при всех . Однако не имеет предела при : какое бы окончание ни взять, при значения многократно изменяются от до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел не существует: докажите, что при нельзя указать окончания базы , при всех из которого при некотором выполнялось бы неравенство . Такое окончание должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал. )

Поскольку предела при не существует, то если сделать замену , получится, что предел также не существует. График функции представлен на следующем рисунке.

Рис.2.18.График

График совершает бесконечно много колебаний при подходе к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида , , значения, равные , — в точках вида , , а значения, равные 0, — в точках вида , .     

Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

        Доказательство.     Так как локально ограничена при базе , то при некотором и всех из некоторого окончания базы . Фиксируем произвольное число и рассмотрим положительное число . Так как  — бесконечно малая при базе , то найдётся такое окончание , что при всех выполняется неравенство . Рассмотрим теперь некоторое окончание . (Такое окончание существует по определению базы.) Так как  — часть как , так и , то при выполняются одновременно неравенства и , из которых следует, что при всех . Так как число было выбрано произвольно, это означает, что функция является бесконечно малой при базе .     

        Доказательство.     Достаточно заметить, что локально ограничена при базе и сослаться на предыдущую теорему.     

        Доказательство.     Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2. 1.     

        Замечание 2.1   Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании базы и бесконечно малых при этой базе , имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.    

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

История, свойства, использование и часто задаваемые вопросы

Определение бесконечно малого в математике звучит так: «Величины, которые ближе к нулю, чем любое стандартное действительное число, но не равны нулю, являются бесконечно малыми».

Бесконечно малые числа не существуют в традиционной системе действительных чисел, но они существуют во множестве других систем, включая нереальные и гипердействительные числа, которые представляют собой действительные числа, дополненные системой бесконечно малых величин, и бесконечные величины, являющиеся обратными величинами. из бесконечно малых.

На изображении ниже представлены бесконечно малые и бесконечности на гиперреальной числовой прямой.

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Определить бесконечно малый

Бесконечно малый — это синоним слова бесконечно малый, который означает «очень, очень маленький», или «чрезвычайно маленький», или «исчезающе малый», или «меньше, чем что-либо». .

Бесконечно малый объект — это объект меньше любого измеримого размера, но не настолько малый или малый, чтобы имеющиеся средства не могли отличить его от нуля.Следовательно, «бесконечно малый» означает «бесконечно малый» или меньше, чем любое стандартное число действительного числа, когда используется в качестве математического прилагательного. Бесконечно малые числа часто сравнивают с другими бесконечно малыми аналогичными размерами в качестве производных, чтобы придать им смысл. Бесконечные числа суммируются вместе, чтобы получить интеграл.

Infinitesimalmente — это испанское слово, обозначающее бесконечно малые числа.

История бесконечно малых

  • Использование бесконечно малых величин позволило понять, что, хотя эти сущности бесконечно малы, они все же могут сохранять некоторые специфические свойства, такие как угол или наклон.

  • Использование термина «бесконечно малый» в предложении было взято из современной латинской чеканки «infinitesimus», датируемой 17 веком, в которой первоначально упоминался термин «бесконечный-й». Бесконечно малые числа являются ключевым компонентом процедур исчисления бесконечно малых величин Лейбница, включая закон непрерывности и закон трансцендентной однородности.

  • Первоначально Николаус Меркатор или Готфрид Вильгельм Лейбниц ввели понятие бесконечно малых примерно в 1670 году.

  • В своей работе «Метод механических теорем» Архимед использовал то, что впоследствии стало называться неделимым методом, для определения площадей областей и твердых объемов.

  • Архимед решил ту же задачу методом исчерпывания в своих официально опубликованных трактатах. Работа Николая фон Куза, получившая дальнейшее развитие Иоганна Кеплера в 17 веке, особенно в расчете площади круга как многоугольника с бесконечными гранями, была замечена в 15 веке.

  • Саймон Стевин подготовил основу для реального континуума в работе над десятичным представлением всех чисел в 16 веке.

  • Единый подход Бонавентуры Кавальери привел к расширению результатов классических авторов. Метод неделимых геометрических фигур как составленных из одномерных объектов 1.

  • Бесконечно малые Джона Уоллиса отличаются от неделимых тем, что он разлагает геометрические фигуры на бесконечно тонкие строительные блоки, имеющие ту же размерность, что и фигура. подготавливает основы общих методов интегральных вычислений.

  • Использование Лейбницем бесконечно малых величин зависит от эвристических принципов, таких как закон непрерывности: то, что подходит для конечных чисел, следует также и для бесконечных, и наоборот; и трансцендентный закон однородности, устанавливающий способы пополнения выражений неожиданным количеством, только присваиваемыми выражениями.

  • Такие математики, как Леонард Эйлер и Жозеф-Луи Лагранж, в 18 веке постоянно использовали бесконечно малые числа. Бесконечно малые числа использовались как Огюстеном-Луи для определения непрерывности в его курсе анализа, так и для определения ранней формы функции дельты Дирака.

  • Когда Кантор и Дедекинд разработали более абстрактные версии континуума Стевина, Поль дю Буа-Реймон опубликовал ряд статей, основанных на функциональных скоростях роста в бесконечно мало обогащенном континууме.

  • Работы Дюбуа-Реймона вдохновили как Эмиля Бореля, так и Торальфа Скулема. Борель явно связал работу дю Буа-Реймона с работой Коши о бесконечно малых темпах роста.

  • Первые нестандартные арифметические модели были разработаны Сколемом в 1934 году.

  • В 1961 году Авраам Робинсон, нестандартный анализ, основанный на более ранней работе Эдвина Хьюитта в 1948 году и Ежи Лоша в 1955 году, достиг математической реализации как закона непрерывности, так и закона бесконечно малых.

  • В конце 19 века, как документирует Филип Эрлих, математическое исследование бесконечно малых систем продолжалось через Леви-Чивиту, Джузеппе Веронезе, Поля дю Буа-Реймона и так далее.

  • Бесконечно малое можно использовать в качестве основы для расчетов и анализа в 20 веке.

Свойства первого порядка бесконечно малых

Чтобы распространить действительные числа на бесконечные и бесконечно малые величины, обычно остается оставаться максимально консервативным, не изменяя их основных свойств. Это гарантирует, что наилучшее возможное количество знакомых результатов по-прежнему доступно. Обычно фундаментальный означает, что измеряются не наборы, а только элементы.

Поскольку целью является построение неархимедовой системы, принцип Архимеда может быть выражен через множества.Эта расширенная схема нумерации не может согласовываться с фактическими данными по всем свойствам, которые могут быть выражены через наборы путем количественного определения.

Мы можем различать три уровня, на которых неархимедова система счисления может иметь совместимые свойства первого порядка с действительными: в упорядоченном поле.

  • Реальное замкнутое поле обладает всеми свойствами первого порядка фактической системы счисления для утверждений, включающих основные команды +, , и , независимо от того, воспринимаются ли они обычно как аксиомы.Это сильнее, чем соблюдение аксиом упорядоченного поля. В частности, существуют дополнительные характеристики первого порядка, такие как существование корня для каждого необычного многочлена.

  • Система может иметь все свойства первого порядка реальной системы для объявлений, включающих любые отношения, независимо от того, могут ли эти отношения быть выражены с помощью +, x и ≤.

  • Использование бесконечно малых чисел в различных числовых рядах

    Здесь давайте рассмотрим применение бесконечно малых чисел в различных числовых рядах.

    Ряд Лорана комплексной функции f(z) представляет собой представление этой функции в виде степенного ряда, содержащего члены отрицательной степени. Там, где расширение ряда Тейлора невозможно, его можно использовать для выражения сложных функций. Ряд Лорана только с постоянным членом 1 известен как действительное число 1, а ряд Лорана только с линейным членом x известен как простейший бесконечно малый, из которого строятся другие бесконечно малые. Поскольку простой бесконечно малый x не имеет квадратного корня, эти бесконечно малые числа имеют другие свойства первого порядка, чем вещественные числа.{n}\]

    Где a\[_{n}\] и c — константы.

    Поле Леви-Чивиты — это неархимедово упорядоченное поле, состоящее из бесконечной и бесконечно малой системы счисления. Поле Леви-Чивиты алгебраически замкнуто, подобно ряду Лорана. Хотя эта область достаточно велика для обширных исследований, ее элементы все же могут быть представлены на компьютере так же, как действительные числа могут быть представлены в виде чисел с плавающей запятой.

    Сюрреалистическая система счисления — это полностью упорядоченный собственный класс, который включает действительные числа, а также бесконечные и бесконечно малые числа, которые по модулю больше или меньше любого положительного действительного числа.Сюрреалисты имеют много общих свойств с реальными числами, например, способность выполнять стандартные арифметические операции, в результате чего они образуют упорядоченное поле.

    Гипердействительная система счисления — это метод работы с бесконечными и бесконечно малыми величинами. Обратные величины гиперреальных чисел бесконечно малы, а сами гипердействительные числа бесконечны. Для любого конечного числа терминов гиперреальные или нестандартные действительные числа R являются расширением действительных чисел R, которое включает в себя числа, большие, чем что-либо в форме 1+1+1+……..+1.

    Сверхдействительные числа — это класс расширений действительных чисел, которые в основном представляют интерес для нестандартного анализа, теории моделей и изучения банаховых алгебр. Они являются обобщением гиперреальных чисел. Сюрреалистические числа — это подполе поля сверхреальных чисел.

    • Гладкий инфинитезимальный анализ

    Гладкий инфинитезимальный анализ — это современная переформулировка исчисления в бесконечно малых терминах. Он считает все функции непрерывными и непостижимыми с точки зрения дискретных сущностей.Это раздел синтетической дифференциальной геометрии как теории.

    Заключение

    Здесь мы изучали бесконечно малый смысл, историю бесконечно малых чисел, свойства бесконечно малого первого порядка, применение бесконечно малого в другой системе счисления. В математике бесконечно малым называется величина, которая меньше нуля, но не равна ей. Многие ранние попытки объяснить исчисление основывались на сомнительных рассуждениях о бесконечно малых величинах, производные определялись как предельные отношения бесконечно малых величин, а интегралы вычислялись путем суммирования прямоугольников бесконечно малой ширины, несмотря на то, что в реальной системе счисления таких величин не существует.Как следствие, исчисление бесконечно малых первоначально применялось к дифференциальному и интегральному исчислению. Когда были установлены строгие определения предела, непрерывности и действительных чисел, эта терминология исчезла.

    Использование бесконечно малых

    Функция α ( x ) называется бесконечно малой или бесконечно малой, поскольку x a , если

    \[\lim\limits_{x \to a} \alpha \left( x \right) = 0.\]

    Пусть α ( x ) и β ( x ) будут двумя бесконечно малыми функциями, как x a .

    • Если \(\lim\limits_{x \to a} {\frac{{\alpha \left( x \right)}}{{\beta \left(x \right)}}} = 0,\) тогда мы говорим, что функция α ( x ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем β ( x );
    • Если \(\lim\limits_{x \to a} {\frac{{\alpha \left( x \right)}}{{\beta \left(x \right)}}} = A \ne 0, \) тогда функции α ( х ) и β ( х ) называются инфинитезимальными одного и того же порядка;
    • Если \(\lim\limits_{x \to a} {\frac{{\alpha \left( x \right)}}{{{\beta ^n}\left(x \right)}}} = A \ne 0,\), то функция α ( x ) называется бесконечно малой порядка \(n\) по сравнению с функцией β ( x );
    • Если \(\lim\limits_{x \to a} {\frac{{\alpha \left( x \right)}}{{\beta \left(x \right)}}} = 1,\), то говорят, что функции α ( x ) и β ( x ) эквивалентны как x a .

    В частности, следующие функции эквивалентны:

    Рис. 1.

    При вычислении предела отношения двух бесконечно малых мы можем заменить члены отношения их эквивалентными значениями.

    Решенные проблемы

    Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

    Пример 1

    Найдите предел \[\lim\limits_{x \to 0} {\frac{{\ln \left({1 + 4x} \right)}}{{\sin 3x}}}.\]

    Пример 2

    Найдите предел \[\lim\limits_{x \to 0} {\frac{{\sqrt[3]{{1 + x}} — 1}}{x}}.2}} — 1}}{х}}.\]

    Пример 1.

    Найдите предел \[\lim\limits_{x \to 0} {\frac{{\ln \left({1 + 4x} \right)}}{{\sin 3x}}}.\]

    Раствор.

    Используем формулы:

    \[\ln \left( {1 + \alpha } \right) \sim \alpha ,\;\;\sin \alpha \sim \alpha .\]

    Затем

    \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + 4x} \right)}}{{\sin 3x}} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{3x}} = \frac{4}{3}.2}}}{x} = \frac{1}{2}\lim\limits_{x \to 0} \left( {2 + 3x} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1.\]

    Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

    Его конструкция и свойства

    были лишь набросаны в [9], здесь он подробно разработан с использованием наборов b

    Rand

    RZ<. После введения теоретических основ мы подробно построили новую модель нестандартного анализа

    . Оставшаяся часть этой статьи посвящена обширному обсуждению топологических, прикладных (в смысле исчисления) и

    вопросов вычислимости полученной модели.Побочным результатом построенного множества

    RZ< было прямое доказательство непротиворечивости теории Гроссоне, см. [23].

    В топологическом аспекте в разделе 4 мы ввели некоторые новые понятия

    метрик, шаров, открытых множеств и т. д. в RZ< вместе с их свойствами. Что касается прикладного аспекта

    в разделе 5, обсуждались некоторые новые концепции исчисления в RZ

    , например. производная (мы успешно разработали соотношение проницаемости

    , так что функция производной в RZ< может быть пронизана до R), непрерывность,

    и сходимость.Для двух последних выпусков в этой статье

    были введены некоторые новые понятия. Прежде всего, мы обсудили три возможных понятия непрерывности

    , которые можно применить либо к R, либо к RZ<. Мы также определили, как они соотносят

    друг с другом в соответствующей модели. При этом мы открыли новый

    вид фракталов — инфинитезимальные фракталы. Проанализировав три возможных понятия непрерывности

    , мы решили, что лучшим понятием, которое можно использовать в нашей постановке RZ<, является

    определение -δ, и тем самым мы не только сохраняем большую часть духа классического

    анализа, но также сохраняют интуицию бесконечно малых величин.Установив

    нашу позицию, мы ввели более детальное понятие непрерывности, которое называется

    (k, n)-непрерывностью (как видно из определения 5.23). Мы исследовали, как ведет себя это новое

    понятие непрерывности, т.е. что происходит с композицией двух

    непрерывных функций, а также как это понятие ведет себя при умножении. Здесь стоит отметить, что это новое понятие непрерывности является гораздо более точным понятием, чем классическое понятие непрерывности.И последнее, но не менее важное: мы показали

    , что множество RZ< обладает хорошими свойствами вычислимости. Нам удалось создать программу

    на Python, чтобы показать, что у нас может быть вычислимое число RZ<. Множество

    всех этих вычислимых чисел обозначается как RZ<

    c. Мы также показали некоторые

    интересных замечаний по поводу проблемы вычислимости.

    В плане дальнейших исследований мы обозначили некоторые возможные направления дальнейшего развития следующим образом.Во-первых, можно попытаться провести инфинитезимальный анализ, используя соответствующую

    логику R. Сравнение результатов (возможно), полученных в R

    , и описанного здесь может быть интересным, особенно с точки зрения полезности

    и простоты. Во-вторых, что касается «принципа переноса», наша интуиция подсказывает

    , что он эквивалентен понятию проницаемости в стратегии Cchunk & Permeate

    . Можно попытаться формально доказать это или опровергнуть.В-третьих, с точки зрения

    проблемы вычислимости, используя исчисление на RZ<, можно было бы попытаться сформулировать

    необходимые и достаточные условия существования производных функций, например,

    на компьютере. И, возможно, показывая также, как найти эти производные

    , когда бы они ни существовали. Это, конечно, можно применить и к другим понятиям.

    В-четвертых, как было сказано в предыдущих разделах, некоторые результаты, описанные в этой

    статье, могут помочь нам лучше понять другую область исследований

    (две из которых были упомянуты в разделе 5: обратная математика и квантовая

    физика).Можно попытаться выяснить детали этого.

    В общем, с новыми непротиворечивыми множествами, созданными в этой работе, математиков ждут новые возможности. Одна из радостей математики — исследовать мир

    44

    Зачем нужны пределы и бесконечно малые числа? – Лучше Объяснено

    Так много математических курсов переходят к пределам, бесконечно малым числам и очень малым числам (TM) без какого-либо контекста. Но почему нас это волнует?

    Математика помогает нам моделировать мир.Мы можем разбить сложную идею (волнистую кривую) на более простые части (прямоугольники):

    Но нам нужна точная модель. Чем тоньше прямоугольники, тем точнее модель. Более простую модель, построенную из прямоугольников, легче анализировать, чем напрямую работать со сложной аморфной каплей.

    Сложность заключается в том, чтобы сделать достойную модель. Пределы и бесконечно малые помогают нам создавать модели, которые просты в использовании, но обладают теми же свойствами, что и исходный объект (длина, площадь и т. д.).).

    Парадокс нуля

    При разбиении кривой на прямоугольники возникает проблема: как сделать срезы настолько тонкими, что мы их не замечаем, но достаточно большими, чтобы «существовать»?

    Если срезы слишком малы, чтобы их можно было заметить (нулевая ширина), то модель кажется идентичной исходной форме (мы не видим никаких прямоугольников!). Теперь никакой пользы — «простая» модель такая же сложная, как и оригинал! Кроме того, добавление срезов нулевой ширины ни к чему не приведет.

    Если кусочки крошечные, но измеримые, иллюзия исчезает.Мы видим , что наша модель представляет собой неровное приближение и не будет точным. Что делать математику?

    Нам нужно лучшее из обоих: срезы настолько тонкие, что мы их не видим (для точной модели), и срезы достаточно толстые, чтобы создать более простую и удобную для анализа модель. Налицо дилемма!

    Решение: ноль относительно

    Понятие нуля искажено нашими ожиданиями. Является ли «0 + i», чисто мнимое число, таким же, как ноль?

    Что ж, «i» действительно выглядит как ноль, когда мы находимся на прямой с действительными числами: «действительная часть» i, Re(i), действительно равна 0.Куда еще делось бы чисто мнимое число? (Как далеко Восток от севера?)

    Вот еще одна головоломка: ваш вес изменился на ноль фунтов, когда вы читали это предложение? Да по любому масштабу у вас рядом. Но атомные измерения показали бы некоторое изменение массы из-за испарения пота, выдоха и т. д.

    Видите ли, есть два ответа (пока!) на парадокс «быть нулем и не нулем»:

    • Допустить другое измерение : Числа, измеренные равными нулю в нашем измерении, на самом деле могут быть маленькими, но ненулевыми в другом измерении (бесконечно малый подход — измерение бесконечно меньшее , чем то, с которым мы имеем дело)

    • Принять несовершенство : Числа, измеренные равными нулю, вероятно, отличны от нуля на более высоком уровне точности; сказать что-то «ноль» на самом деле означает «это 0 +/- наша ошибка измерения» (предельный подход)

    Эти подходы устраняют разрыв между «нулевым для нас» и «ненулевым на более высоком уровне точности».

    Обзор пределов и бесконечно малых величин

    Давайте посмотрим, как каждый подход разбивает кривую на прямоугольники:

    • Ограничения: «Дайте мне вашу погрешность (я знаю, что она у вас есть, ограниченный, несовершенный человек!), и я нарисую вам кривую. Какая самая маленькая единица на вашей линейке? Дюймы? Хорошо, я нарисую вам лестничную кривую на уровне миллиметра, и вы никогда не узнаете. О, у тебя есть миллиметровая линейка? Я нарисую кривую в нанометрах.Какой бы ни была ваша точность, я лучше. Ты никогда не увидишь лестницу.

    • Бесконечно малые: «Забудьте о точности: есть целое бесконечно малое измерение , где я сделаю кривую. Точность совершенно за пределами вашей досягаемости — я на субатомном уровне, а вы пещерный человек, который едва может ходить и жевать жвачку. Это как попасть в воображаемый самолет из реального — просто не можешь. Для вас прямоугольная форма, которую я создал на субатомном уровне, — самая совершенная кривая, которую вы когда-либо видели.

    Пределы остаются в нашем измерении, но с «достаточной» точностью, чтобы поддерживать иллюзию идеальной модели. Бесконечно малые строят модель в другом измерении, и в нашем она выглядит совершенно точной.

    Хитрость обоих подходов заключается в том, что более простая модель была построена за пределами нашего уровня точности. Мы можем знать, что модель имеет зазубрины, но мы не можем определить разницу — любой тест, который мы проводим, показывает, что модель и реальный предмет — одно и то же.

    Этот трюк не работает, не так ли?

    О, но это так.Нас постоянно обманывают «несовершенными, но полезными» моделями:

    • Аудиофайлы не содержат всей информации исходного сигнала. Но можете ли вы отличить качественный mp3 от человека, говорящего в другой комнате?

    • Компьютерные распечатки сделаны из отдельных точек, которые слишком малы, чтобы их можно было увидеть. Сможете ли вы отличить рукописную заметку от качественной распечатки?

    • Видео показывает неподвижные изображения с частотой 24 раза в секунду.Эта «несовершенная» модель достаточно быстра, чтобы заставить наш мозг увидеть движение жидкости.

    Это продолжается и продолжается. Мы сопротивляемся из-за нашей искусственной потребности в точности. Но аудио- и видеоинженеры знают, что им не нужно идеальное воспроизведение, им достаточно качества , достаточно хорошего , чтобы заставить нас думать, что это оригинал.

    Исчисление позволяет нам создавать эти технически несовершенные, но «достаточно точные» математические модели.

    Работа в другом измерении

    Мы должны быть осторожны, рассуждая с упрощенной моделью.Нам нужно «делать свою работу» на уровне более высокой точности, и возвращать в наш мир конечный результат . Если мы этого не сделаем, мы потеряем информацию.

    Предположим, что мнимое число (i) попадает на прямую с действительными числами. Все думают, что он нуль: в конце концов, Re(i) = 0. Но я делаю трюк! «Помири меня!» он говорит, и они делают: «i * i = -1», а остальные числа удивляются.

    Для реальных чисел оказалось, что «0 * 0 = -1», гигантский парадокс.

    Но их замешательство возникло из-за их точки зрения — они только думали, что это «0 * 0 = -1».Да, Re(i) * Re(i) = 0, но это была не та операция! Мы хотим, чтобы Re(i * i) было совершенно другим! Возводим в квадрат i в его собственном измерении и возвращаем результат к нашему результату . Нам нужно возвести в квадрат i, мнимое число, а не 0, нашу идею того, чем я был.

    Остерегайтесь подобных ошибок в исчислении: мы имеем дело с крошечными числами, которые выглядят для нас как ноль , но мы не можем выполнять математические операции, предполагая, что они таковы (точно так же, как рассматривать i like 0). Нет, нам нужно «вычислить» в другом измерении и преобразовать результаты обратно.

    Пределы и бесконечно малые имеют разные точки зрения на то, как выполняется это преобразование:

    • Ограничения: «Проведите расчеты» с точностью, недоступной вашему восприятию (миллиметры), и приведите их к числам на вашей шкале (дюймы)

    • Бесконечно малые: «Посчитайте» в другом измерении и верните его к «стандартному» (точно так же, как берется действительная часть комплексного числа; вы берете «стандартную» часть гипердействительного числа — подробнее позже)

    Никто никогда не говорил мне: исчисление позволяет вам работать с большей точностью, с более простой моделью и возвращать результаты в наш мир.

    Реальный пример: sin(x) / x

    Давайте рассмотрим концептуальный пример. Предположим, мы хотим знать, что происходит с sin(x)/x в нуле. Теперь, если мы просто подставим x = 0, мы получим бессмысленный результат: sin(0) = 0, так что мы получим 0/0, что может быть чем угодно.

    Давайте вернемся назад: что означает «x = 0» в нашем мире? Ну, если мы допускаем существование более высокого уровня точности, мы знаем это:

    .
    • Вещи, которые кажутся равными нулю, могут быть ненулевыми в другом измерении (точно так же, как i может казаться нам равным 0, но не является таковым)

    Мы собираемся сказать, что x может быть очень, очень близким к нулю на этом более высоком уровне точности, но не «настоящим нулем».Интуитивно вы можете думать о x как о 0,0000…00001, где «…» достаточно нулей, чтобы вы больше не могли определить число.

    (В предельных терминах мы говорим, что x = 0 + d (дельта, небольшое изменение, которое удерживает нас в пределах нашей погрешности), а в бесконечно малых терминах мы говорим, что x = 0 + h, где h — крошечное гипердействительное число, известное как бесконечно малый)

    Хорошо, у нас есть x на «ноль для нас, но не совсем». Теперь нам нужна более простая модель sin(x). Почему? Ну, синус — это сумасшедшая повторяющаяся кривая, и трудно понять, что происходит.Но оказывается, что прямая линия — чертовски хорошая модель кривой на коротких дистанциях:

    Точно так же, как мы можем разбить фигуру с заливкой на крошечные прямоугольники, чтобы сделать ее проще, мы можем разделить кривую на серию отрезков. Около 0 sin(x) выглядит как линия «x». Итак, мы меняем sin(x) на строку «x». Какое новое соотношение?

    Ну, «x/x» равно 1. Помните, что на самом деле мы не делим на ноль, потому что в этом сверхточном мире: x крошечное, но не равное нулю (0 + d или 0 + h).Когда мы «принимаем предел» или «принимаем стандартную часть», это означает, что мы делаем математику (x / x = 1), а затем находим ближайшее число в нашем мире (1 идет к 1).

    Итак, 1 — это то, что мы получаем, когда sin(x) / x приближается к нулю, то есть мы делаем x как можно меньше, чтобы он стал для нас 0. Если бы x стал чистым, истинным нулем, то отношение было бы неопределенным (и оно находится на бесконечно малом уровне!). Но мы никогда не уверены, находимся ли мы в идеальном нуле — что-то вроде 0,0000…0001 кажется нам нулем.

    Насколько мы можем судить, «sin(x)/x» выглядит как «x/x = 1».Интуитивно результат имеет смысл, когда мы читаем о радианах).

    Визуализация процесса

    Сегодняшняя цель состоит не в том, чтобы решить предельные проблемы, а в том, чтобы понять процесс их решения. Чтобы решить этот пример:

    • Поймите, что x=0 недостижим с нашей точностью; «маленький, но ненулевой» x всегда доступен с более высоким уровнем точности
    • Заменить sin(x) на прямую как более простую модель
    • «Посчитайте» с более простой моделью (x / x = 1)
    • Вернуть результат (1) в нашу точность (остается 1)

    Вот как я вижу процесс:

    В последующих статьях мы узнаем подробности настройки и решения моделей.

    Предостережения: трюк не всегда работает

    Некоторые функции действительно «дерганые» — и они могут отличаться на бесконечно малом уровне. Это означает, что мы не можем надежно вернуть их в наш мир. Похоже, что на микроскопическом уровне функция нестабильна и ведет себя не «гладко».

    Строгая часть ограничений заключается в том, чтобы выяснить, какие функции ведут себя достаточно хорошо, чтобы можно было создавать простые, но точные модели. К счастью, большинство естественных функций в мире (x, x 2 , sin, e x ) ведут себя хорошо, и можно смоделировать с помощью вычислений.

    Пределы или бесконечно малые?

    Логически оба подхода решают проблему «нулевого и ненулевого». Мне нравятся бесконечно малые, потому что они допускают «другое измерение», которое кажется более чистым разделением, чем «всегда вне пределов досягаемости». Бесконечно малые числа были основой интуитивного исчисления и появляются в физике и других предметах, которые его используют.

    Это не урок анализа, но математические роботы могут быть уверены, что бесконечно малые числа имеют строгое основание.Я использую их, потому что они кликают для меня.

    Резюме

    Фу! Некоторые из этих идей сложны, и я чувствую, что говорю обеими сторонами рта: мы хотим быть проще, но при этом совершенно точны?

    Эта знаменитая дилемма о том, что «иногда быть нулем, а другим — ненулевым», — известная критика исчисления. Это в основном игнорировалось, так как результаты работали, но в 1800-х годах были введены ограничения, чтобы действительно решить дилемму. Сегодня мы изучаем ограничения, но без понимания природы проблемы, которую они пытались решить!

    Вот ключевые понятия:

    • Ноль относителен: у нас что-то может быть нулем, а где-то ненулевым
    • Бесконечно малые («другое измерение») и пределы («за пределами нашей точности») разрешают дилемму «нуля и отличного от нуля»
    • Мы создаем более простые модели в более точном измерении, делаем расчеты и переносим результат в наш мир
    • Конечный результат совершенно точен для нас

    Моя цель не заниматься математикой, а понять ее.И огромная часть грокинг-исчисления заключается в том, что простые модели, созданные за пределами нашей точности, могут выглядеть «прекрасно» в нашем измерении. Позже мы изучим правила построения и использования этих моделей. Счастливая математика.

    Другие сообщения из этой серии

    1. Нежное введение в изучение исчисления
    2. Понимание исчисления с помощью метафоры банковского счета
    3. Доисторическое исчисление: открытие Пи
    4. Аналогия исчисления: интегралы как умножение
    5. Исчисление: построение интуиции для производной
    6. Как понимать деривативы: произведение, мощность и правила цепочки
    7. Как понимать производные: правило частных, показатели степени и логарифмы
    8. Интуитивно понятное знакомство с ограничениями
    9. Интуиция для ряда Тейлора (аналогия ДНК)
    10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые числа?
    11. Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
    12. Дружеский разговор о ли 0.999… = 1
    13. Аналогия: камера исчисления
    14. Практика абстракции: графы исчисления
    15. Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
    16. Как прибавить от 1 до 100 с помощью исчисления
    17. Интеграл Sin(x): Геометрическая интуиция

    Бесконечно малый — Академические дети

    От академических детей

    (Перенаправлено с Infinitesimals)

    В математике бесконечно малое или бесконечно малое число — это число, которое по абсолютной величине больше нуля, но меньше любого положительного действительного числа.Число x ≠ 0 является бесконечно малым тогда и только тогда, когда каждая сумма | х | + … + | х | конечного числа терминов меньше 1, независимо от того, насколько велико конечное число терминов. В этом случае 1/ x больше любого положительного действительного числа.

    В стандартном анализе бесконечно малое — это всего лишь условная величина, а бесконечно малого действительного числа не существует. Это можно показать, используя аксиому о наименьшей верхней границе действительных чисел: рассмотрим, является ли наименьшая верхняя граница c множества всех бесконечно малых величин бесконечно малой величиной.Если да, то так же и 2 c , что противоречит тому факту, что c является верхней границей. Если это не так, то c /2 также не является, что противоречит тому факту, что среди всех верхних оценок c является наименьшим.

    Первым математиком, использовавшим бесконечно малые, был Архимед, хотя он и не верил в их существование. Посмотрите, как Архимед использовал бесконечно малые числа. Архимедово свойство — это свойство упорядоченной алгебраической структуры не иметь бесконечно малых.

    Когда Ньютон и Лейбниц разрабатывали исчисление, они использовали бесконечно малые числа. Типичный аргумент может звучать так:

    Чтобы найти производную f ‘( x ) функции f ( x ) = x ², пусть d x бесконечно мало.2}{dx}\,
    =2x + dx\,
    <математика>=2x\,<математика>
    , так как d x бесконечно мало.

    Этот аргумент, хотя и привлекателен интуитивно и дает правильный результат, не является математически строгим. Использование бесконечно малых было подвергнуто критике как неправильное епископом Беркли в его работе Аналитик: или речь, адресованная неверующему математику . Основная проблема заключается в том, что d x сначала рассматривается как ненулевое (потому что мы делим на него), но позже отбрасывается, как будто оно равно нулю.

    Только во второй половине девятнадцатого века Карл Вейерштрасс и другие дали исчислению формальную математическую основу, используя понятие предела, которое устраняет необходимость использовать бесконечно малые числа.

    Тем не менее, использование бесконечно малых по-прежнему удобно для упрощения записи и вычислений.

    Бесконечно малые величины являются законными величинами в нестандартном анализе Авраама Робинсона. В этой теории приведенное выше вычисление производной f ( x ) = x ² может быть оправдано с небольшой модификацией: мы должны говорить о стандартной части разностного частного, а стандартная часть x + d x составляет x .

    В качестве альтернативы мы можем использовать синтетическую дифференциальную геометрию или гладкий бесконечно малый анализ, уходящий корнями в теорию категорий. Этот подход резко отличается от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая закон исключенного третьего, то есть НЕ ( a b ) не обязательно должно означать a = b . Затем можно определить нильквадрата или нильпотентного бесконечно малого числа. Это число x , где верно x ² = 0, но одновременно может быть верно и x ≠ 0.С такой бесконечно малой величиной алгебраические доказательства, использующие бесконечно малые, довольно строги, включая приведенное выше.

    См. также

    он:אינפיניטסימל ja:無限小 пт: бесконечно малый sv: бесконечно малый

    Microsoft Word — CpA9.8trans.Badiou.Infinitesimal.doc

    %PDF-1.4 % 1 0 объект >поток БЕСПЛАТНО PDFill PDF and Image WriterPScript5.dll Version 5.2.22012-09-02T17:16:10Z

  • Microsoft Word — CpA9.8trans.Badiou.Infinitesimal.doc
  • Peter
  • конечный поток эндообъект 2 0 объект > эндообъект 4 0 объект > эндообъект 3 0 объект > эндообъект 5 0 объект >/Повернуть 0/MediaBox[0 0 595 842]>> эндообъект 21 0 объект >поток х]Ksrl+8du7׷Tl.d-(>$[&)Sde`@JRslFpqsO™’ _|»;6|}q*;wg’}g,va’NwO$|˓=;N OLO |sU,PÍWpa`trhh\1v_|`2JOSڒB$*57O4a/tY2mlgX/q̵o’Btspoke2OX0q2e#4!wFn|`

    Бесконечно малые и нестандартные вычисления: простые определения

    Определения вычислений >

    Содержимое:

    1. Что такое бесконечно малая величина?
    2. Что означает Dx в исчислении?
    3. Что такое нестандартное исчисление?

    В обычном английском языке бесконечно малое означает «нечто чрезвычайно малое», но в математике оно имеет еще более сильное значение.Это бесконечно малая величина; настолько мала, что неизмерима .

    Бесконечно малый размер отличен от нуля. Другими словами, это не , а ноль. Несмотря на свои особенности, он по-прежнему обладает многими свойствами более крупных объектов: такими свойствами, как угол или наклон. Эти свойства можно измерить.

    Исчисление бесконечно малых

    В основе исчисления лежит идея о том, что для того, чтобы действительно понять кривую, вы должны понимать, что происходит в каждый мгновенный момент времени.Этот момент времени, изображенный на кривой, становится бесконечно малым интервалом — бесконечно малым. Мы называем это дифференциалом и обозначаем его как Δx. Суммируя бесконечное множество бесконечно малых, мы получаем интеграл.

    Альтернативное определение

    Это слово также иногда использовалось для обозначения функций, стремящихся к нулю. Это функции, пределы которых стремятся к нулю, когда функция стремится к бесконечности.

    История бесконечно малых

    Изучение этих бесконечно малых интервалов присуще Исчислению; на самом деле исчисление исторически было известно как «исчисление бесконечно малых» или «исчисление бесконечно малых».Слово «исчисление» в этом контексте означало учет или расчет и произошло от названия небольшого счетного камешка.

    Изучение бесконечно малых началось рано; Фактически, Архимед, греческий математик, живший примерно с 287 г. до н.э. по 212 г. до н.э., дал им первое логически строгое определение. Но не всегда они были хорошо приняты. Фактически, в течение 17 века они были предметом многих политических и религиозных споров, а в 1632 году римские священнослужители фактически запретили бесконечно малые числа.

    Термин « dx » означает небольшое изменение x.

    Точнее, это бесконечно малое (действительно малое!) изменение двух значений x, записанных в нотации Лейбница. Мы используем его в исчислении для анализа непрерывных функций, делая интервалы между значениями x все меньше и меньше — фактически настолько малыми, что интервалы очень близки к нулю.

    Формально dx называется дифференциальным оператором.

    Dx в деривативах

    Если вы изучали ограничения в исчислении, то знаете, что предел можно найти, подобрав очень близко к значению x.

    Например, вы можете найти предел при x = 1, посмотрев, что происходит, когда x = 0,999 или x = 0,99999. Обозначение dx описывает эту процедуру ограничения, и это то, что мы используем для поиска производных.

    Вы увидите dx в различных формах, в том числе в этой нотации (d/dx), что означает « взять производную по x ».

    Например, если вы видите следующую формулу:

    возьмем производную функции f(x) = 3x – 2.

    Что означает dx в исчислении с ∫?

    Когда вы видите ∫ и dx, это означает интегрирование.Часть dx интеграла говорит вам , какую переменную интегрировать; x в dx говорит вам интегрировать по отношению к x . Другими словами, вы пытаетесь найти площадь под кривой путем интегрирования по оси x .

    Интегралы имеют основное обозначение ∫ f(x) dx:

    • Функция f(x) является подынтегральной функцией — функцией, которую вы интегрируете.
    • Символ интеграла ∫ и dx — это заполнители, которые говорят: «Объедините все, что между нами.

    Некоторые варианты включают du и dt. Обычно они будут соответствовать подынтегральной функции. Например, ∫ u 2 du.

    • d t : Интегрировать по t (время). Как и x, это обычно вдоль оси x и часто появляется в задачах физики.
    • d u : Проинтегрировать по u. u здесь является заполнителем, используемым для u-подстановки или замены переменных, которые облегчают поиск определенных типов интегралов.Вы можете думать о «u» как о значении неизвестного .

    В исчислении с несколькими переменными «dx» появляется в той же позиции вместе с dy и/или dz. Когда вы видите двойной интеграл или тройной интеграл, это обозначение подскажет вам, в каком порядке вы должны интегрировать. Например, этот двойной интеграл имеет в конце выражения «dx dy»:

    Это говорит вам сначала интегрировать по x, а затем по y.

    Нестандартное исчисление представляет собой применение бесконечно малых с использованием нестандартного анализа к исчислению бесконечно малых.

    ε и δ традиционного исчисления.

    Нестандартное исчисление использует бесконечно малые для вычисления пределов и производных. После резкой критики бесконечно малые и бесконечные числа были фактически запрещены в исчислении в конце девятнадцатого века, отдав предпочтение эпсилон- и дельта-подходам, популяризированным Карлом Вейерштрассом. Авраам Робинсон (1918–1974) возродил идею бесконечно малых величин в 1960-х годах, что привело к развитию нестандартного исчисления.

    Хотя бесконечно малые числа существовали уже некоторое время (хотя и были исключены из современного исчисления), Робинсон дал им точное определение.Он использовал гиперреальные числа (*R), расширение действительных чисел, включающее бесконечно малые числа и бесконечные числа. Эти числа, которые можно точно определить, ведут себя как очень большие натуральные числа.

    Важно отметить, что исчисление бесконечно малых Ньютона и Лейбница и нестандартное исчисление — это не одно и то же : нестандартное исчисление — это относительно небольшая область, которая применяет нестандартный анализ к исчислению бесконечно малых.

    Примечание по устранению неоднозначности: Иногда термин «нестандартное исчисление» используется для описания курсов, отличных от традиционного исчисления в колледже, которое имеет значение, полностью отличное от описанной здесь ветви исчисления.Например, в статье Revitalization of Nonstandard Calculus , Fetta (1996) рассматриваемое «нестандартное» исчисление на самом деле является бизнес-исчислением.

    Преимущества и недостатки нестандартного исчисления

    Многие считают нестандартное исчисление более простым для понимания, более интуитивным и концептуально более простым, чем более распространенный подход исчисления бесконечно малых. Например:

    Определение непрерывности функции в точке c состоит просто в том, что x, бесконечно близкое к c, подразумевает, что f(x) бесконечно близко к f(c) (Sullivan, 2014).

    Однако другие считают формальную структуру нестандартного исчисления слишком технической для тех, кто не знаком с логикой. Проблема усложняется тем, что, хотя действительные числа знакомы и просты для понимания, нестандартные действительные числа представляют собой проблему для понимания для большинства учащихся. Тем не менее, были разработаны некоторые курсы, которые упрощают эти сложные детали. Многие из них основаны на основополагающих работах Джерома Кейслера «Элементарное исчисление: подход к бесконечно малым».

    Каталожные номера

    Фетта, И. (1996). Возрождение нестандартного исчисления. Получено 14 мая 2020 г. с: https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED417936.pdf
    Krakoff, G. (2005). Hyperreals и краткое введение в нестандартный анализ. Math 336. Получено 14 мая 2020 г. с: https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_15/papers/gianni.pdf
    Салливан, К. (2014). Преподавание элементарного исчисления с использованием подхода нестандартного анализа. Американский математический ежемесячник, Vol.83, № 5 (май 1976 г.), стр. 370-375.
    Таки, К. (1993). Нестандартные методы вариационного исчисления (Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics Series), 1-е издание.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.